Глава 1. Прямые и углы.
Параграф 1. Положение точки относительно прямой.
Представьте стол и пылинки, летящие в воздухе. Они могут приземлиться на стол, а могут упасть на пол. Край стола принадлежит прямой, а прямые напоминают точки. Так вот. ТОЧКИ МОГУТ ПРИНАДЛЕЖАТЬ ПРЯМОЙ, А МОГУТ ЕЙ НЕ ПРИНАДЛЕЖАТЬ. Если среди пылинок есть волосок, то он может пересечь край стола, и тогда говорят, что концы такого волоска лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, а может и не пересечь, тогда говорят, что концы его лежат в одной полуплоскости от прямой. Итак, ЕСЛИ ДВЕ ТОЧКИ ЛЕЖАТ В РАЗНЫХ ПОЛУПЛОСКОСТЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО ДАННОЙ ПРЯМОЙ, ОТРЕЗОК, ИХ СОЕДИНЯЮЩИЙ ПЕРЕСЕКАЕТ ЭТУ ПРЯМУЮ. Если бы две точки прямого волоска оказались на крае стола, все его точки были бы на прямой. Доказать это нельзя. Это аксиома, а именно: ЧЕРЕЗ ДВЕ ДАННЫЕ ТОЧКИ МОЖНО ПРОВЕСТИ ОДНУ, И ТОЛЬКО ОДНУ, ПРЯМУЮ.
Параграф 2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
Края стола могут пересекаться, а могут быть параллельны. Так и прямые. ДВЕ ПРЯМЫЕ ЛИБО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ, И ТОЛЬКО ОДНОЙ, ЛИБО НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ И В ЭТОМ СЛУЧАЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЛЕЛЬНЫМИ. При этом если на плоскость стола упала пылинка, то жучок, ползущий по столу, не пересечёт один из краёв только в двух случаях: либо точка пересечения прямой жучка и прямой края стола лежит вне стола, либо он движется по прямой, параллельной краю стола. Итак, ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПРЯМУЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ДАННОЙ ПРЯМОЙ, И ТОЛЬКО ОДНУ. Исключение составляет только тот случай, когда прямая, параллельная данной, совпадает с ней. Это просто договорённость, а именно, что ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА САМОЙ СЕБЕ. Если жук ползёт по прямой, пересекая один из краёв окна, он пересечёт и другой край, причём этот другой край может быть и параллелен первому. Поэтому ПРЯМАЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ОДНУ ИЗ ПАРАЛЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ПЕРЕСЕКАЕТ И ДРУГУЮ.
Параграф 3. Взаимное расположение прямой и треугольника.
Проведите в столе мысленно диагональ. Если провести параллеьную ей прмяую, она будет вне одного из треугольника, отсечённого диагональю. Теперь можно зафиксировать некоторую точку на ней и начать поворачивать прямую. Рано или поздно прямая пройдя через вершину треугольника, затем пересечёт треугольник в одной точке, затем опять пройдёт через вершину треугольника, а затем опять не будет пересекать треугольник. ПРЯМАЯ МОЖЕТ ЛИБО НЕ ПЕРЕСЕКАТЬ ТРЕУГОЛЬНИК И БЫТЬ ПАРАЛЛЬНОЙ ОДНОЙ ИЗ ЕГО СТОРОН ИЛИ НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ НИКАКОЙ ИЗ СТОРОН, ЛИБО ПЕРЕСЕКАТЬ ТОЛЬКО ДВЕ ЕГО СТОРОНЫ, НЕ ПРОХОДЯ ЧЕРЕЗ ВЕРШИНУ, ЛИБО ПРОХОДЯ ЧЕРЕЗ ОДНУ ВЕРГИНУ, ЛИБО ПЕРЕСЕКАТЬ ВСЕ ТРИ ЕГО СТОРОНЫ, ПРОХОДЯ ИЛИ ТОЛЬКО ЧЕРЕЗ ОДНУ, ИЛИ ЧЕРЕЗ ДВЕ ВЕРШИНЫ.
Параграф 4. Признаки параллельности прямых и свойства параллельности.
Когда мы поворачивали прямую, чтобы она пересекала различные стороны треугольника, она образовывала с ними различные углы. Они не были равны. но ЕСЛИ ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ И ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ, ОБА МЕНЬШИЕ 90 ГРАДУСОВ ЛИБО ОБА БОЛЬШИЕ 90 ГРАДУСОВ, РАВНЫ. Они называются накрест лежащими, если для выявления их равенства можно находится внутри полосы, образуемой паралллеьными прямыми, и соответственными, когда приходится бывать и внутри, и вне её. ВЕРНО И ОБРАТНОЕ: ЕСЛИ НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ ИЛИ СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ ПРИ СЕКУЩЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ РАВНЫ, ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Если же углы, которые мсы определяем внутри полосы, не равны, они называются внутренними и их сумма составляет 180 градусов. Итак ЕСЛИ СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ПРИ СЕКУЩЕЙ ПРЯМЫХ РАВНА 180 ГРАДУСОВ, ОНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, И ОБРАТНО. Параллельность определяется парой прямых. поэтому ДВЕ ПРЯМЫЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТРЕТЬЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.
