О проблеме излучения, верификации
и метатеории в волновой физике и o гносеологии в науке
Бырдин В. М., Пузакина А. К., *1
Аннотация. Анализируется соотношение основных физических принципов излучения и формулируемых на их основе математических условий излучения («куда побежит волна, влево или вправо?»…). Выделено 4-е основных принципа; постулируется их эквивалентность, для трёх из них доказана теорема строгой адекватности. Математически условия излучения состоят в существовании, в основном прямых бегущих волн (уходящих от источника, условно на бесконечность) и, как исключения, обратных волн (бегущих приходящих – по движению фазы). Обратные волны уникальны своей фундаментальной физикой. Верификация волновой теории и краевых задач содержит ряд проблем, физическую и математическую корректность, вкл. обоснованный выбор принципов и строгую формулировку условий излучения. Общая верификация смежна методологии и входит в метатеорию работы любого профиля и формата. Метатеоретическая часть, кроме классических вопросов, включает совершенство моделирования и в целом теории. Постулируется ведущая роль гносеологии (теория познания) в науке, в моделировании и исследовании объективной и психологической реальности, мира в целом.
1. Введение; о корректности, верификации и метатеории в физической теории волн и гносеологии в науке
В прикладной математике, в теоретической и математической физике общенаучный философский тезис о проверке теории практикой, соответствием реальным объектам, обретает строгое чёткое количественное содержание. Вместе с тем сегодня в разных областях науки и практики передовая проблематика познания становится много шире, принято говорить о верификации, о "проверке истинности знаний".
Замечание 1.1. Верификация: ср.-век. лат. verificatio – доказательство, подтверждение, от лат. verum «истинный» + facere «делать»... В философии науки с 1920-ых гг. См. спец. публикации и литературу, указанную в статьях *2 наших Энциклопедий. В связи с указанным понятием «Оправдание теории» *2, параллельно «Теодицеи» / theodicy (от theos «бог» и dik; «справедливость»; оправдание, "защита" Бога от проблемы зла; Лейбниц Г., 1710, и многие другие), а также Космо-дицеи, «оправдание мира» (космоса), и Антропо-дицеи (оправдание человеческой природы), позвольте предложить синоним «Логодицея» / Logу-dicy – «Оправдание» или обоснование (justification) теории, учения, решения проблемы. (Логос, от др.-греч. мысль, слово, понятие, …).
Верификация в современной науке это эпистемологические и логико-методологические аспекты развития научных знаний.
Гносеология, напомним, – это теория познания или эпистемология, а также родственная молодая наука когнитивистика в информатике и её разделах.
________
*1 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Лаборатория Волновой механики. (Е-мэйл: V_M_Byrdin@mail.ru )
*2 1) Верификация (в науке)// Большая росс. энц., Интернет-энц. «Рувики»/ / https://bigenc.ru/wiki/Верификация_(в_науке) , дата доступа 07.26г. 2) «Верификация»// Википедия – 07.26г. 3) Порус В.Н. Верификационизм; Швырев В.С. Верифицируемость, Оправдание теории // Интернет-версия изд.: Новая философская энциклопедия: в 4 т. / ИФ РАН; НОНФ; В.С. Степин и др. 2-е изд. М., 2010./ https://iphlib.ru/library/collection/newphilenc/page/about – 07.26г.
________
В математике с конца 19-го века, впервые у Софьи Ковалевской («теорема Коши-Ковалевской», 1874 г. [2]) и в более общей постановке Жака Адамара (1902/23 гг., [3]), и до наших дней анализируется корректность математических задач, их постановки и решения, проблемы моделирования. «Корректность по Адамару» предполагает
существование, единственность и устойчивость
решения краевой задачи, моделирующей реальный объект, в основном, математическое описание физического процесса.
В математической физике и в ряде прикладных наук уже наработаны целые направления и отрасли по «Корректным и Некорректным задачам», по «Обратным задачам». Где на первый план выходят вопросы математического анализа решений, вкл. непрерывность, гладкость и аналитичность функций.
