Параграф 1.
Задача 1. Условие верное. q может принимать любые значения от 0 до 1. Если говорить о дальнейшем курсе геометрии, можно ещё заметить, что основания биссектрис из вершин двух данных треуг., противолежащих их общей стороне, совпадают. Это объясняет данный факт.
Задача 2. BD+BC>AC-AD (1) CD>AC-AD (2) из неравенства треугольника, применённого дважды. Комбинируя неравенства (1) и (2) приходим к результату: 2(AC-AD)<P(DBC).
Задача 3. Указание: следует воспользоваться тем, что AC=2AD и AD<AO, а 2AO>AC. Ответ: не всегда
Параграф 2.
Задача 1. Указание. Та же методика, что и в задаче 3 прошлого параграфа. Ответ: не всегда.
Задача 2. C_1L=AK/2 и B_1H=KC/2 по свойству медианы из вершины прямого угла. LK=AC/2, так как KL--средняя линия треугольника AHC. Поэтому все три отрезка образуют треугольник, в два раза меньший треугольника AHC с точно таким же отношением сторон. Поэтому из них всегда можно сост. треуг.
Задача 3. Во-первых медиана больше высоты в общем случае (а здесь именно такой. Значит, осталось найти ещё одно неравенство. Но вполне очевидно, сто оно может и не выполнчться, если подумать, что вторая высота может быть очень маленькой.
Параграф 3.
Задача 1. Если вписать в выпуклый четырёхугольник выпуклый, то четвёртая вершины невупыклого, имеющего остальные три общие с вершины с выпуклым, окажется в разных плоскостях с его четвёртой вершиной относительно диаг., соед. две из его неизменённых вершин. Поэтому на первое ответ отрицательный.
А на второе--положительный, если исп. вершину угла, больше 180 градусов как вершины вписываемого выпуклого четырёхугольника, стороны расположить на стороне невыпуклого, содержашего эту вершину. и две вершины выпуклого четырёхугольника разместить на оставшихся сторонах.
Задача 2. Вполне очевидно, что это возможно, если три вершины невыпуклого четырёхугольника будут вне пересекаемого выпуклого, а четвёртая внтри.
Задача 3. Нужно увеличить в два раза вторую часть, отсекаемую невыпуклыми четырёхугольником от выпуклого, расположенную вне первого и внутри второго, тогда ясно, что выпуклый окажется внутри, а потом увеличивать ещё, пока невыпукляый четырёхугольник не будет содержать данный выпуклый.
Параграф 4.
Задача 1. FG<AD, а BC=AD, дальше--исп., что сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра.
Задача 2. Здесь нужно использовать тот факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, ДОКАЗАВ ЭТО САМОСТОЯТЕЛЬНО. Ну и FG=AD/2. А также тот факт, что сумма диагоналей четырёхугольника больше его полупериметра.
Задача 3. нужно исп. нер-во параграфа два раза, и перененести нужные слагаемые в нужные частиЭ, сложив эти неравенства.