Пучки Альфана на многообразиях Фано

Хорошо известно, что группы
бирациональных и бирегулярных автоморфизмов
неособой трехмерной квартики совпадают.
Это теорема Исковских и Манина.
В частности, неособая трехмерная квартика
нерациональна, откуда следует отрицательное
решение проблемы Люрота в размерности три.

Технику Исковских и Манина называют
методом максимальных особенностей.
Метод максимальных особенностей
восходит к работе Нетера, где были найдены
образующие двумерной группы Кремоны.
Мало кому известно, что с помощью метода
максимальных особенностей Бертини получил
бирациональную классификацию плоских
эллиптических пучков.

Реализация идей Бертини не удовлетворяла
современным требованиям строгости, и соответствующий
результат был передоказан Долгачевым, который показал,
что любой плоский эллиптический пучок может быть
бирационально перестроен в эллиптический пучок
специального вида, так называемый пучок Альфана.

Задачу нахождения всех возможных бирациональных
перестроек в расслоения на эллиптические кривые
можно рассмотреть для широкого класса многообразий,
а не только для плоскости.
Например, для неособой трехмерной квартики.

Из доказательства Исковских и Манина следует,
что неособая трехмерная квартика является бирационально
сверхжесткой и не может быть бирационально перестроена
в расслоения на рациональные кривые или поверхности.

Неособые поверхности кодаировой размерности нуль
суть двумерные аналоги эллиптических кривых.
Естественно также рассмотреть вопрос классификации
бирациональных перестроек неособой трехмерной квартики
в расслоения на поверхности кодаировой размерности нуль.
Последний вопрос можно сформулировать следующим образом.
Найти все пучки на данном многообразии Фано, общая поверхность
которых неприводима и имеет размерность Кодаиры нуль.

Под резмерностью Кодаиры особого многообразия
подразумевается Кодаирова размерность десингуляризации.

Пучки поверхностей кодаировой размерности нуль
можно назвать пучками Альфана, что не общепринято.
Например, пучки гиперплоских сечений трехмерной квартики
суть простейшие примеры пучков Альфана.

Можно показать, что каждый пучок Альфана на общей трехмерной
квартике является пучком гиперплоских сечений,
что может быть естественным образом обобщено для
общих многообразий из 95 семейств Рида-Флетчера.

Пусть X - трехмерное многообразие Рида-Флетчера,
а n - номер многообразия X при стандартной нумерации,
данной Иано-Флетчером. Например n=1 соответсвует
неособой трехмерной квартике.

Предположим, что многообразие X общее.
Тогда на нем выполнено следующие утверждения.
1. Общая поверхность пучка Альфана бирациональна поверхности типа К3.
2. Каждый пучок Альфана бирационально инвариантен.
3. Существует конечное число пучков Альфана при n отличном от 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14.
4. Существует 2 пучка Альфана при n=45, 48, 55, 57, 58, 60, 66, 69, 74, 76, 79, 80, 81, 84, 86, 91, 93, 95.
5. Существует 6, 7 и 8 пучков Альфана при n=28, 18 и 22 соответственно.
6. Во всех оставшихся случаях существует ровно один пучок Альфана.

В случае бесконечного числа пучков Альфана на X все они
задаются пучками в антиканонической линейной системе.
В случае, когда антиканоническая линейная система состоит
из одного дивизора, пучков Альфана на X конечное число.
В случае, когда антиканоническая линейная система на X является
пучком, других пучков Альфана на X не существует.

Можно показать, что без условия общности
все последние утверждения не верны.