«Математические методы в психологии»
Ермолаев Андрей Алексеевич
Саратов 2020 г.
Введение
Психология изучает различные направления и отрасли. В том числе и изучает математические методы в обработке данных
Для обработки данных исследований и установления закономерностей между изучаемыми явлениями в психологии применяются математические методы.
Математическими методами можно описать психологическую модель, некое условное описание наблюдаемого объекта, проанализировать причинно-следственные прошлого, чтобы сделать прогноз на будущее (экстраполяцию) и выработать механизмы воздействия на модель для коррекции этого будущего.
Одним из направлений современной психологии является математическая психология.
Математическая психология — подход к психологическим исследованиям, основанный на математическом моделировании процессов восприятия, мышления, когнитивных и моторных процессов, а также на установлении математизированных правил, которые связывают количественные характеристики стимулов с количественными характеристиками реакций.
Математический подход в психологии используется с целью выдвижения более строгих, формализованных гипотез.
Объектами математической психологии являются:
- естественные системы, обладающие психическими свойствами;
-содержательные психологические теории и математические модели таких систем.
Предметом математической психологии можно назвать разработку и применение формального аппарата для адекватного моделирования систем, обладающих психическими свойствами.
История возникновения математической методологии в психологии.
В древности считалось, что предметом математики является все сущее — природа в широком смысле.
Математики древней Греции и древнего Египта полагали, что математические формы име¬ют божественное происхождение.
Так, Платон рассматривал гео¬метрические фигуры как идеальные эйдосы - образы, создан¬ные высшими богами для копирования людьми, конечно, уже не в той совершенной форме.
Пифагор видел в числах и определенных числовых сочетаниях предустановленную гармо¬нию небесных сфер.
Религиозное мировоззрение людей веками связывало боже¬ственное творение мира с математическими средствами, с помо¬щью которых выражаются законы природы.
Даже религиозный И. Ньютон верил, что «книга природы написана на языке математики», и широко использовал математические методы в своей натуральной философии.
Кроме того, философы и политологи, отказавшиеся от верования в бога, продолжали считать природу предметом математики и физики.
Примером может служить высказывание Ф. Энгельса: «Предметом математики служат простран¬ственные формы и количественные отношения материального мира».
Но все же основным моментом преобразования математической психологии в науку начался с выделения её в экспериментальную дисциплину.
Этот процесс проходит ряд этапов.
Первый этап — применение математических методов для анализа и обработки результатов экспериментального исследования, а также выведение простых законов (конец XIX в. — начало XX в.).
Это время разработки закона научения, психофизического закона, метода факторного анализа.
18 апреля 1822 году в Королевском немецком научном обществе Иоганн Фридрих Гербарт прочел доклад «О возможности и необходимости применять в психологии математику».
Основная идея доклада сводилась к тому, что, если психология хочет быть наукой, подобно физике, в ней нужно и можно применять математику.
В 1842 году М.В. Дро¬биш издает в Лейпциге на немецком языке монографию под не¬двусмысленным названием: «Эмпирическая психология соглас¬но естественнонаучному методу».
Второй этап (40-50-е годы XX века нашего столетия) — создание моделей психических процессов и поведения человека с использованием ранее разработанного математического аппарата.
Третий этап (60-е годы XX века нашего столетия) — выделение математической психологии в отдельную дисциплину, основная цель которой — разработка математического аппарата для моделирования психических процессов и анализа данных психологического эксперимента.
В это время получили широкое распространение работы по моделированию обучения, памяти, обнаружения сигналов, поведения, принятия решений.
Термин «математическая психология» стал применяться с появлением в 1963 г. в США «Руководства по математической психологии».
В эти же годы здесь начинает издаваться журнал «Journal of Mathematical Psychology».
В период до 80-х годов появляются первые работы по психологическим измерениям: осуществляется разработка методов факторного анализа, аксиоматики и моделей измерения, предлагаются различные классификации шкал, ведётся работа над созданием методов классификации и геометрического представления данных, строятся модели, основанные на лингвистической переменной (Л. Заде).
