Памяти МАМЫ
Равенство Ферма противоречиво по (k+2)-м цифрам степеней, где k – число нулей в нулевом окончании числа A+B-C.
Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A_k – последняя, k-я цифра от конца числа A; A_[k] – k-значное окончание числа.
Лемма (ключ). Из бинома Ньютона An=(Dn^3+A_3*n^2+A_[2])^n=En^4+A_3*n^3*(A_[2])^{n-1}+(A_[2])^n следует, что 3-я цифра степени A^n не зависит от 3-й цифры основания A.
Следствие: в равенстве Ферма цифра {(A_[3])^n+(B_[3])^n-(C_[3])^n}_3 =0 независима от A_3, B_3, C_3.
Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C c (ABC)'=/=0,
1°) A^n+B^n-C^n=0, где A+B-C=un^k (мы рассмотрим доказательство лишь для k=2) и
1a°) A_[2]=[(A')^n]_[2], B_[2]=[(B')^n]_[2], C_[2]=[(C')^n]_[2], т.е. A_[3], B_[3], C_[3] представимы в виде:
1b°) A_[3]=[(A')^n]_[3]+an^2, B_[3]=[(B')^n]_[3]+bn^2, C_[3]=[(C')^n]_[3]+cn^2, где a, b и c – цифры.
После подстановки этих значений в 1° мы, согласно лемме (и с учетом единичных окончаний в (n-1)-х степенях при вторых членах разложения биномов) имеем:
1c°) (A^n)_[4]=(A')^{nn}_[4]+an^3, (B^n)_[4]=(B')^{nn}_[4]+bn^3, (C^n)_[4]=(C')^{nn}_[4]+an^3. И теперь из 1° следует:
2°) (mod n^4).
Доказательство ВТФ
3°) Составим n-1 эквивалентных равенств 1° (следовательно и 2°) с помощью почленного умножения равенства 1° на g^{n^3}, где g=1, 2, … n-1.
И теперь после суммирования n-1 равенств отдельно для букв A, B, C мы получаем 4-ю цифру у каждой суммы, равную (n-1)/2. Такое же значение будет иметь и 4-я цифра общей суммы слагаемых в левой части. То есть равенство Ферма 1° не выполняется.
[Для суммирования степенных окончаний их следует объединить в пары с последними цифрами g и n-g: g^{nn}+(n-g)^{nn}, после чего 4-я цифра в каждой паре равна 1, а число пар равно (n-1)/2, что для каждой буквы дает итоговое значение для 4-й цифры (n-1)/2.]
Сумма же чисел a, b, c, умноженных на 1, 2,... n-1, оканчивается на ноль и в образовании 4-й цифры в итоговом равенстве участия не принимает.
Случай же, например, с B'=0 доказывается точно так же, но число A нужно заменить на равное n^s-A*, где s>5.
Случаи с k>2 доказываются абсолютно так же, но с помощью степенных окончаний (A')^{n^k}_[k+1], (B')^{n^k}_[k+1], (C')^{n^k}_[k+1].
Таким образом, ВТФ доказана. (Если, конечно, нет примитивной ошибки)
В общем, дядя Петя скучать не даст!
Mezos, 09.06.2018