В.А.Беляев, В.Т.Поляковский
О приложении вероятностных моделей развития человечества к статистическим данным развития человечества и попытке извлечения результатов хронологического характера.
Или: о результатах применения так называемой «железной» модели к хронологии.
(Технически: везде по статье знак ‘ означает первую производную, а “ – вторую)
Специально для публикации на сайте proza.ru. После смерти В.А.Беляева его рисунки не сохранились, и в полном виде статью можно прочесть лишь в сборнике «Цивилизация знаний: инновационный переход к обществу высоких технологий. Труды IX международной научной конференции. М. 25-26.04.2008 г. Часть II. М.РосНОУ»
Данная статья носит черновой характер. В беловом виде статья фигурирует на a c a d e m i a . e d u / 4 4 8 7 1 4 2 1, пробелы убить.
Исходный материал: многочисленные статические данные о росте производства отдельных продуктов в частности, производства железа и динамики роста населения.
Задача: извлечь максимальное количество информации хронологического характера, в частности, попытаться ответить на вопрос о по выплавке первой тонны железа и появлении первого племени людей.
Итак, к нас есть статические данные и наша задача – из этих статических данных извлечь некую хронологию. Можно ли это? Авторы статьи попытаются представить так называемую «железную» модель, которая будет исходить из того, что развитие накопления человечества напрямую связано с развитием черной металлургии и развитием выплавки черных металлов. Итак, более подробно.
1. Разработка и обоснование «железной» модели и ее применение к статистическим данным по темпам добычи железа.
Как известно, экономика сталкивается с рядом объективных проблем, в частности, с проблемой реальной объективной оценкой роста национального богатства. Такую проблему не лучшим образом решает измерение национального потребления или национального накопления той или иной страны как в драгоценных металлах той или иной страны, так и в драгоценных камнях, не говоря уже о менее ценных (в выражении стоимости через тонны) полезных ископаемых, так как добыча подобных ископаемых резко ограничены и их картина может не отражать ряда экономических реалий.
В той же степени не вполне корректно было бы вводить в качестве единицы измерения национального богатства национальную валюту, так как курс любой валюты – это понятие строго относительное и на его формирование, помимо прочего, играют влияние текущие политические факторы.
Тем более неправомочно в такой роли рассматривать некие товарные массы, прежде всего по причине ограниченности их сроков хранения.
В качеств решения такой проблемы предлагается рассмотреть «железную» модель, в рамках которой весь прогресс человечества однопараметрично (или по крайней мере, в качестве главного параметра) фигурирует добыча и производство железа. При этом если вводить коэффициент ежегодные потери железа (коррозия или амортизация предметов, из него сделанных), то тем самым мы можем получить очень удобную скорректированную шкалу накопления.
Правомочность этой модели обосновывается тем, что железо имеет отношение как к военному делу, где оно и различные его сплавы служат материалом для оружия, так и его применениям в гражданских областях, где оно служит материалом для инструментов, которые существенно влияют на повышение производительности труда.
Мы будем исходить из очень простых рассмотрений. Допустим, некогда была выплавлена первая тонна железа. Эта тонна железа пошла, с одной стороны, на предметы потребления, в том числе на предметы потребления, которые связаны с военным делом (на оружие), так и на дальнейшее развития средства производства, которые пошли бы и на организацию геологоразведки, добычи, развитию средств добычи и выплавки, транспорта и т.д. Для избежания усложнения мы этот коэффициент будем считать постоянным и считать, что увеличение ежегодного объема производства железа пропорционально самому объему производства. Иными словами, мы бы получили положительную обратную связь, которая легко бы описывалась экспонентой.
При этом интересно было бы рассмотреть влияние на эту такую модель влияли бы такие обстоятельства, как недостаток рабочей силы при производстве, истощение рудников и многие моменты, которые связаны с войнами и техническим перевооружением, когда производство прекращалось на длительное время (сразу же скажем, что последний случай является таковым, который легко сводится к главному случаю или случаю истощения рудников, но принципиально ничего нового он дать не может).