В 80-е годы особое внимание уделяется уточнению и развитию моделей, связанных с разработкой аксиоматики различных теорий.
Основные тенденции развития математической психологии.
В психофизике это:
-современная теория обнаружения сигналов (Д. Светс, Д. Грин),
-структуры сенсорных пространств (Ю. Забродин, Ч. Измайлов),
-случайных блужданий (Р. Льюис, 1986),
- различения Линка и другие.
В области моделирования группового и индивидуального поведения:
-модель решения и действия в психомоторных актах (Г. Корнеев, 1980),
- модель целенаправленной системы (Г. Корнеев),
- «деревья» предпочтения (А. Тверской),
-модель системы знаний (Дж. Грино),
- вероятностная модель научения (А. Дрынков, 1985),
-модель поведения в диадном взаимодействии (Т. Савченко, 1986),
-моделирование процессов поиска и извлечения информации из памяти (Р. Шифрин, 1974),
-моделирование стратегий принятия решений в процессе обучения (Р. Венда, 1982).
В теории измерения:
- Множество моделей многомерного шкалирования (МШ), в которых прослеживается тенденция к снижению точности описания сложных систем – модели предпочтения, не метрическое шкалирование, шкалирование в псевдоевклидовом пространстве, МШ на «размытых» множествах (А.Дрынков, Т. Савченко, В. Плюта);
- Модели конфирматорного анализа, позволяющие формировать культуру проведения экспериментального исследования;
- Применение математического моделирования в психодиагностике (А. Анастази, П. Клайн, Д. Кендалл, В. Дружинин).
В 90-х годах глобальные математические модели психических процессов почти не разрабатывались, однако, значительно возрастает количество работ по уточнению и дополнению существующих моделей, продолжает интенсивно развиваться теория измерений, теория конструирования тестов;
-разрабатываются новые шкалы, более адекватные реальности (Д. Льюис, П. Саппес, А. Тверски, А. Марли);
-широко внедряется в психологию математический подход к моделированию.
Эта работа продолжается и сегодня.
Особенно важно, что многие методы многомерного анализа получили широкое применение в экспериментальных исследованиях.
Появляется множество специально ориентированных на психологов программ анализа данных психологического тестирования.
Четвертый этап ещё не наступил. Этот период должен характеризоваться становлением психологии практической и отмиранием — математической психологии.
Методы математической обработки в психологии
Методы математической обработки данных используются для обработки данных, установления закономерностей между изучаемыми процессами, психологическими феноменами.
Использование математических методов позволяет повысить достоверность, научность результатов исследований.
В психологии математические методы имеют широкое применение. Это обусловлено несколькими моментами:
1. Математические методы позволяют сделать процесс исследования явлений более четким, структуральным и рациональным.
2. Математические методы необходимы для обработки большого количества эмпирических данных (их количественных выразителей), для их обобщения и организации в "эмпирическую картину" исследования.
В зависимости от функционального назначения этих методов и потребностей психологической науки выделяют две группы математических методов, использование которых в психологических исследованиях является наиболее чаще:
Первая группа - методы математического моделирования;
Этот тип методов применяется:
-как средство организации теоретического исследования психологических явлений путем построения моделей-аналогов исследуемых явлений и выявление таким образом закономерностей функционирования и развития системы;
-как средство построения алгоритмов действия человека в различных ситуациях его познавательной и преобразующей деятельности и построение на их основе поясняющих, развивающих, обучающих, игровых и других компьютерных моделей.
Вторая группа - методы математической статистики (или статистические методы).
Статистические методы в психологии - это некоторые методы прикладной математической статистики, которые применяются в психологии основном для обработки экспериментальных данных.
Основная цель применения статистических методов - повышение обоснованности выводов в психологических исследованиях за счет использования вероятностной логики и вероятностных моделей.
