Версия по теории русловых названий(ТРН).
Не хочется разрушать миф о городе, как о "бобровом центре планеты", но истина дороже. Бобры не имеют к городу никакого отношения, даже близко. Рассуждать, что на реке Бабруйке жили бобры и это достаточно для названия поселения, это несерьёзно. Вот, где нет бобров? Бобры живут везде, почему там не назвали так же?
Путаница в названии города от устаревшего словосочетания "бабруйки" или "женские груди". Это сочетание аналог слова "валуйки"(коровьи соски, "валда"- корова), пример города Валдай в списке.
Бобруйск буквально "женские груди", по двум излучинам реки Берёзина, в виде "женской груди". Традиционный способ названия поселений русскими, по характерному месту на реке.
Обязательным условием подобного названия это "вытекание" из "груди" или "соска" ручья или реки.
Форма женской груди в руслах рек, озёр является довольно распространенной: Сасово, Тихвин, Саров, Саратов, Саранск, Валдай, Елец, река Сясь, река Тосна, река Сосьва, река Цна, река Пахра, различные варианты деревень Титово, Лахта и тд, статьи в списке. В том числе, в названиях используются форма русла в виде "сосков" животных: вымя коровы, козы, как в виде слов "сосцы", "соски", так и "валуйки" в различных словообразованиях.