Современная интерпретация 1-ое термодинамики начала в связи с уравнением Менделеева-Клайперона
Из школьного курса физики всем известна формула такая, о приращении внутренней энергии газа (а на самом деле – газового тела (то есть газа в некотором сосуде. ГТ, сокращенно), ибо газ - это материал, а поэтому он энергии (температуры, массы, скорости) не имеет. А имеет только молярную массу, удельную теплоёмкость, плотность, удельную конденсации теплоту и.т.п.):
DU=3/2*R*nu*DT (1),
Где
Nu – количество вещества в ГТ
DT – приращение температуры ГТ
Но в связи с этой формулой возникает тут вопрос такой: а если в газовом теле (то есть в ГТ) возрастает nu? То разве не будет возрастать энергия газового тела? Конечно же, будет. А поэтому формула-то правильная какая, приращения внутренней энергии газового тела?
Для ответа на вопрос на этот обратимся мы к уравнению Менделеева-Клайперона:
pV=nu*R*T,
откуда следует такое:
nu*R*T= pV
А при условии, что nu – константа, и такое:
nu*R*DT= D(pV) (3)
Подставляя же это в формулу (1), мы получим:
DU=3/2* D(pV) (2),
Что, при условии p=const, нам даёт:
DU=3/2* p*DV = 3/2*Ap (4),
Где
Ap – работа газа в процессе изобарном.
А отсюда автоматически выходит (с учётом (3) и (4)) вот такое:
Ap= nu*R*DT
И как же это нам понять? Что на самом деле тот процесс, который принято сейчас изобарным называть, является изопроцессом дважды. А именно, он по давлению изо, а также по nu – количеству вещества. И отсюда нам становится понятно также то, что
DU=3/2*R*nu*DT
относится лишь к случаю (-процессу) такому, при котором nu=const.
А если же этого нет, то формулу эту следует изменить вот так:
DU=3/2*R*D(nu*T)=3/2* R*(Dnu*T+nu*DT),
Которая то обстоятельство и учтёт, что внутренняя энергия ГТ может изменяться и вследствие изменения количества вещества в ГТ (газовом теле) (ибо это полноправная характеристика ГТ, как, например, температура)
Но вспомним мы теперь 1-ый термодинамики закон, согласно которому приращение внутренней энергии ГТ таково:
DU=A’+Q,
Где
A’ – работа, совершённая над ГТ (внешнею средою)
Q – теплота, переданная ГТ
(и обе эти величины, замечу (на будущее притом), отрицательными могут быть)
И после этого сразу тут такой вопрос: и каким же образом, в формуле этой, учитывается количества вещества ГТ тела в его внутреннюю энергию вклад? Да никоим образом, конечно. Ибо работа над ГТ никоим образом от nu не зависит, а теплота, сообщённая телу – это традиционно теплота нагреванья-охлажденья.(то есть зависит от (изменения) температуры тела.
А отсюда вывод, что надо бы в формулу эту (1-го термодинамики закона) дополнительное слагаемое добавить, а именно вот такое:
DU=A’+Q+3/2*R* T*Dnu,
То есть то внутренней энергии приращенье, которое не учтено было в формуле 1-го термодинамики закона изначальной.
Но отсюда встречный тут вопрос: но не нужно ли вместо 3/2*R*Т*Dnu прибавлять к 1-ому закону термодинамики справа целых 3/2*R*D(nu*T)(= 3/2*R*Т*Dnu+3/2*R*nu*DT)?
Ибо ведь непонятно, не учтено ли слагаемое 2-ое, 3/2*R*nu*DT, в слагаемых справа, привычных нам A’и Q.
А поэтому давайте подумаем над этим, учитывая результаты наших предыдущих рассуждений, а также и закон Менделеева-Клайперона. Который выглядит так:
pV=nu*R*T
А отсюда, если дифференцировать его, то такое мы получим:
dp*V+p*dV=R*(dnu*T+nu*dT) => R*(dnu*T+nu*dT) – (dp*V+p*dV)=0 (5)
И в этой формуле, в выраженьи слева, слагаемое такое видно:
p*dV = Ap
(то есть работа ГТ в изобарическом процессе.
