Эффект Мейсснера и классическая электродинамика

[Физические формулы записаны в системе единиц Гаусса,  Pi = 3.14159 - число "пи", ** - возведение в степень, внутри фигурных скобок {} - комментарии автора этих строк, c - скорость света]

А.
Предлагаемая читателю в сделанном мною русском переводе статья профессора Токийского Университета Дайхиро Йошиока написана на высоком научном уровне и весьма интересна, но не была до сих пор опубликована ни в одном из ведущих журналов мира по физике - её можно найти только на авторском сайте этого учёного. Причина такой ситуации достаточно, на мой взгляд, грустна и требует отдельного рассмотрения.
Таковое рассмотрение я планирую представить в будущем, но, чтобы при этом его предмет был возможному читателю ясен, предварительно даю сокращённый перевод этой статьи.
Я не стал переводить аннотацию и заключение, поскольку их содержание раскрывается далее, а здесь мы не скованы обязательными требованиями редакций при оформлении научных статей.
Кроме того, опущены математические выкладки, приводящие к тому или иному результату.
Рисунки в вышеупомянутой статье отсутствуют и я добавил их из детского журнала "Квант" за 2017 год, номер 6, страница 7. К сожалению, фамилия художника там не упомянута.
(Для иллюстрирования статьи Д. Йошиоки они подошли так же идеально, как и для "Кванта".)

Meissner effect can not be explained classically: Daijiro Yoshioka, 23.04.2013
I. Введение.
Когда мы прикладываем магнитное поле к нормальному металлу, оно проникает внутрь него.
Если металл становится сверхпроводником (далее - СП) при охлаждении, поле из объёма СП
может быть вытолкнуто. Так будет, если величина поля меньше некоего критического значения, зависящего от температуры. Такое выталкивание поля известно как эффект Мейсснера. Это отличается от того, что имеет место в идеальном проводнике {Это - монокристалл металла из таблицы Менделеева (не сплав) без единой примеси и без единой пОры: электрическое сопротивление R у такого образца при стремлении температуры к абсолютному нулю также будет стремиться к нулю.}!
В классической системе с сопротивлением R = 0, закон Ленца гарантирует, что магнитный поток Ф со временем не меняется: Ф = const. Поэтому в идеальном проводнике, плотность магнитного потока зависит от его истории: то есть было ли поле приложено до или после охлаждения. А для СП в слабых полях, сверхпроводящее состояние есть термодинамически определённая фаза безотносительно этой истории. Выталкивание поля противоречит закону Ленца классической электродинамики и не может быть объяснено без механики квантовой.
Выталкивание поля энергозатратно и обеспечивается энергией квантовомеханической
конденсации электронов в Куперовские пАры. ...
Магнитное поле выталкивается из сверхпроводника посредством бездиссипативного сверхтока,
который течёт по поверхности СП. Этот ток течёт так, что магнитное поле, создаваемое им,
в точности уничтожает внешнее поле во внутренней области СП. ...
Появление сверхтока может быть объяснено только квантовомеханическими методами. ...

Существование сверхтока, однако, недостаточно для объяснения эффекта Мейсснера. Когда
система пересекает фазовую границу на рис. 1 из "нормальной" стороны в "сверхпроводящую", спонтанно начинает протекать сверхток и магнитное поле выталкивается. В ходе этого процесса, магнитное поле в сверхпроводнике изменяется от конечного значения до нуля. В соответствии с классической электродинамикой, закон Ленца работает против изменения магнитного потока.
Чтобы вытолкнуть магнитное поле из объёма СП в условиях, когда, по з-ну Ленца, этому есть противодействие, требуется, чтобы СП-состояние (в котором поле вытолкнуто) имело меньшую энергию, чем состояние, в котором магнитное поле остаётся в объёме.
В отсутствие поля, СП-состояние имеет меньшую энергию, чем нормальное при условии T < Tc, где Tc - температура СП-перехода. В присутствии же поля, сверхпроводящее состояние с вытолкнутым полем конкурирует с нормальным состоянием, при котором магнитное поле остаётся. СП-состояние не может быть реализовано, когда магнитное поле проникает в объём, поэтому сверхпроводник с необходимостью выталкивает поле. Однако такое выталкивание стоит энергозатрат и при увеличении поля, энергия СП становится больше энергии нормального состояния и сверхпроводимость исчезает.
Такова причина существования критического поля Вкр {график зависимости Вкр от температуры для конкретного металла Pb и показан на рис. 1.}.
Уменьшение энергии в СП-состоянии происходит из-за выделения её при конденсации электронов в Куперовские пары. Этот процесс описан теорией Бардина - Купера - Шриффера (БКШ), полностью основанной на законах квантовой механики.
Вопреки этому, Эссен и Фиольхайс в [1] утверждают, что эффект Мейсснера может быть объяснен в рамках классической механики. Полезно проанализировать их утверждения и понять пороки их аргументации. При этом нам понадобится только знания классического электромагнетизма.

