Джон Нэш и Блистательный ум

ноябрь 1998 года

автор статьи: John Milnor, director of the Institute for Mathematical
Sciences at the State University of New York


Джон Нэш и "Блистательный ум"

Нэш-младший опубликовал свою первую статью с его отцом в семнадцать лет. В его тезисах, которые он разработал в возрасте двадцати одного года, представлены ясные и элементарные математические идеи, которые открыли медленный переворот в таких разнообразных областях, как экономика, политические науки, и эволюционная биология. В течение следующих девяти лет, в удивительном всплеске математической деятельности, он искал и часто решали самые сложные и наиболее важные проблемы, которые он смог найти в геометрии и анализе. В то время умственное расстройство привело его к тридцати годам болезни, в течении которых были частые госпитализации, а также ремиссии время от времени. Тем не менее, за последние десять лет ярко выраженное пробуждение и возвращение к математике имели место. Важность работы Нэша была признана многими почестями: премией фон Неймана, стипендией Эконометрического общества и Американской академии искусств и наук, членством в Национальной академии наук США, и в качестве кульминации Нобелевской премией.

Блистательный ум

В биографии, написанной Сильвией Назар, "Блистательный ум" (1), она рассказывает эту историю в тщательно документированных деталях, основываясь на сотнях интервью с друзьями, родственниками, знакомыми и коллегами, а также изучая имеющиеся документы. В самом деле, она очень талантливый интервьюер, а в некоторых случаях, кажется, она раскапывает материал далеко за пределами того, что можно было бы ожидать. Она дает подробное описание обсуждений, не только о Фаилдс Мэдалс 1958 года, где Нэш был одним из возможных кандидатов, но даже о Нобелевской премии по экономике за 1994 год – обсуждений, которые были настолько взрывоопасны, что они привели к радикальной перестройке премии и полному изменению в комитете по назначениям. В целом ее источники тщательно определены, но в этих конкретных случаях они остаются анонимными.

Хотя образование Назар более экономическое, чем математическое, она способна показать [начальный] фон, краткие описания и точные ссылки для всех основных работ Нэша. Кроме того, она проделала огромную работу по описанию обстановки, мест и лиц, сыгравших роль в его жизни. (Математические формулировки и имена собственные иногда немного искажены, но проницательный читатель обычно может понять, что имеется в виду.) Таким образом, мы находим интересные сведения об истории Carnegie Tech, Princeton, Rand Corporation, MIT, Institute for Advanced Study, и Courant Institute, а также информацию о многих хорошо известных и не столь знаменитых личностей математиков. Обсуждение приводит к многим интересным малоизученным областям: ее описание MIT переплетается с обсуждением эры Маккарти, в то время как ее описание Rand Corporation и фон Неймана приводит к дискуссии об отношении теории игр к политике холодной войны. (Фон Нейман, который выступал за превентивный удар против Советского Союза, возможно, был прообразом для Kubrick’s Dr. Strangelove).

Любое обсуждение книги Назар должно указать на центральную этическую дилемму: Это несанкционированная биография, написанная без его согласия, или описание математической деятельности Нэша, сопровождающееся описанием в мельчайших подробностях его запутанной личной жизни. Этот материал, безусловно, представляет интерес для широкой аудитории. (Оливер Сакс, цитируемый в аннотации к изданию, пишет, что книга является "чрезвычайно динамичной, замечательна своими способностью проникновения в суть и гениальнисти, и шизофрении с симпатией".)

Неизбежно, однако, публикация такого материала предполагает резкое нарушение неприкосновенности частной жизни его героев. Книга посвящена Алисии Нэш, первой его жене, а позже его неизменной спутнице, чья поддержка [на пути] через невозможные трудности явно сыграли важную роль в его восстановлении.


