...незабвенному любителю "Изящной арифметики"
__________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Здравствуй, здравствуй, мой друг!
Вот и пришла пора хотя бы приоткрыть ту "тайну", о которой была речь во 2-ом письме в связи с другой точкой зрения на метод доказательства Леммы (к доказательству Теоремы Ферма/Эйлера). Всё, по существу, было не только своеобразной подготовкой к завершению доказательства Теоремы Ферма/Эйлера методом "монотонного спуска". Однако, чтобы открыть тебе глаза на нечто таинственное в этой части "Изящной арифметики", нам нужны будут ещё две леммы подобные той же Лемме из 2-го письма как некие близнецы для простых чисел p двух видов: p=8[p/8]+1, p=8[p/8]+3.
Ты можешь спросить, мой друг: "Почему только сейчас пришла пора приоткрыть, так
сказать, "тайну" 2-го письма?..." Дело, в частности, вот в чём: имеется хорошо
известная "задачка" Ферма:
Доказать, что уравнение xx+2 = yyy имеет в области натуральных чисел единственное
решение: x=5, y=3. (Единственность натурального решения была обоснована Л.Эйлером и
опубликована в 1770 году.)
Лишь месяц тому назад я случайно обнаружил публикацию о том, что якобы в 2003 году
эта "задачка" решена как-то по-другому. Другого (да ещё бы оригинального!) решения я
нигде не нашёл всё ж таки, а мы с тобой здесь или в следующем моём письме, воплощая идеи
Эйлера, дадим наше решение этой задачи Ферма, возможно, оригинальное хотя бы по
простоте. (Ну чем не каламбур! - с простыми числами нужно иметь дело как можно проще.)
Предполагая (полное!) решение уравнения Ферма xx+2=yyy в целых числах x,y, отметим, что такие числа в качестве решения обязаны быть нечётными (по причине неделимости: xx+2[/]4 при любом целом числе x). И ты, мой друг, уже, возможно, догадался о том, что речь пойдёт о разложении простого делителя p числа xx+2=yyy в "квадратичную форму" p=aa+2bb, где a,b -целые числа. И более того, в связи с моим упоминанием в начале письма о простых числах двух видов p=8[p/8]+1, p=8[p/8]+3, ты уже, пожалуй, заметил и то, что число p больше двух и оно представимо в одном из этих двух видов. В самом деле, пусть p=aa+2bb, тогда число a - нечётное, и в таком случае мы имеем: либо a=4[a/4]+1, либо a=4[a/4]+3=4([a/4]+1)-1. Поэтому ясно: p=8[p/8]+1, если b - чётное, и p=8[p/8]+3 при нечётном b (b=2[b/2]+1). Например: 3=1·1+2·1·1, 11=8+3=3·3+2·1·1, 17=2·8+1=3·3+2(2·2) и т.д. и т.п.
Поскольку предполагается делимость p\xx+2(1·1), нам для (полного) решения данного уравнения xx+2=yyy (в области целых чисел) не нужны новые леммы, о которых шла речь в первом абзаце моего данного письма. Здесь достаточно воспользоваться методом "монотонного спуска" из 2-го письма. Другими словами, привлекая ещё один частный случай тождества Фибоначчи (cx-2d)(cx-2d)+2(c+dx)(c+dx)=(xx+2)(cc+2dd), - здесь x как независимая переменная! - достаточно убедиться в справедливости утверждения подобного тому, которое привело к завершению доказательства Теоремы Ферма/Эйлера.
Пусть некая сумма cc+2dd (c,d - целые числа) удовлетворяет неравенствам p<cc+2dd<pp и условию делимости p\(cc+2dd), где число p>2 - простое. Тогда существуют такие целые числа a и b, что p\(aa+2bb), и при этом: 0<aa+2bb<cc+2dd.
Здесь, мой друг, (если ты хорошо усвоил результаты из 2-го письма) нам достаточно лишь учесть соотношения mp=cc+2dd<pp, где m - некоторое целое число (1<m<p) с простым делителем q>2. Далее, естественно, как и раньше, мы можем предполагать отсутствие делимости q[\]cd и, в связи с этим, переходить к целым числам a=(cx-2d)/q и b=(c+dx)/q при некотором натyральном x<q и получать подобную квадратичную форму aa+2bb, удовлетворяющую как неравенствам 0<aa+2bb=(xx+2)(cc+2dd)/qq<pp, так и делимости p\(aa+2bb). В том случае, когда q=2, число c - чётное, поэтому, переходя к другому числу s=c/2, мы сразу же обнаружим аналогичное, что требуется для "монотонного спуска" - именно: делимость p\dd+2ss и удовлетворение неравенствам 0<dd+2ss<cc+2dd.
Таким образом, и здесь наш "монотонный спуск" можно считать обоснованным!