Здесь столь простыми пальцевыми рассуждениями не обойтись, и придется делать некие дискретные рассмотрения, которые бы описали этот процесс с ярко выраженным пороговым характером, так как до некоего момента времени у нас не было ничего, а после наступления некоего момента времени у нас пошел интересующий нас процесс. Попытаемся шаг за шагом освещать на эти вопросы.
При этом в качестве той единицы, которая фигурировала бы наряду с тоннами выплавленного железа, была бы так называемая обобщенная инвестиция. Ее смысл: все затраты человечества на проведение исследовательских работ, в том числе на изготовление печей, организацию рабочей силы (мы сразу же допускаем ее наличие в необходимых объемах), ее содержание, на сбор и хранения топлива описывались пересчитывались, и в конце концов свелись бы к одному экономическому параметру. При этом считалось, что в процессе производства шла некая текущая единоразовая затрата на инвестицию и шли некие текущие производственные затраты. Назовем единоразовые затраты на инвестицию буквой I0.
Эти инвестиции позволили бы освоить ежегодную добычу, или просто объемы производства dV/dt, или просто V’. Именно эти объемы реально и зафиксированы в мировой статистике, которая у нас есть под рукой. При этом некая часть прибыли, полученной в результате произвосдтва, пошла бы на инвестиции.
Попытаемся рассмотреть разлчные временные параметры, которыми описывался бы процесс производства. То время, за которое накопится объем средств, равный сумме вложенных инвестиций (в кроме накопления, есть еще и потребление, по сему смысл той величины, что вырисуется – это то время, когда реализуется накопление на фоне нормально себе идущего процесса потребления), можно будет обозначить буквой ;….
Итак, за время ; у нас реально накопился тот объем денежных средств, который реально мы и могли бы пустить на еще одни инвестиции, то есть на открытие еще одного нового рудника и построение еще одной новой плавильной печи. Если учесть, что вся металлургия началась с относительно небольших печей, то мы, естественно, не станем с ходу рассматривать невообразимое по капиталозатратам строительства металлургического комбината, мы просто рассмотрим некое теоретически вполне возможное совершенствование технологии. Все текущие затраты, для избежания усложнений, мы опять примем равными I0. И темпы его добычи и производства были бы теми же самыми - V0’. Тогда суммарные капиталовложения были бы равными 2I0, суммарные темпы производства - 2V0’, а то время, за которое окупились бы инвестиции, становится временем ;/2. При этом параметр, который отвечал бы то время, за которое с одного рудника был бы добыт объем (и была, соответственно, достигнута выплавка), которая компенсировала бы инвестиции I0, можно было бы связать неким коэффициентом k c V0’ и I0. (1ф)
; = kI0/V0’ (1.1ф)
В дальнейшем, как всегда это делается в физике, мы текущий момент времени мы обозначим буквой t, начальный момент времени – буквой t0, а то время, за которое вновь накопится интересующий нас объем инвестиций - ;t. Тогда выйдет очень простое временное уравнение (2ф)
t = t0 + ;t (1.2ф)
Очевидно, что после накопления первого объема инвестиций ;t=;.
После этого такие же рассуждения можно было бы провести и для всех других рудников. Можно даже ввести параметр, который бы отвечал за количество рудников – параметр х.
При это общий объем руды, которые был бы добыт с х рудников, (в предположении равномера), был бы равен
V’=xV0’ (1.3ф),
а значение текущего времени ;tтек., за который этот объем был добыт, приобрело бы значение
;tтек. = kI0/хV’= ;/х (1.4ф)
Очевидно, что таких временных моментов ;tтек. было бы довольно много, и они бы накапливались к правой части уравнения (2ф),
t = t0 + ;tтек.1 + ;tтек.2 +… + ;tтек.N (1.5ф)
а с учетом того, каждый их этих временных промежутков описывается выражением типа ;/х, то мы получаем гармонический, который мы могли бы легко просуммировать, получив в итоге
t = t0 + ;I0lnx (1.6ф)
где ; - некий новый нормировочный коэффициент. Отсюда мы легко могли бы извлечь временную зависимость кол-ва рудников х и годовых темпов производства V’
x = exp(;(t-t0)) (1.7ф)
V’=xV0’= V0’exp(;(t-t0)) (1.8ф)
Тогда мы сразу же, здесь же могли бы модельно показать ситуацию с запрошенными рудниками. В этом случае в уравнении (3ф) V’=xV0’ вместо величины x появилась бы величина z, связанная с количеством заброшенных рудников, самое выражение (3ф) приобрело бы вид V’=(x-z)V0’ и уравнение (8ф) записалось бы как
V’=(x-z)V0’= V0’(exp(;(t-t0)) - z) (1.9ф)
где четко вырисовываются экспоненциальная и линейная часть.