Научная работа Джона Нэша

Чистые математики склонны судить любую работу в области математических наук на основе его математической глубины и той степени, в которой он вводит новые математические идеи и методы, или решает давние проблемы. С этой точки зрения, призовая работа Нэша является гениальной, но не удивительной, в ней применялись известные методы, в то время как его последующая математическая работа является гораздо более богатой и важной. В последующие годы он доказал, that every smooth compact manifold can be realized as a sheet of a real algebraic variety(2), proved the highly anti-intuitive C1-isometric embedding theorem, introduced powerful and radically new tools to prove the far more difficult C1- isometric embedding theorem in high dimensions, and made a strong start on fundamental existence, uniqueness, and continuity theorems for partial differential equations. (Сравнить [K1] и [M] для некоторого дальнейшего обсуждения этих результатов.)

*[чисто математические формулировки я оставлю без перевода, поскольку не знакома с принятой у математиков терминологией]


Однако, когда математика применяется к другим областям человеческого знания, мы должны действительно задать совсем другой вопрос: В какой степени новая разработка увеличивает наше понимание реального мира? Исходя из этого, тезис Нэша был не чем иным, как революцией. (Сравните [N21], а также [U].) Поле теории игр было создано Джоном фон Нейманом и было написано в сотрудничестве с Моргенштерном. (Одна наиболее ранняя статья была написана Цермело.) Теория фон Неймана-Моргенштерна с нулевой суммой игры двух лиц была чрезвычайно удовлетворительна, и, конечно, была применима к войне, как это было убедительно отмечено военными.

Тем не менее, было несколько других приложений. Их усилия по разработке теории N лиц или игр с не нулевой суммой для использования в экономической теории были не очень полезн ы в реальности. (Оба, Нэш и рецензент, участвовали в одном экспериментальном исследовании игр N лиц [N10]. Насколько я знаю, ни одно из таких исследований никогда не было в состоянии обнаружить существенные корреляции между "решением" фон Неймана-Моргенштерна и реальным миром. )

Нэш, в его диссертации, был первым, кто подчеркнул различие между кооперативными играми, такими, которые изучали фон Нейман и Моргенштерн (грубо говоря, это игры, где участники могут сидеть вокруг прокуренной комнате и вести переговоры друг с другом), и теми более фундаментальными невзаимовыгодными играми, где нет таких переговоров. На самом деле, кооперативный случай, как правило, может быть сведен к некооперативному случаю путем включения возможных форм сотрудничества в формальную структуру игры. Нэш начал заниматься кооперативной теорией в его работе [N5] по проблеме переговоров, в какой-то степени задуманной в то время, когда он был еще студентом. (Более раннее исследование связано с Цойтене.) В одном примечании в этой статье Нэш предположил, что каждая кооперативная игра должна иметь значение, выражающее " полезность для каждого игрока из-за возможности участвовать в игре." Такае величина была введена Шепли несколько лет спустя.

Тем не менее, основной вклад, который привел к его Нобелевской премии, был в некооперативной теории. Нэш ввел фундаментальное понятие точки равновесия: набор стратегий различными игроками, такими, что ни один игрок не может улучшить свой результат, изменив только свою собственную стратегию. (Что-то очень похожее на эту концепцию было введено Курно более ста лет назад.) Оригинальным применением теоремы Брауэра о неподвижной точке, он показал, что по крайней мере одна точка равновесия всегда существует. (Для получения более подробных расчетов см. [OR], [M].)

На протяжении многих лет разработки из, казалось бы, простой идеи Нэша, привели к фундаментальным изменениям в экономике и политологии. Назар иллюстрирует влияние идей теории игр в долларах и центах, описывая в книге "Аукцион, величайший из всех" в 1994 году, когда правительство США распродали большую часть электромагнитного [частотного] спектра для коммерческих пользователей. Процедура мульти-раунда была тщательно разработана специалистами в теории игр аукционов, чтобы максимизировать как выигрыш правительству, так и полезность приобретенных длин волн для соответствующих покупателей. Результат был весьма успешным, в результате чего более $ 10 млрд получило правительство при обеспечении эффективного распределения ресурсов. В противоположность этому на аналогичном аукционе в Новой Зеландии, без такого тщательного теоретико-игрового дизайна, была катастрофа, в которой правительство получило лишь около 15 процентов своих ожидаемых доходов, и длины волн не были эффективно распределены. (В одном случае, студент из Новой Зеландии купил лицензию телевизионной станции за один доллар!)