В изучаемой нами верификации и физической корректности первейшие императивы – это адекватность теоретической модели реальному объекту, корректность задачи, её решения или анализа, исследования проблемы, причём всевозможными методами, математическими, численными и экспериментальными (вкл. и опытные данные наблюдений). Физическая корректность, конечно, включает в себя и математический анализ, корректную постановку задачи и строгое её решение.
Проблема корректности считается «важнейшей» многими авторами (Купрадзе В. Д., 1963 [4], Коузов Д. П., 1979, Рущицкий Я. Я., 1991, и другие авторы). Однако, в теоретических и даже в учебно-методических работах эта проблема не вполне отражена, что чревато банальными ошибками и неадекватными проектами, вкл. переработку изданных книг и статей. Не приводим примеры – они известны каждому и в личном опыте, и в публикациях коллег, причём, банальный оборот в новых изданиях: «исправленное и дополн.» – подразумевает устранение не только многочисленных опечаток.
В радиофизике, акустике, механике и электродинамике ставится проблема физической корректности, см., например, [5–7] и мн. др., и наши работы (1975, 2013, [8, 9] и др.). Анализируется, прежде всего, проблема излучения, решаются вопросы адекватности моделирования волновых процессов.
Проблема излучения в упрощённой трактовке сводится к вопросу: «куда побежит вол-на, влево или вправо» после возбуждения? Какой волновой фронт, идеализированно плоский, круговой, сферический, криволинейный, сходящийся к центру или расходящийся? Спектральные, гармонические моды, импульс в целом, его «предвестник, первый всплеск, “слон”, длинный хвост» и т.д. Причём движения фазового и переднего фронтов, а также перенос сигнала и энергии, как правило, значительно разнятся (см. ниже п. 4).
В данной статье анализируется проблема излучения, т.е. принципы и условия излучения бегущих волн, обосновывается физическая корректность, определяются мета-теоретические аспекты волновой теории, а также вопросы верификации, метатеоретической физики и гносеологии в науке.
Определение 1.1. Компоненты верификации (общей и физической корректности) в теории волн в порядке значимости. 1) Полнота спектра собственных чисел. 2) Проблема, условия и принципы излучения. 3) Собственные функции. 4) Диссипативная корректность. 5) Квазигармоническая проблема. 6) Линейная – нелинейная модели.
Вынесение (про-доказательство) данного определения 1.1 на безе 1) метода индукции, т.е. обобщения широкого круга публикаций из разных отраслей. А также 2) на основе решения авторами нескольких конкретных задач в акустике, механике и радиофизике. Дальнейшая интерпретация определения 1.1 в пп. 4, 5.
Определение 1.2. А) Проблема собственных чисел в многопрофильной теории волн адекватна расчёту волновых чисел и векторов. Для большинства волновых процессов, являющихся диспергирующими, эта проблема сводиться к анализу и решению так называемых Дисперсионных трансцендентных уравнений, представляемых аналитическими и голоморфными функциями многих переменных. В численной механики и электродинамике волновые числа и вектора рассчитываются минуя аналитические дисперсионные уравнения.
– Б) Собственные функции краевых волновых задач описывают собственные моды или нормальные волны многомодового, как правило, спектра.
См. [23, 26], указанную там литературу и мн. др. публикации. В теорию диспергирующих волн значительный вклад внесли советские и отечественные учёные, Бреховских Л. М., Вайнштейн Л. А., Горелик Г. С., Малюжинец Г. Д., Рухадзе А. А., Шевченко В. В. и многие другие радиофизики, ставшие классиками, так и современные коллеги. Зарубежных авторов можно найти в англоязычных обзорах.
На рис. 1 представлена структура физической корректности (рис. 1а), соотношение метатеории, верификации (вкл. корректность) и методологией (1б) и место гносеологии, мета-теории и верификации в науке в целом (1в).
