Математика литераторов. очерк первый. задача пифагора

    - Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою
школу и слушают твои беседы.
    - Вот сколько, - ответил Пифагор, - половина изучает математику,
четверть - природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и,
кроме того, есть еще три женщины.

    В учебнике задача там, где уравнения.
    Cоставляем уравнение:

    X/2  +  X/4  +  X/7  + 3   =  X

    Приводим к общему знаменателю (с дробями вроде 11/28), получаем
в ответе X=28. С ответом совпадает.  Подставляем в уравнение -
да, совпадает.

    Формулировка задачи забавна, литературна. Математика важнее
всех, природа - вполовину меньше, проводить время в размышлении -
сомнительное занятие, во всяком случае, не изучение, а женщины
вообще "кроме того".

    А если кто изучает и математику, и природу? Наверняка кто-то
из изучающих проводит время в размышлениях.  Да это совсем не та
задача! Уравнение не годится.  К тому же Пифагор не применял
уравнений и не приводил дроби к общему знаменателю.  Ничего этого
тогда не было. И что теперь делать ?  Эти X/2, X/4 и X/7 могут
совмещаться, да еще 3 женщины могут входить то ли в X/2, то ли 2 в
 природу, одна в размышления, или еще как.
Впрочем, нет - в условии сказано "кроме того".

    А все-таки, женщины - ученики, или они "кроме" учеников? (У меня
- ученики) Допустим, у Пифагора женщины не ученики.  Тогда про
учеников известно только то, что половина учит математику,
четверть...  и т.д.  Но тогда годится любое число, которое делится
на 2, на 4 и на 7.  Таких чисел сколько угодно.  Например, учеников
может быть 2x4x7=56, а также 560,5600...  И во всех случаях три
женщины кроме того.  Вряд ли Пифагор ставил такую дурную задачу
(математики называют похожие задачи "тривиальными").  Значит, 3
входит в искомое число X, а остальное - совмещенные полностью или
частично половина, четверть и X/7.

    И кто сказал, что у задачи одно решение? Может быть, если
по-разному распределять учеников по предметам, подойдет несколько
чисел? Совсем непонятно, как решать.

    Рассмотренный тривиальный случай дает подсказку. Рассмотрим
те самые большие числа:  56,5600...  Если вычесть указанные доли,
остается больше 3 учеников, которые "кроме" (X/2+X/4+X/7).
Попробуем почувствовать (но не доказать), что большие числа не
подходят.  Ведь математики, натуралисты и размышляющие в сумме
образуют некоторую ДОЛЮ общего числа учеников; тогда те, что кроме,
тоже образуют каую-то ДОЛЮ.  А при увеличении общего числа все доли
растут, и именно поэтому при больших числах остается больше 3
женщин.

    Теперь видно, как решать задачу. Проверим число, которое
заведомо делится на 2,4,7 - это 2x4x7=56. Оно не подходит -
56 - (56/2 + 56/4 +56/7) = 56 - (28+14+8) = 56 -50 =6 (остается не
3, а 6 женщин). Много. Числа больше 56, по вышенедоказанным
соображениям, пробовать не стоит - не подойдут. Пробуем числа,
меньшие, чем 56, но такие, чтобы делились на 2,4 и 7. Есть такое
число: 28. Пробуем - подходит. А меньше, чем 28, таких чисел нет (то
есть таких, что делятся на 2,4,7). Если бы оказались, пришлось бы
пробовать и их, накладывая по-разному доли.

    Итак, задача решается не уравнением, а перебором (можно было
делать его и с единицы).  При этом суть задачи в строгом
доказательстве того, что среди чисел, больших 28, больше нет
подходящих!

    Предусматривал ли Пифагор все эти умные вещи, или мы их сами
придумали?  Скорее всего - предусматривал.  Здесь вправду простой
вариант задачки, для детей.  Числа нарочно были подобраны так, чтобы
получилось единственное решение без совмещения.

    Задача "половина изучает математику, четверть - природу, восьмая
часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще восемь
женщин" имеет три решения:  64, 32 и 16.

    ПОСЛЕ того, как мы изучили проблему (по-английски problem – задача),
да, так вот, хотя бы изучили, но так и не решили задачу, все же можно и
поразмышлять.  Математик ставит задачу; инженер ее решает;
философ обдумывает - а та ли это вообще задача, которую следует
решать?  Кто же тогда литератор?

    А есть еще и монахи, и разбойники.

--------------------------------------------
    (Следующий очерк - про четвертое измерение)