Полиномы чегорского-арка и их свойства

Сальный анекдот о некоторых полиномах


«Было бы одинаково недостойно полностью поверить таким рассказам и целиком их отвергнуть … На мой взгляд, здесь … следует держаться середины между слепой верой и вольнодумным отрицанием».
Жан де Лабрюйер

ВВЕДЕНИЕ

«Влюбленный старик – одно из величайших уродств в природе».
Жан де Лабрюйер

Отдаленно приближаясь к пятидесятилетнему юбилею, я начал всерьез задумываться о некоторых научных проблемах, да простят мне это мои читательницы.
Действительно, вы меня знаете как филолога – специалиста по ненормативной лексике.
Может возникнуть ошибочное впечатление, что кроме критики чужих ненормативных высказываний (критику я тут понимаю не только как ругань, но и как похвалу), и кроме созидания сомнительной ценности рифмованных виршей, у сладострастного старикашки Чегорского ничего нет за душой.
Это все же не так.
Кое-чему и я обучался, кое-чем и я интересуюсь, кое-какие результаты есть и у меня.
И как бы ничтожными они ни были, пусть они не достаточно весомы для получения каких-либо научных степеней, все же и они заслуживают опубликования.
Ну, а с другой стороны – куда нести свои бренные труды заскорузлому сластолюбцу, только и умеющему, что рифмовать нецензурности, блестя сладострастным взглядом?
Разумеется, туда, где его лучше всего знают, то есть именно на сайт Проза.Ру.
Да простят мне эту вольность создатели и администраторы сайта. Обещаю торжественно более ничего даже отдаленно напоминающего младенческий научный лепет, на этом сайте не размещать.

НЕКОТРЫЕ ТЕРМИНЫ ЧТОБЫ СРАЗУ ОТПУГНУТЬ ЧИТАТЕЛЯ

«Старик, если только он не очень умен, всегда высокомерен, спесив и неприступен»,
Жан де Лабрюйер

Один мой приятель и соавтор по «Поэтической Кама-Сутре», господин Арк, как-то заинтересовал меня некими полиномами.
Впрочем, знаете ли вы, что такое полиномы?

Как известно, полиномом называют математическое выражение вида

PN(s) = a0 + a1 s + a2 s^2 + … aN s^N (1)

Здесь «s^n» означает «s в степени n».

Назовем «связанным полиномом» такой полином, у которого некоторые коэффициенты a(i) фиксированы, а другие могут варьироваться.

В частности, назовем «гранично-связанным полиномом» такой связанный полином, у которого фиксированы коэффициенты a0 и aN.
Назовем «начально-связанным полиномом» такой связанный полином, у которого фиксированы коэффициенты a0 и a1.

Поскольку введением общего множителя любой полином можно привести к виду
 
PN(s) = a0 (1 + b1 s + b2 s^2 + … bN s^N), (2)

где b(i) = a(i) / a0, и поскольку введением новой переменной S, такой, что bNs^N = S^N можно и коэффициент при старшей степени полинома в скобках в соотношении (2) сделать равным единице, то любой полином можно привести к гранично-связанному полиному.
Можно сказать, что гранично-связанные полиномы задают общий вид полинома, а конкретные краевые коэффициенты полинома задают два вида масштаба.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ЗАНУДСТВО – НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ФИЛЬТРЕ

«Прийти к заключению, что иные люди не способны мыслить здраво, и заранее отвергнуть всё, что они говорят, сказали и скажут, - значит избавить себя от множества бесполезных споров».
Жан де Лабрюйер

Если вы еще не прекратили читать, то, следовательно, вы понимаете, о чем идет речь, поэтому я продолжу.

Из электротехники известно, что полином может задать вид фильтра [1].
В частности, соотношение

W(s) = 1 / PN(s) (3)

описывает фильтр низких частот (ФНЧ) N-го порядка.

Ступенчатая функция 1(t), то есть функция, равная нулю до момента t=0 и равная единице начиная с этого момента и до «бесконечности», называемая еще «единичным скачком», часто служит тестовым сигналом, а отклик фильтра на такое воздействие называется «переходной характеристикой» x(t).