(Рис. 1 в начале статьи).
Рис. 1. а) Проблема излучения и компоненты корректности анализа в теории волн.
б) Пересечение и примерное соотношение метатеории с методологией и верификацией.
в) Ведущая роль гносеологии в науке, в моделировании и анализе реального мира.
Полагаем, что Корректность и Верификация в физической науке предметна метафизике, точнее, мета- (над) теоретической физике, новой становящейся области физической отрасли. Становящейся отрасли, однако, по сути, эта проблема затрагивалась ещё Леонардом да Винчи, 15/16 в. [1]. Понятие метатеоретической физики существенно отличается от философской метафизики (от Аристотеля, [10–12 и др.]) и аналогично металогике и др., уже сложившимся метанаукам. См. и ср., например, работы Макса Борна, 1950 [13], Вернера Гейзенберга, 1950-ые [14], Ю. С. Владимирова, 2002 [15], и других авторов.
Как корректность и методология, так и метатеоретические элементы неявно, внутренне присущи всякой научной работе и проявляются в любой публикации. Такого рода, мета-элементы, во-первых, имплицитно вплетены в сам творческий процесс проведения работы. А далее и в структуру и форму публикации, в реферат, компоновку текста (введение, постановка задачи и т.д.). Методология – наиболее близкая метатеории область, перекрывается с ней предметно и, очевидно, станет её органичной частью (рис. 1б). Из метатеоретических компонентов различных публикаций складывается метанаука в целом по отраслям и в общенаучном плане.
Поставим вопрос. Метанаучный аспект, метанаука в целом – это философская, научно-философская или общенаучная область? И какова их роль, зачем они нужны? Напомним, как и Джеймсу Максвеллу (по легенде [16, с. 5]), ставили подобные вопросы: «Зачем нужны Ваши волны» – о его уравнениях электромагнетизма; Лондон, Королевское об-во, 1864 г. Молодой учёный не нашёлся тогда что ответить: «Быть может, будут делать игрушки» когда-нибудь... Однако вскоре весь 20-ый век ответил успешной, триумфальной (!) практикой радиотехники, оптики, электроники и др. технических отраслей, составляющих сегодня базу всей цивилизации. И почти век спустя в том же духе, по сути, в метатеоретическом ключе, ответил и советский математик, академик А.Н. Колмогоров:
«Занятия совсем общими полу-философскими размышлениями у меня самого заняли больше времени и энергии, чем, может быть, кажется издали. В такой выработке совсем общих взглядов итог усилий заключается не в формулировке точно фиксированных результатов, а в общей перестройке собственного сознания и размещения всего в надлежащей перспективе».
– из лекции: https://kpfu.ru/portal/docs/F586425008/2017.KCE.pdf (дата обращения 11.11.25г). Колмогоров известен не только как учёный, внёсший значительный вклад в развитие математики, но и как ..."автор новаторских работ по философии, истории, методологии и преподаванию математики"... (Википедия, дата обр. 14.12.25г).
2. О метатеоретических понятиях
Определение 2.1. Метатеория – это 1) анализ некоторой конкретной задачи, предметной теории, области, отрасли или науки в целом. 2) Это конечный этап теории, где изучаются её структура, методы, семантика (язык, знаки, смыслы ), актуальность, завершённость. 3) Приоритетно – это проблемы моделирования, корректности, формализации, точности, строгости и совершенства теории, её верификации, научной весомости и валидности (в самооценке автора, в принятии сообществом и в науковедческом плане). И 4) это оценка социальной значимости, актуальное и лонгитюдное внедрение и прогностический ракурс.
