Письмо юному другу... в связи с поправкой...

...моему любителю "Изящной высшей арифметики"



____________________________________ 300-летию Великого Леонарда Эйлера, посвящается



Мой друг, прошло уже более полугода с того дня, когда я тебе письменно сообщал о моём удивительно простом(!) методе прохождения тернистого пути к решению "задачки", которая получила название: теорема Ферма/Эйлера. (И такой метод имеет перспективы применения к решению других задач!) Более того, по существу в том письме я схематично изложил лишь один вариант простого доказательства этой знаменитой теоремы о том, что любое натуральное простое число p, имеющее вид p=4n+1 (число n естественно тоже "в натуре"), обязательно равно сумме двух (точных) квадратов: p=aa+bb, где a,b - некие целые числа.

Пьер Ферма (1601-1665) мог бы поместить такое решение задачи на полях любой тогдашней книги - сделать то, чего Эйлер не смог бы, пожалуй, сделать со своим первым доказательством, опубликованном лишь в 1758 году. (Своё "удивительное!" доказательство другого утверждения - хорошо известного как Великая теорема! - сам Пьер Ферма, согласно его примечаниям, не смог поместить на полях книги Диофанта, в которой они оказались слишком малы... и для математиков Великая теорема стала "Последней неприступной крепостью" на 330 лет уже после смерти его!)

Поскольку я не получил от тебя, мой друг, никакого отклика на моё первое сообщение, я решил, что это связано с отсутствием некоторых навыков в так называемой "высшей" арифметике. В свою очередь, такие "пробелы" образовались в связи с отсутствием учебников по "элементарной" арифметике, хороших и доступных по цене: и в виде традиционно бумажных книг, и в виде текстов, которые вплетены во "всемирную электронную паутину!" - в интернете. К тому же, некоторые книги-учебники настолько "заумные", что вызывают отвращение и к другим подобным "наукообразным" книгам. И поэтому в этом письме я предлагаю тебе (и возможно, твоим друзьям-товарищам) начальные знания из арифметики - в частности, из моего будущего учебника, который я недавно начал сочинять (в других письмах, если на то будет воля божья, возможно, я смогу предложить тебе более глубокие знания).

Хорошо известно, что среди натуральных чисел многие в большинстве своём оказались, так сказать, составными. Они, согласно определению произведения двух чисел, разложимы на два множителя, каждый из которых больше единицы. В конкретных ситуациях лишь одно из двух чисел по существу является множителем, когда другое число - множимое, однако на многих примерах выясняется, что с изменением ролей для этих чисел результат умножения остаётся неизменным в виде того же данного числа как составного. Поэтому их иногда называют сомножителями (к произведению). Например, если согласно определению и обозначению произведения двух чисел s и m (s>1) мы напишем: s·m=sm=m+m+...+m, то здесь для нас слагаемое m суть множимое - размноженное слагаемое, которое используется при суммировании s раз. Когда m>1, можно производить суммирование, используя число s как множимое - m раз в качестве слагаемого. Тогда число m будет множителем, однако результат, как уже было отмечено выше, не изменяется от такой перестановки: s·m=sm=m·s=ms - переместительный закон. В связи с этим, хотелось бы ещё отметить и такие известные фундаментальные свойства натуральных чисел: (ms)t=m(st), m(s+t)=ms+mt - сочетательный и распределительный законы. Если в обозначениях ms, st, в которых буквы пишутся слитно, предполагается первоочередное действие умножения, тогда сочетательный закон можно изобразить без скобок в таком виде ms·t=m·st. Заодно нам полезно вспомнить понятие разности (вычитания) между числами s,t с обозначением s-t (s>t). В качестве разности появляется некое натуральное и единственное число r=s-t согласно условию: s=r+t=(s-t)+t. При этом, мы могли бы легко обосновать ещё одно свойство: m(s-t)=ms-mt, которое можно использовать для вывода, например, такого тождества: (s-t)(s-t)=(ss+tt)-2st. Если ты являешься знатоком по меньшей мере целых чисел, то тебе хорошо известно, я надеюсь, такое тождество (s-t)(s-t) = ss-2st+tt, в котором число ss-2st как промежуточный результат вычитания может оказаться "ненатуральным" (в частности, когда s=3 и t=2) - так называемым отрицательным числом! Здесь, на всякий случай, отмечу: множество целых чисел состоит из, так сказать, "бывших натуральных", которые стали называться положительными целыми числами и при этом оставаться в непосредственной роли натуральных чисел, вкупе с отрицательными целыми числами, играющими роль "отрицательных натуральных" (противоположное подобие натуральных), и с так называемым нулевым числом (оно как промежуточное играет, можно сказать, сугубо вспомогательную, но важную роль).