К статистическим методам в психологии можно отнести следующие направления:
а) описательная статистика, которая включает группировки, табулирования, графический выражение и количественную оценку данных;
б) теория статистического вывода, которая используется в психологических исследованиях для предсказания результатов по данным выборок;
в) теория планирования экспериментов, которая служит для обнаружения и проверки причинных связей между переменными.
Особенно распространенными статистическими методами являются:
-корреляционный анализ (корреляционное исследование);
-регрессионный анализ (регрессионное исследование);
-факторный анализ (факторное исследование).
Корреляционный анализ (корреляционное исследование).
Термин «корреляция» впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел «закон корреляции частей и органов животных» (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного).
В статистике термин корреляции впервые применил в 1886 году английский ученый Френсис Гальтон (не просто «связь» – relation, а «как бы связь» – corelation).
Но он не смог вывести точную формулу для расчета коэффициента корреляции, и это сделал его студент – известнейший математик и биолог Карл Пирсон.
«Корреляция» в прямом переводе означает «соотношение». Если изменение од¬ной переменной сопровождается изменением другой, то можно говорить о корреля¬ции этих переменных.
Наличие корреляции двух переменных ничего не говорит о причинно-следственных зависимостях между ними, но дает возможность выдвинуть такую гипотезу.
Отсутствие же корреляции позволяет отвергнуть гипотезу о при¬чинно-следственной связи переменных.
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) - это комплекс процедур статистического исследования взаимозависимости переменных, находятся в корреляционных отношениях: при этом преобладает нелинейная их зависимость, то есть значению любой отдельно взятой переменной может соответствовать некоторое количество значений переменной другого ряда, отклоняющихся от среднего в ту или иную сторону.
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) - это один из вспомогательных методов решения теоретических задач в психодиагностике, включающий в себя комплекс статистических процедур, которые широко применяются для разработки тестовых и других методик психодиагностики, определения их надежности, валидности.
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) - это один из методов социальной психологии, предназначенный для оценки взаимоотношений между двумя и более факторами, которые называются «переменными» и не контролируются исследователем. Данное исследование обычно проводится в обстановке естественной среды (в «поле» – полевые исследования).
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) – это проверка гипотез о связях между переменными с использованием коэффициентов корреляции, двухмерной описательной статистики, количественной меры взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных.
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) -это совокупность методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами или признаками и направлено на установление изменения одной переменной при изменении другой и на получение информации о силе взаимосвязи между двумя переменными (случайными величинами).
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) - для двух случайных величин включает в себя:
-построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;
-вычисление выборочных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений;
-проверку статистической гипотезы значимости связи.
Корреляционный анализ (корреляционное исследование) - дает информацию о формах, направлении, силе и видах взаимосвязи между двумя и более переменными.
Числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражающая их взаимосвязь, называется коэффициентом корреляции.
Формы корреляционного коэффициента.
Различают линейную-прямолинейную форму (шкала MAS Тейлора –шкала нейротизма Айзенка) и нелинейную - криволинейную форму (между уровнем эффективности решения задачи и мотивацией или тревожностью) Корреляционного анализа.
Линейный коэффициент корреляции.
Линейными формами считают такие, для которых выполняется принцип суперпозиции, заключающийся в том, что реакция на суммарное входное воздействие является суммой реакций на каждое из отдельных входных воздействий, составляющих это суммарное.
Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон в 90-х годах XIX века нашей эры.
Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле
, где — значения переменной X; — значения переменной Y; — среднее арифметическое для переменной X; -среднее арифметическое для переменной Y.
Текущая формула коэффициент корреляции Пирсона предполагает, что мы должны взять разность между каждый значениям переменной X, и ее средним значением .
Даная формула предполагает, что из каждого значения переменной X, должно вычитаться ее среднее значение . Это не удобно, поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не данную формулу, а ее аналог, получаемый с помощью преобразований:
Направление взаимосвязи корреляционного коэффициента.