Отличие переходной характеристики от единичного скачка будем называть «ошибкой» и обозначать буквой e(t)=1(t)-x(t). Нет нужды говорить, что время будем обозначать буквой t, но все же скажем, что буквой s будем обозначать аргумент преобразования Лапласа. Именно в области преобразований Лапласа используются термины «передаточная функция фильтра».

Итак, задав вид полинома (1), мы тем самым задаем вид передаточной функции фильтра (3), а, следовательно, и переходную характеристику и ошибку e(t).

Иногда при заданном порядке N фильтра необходимо найти такие значения коэффициентов в уравнении (1), которые сообщают наиболее приемлемые с каких-либо позиций свойства переходной характеристики или свойства ошибки e(t).

Приемлемость свойств может оцениваться, в частности, экстремумом некоторого критерия.

Я СТАНОВЛЮСЬ НЕВЫНОСИМЫМ: ОПТИМАЛЬНОСТЬ ФИЛЬТРА

«Слепому не в пользу чужая зоркость».
Жан де Лабрюйер

Введем понятие критерия с порождающей функцией F в виде интеграла

Cr(F,T) = integral{F dt} [from 0 to T] (4)

- интеграл от функции F по t от t=0 до t=T.

Фильтр вида (3) с полиномом (1) при фиксированном N будем называть оптимальным по критерию Cr(F,T), если вид полинома (1) минимизирует значение критерия Cr(F,T) по всем возможным коэффициентам a(i).

Ежу понятно, что если полином (1) не связанный, то интеграл для квадратичных критериев (4) принимает минимальное значение при a0=1, a(i)=0 для всех i=1, … N.

Действительно, в этом случае получаем PN(s) = 1.
 
Следовательно из (3) получаем W(s)=1, откуда x(t) = 1(t) (переходная характеристика пропорционального звена с единичным коэффициентом равна единичной ступенчатой функции).

В этом случае e(t)=1(t)-1(t)=0.

А нулевое значение – это минимально возможное значение для интеграла от неотрицательной функции (тот же самый еж это знает с пеленок).

Следовательно, если мы будем пользоваться квадратичными критериями, то искать оптимум для них бессмысленно.

Имеет смысл искать оптимальные значения коэффициентов только связанных полиномов. Причем, полиномы должны быть связаны не менее чем двумя параметрами, поскольку связка a0=1 ничего не меняет принципиально в этой ситуации.

ПРОДОЛЖАЮ ИЗДЕВАТЬСЯ - ПОЛИНОМЫ ПО ЧАСТНЫМ КРИТЕРИЯМ

«Предвзятость низводит самого великого человека до самого ограниченного уровня».
Жан де Лабрюйер

В частности, введем квадратичный критерий (4) с порождающей функцией Арка [2] следующего вида:

Fa [2, n] = e^2 t^N (5)

Если будем по критерию (4) с порождающей функцией (5) искать коэффициенты начально-связанных полиномов, то будем получать полинома Веббера PNwb(s) [3],
а если мы будем пользоваться гранично-связанными полиномами, то будем получать полиномы Чегорского PNch(s) [4].

Наиболее привлекательными представляются полиномы Чегорского-Арка, то есть полиномы, с коэффициентами, минимизирующими критерий (4) с порождающей функцией (5) для N=6:

Cr{Fa[2, 6],T} = integral{e^2 t^6 dt} [from 0 to T]. (6)

При минимизации начально-связанных полиномов Веббера при N=6 будем получать полиномы Веббера-Арка.

ТЕРПЕЛИВОМУ ЧИТАТЕЛЮ: КАКОВА ПОЛЬЗА ОТ ЭТИХ ПОЛИНОМОВ

 «Монаршие милости не исключают высоких достоинств, но и не предполагают».
Жан де Лабрюйер

Я бы мог добиваться опубликования статьи в каком-нибудь научном журнале, но не хочу. Разве в серьезной науке позволят назвать полином в честь самого себя? Ни за какие коврижки! Назвать в честь ученого – еще куда не шло. А назвать в честь музыканта – это тоже неслыханно.
Так зачем тогда обивать пороги редакций?
Чтобы осчастливить человечество новым методом? Вопрос: а нужны ли человечеству новые методы? Это очень сомнительно.
Как правило, для хорошей идеи поначалу трудно найти даже один мозг, который бы эту идею впитал и не пожелал дать тебе в морду.
Обычно ваши слушатели либо посылают вас подальше, либо ссылаются на занятость, но чаще всего – на некомпетентность в данном вопросе.
Помилуйте, какая может быть некомпетентность в области полиномов? Это ж проще пареной репы! А какая некомпетентность может быть в области поиска экстремума некоторой функции? Это же азы, известные даже Буратино!
Поэтому я продолжу.

