Теорема Штокольского

Я считаю медленно. Хороший математик - быстро. К примеру, есть шахматная задача, в которой надо проанализировать пятьсот вариантов и не запутаться. Мат в три хода. Выпишем все возможные ходы белых на карточки в определенном порядке ( скажем , a1 - a2 будет первым ). Потом возьмем карточки с загнутым углом – на них будут все возможные ответы черных. И ответы белых на ответы черных – на третьих карточках. При достаточной методичности и последовательности, в конце дня достигнешь решения. Хорошему счетчику не нужна подобная канцелярия – он помнит просмотренные варианты, и не станет бродить в лабиринте кругами, по три раза натыкаясь на одни и те же стенки. Решит в пятнадцать минут. Гений – другое дело. Тот смотрит на доску и говорит – первый ход ферзь g4, дальше – ясно. Я - не гений. Я даже плохой математик. По-хорошему, мне вовсе не следовало бы заниматься теоремой Штокольского. У меня мозги - один на тысячу, 145 по тесту IQ, а нужно – один на пятьсот тысяч - сто шестьдесят. Тогда ты конкурентоспособен, в противном случае соревнование за место под солнцем превращается в бег черепахи против зайца. Надо было идти в гинекологи. Для гинеколога один на тысячу – то, что надо. Пациентки будут довольны.
 
 Я лукавлю. Вовсе не все математики хорошо считают. Пуанкаре писал, что он – плохой шахматист. Он был гений. Не в шахматах, конечно - в математике. Но я ведь и не гений – возвращаемся к исходному пункту.

 К счастью, зачастую вопрос лишь в упертости. Гораздо чаще, чем кажется. Задачи остаются без ответа не по недостаку способностей, но из-за того, что с ними перестают возиться - порой в двух шагах от цели. Потом кусают локти. Конечно, можно хитрить. Решать то, что можно, и смотреть не попадется ли там чего-нибудь интересного. Ставить ловушки на зайцев - будешь сыт и одет.
 
 Я поверил в упорство когда был в армии. В степях. Одна сволочь, шутки ради, умыкнула ракетницу из сейфа. Сволочь была в части наездом, бросила железяку в выгребную яму, и уехала к себе на гражданку. Тонкость ситуации состояла в том, что пара других идиотов когда-то и где-то сделали ракетнице вкладыш, и использовали ее в качестве пистолета под ружейные патроны - в результате эту на хрен не нужную вещь нельзя было попросту списать – она шла под рубрикой “оружие ” со всеми вытекающими в случае утери.

 Начштаба подозревал в краже одного двухгодичника. Меня. Конечно, я был белой вороной и бельмом на глазу – кого еще было подозревать. Не знаю, из-за чего он путал меня с другим двухгодичником - спросите дедушку Фрейда.
 - Вайнштейн, – сказал он. -Лучше верни.
 - Свиридов, - поправил я.- Не брал я железки. На кой она мне. Может, вы взяли?
 - Ну, как знаешь, - он говорил с расстановкой , и не повышая голоса. ( У него было любимое слово - “залупа” . Жене капитана Грекова , пришедшей просить об отправке мужа на обследование ( “Спина у него болит!” ) начштаба неторопливо сказал “А залупа у него не болит?”) “Смотри, под трибунал пойдешь. “ - заключил он , на этот раз почему-то не упомянув своего любимого словца.

 Думаю, начштаба сдержал бы слово, и я действительно пошел бы под трибунал – с залупой или без нее, но железку нашли - в пику всем законам теории вероятностей. После пяти суток бесплодных поисков - в полку почти не спали - после того как неоднократно прочесали окрестную степь строем и вразбивк , и обшарили все возможные углы во всех возможных направлениях - мы с еще одним лейтенантом, которому , как и мне, явственно – словно луна в степи - светил штрафбат, багром вытащили брезентовую сумку из выгребной ямы. Яму осматривали до того минимум раза два – она была сразу за казармой. Стоял легкий мартовский морозец, и дерьма на сумке налипло совем немного.

 Мы, радостно что-то оря по пути, оттащили находку к подполковнику , за полчаса до того отправившего нас в безнадежную миссию еще раз проверить сортиры. После этого я завалился на койку и поставил личный рекорд по длительности непрерывного сна. Бесстрастная физиономия начштаба Тягунова в момент, когда он одной рукой держал железяку за ствол, а другой снимал трубку телефона, чтобы доложить наверх о благополучном разрешении ракетного кризиса, останется со мной надолго.

