№1. Условие: в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота AD. На стороне AB взята точка E, такая, что AD=DE (предположим, что такая существует. На стороне BC в свою очередь взята такая точка K, что AK=BK, при этом K также является основанием перпендикуляра из E на BC. Отрезок AK пересекает отрезок DE в точке P.
Докажите, что AP=DK.
№2. На стороне BC отмечена точка D, так что AB=BD. Оказалось, что AD=CD.
Докажите, что сторона AB равна радиусу описанной окружности треугольника ADC тогда и только тогда, когда угол ABc равен 60 градусам.
№3. В прямоугольном треугольнике ABC угол B—прямой. Из середины гипотенузы AC—E-- опущен перпендикуляр EF, точки F опущен перпендикуляр FK на эту гипотенузу.
Доказать: AB=AF только если AF=FK.
№4. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD, биссектриса треугольника BDC—DE оказалась равной отрезку BD. Из точки E опущен перпендикуляр EL на высоту BD, и из вершины A опущен перпендикуляр BK на прямую DE.
Докажите, что KL=BE.