Программа темы.
Параграф 1. Определение окружности, центра окружности, круга, вписанного, центрального угла и плоского угла
Окружность есть множество точек на плоскости, равноудалённых от определённой точки на этой же плоскости. Центр окружности есть сама такая точка. круг есть фигура, ограниченная окружностью, не включая саму окружность. Вписанный угол есть угол, три вершины которого принадлежат окружности (часто стороны не продолжаются за окружность). Центральный угол есть угол, вершина которого расположена в центре окружности, а две вершины лежат на окружности. Плоский угол есть часть круга, ограниченная лучами центрального угла.
Параграф 2. Взаимное положение прямой и окружности.
прямая может пересекать окружность в двух точках, может при этом проходить или не проходить через её центр. Она может иметь с окружностью одну общую точку и в этом случае называется касательной; прямая может не пересекать окружность, в этом случае говорят, что она находится вне окружности.
параграф 3. Взаимное расположение окружностей. Определение линии центров.
окружности могут пересекаться в двух точках и в этом случае называются пересекающимися, могут иметь одну общую точку и в этом случае могут быть касающимися внутренним или внешним образом, в первом случае одна находится внутри другой, во втором случае первая не имеет общих точек с кругом второй. Окружности могут быть расположены вне друг друга, не пересекаться. Также они могут иметь общий центр и в этом случае называются концентрическими. Линия центров есть прямая, соединяющая центры двух окружностей, в случае концентрических окружностей она вырождается в точку.
Параграф 4. Теорема о вписанном угле.
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального (т.е. опирающегося на ту же дугу.
Параграф 5. Простой признак принадлежности четырёх точек одной окружности.
Если хотя бы из одной пары точек отрезок, соединяющий две другие точки, виден под одним и тем же углом, данные четыре точки находятся на одной окружности.
Параграф 6. Определение вписанного четырёхугольника. вписанный четырёхугольник--такой, все вершины которого расположены на некоторой окружности. Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180 градусов (в частности, если два противолежащих угла--прямые)...и обратно.
Параграф 7. Углы, образуемые двумя хордами и двумя секущими.
угол, образованный двумя хордами равен полусумме градусных мер дуг, которые вклбючают две пары концов, взятых от одной и от другой хорды, не имеющие общих элементов. Аналогично, угол между секущими окружности равен полуразности дуг, образованных двумя парами точек пересечения, взятых от одного и другого луча.
Задачи.
№1. В окружности отмечен центр описанной окружности O, на ней отмечены точки A и B. Серединный перпендикуляр к отрезку OB пересекает серединный перпендикуляр к AB в точке D. Первый пересекает AB в точке C.
Докажите, что точки A, C, D и O расположены на одной окружности.
№2. дан прямоугольник ABCD, на сторонах BC и AB отмечены соответственно точки E и F, так что угол EFD--прямой и прямая EF--биссектриса угла BED.
Докажите, что точка F--середина AB.
№3. В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. в треугольники AED и CEB вписаны окружности с центрами K и L, через них проведены перпендикулярные прямые к AB и CD, пересекающиеся в точке M.
Доказать: угол LDM--прямой.
№4. на средней линии прямоугольника ABCD (соединяющей середины параллельных сторон) отмечены точки E и F, так, чтобы трапеция AEFD была равнобедренной. При этом угол DEF равен унлу BAE.
Доказать, что прямая AE перпендикулярна прямой BF.
№5. Внутри прямоугольника ABCD отмечена точка E, центр описанной окружности треугольника AED--K. При этом оказалось, что точки A, K. E и B лежат на одной окружности. прямая DE пересекает её в точке F, прямая DK-- в точке M, прямая DM пересекает отрезок AE в точке N, отрезок MF--AB в точке T.
Доказать: TN||DE.