По направлению корреляционная связь может быть положительной (прямой) и отрицательной (обратной) а также нулевая:
1) позитивное направление - положительное («прямая связь») – при увеличении значения одной переменной изменение другой переменной также происходит в сторону увеличения (в сторону плюс);
2) негативное направление - отрицательное («обратная связь») – при увеличении значения одной из переменных значение другой переменной уменьшается (в сторону минус).
3)Если при изменении значения одной из переменных другая переменная не изменяется говорят об отсутствии корреляции(ноль).
Направление взаимосвязи между двумя переменными в Корреляционном анализе – это характеристика взаимосвязи, говорящая о том в какую сторону, произойдет изменение одной из переменных при изменении другой.
Сила взаимосвязи между двумя переменными – степень точности, с которой возможно предсказание величины какой-либо одной переменной, зная величину другой переменной.
По силе взаимосвязи степень предсказания подразделяется на:
-Сильная степень = r > 0,70;
-Средняя степень =0,50 < r <0,69
-Умеренная степень =0,30 < r < 0,49
-Слабая степень =0,20 < r < 0,29
-Очень слабая степень =r < 0,19
Основное назначение Корреляционного анализа (корреляционного исследования) – выявление связи между двумя или более изучаемыми переменными, которая рассматривается как совместное согласованное изменение двух и более исследуемых характеристик.
Сила связи между двумя или более изучаемыми переменными напрямую указывает, насколько ярко проявляется совместная изменчивость изучаемых переменных.
В психологии функциональная взаимосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятностная связь соответствующих признаков.
Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания – график, оси которого соответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представляет собой точку.
Изменчивость двух и более исследуемых переменных обладает тремя основными характеристиками:
-формой исследуемых переменных;
-направлением исследуемых переменных;
-силой исследуемых переменных.
Корреляционные связи различаются по своему виду.
Если повышение уровня од¬ной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о поло¬жительной корреляции.
Возрастание громкости звука сопровождается ощущением по¬вышения его тона.
Если рост уровня одной переменной сопровождается снижением уровня другой, то мы имеем дело с отрицательной корреляцией.
Чем боязливей особь, тем меньше у нее шансов занять доминирующее положение в группе.
Нулевой называется корреляция при отсутствии связи переменных.
Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии.
Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возрасте, чем у школьников одного и того же класса.
Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:
Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r. Принимая во внимание формулы:
Нелинейная корреляция - англ. correlation nonlinear; нем. Korrelation, unlineare. Корреляция, при которой отношение степени изменения одной переменной к степени изменения другой переменной является изменяющейся величиной.
Классический при¬мер нелинейной зависимости — закон Йеркса—Додсона: возрастание мотивации первоначально повышает эффективность научения, а затем наступает снижение продуктивности (эффект «перемотивации»).
Другим примером является связь между уровнем мотивации достижений и выбором задач различной трудности.
Лица, мотивированные надеждой на успех, предпочитают задания среднего диапазона трудности — частота выборов на шкале трудности описывается колоколообразной кривой.
В психологии практически нет примеров строго линейных связей (положительных или отрицательных). Большинство связей — нелинейные.
Нелинейность связи – для того чтобы понять линейная связь или не линейная для того достаточно проанализировать график двумерного рассеивания.
Если связь нелинейная, но монотонная, то необходимо перейти к ранговым корреляциям.
Если связь не монотонная, то необходимо делить выборку на части, в которых связь монотонная, и вычислить корреляции отдельно для каждой части выборки, или делить выборку на контрастные группы и далее сравнивать их по уровню выраженности признака.
Корреляция ранговых переменных.
Если к количественным данным неприемлем коэффициент корреляции r-Пирсона, то для проверки гипотезы о связи двух переменных после предварительного ранжирования могут быть применены корреляции r-Спирмена или ;-Кендалла.
Например, в исследовании психофизических особенностей музыкально одаренных подростков И. А. Лавочкина был использован критерий Спирмена.
Для корректного вычисления обоих коэффициентов (Спирмена и Кендалла) результаты измерений должны быть представлены в шкале рангов или интервалов.
