Не будем тратить времени и тормозить Ахилла готового настичь коварную черепаху.
Дано: Скорость черепахи - Vч, скорость Ахилла - Vа, Расстояние между ними - L.
Найти: время сближения - T, при условии, что оно равно сумме времён прохождения половин остающегося между ними расстояния.
T = (1/2)*L/(Va-Vч) + (1/2)^2*L/(Va-Vч)+….+ (1/2)^n*L/(Va-Vч) при n стремящемся к бесконечности, где ^n означает возведение в степень n.
Упростим выражение
Т = (L/( Va-Vч))*(СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/2)^n)
Для нахождения суммы ряда можно воспользоваться одним из математических сайтов (концентрирующих достижения современной математики), например,math24.biz/sum.
Вот уж где каждый может принять участие в математическом изобличении Зенона.
Здесь (см. рисунок) формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы устанавливается равным этому пугающему значению «+ бесконечность». Как на рисунке.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.
Тогда время сближения
Т = L/( Va-Vч).
Оно конечно и предсказуемо.С точки зрения математики парадокс заключался в том, что Зенон обычную единицу представил в неразрешимом для своего времени виде.
Конечно великий мудрец Зенон может сказать: Вы думали тысячу лет над одним вариантом задачи, а если бы Ахилл приближался каждый раз на 2/3 расстояния или любое другое число меньшее единицы?
Ответ на этот вопрос также уже готов, ведь математика не решает частные задачи, она всегда стремится найти общее решение для множества подобных задач. В данном случае мы имеем дело с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями для которых достаточно задать первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (меньший единицы по модулю).
Обозначим часть пути, которую каждый раз отмеряет от остатка Ахилл как k/m, где k и m любые положительные целые числа, и k < m. Общее решение будет иметь вид:
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1) )
Собственно, сама бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова:
СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1)
Общее решение для нахождения суммы(S)бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1/(1-q)
где b1 - первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
b1 находим при n=1.
b1 = ((m-k)/m)^0 = 1
q в нашем случае равно(m-k)/m
тогда:
S = 1/(1 – ((m-k)/m)) = m/k
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(m/k) = L/( Va-Vч)
В результате мы получили всё то же известное (неоднократно истоптанное) решение для равномерного прямолинейного движения. Результат определяется только скоростью сближения Ахилла и черепахи, и никак не зависит от хитроумных рассуждений наблюдающего за ними Зенона.
Парадокс Зенона решён. Ахилл неизбежно догоняет коварную черепаху. Собственно, и черепаха уже никакая не коварная. Это обычное, в чем-то даже симпатичное существо.
Но, повержен ли Зенон? Давайте вспомним, что собственно хотел доказать Зенон своим парадоксом:
То, что Ахилл никогда не догонит черепаху?
Или то, что отрезок не может состоять из бесконечно малых частей?
Зенон придумал свой парадокс пытался показать абсурдность деления отрезка на бесконечно малые части. Зенон пытался доказать от обратного, что любой отрезок состоит из конечного числа частей и что бесконечно малого не существует. Что делать, бесконечности никогда не нравились мудрецам.
Зенон не забыт, более того, он оказалась на передовой битвы научных теорий. С одной стороны квантовая физика, успешно применившая квантовую теорию поля к электромагнитным, сильным, и электрослабым взаимодействиям, нацелена на квантование гравитационного поля. С другой стороны гравитационное поле – это, хоть и искривлённое гравитацией, но непрерывное пространство общей теории относительности.
Линия фронта пролегает на предельно малых расстояниях порядка планковской длины (10 в минус 33 метра). Постоянная Планка — «достаточно безумное» порождение квантовой физики. В то же время линия фронта проходит в условиях запредельной степени сжатия чёрных дыр — этого мрачного пожирателя звёзд, предсказанного общей теорией относительности. И как бы ни мала была граница, Ахиллу придётся её пересечь.
В результате битвы научных теорий, преодолевшей столетний рубеж, появились теории квантовой гравитации, пытающиеся примерить физиков. В 2020 году вышел перевод книги «Нереальная реальность» написанной одним из основателей теории петлевой квантовой гравитации Карло Ровелли. Вот его заключение относительно судьбы незадачливого преследователя черепахи Зенона:
«Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зёрен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться всё ближе и ближе к черепахе, пока, наконец не настигнет её одним квантовым скачком».
Такова на данный момент драматическая развязка парадокса Зенона.
P.S.
Здесь в один парадокс объёдинены две апории Зенона: «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха». Параметров всего три:
скорость Ахилла,
скорость черепахи,
отношение в котором делится отрезок k/m.
Для «дихотомии»: скорость Ахилла = V, скорость черепахи = 0, k/m = 1/2;.
Для «Ахиллес и черепаха»: скорость Ахилла = 10V, скорость черепахи = V, k/m = 9/10. Вводное слово апории "допустим" подразумевает также любое другое отношение деления отрезка.
Общее в апории и парадоксе то, что логически верные рассуждения приводят к логическому противоречию. Парадоксы, несомненно, указывают на ошибку в исходных положениях или в цепочке логических рассуждений. О логике как первонауке, о применении логики для решения канонических задач и популярных головоломок можно прочитать здесь: "Первонаука логика" http://proza.ru/2020/05/03/1236