Верхний Предел

                Математическая сказка для взрослых

У одной ограниченной числовой последовательности было много частичных пределов.
Вроде бы дело нехитрое - по теореме Больцано-Вейерштрасса у всякой последовательности хоть один частичный предел
да найдется. Только последовательности разные бывают. Иная увидит свой единственный предел - и все, только к нему и
сходится, порой даже экспонента не догонит. Иная не спеша, с логарифмической быстротой, идет к соему частичному,
причесывается на ходу, раз - к другому частичному зашла, посидела в -окрестности, чаю попила и пошла дальше. Но эта
была сущее безобразие! То к одному, то к другому, то быстро, то медленно, то совпадет, то рядом помотается.... Одни,
конечно, прощали: потерлась номеров десять, не совпала ни разу - и Бог с ней: она еще вернется, не будь я частичный
предел! А другие как видели ее, мимо проносящуюся, так и роптали: ну когда же, когда же... Рациональные же частичные
пределы вели себя спокойно: "В N*R есть уйма числовых последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда найдутся!".
Так что был от этой последовательности на ее интервале всюду полный бедлам.
А однажды решила эта последовательность больше по частичным пределам не бегать, а подняться как можно выше.
Разумеется, она знала, что была ограниченной сверху неким С, и даже со впадала с ним раз пять, и говорил он ей тода:
"вот, я тебя сверху ограничиваю, и ты не знаешь что там выше. А там - бесконечность". И закрывала она глаза, и жалела о том, что R - не проективная прямая и бесконечность на R не та: стремиться к ней можно, но нельзя совпасть. Однако все-таки побежала последовательность вверх, частичные пределы с визгом проносились назад и только номера мелькали.
Но вот прямая кончилась, и видит последовательность табличку: К+epsilon.
- Кто это посмел?! - сказала она.
- Я, К! - ответил кто-то за спиной
- А ты где?
- Да здесь я! Не дальше !
Последовательность обернулась. Перед ней стоял К и счастливо улыбался.
- Все теперь! Дальше К+epsilon не убежишь!
- Как это не убегу! Ты вообще кто такой?
- Кто я такой? Я - твой верхний предел!
- Да какой ты верхний, посмотри на себя! У меня же членов выше тебя - до черта! Ты меня ограничивал? Я спрашиваю -
ты? Меня? Ограничивал?
Наглость числовой последовательности слегка взволновала К. Он мысленно перебрал в голове курс анализа, вспомнил
свое основное свойство и продолжил.
- Членов-то у тебя и много, да вот незадача - частичных пределов нет. Я последний, самый большой.
- То, что ты супремум, еще не значит, что ты максимум! Ну-ка отпусти меня!
К почуствовал легкий маниакальный синдром и быстро доказал ей то, что у множества частичных пределов есть и
минимум и максимум, и инфинум, и супремум, и еще масса чего есть. Последовательность выслушала, утихла и подняла
глаза. К оказался весьма симпатичным.
- Да, по-моему, я понесла чушь. А ты хороший. Я уже начинаю сходиться к тебе.
- Как же, сойдешься! Нижнему пределу М ты говорила то же самое....
- Так... это не я, это... моя подпоследовательность.
- Ежели бы ты сходилась, так и все твои подпоследовательности сходились бы к тому же! Не ври, паразитка!
Некое (показное) подобие девичьей скромности заставило последовательность проглотить слово "паразитка". Хотя для К
это не прошло даром.
- А вообще, зачем ты, верхний предел, мне нужен? Вот у меня есть знакомая последовательность - уважаемая дама, с
комплексными членами работает, сама ограниченная, а про верхний и нижний пределы и не слыхивала.
- Да-а... Слава Богу, теорема Фробениуса существует: кроме R, C и К вам развернуться негде. Хотя вы даже в Rn живете
припеваючи. Порядка там не хватает...
- Мечтать не вредно! Пожелай еще, чтоб все ограниченные последовательности сходились. Вам, мужикам, только того и
надо, а мы? Мы свободны. Я одну последовательность знаю, так у нее вся прямая была частичные пределы. Она на любое
алгебраическое число натуральный номер вешала!!
- А трансцендентных членов, спорим, не имела...
- Их всех и не переимеешь. Я скажу по секрету: это мечта любой последовательности. И главное, я тут бегаю, все следы
перепутала, поймать меня не могут, а никакой великой константы не нашла. А другая последовательность прыг-скок,
прыг-скок, и по трансцендентным числам как по нулю! А формула-то всего: a n -ное = pi*n . Кстати, а что ты так ко мне
ластишься? Что тут  такой маленький?
- Во-первых, это не я к тебе ластюсь, а ты ко мне частично сходишься. Во-вторых, какоя я  захочу, такой он и будет.
здесь бесконечно мал.
Беседа между К и последовательностью, начавшаяся с такого скандала постепенно превратилась в дружескую перепалку,
став затем философским спором, математической болтовней и приятным бессмысленным разговором на вольную тему.
Он делал epsilon все меньше и меньше, она выполняла свой долг перед другими частичными пределами, возвращалась к нему и
становилась все ближе и ближе. Хотя он никогда не станет ее членом. А ему и не жалко. "В N*R есть уйма числовых
последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда найдутся!".

                23 января 2001

Нормальная версия: konstkaras.narod.ru/content/Tale.htm