Параграф 5. Аксиома о сумме углов. Теорема о смежном угле и теорема о вертикальных углах.
Представьте, что одну из параллельных прямых стали поворачивать вокруг вершины. рано или поздно угол между ею и другой стороною, превратится в прямую. Такая прямая с точкой и назвается развёрнутым углом. далее, если из этой точки провести луч, то два образующихся угла называются смежными, и изучаемая теорема будет частным случаем, следствием из аксиомы про сумму углов, а именно: СУММА УГЛОВ, НА КОТОРЫЕ ДЕЛИТ ДАННЫЙ ЛУЧ, ПРОВЕДЁННЫЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ДАННОГО УГЛА, ПРОХОДЯЩИЙ МЕЖДУ ЕГО СТОРОНАМИ, РАВНА САМОМУ ДАННОМУ УГЛУ. Теоремы же гласят: УГОЛ, СМЕЖНЫЙ С ДАННЫМ, РАВЕН РАЗНОСТИ РАЗВЁРНУТОГО УГЛА И ДАННОГО; ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ РАВНЫ. Для доказательства второго, удобно использовать поворот.
Параграф 6. Теорема о сумме углов в треугольнике и теорема о смежном угле.
В параграфе 3 рассматривалась пряма, параллельная стороне треугольника. Прямая, проходящая через вершину треугольника, так же может быть параллельна стороне треугольника, только другой. С помощью этой конструкции и предыдущих двух теорем можно доказать, что СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА 180 ГРАДУСОВ. а УГОЛ, СМЕЖНЫЙ С УГЛОМ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВЕН СУМММЕ ДВУХ ДРУГИХ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Параграф 7. Теорема о сумме углов в многоугольнике.
Теперь представьте несколько прямых, пересекающихся в таком же числе точек. Фигура, ограниченная n прямыми, называется n-угольником. Он выпуклый, если вся для любой стороны весь многоугольник будет лежать в одной плоскости относительно прямой, её содержащей, и невыпуклый в обратном случае. И для выпуклого, и невыпуклого n-угольника верно, что СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ РАВНА 180(n-2). Здесь дело в том, что стороны многоугольника треугольниками не являются. Выбрав определённую точку и проведя через неё все возможные диагонали многоугольника, и используя предыдущее утверждение, легко доказать теорему.
ТЕПЕРЬ СКАЗКА 1 ДЛЯ ОТДЫХА С ЗАДАЧЕЙ.
В некотором царстве-государстве было 3 дороги. По одной из них разрешалось ходить только волшебникам, по другой--только людям, а по третьей--только колдунам. Именно поэтому волшебники не бывали в гостях у людей, как и колдуны. Но один хитрый колдун придумал план: незаметно соединить дорогой свой дом и дом одной семьи. Тогда люди пригласили опытного волшебника, чувствуя неладное. Тогда волшебник сразу догадался, чего хотел колдун, и сделал то же, что колдун замышлял. Почти то же. А потом построил новый дом так, чтобы колдун не смог выполнить свой план (для этого он разместил дом ровно на прямой между колдунским и людским, так что колдуну пришлось бы пройти через дом волшебника). но колдун и тут перехитрил волешебника. он построил две дороги, обходящие дом волшебника. Но волшебник придумал заклинание, с помощью которого появлялся бы новый дом волшебника так, чтобы колдун не смог добраться до людей. Добро победило.
Докажите, что многоугольник в сказке, образованный домами волшебниками и дорогами между ними, лежит внутри многоугольника, образованного домами колдуна. Какова может быть сумма его внутренних углов, если колдун построил всего 8 дорог? Каково могло быть заклинание?
ИССЛЕДОВАНИЕ: "ПЛАНИМЕТРИЯ В "НУ ПОГОДИ!". Часть 1. Прямые и углы.
Вначале волк использовал верёвку, чтоб подняться к зайцу. угол, образуемый им с верёвкой, когда он полетел вниз,--развёрнутый.
Волк ездил на моторной лодке и непременно не мог находиться одновременно на море и на суше, но поскольку он всех толкал, ему приходилось пересекать остров. Во сне после солнечного удара в другой серии волку тоже пришлось пересечь границу острова, чтобы попасть к старику.
Волк не мог следовать за зайцем по прямой, меняя направление ходьбы, после " спетой песни" "очи чёрные".
Когда волк разбивал зеркала в комнате смеха он мог двигаться по двум множествам параллельных прямых, чисто теоретически.
Когда волк спасался от робота, он часто двигался по прямой. При этом в разном направлении. Но через любые две точки можно провести прямую, и поэтому робот и двигался по такой прямой.
Когда волк был в музее, ему, чтобы ничего не задеть, приходилось идти параллелльно тем прямым, где находились "опасные объекты".