В заключении хочется отметить, что такой же результат мы бы получили, если бы просто в схеме с положительной обратной связью мы бы написали обыкновенное уравнение положительной обратной связи типа
V” = ;V’ (1.10ф)
что характерно, при этом учет истощенных рудников привел бы к написанию уравнения
V” - ;V’- z = 0 (1.11ф)
Но такое выглядело бы не столь убедительным.
Сразу же мы, возвращаясь к предисловию, могли бы оценить в том числе накопление совокупного продукта человечества в рамках нашей железной модели. При этом нам нужно всего-навсего было бы ввести поправку на коррозию и другие вредные потери, которые мы бы описали одним коэффициентом ;cor., а получить общий объем накопленного богатства V мы могли бы простым решением уравнений (9ф) или (11ф):
V = V0’exp(;(t-t0))/; - V0’z(t-t0) + Vc (1.12ф)
Где Vc – это некий начальный объем естестенных богатств на моент производства железа (экономический смысл: к примеру, самородные драгоценные камни), а V0’ – начальный ежегодный объем произвоства черных металлов из руды.
При этом сразу же выходил на поверхность недостаток такой модели, что такая модель бы полностью нивелировала различия в различных технологиях. Тем не менее применить ее можно попытаться..
Эта модель имеет еще одну особенность, которая не сильно фигурировала выше. Дело в том, что мы абсолютно не учитывали влияние фактора наличия или отсутствия рабочей силы, изначально сразу же предполагая ее наличие в достаточном кол-ве. Если этот вопрос рассмотреть более подробно, то нужно еще рассмотреть влияние фактора населения. Именно поэтому сейчас мы рассмотрим
2. Применение «железной» модели к статистическим данным по темпам возрастания населения.
Очевидно, что когда население рождается, то такой процесс можно описать коэффициентов рождения, а когда кто-то умирает, то такой процесс можно описать коэффициентов смертности.
Сразу же хочется отметить, что связывать темп прироста населения с каким-то формальными параметрами не очень легко. В общем случае, рождаемость, как представляется автору этих строк, связана с психологическими ощущениями женщины-роженицы, на всю чувственность которой приходиться задача соотнести свое решение родить ребенка с ее пониманием и ощущением генетики, семейных традиций, вопросов пропитания, образования, воспитания и т.д. С этой точки зрения автору этих строк не очень легко связывать с каким-либо объективными статистическими характеристиками коэффициент рождаемости.
Несколько проще с коэффициентом смертности, который, как правило, описывается неким естественным фоном и в минуты массового наступления смерти (к примеру, во время голода, эпидемий) имеет место резкий скачок этого коэффициента.
Говоря по-крупному, есть в такой ситуации два подхода: описать коэффициент рождаемости ;р и смертности ;с по отдельности либо описать их одним коэффициентом, который в общем случае отвечал бы за прирост и который мы могли бы обозначить как ;пр.
В общем случае можно начать с обыкновенного уравнения рождаемости, которое может быть записано как для рассмотрения коэффициентов рождаемости и смертности отдельно
N’ = (;р - ;с)N (2.1.1ф)
Так и для обобщенного коэффициента прироста:
N’ = ;пр.N (2.1.2ф)
Авторы статьи возьмут на себя риск сделать ряд утверждений, которое и окажется основой их модели:
2.1. Цивилизационные достижения человечества позволяют увеличивать совокупный общественный продукт, который в равной степени идет и на увеличение производства продуктов питания
2.2. в распоряжении человечества так или иначе есть некий объем средств пропитания Р0, благодаря которому оно может размножиться до начального уровня населения N0.
