В 1965 году мама задала мне интересную задачку: можно ли внутри произвольного треугольника (но не в равнобедренном и не в равностороннем) провести прямые линии, которые образовали бы в нем семь равнобедренных треугольников? Естественно, я поинтересовался у нее, а в равнобедренном как? И в равностороннем? На что она ответила:"Ладно уж, открою немножко тайну. Равнобедренный разобьется на пять штук, а равносторонний - на три".
Всё воскресенье я промучился над этой головоломкой. Всю тетрадь в клетку расписал и разрисовал. Но так и не догадался. Мама вечером рассмеялась и сказала, что у нее даже старшекурсники решить такое не смогли. Объяснила так: прежде всего необходимо найти центр пересечения биссектрис. Обозначим его буквой О. Этот центр обычно используется для построения вписанной окружности. Но в данной задаче его используем для другой окружности. Её радиус R выберем таким, чтобы он оказался минимальным расстоянием от точки О до одной из трех вершин треугольника. Вот смотри, чертим произвольный треугольник ABC. Измеряем циркулем расстояния от О до вершин A, B, C. В нашем случае оказалось, что отрезок OB самый маленький. Его и принимаем за радиус R. Чертим окружность и отмечаем все точки пересечения со сторонами треугольника. Это точки D, B, E, F, G. Между ними и центром окружности проводим отрезки. Проводим еще два отрезка: DG и EF. Всё! Задача решена! Получили семь равнобедренных треугольников. Но вот какое чудо: три закрашенных треугольника абсолютно равны между собой. (В те стародавние времена в программу школы еще не вошло понятие конгруэнтные фигуры).
Честно говоря, меня задача настолько удивила, что до поздна строил различные варианты. В том числе разбивал равнобедренный треугольник на пять частей и равносторонний на три части.
Но неожиданно подумал: ведь я выбрал равнобедренный треугольник похожий на опору высоковольтной линии. То есть оба угла при основании больше 60 градусов. Тогда окружность касается вершин треугольника A и С и фигура разбивается на пять равносторонних треугольничка. Как мама и утверждала. Ну, а если принять приземистый равнобедренный? Похожий на чердак дома. Быстренько от руки сделал эскиз... Ба! В этом случае имеем снова 7 равнобедренных треугольничков! Мама, значит, этот момент упустила. На следующее утро ей обо всем рассказал, эскизы показал. Она тоже поразилась не хуже меня и рассмеявшись, сказала: "Далеко пойдешь!"
31 августа 2021 г.