а отсюда понятно, что, чем больше работа эта, тем меньше у него энергии будет.)
А остальные же энергии формы здесь непонятны.
Так что же делать?
А может, для начала сразу умножим уравнение (5) на 3/2? Что же мы получим? А всего лишь такое, уравнение баланса энергий, для 1-атомного газа
(как, впрочем,и для2-атомного, конечно.Ибо что изменится тут? Только лишь множитель 3/2 на 5/2):
3/2*(dp*V+p*dV=R*(dnu*T+nu*dT) => 3/2*(R*(dnu*T+nu*dT) – (dp*V+p*dV))=0 (6)
Откуда сразу возникает понимание того, что в этом уравненьи есть и приращение внутренней энергии газа при nu=const. (А именно, слагаемое такое: dU=3/2*R* nu*dT)
А отсюда мы понимаем также то, что такое вот энергии приращенье ГТ может быть связано лишь c Q, сообщенной телу.
За что же отвечают другие слагаемые в левой части? А именно, -3/2*dp*V и -3/2*p*dV?
Это легко понять нам, сравнивая формулу (5) (уравнение Менделеева-Клайперона в дифференцальной форме) с термодинамики 1-ым началом.
-3/2*p*dV, понятно - это работа среды над ГТ при изобарическом процессе, ну а -3/2*dp*V? Работа среды над газом при изохорическом процессе.
(а точнее, 3/2 от названных работ.
Относительно множителя 3/2 (откуда содержательно он возникает в формуле этой?) пока отложим мы вопрос.)
А точнее не работы даже
(поскольку мы не приращение давления взяли, а его дифференциал), а той части энергии ГТ, за изменение которой изменение давления отвечает.(поэтому логично эту энергии форму p-энергией назвать)
Что же касается слагаемых остальных в левой части формулы (6), то это соответственно дифференциалы nu-, T-, V-энергий ГТ.
Теперь мы готовы ответить на вопрос, каким же образом получается такое, что работа газа при изобарическом процессе не только p*DV равна, но также и nu*R*DT? Возьмём мы формулу (5) и дополнительно в ней положим: dp=0 и dnu=0. Тогда и получится у нас формула такая:
R* nu*dT –p*dV=0,
Которая и объясняет нам сей феномен с энергетической точки зренья: энергия, сообщаемая ГТ в форме теплоты (R* nu*dT) в процессе вот таком полностью в работу газа (p*dV) переходит. Чего тут в результате приращение энергии газового тела равняется 0.
Теперь мы выясним ответ на вопрос такой: почему в правой части формулы (5) находим мы 0?
(тогда как в 1-ом термодинамики начале слева стоит DU, то приращение внутренней энергии ГТ. Но по какому, кстати, праву, мы называем его так? Ведь пополнение энергии ГТ происходит в самых разных энергии формах: nu-, T-, p- и V- .
Поэтому то, что обозначается DU – это просто некое приращение энергии ГТ, в абстрактной форме)
Да очень просто: поскольку левая часть формулы этой энергетический смысл имеет, то справа 0 означает, что энергия в ГТ не прибывает и из него не убывает. То есть состояние равновесия в ГТ имеет место. А отсюда нам становится понятно, что уравнение Менделеева-Клайперона описывает равновесное состояние ГТ, а также и такие вот процессы, которые термодинамика квазиравновесными называет.
(а на самом деле несколько процессов, идущих параллельно и при этом со скоростью равной. Пример таких процессов – см. выше, при энергетическом разборе (дифференциально) изо-p изо-nu процесса.