{Пару слов об авторах [1]. Х. Эссен - профессор университета в Упсале (Швеция), автор множества работ по электродинамике, опубликованных в разных (платных и бесплатных) журналах по теор. физике, среди которых есть очень интересные. Мигуэль Фиольхайс - португальский физик, работавший в ЦЕРНе, соавтор ряда статей о процессах при столкновениях элементарных частиц.
К сожалению, уже не помню, это теоретические работы или экспериментальные.}

II. Аргументация Эссена и Фиольхайса.
Эти авторы пытаются убедить нас в том, что эффект Мейсснера - свойство идеального
проводника. Что ж! Забудем на время тот факт, что сверхток может быть объяснён только
квантовомеханически и постараемся выяснить, может ли идеальный проводник демонстрировать эффект Мейсснера. Их аргументация основывается на Главе 1 знаменитого учебника П. Ж. де Женна [2], где уравнение Лондона, описывающее распределение плотности сверхтока в СП выводится только с помощью методов классической механики. Эта аргументация некорректна!
Пусть, для простоты, температура Т = 0. Предполагается, что полная энергия СП в магнитном поле даётся выражением

                E = Es + Eb + Ek.                (1)

где Es - энергия конденсации электронов {в куперовские пары - С_С_Н}, появляющаяся как квантовомеханический эффект,
Eb - энергия внешнего магнитного поля {согласно же Женну, это интеграл по всему пространству от квадрата индукции поля B(r), r - радиус-вектор точки наблюдения},
Ek - кинетическая энергия сверхтока.

{Здесь прерву перевод: выражение для кинетической энергии Ek системы материальных точек общеизвестно, но если материальные точки заряжены, то можно выразить Ek через плотность тока, вводимую в школьном учебнике как

                j = n· e· v               (2)

( n - концентрация свободных электронов, e - заряд электрона, v - дрейфовая (нетепловая) их скорость.)}

Далее, используя закон Ампера в форме уравнения

                4 Pi· j = c· rot B       (3)   

можно записать кинетическую энергию системы электронов как объёмный интеграл от (L·rot B)**2
где L - Лондоновская глубина проникновения {о которой подробно было рассказано в тексте автора этих строк [3]}.
Теперь, предполагая, что Es - неизменяемая константа, де Женн минимизирует суммарную энергию Е
из (1) по распределению поля B(r) и получает известное уравнение Ф. Лондона

                B + (L**2) · rot (rot B) = 0       (4)

Решением этого уравнения является состояние, когда в поверхностном слое толщиной L идеального проводника течёт ток и магнитное поле из его объёма вытолкнуто. Ситуация - как в случае эффекта Мейсснера.
Однако эта аналогия поверхностна, как будет видно далее.
{Приведя вывод уравнения (4) из книги же Женна, Эссен и Фиольхайс пишут в своей статье:
"Notice that this derivation utilizes no quantum concepts and does not contain Planck’s constant. It is thus completely classical." -
"Обратите внимание, что этот вывод не использует концепций квантовой механики и не содержит постоянную Планка. Он является полностью классическим."
Но неверным!!}

III. Странные следствия.
Если аргументация де Женна корректна, то мы сталкиваемся со странными следствиями.

(1) величина энергии конденсации не играет никакой роли. Токовое состояние оказывается
неуничтожимым магнитным полем любой индукции. Существование критического поля необъяснимо, а в критической точке должно происходить тепловыделение.