Если взять фильтр вида (3) и подавать на него воздействие 1(t), и строить графики переходных процессов на выходе фильтра, то получаем всяческие кривые.
Господа Чегорский [4] и Арк [3] долго смотрели на эти кривые, и господина Арка осенило, что полиномы по критерию (5) при N=6 наиболее сильно тешут его воспаленное самолюбие. При меньших значениях N процессы имеют излишне колебательный вид, при больших чем 6 значениях N процессы наоборот слишком затянуты. Конечно, не худо бы отыскать оптимум N по еще какому-то критерию, но не кажется ли вам, господа, что задача «отыскания оптимального показателя для показателя оптимальности» - это уж слишком? Так можно дойти до абсурда! И поэтому указанный господин Арк решил просто ткнуть пальцем в значение N=6 и поведать миру (никак не меньше), что это – именно то, что нужно.
Прав ли он, я затрудняюсь сказать. Но что-то в этом все же есть.

РАЗНОГЛАСИЯ ЧЕГОРСКОГО И АРКА

«Льстец равно невысокого мнения и о себе и о других».
Жан де Лабрюйер

Далее господин Арк предложил оптимизировать замкнутые динамические системы по критерию (6). Меня сильно смущает влияние шумов в процессе оптимизации, но на это находчивый Арк сказал, что наряду с оптимизацией реальной системы (где измерения, естественно, происходят в шумах), имеют право на существование и задачи оптимизации регулятора для модели, а в этом случае шумы вовсе не обязательно присутствуют.
Как ни странно, чуть позднее он заявил, что и наличие некоторых шумов не столь уж сильно влияет на результат оптимизации, то есть процедура оптимизации устойчива даже и в условиях шумов, «если N не слишком велико» - добавил он.
Что он подразумевал под этим, я не берусь сказать, но если уж значение 6 он назвал оптимальным, то, видимо, значение 6 еще «не слишком велико».
Я не люблю спорить с профессорами, тем более, что они, как правило, столь же заняты, сколь и забывчивы.
Поэтому данные сентенции я оставляю на его совести. Я бы даже не сказал, что речь идет о разногласиях, просто в данном случае «осталась какая-то недосказанность» (как сказала одна дама, спросив мое имя после бурной совместно проведенной ночи).
 
И тут я сообразил, что хотя господин Арк уже успел назвать критерии (5) своим именем, но полиномы он назвать своим именем еще не успел.
Быстро засев за клавиатуру, я настучал определение, полиномам Чегорского-Арка, а заодно и более обобщенным полиномам Чегорского (для произвольного значения N).
Поскольку господин Арк согласился признать мою классификацию обоснованной, на этом мы с ним и ударили по рукам.

Полиномы, получаемые по критерию Арка из начально-связанных полиномов оказались как-то вне классификации, и оставлять их без классификации мы с Арком не захотели. Зачем добру пропадать?
По предложению господина Арка начально-связанные полиномы были названы полиномами Веббера, а частный случай для N=6 – полиномами Веббера-Арка.
Услышав это предложение, я очень остро ощутил нехватку ослиной челюсти в правой руке – я бы с удовольствием заехал господину Арку этой самой челюстью по его челюсти (в каком-то смысле тоже ослиной).
Все же, успокоившись, я внял его предложению, хотя не понимаю, почему какой-то Веббер должен быть прославлен в столь прикольных полиномах.
Впрочем, несмотря на прикольность, эти полиномы, скорее всего, ни на что не пригодны.
Полезность полиномов Чегорского-Арка у меня лично не вызывает ни малейшего сомнения.


СОВМЕСТНАЯ НЕТЛЕНКА

«Тот, кто думает только о себе и о сегодняшнем дне, неизбежно совершает ошибки в политике».
Жан де Лабрюйер

Теперь я должен немного подумать и о вас, мои дорогие читатели.