Одним совершенно неожиданным триумфом теории равновесия стало его применение в области генетики и эволюционной биологии. Основываясь на пионерской работе Мейнарда Смита, идеи теории игр теперь применяются к конкуренции между различными видами или внутри одного вида. (Сравните [MS], [HS], [W]. Более точная форма этой теории, популяризированная Докинзом [D1], утверждает, что конкуренция существует даже между отдельными генами.) Также был интересный обратный поток идей, от эволюции обратно в экономику. Согласно Binmore (в [W]):

Несмотря на замечания Нэша в своей диссертации о возможной эволюционной (3) интерпретации идеи равновесия Нэша, внимание в то время было сосредоточено почти полностью на его интерпретации как единственно возможном результате осторожной аргументации со стороны идеально рациональных игроков. ... К счастью ... книга Мейнарда Смита "Эволюция и теория игр" отвлекла внимание теоретиков от их все более и более сложных определений рациональности. В конце концов, о насекомых вряд ли можно сказать, что они дума ют вообще, и поэтому рациональность не может быть столь важной, если теории игр каким-то образом удается прогнозировать их поведение при соответствующих условиях. Одновременно появление экспериментальной экономики выявило тот факт, что человеческие субъекты также не имеют большой встряски мышления. Когда они ищут путь к равновесию игры, они, как правило, используют метод проб и ошибок.

Во всех приложениях необходимо подчеркнуть одно очень важное следствие: Хотя теория равновесия, разработанн ая Нэшем и его преемниками, кажется, обеспечивает наиболее известное описание того, что может произойти в конкурентной ситуации, равновесие не обязательно является хорошим результатом для любого случая. В отличие от классической экономической теории Адама Смита, где свободная конкуренция приводит к наилучшему из возможных результатов, и в отличие от классической дарвиновской теории, где естественный отбор всегда приводит к улучшению вида, (4) фактическая динамика нерегулируемой конкуренции может иметь катастрофические последствия. Мы все знаем, что политический конфликт между странами может привести к гонке вооружений, и это плохо для всех заинтересованных сторон, а в крайних случаях может привести к совершенно ненужной войне. Аналогичным образом, в эволюционной теории гонка вооружений в пределах вида или между конкурирующими видами в течение геологического периода времени может быть чрезвычайно убыточной. (5) Действительно, кажется, вполне возможно, что естественный отбор может иногда приводить к тупику и возможному исчезновению. Вот слегка преувеличенная версия примера, который восходит к Дарвину. (Сравните [D3], [D4].) Предположим, что влюбленная павлиниха всегда выбирает павлина с самым роскошным хвостом. Это должно привести к эволюционной гонке вооружений, в течении которой хвосты становятся все больше, пока самцы не станут настолько неуклюжи, что они не смогут убежать от хищников.

Аналогичные комментарии относятся к экономической теории. В этом случае можно надеяться, что тщательно подобранное государственное регулирование может модулировать негативные последствия безудержной конкуренции и приведет к лучшему результату для всех заинтересованных сторон. Тем не менее, вопрос о том, кто же будет заниматься тщательным выбором, конечно, вопрос политики, и приводит к еще более сложной задаче теории равновесия.