Глава 2. Общие и специальные признаки равенства треугольников и некоторые простейшие факты.
Параграф 1. Признаки равенства треугольников.
Треугольники называются равными, если их можно совместить, в нужном случае "перевернув". Эта идея движения и может быть использована в доказательстве признаков равенства треугольников, хотя обычно их доказывают от противного. некоторые учёёные ещё сто лет назад были склонны полагать, что эти признаки нужно добавить в аксиоматику евклидовой геометрии. Как бы то ни было, признаки на практике работают. Очень часто эти признаки используются как леммы, и в этом случае равные треугольники называются вспомогательными равными треугольниками. Ещё они используются при постороении треугольника по заданным элементам. В классическом изложении даётся только три признака, но здесь их будет указано 7.
Признак 1-ый (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и углы между первой парой и второй парой сторон равны, то такие два треугольника равны.
Признак 2-ой (по стороне и двум прилежащим к ней углам): если одна сторона одного треугольника равна другой стороне другого треугольника, и углы, прилежащие к первой стороне, равны соответственно углам, прилежащим к второй стороне, то такие треугольники равны.
Признак 3-ий (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники также равны.
Признак 4-ый (по двум сторонам и двум углам). Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и два угла одного треугольника равны соответственно двум другим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак 5-ый (по двум сторонам и медиане, выходящей из их общей вершины). Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и медианы треугольников, проведённые из общих вершин этих сторон равны, то такие треугольники равны.
Признак 6-ой (по трём медианам или трём высотам). Если три медианы или три высоты одного треугольника равны трём медианам или трём высотам другого треугольника, то такие треугольника равны.
Параграф 2. Специальные признаки равенства треугольника.
Специальный 1-ый признак. Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника и один угол одного треугольника равен другому углу другого, образуется два случая, лишь в одном из которых треугольники равны.
Специальный 2-ой признак.Если внешний угол одного треугольника равен внешнему углу другого треугольника и две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, образуется два случая, лишь в одном из которых треугольники равны.
СКАЗКА 2. (ВЫ, НАВЕРНОЕ, ОЧЕНЬ И ОЧЕНЬ УСТАЛИ).
В стране треугольников жило много разных треугольников и людей. Те из треугольников, которые были равны друг другу, особенно хорошо дружили. В ту страну опустилась с неба старуха Шапокляк и начала в это стране "творить злы". Например, она портила срежства измерения длины и углов и всячески старалась, чтобы не было никаких "Домов дружбы". С ней хотели подружиться двоечники, не любившие геометрию. Старуха предложила им врать на экзамене, чтобы двигаь научную мысль.
"Дело о лжи двоечников. (такого-то числа такого-то года по такому-то вопросу)". Свидетель сих общественных волнений сообщает уважаемому Геометру (президент страны треугольников): во многих школах двоечники стали врать про треугольники, а ведь это полноправные граждане нашей страны, как и люди. Один сказал, что у треугольников углы обязательно кратны 3м градусам, другой--что треть суммы углов треугольника всегда равна всем трём углам треугольника, а третий вообще отличился: сказал, что на разность суммы углов двух треугольников страны всегда можно делить. В виду таких вопиющих актов лжи призываем придумать наказание и для школьников, и для чужеродных элементов, так как, по нашим сведениям, они прибыли в страну. (подпись".
Когда один двоечник соврал опять на экзамене (что треугольники ходят в треуголках), созвали совещание. На нём выступал Геометр. Он сказал: дети! Врать про геометрию не нужно. Можно просто не заниматься геометрией. Не слушайте врагов, проникших в нашу страну и заставляющих Вас врать. Поверьте, лучше ничего не знать, чем знать неправильно. Скажите теперь, нужна ли Вам злосчастная старуха? --"Нет!"
Они построили план, как её выселить из страны.Для этого отличники набрали отряд равных треугольников, которые могли стать в круг. Как только они заметили вдалеке старуху Шапокляк, они начали прислоняться друг к другу нужными сторонами. окружили (каковый могли быть их углы?). Затем посчитали периметр "ограды" (чему он мог быть равен). соорудили её. И никакие камни из рогатки не пробивали треугольники, так как они были очень крепкие. Потом прилетел вертолёт и забрал треугольников. Среди них был даже гарантийный чертёжного прибора. Ну а старуха Шапокляк так и не смогла выбраться из ограды. Но на территории были плодовые деревья, так что она могла ещё как-то жить. С тех пор её там и кормили, прилетая на вертолёте, а отличники придумали стишок: "Уважаемые школьники! Не обижайте треугольники!".
Параграф 3. Признаки равнобедренности треугольника и свойства равнобедренного треугольника.
Когда был изобретён циркуль, возможно, тогда и возникла идея равнобедренного треугольника. Действительно, равнобедренный треугольника--это такой треугольник, хотя бы две стороны которого равны.
