Один урок
Татьяна Васильевна (ТВ), Миша, Катя, Саня, Лена, Ира, Вася, Юля, Вова.
ТВ: - Вчера мы решали задачи, выраженные словами. Сегодня мы продолжим. Кто хочет первый пойти к доске?
Миша: - Я хочу.
ТВ: Читай задачу.
Миша: - Александр вёл машину по обледенелой дороге 2 часа. Когда дорога очистилась, он увеличил скорость на 35 километров в час и ехал ещё 3 часа. Всего он проехал 255 километров. С какой скоростью он ехал по обледенелой дороге?
ТВ: - Мы будем решать задачу по правилам, которые мы вчера поняли и применяли. Ира, что мы должны сделать сначала?
Ира: - Сначала мы должны понять задачу. Эту задачу я понимаю и могу решить.
ТВ: - Тогда иди к доске. Садись, Миша, спасибо!
Ира: - Мы должны выбрать неизвестную величину, для которой мы будем строить уравнение. Согласно тому, что спрашивается в задаче, обозначим через X скорость, с которой Александр ехал по обледенелой дороге.
- Теперь мы должны найти выражения для других неизвестных величин. Скорость по хорошей дороге равна X + 35. За 2 часа по обледенелой дороге он проехал 2X километров, за 3 часа по хорошей дороге – 3(X + 35) километров, всего проехал
2X + 3(X + 35) километров. Но мы знаем, что всего он проехал 255 километров. Значит, мы можем написать уравнение: 2X + 3(X + 35) = 255. Теперь надо решить уравнение.
- Упрощая левую часть, получаем: 5X + 105 = 255, или 5X = 150, X = 30. Мы ответили на вопрос задачи: скорость на обледенелой дороге была 30 километров в час.
ТВ: - Это всё?
Ира: - Нет, мы ещё должны проверить, действительно ли это решение. Скорость на хорошей дороге равна 30 + 35 = 65 километров в час. За 2 часа по обледенелой дороге Александр проехал 2х30 = 60 километров, за 3 часа по хорошей дороге –
3х65 = 195 километров, всего 60 + 195 = 255 километров, как и сказано в условиях задачи. Наше решение удовлетворяет всем условиям.
ТВ: - Спасибо, Ира! Очень хорошо!
- Теперь мы решим следующую задачу. Катя, к доске! Читай задачу!
Катя: - Красная Шапочка ехала к бабушке по обледенелой дороге со скоростью 35 километров в час. Когда она ехала обратно, дорога была чистой, и её скорость была 65 километров в час. Какова была её средняя скорость?
- Слишком уж простая задача. Средняя скорость равна (35 + 65): 2 = 50 километров в час.
ТВ: - А ты подумай! И вы все подумайте! Ведь время поездки туда и обратно было разным!
Катя: - И правда! Но мы не знаем расстояния до бабушки. Обозначим это неизвестное расстояние через Р. Тогда время поездки туда будет Р:35, обратно Р:65. Полное расстояние туда и обратно будет 2Р, полное время Р:35 + Р:65.
Средняя скорость – это полное расстояние, делённое на полное время, или
2Р:(Р:35 + Р:65) = 2/(1/35 + 1/65) = 2x35x65/(65 + 35) = 45.5 километров в час. Средняя скорость не зависит от расстояния Р. Но как мы можем проверить наш результат?
ТВ: - Мы увидели из Катиного решения, что средняя скорость «туда и обратно» не зависит от расстояния. Поэтому мы можем проверить наши вычисления для любого расстояния Р, например Р = 45.5 километров. Катя, посчитай!
Катя: - Расстояние туда и обратно 2Р = 91 километру. Полное время
Р:35 + Р:65 = 1.3 + 0.7 = 2 часа. Средняя скорость равна 91:2 = 45.5 километров в час.
ТВ: - Спасибо, Катя! Очень хорошо! Садись! Саня, к доске! Решим ещё одну задачу.
Саня: - Найдите два числа, сумма которых 14, а произведение 45.
- Пусть X – одно из этих чисел и 14 – X – другое число. Их произведение равно 45, так что X(14 – X) = 45. Перепишем это уравнение в стандартной форме, получится
XxX – 14X + 45 = 0.
Используя квадратичную формулу, получаем X=7 ± sqrt(49-45) = 7 ± 2.
Одно из чисел 9, другое – 5. Проверим: их сумма равна 14, а произведение - 45.
ТВ: - Спасибо, Саня! Отлично! Лена, к доске! Вот твоя задача.
