...незабвенному любителю "Изящной арифметики"
___________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Здравствуй, мой друг!
Ах, если ты вдруг (рифма - случайная!) захочешь внимательно прочесть (ещё раз?) 3-е письмо, тогда обрати внимание на заключительную часть 7-го абзаца. В частности, - на такие мои слова: "...существует весьма простой способ, который здесь привёл бы к ограничению ss+tt<pp. Мы к нему тоже обратимся в какой-нибудь иной раз..." (при сохранении делимости p\ss+tt, естественно).
Увы! Я был настолько увлечён иным взглядом на мой способ "монотонного спуска" из 2-го письма в связи с завершением доказательства Теоремы Ферма/Эйлера, что не заметил, как вошёл в раж. В результате, опубликовал ещё два (открытых!) письма: 4-е и 5-е (всё для тебя! но, возможно, одно из них и вовсе лишнее - ценность 5-го для тебя не так уж велика и как художественное произведение). В них я предлагал разные способы достижения даже такого неравенства 1+tt<pp (достаточного для нас, но не обязательного) с той же делимостью, что приводило к нелепости в случае с простым числом p=4[p/4]+3.
Подспудно получилась некая моя провокация с целью побуждения в тебе интереса к какому-нибудь учебнику по Арифметике, с помощью которого ты наверняка бы смог найти ещё более простой способ, и к тому же, не имеющий никакого отношения к моим "выкрутасам"!
В самом деле, вспомним, в том же письме было получено: p\ss+tt и p[\]st, где натуральные числа s,t оказались в качестве остатков от (неточного) деления первоначально заданных чисел на простое число p с естественным ограничением: s<p, t<p. Заодно учтём: поскольку простое число p имеет вид p=4[p/4]+3, оно больше двойки (p>2) и естественно нечётное.
Теперь, убедившись в том, что вместе с суммой ss+tt и другие суммы квадратов ss+(p-t)(p-t), (p-s)(p-s)+tt, (p-s)(p-s)+(p-t)(p-t) тоже делятся на число p (например: (p-s)(p-s)+tt = p(p-2s)+ss+tt//p), нам достаточно лишь обнаружить такую среди всех четырёх, которая меньше числа pp. Для этого можно было бы учесть следующее: либо s<p/2, либо p-s<p/2 (также и с числами t, p-t). Если, к примеру, дано s>p/2, тогда мы имеем p-s<p/2, поскольку иначе получилась бы нелепость: p=s+(p-s)>p/2+p/2, p>p. Таким образом, нетрудно найти одну из четырёх предлагаемых здесь сумм, которая меньше числа pp.
Мой друг, если тебя смущает, возможно, неведомое тебе так называемое дробное (нецелое) число p/2, которое я привлёк здесь для поиска необходимой суммы двух квадратов, тогда можно воспользоваться другой альтернативой. Например, в качестве лёгкого упражнения могу тебе предложить следующее. Справедливо одно из двух: либо s<(p+1)/2, либо p-s<(p+1)/2 (и для чисел t, p-t также). Пусть оказалось, что s>(p+1)/2, тогда: p-s<(p+1)/2 (иначе, вновь получится нелепость: p>p+1). И в крайнем случае, когда s=(p+1)/2, тоже имеет место искомое p-s=(p-1)/2<(p+1)/2. Поэтому очевидно, что найдётся сумма, которая меньше числа (p+1)(p+1)/2. Таким образом, нам остаётся лишь учесть справедливое неравенство (p+1)(p+1)/2 < pp.
Итак, я надеюсь на твоё понимание всего того, что изложено выше. Ну а если же такая "провокация" тебя огорчила (мягко говоря?), то прошу принять это моё письмо как некое покаяние перед тобой... Возможно, ты сможешь простить меня (окунувшись полностью в область целых чисел), когда узнаешь о так называемом "централизованном" остатке от деления числа на некоторое другое и, соответственно, о пользе такого новшества.
До очередной встречи, мой друг, и всего доброго тебе!
_____________
PS: На всякий случай (в честь моего покаяния!) напомню тебе смысл некоторых обозначений:
а) p\ss+tt, 1+tt//p - делимость чисел ss+tt, 1+tt на число p (данные суммы делятся точно на p, кратны числу p);
б) [p/4] - целая часть (неточного деления p/4, когда p>3) как некое натуральное число (оно единственное), удовлетворяющее неравенствам 4[p/4]<p<4[p/4]+4 (для знатоков рациональных чисел - это попросту целая часть дробного числа p/4: [p/4]<p/4<[p/4]+1, а когда p=3, мы имеем [3/4]=0);
в) p[\]st - число p (точно) не делит число st (st не делится на p, оно не кратно числу p).