Теорема: треугольник является ранвобедренным тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: два угла при одной из сторон треугольника равны; любые два элемента из множества: "высота, медиана, биссектриса, проведённые к основанию" совпадают друг с другом; две высоты, или две медианы, или две биссектрисы треугольника равны друг другу.
Параграф 4. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники равны тогда и торлько тогда, когда:
1) два катета одного треугольника равны двум катетам другого.
2) Катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другогно;
3) Катет и острый угол одного треугольника равен катету и острому углу другого треугольника.
4) Гипотенуза и острый угол одного треугольника равен гипотенузе и острому углу другого.
5) Если биссектриса или высота, проведённые к гипотенузе, одного треугольника равны соответственно биссектриске или высоте, проведённым к гипотенузе, другого треугольника, и сами гипотенузы равны, то такие треугольники равны.
6) Если медианка или биссектриса, проведённые к одному катету одного треугольника равны медиане или биссектрисе, проведённые к другому катету другого треугольника, и эти катеты равны, то такие треугольники равны.
Параграф 5. Тееорема о биссектрисе угла.
Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон.
Эта теорема используется для доказательства, связанного с выяснением равенства перпендикуляров на две данные прямые или проекций из данной точки на данной прямой на две данные прямые (например, так доказывается теорема о равенстве касательных из одной точки); для построения вписанной и внесписанных окружностей треугольника и описанных многоугольников и доказательства свойств вписанной окружности треугольника.
Параграф 6. Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые отсекают на одной из сторон угла равные отрезки, они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Эта теорема используется в доказательстве таких теорем как: теорема о средней линии треугольника, теорема о средней линии трапеции, теорема Вариньона; в доказательстве теоремы о прямой Гаусса.
Параграф 7. Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов.
Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Эта теорема используется в доказательстве многих свойств треугольник с углами 30, 60, 120 градусов, атакже различных задачах с равносторонними треугольниками.
СКАЗКА 3. (ОТДОХНИТЕ, ВЫ ЭТОГО ЗАСЛУЖИЛИ!)
В некоторой стране две дороги вели к озеру и поэтому были пешеходными. Как-то правитель страны захотел, выстроить улицу, от всех домов которой можно добраться до данных дорог. Один геометр предложил построить равные высоты с концами на сторонах дорог, и действительно, сработало (что он мог придумать?).
Правитель на радостях пригласил геометра и, собрав ещё 10 гостей и пригласив супругу, сделавую пирог,попросил геометра подсказать, как отрезать от него 12 равных частей так, чтобы ещё можно было дать нищим. Куски получились прямоугольные. Прилетевшая оса проетела от одного края до другого пока другой край миновало с такой же скоростью две осы. Гости отогнали ос, а нищим всё дали. Геометр же по осам определил углы прямоугольных кусков (чему они могли быть равны?).
Когда геометр ехал домой, его машина два раза останавливалась из-за неполадок, проехавши два одинаковых расстояния. На соседней дороги машина одного из гостей также останавливалась два раза, также проехзавши два одинаковых расстояния. Между двумя дорогами было два пункта ремонта. Дома геометр задал детям задачку, в каких случаях он и гость могли бы ещё раз встретиться и где могли располагаться пункты ремонта, если они встретились. Решите её и Вы.
Исследование 2. Два дополнительных факта.
1-ый дополнительный: пусть в треугольнике ABC отмечен центр вписанной окружности и на стороне AB отмечена K, так что AK=KI. Тогда треугольник равнобедренный только в том одном из случаев, когда прямая KI высекает на стороне BC отрезок, равный BK.
2-ой дополнительный: проекция вершины треугольника на любую из его внутренних биссектрис не может быть его центром описанной окружности за исключением того случая, когда этот треугольник--прямоугольный равнобедренный 9для решения не обязательно знать теорему о вписанном угле).
Глава 3. Неравенство треугольника и его применение
Параграф 1. Неравенство треугольника.
Задача 1. Дан треугольник ABC; внутри него дана точка D, так что AD=q*AB, а DC=q*BC. q(AB+BC)>AC. Каково может быть q?
Задача 2. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D.
Докажите, что 2*(AC-AD)<P(DBC)
Задача 3. В треугольнике ABC отмечен центр описанной окружности O и из O опущен перпендикуляр OD на AC.
Всегда ли можно из отрезков AB, BC и OD построить треугольник?
Литературная задача.
Уменьшенный и расплющенный Ваня попал в треугольник. Одна сторона треугольника--изгородь колючая, другая сторона--карй оврага, третья сторона граничит с бездной. ваня хочет быть равноуадлённым от двух точек на одной, на другой и на третьей стороне, чтобы не бояться двух объектов на каждой из сторон в равной степени. Получится ли это у Вани?
Параграф 2. Возм. постр. треуг. задачи и сказка-задача
Задача 1. Всегда ли можно составить треугольник из трёх расстояний от центра описанной окружности треугольника до его сторон?
Задача 2. в треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и CC_1, пересекающиеся в точке H. Середины отрезков AH и HC--L и K соответственно.