2.3. коэффициент рождаемости ;р напрямую связан и прямо пропорционален той части совокупного общественного продукта, который идет на потребление.
2.4. реальный общественный продукт, который идет на потребление, поступает как непосредственно из той части продукта, которая была произведена в этом году, так и из средств фонда накопления
(для пущей конкретики реальный экономический смысл:
- продукты питания, которые оказались (или остались – хозяйство тогда носит натуральный характер) в распоряжении общины после уплаты налогов прямо в текущем году – это результат непосредственного потребления
- продукты питания, которые были закуплены (или обменены, если торговле идет меновая) обмен на где-то на стороне, или сельхозорудия, которые были перекованы из оружия - это результат реализации с некогда ранее накопленными средствами)
Опишем пункт 4. параметрами ;потр. И ;изнак.
Тогда некий объем общественного продукта, который идет на потребление Р (или просто, как выражались экономисты в 90-х, потребительская корзина) опишется как
Р = Р0 + ;потр.V’ + ;изнак.V (2.2ф)
если подставить выражения для V’ и V и провести ряд преобразований и переобозначений, которые бы просто свелись ко введению новых коэффициентов, то мы получим
Р = Рс + ;eexp(;(t-t0)) - ;1(t-t0) (2.3ф)
Где Рс - обобщенный коэффициент, который отвечает за свободные члены, ;e и ;1 – коэффициенты, стоящие перед экспонентой и линейным членом соответственно.
Если выражение (2.3ф) разделить на общее количество населения, то мы получим объем общественного продукта, идущего на потребление, в пересчете на душу населения Р/N. Именно он будет связан с коэффициентом рождаемости (или, в случае второго уравнения из двух, с коэффициентом прироста)
;р = ;пер.1P/N (2.4.1ф)
;пр. = ;пер.2P/N (2.4.2ф)
где ;пер.1,2 – некие коэффициент пересчета.
Далее мы можем легко, подставим (2.4ф) в (2.1.1ф) и (2.1.2ф) получить искомое дифференциальное уравнение популяции. Для простоты начнем со второго уравнения:
N’ = ;пр.N = (;пер.2P/N)N = ;пер.2P;
N’ = Рс22 + ;e22exp(;(t-t0) - ;122(t-t0) (2.5.2ф)
где Рс22,;e22, ;122 – соответственно новая константа и новые коэффициенты, стоящие перед экспонентой и линейным членом.
Решение этого уравнения сразу же дает
N = Рсs2 + ;es2exp(;(t-t0) - ;s22(t-t0)2 + ;s21(t-t0) (2.6.2ф)
где Рсs2,;es2, ;s22, ;s21 – соответственно новая константа и новые коэффициенты, стоящие перед экспонентой и линейным членом.
Первый случай, когда мы рассматриваем рождаемость и смертность отдельно (;р = ;пер.1P/N, (2.4.1ф)), нам дает следующее:
N’ = (;р - ;с)N = ;рN - ;сN = ;пер.1P - ;сN =
= Рс1 + ;e1exp(;(t-t0)) - ;11(t-t0) - ;сN (2.5.1ф)
где смысл коэффициентов Рс3,;e1, ;11, полностью аналогичен тем, что стоят в (2.5.2ф).
Перенеся коэффициенты и дважды продифференцировав это уравнение, мы получим:
N”’ + ;сN” - ;e12exp(;(t-t0)) = 0 (2.6.1ф)
Решение этого уравнения сразу дает
N = Рс3 + ;es1exp(;(t-t0)) + ;s11(t-t0) (2.7.1ф)
Его принципиальное отличие от решения второго уравнения (2.6.2ф): оно не содержит квадратичных членов.
Соответственно, отсюда виден банальный подход в обработке текущих статистических данных: если у нас в решении задачи роста населения будет более подходить модель с квадратичными членами, то можно говорить, что темпы прироста народонаселения можно описывать единым коэффициентом прироста, который бы включал в себя как рождаемость, так и смертность.