Принципиальных отличий между этими критериями не существует, но принято считать, что коэффициент Кендалла является более «содержательным», так как он более полно и детально анализирует связи между переменными, перебирая все возможные соответствия между парами значений.
Коэффициент Спирмена более точно учитывает именно количественную степень связи между переменными.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена является непараметрическим аналогом классического коэффициента корреляции Пирсона, но при его расчете учитываются не связанные с распределением показатели сравниваемых переменных (среднее арифметическое и дисперсия), а ранги.
Например, необходимо определить связь между ранговыми оценками качеств личности, входящими в представление человека о своем «Я реальном» и «Я идеальном».
Коэффициент Спирмена широко используется в психологических исследованиях.
Например, в работе Ю. В. Бушова и Н. Н. Несмеловой для изучения зависимости точности оценки и воспроизведения длительности звуковых сигналов от индивидуальных особенностей человека был использован именно он.
Так как этот коэффициент – аналог r-Пирсона, то и применение его для проверки гипотез аналогично применению коэффициента r-Пирсона.
То есть проверяемая статистическая гипотеза, порядок принятия статистического решения и формулировка содержательного вывода – те же. В компьютерных программах (SPSS, Statistica) уровни значимости для одинаковых коэффициентов r-Пирсона и r-Спирмена всегда совпадают.
Преимущество коэффициента r-Спирмена по сравнению с коэффициентом r-Пирсона – в большей чувствительности к связи. Мы используем его в следующих случаях:
-наличие существенного отклонения распределения хотя бы одной переменной от нормального вида (асимметрия, выбросы);
-появление криволинейной (монотонной) связи.
Ограничением для применения коэффициента r-Спирмена являются:
-по каждой переменной не менее 5 наблюдений;
-коэффициент при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим переменным дает огрубленное значение.
Коэффициент ранговой корреляции ;-Кендалла является самостоятельным оригинальным методом, опирающимся на вычисление соотношения пар значений двух выборок, имеющих одинаковые или отличающиеся тенденции (возрастание или убывание значений). Этот коэффициент называют еще коэффициентом конкордации.
Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент).
Ковариация является совместным центральным моментом второго порядка.
Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин.
Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.
В прикладных психологических исследованиях корреляционный анализ выступает одним из основных методов статистической обработки количественного эмпирического материала.
Регрессионный анализ (регрессионное исследование) в психологии.
Регрессионный анализ (регрессивное исследование) в психологии - это метод математической статистики, который позволяет изучать зависимость среднего значения любой величины от вариаций другой величины или нескольких величин (в этом случае используется множественный регрессионный анализ).
Понятие регрессионного анализа ввел Ф.Гальтоп, установившего факт определенного соотношения между ростом родителей и их взрослых детей. Он заметил, что у родителей низкого роста дети оказываются несколько выше, а у родителей высшего роста - ниже. Такого рода закономерность он назвал регрессией.
Регрессионный анализ (регрессивное исследование) используется преимущественно в эмпирических психологических исследованиях для решения задач, связанных с оценкой любого воздействия (например, влияния интеллектуальной одаренности на успешность, мотивов - на поведение и т.п.), при конструировании психологических тестов.
Регрессионный анализ (регрессивное исследование) служит для определения вида связи между переменными и дает возможность для прогнозирования значения одной (зависимой) переменной, отталкиваясь от значений других (независимых)
Основными целями цели регрессионного анализа являются:
1. Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимых переменных.
2. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой переменной.
3. Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения этого вида анализа.
Допущения (assumptions) регрессионного анализа:
1. Переменные модели должны иметь распределение, близкое к нормальному.
2. Зависимая и независимые переменные должны быть измерены в метрической шкале.
3. Для построения линейных регрессий, зависима и независимые переменные должны иметь линейную связь.
4. Отсутствие мультиколлинеарности – независимость между собой переменных-предикторов, отсутствие высокой корреляции (для множественной регрессии).