Лена: - Мэнеджер даёт сотрудникам 10% скидки. В день распродажи предлагается добавочная скидка – 25%. Какая полная скидка получится для сотрудников?
Миша: - А что тут решать? 35%.
ТВ: - Подумайте все, и ты, Миша, и ты, Лена! Как определяется скидка?
Лена: - Скидка составляет определённый процент от продажной цены. Когда мы пользуемся скидкой, продажная цена изменяется, и новая скидка рассчитывается от новой продажной цены. Пусть Ц – продажная цена, с1 = 10% - скидка для сотрудников. Тогда продажная цена для сотрудников будет Ц(1 – с1) = 0.9Ц. Новая скидка с2 = 25% прилагается к этой продажной цене. Цена после двух скидок будет
Ц(1-с1)(1-с2) = 0.75х0.9Ц = 0.675Ц. Полная скидка будет 0.325 = 32.5%.
- Из вычислений видно, что конечная цена и полная скидка не зависят от того, в каком порядке применяются скидки.
ТВ: - Спасибо, Лена! Отлично! Все поняли? И ты, Миша?
Миша: Спасибо, я понял!
ТВ: Вася, к доске! Читай задачу.
Вася: - Продажа билетов на международные игры по хоккею на крытом стадионе может быть смоделирована уравнением d = 80000 – 100p, где d - число проданных билетов, а p – цена билета.. Какую цену надо установить, чтобы выручка была максимальной? Какова будет выручка?
- Выручка – это произведение цены билетов на их число:
pd = p(80000 – 100p) = 100(800p-pхр).
Дополним выражение в скобках до полного квадрата:
800p-pхр = 160000 – 160000 + 800p – pхр =160000 –(400-p)(400-р).
Так что выручка pd = 16000000-100(400-p)(400-р).
Максимальная выручка равна 16000000 (16 миллионов); оптимальная цена - 400 рублей.
ТВ: Спасибо, Вася, очень хорошо! Садись! Следующую задачу будет решать Миша.
Миша: - Две машины движутся навстречу друг другу. Начальное расстояние - 120 километров. Одна машина движется со скоростью 20 километров в час, другая - 40 километров в час. Канарейка, взлетая с одной из машин, летает между машинами туда и обратно со скоростью 150 километров в час, поворачивая обратно, как только она достигает машины. Сколько километров она пролетит до того, как машины встретятся?
- Я не понимаю, как решать эту задачу. Я даже не могу найти, сколько пролетит канарейка до первого поворота.
ТВ: - Соберись, Миша! Тебя и не просят дать ответ на вопрос, который ты себе задал. Но мы можем, исходя из условий, задать себе какие-то вопросы и ответить на них. Зная больше, мы сможем ответить и на вопрос задачи.
Миша: - В самом деле, машины сближаются со скоростью 20 + 40 = 60 километров в час. Они встретятся через 120 : 60 = 2 часа. За это время канарейка пролетит 150х2 = 300 километров. Оказывается, это легко!
ТВ: - Отлично, Миша! Садись! Кто хочет, может ответить дома на Мишин вопрос. Следующая задача – на эффективность совместной работы, если люди работают независимо и не мешают друг другу. Её будет решать Юля.
Юля: - Иван подстригает траву в саду за 4 часа. Марье на это нужно 6 часов. Сколько им потребуется времени, если они будут работать вместе?
- За один час Иван делает 1/4 работы, Марья – 1/6. Вместе они делают
1/4 + 1/6 = 5/12 всей работы за один час. Значит, им нужно 12/5 часа = 2 ч 24 мин., чтобы сделать всю работу..
ТВ: - Очень хорошо! Садись, Юля! Последняя задача на сегодня – это знаменитая задача о бассейнах: «В бассейн проведены две трубы». Она была очень трудной ещё для гимназистов в 19-м веке. А сейчас её решит Вова.
Вова: - Полная ванна содержит 120 литров воды. Труба выпускает из ванны 2 литра воды в секунду. Кран впускает в ванну 1 литр воды в секунду. Если мы откроем и выпускную трубу, и кран, за сколько времени ванна опустеет?
- За одну секунду 2 литра воды вытекают из ванны и 1 литр втекает. В ванне становится меньше воды на 1 литр. Чтобы вылить все 120 литров, нужно 120 секунд = 2 минуты.
ТВ: - Отлично, Вова! Урок закончен.
Solving verbal problems
1, Read the problem, trying to understand it. If possible, draw a diagram.
2, Choose a variable or variables and write what they represent.
3. Write algebraic expressions for other unknowns in terms of those variables. It is often easier and more understandable to solve a problem in variables, then substitute numbers.