Т.о., понятие метанауки мы существенно переформулировали. Приоритет отдан совершенству теории. Затем, определение места метатеории в структуре науки (рис. 1в) и др. Дело в том, что сложился немалый, нередко принципиальный разброс дефиниций Метатеории и Метанауки [17–21, …]. Хотя понятие метатеории известно с нач. 20-го века (с 1899 г.) и уже давно, с 1970-ых входит во многие энциклопедии и словари. Отметим также существенное отличие метанауки от тоже многопрофильной, весьма актуальной, технологической и быстро растущей проблематики метаматериалов с ростом публикаций во всём мире. Где, в частности, важна проблема условий излучения и обратных волн; во множестве разработок именно проектирование искусственных обратноволновых материалов выходит на передний план ([6, 7, 9, 16] и мн. др.).
Определение 2.2. Метанаука складывается из метатеоретических областей и структурирована подобно науке: 1) это надстройка над частной научной отраслью и 2) в интегральном виде – над науками в целом.
К настоящему времени известны весьма успешные метанауки: метаматематика, металогика, метаинформатика. И построенные позже над социально-гуманитарными, ещё далеко незавершёнными и мало формализованными отраслями, это мета-экономика, -этика, -философия и др. [10, 11, 22, …].
3. О физической корректности и метатеоретическом ракурсе
Определение 3.1. Корректная теория – это прямо или косвенно верифицируемое теоретическое исследование, адекватное эмпирическим данным или довольно точно совпадающее с результатами специального эксперимента. Либо же математически доказанная корректность. Для экспериментального исследования – это адекватность другим устоявшимся теоретическим и эмпирическим данным.
Т.о., Корректность здесь общенаучное понятие, т.е. и в физико-технических науках, и в биологических, и в общественных. В данной и в других наших статьях [9, 23, ...] ставится проблема, прежде всего физической корректности в теории волн и проводится её анализ. Анализируются условия излучения для волновых краевых задач и задач на собственные моды волноведущих структур
Определение 3.2. В задачах на собственные моды изучаются только дисперсионный, многомодовый спектр без расчёта амплитуд и собственных функций.
Исследуются, в частности, постановки задач для уравнений в частных производных, волновых уравнений и уравнений Гельмгольца в неоднородных структурах, решаются математические вопросы корректности.
В этом плане, несмотря на компьютерный бум и бурный прогресс вычислительных отраслей, остаётся непреходящей установка физической науки, предписывающая выполнение экспериментальной части исследования или сравнение с иными эмпирическими данными. Вместе с тем, во многих отношениях и в целых классах волновых задач (за исключением принципиально новых постановок и моделей) достаточно теоретически установить корректность математического моделирования, анализа и расчётов.
4. Проблема излучения, физические принципы и математические условия излучения в волновых задачах
Суть проблемы излучения, как уже отмечено, в том, что решение обычно получается с неопределённостью направления фазовой скорости, например, влево или вправо по оси движения
a(x,t)= a(kх+,-vt), чаще гармоника exp (i(+,-kх+,-vt))
(в общепринятых символах, причём вместо знака "плюс/минус" дано +,-). Такая неоднозначность увязывается с фундаментальной симметрией физических законов, а математически с чётностью, как правило, дисперсионных уравнений. В этом случае выбор единственного, физически корректного решения осуществляется формулировкой условий изучения, т.е. корректный отбор собственных чисел, вещественных корней дисперсионного уравнения для каждой бегущей моды. И методами для такой формулировки выступают принципы излучения.
Определение 4.1. Методы определения направлений фазового и энергетического или группового (импульсного, нестационарного) движения волн называются принципами излучения, а сами направления движений – условиями изучения.
За более чем вековую историю проблемы,
Арнольд Зоммерфельд, 1898, В.С. Игнатовский, 1905, В.А. Фок, 1933, Л.И. Мандельштам, 1945, А.Г. Свешников, 1950, Г.Д. Малюжинец, 1950ые, Джеймс Лайтхилл, 1970-ые, А.В. Наседкин, 2001, В.М. Бырдин, 2006, В.В. Фисанов, 2020, и др.,
выработан ряд принципов излучения и их модификаций [7, 9, 23–25, ...]. Из них основными являются четыре принципа.