Решение: удаление высоко коррелируемых переменных из анализа или центрирование данных (вычитание средних значений из каждого наблюдения по необходимым переменным).
5. Отсутствие автокорреляции – отсутствие независимости остатков.
Выявляется с помощью теста Дурбина-Уотсона (обнаруживает автокорреляцию первого порядка).
; Если d=0 – полная положительная автокорреляция
; Если d=4 – полная отрицательная автокорреляция
; Если d=2 – отсутствие автокорреляции
6. Гомоскедастичность - дисперсия остатков одинакова для каждого значения. Определяется с помощью диаграммы рассеяния.
Линейная регрессия.
Если коэффициент корреляции значим и близок корреляционному отношению, то зависимость между Х и У выражается уравнением У=АХ+В и представляет собой линейную регрессию.
Из аналитической геометрии известно, что в зависимости от знака коэффициента в уравнении может быть 4 вида уравнения регрессии (У=АХ+В; У=АХ-В; У= -АХ+В; У= -АХ-В).
Одним из простых и наиболее распространенных способов вычисления коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов.
Сущность метода в том, что наилучшим считается то положение линии регрессии при котором сумма квадратов отклонений эмпирических значений случайной величины от теоретических минимально.
В этом случае значение коэффициентов А и В определяется из систем нормальных уравнений:
a ;xini + b ;ni = ;yini
a ;x2ini + b ;xini = ;yinixi
где ni – частота (число одинаковых значений xi)
yi – условные средние значения yi для каждой группы одинаковых значений xi).
Нелинейная регрессия.
Если коэффициент корреляции и корреляционное отношение существенно отличаются, то корреляция является нелинейной, то график отличается от прямой.
Рассмотрим 2 типа нелинейной корреляции:
1) полиномы 2-ой, 3-ей, и более степеней;
2) гиперболические кривые y=a/x+b и y=1/(ax+b).
При вычислении коэффициента уравнения регрессии методом наименьших квадратов, количество нормальных уравнений равно количеству неизвестных.
Для полинома третьей степени система нормальных уравнений имеет следующий вид:
a ;x2ini + b ;xini + с ;ni = ;yini
a ;x3ini + b ;x2ini + с ;xini = ;yinixi
a ;x4ini + b ;x3ini + с ;x2ini = ;yinix2i
Уравнения гиперболического вида легко привести к линейному.
Отличия и схожести корреляционного и регрессионного анализа
Задачей корреляционного анализа является исследование тенденций взаимного изменения двух или более случайных величин.
Если исследуется взаимная тенденция изменения двух случайных величин, то говорят об одномерном корреляционном анализе, если более двух - о множественном корреляционном анализе.
Задачей регрессионного анализа является построение зависимости математического ожидания одной или нескольких случайных величин от одной или нескольких неслучайных величин.
Хотя вычисления в регрессионном и корреляционном анализах весьма схожи, между этими методами есть существенная разница.
Не случайность в регрессионном анализе означает измерение без ошибок (с абсолютной точностью).
В корреляционном анализе в "случайность" исследуемых величин могут входить ошибки измерений.
Использование методов корреляционного и регрессионного анализов требует выполнения определенных предпосылок.
• Связь как синхронность (согласованность) – корреляционный анализ.
• Связь как зависимость (влияние) – регрессионный анализ (причинно-следственные связи).
Сравнение коэффициентов корреляции и регрессии
Коэффициент корреляции:
-Принимает значения в диапазоне от -1 до +1;
-Безразмерная величина;
-Показывает силу связи между признаками;
-Знак коэффициента говорит о направлении связи.
Коэффициент регрессии:
-Может принимать любые значения;
-Привязан к единицам измерения обоих признаков;
-Показывает структуру связи между признаками;
-Знак коэффициента говорит о направлении связи.
Факторный анализ в психологии
Факторный анализ - метод многомерной математической статистики, который используется в процессе исследования статистически связанных признаков с целью выявления некоторых скрытых от непосредственного наблюдения факторов.
