В предыдущей статье я рассказывал о великолепной и исключительно ясной идее доказательства ВТФ с помощью двух чисел-близнецов. Правда, после размышлений одно из них я счел разумным чуть-чуть видозменить. В итоге получился вот такой проект доказательства Великой теоремы:
Легко видеть, что в базовом равенстве Ферма
1) C^n=A^n+B^n=(A+B)R, где R=r^n либо nr^n (и C=cr), число r является сомножителем чисел S и T в равенствах
2) D =(C-B)^n+(C-A)^n=(C-B+C-A)S,
3) E =(C-B)^n-(C+A)^n=(C-B-C-A)T;
НО: в каждом простом сомножителе (кроме n) числа S предпоследняя цифра есть ноль (и это доказано), а в каждом простом сомножителе (кроме n) числа T – НЕ ноль (и это хоть и очевидно, но пока не доказано).
В первый момент мне показалось, что доказательство второй леммы исключительно просто, но красивая идея доказательства оказалась неверной и надежда на ее доказательство упало у меня почти до нуля. В последующую неделю я побродил по довольно интересным математическим областям, но всюду находил жесткие признаки отсутствия доказательства ВТФ. Логика Пьера Ферма настойчиво рекомендовала мне вернуться на рабочее место и найти выход из тупика. Для тех, кому интересно, я даю обзор ситуации.
В биноме D (2) основания C-B и C-A являются n-ми степенями и потому, согласно Средней теореме Ферма, КАЖДЫЙ простой сомножитель числа S оканчивается на 01.
А в биноме Е (3) второе основание, C+A, не только не является n-й степенью, но даже его двузначное окончание не является окончанием n-й степени никакого числа. И если первое C-B в (n-1)-й степени оканчивается на 01, то у второй степени вместо нуля будет положительная цифра. И следовательно, число Т не оканчивается на 01.
Это, конечно, хорошо, но этого еще недостаточно, чтобы утверждать, что и каждый простой сомножитель числа Т не оканчивается на 01. А нам нужно доказать именно это! У П.Ферма для доказательства этой леммы уже был какой-то инструментарий, а у меня фактически чистый лист. И потому хочешь-не-хочешь придется инструментарий создать! Прежде всего придется все натуральные числа разбить на два класса – V и W. В класс V мы отнесем числа v, у которых двузначное окончание не является двузначным окончанием какой-либо n-й степени, а в класс W – все остальные, т.е. w. Вот первые очевидные свойства чисел в этих множествах:
v1*w=v2; w1*w2=w3; если w1*x=w2, то x=w3; (w^{n-1})_2=01; (v^{n-1})_2=/=01.
И вот, танцуя от этих свойств, нам нужно доказать, что есть простой сомножитель h числа r, что его вторая цифра h''=/=0, после чего ВТФ можно считать доказанной. Кстати, пока писал заметку, пришла и простая идея доказательства. Осталось записать...