Как известно, «единица» это отдельный, замкнутый и самодостаточный объект. Все в Мире складывается из «единиц». Сама же «единица» тоже может складываться из своих «долей».
Доли числовой единицы это дробные числа, конечные или бесконечные, точнее рациональные или иррациональные.
Вариантов сложения единицы даже из двух долей может быть огромное количество, но одно из них совершенно удивительное. И еще здесь не менее удивительно, что говорят уже не о сложении, а о делении единицы на две части в так называемой «золотой пропорции».
Эти две части ( и все-таки слагаемые), являются отрицательными степенями константы Фибоначчи, числа «Ф». Сама константа «Ф» имеет числовое значение, приблизительно равное: 1.61803399, а составные части единицы будут:
Ф^(-1) = 0.61803399 ,
Ф^(-2) = 0.38196601
Константа «Ф», сама по себе, тоже очень удивительная, и невозможно удержаться, чтобы не написать несколько выражений, хотя бы немного свидетельствующих об этом:
1/Ф = Ф – 1 , Ф^2 = Ф + 1 , Ф = 1 + (1 + Ф^(-1))^(-1) , Ф = Ф^2 + i^2 , Ф = i^(2/5) + i^(-2/5), где i - мнимая единица.
Сама эта константа «накрепко» связана с единицей, а ее отрицательные степени составляют эту единицу, как говорят в «золотой пропорции»:
1 = Ф^(-1) + Ф^(-2) = 0.61803399 + 0.38196601 (*)
Не вдаваясь в детали «золотой пропорции», отметим, что константа «Ф» ( хотя и происходит независимо) имеет прямое отношение к последовательности Фибоначчи, числа которой образованы из чисел натурального ряда по следующему правилу:
Следующее число = сумме двух предыдущих
Если обозначить текущий член последовательности как F(i) , то это правило можно записать формулой:
F(i+1) = F(i) + F(i-1)
В числовом представлении такая последовательность будет иметь вид:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
В этой последовательности константа «Ф» проявляется, как отношение соседних членов:
Ф = F(i+1) / F(i) или Ф = F(i) / F(i-1)
Используя числа из последовательности Фибоначчи запишем формулу (*) в виде:
1 = 1* Ф^(-1) + 1* Ф^(-2)
Тогда все следующие числа Фибоначчи в комбинации с соответствующими степенями константы «Ф» создадут последовательность единиц Фибоначчи, имеющую вид:
1 = 2* Ф^(-2) + 1* Ф^(-3) , 1 = 3* Ф^(-3) + 2* Ф^(-4) , 1 = 5* Ф^(-4) + 3* Ф^(-5) ,
1 = 8* Ф^(-5) + 5* Ф^(-6) , 1 = 13* Ф(-6) + 8* Ф^(-7) , 1 = 21* Ф^(-7) + 13* Ф^(-8) ,
1 = 34* Ф^(-8) + 21* Ф^(-9) , 1 = 55* Ф^(-9) + 34* Ф^(-10) , 1 = 89* Ф^(-10) + 55* Ф^(-11) ,
1 = 144* Ф^(-11) + 89* Ф^(-12) , 1 = 233* Ф^(-12) + 144* Ф^(-13) , . . .
В общем виде эти формулы можно записать:
1 = F(i) * Ф^(-i) + F(i-1)* Ф^(-(i+1)) , где i = 1, 2, 3, …
В числовом виде эта последовательность единиц с точностью до четырех знаков будет:
1 = 0.6180 + 0. 3820 , 1 = 0.7639 + 0.2361 , 1 = 0.7082 + 0.2918 ,
1 = 0.7295 + 0.2705 , 1 = 0.7214 + 0.2786 , 1 = 0.7245 + 0.2755 ,
1 = 0.7233 + 0.2767 , 1 = 0.7237 + 0.2763 , 1 = 0.7236 + 0.2764 ,
1 = 0.7236 + 0.2764 , 1 = 0.7236 + 0.2764 , 1 = 0.7236 + 0.2764 , . . .
У этой совокупности единиц, в последовательности ее слагаемых, просматривается некоторый волновой процесс. Начало процесса – «золотая пропорция», с отношением членов равным константе «Ф»:
0.6180 / 0.3820 = 1.6180 = Ф ,
Отношение последних слагаемых единицы установившегося волнового процесса будет уже - константа «Ф» в квадрате:
0.7236 /0.2764 = 2.6180 = Ф^2 ,
Похоже, что здесь появляется «гармония второго порядка».
А у слагаемых, промежуточных для этой последовательности, гармония нарушается.
Например, у слагаемых с максимальным отклонением от «золотой пропорции» отношение будет:
0.7639 / 0.2361 = 3.2355
У четвертой единицы последовательности, формула которой имеет вид:
1 = F(4)* Ф^(-4) + F(3)* Ф^(-5) = 5* Ф^(-4) + 3* Ф^(-5) ,
отношение слагаемых будет:
0.7295 / 0.2705 = 2.6968
Кроме нарушения гармонии в последовательности единиц и волнового процесса в изменении слагаемых единицы, можно заметить еще одно интересное явление. Численное значение первого слагаемого в четвертой единице последовательности, равное 0. 7295 , очень близко подходит к значению, так называемой «постоянной тонкой структуры», взятой в другом масштабе:
альфа = 1 / 137.0 = 0.007295
Можно записать приближенное равенство:
F(4)* Ф^(-4) = 0.7295 = 100* альфа ,
здесь, F(4) – число Фибоначчи из его последовательности, равное целому числу - 5 ,
Ф^(-4) – отрицательная степень константы Фибоначчи,
«альфа» - символ, обозначающий «постоянную тонкой структуры».
Получается, что число очень близкое по значению к выражению "100* альфа" довольно часто встречается в соотношениях фундаментальных математических констант. Вот теперь оно встретилось в произведении числа Фибоначчи и соответствующей степени его константы. Может быть в этом есть некоторый смысл?