Всегда ли можно из отрезков C_1L, A_1K и LK составить треугольник?
Задача 3. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и выоота BK. Всегда ли можно из этих отрезков построить треугольник?
Параграф 3. Выпуклый и невыпуклый четырёхугольники
Задача 1. Можно ли вписать в выпуклый четырёхугольник невыпуклый? А в невыпуклый выпуклый?
Задача 2. Можно ли сделать так, чтобы все стороны выпулого четырёхуольника пересекали все стороны невупклого?
Литературная задача. В инопланетном четырёхугольном выпклом саду располагался невупклый четырёхугольник, равномерно увеличиающийся. Изначальная площадь его раывна была половине площади сада. При каком условии он после увеличения будет содержать сад (материя этого ветырёхугольника может свободно проходить любые препятствия).
Параграф 4. Сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра и больше его полупериметра..
Задача 1. Условие: в прямоугольнике ABCD диагонали перескаются в точке E. В остроугольном треугольнике AED проведены высоты AF и DG. Доказать, что 2AD>(BF+CG)-(BG+CF).
Задача 2. Условие: в четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. В треугольнике AED были проведены медианы AF и DG, пересекающиеся в точке M.
Доказать: BM+AD/2>(AF+DG)/6+(BG+CF)/2.
Литературная задача. Иван-Царевич гулял по лесу, ограниченному четырёхугольным забором с дверью. видит--лягушка скачет от сосны к берёзе. Как ему связать неравенством это расстояние и расстояния вершин четырёхугольник от этой сосны и берёзы?
Параграф 5. Длина ломаной больше длины отрезка, соеднияющего её концы.
Задача 1.
Даны отрезки AB и CD, не пересекающие друг друга. Отрезок AB разделён точками E и F на три равны части. Доказать: AB-3CD<CA+CE+DE+CE+DF+DB.
Задача 2. Можно ли пройти путём в прямоугольнике, не быв на его вершинах, но побывав на всех диагоналях и сторонах так, чтобы путь составлял треть периметра прямоугольника?
Литературная задача.
Иван-дурак отправился за тридевять земель. И встретил красавицу. Но та сказала, что выйдет за него замуж, только если он решит задачу. Сколько можэет быть деревье в лесу, чтобы было возможно прохождение по нему от дерева к дереву, чтобы пройденное расстояние было в n раз больше периметра многоугольника, очерчивающего лес?
Параграф 6. Число диагоналей в многоугоугольнике.
Задача 1. Вершины 10-угольника закрашены в жёлтый, зелёный и синий цвета. Вершины одинакового цвета соединены диагоналями. Сколько диагоналей может иметь многоугольник, образованный этими диагоналями?
Задача 2. Стороны 12-угольника закрашены рубиновым, золотым и серебряным цветами (каждая одним). сколько должно быть рубиновых сторон, чтобы многоугольник, состоящий из золотых и серебряных сторон, имел 9 диагоналей?
Литературная задача
некоторое царство представляет собой многоугольник, на его сторонах построены дорожные полосы, а внутри были дома и рощи, которые мы обозначим точками. Всегго таких объектов было 50. Как побывать на двух дорогах и в m рощах и n домах так, чтобы многоугольник, построенный из этих отрезков, имел l диагоналей? Каково может быть соотношение k,l и m?
Параграф 7. Обобющение утверждени я о четырёхугольнике данной главы на произвольный многоугольник.
Задача 1. Как связаны неравенствами сумма диагоналей n- угольника и периметр его?
Задача 2. Прямоугольнка трапеция ABCD отражена осевой симметрией относительно CD и получена трапеция CDA'B'. Доказать: BA'<CD+BC+CB'.
Литературная задача. В некотором Царстве-Государстве, представляющем собой многоугольник, Иван-дурак нашёл монету, на которую ничего не купишь, находясь в этой точке. Она была равноудалена от трёх вершин многоугольника. Как ему, пересеча ровно три диагонали, оказаться в другой точке, обладающей этим же свойством, в которой можно что-то купить на эту монету?
Глава 4. Некоторые дополнительные простейшие важные факты.
Параграф 1. Три непараллельные прямые делят плоскость либо на 7, либо на 6 частей.
Задача 1. Три прямые разделили плоскость на семь частей. как расположить числа в разделённых частях плоскости, состоавляющих арифм. прогрессию так, чтобы соединяя их как точки по возрастанию, мы пересекли наибольшее число прямых наибольшее число раз? (А на именьшее?)
задача 2. на сколько частей могут разделить плоскость n прямых?
Сказка: 3 прямые разделили плоскость на 6 частей в мире с двумерным временем. параллельно возникла такая же конструкция. Ваня хотел рассчитать, в каком случае число пересечений с имеющимися прямыми наибольшее. правильно ли был поставлен вопрос?
Параграф 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
Задача 1.
Условие: в треугольнике ABC проведена биссектриса BD и в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами K и L.