{Далее автор доказывает последнее утверждение. Он рассматривает очень длинный цилиндр из сверхпроводящего материала, который поместили в сильное магнитное поле, охладили до
температур, близких к абсолютному нулю и затем поле уменьшили. Используя предыдущие формулы, он вычисляет количество теплоты, выделившейся при переходе, нормальный металл - сверхпроводник. Полученная величина строго больше нуля, что противоречит III началу термодинамики.}

(2) В идеальном проводнике нет механизма диссипации энергии. Начав с состояния, в котором Eb > 0, мы никогда не сможем перейти в состояние с Eb = 0.

(3) В вышеприведённом выводе уравнения Лондона никак не использовался тот факт, что мы имеем дело с металлом в СП-состоянии. Следовательно, если всё было корректно, эффект Мейсснера должен проявиться в любом металле.

(4) Вновь рассмотрим очень длинный цилиндр из сверхпроводящего материала, который поместили в магнитное поле. Ничего не изменится, если из него вынуть сердцевину.
Но это противоречит экспериментам по т.н. квантованию магнитного потока {опыт Долла - Нойбауэра 1961 года, описание которого есть на многих сайтах по физике}.

(5) Из вышеизложенного следует, что СП-цилиндр м.б. заменить на замкнутый на себя перемычкой соленоид. Сверхток (величину которого легко вычислить) течёт по соленоиду и уничтожает магнитное поле внутри него.
Локально повысим температуру у перемычки. Дальнейшее изменение тока описывается уравнением

                М· (dI / dt) + R· I = 0       (5)

имеющего решение (М - индуктивность соленоида, R - сопротивление его "нагретого" участка)

                I(t) = Io·exp( - R· t / М )      (6)

С уменьшнием тока, поле проникает внутрь соленоида, а в нагретой перемычке выделяется
Джоулево тепло. Легко доказать, что количество этого тепла равно энергии магнитного поля,
вошедшего в соленоид. Из предыдущих пунктов следует, что энергия магнитного поля при его проникновении внутрь, возрастает. И в то-же время, такое-же количество энергии диссипируется в виде Джоулева тепла. Но откуда она взялась? ...

IV. Причина порочности рассуждений.
Суть их аргументации в том, что эффект Мейсснера, якобы, уменьшает энергию магнитного поля в объёме СП. Они верят, что эта энергия может быть уменьшена токами, протекающими по поверхности СП. Это ошибочно. Рассмотрим ситуацию, когда почти однородное поле "В" создано внешним магнитом.
Внесём в это поле соленоид, ориентированный параллельно вектору магнитной индукции и постараемся уничтожить магнитный поток внутри соленоида (рис. 2). Вначале, когда тока в соленоиде не было, магнитная энергия внутреннего пространства соленоида была

                Eb = (B**2)· V / (8· Pi )           (7)

{Известная формула вузовского курса общей физики, V - объём соленоида}
Пусть соленоид сделан из идеального проводника с нулевым сопротивлением. Для уничтожения магнитного потока внутри, нужно, чтобы по соленоиду пошёл ток i = c· B / (4· Pi· N), где N - плотность намотки. Этот ток сам собой не потечёт! Нужно подключить к соленоиду источник ЭДС.
Её величина {по закону электромагнитной индукции Фарадея}

                e(t) = М· di(t) / dt          (8)

Работа ЭДС равна интегралу по времени от произведения e(t)· i(t).

{Это - известный закон Джоуля - Ленца. Далее профессор считает этот интеграл и его результат: }

                A = (B**2)· V / (8· Pi)            (9)

Таким образом, чтобы убрать поле из объёма соленоида, нам нужно извне такое-же количество энергии.
Откуда она берётся? В сверхпроводнике она выделяется при конденсации электронов в Куперовские пАры. И поскольку состояние СП с вытолкнутым магнитным полем имеет бОльшую энергию, эффект Мейсснера возможен, только когда энергия конденсации пар превысит энергию магнитного поля. Это условие определяет критическое поле СП-перехода. Эссен и Фиольхайс ошибочно посчитали, что в условиях эффекта Мейсснера {при выталкивании внешнего поля}, энергия Eb уменьшается, не учтя величину "А" из (9).

