include virtual cgi-bin includes. pl? type text header topic 03

+&author=konstkaras" -->                 Математическая сказка для взрослых

У одной ограниченной числовой последовательности было много частичных пределов.
Вроде бы дело нехитрое - по теореме Больцано-Вейерштрасса у всякой последовательности
хоть один частичный предел да найдется. Только последовательности разные бывают. Иная
увидит свой единственный предел - и все, только к нему и сходится, порой даже
экспонента не догонит. Иная не спеша, с логарифмической быстротой, идет к соему
частичному, причесывается на ходу, раз - к другому частичному зашла, посидела в
 -окрестности, чаю попила и пошла дальше. Но эта была сущее безобразие! То к одному,
то к другому, то быстро, то медленно, то совпадет, то рядом помотается.... Одни,
конечно, прощали: потерлась номеров десять, не совпала ни разу - и Бог с ней: она еще
вернется, не будь я частичный предел! А другие как видели ее, мимо проносящуюся, так
и роптали: ну когда же, когда же... Рациональные же частичные пределы вели себя
спокойно: "В N*R есть уйма числовых последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда
найдутся!". Так что был от этой последовательности на ее интервале всюду полный
бедлам.
А однажды решила эта последовательность больше по частичным пределам не бегать, а
подняться как можно выше. Разумеется, она знала, что была ограниченной сверху неким
С, и даже со впадала с ним раз пять, и говорил он ей тода: "вот, я тебя сверху
ограничиваю, и ты не знаешь что там выше. А там - бесконечность". И закрывала она
глаза, и жалела о том, что R - не проективная прямая и бесконечность на R не та:
стремиться к ней можно, но нельзя совпасть. Однако все-таки побежала
последовательность вверх, частичные пределы с визгом проносились назад и только
номера мелькали. Но вот прямая кончилась, и видит последовательность табличку: К+epsilon.
- Кто это посмел?! - сказала она.
- Я, К! - ответил кто-то за спиной
- А ты где?
- Да здесь я! Не дальше !
Последовательность обернулась. Перед ней стоял К и счастливо улыбался.
- Все теперь! Дальше К+epsilon не убежишь!
- Как это не убегу! Ты вообще кто такой?
- Кто я такой? Я - твой верхний предел!
- Да какой ты верхний, посмотри на себя! У меня же членов выше тебя - до черта! Ты
меня ограничивал? Я спрашиваю - ты? Меня? Ограничивал?
Наглость числовой последовательности слегка взволновала К. Он мысленно перебрал в
голове курс анализа, вспомнил свое основное свойство и продолжил.
- Членов-то у тебя и много, да вот незадача - частичных пределов нет. Я последний,
самый большой.
- То, что ты супремум, еще не значит, что ты максимум! Ну-ка отпусти меня!
К почуствовал легкий маниакальный синдром и быстро доказал ей то, что у множества
частичных пределов есть и минимум и максимум, и инфинум, и супремум, и еще масса чего
есть. Последовательность выслушала, утихла и подняла глаза. К оказался весьма
симпатичным.
- Да, по-моему, я понесла чушь. А ты хороший. Я уже начинаю сходиться к тебе.
- Как же, сойдешься! Нижнему пределу М ты говорила то же самое....
- Так... это не я, это... моя подпоследовательность.
- Ежели бы ты сходилась, так и все твои подпоследовательности сходились бы к тому же!
Не ври, паразитка!
Некое (показное) подобие девичьей скромности заставило последовательность проглотить
слово "паразитка". Хотя для К это не прошло даром.
- А вообще, зачем ты, верхний предел, мне нужен? Вот у меня есть знакомая
последовательность - уважаемая дама, с комплексными членами работает, сама
ограниченная, а про верхний и нижний пределы и не слыхивала.
- Да-а... Слава Богу, теорема Фробениуса существует: кроме R, C и К вам развернуться
негде. Хотя вы даже в Rn живете припеваючи. Порядка там не хватает...
- Мечтать не вредно! Пожелай еще, чтоб все ограниченные последовательности сходились.
Вам, мужикам, только того и надо, а мы? Мы свободны. Я одну последовательность знаю,
так у нее вся прямая была частичные пределы. Она на любое алгебраическое число
натуральный номер вешала!!
- А трансцендентных членов, спорим, не имела...
- Их всех и не переимеешь. Я скажу по секрету: это мечта любой последовательности. И
главное, я тут бегаю, все следы перепутала, поймать меня не могут, а никакой великой
константы не нашла. А другая последовательность прыг-скок, прыг-скок, и по
трансцендентным числам как по нулю! А формула-то всего: an=Pi*n . Кстати, а что ты так
ко мне ластишься? Что тут epsilon такой маленький?
- Во-первых, это не я к тебе ластюсь, а ты ко мне частично сходишься. Во-вторых,
какоя я  захочу, такой он и будет.  здесь бесконечно мал.
Беседа между К и последовательностью, начавшаяся с такого скандала постепенно
превратилась в дружескую перепалку, став затем философским спором, математической
болтовней и приятным бессмысленным разговором на вольную тему. Он делал  все меньше
и меньше, она выполняла свой долг перед другими частичными пределами, возвращалась к
нему и становилась все ближе и ближе. Хотя он никогда не станет ее членом. А ему и не
жалко. "В N*R есть уйма числовых последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда
найдутся!".

                23 января 2001