В отличие от таких изо-процессов существуют и такие вот процессы, которые изо- интегрально, то есть в приращениях всего лишь. Но энергетический результат их – в точности такой же. И это - реальные приближенья мифических процессов квазиравновесных. Ибо как процесс любой-то запустить? Создать неравновесность, то есть ситуацию такую, при которой энергии извне будет позволено входить в систему или наоборот, из системы вытекать.)
Что же произойдет с ГТ, если в нём создать ситуацию неравновесья? В него проникнет энергия извне, которая затем (в течение некоторого времени) усвоится ГТ, в виде некоторых процессов в нём, что и вызовет изменение параметров его. Если рассматривать данный процесс интегрально, то совершенно не важно, в какой форме сообщается энергия извне ГТ. Поэтому дифференциал энергии этой мы обозначим dE. Откуда мы и получим уравнение Менделеева-Клайперона для случая неравновесья:
R*(dnu*T+nu*dT) – (dp*V+p*dV)=dE (7)
Для упрощения выкладок наших опять же мы положим, что не только dp=0, но и dnu=0.
Отсюда из (7) выйдет:
R*nu*dT –p*dV=dE (8)
Отсюда попытаемся выяснить такое: как изменяться будет тут объём, в зависимости от температуры ГТ?
R*nu–p*dV/dT =dE/dT => dV/dT=( R*nu- dE/dT)/p
А отсюда мы видим: чем быстрей энергию мы будем закачивать в ГТ, по отношению к росту его температуры (то есть при dE/dT>0), тем медленнее увеличиваться будет его объём, при увеличении температуры тела.
Тогда при dE/dT=0 (то есть в процессе квазиравновесном) мы получили бы зависимость такую:
dV/dT=R*nu/p,
которая при dp=0 и dnu=0 даёт классический изобарический процесс (квазиравновесный):
V= R*nu/p*T (где R*nu/p –константа)
Тогда как формула неклассического (то есть не квазиравновесного) процесса такова:
dV/dT=(R*nu- dE/dT)/p
Учитывая то, что классические изо-процессы – не только квазиравновесны, но и также и дважды изо-, рассмотрим случай мы такой. Пускай мы зафиксируем всего 1 параметр ГТ (а не 2, как обычно), а именно nu.
(а именно такой процесс имеет место в сосуде всего лишь герметичном. И называется он процесс адиабатичный)
Какой процесс, пусть и квазиравновесный (dE=0), мы получим? Описываемой уравнением таким:
R*nu*dT– dp*V-p*dV=0
Но допустим, мы хотим узнать, как изменяется в процессе этом давление в зависимости от объёма. Как мы сделаем это? А вот так:
R*nu*dT/dV – dp/dV *V -p =0 => dp/dV= (R*nu*dT/dV-p)/V
А отсюда нам понятно, что при dT/dV>0 (то есть при более быстром росте температуры ГТ, чем росте его объема), в случае
R*nu*dT/dV-p>0 => dT/dV-p/( R*nu)>0 => dT/dV>p/( R*nu)
рост давления в ГТ при уменьшении его объема будет происходить быстрее, чем в изотермическом процессе, при котором dT/dV=0, а потому:
dp/dV= -p/V
А отсюда более общий вывод:
1)чтобы получился более простой процесс в ГТ (с математической точки зренья), мы фиксируем параметры ГТ (то есть объявляем их дифференциалы равными 0)
2)наиболее простое описание процесса получается тогда, когда остаётся всего 2 свободных параметра ГТ.
2)объявляя процесс в ГТ квазиравновесным, мы фиксируем еще параметр его один – энергию ГТ.
Поэтому, если же рассматривать процесс неквазиравновесный, то появляется ещё один, 5-ый, параметр ГТ.
Влияние чего тут таково же будет, как если бы мы в нормальном, квазиравновесном ГТ, расфиксировали бы какой-то его параметр (из 2-х зафиксированных уже). И получили бы в итоге всего 3 параметра свободных.(а не 2, как привычно)
Чего в итоге, для получения более однозначного процесса, мы тут производные между параметрами тела будем вынуждены еще задавать.