Б.
Статья японского профессора закончена. Она не отвечает на вопрос, КАК нужно изменить формулы из [2], чтобы избежать абсурдных следствий из этих формул, выявленных им. Ответ на данный вопрос требует отдельного рассмотрения, как уже было обещано, я займусь этим, когда будет время. Пока же замечу, что об эффекте Мейсснера рассказано на многих сайтах, например

electricalschool.info electrojavlenija 2189-effekt-meysnera-i-ego-ispolzovanie

кроме того, каждый может бесплатно скачать III том "Курса общей физики" профессора МФТИ Д. В. Сивухина, где соответствующая тема рассмотрена, я бы сказал, дотошно.

Полезно, мне кажется, дать дословный перевод раздела CONCLUSIONS статьи Эссена и Фиольхайса. Вот как они подытоживают свои результаты:

"У читателя может сложиться впечатление, что авторы рассматривают сверхпроводимость как классическое явление. Нет ничего дальше от истины! Как следует и из теории Гинзбурга - Ландау, так и из теории БКШ, это явление в значительной степени (to a large extent) квантовое. ... Мы хотим (лишь) исправить некорректное утверждение о том, что существование эффекта Мейсснера доказывает, что сверхпроводник "не просто идеальный проводник". В соответствии с основами физики, специфический феномен выталкивания магнитного потока следует прямо из классической физики и из нулевого электросопротивления сверхпроводника. Сверхпроводник - это именно идеальный проводник! (they are just perfect conductors)"

Этот, очень мягко выражаясь, сомнительный вывод, нашёл, тем не менее, отклик в умах некоторых учёных. А именно, в 2014 году издательство "Шпрингер" опубликовало сборник статей, среди которых есть работа [4] трёх авторов из университета в г. Удине (Италия), поставивших перед собой цель "интегрировать сверхпроводимость в вузовский курс электромагнетизма". Задача вполне серьёзная! В имеющем огромный индекс цитирования на Западе учебнике Дж. Джексона "Классическая электродинамика" (1-е издание в США в 1962 г.), о явлении сверхпроводимости не сказано ни слова, а академик И. Е. Тамм в своих прекрасно написанных "Основах теории электричества" уделяет ей (сверхпроводимости) ... полстранички. Вот тут-то, по мысли итальянских авторов, и поможет [1]:

"Результаты [Эссена и Фиольхайса] гарантируют, что феноменология СП-состояния может быть описана в  рамках классического электромагнетизма. Говоря о перспективах образовательного процесса, такие концепции электромагнетизма, как индукция поля В, намагниченность  J, магнитный поток Ф, могут быть использованы как инструменты познания феноменологии сверхпроводимости. В этой перспективе, эффект Мейсснера (В = 0 внутри СП) может быть объяснён как индукционный процесс в идеальном проводнике (R = 0). А уравнение Ф. Лондона составляет теоретическую основу для исследования и возможную промежуточную цель образовательного пути. Попытка объяснить, как условие R = 0 может быть реализовано для сверхпроводника перебрасывает мостик к квантово-механической основе существования СП-состояния."

Не знаю, воспользовались ли итальянские преподаватели физики за истекшие 8 лет советам авторов из Удине, но если "да", то - флаг им в руки и вперёд, к новым научным свершениям!

[1] Essen H., Fiolhais M. C. N., "Meissner effect - a review", Amer. J. of Phys., volume 80, pages 164 - 169 (2012)
{Журнал подписной и его номера с содержанием в свободном доступе Интернета отсутствуют, но данную статью в оригинале найти легко. Например, я скачал её по клику на сайте
http://www.semanticscholar.org/ }

[2] П. Г. де Жен, "Сверхпроводимость металлов и сплавов.": М., "Мир", 1968

[3] http://proza.ru/2022/07/20/23
"Пример очковтирательства в современной физике", Сергей Сазонов 5

[4] M. Michelini, L. Santi, A. Stefanel
"Basic Concept of Superconductivity: A Path for High School"
http://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2014SPPhy.145..453M/abstract