Определение 4.2. Основные 4-ре принципа излучения – это 1) принцип расходящихся волн, 2) принцип предельного поглощения, 3) энергетический принцип и 4) принцип причинности (в частности и сродни с принципом предельной амплитуды).
Подчеркнём, что большинство работ по проблеме излучения выполнены советскими и российскими учёными, нашими коллегами и предшественниками. Включая классиков физической науки: Игнатовского, Малюжинца, Мандельштама, Свешникова, Фока.
Все указанные, 4-ре принципа излучения и их модификации базируются на волновой парадигматике, на фундаментальных представлениях о реальных процессах, таких как законы сохранения, причинно-следственный детерминизм, на эмпирических обобщениях. И потому они, как правило, приводят к одинаковым результатам. Лишь принцип расходящихся волн, или «условия Зоммерфельда», неприемлем для многих диспергирующих сред, точнее, для отрицательно-диспергирующих систем, в спектрах которых имеются обратные моды.
Теорема 4.1. Принципы предельного поглощения, энергетический и причинности (вкл. предельной амплитуды) эквивалентны.
В доказательстве – наша простая (в три символа), эффективная формула о затухании бегущих волн:
r = d/U,
где r – коэффициент затухания волны, U – её групповая скорость, d – диссипативные потери в волноводе или, произвольно, в волноведущей материальной структуре. См. в [8, 23].
Теорема 4.2. Условия излучения состоят в реальности, как правило, прямых (или уходящих) волн, существующих в полубесконечных частотных спектрах. А также в наличии, как исключения, обратных волн (приходящих по фазе к источнику). Причём обратные волны существуют в дискретных и ограниченных диапазонах как по частоте, так и по материальным параметрам волноведущих, достаточно сложных структур.
Доказательство – методом индукции: обобщение публикаций по теории волн, диспергирующих волн (у которых вектора фазовой, групповой и энергетической скоростей различны). Второй метод доказательства дедуктивный: из достаточно сложного дисперсионного уравнения доказывается противоположность векторов фазовой и групповой скоростей [26].
Т.о., обратные волны (или приходящие – синоним от Г.Д. Малюжинца, 1951г [24]) – довольно редкое, уникальное явление и необычная фундаментальная физика волновых процессов (см. [7, 9, 16] и мн. др.).
Определение 4.3. Различаем понятия и синонимы обратной или приходящей и сходящейся волны и прямой или уходящей и расходящейся. В отличие от их 2-го значения в смысле частных решений дифференциальных уравнений, а также в отличие и в специфике теории сферических, цилиндрических волн и волн криволинейного фронта. Глубокий физический смысл заключается в движении фазы обратной волны на источник – вектора фазовой и групповой (и энергетической) скоростей противоположны, строго антиколлинеарны или составляют тупой угол. См. рис. 2, а также [26А] и др. публикации авторов.
Рис. 2. Обратноволновой радиоимпульс (ОВ /BW, backward wave) в дальней зоне, с крутым головным фронтом и размытым хвостом – схема. Вектора: V – фазовая скорость, U – групповая, P – поток мощности.
В портале Проза.ру, Естествознание, допускается только один рисунок на статью; поэтому отсылаем в наши публикации, например, [26А, рис. 8] и др.
5. О корректности и верификации в физической теории волн
Первая и 3-я проблемы корректности, о собственных числах и функциях, названные в определении 1.1, довольно разработаны в математической физике.
5-ая, Квазигармоническая проблема – это соотношение задач гармонического режима с переходным, нестационарным или импульсным.
6-ая проблема, раскрывает соотношение линейной и нелинейной моделей, адекватность реальному мощному процессу, с конечной амплитудой. В отл. от условно, бесконечно малых амплитуд возбуждения в линейной физике. Но и кроме, конечно, ударных волн, взрывов и сверхзвуковой баллистики – принципиально иной тематики.