1) Sylvia Nasar, A beautiful mind: A biography of John Forbes Nash Jr., Simon & Schuster, 1998, $ 25,00 в твердом переплете, 459 страниц, ISBN 0684819066. (Смотри также [Nas])

2) Артин и Мазур использовал эту работу [N7], чтобы доказать важный результат, что that every smooth self-map of a compact manifold can be approximated by one for which the number of periodic points of period p is less than some exponential function of. Вот уже более тридцати лет других доказательств не было известно. Тем не менее, Калошин недавно дал намного более простое доказательство, основанное на Weierstrass Approximation Theorem.

3) Здесь Binmore относится не к биологической эволюции, а скорее к динамическому процесс у, в котором повторяющиеся сценарии игры сходятся к равновесию. К сожалению, это обсуждение тезиса Нэша не появляется в его опубликованных работах.

4) По Дарвину, «Поскольку естественный отбор работает исключительно и на благо каждого существа, все телесные и умственные способности будут иметь тенденцию прогрессировать к совершенству». Тем не менее, он также высказал противоположное мнение. Сравните дискуссию "почему прогресс не исключает историю жизни" в Gould [G1]. К сожалению, было много ненужных недоразумений и плохое понимание между такими учеными, как Maynard Smith, которые работают с теоретическими моделями для эволюции, и теми, как Gould [G2], которые подчеркивают, что реальный мир намного сложнее, чем любая модель.

5) Сравните [DK], [D2]. При интерпретации фразы «гонка вооружений» для эволюционного конкурса, помните, что репродуктивный успех важнее боевой доблести. Лучшая эволюционная стратегия часто "делать любовь, а не войну"!

6) Историческая поправка: я утверждал в [M] (цитируемый Назар, стр 68), что идеи Нэша о desingularizing algebraic varieties восходят к началу 1950-ых. На самом деле, правильные даты 1963-64 (Назар, глава 42). работа Нэша, вероятно, впервые опубликована Nobile [No] в 1975 году.






NOVEMBER 1998 NOTICES OF THE AMS 1329

Notices of the AMS - American Mathematical Society

John Nash and “A Beautiful Mind”


John Milnor

John Forbes Nash Jr. published his first paper with his father at age seventeen. His thesis, at age twenty-one, presented clear and elementary mathematical ideas that inaugurated a slow revolution in fields as diverse as economics, political science, and evolutionary biology. During the following nine years, in an amazing surge of mathematical activity, he sought out and often solved the toughest and most important problems he could find in geometry and analysis. Then a mental breakdown led to thirty lost and painful years, punctuated by intermittent hospitalization, as well as occasional remission. However, in the past ten years a pronounced reawakening and return to mathematics has taken place. Meanwhile, the importance of Nash’s work has been recognized by many honors: the von Neumann Prize, fellowship in the Econometric Society and the American Academy of Arts and Sciences, membership in the U.S. National Academy of Sciences, culminating in a Nobel Prize.


A Beautiful Mind

Sylvia Nasar’s biography, A Beautiful Mind (1), tells this story in carefully documented detail, based on hundreds of interviews with friends, family, acquaintances, and colleagues, as well as a study of available documents. Indeed, she is a highly talented interviewer and in some cases seems to unearth material far beyond what one might expect. She gives detailed descriptions of the deliberations, not only for the 1958 Fields Medals, where Nash had been one possible candidate, but even for the 1994 Nobel Prize in Economics—deliberations that were so explosive that they led to a radical restructuring of the prize and a complete change in the nominating committee. In general her sources are carefully identified, but in these particular cases they remain anonymous.


Although Nasar’s training was in economics rather than mathematics, she is able to provide background, rough descriptions, and precise references for all of Nash’s major work. Also, she gives a great deal of background description of the places and persons who played a role in his life. (Mathematical statements and proper names are sometimes a bit garbled, but the astute reader can usually figure out what is meant.) Thus we find fascinating information about the history of Carnegie Tech, Princeton, the Rand Corporation, MIT, the Institute for Advanced Study, and the Courant Institute, and also information about many wellknown and not so well-known mathematical personalities. The discussion leads into many interesting byways: her description of MIT is interwoven with a discussion of the McCarthy era, while her description of the Rand Corporation and of von Neumann leads to a discussion of the relation of game theory to cold war politics. (Von Neumann, who advocated a preemptive strike against the Soviet Union, may have been the original model for Kubrick’s Dr. Strangelove.) Any discussion of Nasar’s book must point out a central ethical dilemma: This is an unauthorized biography, written without its subject’s consent or cooperation .