С другой стороны, можно сказать, что (в силу определения) натуральное число n>1 является суммой единиц n=1+...+1=n·1=n1=1n. И оказалось, что среди всех натуральных чисел, которые больше единицы, вызывают интерес так называемые простые; мы будем их и в дальнейшем обозначать через p (от латинского prima - главный, основной) и, при этом, определённо иметь в виду: p>1. Каждое простое число представимо в виде суммы некоторых натуральных чисел, но - как некая сумма с одинаковыми слагаемыми только таким образом: p=1+...+1; т.е. последовательное суммирование единиц и только единиц для получения натуральных чисел, называемых простыми, является единственной возможностью к представлению их в виде разложения в сумму с помощью одного и того же числа (3 = 1+1+1, 5 = 1+1+1+1+1, 7 = 1+1+1+1+1+1+1). И следовательно, здесь каждое простое p разложимо на множители только вкупе с единицей: p=p1=1p.

Пусть нам дано некоторое составное число n=sm как произведение двух чисел. Поскольку оно определяется через суммирование sm = m+m+...+m, можно называть множитель s заодно и делителем числа n: число s как бы делит данное составное число на одинаковые части в виде числа m, а последнее является слагаемым для нашей суммы sm. К тому же, может оказаться такой случай, когда известен конкретный вид чисел n,s (например, в некоторой системе счисления - в виде позиционного представления с помощью цифр), но не известен вид другого множителя (число m). В таких случаях и в некоторых других, иной раз возникает желание воспользоваться обозначением деления чисел: n/s=m. Например, если мы заведомо знаем (догадались как-то) о том, что некоторое число n - чётное (т.е. к примеру, оказалось s=2), тогда имеем n=2m, где m - тоже некое натуральное число: m = n/2. Аналогично: поскольку sm=ms, имеем n/m=s. (Обозначение деления было введено также и в связи с понятием дробей, рациональных чисел с соответствующим понятием деления для таких новых чисел.) Таким образом, множители составного числа n=sm стали называться и (точными) делителями его. Более того, единицу и само число n тоже принято называть делителями, поскольку имеем n=n·1=n1=1n. При этом, простое число p имеет только два делителя: 1,p.

Принимая во внимание понятие составного числа, у которого имеются по крайней мере два разных делителя, и каждое из них больше единицы, а также учитывая то, что любое число является делителем самого себя, желательно давать некоторым делителям разные названия в зависимости от конкретной ситуации. Стало быть, введём...

Определение. Любой делитель s некоторого натурального (целого) числа n называется
__________  "правильным", если s>1. При этом, если число n/s тоже имеет какой-нибудь
__________   правильный делитель, тогда делитель s будет называться ещё и "внутренним"
__________   делителем числа n.

Правильный делитель s числа n в роли натурального сомножителя действительно даёт возможность разложения числа n именно в соответствующую сумму n/s+...+n/s = s·n/s = n, в которой множимое n/s используется ровно s раз в качестве слагаемого.

Обращая внимание на такие как правильные, так и внутренние делители числа, весьма удобно и легко давать единообразное Определение простого числа как в области натуральных чисел, так и во множестве всех целых чисел (я продолжаю надеяться на то, что целые числа тебе уже хорошо известны).

Определение. Простое целое число - это число, обладающее правильным делителем, и при
__________   этом его правильный делитель - единственный.

(Такое Определение заодно почти автоматически распространяется и на область некоторых так называемых алгебраических целых чисел.)

Нетрудно убедиться в том, что положительное целое число будет играть роль простого натурального числа, когда оно как целое число окажется простым согласно и нашему новому определению, и только в этом случае. - В области натуральных чисел оба определения простого числа равнозначны!

