Перевод статьи на английский язык, любое использование опубликованного в статье материала и упоминание о статье в англоязычных публикациях без разрешения автора запрещается!
Точка. Великие заблуждения
Первая книга «Начал», которые Евклид написал ок. 300 года до н.э., начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1–7) гласят:
- Точка есть то, что не имеет частей («Точка есть то, часть чего ничто»).
- Линия – длина без ширины.
- Края же линии – точки.
- Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.
- Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
- Края же поверхности – линии.
- Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
Тут всё абсолютно просто. Не имеет частей только то, что мало относительно всего остального, то есть МИНИМУМ. Потому что минимум на то и минимум, что меньше его не бывает, а значит, и разделить на части его нельзя. То есть точка как пространственный объект у Евклида является объектом с минимальным объёмом, или минимальной площадью, или минимальной длиной, поскольку евклидово пространство – это пространство трёхмерное (предмет), либо двухмерное (поверхность), либо одномерное (линия), исходя из определений в первой книге «Начал».
Такое понимание точки не противоречит ни всем другим определениям Евклида, ни его постулатам, ни последующим аксиомам и теоремам. Оно же позволяет принять минимальную протяжённость точки за меру, которой можно измерить любую другую протяжённость пространства – любую длину, любую площадь, любой объём как простое количество минимальных протяжённостей, или, грубо говоря, подсчитанное количество точек.
Но… Кто только и как за более чем двухтысячелетнюю историю не переводил и не комментировал евклидовы «Начала»! В итоге, его учение забылось, и комментаторы эпохи Возрождения уже почему-то предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Кому конкретно (арабам или европейцам) эта абстракция взбрела в голову, неизвестно, но с тех пор так и повелось, и современные математики и физики до сих пор считают точку «0-мерным пространством», безразмерным объектом, абстракцией. Думаю, что именно от подобных абстрактных представлений возникли аналогичные представления о «безмассовых частицах» материи, как ныне обзывают фотоны. Хотя материя – это то, что обладает тяжестью (то есть имеет массу), в отличие от пространства, которое определяется протяжённостью (то есть длиной,площадью или объемом).
За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1–5):
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Именно исходя из этих постулатов, основанных на определении точки, мы можем от всякой точки, принятой за начало координат, провести координатную прямую до любой точки-координаты в пространстве. Если бы точка не имела длины (минимальной длины!), как бы мы смогли разметить на прямой равно отстоящие друг от друга координаты? Никак! Это на прямой линии. А на плоскости – как бы мы смогли посчитать площадь поверхности участка, то есть ограниченное количество точек, если плоская точка не имела минимальной длины и такой же по значению минимальной ширины? Никак! Аналогично и с объёмом любого предмета – будь точка безразмерной, никто и никогда не смог бы определить размер предмета, то есть его длину, ширину и высоту.
Теперь должно быть понятно, что линия – как «длина без ширины», по Евклиду, – это направленное множество точек, потому что человек может измерять длину лишь в одном каком-то направлении. И вполне естественно, что именно линия, которая «равно лежит на всех своих точках», то есть у которой все точки последовательно расположены в одном направлении, называется прямой. Соответственно, кривой мы будем называть линию, точки которой расположены последовательно, но не только однонаправленно, а и под углами друг к другу, то есть на каком-то (возможно, даже на всём) протяжении – разнонаправленно.
Отсюда прямой путь к пониманию того факта, что любая кривая – это ломаная линия, плавность которой мы наглядно видим или как-то ещё чувствуем (ощущаем, осязаем) только по той причине, что геометрическая точка является ПРОСТРАНСТВОМ МИНИМАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (фундаментальной длины, как обычно говорят), которую наш организм или созданный прибор не способен воспринять. Например, сегодня ни один прибор не может измерить диаметр протона, а этот диаметр во много раз больше фундаментальной длины, то есть протяжённости точки.
Ну и теперь должно быть понятно, что любая окружность, то есть замкнутая на плоскости кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от общего для них центра, состоит из точек, расположенных друг к другу под одинаковым углом. Это означает, что любая окружность в реальности представляет собой правильный плоский многоугольник с невообразимо огромным количеством равных по длине сторон. В развитие этой темы можно почитать статью о равномерном движении по окружности http://proza.ru/2023/10/25/902 и статью о физическом смысле числа «пи» http://proza.ru/2019/09/03/1464, там вообще речь об окружности начинается с диаметра («двуугольника»), треугольника и квадрата.