Nash’s mathematical activity was accompanied by a tangled personal life, which Nasar describes in great detail. This material is certainly of interest to a wide audience. (Oliver Sacks, quoted in the p u b l i s h e r ’ s blurb, writes that the book is “extraordinarily moving, remarkable for its sympathetic insights into both genius and schizophrenia”.)

Inevitably, however, the publication of such material involves a drastic violation of the privacy of its subject. The book is dedicated to Alicia Nash, first his wife and later his steadfast companion, whose support through impossible difficulties has clearly played a major role in his recovery.

Nash’s Scientific Work

Pure mathematicians tend to judge any work in the mathematical sciences on the basis of its mathematical depth and the extent to which it introduces new mathematical ideas and methods, or solves long-standing problems. Seen in this way, Nash’s prize work is an ingenious but not surprising application of well-known methods, while his subsequent mathematical work is far more rich and important. During the following years he proved that every smooth compact manifold can be realized as a sheet of a real algebraic variety(2), proved the highly anti-intuitive C1-isometric embedding theorem, introduced powerful and radically new tools to prove the far more difficult C1- isometric embedding theorem in high dimensions, and made a strong start on fundamental existence, uniqueness, and continuity theorems for partial differential equations. (Compare [K1] and [M] for some further discussion of these results.)

However, when mathematics is applied to other branches of human knowledge, we must really ask a quite different question: To what extent does the new work increase our understanding of the real world? On this basis, Nash’s thesis was nothing short of revolutionary. (Compare [N21], as well as [U].) The field of game theory was the creation of John von Neumann and was written up in collaboration with Morgenstern. (One much earlier paper had been written by Zermelo.) The von Neumann-Morgenstern theory of zero-sum two-person games was extremely satisfactory and certainly had application to warfare, as was amply noted by the military.

However, it had few other applications. Their efforts to develop a theory of n-person or non-zerosum games for use in economic theory were really not very useful. (Both Nash and the reviewer participated in one experimental study of n-person games [N10]. As far as I know, no such study has ever been able to detect much correlation between von Neumann-Morgenstern “solutions” and the real world.)

Nash in his thesis was the first to emphasize the distinction between cooperative games, as studied by von Neumann and Morgenstern (roughly speaking, these are games where the participants can sit around a smoke-filled room and negotiate with each other), and the more fundamental noncooperative games, where there is no such negotiation. In fact, the cooperative case can usually be reduced to the noncooperative case by incorporating the possible forms of cooperation into the formal structure of the game. Nash made a start on the cooperative theory with his paper [N5] on the Bargaining Problem, to some extent conceived while he was still an undergraduate. (A related, much earlier study is due to Zeuthen.) As one remark in this paper, Nash conjectured that every cooperative game should have a value which expresses “the utility to each player of the opportunity to engage in the game.” Such a value was constructed by Shapley a few years later.

However, the major contribution, which led to his Nobel Prize, was to the noncooperative theory. Nash introduced the fundamental concept of equilibrium point: a collection of strategies by the various players such that no one player can improve his outcome by changing only his own strategy. (Something very much like this concept had been introduced by Cournot more than a hundred years earlier.) By a clever application of the Brouwer Fixed Point Theorem, he showed that at least one equilibrium point always exists. (For more detailed accounts, see [OR], [M].)