Вы можете спросить: а существуют ли полиномы Чегорского-Арка?
Ответ положительный.
Вы можете спросить: а есть ли рекуррентная формула для выведения коэффициентов этих полиномов?
Ответ не определенный. У меня лично нет. У господина Арка, насколько мне известно, тоже пока нет.
Но определение этих полиномов уже есть – этого вполне достаточно.

Для тех, кто жаждет увидеть численные значения коэффициентов полинома Чегорского-Арка, могу дать приблизительные значения для нескольких полиномов, даю ссылку, содержащую значения полиномов до пятого порядка [5].
Дальнейшее наращивание степени полинома, равно как и дальнейшее уточнение значений коэффициентов этих полиномов имеет ценность лишь теоретическую, а практической ценности – никакой. А вот зато практическую ценность имеют приведенные тут коэффициенты.

ПРОСТОЙ ПРИМЕР ПОЛЕЗНОСТИ ПОЛИНОМОВ ЧЕГОРСКОГО-АРКА

«… Ибо с каждым днём убеждаюсь, что этот мир не стоит того, чтобы тратить на него силы».
Жан де Лабрюйер

Допустим, что вы хотите рассчитать фильтр, про который известно следующее:
1) его порядок должен быть равен N,
2) старший коэффициент должен в полиноме должен иметь заданное значение,
3) ступенчатое воздействие этот фильтр должен передавать как можно приятнее для вашего субъективного восприятия.

Если вы – специалист в обсуждаемой области знаний, то вы не удовольствуетесь третьим утверждением в той формулировке, в какой оно дано. Вы начнете оперировать терминами «перерегулирование» и «длительность переходного процесса по уровню 5%», но с этим занудством я отсылаю вас к господину Арку.

Ибо если вы такой специалист, чего вы вообще взялись читать всю эту дребедень на сайте прозы?
Если же вы решили отдохнуть от дел, и моя дребедень вас еще не утомила – то вы именно мой читатель, и для вас, драгоценного, третий пункт не покажется отвратительным.
Есть же, в конце концов, понятие «прикладная математика» и пусть дьявол объяснит мне, что значит этот термин!? Как будто бы есть в математики что-то не прикладное!
Так что едем дальше.
Если вам вместо второго пункта почему-либо задано иное ограничение, и менно: задан второй коэффициент в полиноме фильтра, то вам следует отыскивать желаемый полином в классе полиномов Веббера, но я не уверен, что именно полином Веббера-Арка
Собственно, знающему я сказал уже вполне достаточно.
Успехов вам.
А незнающему я вообще не хочу ничего говорить, так что ступайте ко всем чертям.


ДАЛЬНЕЙШИЕ ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ПРЕДЛАГАЕМОЙ МЕТОДИКИ

«Довольно и двадцати лет, чтобы люди изменили своё мнение о самых важных вещах, даже о таких, которые казались бесспорными и незыблемыми… Не больше настаиваю я и на том, что прямая образует с другой прямой два прямых угла или два любых, но равных двум прямым: я побаиваюсь, как бы люди не открыли что-нибудь новое, после чего моё утверждение станет смешным».
Жан де Лабрюйер

Мне кажется, что господин Жан де Лабрюйер, которого я цитировал перед каждым подразделом, сказал за меня достаточно.
А именно: то, что сегодня интересно и полезно, завтра может оказаться и банально и неэффективно.
Так что не буду я загадывать на будущее.
Именно поэтому я и поспешил донести до моего читателя свои не весьма обоснованные, но достаточно оригинальные мысли.

ПОЛЕЗНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Не выпить ли вам рюмочку коньяку после всего прочитанного? А то ведь голова трещит от этих полиномов – критериев – характеристик – функций…



ЦИТИРУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ

[1] Активные фильтры. Методическое указание. Министерство путей сообщения РФ. Иркутский институт инженеров железнодорожного транспорта. В электронном виде: http://www.sdo.iriit.irk.ru/library/29/855/filtry.pdf
[2] Ж. Д. Арк http://zhurnal.lib.ru/z/zhmudx_w_a/
[3] Andrew Lloyd Webber http://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Lloyd_Webber
[4] Шарль-Шико Чегорский http://www.proza.ru/author.html?chegorsky
[5] Вадим Жмудь. Выбор желаемых полиномов характеристического уравнения замкнутой динамической системы. http://zhurnal.lib.ru/editors/z/zhmudx_w_a/polinom.shtml