Доказать: биссектрисы углов LKB и KLB пересекаются на указанной биссектрисе.
Задача 2.
Условие: на стороне BC треугольника ABC отмечена точка D. В треугольник ABD вписана окружность с центром K, так что отрезки AK и KC перпендикулярны.
Может ли прямая BK проходить через центр вписанной окружности треугольника AKC.
Задача 3. Литературная. Вася шёл по дороге, каждая точка которой была равноудалена либо от двух соседних, либо от двух параллельных границ прямоугольного города. Всегда ли на его сторонах найдутся шесть точек, образующих два треугольника, у которых общий центр вписанной окружности на дороге? © Copyright: Николай Москвитин, 2015
Параграф 3. Внутреняя и внешняя биссектриса треугольника
Задача 1. Условие: на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отмечена точка K. Биссетрисы треугольников AKB и CKB---KL и KM.
Доказать: LM проходит через середину BK тогда и только тогда, когда K--середина гипотенузы.
Задача 2. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD, в точке D к стороне AC проведена прямая, ей перпендикулярная и пересекающая BC в точке E.
доказать: угол между биссектрисой угла BED и прямой AC равен половине угла DEC.
Задача 3. Вася шёл по прямоугольной дороге. Всегда ли он сможет располагаться на пересечении двух биссектрис (внешних или внутренних) каких-нибудь треугольников, три вершины которых расположены на этой дороге?
Параграф 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Задача 1. В треугольнике ABC проведена медиана AD. докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей ADB и ADC равно половине стороны BC.
Задача 2. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. К стороне BC проведён серединный перпендикуляр. наудите на нём такую точку M, так чтобы отрезок DE с концами на прямых AC и AB имел центр описанной окружностив сердине отрезка KM, где K--середина BC.
Задача 3. Иван-Дурак для того, чтобы попасть в центр описанной окружности треугольника, начал с точки, делящей его сторону в отношении 1:2. Для каждой из имеющихся трёх точек он может построить центр описанной окружностир и больше ничего. Сможет ли он достичь цели?
Параграф 5. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Задача 1. Треугольник ABC. В нём отмечен ортоцентр H и на отрезке CH построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ADC.
Доказать, что ортоцентр последнего треугольника лежит на стороне BC только если угол HDC равен двум углам BAH.
Хадача 2. Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D, а внешнюю биссектрису угла A--в точке E.
Докажите, что ортоцентр треугольника ADE лежит на стороне BC.
Задача 3. Как могут быть расположены четыре треугольника, чтобы для трёх их ортоцентров четвёртый ортоцентр был ортоцентром треугольника, образованного этими ортоцентрами и отрезками, их соединяющим?
Параграф 6. Биссектриса в общем случае находится между медианой и высотой треугольника
Задача 1. Условие: четырёхугольник ABCD с двумя параллельными сторонами разделён диагональю AC на два равных треугольника. Центр описанной окружности треугольника ADC--K. Может ли BK быть биссектрисой угла четырёхугольника B?
Задача 2. Докажите, что ортоцентр ортотреугольника совпадает с ортоцентром тругольника, только если треугольник равносторонний.
Задача 3. Из трёх высот и трёх медиан составить треугольника можно. Вытекает ли из факта, что биссектрисы лежат между высотами и медианами, то, что из них не всегда можно составить треугольник?
Угол этот равен сумме прямого угла и половины угла, противолеж. стороне.
Параграф 7. Угол, под которым видна сторона треугольника из точки пересечения его биссектрис, равен сумме прямого угла и половине противолежащего этой стороне угла.
Задача 1. Условие: из вершины C треугольника ABC проведён луч, не содержащий гипотенузу, и на нём отмечена точка D, так что угол IKD, где K—центр вписанной окружности треугольника ICD, равен углу AIB.
Доказать: точка K лежит на прямой BC в одной из группы случаев, а в другой—на AC.
Задача 2. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекается с прямой, перпендикулярной AC и проходящей через точку C, в точке D. Центр впис. окр. треуг. ABC--I.
Доказать: прямая, содержащая радиус описанной окружности треугольника IDC, проведённый в I, отсекает от треугольника ABC равнобедренный треугольник.
Задача 3. Найдите угол, под которым виден один из радиусов описанной окружности из точки на стороне треугольника, делящий её на отрезки, один из которых равен этому радиусу, если известен один из углов треугольника. Какой именно угол должен быть известен для каждого из радиусов (ответ состоит из двух пунктов: первое--найти угол, второе--обозначить возможность его нахождения.
Глава 1. Задача 1.
1) Вершин многоугольника колдуна может быть от 2 и до 8, поэтому сумма углов или не определена, или составляет от 180 градусов до 1080 градусов.
2)Далее, все точки волгебника находятся в одной полуплолскости относительно некой дороги колдуна. Значит, то же можно сказать и об отрезке, их соединяющем.