Факторный анализ относится к статистическим методам психологии. Сущность метода состоит в наличии так называемого "фактора".
Факторный анализ в психологии призван использоваться при обработке больших массивов экспериментальных данных.
В него входит комплекс аналитических методов, позволяющих выявить скрытые латентные признаки, а также причины их возникновения и внутренние закономерности их взаимосвязи.
Факторный анализ – это раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц
Смысл фактора состоит в том, что им определяется некоторая ненаблюдаемая и прямо не измеряемая величина, категория, связанная с множеством близких к ней характеристик, которые могут быть измерены
С помощью факторного анализа не просто устанавливается связь между переменными, находятся в состоянии преобразований, а определяется мера этой связи и выявляются основные факторы, лежащие в основе указанных преобразований.
Задачи факторного анализа определяют специфику его использования, а именно:
факторный анализ используется как метод сокращения данных или как метод структурной классификации.
Важное отличие факторного анализа от всех других методов в том, что его нельзя применять для обработки первичных, или, как говорят, "сырых", экспериментальных данных, т.е. полученных непосредственно при обследовании испытуемых.
Материалом для факторного анализа служат корреляционные связи, а точнее – коэффициенты корреляции Пирсона, которые вычисляются между переменными, включенными в обследование.
Иными словами, факторному анализу подвергаются корреляционные матрицы.
Факторный анализ рассматривается в психологии как статистический метод.
Именно по этой причине особую ценность представляет возможность генеза гипотез и их проверки посредством факторного анализа.
Реализация факторного анализа происходит в несколько этапов: вычисление корреляционной матрицы для всех переменных, участвующих в анализе извлечение факторов вращение факторов для создания упрощенной структуры интерпретация факторов.
Условия применения факторного анализа:
-нельзя факторизовать качественные данные, полученные по шкале наименований, например, цвет волос, глаз и т.д.
-все переменные должны быть независимым, а их распределение должно приближаться к нормальному.
связи между переменными должны быть приблизительно линейны или не иметь явно криволинейного характера, в исходной корреляционной матрице
-должно быть несколько корреляций по модулю выше 0,3. иначе – трудно извлечь из матрицы какие-либо факторы. выборка испытуемых должна быть достаточно большой (желательно 100 испытуемых).
Во всех современных статистических пакетах есть программы для корреляционного и факторного анализов.
Компьютерная программа по факторному анализу по существу пытается "объяснить" корреляции между переменными в терминах небольшого числа факторов.
Факторы-анализ проводится с использованием формул.
Формулы варьируются в зависимости от модели.
Так, аддитивные модели факторного анализа представляют собой алгебраическую сумму показателей и имеют вид.
Мультипликативные модели факторного анализа в обобщенном виде могут быть представлены формулой:
Кратные модели факторного анализа рассчитываются по формуле:
Смешанные модели представляют собой комбинацию перечисленных выше моделей и могут быть описаны с помощью специальных выражений:
Особенно эффективным факторный анализ может быть на начальных стадиях исследования, когда необходимо выяснить некоторые предварительные закономерности в исследуемой сфере.
Это позволит дальнейшее эксперимент сделать более совершенным по сравнению с экспериментом, основанным на переменных, выбранных произвольно или случайно.
В целом математические методы могут быть достаточно эффективными и полезными в организации и проведении психологических исследований, однако необходимо помнить, что математический метод, как и любой другой, имеет свою сферу приложения и некоторые исследовательские возможности.
Применение метода обусловлено природой предмета исследования и задачами познавательных действий исследователя. Эти требования касаются и методов математических.
Заключение.
В данной работе мы разобрали математические методы, применяемые п психологии. Особенности регрессивного, корреляционного и факторного анализа.
Кроме того, выяснили для чего необходимы каждый из рассмотренных математических методов и где они в основном применяются.
А также рассмотрели краткую историю появления математических методов, применяемых в психологии и определили модели трех различных математических анализов, применяемых в различных направлениях психологии.