Форма, в которой Зенон представил свои апории не сохранилась. Апории дошли до нас в пересказе их сути. Важнейшими считаются три апории: «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела». В чём их суть, почему они важнейшие и как взаимосвязаны, попробуем разобраться.
Вот текст апорий в формулировке Аристотеля:
«Дихотомия»
То, что движется, должно достичь середины пути, прежде чем достигнет цели.
«Ахиллес и черепаха»:
Медлительнейшее – когда оно бежит – никогда не будет догнано быстрейшим. Ибо прежде, чем это может произойти, необходимо, чтобы преследователь прибыл в то место, откуда стартовал преследуемый; так что необходимо, чтобы более медленный всегда был несколько впереди.
«Стрела»
Если всегда всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент "теперь" всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна.
Эти формулировки лаконичны, как и положено высказываниям мудрецов. Ведь в них не должно быть ничему кроме сути. Но важна и яркая, запоминающаяся форма. Ведь высказывания должны запоминаться и передаваться без искажений. По своей сути, высказывания мудрецов — это афоризмы – крылатые выражения.
Только так утверждения мудрецов, не будучи высеченными в камне, опираясь лишь на такую хрупкую субстанцию как память поколений, оказывались способны двигаться против течения реки забвения, очищающей историю от всего мимолётного, случайного, обыденного.
В поисках формы и смысла апорий Зенона придётся вернуться к истокам, скрытым пеленой невообразимой меры времени в две с половиной тысячи лет, на благодатную землю Эллады, омытую тёплыми морями, выбранную античными богами для посвящения избранных смертных премудростям управления величайшим даром жизни на прекраснейшей планете.
Здесь, в шестом веке до нашей эры обосновался первый философ Пифагор – основатель пифагорейской школы. Он утверждал: Мудрые только боги. Я же только люблю мудрость.
Здесь же в школе Парменида в городе Элея зародилась диалектика - искусство ведения спора, ведущего не к войнам, а к истине.
Мудрецы не произносили слова, не произносили длинные речи. Они утверждали. Утверждали и доказывали утверждения, превращая их в истины, и тем самым, заслужили право именоваться мудрецами.
Утверждения облекались в запоминающуюся форму, зримый символ - образ. Так утверждения обретали крылья, несущие их в пространстве и временах. Так утверждения становились, способными проникать в чужие земли, преодолевать человеческие века, исторические эпохи, тысячелетия.
Могущественные правители искали совета мудрецов, ведь с их помощью можно было выигрывать войны не начиная их. В школах мудрецов учились риторике - искусству убеждения.
Представитель основанной Парменидом в городе Элея школы - Зенон Элейский утверждал: лучший способ победить в споре - согласиться с утверждением соперника и довести это утверждение до явного противоречия. Особое значение уделялось форме утверждений. Прояснение очевидности считалось критерием истины.
Пифагорейцы и Элеаты при близости по многим вопросам, находились в состоянии диалектического спора по ряду утверждений.
Пифагорейцы ввели понятия точки и линии, состоящей из бесконечного количества точек. Отрезки линий были мерой длины, их можно было делить до бесконечности.
Пифагорейцами была составлена таблица из десяти пар противоположностей:
Предельное (конечное) — беспредельное (бесконечное), единое — множественное… Одна из пар: покоящееся - движущееся.
Элеаты выступали против бесконечной делимости и против противопоставления покоя и движения.
Их ответом были апории Зенона. Попробуем их привести в форме утверждений.
«Дихотомия».
Я, Зенон Элейский, ученик Парменида утверждаю: никакая мера длины не может делится бесконечно. Иначе никто не сможет преодолеть даже самый короткий путь.
Ведь для этого потребуется преодолеть сначала половину пути, потом половину оставшегося, и так до бесконечности.
Не закончится путь – завершиться жизнь.
«Ахиллес и черепаха».
Я, Зенон Элейский, ученик Парменида утверждаю: никакая мера времени не может делится бесконечно. Ведь иначе быстрейший никогда не догонит медленнейшего.
Ведь вначале ему надо затратить время для прибытия в точку, где был медленнейший, и где его уже нет. Снова прибыть в точку, покинутую медленнейшим и так до бесконечности.
Не завершится преследование быстрейшим медленнейшего, завершится жизнь одного из них.
«Стрела».
Я, Зенон Элейский, ученик Парменида утверждаю: покой и движение суть одно и то же.
Летящая стрела в каждую наименьшую меру времени не покидает равную себе меру пути и, следовательно, покоится. Но так происходит и в любую из наименьших мер времени полёта стрелы. Следовательно, движение есть последовательность состояний покоя.
Теперь мы можем понять, что эти три апории Зенона связаны между собой как понятие движения и понятия мер длины и времени.
С вершины математических достижений апория «Дихотомия» представляется следующей задачей
Дано:
скорость Ахилла: Va,
расстояние до мирно дремлющей на солнышке коварной черепахи: L.
Условие:
Проходить путь отрезками, равными половине остающегося пути.
Необходимо:
Определить конечно ли время завершения пути.
Решение:
Обозначим натуральным числом n номер шага от n = 1.
Последовательность прохождения пути выглядит следующим образом
L * (1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …)
Весь путь будет равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
L * СУММА от n=1 до бесконечности ряда (1/2)^n
Тогда:
Т завершения = (L/Va) * СУММА от n=1 до бесконечности ряда (1/2)^n
Для нахождения суммы ряда можно воспользоваться коллективным интеллектом математиков - одним из их сайтов, например, math24.biz/sum.
