Памяти МАМЫ
Противоречие: В равенстве A^n=A^n+B^n [=(A+B)R] число R имеет ДВА значения.
Все целые числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2.
Определения:
Степенным окончанием A_[t+1] длиной t+1 цифр будем называть окончание (A'^{n^t})_[t+1] некоторого натурального числа A=A'^{n^t}+Dn^{t+1}, где A' – последняя цифра числа A.
Единичным окончанием r_[t-1] числа r будем называть [t-1]-значное окончание равное 1.
Обозначения: A', A'', A_(t) – первая, вторая, t-я цифра от конца в числе A;
A_2, A_3,A_[t] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[t]=A mod n^t); nn=n*n=n^2.
ВТФ доказывается для базового случая (см. http://vixra.org/abs/1707.0174):
L1°) Цифра (A^n)_(t+1) однозначно определяется окончанием A_[t] (следствие из бинома Ньютона).
То есть окончания (A^n)_2, (A^{n^2})_3 и т.д. не зависят от цифры A'' и являются функцией лишь цифры A'.
L1.1°) Следствие: если A_[t+1]=(d^{n^t})_[t+1], где d_[2]=(e^n)_[2], то A[t+2]=(e^{n^t})[t+2] и
(A^{n-1})_[t+1]=(A'^{n-1})_[t+1]=1.
L1.2°) При этом и (g'^{n-1})_[t+1]=1, где g' есть какой-либо сомножитель числа A'.
L1.3°) Если C_[t]=C°_[t], A_[t]=A°_[t], B_[t]=B°_[t] и
(C^n)_[t+1]=(A^n)_[t+1]+(B^n)_[t+1], то и (C°^n)_[t+1]=(A°^n)_[t+1]+(B°^n)_[t+1].
L2°) Лемма. t-значное окончание любого простого сомножителя числа R в равенстве (A^n+B^n)_[t+1]=[(A+B)R]_[t+1], где
A[t]=(A^{n^(t-1)})_[t], B[t]=(B^{n^(t-1)})_[t], (A^{n^t}+B^{n^t})_[t+1]=(C^{n^t})_[t+1], t>1, числа A и B взаимно простые и число A+B не кратно простому n>2, равно 1. Истинность Леммы следует из равенства (CC^{n-1})_[t+1]=[(A+B)R]_[t+1], где
C_[t+1]=(A+B)_[t+1]=0, и L1.2°.
Равенство Ферма имеет три эквивалентных формы:
1°) C^n=A^n+B^n [...=(A+B)R=c^nr^n], A^n=C^n-B^n [...=(C-B)P=a^np^n] и B^n=C^n-A^n [...=(C-A)Q=b^nq^n], где
при (ABC)'=/=0 числа в парах (c, r), (a, p), (b, q) взаимно простые.
1.1°) Числа R, P, Q (без возможного сомножителя n) имеют единичные окончания с их наименьшей длиной в k цифр. Если, например, k=2, то наименьшее окончание будет 01.
1.2°) Следовательно, наименьшее единичное окончание у чисел r, p, q равно k-1 (цифр).
1.3°) Число U=A+B-C [=un^k] оканчивается на k нулей, даже если A', B' или C'=0.
1.4°) Если, например, C'=0, то число C оканчивается ровно на k нулей. При этом его особый сомножитель R оканчивается ровно на один ноль, который в число r не входит.
1.5°) Следовательно, в этом случае число A+B оканчивается nk-1 [>k] нулей.
L3°) Лемма. Если наименьшая длина единичного кончания у чисел r, p, q равна k-1 (и у чисел R, P, Q равна k), то степенные окончания чисел A и C-B, B и C-A, C и A+B, не кратных n, будут равны: A'^{n^(k-1)}, B'^{n^(k-1)}, C'^{n^(k-1)}.
Доказательство Леммы. Пусть для начала k=2. Тогда из равенства A+B-C=un^k (1.3°), с учетом 1° и L1°, мы находим равенства по двузначным окончаниям:
C==c'^n, A==a'^n, B==b'^n mod n^2, или C_2=(c'^n)_2, A2=(a'^n)_2, B_2=(b'^n)_2.
Затем, если k>2, подставляем эти значения чисел A, B, C в левые части равенств 1°, учитываем свойство L1.1° и решаем систему уравнений C^n=A+B, A^n=C-B, B^n=C-A, относительно A, B, C, пока не дойдем до значений
A'^{n^(k-1)}, B'^{n^(k-1)}, C'^{n^(k-1)}.
Доказательство ВТФ
Пусть наименьшая длина единичного окончания среди чисел r, p, q будет у числа r и равна k-1 (в этом случае C'=/=0). Тогда наименьшая длина единичного окончания у чисел R, P, Q не кратных n будет равна k. И, следовательно, число U=A+B-C=un^k.
Согласно L3° и L1.3°): (C-B)^n==A^{n^k}, (C-A)^n==B^{n^k}, (C-B)^{n^(k+1)}+(C-A)^{n^(k+1)}==(A+B)^{n^(k+1)}
(mod n^{k+1}), или
[(C-B)^n]_[k]=[A^{n^k}]_[k], [(C-A)^n]_[k]=B^{n^k}_[k], [(C-B)^{n^(k+1)}+(C-A)^{n^(k+1)}]_[k]=[(A+B)^{n^(k+1)}]_[k].
И теперь, согласно Лемме L2°, каждый простой сомножитель числа T в равенстве
D=(C-B)^n+(C-A)^n=[(C-B)+(C-A)]T имеет единичное окончание длиной не менее k цифр.
Но среди сомножителей числа T содержится и число r, причем строго в первой степени! (Ибо число [(C-B)+(C-A)] на r не делится, а числа r и D/r взаимно простые.)
И мы пришли к противоречию: в самом равенстве Ферма единичное окончание числа r имеет длину в k-1 знаков, а в числе T – k знаков. Тем самым ВТФ доказана.
Мезос, 1 декабря 2017