Теперь давайте оценим, как на такую модель влияли бы такие обстоятельства, как недостаток рабочей силы при производстве, как истощение рудников, как многие моменты, которые связаны с войнами и техническим перевооружением? Попытаемся шаг за шагом давать ответы на эти вопросы. Техническое перевооружение, в принципе, где-то можно описать тем же самым подходом, связанным с обобщенными инвестициями, а подход, которые связан с недостатком рабочей силы по причине малой населенности местности, ее неквалифицированности и т.д., мы сейчас опишем.
3. Применение «железной» модели в случае ярко выраженной ограниченности ресурсов рабочей силы
Сейчас мы должны описать ту ситуацию, когда рудник может вырабатываться на полную мощность, но препятствием к этому служит физический недостаток рабочей силы. В такой ситуации, помимо текущей производительности рудника V0’
(а в масштабах x рудников V’) будет удобно ввести параметр, как предельная производительность рудника при нормальном обеспечении его рабочей силой Vlim.0’, и, соответственно, x рудников Vlim.’.
Его можно описать красивым графиком зависимости его производительности от населения, причем как линейным (в виде ломаной кривой с ярко выраженным линейно возрастающим участком в начальной части и горизонтальным участком после достижения ситуации насыщения), так и экспоненциальным, который более легко адаптировался бы под реальные демографические кривые населения.
Для конкретности: для x рудников такую ситуацию можно было бы описать как
V’(N) = Vlim.’(1- exp(-;cor.N)) (3.1ф)
Где ;cor – некий уже скорректированный коэффициент, который включал бы как предельную производительность рудника, так и демографическую ситуацию в местности.
Далее, проделав все рассуждения, связанные с уравнением динамики возрастания производства (1.9ф) и о связи коэффициента рождаемости с долей совокупного общественного продукта, идущего на потребление (2.3), мы (разумеется, после дифференцирования V’) получим следующее уравнение (при этом один мал):
Vlim.”(1- exp(-;cor.N)) + ;cor.Vlim.’exp(-;cor.N)*
( ;потр.3Vlim.’ + ;изнак.3Vlim.) - ;Vlim.’(1- exp(-;cor.N)) – Z = 0 (3.2ф)
В общем случае, такое уравнение решалось бы на счетной машине, а два частных случая выглядят банально: exp(-;cor.N)=0 (такой случай уже решен) в предыдущем разделе, и exp(-;cor.N)=1 (такой случай еще не решен). Тогда
;cor.Vlim.’(;потр.3Vlim.’+;изнак.3Vlim.) – Z = 0 (3.3ф)
Путь решения этого уравнения довольно простой: дифференцирование, но оно удобно решаемо лишь в двух частных случаях: если вообще нет заброшенных рудников (Z=0) и если отсутствуют как таковые фонды накопления (;изнак.=0). И то и другое для первобытного состояния человечества весьма реалистично.
В первом случае все сводится или к постоянной
(Vlim.’=0) (3.4ф)
или к экспоненте,
((;потр.3Vlim.’+;изнак.3Vlim.)=0) (3.5ф)
а во втором - к линейной Функции
Vlim.’= sqrt(z/(;потр.;cor.) (3.6ф)
Вывод из раздела. В условиях дефицита рабочей силы экспоненциальное возрастание населения маловероятно, более вероятно его линейное возрастание.
Еще было бы интересно посмотреть на динамику применения инструментов из различных материалов, которые бы улучшали ситуацию с обработкой почвы, но имели ограниченное применение в военном деле, к примеру, инструменты из свинца, олова, меди (легкоплавких металлов).
В этом случае с модельной точки зрения было бы все относительно просто: просто значение коэффициента k из уравнения (1.ф) уменьшилось бы.
Вывод. При таком подходе сразу же виден тот результат, та картина положение дел, которое проходило первобытное общество. Именно поэтому автор этой статьи склоняется к той точке зрения, что в критических природных условиях, когда просто стоял вопрос о физическом выживании человека, которые, в хронологическом плане, имели место задолго до выплавки первой тонны железа и появления первых железных инструментов, происходило строго линейно, и никак не экспоненциально. Впрочем, экспонента близ нулевой отметки тоже имеет некий линейный участок (что вполне описывается первым коэффициентом разложения в ряд Тейлора).
Ну а теперь можно взять статические данные, и, занимаясь компьютерными экспериментами, получить конкретные результаты.