Вот уж где каждый может принять участие в математическом изобличении Зенона.
Здесь формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы уже установлен равным этому пугающему значению «+бесконечность». Как на левой части рисунка.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.
Тогда время завершения пути:
Т = L/Va.
Если расстояние до черепахи не равно бесконечности и, если скорость быстроногого Ахиллеса не равна нулю, то величина T конечная, что и требовалось доказать.
Для решения апории «Ахиллес и черепаха» будем использовать тех же героев, считая, что коварная черепаха не пострадала от предыдущей встречи с Ахиллесом.
Дано:
скорость коварной черепахи: Vч;
скорость Ахилла в К раз быстрее: Va = K*Vч,
где К – любое действительное число больше 1;
начальное расстояние до уползающей от Ахиллеса черепахи: L
Условие:
Черепаха движется непрерывно.
Ахиллес преследует черепаху, но движется этапами, в каждом скорость черепахи
для Ахиллеса равна нулю. После прибытия в точку, где должна быть черепаха,
выясняется, что она успела уползти в новую точку. Этап повторяется для нового
расстояния.
Необходимо:
Определить конечно ли время завершения погони.
Решение:
Последовательность прохождения выглядит следующим образом
t1 = L/Va = L/(K*Vч) = (L/Vч) * (1/K)
l2 = t1*Vч t2 = l2/(K*Vч)= (t1*Vч)/K*Vч)= t1/K = (L/Vч) * (1/K)^2
…
В итоге получает знакомый числовой ряд, но с произвольным K, по условию большим единицы.
Т погони = (L/Vч) * (СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/K)^(n))
Решать придётся в общем виде.
Общее решение для нахождения суммы (S) бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1/(1-q)
где b1 - первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
b1 находим при n=1.
b1 = (1/K)
q в нашем случае равно 1/K
тогда:
S = (1/K)/(1 – (1/K) = 1/(K - 1)
Соответственно
Т погони = (L/Vч) *1/(K - 1)
По условию K >1
Если Ахиллес не будет плестись со скоростью, близкой скорости черепахи, то время преследования будет конечно.
Для наглядности покажем длину пути Ахиллеса до поимки им черепахи.
L погони = Va * Т погони= K * Vч *(L/(Vч) * (СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/K)^(n))
L погони = K * L * (СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/K)^(n))
Множитель К можно внести под знак суммы
L погони = L * (СУММА от 1 до бесконечности ряда K * (1/K)^(n))
и для определения расстояния преследования вновь воспользоваться сайтом math24.biz/sum.
При K = 2 Ахиллес пробежит 2 L
При K = 3 Ахиллес пробежит 1,5 L
При K = 10 Ахиллес пробежит 10/9 L (правая часть рисунка)
Это вполне конечные расстояния.
Доказательства Зенона апорий «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха» пали в лучах науки математики. Черепаха оказалась вовсе не коварным, а вполне себе симпатичным существом.
Однако, утверждения Зенона удивительным образом остались верными.
Более того, они оказалась на передовом фронте битвы научных теорий. С одной стороны, квантовая физика, успешно применившая квантовую теорию поля к электромагнитным, сильным, и электрослабым взаимодействиям, нацелена на квантование гравитационного поля. С другой стороны, гравитационное поле, хоть и искривлённое гравитацией, но непрерывное пространство общей теории относительности.
Линия фронта пролегает на предельно малых расстояниях порядка планковской длины (1.6*10 в минус 35 степени метра). Постоянная Планка — «достаточно безумное» порождение квантовой физики. В то же время линия фронта проходит в условиях запредельной степени сжатия чёрных дыр — этого мрачного пожирателя звёзд, предсказанного общей теорией относительности. И эту границу, Ахиллесу придётся преодолеть.
В результате диалектического, научного спора, преодолевшего столетний рубеж, указанные научные направления породили теории квантовой гравитации.
В 2020 году вышел перевод книги «Нереальная реальность», где популярно излагается теория петлевой квантовой гравитации. В ней и пространство и время дискретны, как и утверждалось в апориях «Дихотомия и «Ахиллес и черепаха».
Автор книги Карло Ровелли - один из основателей теории петлевой квантовой гравитации. Вот его заключение относительно судьбы преследователя черепахи Зенона:
«Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зёрен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться всё ближе и ближе к черепахе, пока, наконец не настигнет её одним квантовым скачком».
Не правда ли, знакомое по апории «Стрела» утверждение в новой формулировке: движение – последовательность состояний покоя и квантовых скачков между ними.
Такова на данный момент драматическая развязка парадокса Зенона.
P. S.
Внимательный исследователь бесконечных сумм может обнаружить весьма загадочные числа. Например, 10/9. Это вполне конечное число, но если взглянуть на него пристальным взглядом Зенона, то появится повод для новой апории.
«Апория 10/9»
Я, вдумчивый почитатель Зенона Элейского, утверждаю: конечное и бесконечное суть одно и то же.
Ведь иначе, рациональное число, записанное как правильная дробь, может не быть равно этому же числу, записанному как десятичное число без каких либо дополнительных соглашений и округлений.
Доказательство от обратного: Начнём записывать на бумаге чернилами конечное число 10/9 в строгой десятичной форме: 1,11111111111… Число никогда не будет записано до последнего десятичного знака – закончится бумага, или чернила. Так же и для любого иррационального числа, десятичные знаки которого ещё и придётся вычислять.
Этот мир всё ещё полон загадок, а потому остаётся интересным для пытливого ума, так же, как и тысячи лет назад.