 С тех пор я и верю в упертость.

 Мой день прост. Встаю, завтракаю, и ложусь думать. Думается лучше всего лежа в кровати. Бумагу кладу на положенную на колени книгу – подходит любая достаточно большая, но тонкая, в твердом переплете и с гладкой обложкой. У меня есть фотоальбом с видами Нижней Саксонии – это очень удобное издание, но совсем не обязательно использовать именно его. Около шести часов думания я выдерживаю - потом обедаю - и на этом рабочий день по большому счету окончен. Ставлю музыку - меня успокаивает музыка. Рахманинова, второй или третий концерт, или Шопена . Иногда - Моцарта. Моцарт скорее приводит в хорошее настроение. Сажусь читать. Около пяти вечера одеваюсь по погоде и пробегаю несколько километров в быстром темпе - у меня есть отмеренный маршрут - мимо универсама, направо, потом еще один поворот – до книжного магазина. Добежав до конца магазина, я разворачиваюсь и бегу обратно. Всего около шести километров.
 
 Такой распорядок дня несколько монотонен, но я к нему привык.

 Занятия математикой отучают от людского общества. Конечно, математики бывают разные - есть и очень общительные люди, и бабники - у многих семьи. Глядя на иного, трудно даже сказать, кто он такой по профессии. Но в целом ремесло накладывает отпечаток. Когда занимашься подобными вещами, говорить постепенно становится как-то не о чем. Пытаться объяснить другим что тебя интересует напоминает разговор о цветах с собакой. Наши четвероногие друзья различают лишь два цвета – черный и белый. А также разнообразные оттенки серого. Когда ты говоришь с ними о павлине, они радостно виляют хвостом либо скалят клыки – в зависимости от настроения - но дождаться от них осмысленной реплики крайне сложно. У математики есть собственные цвета, для различения которых нужно специальное, и плохо тренируемое чувство. Что-то вроде музыкального слуха. У меня нет музыкального слуха. Есть чувство ритма, но нет способности различать ноты по высоте. В теории все очень просто - аккорд приятен, когда соотношения частот близки к соотношениям небольших целых чисал ( четыре к пяти, скажем или два к трем) - но на практике есть те, которые могут точно сказать, насколько оно на слух отличается от восьми десятых , и те, которые не могут. Я не могу. Точно так же есть люди, от природы не различающие математических цветов. Один мой знакомый, порабатывавший репетиторством, считал, что водораздел проходит по сложению дробей. Если натаскиваемый понимает, как складываются дроби, экзамен по математике - при соответствующей работе, разумеется - он сдаст. ( Я говорю не о знании, а о понимании – это разные вещи. ) Если не понимает - то увы.

 Всем знакома сфера. Ее поверхность имеет два измерения. Но имеется точно такая же сфера, которая имеет три. Вы не задумывались, как она может выглядеть? Если трехмерную сферу разрезать ножом на две части, то на разрезе появится обыкновенная двумерная, по которой два одинаковых куска объема будут склеены. В нашем пространстве мы не можем себе представить такой фокус. Мне сложно даже описать то усилие воображения, которое нужно, чтобы ощутить трехмерную сферу; однако после того, как подобное усилие наконец сделано, вам открывается некий оттенок несуществующего присутствия.
 

 На теорему Штокольского я наткнулся по совсем другому поводу. Тогда я был помоложе, и еще не принимал себя лишь в качестве человека, решающего задачи. Мне казалось, что есть и другие интересные вещи, что математику можно делить с прочими делами, и даже вынашивал планы женитьбы на симпатичной аспирантке - биологе Леночке. Она, казалось, была не против, но однажды мы с ней договорились пойти на концерт, а мне внезапно пришла пруха - и непременно надо было проверить одну идею, задержался , потом потерялась бритва, потом ждал трамвая - Елена стояла в фойе до третьего звонка и еще четверть часа. В зал ее не пустили – потому она была злая, а узнав причину моего опоздания совсем вышла из себя. Были произнесены сакраментальные слова о том, что я должен выбирать между ней и своими формулами - так дальше продолжаться не может. Что она долго терпела – и т.д. Если вы хоть раз имели дело с женщинами, то должны знать этот стиль. В общем, расставание наше получилось с очень неприятным оттенком , и я почувствовал, что мне только кажется, что надо выбирать, а на самом деле уже сделан за меня, и мне остается лишь ознакомиться и поставить роспись в ведомости на получение.