Ясно, что и здесь новое определение простого числа в области целых чисел - это тоже противопоставление понятию составного числа в области натуральных чисел, где составное число n=sm, согласно и старым, и новым определениям, обладает разными правильными (по крайней мере двумя!) делителями: s,m, а также и само число n (s>1, m>1). Целое число, имеющее какой-нибудь внутренний делитель, не является простым, и оно естественно тоже будет называться составным. (Такое определение составного числа легко распространяется на случай некоторых алгебраических целых чисел!) К примеру, число pp как некий "квадрат" простого натурального(!) числа p имеет (только) два правильных делителя: pp и p, среди которых делитель p - внутренний.

В каких-нибудь других письмах, я сообщу тебе о разных определениях "простоты" числа с доказательствами равнозначности их как среди целых чисел, так и в области натуральных, с учётом одного из традиционных (классических и общепринятых) определений простого числа как натурального.

(Вспоминается стишок моего братишки по поводу Определения простого натурального! числа:

Оно лишь с единицей
Готово поделиться...
Её ж угодно Богу
Ко всем приклеить сбоку!

однако в области целых чисел к простому числу может "приклеиться" ещё и отрицательная единица: -1.)

Для изображения делимости натуральных чисел, когда, к примеру, некое число b является делителем числа a (или, другими словами, b - один из сомножителей произведения, в частности, такого вида: a=b(a/b), где a/b - обозначение натурального числа в качестве другого сомножителя как результата деления), желательно иметь два варианта символической записи (тот или иной из двух вариантов будет применяться по обстоятельству, в зависимости от лучшего восприятия совокупности символов и, в частности, во избежание каких-нибудь недоразумений): b\a - "число b делит (точно, без остатка!) число a", либо так: a//b - "число a делитсЯ (точно) на b". Здесь именно две "косые чёрточки" используются для того, чтобы не смешивать обозначение делимости с результатом деления, например: a/b - это некое число. (Впрочем, заодно можно будет, в дальнейшем, непосредственно и естественно использовать их в обозначениях так называемого "сравнения" чисел!) Противоположное высказывание (понятие), например, подразумевая фразу "число a не/!/ делится на p", мы будем обозначать так: a[/]p; или по-другому: p[\]a (вместо фразы "p не делит a").

Предположим, мой друг, что нам даны два натуральных числа b и q. В тех случаях, когда q<b, но число b не делится на q (если b<q, то очевидно b[/]q), будем пользоваться обозначением [b/q] - для некоторого натурального (и единственного!) числа, которое определяется неравенствами [b/q]q < b < [b/q]q + q как целая часть "неточного деления b/q" (такими же скобками принято пользоваться для обозначения целой части соответствующего вещественного числа; здесь, в частности, рационального b/q). При этом, когда b//q, естественно будем полагать: [b/q]=b/q (мы словно вводим новое обозначение делимости как некое противопоставление к обозначению неделимости b[/]q). Однако следует отметить, что во всех случаях "неточного деления" важную роль играет так называемый "остаток" (от неточного деления) - натуральное число b-[b/q]q. Более того, в связи с этим, здесь и далее желательны, по мере надобности, два варианта обозначения для такого "остатка" {b|q}=b-[b/q]q или {b:q} (вместо прежнего {b"q}, см. конец письма). В качестве пояснения к этому абзацу можно воспользоваться числовым примером: 13 = 4·[13/4]+{13|4}, где [13/4]=3 - целая часть (неполного) деления (дроби 13/4), {13|4}=1 - остаток от (неполного) деления. К тому же, заодно убедиться в том, что "чёртова дюжина" как простое число является примером и для Теоремы Ферма/Эйлера: 13=2·2+3·3.

