6. Лемма.
Единственный инструмент, который выходит за пределы школьной программы, – это Лемма 6°, которая используется лишь в третьем (и, возможно, в первом) доказательстве. С большой вероятностью ее первооткрывателем являюсь я. И случилось это давно, ибо уже в 2011 году она была мною опубликована на сайте http://www.mathforum.ru/forum/read/1/20535/page/63/ и /65/.
Это очень красивая теорема – родственница малой теоремы Ферма, ибо в обоих случаях речь идет о единичном окончании. Правда, в малой теореме речь идет о единичном окончания степени числа, а в теореме об R-числе – о каждом его простом сомножителе, и потому R-теорема (назовем ее так) на порядок труднее доказательства малой теоремы, поскольку требует не очевидного обращения к теории решения линенйных диофантовых уравнений. Итак...
6°) Лемма /факультативно/. Каждый простой делитель сомножителя R бинома
A^(n^k)+B^(n^k)={A^(n^{k-1})+B^(n^{k-1})}R, где k>1, числа A и B взаимно простые и число A+B не кратно простому n>2, имеет вид: m=dn^k+1.
Доказательство
Допустим, что среди простых сомножителей числа R есть сомножитель вида:
m=dn^(k-1)+1, где d не кратно n. Тогда два числа:
6-1°) A^{n^k}+B^{n^k} и, согласно малой теореме Ферма для простой степени m,
6-2°) A^{dn^(k-1)}-B^{dn^(k-1)} (где d четно) делятся на m.
Теорема о НОД двух степенных биномов A^(dn)+B^(dn) и A^(dq)+B^(dq), где натуральные A и B взаимно простые, n [>2] и q [>2] взаимно простые и d>0, утверждает, что наибольший общий делитель этих биномов равен A^d+B^d .
В нашем случае НОД, кратный m, есть число A^{n^(k-1)}-B^{n^(k-1)}, которое является взаимно простым с числом R. Следовательно, никакой сомножитель m вида m=dn^{k-1}+1 не принадлежит числу R. Из чего следует истинность Леммы.
Единственное, что я в доказательство не включил, это теорему о НОД двух степенных биномов, полагая, что эта базовая теорема из теории степенных биномов является и доказанной, и хорошо известной специалистам. К тому же в моем доказательстве ВТФ она используется лишь в запасном, третьем случае. Однако буду рад узнать, что теорема о НОД не известна и тогда я с огромным удовольствием приведу ее подробнейшее доказательство (которое было многократно опубликовано мною на математических форумах).
Таким образом, теорема о базовом равенстве Ферма полностью доказана.
***
Хотел бы еще раз сказать несколько слов о средней теореме Ферма – о двузначном окончании простой степени. Именно в ней спрятано «жало Змея-Горыныча» – способность чисел А, В, С к самовозрастанию степени в формуле их окончаний. Ведь это единственный случай при умножении целых чисел, когда когда последние цифры сомножителей с полной определенностью задают и вторую (от конца) цифру произведения, начисто пренебрегая значениями вторых цифр сомножителей.
А единичные окончания чисел p, q, и r и простейшие соотношения между числами в равенстве Ферма делают чудо: свойство двузначных окончаний степеней переносится и на сами основания – на числа А, В, С: их последние цифры однозначно определяют и их предпоследние цифры! И более того: предпоследние цифры чисел А, В, С лишены возможности иметь какие-либо иные значения, так эта закономерность принуждает их иметь определенные значения! И в самом смешном случае (он же и самый невообразимо трудный при попытке доказательства ВТФ), когда числа С и А оканчиваются цифрой 1, окончания чисел А и В любой сколь-угодно большой длины оказываются равными 1...
***
И вот теперь, КОГДА доказательство ВТФ найдено, можно удивляться, ну как 350 лет самые сильные математические умы человечества не могли его найти?! (И тут же другое чудо: как эту неразрешимую теорему смог доказать САМЫЙ плохой математик в истории?!). На этом математическую стезю я оставляю (есть дела поважней, мой друг Горацио!). Надеюсь на прощание, если будет время, порадовать любителей математики частной формулой простого числа, на миг показавшейся мне в процессе доказательства R-теоремы и очень похожей на формулу простого числа Пьера Ферма, которую в свое время и я тоже принял за настоящую...
***
Она, МАТЕМАТИКА, прекрасна – как и те две девушки (Нина и Зоя), которые САМИ нашли красоту в этой мало кому понятой науке. Впрочем, на старости лет я узнал, что существуют две математики – кондовая и живая. Как-то один математик, которому я решил показать свое доказательство ВТФ, чуть ли не в прямом смысле сунул меня мордой в мое «дерьмо» и показал, КАК надо оформлять математические тексты: решение простейшего линейного уравнения с одним неизвестным он расписал на полстраницы! И от этого меня чуть не вырвало в самом прямом смысле... Нет, я не сказал «фи» уважаемому профессионалу, но зато желание стать математиком у меня пропало навсегда!
А я с трепетом вспоминаю СВОЮ математику и своих реальных и книжных учителей – Софью Ковалевскую, Эвариста Галуа, Петра Сергеевича Моденова и гения Бачелиса, который менее чем за минуту расписал доказательство конкурсной задачи по алгебре, которую я решал полтора года!
Я не спорю: я действительно плохой математик: придумал десять тысяч доказательств ВТФ и все оказались ошибочными! Я, конечно, понимаю, что терпение многих специалистов, к которым я обращался со своим доказательством, иссякло. Но я обещаю: я больше не буду! Я спрячусь в склепе своей никому не нужной социологии.
Ну а какой шум начнется после признания моего доказательства мировым сообществом, это уже совсем другая тема, которая меня волнует мало. Я буду очень далеко от всего этого.