Очевидно, что 5-ая и 6 компоненты корректности изучены менее других – большинство публикаций в теории волн, как и экспериментальных работ, по гармоническим волнам и линейным моделям (маломощным процессам). Оставаясь на порядок проще, гармонические и линейные задачи предваряют нелинейную и нестационарную проблематику. А в нелинейной физике, в Методе последовательных приближений, первое линейное решение служит исходным базисом, входящим во 2-ую и последующие итерации точности.
Таким образом, корректность моделирования, постановки и корректность и единственность решения краевой волновой задачи складывается из следующих элементов.
1) По условиям излучения: а) выбор физического принципа излучения; б) формулировка математических условий излучения. 2) Полнота спектра. Учёт всех возможных ветвей дисперсионного спектра, корней дисперсионного уравнения: а) по всем спектрам вещественных, мнимых и комплексных значений; б) всех их кратностей. 3) Собственные функции. Точный и строгий расчёт амплитуд и пространственных распределений всех мод волнового спектра. 4) Диссипация. Потери не всегда пренебрежимы и, кроме затухания волн, выявляются новые участки спектра (Бырдин В.М., 2013). 5) Гармонический режим – импульсный, нестационарный. И 6) Степень адекватности линейной задачи мощному процессу.
По-видимому, работ по нелинейной волновой тематике и нестационарным процессам уже достаточно для формулировки общих положений. Например, в нелинейных задачах, как отмечено выше, линейная часть является, во-первых, 1-ым предварительным приближённым решением и, во вторых, основой для 2-го и последующих итераций. В нестационарных зада-чах импульс переходит в гармонический процесс в пределе большой длительности. Очевидно, это азбучные положения общей многопрофильной теории волн.
В стохастических задачах указанная единственность решения, очевидно (насколько могут судить авторы), включает теоретическую многозначность вероятностных ветвлений процесса.
6. Заключение и выводы
Определение 6.1. Метатеоретическая физика – это 1) анализ некоторой предметной физической теории, отдельной задачи, области, узкой отрасли, физики в целом; 2) это конечный этап анализа, когда изучается её структура, методы, семантика и завершённость. И 3) приоритетно – это проблемы моделирования, формализации теории, её корректности, точности, строгости, завершённости, совершенства и значимости. Причём метаанализ не только теоретических, но и экспериментальных результатов исследования.
Конечно уровень строгости, как в метаматематике и металогике, ещё мало достижим, но философско-логический, науковедческий, исторический – вполне, см. например, [9, 27, 28]. Что и повышает качество анализа.
Большинство физических работ, в частности, по теории волн (где специализируются авторы) являются расчётно-теоретическими. Дефицит экспериментальных работ – очевидно из экономии ресурсов и финансов. Адекватность теории реальным процессам, её актуальность, научная и социальная значимость и др. аспекты предметны корректности, верификации и метатеории, что и необходимо акцентировать, расширять и развивать. Однако многие учёные избегают и мета-анализа, и самой терминологии, (кроме вопросов внедрения). Широкий, по сути, метатеоретический взгляд на науку и её отдельные области, наряду с конкретными актуальными задачами всемерно приветствовал академик Фримен Дайсон (Freeman J. Dyson, 1923–2020 гг. жизни). См. его знаменитые статьи и лекции «Будущее физики», «Птицы и лягушки в математике и физике» – УФН, 2010, № 8; 1971, № 3; [29] и др.
Параллельно и независимо от физической науки могут ставиться аналогичные проблемы в других отраслях многоплановой науки. Обмен и сравнение положений из разных отраслей, как известно, способствует обогащению науки в целом. И в этом диалектика дифференциации и интеграции современной, бурно растущей науки ([30] и мн. др.). Общим методологическим базисом здесь выступает Гносеология, теория арсеналов познания.