Over the years the developments from Nash’s seemingly simple idea have led to fundamental changes in economics and political science. Nasar illustrates the dollars and cents impact of gametheoretic ideas by describing “The Greatest Auction Ever” in 1994, when the U.S. government sold off large portions of the electromagnetic spectrum to commercial users. A multiple-round procedure was carefully designed by experts in the game theory of auctions to maximize both the payoff to the government and the utility of the purchased wavelengths to the respective buyers. The result was highly successful, bringing more than $10 billion to the government while guaranteeing an efficient allocation of resources. By way of contrast, a similar auction in New Zealand, without such a careful game-theoretic design, was a disaster in which the government realized only about 15 percent of its expected earnings and the wavelengths were not efficiently distributed. (In one case, a New Zealand student bought a television station license for one dollar!)

One totally unexpected triumph of equilibrium theory has been its application to population genetics and evolutionary biology. Based on the pioneering work of Maynard Smith, game-theoretic ideas are now applied to the competition between different species or within a species. (Compare [MS], [HS], [W]. A more precise form of this theory, popularized by Dawkins [D1], holds that the competition is rather between individual genes.) There has also been an interesting reverse flow of ideas, from evolution back to economics. According to Binmore (in [W]):

Despite Nash’s remarks in his thesis about a possible evolutionary (3) interpretation of the idea of a Nash equilibrium, attention at the time was focused almost entirely on its interpretation as the only viable outcome of careful reasoning by ideally rational players. … Fortunately … Maynard Smith’s book Evolution and the Theory of Games directed game theorists’ attention away from their increasingly elaborate definitions of rationality. After all, insects can hardly be said to think at all, and so rationality cannot be so crucial if game theory somehow manages to predict their behavior under appropriate conditions. Simultaneously the advent of experimental economics brought home the fact that human subjects are no great shakes at thinking either. When they find their way to an equilibrium of a game, they typically do so using trial-and-error methods.

In all of the applications one very important corollary must be emphasized: Although equilibrium theory, as developed by Nash and his successors, seems to provide the best-known description of what is likely to happen in a competitive situation, an equilibrium is not necessarily a good outcome for anyone. In contrast to the classical economic theory of Adam Smith, where free competition leads to best-possible results, and in contrast to classical Darwinian theory, where natural selection always leads to improvement in the species,(4) the actual dynamics of unregulated competition can be disastrous. We all know that political conflict between nations can lead to an arms race, which is bad for everyone concerned, and in extreme cases can lead to totally unnecessary war. Similarly, in evolutionary theory an arms race within a species or between competing species over geological periods of time can be extremely detrimental.(5) Indeed, it seems perfectly conceivable that natural selection may sometimes lead to a dead end and eventual extinction. Here is a mildly exaggerated version of an example which goes back to Darwin. (Compare [D3], [D4].) Suppose that an amorous peahen will always choose the peacock with the most splendid tail. This must lead to an evolutionary arms race during which the tails get progressively larger, until the males become so clumsy that they cannot escape from predators.

Similar comments apply to economic theory. In this case, one hopes that carefully chosen government regulation can modulate the negative effects of unbridled competition and lead to a better outcome for all concerned. However, the question as to just who will do the careful choosing is of course a matter of politics and leads to an even more complicated problem for equilibrium theory.



1) Sylvia Nasar, A beautiful mind: A biography of John Forbes Nash Jr., Simon & Schuster, 1998, $25.00 hardcover, 459 pages, ISBN 0684819066. (See also [Nas].) 

2) Artin and Mazur used this work [N7] to prove the important result that every smooth self-map of a compact manifold can be approximated by one for which the number of periodic points of period p is less than some exponential function of p. For more than thirty years, no other proof was known. However, Kaloshin has recently given a much more elementary argument, based on the Weierstrass Approximation Theorem.


3) Here Binmore does not refer to biological evolution, but rather to a dynamic process in which repeated plays of a game converge to an equilibrium. Unfortunately, this discussion from Nash’s thesis does not appear in his published work.