Итак, попытаемся решить хотя бы такое уравнение xx+2=ppp, где простое p>2 имеет вид: p=aa+2bb (a,b - целые числа). Я думаю, мой друг, тебе как умудрённому опытом чтения моих писем уже будет нетрудно убедиться в равенстве ppp=ss+2tt, где числа s,t вычисляются по формулам: s=a(aa-6bb), t=b(3aa-2bb). Здесь нужно лишь терпеливо "раскрывать скобки", как говорят математики (слева и справа от знака равенства в нашей формуле ppp=ss+2tt), и в итоге мы увидим, что "простой" куб (третья степень простого числа p) имеет квадратичный вид соответствующий левой части данного уравнения Ферма. Если t=1, то легко понять, что тогда мы будем иметь такой результат aa=b=1. Тут-то мы и получим то самое решение в области натуральных чисел: x=5 (xx=ss=25) и y=p=3, на которое указал ещё Ферма. (Ясно, что случай t = -1 не даёт других решений.) Теперь нам желательно показать, что другое простое число p>3 c подобной квадратичной формой не может удовлетворять равенству xx+2=ppp. Для этого достаточно доказать, что из равенства xx+2=ss+2tt, где ss+2tt=ppp, следует xx=ss и tt=1. Другими словами, мы будем довольны убедившись в том, что для нашего "простого" куба ppp, где p=aa+2bb, имеются лишь две квадратичные формы: ppp=aapp+2bbpp и ppp=ss+2tt, где у второй формы числа s,t вычисляются по выше указанным формулам. Поэтому для простого p>3 будут обязательны неравенства bbpp>1 и tt>1. Отсюда следует, что уравнение xx+2=ppp, где p - простое число, разрешимо только при p=3.
В нашем случае "простого" куба ppp легко и просто(!) убедиться в том, что третьего не дано, что нет третьей квадратичной формы. А точнее можно сказать: форма ss+2tt, среди всех форм подобного типа, которые образованы числами, неимеющими общего простого (правильного) делителя, является единственной для ppp. Здесь я надеюсь, мой друг, на то, что ты легко сумеешь сам убедиться в том, что числа s,t, вычисляемые по выше указанным формулам, не имеют общего правильного делителя (в частности, общего простого числа в качестве делителя).
Пусть мы имеем две формы ppp=cc+2dd=ss+2tt, в которых обе пары чисел c,d и s,t не имеют общих правильных делителей. Такие квадратичные формы здесь и в дальнейшем будем называть "формами Эйлера". Имея в виду эти формы, далее целесообразно учитывать два равенства (cc+2dd)(ss+2tt)=(cs+(-)2dt)(cs+(-)2dt)+2(ct-(+)ds)(ct-(+)ds) как два варианта хорошо известного для нас тождества Фибоначчи, и в связи с этим сначала убедиться в том, что ppp\(ct+ds)(ct-ds). Действительно, учитывая весьма простые равенства:
(ct+ds)(ct-ds) = ctct-dsds = cctt+2ddtt-2ddtt-ddss = tt(cc+2dd)-dd(2tt+ss)=ttppp-ddppp,
мы обнаруживаем другое разложение на множители (ct+ds)(ct-ds)=(tt-dd)ppp, в силу которого мы получаем не только ожидаемую делимость, но и формулу как подарок к быстрому достижению нашей цели. В первую очередь, можно легко увидеть, что справедливо одно из двух: либо (ct+ds)//ppp, либо (ct-ds)//ppp, так как иначе получилось бы: ct+ds//p и ct-ds//p, а отсюда мы имели бы делимость суммы ct+ds+ct-ds=2ct//p, а в итоге - противоречие: либо c//p, d//p, либо s//p, t//p.
В конце концов, результат таков (прошу прощения за случайную рифму!):
либо (ct+ds)(ct+ds)//pppppp, либо (ct-ds)(ct-ds)//pppppp. Так или иначе, с учётом соотношений (ct+-ds)(ct+-ds)<(cc+2dd)(ss+2tt)=pppppp, согласно тождеству Фибоначчи в двух вариантах (см. выше), мы приходим к важному "нулевому" итогу: или (ct+ds)(ct+ds)=0, или (ct-ds)(ct-ds)=0. Следовательно, получаем (ct+ds)(ct-ds)=0 и, наконец, (tt-dd)ppp=0. Отсюда и возникает главный ожидаемый результат: dd=tt, cc=ss.
Итак, мы получили важный вывод: любой "простой" куб не может иметь две Эйлеровы формы,
при этом естественно учитывается то, что перестановка слагаемых по существу не создаёт новой формы, не имеет существенного значения. В частности, если предположить, что соблюдается равенство xx+2=ppp, то здесь мы попросту имеем уже рассмотренный случай tt=1, ss=xx как следствие.
Вот таким образом, мы убедились в том, что искать другие числа x,y в качестве решения данного здесь уравнения Ферма можно было бы лишь только в том случае, когда y - составное число. Однако Леонард Эйлер, привлекая так называемые комплексные числа, доказал вообще отсутствие каких-либо других решений в области натуральных чисел.
Мой друг, в следующем письме я открою тебе ещё одну "тайну": полностью решить это уравнение можно элементарно в рамках нашей "Изящной арифметики"! К тому же, поскольку эта "тайна" имеет прямое отношение к Великой (Большой, Последней) Теореме Ферма, я решил о ней рассказать в первую очередь, а затем по мере возможности - о других "тайнах", которые я обещал здесь раскрыть, но которые, пожалуй, не так интересны всякому математику как любителю, так и профессионалу (я надеюсь на то, что тебе здесь интересны все мои "тайны," так как они ожидаются - поверь! - не менее "изящными" по сравнению с тем материалом, который был уже изложен в предыдущих моих письмах!).
Всего доброго и удачи тебе!