 Вскоре после ссоры с Леночкой я встретил в специальном журнале упоминание о существовании одного недоказанного утверждения. Теорема была предложена в пятидесятые годы и на первый взгляд казалась почти абсурдной. Точная формулировка неважна - я с равным успехом могу написать ее здесь по-китайски. Для видящих же подоплеку, речь шла о некой закономерности хаоса - нетвердо проведенных линиях, создающих все более и более мелкую сеть, и о том, как решение, запутываясь в этих линиях теряет подвижность - словно лесной воздух в миллионах паутин. И все же в этой теореме - будь она верна или нет - несомненно ощущалось то самое “ хорошо соврано ” , которое отличает просто неправильное утверждение от глубоко неправильного. Слова “ на елке растут апельсины ” - просто и очевидно неправильны. Слова “каждое уравнение степени эн можно разрешить в радикалах ” неправильны на том уровне, когда опровержение столь же красиво, как утверждение.

 Первой моей мыслью и было найти опровержение. Обсуждаемые частные случаи и пределы были достаточно примитивны, и казалось, что немного подергавшись и посуетившись, из паучьих сетей легко вывернуться. Однако неделя работы ничего не дала. Я полез в дебри формул – члены уравнений плодились словно опята на старом пне или дрозофилы в лаборатории . У каждого есть свой предел для написания формул без ошибок – обыкновенно он лежит в районе десяти страниц, а мой еще и ниже. Несколько раз мне удавалось получить желанное противоречие, но препроверка неизменно обнаруживала ошибку в расчетах - на первой странице или на пятнадцатой.
 Так прошло еще полгода.
 Через полгода у меня на полке лежали две папки , плотно набитые частными случаями, без единого контрпримера, и я стал склоняться к мысли о том, что теорема может все же оказаться правильной - как бы странно это не звучало. Такое предположение открывало иные перспективы; надо было искать не исключение, но путь. Ход напролом заведомо исключался - Штокольский был математиком средней руки, но либо он, либо кто-нибудь из сотни людей в мире, слышавших о теореме , наверняка доказал бы ее, если бы прямая дорога вела к цели. Нужны были обходные маневры – для того, чтобы взять интеграл по линии, как известно , выходят на плоскость.
 Но по поводу того, каким именно может быть обходной маневр, у меня не имелось никаких стоящих соображений.

 
 Иногда я думаю, зачем вообще нужна метематика? В обществе ее до определенных пределов терпят – из-за полезности. К примеру, фраза “ Сахаров получил автомодельное решение ” , встреченная мною в “Успехах Физических наук ” с точки зрения практической означает, что после автомодельного решения стало точно известно, сколько лития и плутония надо для рождественского подарка дядюшке Сэму с доставкой на дом ( за доставку отвечает решение Келдыша).
 Однако, чисто утилитарная полезность значительной части математики близка к нулю. Такие обширные области как теория чисел или топология, прикладников практически не волнуют. Им важны лишь дифуры, да и то далеко не все, и далеко не всем. Кроме прочего, прикладники понятия не имеют что такое настоящая строгость - они готовы забивать гвозди швейцарскими часами. Физикам, химикам и прочим низшим расам наработанного в математике просто не съесть - 99.9 процента работ по их специальности довольствуются аппаратом, известным в позапрошлом веке Лагранжу и Якоби. Основная работа Эйнштейна по теории относительности, например, не использует ничего сложнее теоремы Пифагора.
 И объем накопанного вырос настолько, что изучить досконально теперь можно лишь крайне узкую область. Современный математик не очень популярной разновидности обречен на общество десяти человек в мире , могущих хоть как-то понять и оценить его работы.
 
 Конечно, есть репутация. О да, репутация. Кто из нас не хочет быть знаменитым. В юности хочется свернуть горы. Потом понимаешь, что ты – один из многих. Гуно писал на склоне лет :”В юности я говорил “Гуно”, потом “Гуно и Моцарт”, потом “Моцарт и Гуно”. Теперь я говорю “Моцарт!”

 Некоторые пускаются в путь тараканьих бегов за призами. Мне рассказывали про двух приятелей- физиков, А. и Б. Когда А. написал докторскую, Б. был у него оппонентом, и нашел в тексте ошибку. "Слушай, А.," - сказал он. "Здесь у тебя ошибка."
 - Тебе что важнее, ошибка или моя репутация? – на полном серьезе ответил А.
 Через положенное количество лет после диссертации А. получил Очень Известную Премию. О том, сколько в премированной работе – действительно первостатейной - его вклада, и сколько – ребят из его лаборатории и института, достоверно известно лишь этим ребятам. Ну, и прочим заитересованным лицам. Лучше всех это известно непосредственно лауреату. В науке тоже есть Гамбургский счет.