4) According to Darwin, “As natural selection works solely by and for the good of each being, all corporeal and mental endowments will tend to progress towards perfection.” However, he also expressed a contrary view. Compare the discussion of “why progress does not rule the history of life” in Gould [G1]. Unfortunately, there has been much unnecessary misunderstanding and bad feeling between those like Maynard Smith who work with theoretical models for evolution and those like Gould [G2] who emphasize that the real world is more complicated than any model.

5) Compare [DK], [D2]. When interpreting the phrase “arms race” for an evolutionary contest, remember that reproductive success is more important than battle prowess. The best evolutionary strategy is often to “make love, not war”!

6) Historical correction: I claimed in [M] (quoted by Nasar, p. 68) that Nash’s ideas on desingularizing algebraic varieties date back to the early 1950s. In fact, the correct dates are 1963–64 (Nasar, Chapter 42). Nash’s construction was probably first published by Nobile [No] in 1975.


John Forbes Nash Jr., 1994.
Photo by Robert P. Matthews, courtesy of Communications Dept., Princeton University.


Publications by John Nash

[N1] J. F. NASH JR. (with J. F. NASH SR.), Sag and tension calculations
for wire spans using catenary formulas, Elect. Engrg.
(1945).
[N2] J. F. NASH JR., Equilibrium points in n-person games, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 36 (1950), 48–49. (Also in [K2].)
[N3] ———, Non-cooperative games, Thesis, Princeton University,
May 1950.
[N4] J. F. NASH JR. (with L. S. SHAPLEY), A simple three-person poker
game, Contributions to the theory of games, Ann. of Math.
Stud. 24, Princeton Univ. Press, 1950, pp. 105-116.
[N5] ———, The bargaining problem, Econometrica 18 (1950),
155–162. (Also in [K2].)
[N6] ———, Non-cooperative games, Ann. Math. 54 (1951),
286–295. (Also in [K2].)
[N7] ———, Real algebraic manifolds, Ann. Math. 56 (1952),
405–421. (See also Proc. Internat. Congr. Math., 1950,
(AMS, 1952), pp. 516–517.)
[N8] J. F. NASH JR. (with J. P. MAYBERRY and M. SHUBIK), A comparison
of treatments of a duopoly situation, Econometrica
21 (1953), 141–154.
[N9] ———, Two-person cooperative games, Econometrica 21
(1953), 128–140.
[N10] J. F. NASH JR. (with C. KALISCH, J. MILNOR, and E. NERING), Some
experimental n-person games, Decision Processes, (Thrall,
Coombs and Davis, eds.), Wiley, 1954, pp. 301-327.
[N11] ———, C1-isometric imbeddings, Ann. Math. 60 (1954),
383–396. (See also Bull. Amer. Math. Soc. 60 (1954), 157.)
[N12] ———, Results on continuation and uniqueness of fluid flow,
Bull. Amer. Math. Soc. 60 (1954), 165–166.
[N13] ———, A path space and the Stiefel-Whitney classes, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 41 (1955), 320–321.
[N14] ———, The imbedding problem for Riemannian manifolds,
Ann. Math. 63 (1956), 20–63. (See also Bull. Amer. Math.
Soc. 60 (1954), 480.)
[N15] ———, Parabolic equations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 43
(1957), 754–758.
[N16] ———, Continuity of solutions of parabolic and elliptic
equations, Amer. J. Math. 80 (1958), 931–954.
[N17] ———, Le probl;me de Cauchy pour les ;quations diff;rentielles
d’un fluide g;n;ral, Bull. Soc. Math. France 90
(1962), 487–497.
[N18] ———, Analyticity of the solutions of implicit function problems
with analytic data, Ann. Math. 84 (1966), 345–355.
[N19] ———, Autobiographical essay, Les Prix Nobel 1994, Stockholm:
Norsteds Tryckeri, 1995.
[N20] ———, Arc structure of singularities, Duke J. Math. 81
(1995), 31–38. (Written in 1966)
[N21] J. F. NASH JR. (with H. KUHN, J. HARSANYI, R. SELTEN,
J. WEIBULL, E. VAN DAMME, and P. HAMMERSTEIN), The work of
John F. Nash Jr. in game theory, Duke J. Math 81 (1995),
1–29.
In addition, there were also a number of Rand Corporation
memoranda written by Nash on diverse subjects such as machine
memories and parallel control (Nasar, pp. 403, 407, 411,
436), as well as an unpublished lecture at the World Congress
of Psychiatry in Madrid in 1996.