3) Заклинание: "на каждой из совокупности дорог колдуна ставить такое количество точек, чтобы ни по одной из них колдун не мог попасть в дом человека, не встретив дом волшебника".
Глава 2. Задача 2.
Углы могут быть 360/n, 360/l, 360/p, при этом периметр равен nk+lm+pt, где k,l,m--стороны треугольника, а k,m,t--некоторые числа (все целые или рациональные).
Задача 3.
1) Воспользоваться вспомогательными равными треугольника по катету и острому углу между перпендикуляром из произв. точки одного луча на другой.
2) 30, 60 и 90 (исп. утв. 7-ого параграфа данной главы).
3) На средней линии трапеции, образованной началами и концами путей автомобилей, если для них требовалось разное топливо и находилось дальше, чем ненужное.
Реш. з. 3 гл. уч. пос. по пл. пар. 1-4
Параграф 1.
Задача 1. Условие верное. q может принимать любые значения от 0 до 1. Если говорить о дальнейшем курсе геометрии, можно ещё заметить, что основания биссектрис из вершин двух данных треуг., противолежащих их общей стороне, совпадают. Это объясняет данный факт.
Задача 2. BD+BC>AC-AD (1) CD>AC-AD (2) из неравенства треугольника, применённого дважды. Комбинируя неравенства (1) и (2) приходим к результату: 2(AC-AD)<P(DBC).
Задача 3. Указание: следует воспользоваться тем, что AC=2AD и AD<AO, а 2AO>AC. Ответ: не всегда
Параграф 2.
Задача 1. Указание. Та же методика, что и в задаче 3 прошлого параграфа. Ответ: не всегда.
Задача 2. C_1L=AK/2 и B_1H=KC/2 по свойству медианы из вершины прямого угла. LK=AC/2, так как KL--средняя линия треугольника AHC. Поэтому все три отрезка образуют треугольник, в два раза меньший треугольника AHC с точно таким же отношением сторон. Поэтому из них всегда можно сост. треуг.
Задача 3. Во-первых медиана больше высоты в общем случае (а здесь именно такой. Значит, осталось найти ещё одно неравенство. Но вполне очевидно, сто оно может и не выполнчться, если подумать, что вторая высота может быть очень маленькой.
Параграф 3.
Задача 1. Если вписать в выпуклый четырёхугольник выпуклый, то четвёртая вершины невупыклого, имеющего остальные три общие с вершины с выпуклым, окажется в разных плоскостях с его четвёртой вершиной относительно диаг., соед. две из его неизменённых вершин. Поэтому на первое ответ отрицательный.
А на второе--положительный, если исп. вершину угла, больше 180 градусов как вершины вписываемого выпуклого четырёхугольника, стороны расположить на стороне невыпуклого, содержашего эту вершину. и две вершины выпуклого четырёхугольника разместить на оставшихся сторонах.
Задача 2. Вполне очевидно, что это возможно, если три вершины невыпуклого четырёхугольника будут вне пересекаемого выпуклого, а четвёртая внтри.
Задача 3. Нужно увеличить в два раза вторую часть, отсекаемую невыпуклыми четырёхугольником от выпуклого, расположенную вне первого и внутри второго, тогда ясно, что выпуклый окажется внутри, а потом увеличивать ещё, пока невыпукляый четырёхугольник не будет содержать данный выпуклый.
Параграф 4.
Задача 1. FG<AD, а BC=AD, дальше--исп., что сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра.
Задача 2. Здесь нужно использовать тот факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, ДОКАЗАВ ЭТО САМОСТОЯТЕЛЬНО. Ну и FG=AD/2. А также тот факт, что сумма диагоналей четырёхугольника больше его полупериметра.
Задача 3. нужно исп. нер-во параграфа два раза, и перененести нужные слагаемые в нужные частиЭ, сложив эти неравенства.
Параграф 5.
Задача 1. указание. Примените теорему параграфа к четырёхугольникам ACDF, ECDF и FCDB.
Задача 2. указание: путь состоит из 8 вершин; постройте прямоугольник с центром в центре прямоугольника и соедините середины его сторон с серединами сторон прямоугольника ABCD, затем четырёхкратно примените неравенство треугольника.
Задача 3. Ответ. Больше, чем (m+1)*n.
Параграф 6.
Задача 1. Указание: соединяемых вершин может быть от 2 до 8. Подставляя в выражение для числа диагоналей через n сторон-- n(n-3)/2 все нужные числа.
Задача 2. рубиновых сторон должно быть 6, так как 9 диагоналей имеет шестиугольник,
Задача 3. Следует сначала выразить число сторон l-диагонального многоугольника по формуле. Затем, использовать принцип Дирихле в отношении домов и рощ. (k нет, опечатка).
параграф 7.
Задача 1. Указание. Заметьте, что диагональ у четырёхугольников, отсечённых ею может быть общая, либо же для получения четырёхугольника надо соединить ещё две вершины, одна из которых или совпадает, или не совпадает, с одной или другой из первой пары.