Эту работу, её начало, «О принципах и условиях излучения», в 1970-ые гг. мне, В. Бырдину, тогда ещё молодому радиофизику ТРТУ, посчастливилось обсуждать с проф. Завадским, Владиславом Юрьевичем, 1933–1993 гг. жизни. (Сохранилась его краткая рекомендация к печати). Он был выдающимся советским учёным, основателем вычислительной акустики, Патриархом общей многопрофильной теории волн, а также замечательным Поэтом. См. [31, 32] и Акустический ж-л (1994, № 4).
Литература
1. Леонардо да Винчи. «О науке» // Классики физической науки / Составители: Голин Г.М., Филонович С.Р. М.: Высшая школа, 1989. 576 с. С. 33–34.
2. von Kovalevskaya, Sophie. Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung // J. f;r die reine und angewandte Math. 1875. 80: 1–32.
Перевод. фон Ковалевская, Софи. К теории дифференциальных уравнений в частных производных // Журнал чистой и прикладной математики.
Олейник, Ольга Арсеньевна, акад. Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образов. ж. 1997. № 8. С. 116–121. Дата 24.7.26.
Cauchy-Kovalevskaya theorem. Encyclopedia of Mathematics. URL: , last edited on 4.6.20г. – 07.26г. Пер.: Теорема Коши-Ковалевской. Энциклопедия математики.
3. Мазья В.Г., Шапошникова Т.О. Жак Адамар – легенда математики.– М., 2008. 527 с.
4. Купрадзе В.Д. Метод потенциала в теории упругости.– М.: ФМГ, 1963. 472 с.
5. Коузов Д.П. Энергетический принцип единственности граничных задач акустики // Математические вопросы теории волн / 3аписки семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. Т. 89. С. 124–133.
6. Рущицкий Я.Я. Элементы теории смеси.– Киев: Наукова думка, 1991. 160 с. (Его же, обзор // Прикл. механика. 1997. № 1).
7. Фисанов В.В. Принципы предельного поглощения и погашаемости применительно к вол-нам в изотропных средах и метаматериалах // Электронные средства и системы управления: Материалы докладов 16-ой Международной научно-практической конф. Ч. 2. Томск: В-Спектр, 2020. 250 с. С. 114–117.
8. Бырдин В.М. Условия излучения для краевых задач с уравнениями Гельмгольца // Доклады АН СССР. 1978. Т. 238. С. 293–295.
9. Бырдин В.М. Об условиях излучения и корректности волновых задач // 7-ой краткий отчёт об основных результатах НИР. 2005-06 гг. М.: ИМАШ РАН, 2006. С. 353-355.
10. Ойзерман Т.И. Метафилософия. Теория историко-философского процесса.– М.: Канон+, 2009. 440 с.
11. Миронов В.В. (о книге Т. И. Ойзермана «Метафилософия»…)// Вестник РАН. 2011. № 3. С. 273-281.
12. Кричевский А.В. Как выразить невыразимое? К вопросу о понятийном аппарате метафизики.– М.: Директ-медиа, 2024. 104 с.
13. Макс Борн. Физика и Метафизика <лекция к юбилею Дж. Джоуля, 1950 г.>// Его же. Физика в жизни моего поколения: Сб. статей.– М.: ИЛ, 1963. С. 189-208.
14. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое: Пер. с нем.– М.: Наука. Физ.-мат. лит., 1989. 400 c.
15. «Метафизика»/ Научный журнал, с 2011 г. Ю.С. Владимиров – главный редактор.
16. Силин Р.А. Необычные законы преломления и отражения.– М.: Фазис, 1999. 80 с. (2-е изд. 2000-ые).
17. Абрамов С.М. Метавычисления и их приложения.– М., 1995. (эл. вариант, Рунет…). Его же. Методы метавычислений и их применение.– Переслав., 2006. 128 с.
18. Зверев Г.Н. Метаинформатика, искусственный интеллект и основания языка науки // Интеллектуальные системы управления. М.: Машиностр., 2010. С. 7–16.
19. Игнатьев М.Б. 60 лет секции кибернетики как метанауки и современные кибер-физические системы // Философия и гуманитарные науки в информационном обществе. 2016. № 3/13. С. 12–20.