 Возможно, я положил бы теорему Штокольского на полку и окончательно забыл бы о папках с примерами, если бы не еще одна недоказанная теорема из одной работы в Journal of Applied Mathematics. Эта гипотеза, относившаяся к совершенно другой области смутно напомнила мне то, на что я загробил столько времени. Работу докладывали на семинаре в пятницу. Выходя со станции метрополитена в субботу, я бросил взгляд на обложку журнала “Животноводство” в ларьке и внезапно понял, как из недоказанного утверждения семинара можно было бы вывести интересующее меня утверждение. Эквивалентность обоих зияла дырами как нищенское белье, более или менее строгое доказательство требовало работы, но путь был в общих чертах ясен. Латание самых крупных дыр по пути от одной теоремы к другой заняло у меня еще пару месяцев, но даже после этого решение основного вопроса не продвинулось ни на шаг. “Ну пробил ты лбом стенку. И что ты будешь в соседней камере?” - вопрошал я себя словами польского остряка Ленца.
 Как бы то ни было, теорема из Journal of Applied Mathematics привела в новую для меня область, я посмотрел кое-какую литературу, о части которой имел представление, а о части вообще ничего не знал. Так что какая-то польза несомненно была. Вопрос о том, сколько надо читать - крайне индивидуальное и тонкое дело. Ничего не читая, рискуешь изобретать велосипеды. Читая слишком много , будешь заниматься исключительно усвоением уже сделанного. Время шло – на ознакомление , и осмысление прочитанного, на разбор новых вариантов , на попытки вновь и вновь зайти с того или другого конца. Сорок два часа в неделю. Иногда , теорема даводила меня до подобия тупого отчаяния, я откладывал ее к чертям , и рисовал простенькую работу , чтобы держаться на плаву в институте. Однако, через некоторое время болотный огонек очередного способа начинал брезжить в кромешной тьме, и я в очередной раз брался за карандаши. Иногда мне казалось, что я обречен на вечную погоню за этим болотным огоньком – и мне хотелось чтобы кто-то действительно талантливый доказал наконец - походя - это утверждение, и избавил меня , наконец, от сизифова катания камней из интегралов.
 

 Когда я выбираюсь в общество, мне зачастую дают понять, что я скучен. Недавно меня представили одной женщне - “Марья Петровна, филолог, диссертацию писала по Прусту, а сейчас работает в элитном лицее ”. Она отстаивала тезис, что научный прогресс - это Молох, и сравнивала его со средневековым мракобесием. “Ныне естественные науки антикультурны. В древности познание природы служило на благо человека , а сейчас человек приносится в жертву безудержной погоне за новыми и новыми способами насилия над природой. Мы на пороге технических катастроф небывалого масштаба - человечество опустошит планету и вымрет. ” “Ученые -говорила она - превратились в подневольных работников урановых шахт, выдающих на- гора миллионы тонн смертоносного металла. ”
 Я заметил, что по моим сведениям, опасность небольших доз радиации сильно преувеличивается общественным сознанием – курить, к примеру, гораздо опаснее, чем работать на урановом руднике - речь, само собой, не идет об обогатительной фабрике где уровни радиации выше. Облучение несколько повышает риск заболеть раком – но этот риск и так достаточно высок. Уровни же облучения от урановой руды сопоставимы с естественными , и ... Она не дала мне кончить.
 -Вот вы читали Пруста?
 -Пробовал в студенческие годы, – сказал я. - Но он мне не понравился. Слишком многословен.
 -Вот видите! – воскликнула она. - Куда могут вести общество люди, не читавшие Пруста, и полагающие что радиация - это нечто вроде лимонада!
 -А куда его могут вести люди, панически боящиеся электрической розетки? Наше общество вполне успешно водили граждане, с трудом освоившие программу начальной школы - вроде светоча всех наук гениального Сталина, товарища Хрущева, лупившего ботинком по трибуне ООН, и Брежнева, который без бумажки не мог выговорить слово КПСС.
 - Наука уродлива, – сказала она. - А ученые - умственно обделенные люди, специальные способности которых , подобно раку, поглощают все окружающие ткани до тех пор, пока человек не становится духовным покойником.
 