4. Write an equation.
5. Solve the equation.
6. Answer the original question.
7.Check your answer in the original problem (not the equation).
Example 1. Bridgette drove her car 2 hours on an icy road. When the road cleared up, she increased her speed by 35 miles per hour and drove 3 more hours, completing her 255-mile trip. How fast did she travel on the icy road? Who will solve the problem?
Solution: Let X mi/hr be her speed on the icy road.
Then her speed on the cleared road is (X+35) mi/hr.
The distance for 2 hours on an icy road is X mi/hr x 2 hr = 2X mi,
for 3 hours on the cleared road is (X+35) mi/hr x 3 hr = 3(X+35) mi,
the total distance being 255 mi.
We have the equation, comparing two expressions for total distance:
2X + 3(X+35) = 255 (miles).
Solving it, we get
2X + 3X + 105 = 255; 5X = 150; X = 30 (mi/hr). X+35 = 65 (mi/hr).
Checking the answer:
2x30 + 3x65 = 60 + 195 = 255.
Example 2. Manuel drove to his grandma on icy road with speed 35 mi/h. When he drove back, the road was clean, and his speed was 65 mi/h. What was his average speed?
There is a temptation to say that the average speed was (35+65)/2=50 mi/h. But it is wrong, because there were different times to and fro. Who can solve the problem?
Solution. Let the distance, Manuel drove to or fro, be d. The speed to was v1=35, fro – v2=65. The time to was d/v1, fro – d/v2.The total distance was 2d, the total time – d/v1+d/v2. The average speed was 2d/(d/v1+d/v2)=2(1/v1+1/v2)=2v1v2/(v1+v2)=2x35x65/(35+65)=45.5 mi/h. It doesn’t depend from the distance d.
Example 3. Find two numbers having a sum of 14 and a product of 45.
I want you to apply quadratic formula. Who can?
Solution. Let X be one of the numbers and 14 – X the other number.
Since their product is 45, we have X(14-X) = 45.
Rewrite it as XxX-14X+45=0.
Using quadratic formula, we have X=7 ± sqrt(49-45) = 7 ± 2.
One of the numbers is equal to 9, another – to 5.
Their sum is 14, product is 45.
Example 4. A manager offers a 10% discount for employees. If on sale day, there is an additional 25% off, what is the overall percent discount for an employee? Who’ll solve it?
Solution. Let L be list price, S – sale price, r1 – 10% discount, r2 – 25% additional discount.
S=L(1-r1)(1-r2); overall discount is 1-S/L =1-(1-r1)(1-r2)=1-.9x.75=.325=32.5%.
Example 5. The demand for tickets to see the Ice Gators play hockey can be modeled by the equation d = 8000 – 100p, where d is the number of tickets sold and p is the price per ticket in dollars. What price is needed to be set, to maximize the gain? What will be the gain?
Solution: Total gain pd = p(8000 – 100p) = 100(80p-pxp).
We can complete the square for expression in parentheses:
80p-pxp = 1600 – 1600 + 80p – pxp =1600 –(40-p)(40-p).
So total gain is 160000-100(40-p)(40-p).
The maximal gain is $160,000; the optimal price is $40.
Example 6. Two cars, 120 miles apart, drive to each other. One car travels 20 miles per hour, the other - 40 miles per hour. A canary, starting on one car, flies back and forth between the cars. The canary flies 150 miles per hour and turns around instantly at each car. How far has it flown when the cars are together? Who can solve?
How will we solve the problem? Because the problem asks “how far”, we are tempted to calculate the distance traveled by the canary. These trips get shorter as cars approach; we need to add all individual distances and at the end – an infinite number of ever-smaller distances – this task involves calculus.
Solution. But let us focus on time instead of distance. The cars approach at a speed of 60 miles per hour. They were apart 120 miles, so they come together exactly in 2 hours. The canary is flying 150 miles per hour; in 2 hours it flies 300 miles.
Example 7. Work together. John mows grass in garden in 4 hours; Mary does in in 6 hours. How long will they work together?
Solution. In one hour, John does 1/4 of the work, Mary – 1/6.
Together they do 1/4 + 1/6 = 5/12 of all work in one hour.
So they need 12/5 hour = 2 h 24 min. to make all work.
Example 8. In and out. A full bathtub contains 120 L. A pipe out puts out 2 L of water per second. A tap in puts in 1 L of water per second. In what time does the bathtub become empty, if both taps are open?
Solution. In one second, it comes 1 L in and 2 L out, totally 1 Д out.
To empty 120 L, it is required 120 s = 2 min.