20. Maudlin, Tim, 2007, The Metaphysics Within Physics. Oxford: Oxford Univ. Press. Chapter 4. “On the Passing of Time”.
Перевод. Модлин, Тим. 2007, Метафизика в физике. Оксфорд: Изд. Оксфордского ун-та. Глава 4. «О течении времени».
21. Metatheory for the Twenty-First Century. (Critical Realism and Integral Theory in Dialogue) / Edited by Roy Bhaskar and others. L., N-Y: Routledge, 2015. 358 р.
Перевод. Метатеория для XXI века. (Критический реализм и интегральная дискуссионная теория) / Под ред. Роя Бхаскара и др.– Л., Н-Й.: Routledge, 2015. 358 с.
22. Генкин Б.М. Введение в метаэкономику и основания экономических наук: Курс лекций: учеб. пос.– М.: Норма; Инфра-М, 2002. 367 с.
23. Бырдин В.М., Зенкина Я.П., Пузакина А.К. Дисперсионное уравнение Бреховских, слоистые структуры океана и земной коры и вопросы кинематики и общей теории волн// Труды 13 Международной научно-практич. конф. «Морские исследования и образование»/ МГУ, ИО РАН и др. Т. II. Тверь: Поли-пресс, 2025. 663 с. С. 635–642.
24. Малюжинец Г.Д. Математическая формулировка задачи о вынужденных колебаниях в произвольной области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 78. № 3. С. 439–442.
25. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Взаимодействие движущихся штампов с упругими и вязкоупругими телами // Механика контактных взаимодействий. Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: ФМЛ, 2001. 672 с. С. 331–348.
26. Бырдин В.М. О дисперсионных уравнениях в общей теории волн и в математической физике // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2023. № 2. DOI 10.24412/2541-9269-2023-2-08-28. URL: mathmod.esrae.ru/42-167 , дата обращения 07.26г.
26А. Бырдин В.М., Пузакина А.К. Извилины, дуги и петли дисперсионных, трансцендентных и виртуальных функций, уравнений и кривых & Сингулярный анзац, нормальные и обратные волны // Там же [26] (Математическое моделирование, …). 2023. № 3. – С. 8-25. – DOI 10.24412/2541-9269-2023-3-08-25. URL: mathmod.esrae.ru/43-173 , дата доступа 07.26г.
27. Чашечкин Ю.Д. Основы инженерной математики течений жидкостей // Волны и вихри в сложных средах: Сб. материалов 13-ой Международной конф.-школы молодых ученых. М., 11.2022., ИПМех РАН, МИАН. М.: Испо-принт, 2022. 322 с. С. 280–283.
28. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. 2 изд.– М.: ФМЛ, 1990. 360 с. (3-е изд. 2003).
29. Freeman J. Dyson / Дайсон Ф. Эйнштейновская лекция, Ванкувер, 4.11.2008 // Notices of the Amer. Math. Soc. 56 (2) 212–223 (2009).
30. Философия естествознания ХХ века: итоги и перспективы / Международная конференция // Вопросы философии. 1997. № 10. С. 132–151.
31. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов.– М.: Наука, 1991. 248 с.
32. Владислав Завадский // Стихи.ру / https://stihi.ru/avtor/krbiblioteka , дата обр. 07.26г
УДК 534.2, 537.8, 001.8
Ключевые слова: метанаука; гносеология; метатеоретическая физика; физические принципы излучения; математические условия излучения; обратные волны; физическая корректность задач; компоненты корректности; верификация; совершенство теории; метатеория.
Для цитир.: Бырдин В.М., Пузакина А.К. О проблеме излучения, верификации и метатеории в волновой физике и o гносеологии в науке // Проза.ру / Естествознание. 27.7.2026, 14:47. http://proza.ru/2026/07/27/1197, №226072701197 , дата доступа 07.26г.