 -Это не так, – сказал я. -Мне трудно сказать почему, но это не так.
 -Чем вы сейчас занимаетесь?
 -Работаю над одной теоремой.
 -И сколько времени вы над ней работаете?
 -Около шести лет - и прогресса пока что не видно.
 -Ваша теорема перевернет основы науки?
 -Нет, конечно. Этд вполне рядовое утверждение. Думаю, Серов или Габриладзе уже давно бы ее доказали или опровергли, если бы хотели. Но у меня нет таких способностей. Кроме того, мне интересно .
 -Ах, вам интересно. А вы когда-нибудь обращали внимание, что творится в стране? Голодающих детей вы видели? Наркоманов? Бомжей?
 -Замечал, конечно, – сказал я. - Но я не думаю, что в таком положении дел я виноват сильнее, чем остальные.
 - Вы виноваты неучастием. Самоустранением. Общество дало вам первоклассное образование - на что вы его расходуете? Кто вас кормит? - продолжала наступать она.
 - В основном, иностранцы – сказал я. - Полгода я ишачу на профессора топологии в Мюнстере - и на три здесь мне хватает. Плюс, конечно, зарплата в институте, но это – гроши.
 -И на что вам хватает ? Полунищенское существование, даже по российским меркам. Семью уже не прокормить. Неужели вы не могли бы заняться чем-нибудь другим ?
 -Думаю, мог бы – сказал я. Некоторые мои коллеги, к примеру, работают программистами для банков, страховых фирм и тому подобного . Хорошо зарабатывают.
 -Вот видите - вы настолько инфантильны, что боитесь заняться чем-то действительно полезным для вас и для других - не готовы рискнуть грошовым заработком.
 -Возможно, это тоже фактор, согласился я. Но я не вижу, на что я буду тратить деньги. Зачем делать что-то, что тебе не нравится, ради зарплаты, которую не на что потратить?
 - Видите – у вас нет потребностей; это значит, у вас нет культуры. Культурный человек стремится окружить себя красивыми вещами и женщинами, путешествовать, чтобы увидеть знаменитые и интересные места, музеи. Он стремится в общество других культурных и воспитанных людей. Все это требует определенного достатка и хотя бы минимальной способности интегрироваться в общество. Вы же - как алкоголик, которому ничего не надо кроме ежедневной бутылки, только ваша бутылка - заумные, никому не нужные теоремы. Вы ковыряетесь в значках, портите зрение и осанку, но смотрите на всех свысока, и считаете, что умнее других, раз вам удается растолкать эти значки по бумаге, не нарушая в сущности совершенно произвольные правила. Вы считаете, что вы – полубог, а на самом деле – вы никчемный паразит - вроде червя, которого кормят из-за замшелых предрассудков о пользе науки для человечества.

 Прорыв наступил через десять дней после того разговора. Я ткнул немного в сторону, уже не надеясь на успех, почти по инерции, наработанной долгими годами возни с разветвлениями рассуждений – и гора, подкопанная пересекающимися во всех направлениях ходами вдруг стала медленно оседать. Я почти физически слушал шорох – и не верил своим ушам. Кругом обваливались большие и мелкие куски породы, бумажная листва сыпалась с падающих деревьев. Все оказалось так до смешного просто! Если бы я знал это с самого начала. Если бы... Возбуждение длилось всю ночь. К утру, несколько раз перепроверив основные части доказательства, я твердо знал, что теорема Штокольского верна, и остается только написать статью. К моменту набора формул в tex- файл формулы станут мне неинтересны. Мне скучно объяснять другим то, что хорошо понятно самому.

 Когда стало рассветать, я решил пробежаться. Надел спортивный костюм, натянул кроссовки. На улице было пустынно. Под фонарем дама выгуливала устрашающего размера овчарку – та злобно зарычала, когда я бежал мимо, и рванула поводок. Дама, полагаю, подумала обо мне нечто не очень лестное. “Тихо, Джек” - сказала она. “Успокойся”. Улица расстилалась передо мной, свободная от пешеходов и транспорта . Я чувствовал безбрежную, ничем не омраченную свободу одинокого бега, неизменно ведущего в свою начальную точку.
 
 
 ... 39 издание, т. 14. , стр. 1123
 ... Теорема Штокольскго (1893-1962 ), предложен а в 1957 г. Первое доказательство (Свиридов, 1996) имело несколько малосущественных пробелов . Частный случай известной теоремы Габриладзе (Габриладзе, 1998).