Сначала обоснуем, что можно игнорировать синхронную составляющую движения двух ИСО <инерциальная система отсчёта> относительно эфира.
Лемма <предварительное умозаключение>:
Пусть ИСО Х неподвижна в эфире, а ИСО Х' движется относительно неё по стрелке со скоростью V. Синхронная составляющая следовательно вдоль осей X. В момент, когда их начала координат совпадали, из точки О' был послан импульс света, который прибыл в точку Е'. См. схему на рис.1 и объяснения под ним вплоть до слов ч.т.д.
Но по осям Y, Y' так просто сравнить скорости нельзя, т.к. длины и время вдоль них в системах разнятся. Поэтому-то и нужны преобразования Лоренца.
Рассмотрим теперь две системы отсчёта ИСО (см. схему на рис.2). Пусть первая ИСО {X,Y} условно неподвижна, а вторая {X',Y'} движется со скоростью V относительно первой вдоль оси X. Их общую (синхронную) скорость в эфире вдоль осей Y,Y' можно не учитывать.
Началом события является посылка импульса света из точки E в момент совпадения точек O и O' начала обеих систем координат. Окончанием события является прибытие импульса света в точку E' в системе {X',Y'}. Вычислим координаты этого события в обеих системах.
Поскольку измеренная в любой системе скорость света одинакова и равна оной в эфире, то справедливо записать формулы (1, 2 и 3).
Так как тела подвергаются лоренцеву сокращению в направлении движения, то справедлива формула (4) для отрезка L, измеренного в системе эфира, сравнительно с собственной длиной x' измеренной в системе {X',Y'}. Из (4) и (3) получим (5). Кинематика процесса события описана формулой (6). Из (6), используя (1) и (4), получим (7). Разделим (6) на c, и потом заменим t на x/c из (2), а L/c заменим на (5). В итоге получим (8).
Решая систему из уравнений (7) и (8), выразим в (9) значения x и t через x' и t' и остальные параметры V и c. Это и есть преобразования Лоренца (ПЛ). Чтобы выразить x' и t' через x и t достаточно изменить знак скорости V.
***
В ПЛ фигурирует именно относительная скорость этих двух ИСО. Проиллюстрируем это утверждение примером вывода преобразования Лоренца между произвольными инерциальными системами ИСО1 и ИСО2 движущимися в некоей третьей базовой ИСО.
Ориентируем базовую ИСО так, чтобы её ось X лежала в плоскости направлений векторов скоростей тестовых ИСО <через 3 точки, одна из которых совпадает с началом векторов, всегда можно провести плоскость>, а составляющая их скоростей в эфире перпендикулярная к оси X была бы одинакова и, тем самым, общая. Согласно лемме её можно игнорировать.
Пусть первая движется в базовой ИСО со скоростью V1, а вторая со скоростью V2. вдоль своих осей X. Индексы обозначают принадлежность к системам отсчёта, а индекс "0" пусть обозначает переменные в системе связанной с базовой ИСО.
Выразим собственные x1 и t1 параметры в (10) для ИСО1 из (7) и (8), где им там соответствуют параметры x' и t'. Параметрам x0 и t0 в базовой системе, в (7) и (8) соответствуют параметры x и t
Параметры в базовой системе x0 и t0 в (11) для ИСО2, получим как x и t из (9), где параметры x' и t' соответствуют собственным x2 и t2 в ИСО2.
Подставляя переменные из (11) в (10) получим (12), связывающее координаты x1 в ИСО1 с координатами x2 и t2 в ИСО2. Точно так же, через x2 и t2 следует выразить t1. Преобразуем подкоренное выражение знаменателя в (12) как показано в (13), используя попутно обозначение Бета_k = Vk/c.
Подставим (13) в (12) (в выражение для t1 тоже), а все отношения, отвечающие формуле (14), заменим на V21, которая суть относительная скорость ИСО2 измеренная в ИСО1. В итоге получим выражения (15) совпадающие по форме с ПЛ (9).
Преобразуя (14), получим выражение (16), которое представляет собой известную формулу релятивистского сложения скоростей, когда скорости параллельны.
Здесь со скоростью V1 для ИСО1 в базовой системе складывается измеренная в ИСО1 относительная скорость V21 для ИСО2, а получаем скорость V2 для ИСО2 в базовой системе.
***
Можно это же вывести иначе: пусть за интервал времени T пройдено расстояние X. Тогда средняя скорость равна V=X/T. При стремлении интервала времени T к нулю, скорость стремится к точному значению. Тогда бесконечно малые T и X обозначаются как dt и dx, а скорость V=dx/dt.
Для бесконечно малых dx, dy и dt формулы (15) переходят в (17) и (18).
В формулах (19) указаны соотношения между dx, dy и dt , и какие и как из них составляются скорости. Применим их совместно с (17) и (18) и получим (20).
Формулы преобразования скорости (20), называемые также формулами релятивистского сложения скоростей, позволяют пересчитать измеренные в ИСО2 скорости V2x (вдоль) и V2y (поперёк) относительной скорости V21, в измеренные в системе ИСО1 аналогичные V1x и V1y. Для обратного пересчёта следует вместо V21 подставить относительную скорость ИСО V12= -V21.
Итак, доказано, что преобразования Лоренца применимы к произвольным инерциальным системам отсчёта, и тогда в них фигурирует относительная скорость движения этих ИСО. Вследствие этого невозможно отличить движущиеся ИСО от абсолютной системы связанной с эфиром, что и составляет суть "принципа относительности", который в таком случае не является постулатом, а получает строгое физическое и математическое обоснование.
Далее: http://proza.ru/2024/09/24/1082