Задача 2. Указание: AB=A'B', а AB<CD=> A'B'<CD, далее рассмотрите ломаную BCB'A'.
Задача 3. Указание. Используйте принцип Дирихле и количество, на которое могут делить три прямые плоскость.
Параграф 1.
Задачи 1. обозначим треугольник, образованный тремя прямыми, ABC. Проведём прямую через B, затем A, затем прямые AB и BC, затем AC и BC, затем снова B, затем C, затем внутрь треугольника.
Задача 2. n(N)<f(N)<=1+n(n-1)/2.
Заметим двойственность слов параллельно , наводящую на построение конструкции трёх прямыХ. параллельных трёх данным. Они могут быть и непараллельны, а также не все из них могут быть параллеьными каким-нибудь прямым в этой конструкции. Поэтому это верно.
Параграф 2.
Задача 1.
Указание. Воспользуйтесь тем, что угол LBD равен четвёртой части угла B и равен углу KBD.
Задача 2. Указание: это возможно, если AD--высота
Задача 3. указание: используйте осевую симметрию относительно средней линии прямоугольника (т.е. переведите три точки в такие, расстояния от которых до прямой, содержащей среднюю линию, равны расстояниям первой тройки, и прообразы, соединённые с образами, перпендикулярны этой средней линии)
Параграф 3.
задача 1. Используйте то, что средняя линия треугольников AKB и BKC, параллельные гипотенузы AC, проходят через середину отрезка BK, а затем три раза--свойство медианы из вершины прямого угла.
Задача 2. Указание. проведите биссекьтрису угла DEC и воспользоваться теоремой о сумме углов в прямокгольном треугольнике.
Параграф 4.
Задача 1 На самом деле условие неверно, и данное расстояние больше равно половины длины стороны BC. Указание: найдите в задаче прямоугольную трапецию, а также используйте то, что половины отрезков BD и CD равны.
Задача 3. Используйте симметрию, как в параграфе 2, задаче 3.
Задача 2. Из точек K и M опустите перпендикуляры на прямую, содержащую основание треугольника ABC. Пусть их основания--P и Q соответстенно, затем от точки Q отложите на этой же прямой отрезок, равный AP, --QT, так что T лежит вне отрезка AQ. Дальше легко.
Задача 3. Указание. Используйте тот факт, что 3n не кратно 2.
Параграф 5.
Задача 1. Угол HDC только тогда равен удвоенномууглу BAH, когда угол HCB равен этой же величине, а последнее будет выполняться тогда, когда прямвя CB будет содержать высоту треугольника HDC--CK.
Задача 2. Обозначим угол ABC как a, а угол ACB как b. При доказательстве от противного угол AHE, где H—иском ый ортоцентр, равен (b+a/2) (по теореме о сумме углов в треугольнике). Угол BDE равен в таком случае равен 180-b-a/2, но этоа величина совпадает с суммо углов A=180-a-b и ABD=a/2. Таким образом, основание биссектрисы треугольника, проведённой из вершины B, совпадает с ортоцентром треугольника AHE, и тогда, наоборот, для треугольника ADE ортоцентром является H.
Задача 3. Надо отметить четыре точки, одна изь которых является ортоцентром для треугольника, образованногот тремя остальными точками как вершинами и отрезками, их соединяющими. Затем проводить стороны треугольников параллельно сторонам этого треугольника, метрические соотношения здесь не играют почти никакой роли.
Параграф 6.
Задача 1. Следует доказать, что отрезок BD делит AC пополам, затем тем фактом, что высота BM и DK параллельны, азначит луч BK как лежащий между прямыми DK и BM, может быть биссетрисой (если AD виден из точки пересечения диагоналей четырёхугольника под тупым углом).
Задача 2. Если ортоцентр лежит на биссектрисе треугольника, значит, он равнобедренный. Таким образом, все стороны ортотреугольника равны и все стороны треугольника ABC также равны.
Задача 3. Существуют и другие отрезки, кроме биссектрис, из которых нельзя составить треугольник, например, еслиь в треугольники две стороны очень маленькие, а третья—большая.
Параграф 7.
З. 1. Ясно, что углы ICD и ACB равны. Тогда угол BCD равен углу AIC, как и угол BCI, и тогда углы BCD и BCI равны, т.е. прямая CK содержит центр вписанной окружности треугоьника ICD, а именно—K.
З.2 Угол , образованный лучом из точки I, принадлежащим биссектрисе угла B, и отрезком CI, равен углу IDC как то несложно вывести из теоремыэтого пункта и из счёта углов, поэтому радиус описанной окружности треугольника IDC, проведённый в точку I, перпендикулярен биссектрисе угла B, и по признаку равнобедренности треугольника(биссектриса явлестя высотой) получаем утверждение з.
З.3 Указание: докажите, что угол OAC равен разности прямого угла и угла B. Ответ: 45+a/2 или 135-a/2, должен быть известен угол, противолежащий стороне треугольника, на которой лежит точка K.