Возможно некоторым может показаться, что «топологические» характеристики числа имеют значение для квадратов и кубов только третьей и четвёртой степени. Но возьмем для примера магический квадрат 6 на 6, известный под именем китайского математика Ян Хуэя, жившего в ХIII веке. Состоящий из 36 чисел и имеющий магическую константу 111.
27 29 2 4 13 36 111
9 11 20 22 31 18 111
32 25 7 3 21 23 111
14 16 34 30 12 5 111
28 6 15 17 26 19 111
1 24 33 35 8 10 111
111 111 111 111 111 111
Нумерически сложим двузначные числа внутри таблицы:
9 2 2 4 4 9 30
9 2 2 4 4 9 30
5 7 7 3 3 5 30
5 7 7 3 3 5 30
1 6 6 8 8 1 30
1 6 6 8 8 1 30
30 30 30 30 30 30
Как видите получается, удивительная картина, все первочисла стоят попарно, а некоторые сгруппированы по четыре в одну группу. При этом можно допустить , что последний столбец, возможно перенести на первое место, сгруппировав таким образом, все числа в группу из четырёх чисел.
36 27 29 2 4 13 111 9 9 2 2 4 4 30
18 9 11 20 22 31 111 9 9 2 2 4 4 30
23 32 25 7 3 21 111 5 5 7 7 3 3 30
5 14 16 34 30 12 111 5 5 7 7 3 3 30
19 28 6 15 17 26 111 1 1 6 6 8 8 30
10 1 24 33 35 8 111 1 1 6 6 8 8 30
111 111 111 111 111 111 30 30 30 30 30 30
Как видите магическая константа осталось неизменна, но «топологически» (или нумерически) изменённый квадрат Ян Хуэя стал более понятным. Так как его можно свести к простейшему неидеальному магическому квадрату 3 на 3:
9 2 4 15
5 7 3 15
1 6 8 15
15 15 15
Не идеальному, так как сумма его диагоналей не совпадает с магической константой 15.
По существу, магический квадрат Ян Хуэя 6 на 6 состоит из 9 двойных пар, при нумерическом сложении дающие свою топологическую (или нумерическую) сущность. Вот эти девять квадратов 2 на 2:
19 28 47 1 1
10 1 11 1 1
29 29
29 2 31 2 2
11 20 31 2 2
40 22
3 21 24 3 3
30 12 42 3 3
33 33
4 13 17 4 4
22 31 53 4 4
26 44
23 32 55 5 5
5 14 19 5 5
28 46
6 15 21 6 6
24 33 57 6 6
30 48
25 7 32 7 7
16 34 50 7 7
41 41
17 26 43 8 8
35 8 43 8 8
52 34
36 27 63 9 9
18 9 27 9 9
54 36
А теперь для образца построения магического квадрата 6 на 6 , предлагаю взять топологическую схему идеального квадрата 3 на 3, где и в диагоналях есть сумма магической константы 15. Известный нам как квадрат Сатурна.
4 9 2 15
3 5 7 15
8 1 6 15
15 15 15
Соответственно берём в виде первокирпичиков, выше приведенные девять квадратов 2 на 2.
Знакомьтесь, идеальный квадрат 6 на 6 , с магической константой не только в строках и столбах, но и в диагоналях 111:
4 13 36 27 29 2 111
22 31 18 9 11 20 111
3 21 23 32 25 7 111
30 12 5 14 16 34 111
17 26 19 28 6 15 111
35 8 10 1 24 33 111
111 111 111 111 111 111
Нумерически он выглядит, так:
4 4 9 9 2 2
4 4 9 9 2 2
3 3 5 5 7 7
3 3 5 5 7 7
8 8 1 1 6 6
8 8 1 1 6 6
Соответственно если магический квадрат 6 на 6 , имеет все признаки, магического квадрата Сатурна, а следовательно из него тоже можно строить супермагические квадраты. Ниже приведён квадрат 18 на 18, построенный на примере идеального магического квадрата Альфабет 6 на 6.
112 121 144 135 137 110 292 301 324 315 317 290 40 49 72 63 65 38 2925
130 139 126 117 119 128 310 319 306 297 299 308 58 67 54 45 47 56 2925
111 129 131 140 133 115 291 309 311 320 313 295 39 57 59 68 61 43 2925
138 120 113 122 124 142 318 300 293 302 304 322 66 48 41 50 52 70 2925
125 134 127 136 114 123 305 314 307 316 294 303 53 62 55 64 42 51 2925
143 116 118 109 132 141 323 296 298 289 312 321 71 44 46 37 60 69 2925
76 85 108 99 101 74 148 157 180 171 173 146 220 229 252 243 245 218 2925
94 103 90 81 83 92 166 175 162 153 155 164 238 247 234 225 227 236 2925
75 93 95 104 97 79 147 165 167 176 169 151 219 237 239 248 241 223 2925
102 84 77 86 88 106 174 156 149 158 160 178 246 228 221 230 232 250 2925
89 98 91 100 78 87 161 170 163 172 150 159 233 242 235 244 222 231 2925
107 80 82 73 96 105 179 152 154 145 168 177 251 224 226 217 240 249 2925
256 265 288 279 281 254 4 13 36 27 29 2 184 193 216 207 209 182 2925
274 283 270 261 263 272 22 31 18 9 11 20 202 211 198 189 191 200 2925
255 273 275 284 277 259 3 21 23 32 25 7 183 201 203 212 205 187 2925
282 264 257 266 268 286 30 12 5 14 16 34 210 192 185 194 196 214 2925
269 278 271 280 258 267 17 26 19 28 6 15 197 206 199 208 186 195 2925
287 260 262 253 276 285 35 8 10 1 24 33 215 188 190 181 204 213 2925
2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925 2925
Здесь и в диагоналях соблюдается равенство магических констант.
Соответственно не только из топологически (нумерически) равных квадратов 2 на 2 можно строить супермагичесие квадраты но и из топологически (нумерически) равных квадратов 3 на 3, 4 на 4 и т. д. и т. п.
Пример:
28 73 10 111
19 37 55 111
64 1 46 111
111 111 111
PS от 26.06.2015 есть небольшое продолжение в иследовании магического квадрата 6 на 6 в миниатюре: магический квадрат MMLI - http://www.proza.ru/2015/06/26/944
PS от 14.03.2018 все красивости о квадрате 6 на 6
http://www.proza.ru/2017/11/18/1224