References

[AM]M. ARTIN and B. MAZUR, On periodic points, Ann. Math.
81 (1965), 82–99.
[C] A. A. COURNOT, Recherches sur les principes math;matiques
de la th;orie des richesses, 1838 (translation
by N. T. Bacon: Researches into the Mathematical
Theory of Wealth, McMillan, (1927).
[D1] R. DAWKINS, The Selfish Gene, Oxford Univ. Press,
1976.
[D2]———, The Extended Phenotype, Oxford Univ. Press,
1982.
[D3]———, The Blind Watchmaker, Norton, 1986.
[D4]———, River out of Eden, BasicBooks, Harper Collins,
1995.
[DK] R. DAWKINS and J. R. KREBS, Arms races between and
within species, Proc. Royal Soc. London B 205 (1979),
489–511.
[G1] S. J. GOULD, Full House, Harmony Books, 1996.
[G2] ———, Darwinian fundamentalism, New York Review
of Books, June 12, 1997, 34–37.
[HS] P. HAMMERSTEIN and R. SELTEN, Game theory and evolutionary
biology, Handbook of Game Theory with
Economic Applications, vol. 2, (Aumann and Hart,
eds.), Elsevier, 1994, pp. 929-993.
[Ka] V. KALOSHIN, Generic diffeomorphisms with superexponential
growth of numbers of periodic units, Princeton
Univ., in preparation.
[K1] H. KUHN, Introduction to “A celebration of John F. Nash
Jr.”, Duke J. Math 81 (1995), dedicated to Nash.
[K2] ——— (ed.), Classics in game theory, Princeton Univ.
Press, 1997.
[MS] J. MAYNARD SMITH, Evolution and the theory of games,
Cambridge Univ. Press, 1982.
[M] J. MILNOR, A Nobel prize for John Nash,6 Math. Intelligencer
17 (1995), 11–17; 56.
[Nas] S. NASAR, A beautiful mind, Vanity Fair (June 1998),
196–201, 224–230. (A highly condensed version of
the book, with color pictures).
[No] A. NOBILE, Some properties of the Nash blowing-up,
Pacific J. Math. 60 (1975), 297–305.
[OR] M. OSBORNEN and A. RUBINSTEIN, A course in game theory,
MIT Press, 1994.
[S] L. S. SHAPLEY, A value for n-person games, Contributions
to the Theory of Games II, Ann. of Math. Stud.
vol. 28, Princeton Univ. Press, 1953, pp. 307-317.
(Also in [K2])
[U] G. UMBHAUER, John Nash, un visionnaire de l’;conomie.
Gaz. Math. 65 (1995), 47–69.
[vN] J. VON NEUMANN, Zur Theorie der Gesellschaftspiele,
Math. Ann. 100 (1928), 295–320.
[vNM] J. VON NEUMANN and O. MORGENSTERN, Theory of
games and economic behavior, Princeton Univ. Press,
1944.
[W] J. WEIBULL, Evolutionary game theory, MIT Press,
1995. (Introduction by K. Binmore.)
[Zer]E. ZERMELO, ;ber eine Anwendung der Mengenlehre
auf die Theorie des Schachspiels, Proc. 5th International
Congress of Mathematicians, vol. 2, Cambridge
Univ. Press, 1913, 501–504.
[Zeu] F. ZEUTHEN, Problems of monopoly and economic
welfare, Routledge, London, 1930.