Я с детства любил задачки. Какие-то из них мне предлагались для решения, какие-то я сам придумывал. В занятии этом мне способствовали родители, которые в увлечении моем физикой-математикой не усматривали крамолы, в отличие от битья лампочек из рогатки, курения в школьном туалете и слишком раннего ухлестывания за девочками.
Задачки мне нравились с минимальным количеством исходных параметров. Например, вот такая (я получил ее на вступительном экзамене в университет): "Дана полусфера радиуса R с горизонтальной диаметральной плоскостью. К вершины полусферы с нулевой начальной скоростью под действием силы тяжести скатывается материальная точка. На какой высоте она оторвется от поверхности?"
Видите, в задаче этой параметр дан только один - R. Ответ - 2/3 R.
***
Или такая: "Дана квадратная двуспальная кровать со стороной А. По углам кровати сидят в стартовой позиции четыре клопа - первый, второй, третий, четвертый, если считать их по часовой стрелке. Судья стреляет из пистолета и клопы начитают ползти с одинаковой скоростью V: первый на второго, второй на третьего, третий на четвертого, четвертый на первого. Через какое время клопы сползутся?"
Когда мне подкинули эту задачку, я уже учился в вузе и осваивал азы матанализа. Тотчас схватил ручку, вооружился полярными координатами и нарисовал дифур (он получился однородным). При решении уперся в несобственный интеграл, сходимость которого еще доказать надо было. Доказал, проинтегрировал. Это был самый громоздкий и неуклюжий вариант решения. Спустя какое-то время осенило: бесконечно малое приращение траектории равно бесконечно малому приращению стороны квадрата, следовательно - длина траектории А, а время А/V.
***
И лишь много-много позже, при изучении вариационки, я узнал о т. наз. "линии погони" - ключевого понятия при разработке, к примеру, устройств самонаведения ракет. И тут же пришла в голову идея еще одной задачки. "Дан квадратный перекресток двух улиц шириной А. Даны три точки: милиционер на северо-западном углу перекрестка, гражданин на юго-западном углу и трамвай на остановке на расстоянии B к западу от перекрестка. (Трамвайная линия идет точно по осевой). Гражданин трогается с места и идет на восток, где перехода нет. Увидев нарушение, милиционер свистит и устремляется на гражданина по линии погони со скоростью Vм. В тот же момент трогается трамвай и едет на восток со скоростью Vт. С какой скоростью должен идти гражданин, чтобы милиционер попал под трамвай?"
Задачка эта, в отличие от предыдущих, "многофигурная", но благодаря увлекательному сюжету решилась без особого труда.
***
Задачка о математическом маятнике и нематематическом (реальном) дырявом ведре с водой. "На нерастяжимой нити при отсутствии сопротивления воздуха и прочих мешающих условий в поле силы тяжести болтается ведро с водой, вытекающей через дырку. Вопрос: как будет меняться период колебаний по мере вытекания воды??"
Задача, в отличие от предыдущей, вообще без параметров. Но предупреждаю: она с заковыкой. Почти все дают в ответе только половину решения.
***
Ну, есть у меня задачка даже зарифмованная: http://www.proza.ru/2016/05/23/1640 .
***
Ну, интересовали меня еще задачи с некорректной постановкой условий. Например, такая: "Самолет стартует в точке А и летит 1000 км на восток, затем поворачивает и и летит 1000 км на север, затем поворачивает и летит 1000 км на запад, затем поворачивает и летит 1000 км на юг. Вопрос: где относительно стартовой точки самолет приземлится????"
Подумайте секунду и обнаружите в этом условии море ляпов и нелогичностей. Подсказывать не буду, дабы Вы получили удовольствие от собственного анализа.
***
И под конец - о задаче, которую я все пытаюсь-пытаюсь и никак не могу решить. Почти сдался. Читатели, подскажите!!!!
Формулируется задача так: "Найти минимальной площади плоскую фигуру, внутри которой можно повернуть равносторонний треугольник на 360 градусов ".
Ситуация чем-то напоминает таковую с треугольником Рёлло, вращающемся внутри квадрата. На этом аналогия и кончается. У нас - не Рёлло (равносторонний треугольник, дополненный дугами из вершин), а нормальный рабоче-крестьянский равносторонний треугольник. Вращается он не в квадрате, а в чем - сейчас расскажу. Или предложу сделать собственный эксперимент.
Берем надфиль или шабер треугольного сечения, кусочек бумажечки и начинаем медленно и нежно дырявить ее вращательными движениями инструмента, позволяя его носику гулять как ему вздумается (иначе опыт не удастся - получится круг). И через какое-то время вдруг замечаем, что дырка-то образуется квадратная. Ну, не совсем квадратная, а такая-эдакая "подушкообразная": квадрат со слегка вмятыми сторонами и закругленными уголками.
Тривиальное решение задачи - с кругом - не проходит. При стороне треугольника, равной корню квадратному из трех, площадь круга равна пи (3,14159). Но внутри квадрата меньшей площади (равной трем) треугольник тоже поворачивается, да еще и с запасом.
Я додумался до варианта вращения, показанного на прикрепленной анимашке - площадь этой криволинейной фигуры = 2,89. Но это, по всей видимости, еще не самый экономный вариант.
P.S. Нашел вариант с показателем 2,60 (анимация показана). Но это, видимо, тоже не предел.
Сводка:
Круг — 100%
Квадрат — 95%
Предыдущий вариант М. Дундилы — 92%
Последний вариант М. Дундилы (показанный на анимации) — 86.6% (sqr(3)/2*100).
***
Ну и на закуску совсем простая задачка. Вероятность отказа парашюта 1/100. Какова вероятность уцелеть после ста прыжков?