В области целых чисел, взяв числа b и q>0 (на случай как точного, так и неточного деления b/q) можно было бы определить однозначно остаток {b|q} как некое неотрицательное число r, предполагая (точную) делимость (b-r)//q и неравенство r<q (например: {b|q}=r, где r - наименьшее число среди всех неотрицательных(!) вида b-tq при соответствующих целых числах t). Целая часть (и точного, и неточного деления b/q) естественно определялась бы формулой [b/q]=(b-{b|q})/q. Когда b[/]q, такое определение, в силу свойств остатка: 0<{b|q}=r<q, приводит к неравенствам [b/q]q < b < [b/q]q + q, которые уже были отмечены выше в качестве определения целой части [b/q] для натуральных чисел b,q на случай неделимости b[/]q. Более того, когда b//q, мы будем иметь, вполне ожидаемые, равенства {b|q}=0 и [b/q]=b/q, а когда 0<b<q, - ещё два: b={b|q} и [b/q]=0; и к тому же: [0/q]=0. (С другой стороны, если дано: -q<b<0, тогда, согласно определениям целой части и остатка, получилось бы 0<{b|q}=q+b<q и [b/q] = -1.) Если 0<b<q, то целая часть [b/q]=0 не является натуральным (положительным целым) числом; однако, согласно уже отмеченному равенству b={b|q}, число b мы естественно можем называть остатком (от "воображаемого" деления b/q) в качестве доопределения к первоначальному понятию остатка в области натуральных чисел, данному выше. В связи с этим, для всех тех натуральных чисел, которые меньше числа q, введём очередное соответстыующее обозначение {|q} = {1,2,..., q-1} как для обозначения семейства всевозможных остатков от неточного деления на число q разнообразных целых чисел, например таких: q+1, q+2,..., 2q-1 (q>2); ясно, что для q=2 остатком может стать лишь единица {|2}={1}. В дальнейшем, любое число из семейства {|q} будем вкратце называть остатком делителя q.

Итак, при любом, заранее заданном, натуральном (целом положительном) q обнаруживается формула b = q[b/q]+{b|q} для всех целых (натуральных) чисел b. Такую формулу будем называть "разложением (представлением) целого числа b в виде произведения с остатком" или "делением с учётом (возможного) остатка". Здесь, в области целых чисел, желательно учесть следующее: равенство {b|q}=0 имеет место лишь только в том случае, когда дана (точная) делимость b//q, и поэтому b=q[b/q], - всё в согласии с тем, что уже нами определилось в области натуральных чисел; если же 0<b<q, тогда [b/q]=0, и выше указанная формула переходит в равенство b={b|q}, которое мы уже приняли как доопределение к понятию остатка в области натуральных чисел именно при таком условии b<q. Таким образом, при некоторых целых числах b сумма в формуле разложения превращается в одно из её слагаемых, когда другое попросту можно убрать либо как нулевое число либо как пустой придаток (словно знаковый, но уже ненужный как бессмыслица) в области натуральных чисел.

Обобщённо можно сказать: используя одни и те же обозначения , например, b,[b/q], {b|q},{b:q} (здесь q>0, когда b предполагается неким целым числом; числа b,q и другие определяемые числа могут предполагаться либо, в общем случае, целыми, либо только натуральными числами), все определения как целой части, так и остатка можно почти безоговорочно оставить неизменными независимо от того, в каком множестве чисел эти определения предлагались. И основные, объявленные здесь, свойства чисел как натуральных, так и целых сохраняются и могут изображаться неизменно в том же буквальном виде.

Теперь, мой друг, я мог бы непосредственно напомнить тебе обоснование теоремы Ферма/Эйлера, начиная с той же самой леммы (о делимости 1+xx//p при некотором натуральном x для простого p=4[p/4]+1). Однако мы ещё не усвоили с тобой Основное (фундаментальное!) свойство простого числа: если p\ab (ab//p), тогда либо p\a (a//p), либо p\b (b//p). Такое свойство можно было бы принять даже в качестве Определения простого числа, равнозначного общепринятому классическому! Пожалуй, об этом Свойстве и о некоторых других "простейших" свойствах простого числа я напишу тебе в следующем письме. Там доказательство нашей леммы будет для тебя очевидным, как "дважды два" в каких-нибудь двадцати строчках всего лишь(!), а окончание обоснования теоремы Ферма/Эйлера и того будет проще!

Всего доброго тебе!


PS: Пожалуй, для "остатка" и "семейства остатков" обозначения {b|q} и {|q} или {b:q} и {:q}, соответственно, намного предпочтительнее по отношению к прежним: {b"q},{"q}; в дальнейшем замена или удаление старых обозначений будет производиться по мере надобности. Обозначение {b|q} для остатка как целого числа здесь вводилось под влиянием (уже широко известного) обозначения {b/q} для так называемой дробной части (0<{b/q}<1) рационального (вещественного) числа b/q, однако во избежание каких-нибудь недоразумений здесь используется вертикальная черта.