Вход в тригонометрию через физику

"Но все эти песни придумал не ты!
 Кого ты хотел удивить!?"
 ("Машина времени", 1979) -


Формулу вверху действительно придумал не я: в несколько
изменённом [ x + y = A, x - y = B] виде
tgA · tgB = (cos(A - B) - cos(A + B)) / (cos(A - B) + cos(A + B))   (1)
её можно найти на сайте

http ru solverbook com spravochnik trigonometriya tangens-umnozhit-na-tangens

и проверить несложно. Для этого надо, по определению функции тангенс, выразить каждый из сомножителей в левой части через синус и косинус, а затем посмотреть на получившийся результат как на пропорцию a / b = c / d, вспомнив, что последняя запись эквивалентна такой: a · d = b · c. Представив (1) в этом виде, мы, приводя подобные, в конце концов упрёмся в формулу для косинуса двойного угла "y" (все иксы сократятся в процессе упрощений). Ну а формула для косинуса двойного угла в проверке уже не нуждается.
Тем не менее, формула (1) в том виде, как на рисунке, заслуживает определённого внимания. Но вначале пара слов, как и почему я за неё, так сказать, зацепился. Рассматривалась квантовомеханическая задача о рассеянии элементарной частицы на некоем препятствии (не суть важно, каком). Частица после соударения могла лететь в одном из трёх (такова была конструкция в задаче) направлений. В классической физике она бы полетела по строго определённой траектории, в микромире же рассеяние возможно по всем трём, как говорят, каналам -
но с разной вероятностью. А поскольку хоть в каком - то из трёх направлений рассеяние всё же гарантированно произойдёт, сумма этих вероятностей равна единице:
                P1 + P2 + P3 = 1                (2)
Вероятности рассеяния оказались таковы

Р1 = (th(a - b) / th(a + b))**2

Р2 = (th 2a·th 2b) / (th(a + b)·ch(a - b) )**2

Р3 = (th 2a·th 2b)·(th(a - b) / sh(a + b))**2

Здесь "а" и "b" - действительные константы, как-то (неважно, как) связанные с кинетической энергией налетающей на препятствие частицы, sh, ch и th - гиперболические синус, косинус и тангенс соответственно, ** - cимвол возведения в квадрат. Любитель алгебры может вдоволь потешиться, проверяя монстрообразную формулу (2) для произвольных действительных а и b. Пришлось (при оформлении научной статьи) когда-то и мне на время буквально погрязнуть в этом: хотя, как сказано, из закона сохранения вещества в применении к рассматривавшейся задаче, (2) вытекала автоматически, но ... профессионального математика в ТАКОМ способе доказательства, пожалуй, не убедишь! Сейчас, много лет спустя, уже не помню, как мне удалось доказать (2) - в статью эти мелкие по сути расчёты не вошли. И всё время сверлила мысль - нельзя ли привести (2) к какому-то более эстетичному виду. При обычном распорядке дня заниматься таким мелким вопросом было бы роскошеством, но на днях я заболел, провалялся в постели целый день с насморком и - решил всё-же "добить" (2). С этой целью, я формально представил исходные константы как a = i (x + y), b = i (x - y), где i - мнимая единица. Далее переносим Р1 вправо и - можно многое что сократить. Я сокращал, сокращал, сокращал, сокращал - и, в конце концов, пришёл к (1), дав, тем самым, ещё одно её доказательство. На этом можно было бы ставить точку, но: давайте подставим в формулу на рисунке у = 0. Мы получим тривиальный результат - квадрат тангенса это квадрат тангенса. А каков график функции квадрат тангенса - это набор выстроившихся в ряд слева направо кривых "рогами" вверх. И ВСЕ ЭТИ КРИВЫЕ лежат выше нуля, как и положено квадрату действительного числа (точнее, не ниже нуля). Теперь вместо нуля будем считать "игрек" бесконечно малым. Исходная формула приобретёт вид
     tg(x + о) tg(x - о) = (sin(x)**2 - o) / (cos(x)**2 - o)
Здесь "омикрон" - символ бесконечно малой величины (для таких, что сама величина, что её синус - без разницы). Положим х = 1.57радиан (ПИ пополам) или 90 градусов. В правой части последней формулы мы получим бесконечно большое ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число! Решить этот немудрёный парадокс я предоставляю возможному читателю. (Подсказка: посмотреть, как устроена левая часть.)

В заключение хочу сказать графоманам сайта, озабоченным "некорректностью" современной квантовой механики (уже 2 таких мне здесь встретилось): всё нормально с квантовой механикой! Иначе с её помощью нельзя было бы выводить чисто математические формулы.


Рецензии
Прочитал все рецензии!
Понял Вам не до меня.

Григорий Аванесов   02.08.2019 16:40     Заявить о нарушении
Почему же! 2 Ваших заметки про Гянджу и Баку я прочитал с интересом, но просто не рискнул писать рецензию, т. к. тема очень большая и надо прежде хоть просмотреть то, что у меня есть по ней (книжечка по истории Закавказья XVIII века).

Сазонов Сергей   02.08.2019 17:39   Заявить о нарушении
Хотел бы познакомится с Вашей книгой!

Григорий Аванесов   02.08.2019 20:47   Заявить о нарушении
Хорошо, чуть позже (уезжаю в отпуск).

Сазонов Сергей   03.08.2019 18:19   Заявить о нарушении
Счастливого пути!!

Григорий Аванесов   03.08.2019 19:24   Заявить о нарушении
На это произведение написано 6 рецензий, здесь отображается последняя, остальные - в полном списке.