Третье письмо юному другу... обновлённое

...как любителю "Изящной арифметики"

____________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается



Привет, мой друг!

Ты продолжаешь хранить молчание, а я продолжаю надеяться на то, что ты хотя бы мельком иногда поглядываешь на мои письменные сообщения. Ты, пожалуй, будешь прав в том, что эти письма нужны больше мне, чем тебе. Они как арифметические заметки (этюды) помогут, я надеюсь, оформить мой будущий учебник так, чтобы он был удобочитаемым и читабельным для любого такого же заглянувшего в него, как и ты... любознательного?!...

И всё ж таки, я постарался как можно проще убедить тебя, пожалуй, в "самом главном" - в том, что любое простое число p=4[p/4]+1 является суммой двух квадратов - Теорема Ферма/Эйлера. (Здесь естественно предполагается p>4, а квадратными скобками [p/4] обозначается некое натуральное число как целая часть "дробно-рационального" числа p/4 в связи с неточным делением; см. 1-ое письмо.) Почему именно в "самом главном"?... Дело в том, что читая некоторые публикации о недавно решённых "старинных" задачах из арифметики, может возникнуть мнение о том, что решение тех или иных знаменитых задач будто бы обязательно требует глубоких и широких математических знаний, например, о вещественном числе: рациональном и иррациональном, а может, даже и о трансцендентном(!), а также о некоторых фактах из разных разделов математики: из геометрии как аналитической, так и алгебраической, и может быть... из топологии - не дай бог! Здесь для нас такие слова будут полезны пока лишь также, как полезно так называемое профессиональное арго - некий жаргон в специфической среде. В частности, можно добавить ко всему предыдущему этого абзаца следующее: без каких-либо особых препятствий можно убедиться в справедливости знаменитой Теоремы Ферма/Эйлера, не зная даже понятия о множестве так называемых целых чисел вместе с ихними свойствами! Однако, оставаясь в области лишь натуральных чисел (как бы ничего не зная о других числах), мне нельзя(!) безоглядно безоговорочно запросто пользоваться, например, такими равенствами: (a-b)(a-b)=aa-2ab+bb=aa+bb-2ab (a>b), когда слева от знака равенства раскрывать скобки легко лишь тогда, когда мы представляем натуральное число как частный случай целого (рационального, вещественного) числа. (Вспомни о частном случае тождества Фибоначчи, которое я использовал во 2-ом письме!) К примеру, такая разность aa-2ab, если a=3, b=2, уже не определяется как натуральное число (о разности или вычитании в области натуральных чисел была речь в 1-ом письме). И всё же, принимая натуральные числа как "целые" и не вникая глубоко в сущность такого понятия, мы можем запросто допускать и такие разности b-a двух натуральных (целых) чисел a,b, когда a>b ("целое" - будто бы некое жаргонное слово как обобщение значения слова "натуральное"). При этом, поскольку допускаются всецело те же самые основные свойства арифметических действий (в частности, и такое: c(b-a)=cb-ca ), легко делать преобразования, раскрывая или закрывая скобки: И в итоге, оказывается: целые числа будто бы "подсказывают" нам, как можно было бы обращаться с натуральными числами, чтобы получать уже известные результаты, но при этом, не привлекая понятия целого числа. Например, для того, чтобы нам убедиться в таком равенстве (a-b)(a-b)=aa+bb-2ab с натуральными числами, когда a>b, мы вовсе не обязаны привлекать какие-нибудь "новые" понятия о других числах.

И таким образом, хотя бы по этим выше отмеченным причинам мои письма в чём-то могут оказаться полезными тебе, мой друг, а заодно и мне для успешного завершения моего будущего учебника для любознательных.

Ну так что ж, вернёмся к нашим баранам и сразу же возьмём быка за рога! Теперь мы можем запросто доказать три утверждения о делимости суммы квадратов на простые числа двух видов: p=4[p/4]+3 или p=4[p/4]+1, что уже было сделано Эйлером ещё до своего доказательства Теоремы о сумме двух квадратов для p=4[p/4]+1. (Эйлером предложено изящное доказательство для p=4[p/4]+3, но с использованием знаменитой так называемой Малой Теоремы Ферма - МТФ; сам Ферма, вполне возможно, учитывая свою "Малую", отмечал в письмах своим учёным коллегам о тех же фактах как о достоверных. С помощью той же МТФ Эйлеру удалось весьма замысловато доказать, что число p=4[p/4]+1 делит некую сумму взаимно простых квадратов!)

Теоремы (о делимости суммы квадратов на простое число p):
1. Если простое число p=4[p/4]+3 является делителем суммы cc+dd "целочисленных квадратов", тогда p\cd (cd//p); (Эйлер по существу именно это и доказал, применяя МТФ к случаю, когда p[\]cd, - в связи с этим он получил весьма очевидное противоречие.)
2. Если c[/]p (или d[/]p), где c,d - некие целые числа, p=4[p/4]+3 - простое, тогда (cc+dd)[/]p;
3. Если c[/]p (или d[/]p), но при этом: (cc+dd)//p и p>2, тогда p=4[p/4]+1. (Можно сказать, что это утверждение есть неявное, но существенное обобщение, так сказать, обратной Теоремы Ферма/Эйлера: если дано 2<p=cc+dd, тогда p=4[p/4]+1.)

Я полагаю, мой друг, как заинтересованный читатель ты способен увидеть равнозначность этих трёх утверждений, и это можно, пожалуй, оставлять в качестве хорошего и полезного упражнения. Уж по крайней мере ты как вдумчивый читатель моих писем способен самостоятельно убеждаться в невозможности, например, такого равенства 4[n/4]+3=aa+bb при любых целых числах a,b,n.

Ты спросишь: "Пусть мы уже и вернулись к своим баранам, но причём тут бык, которого якобы нужно брать за рога?..." Дело в том, что, с одной стороны, мы могли бы начинать доказывать любое из этих утверждений, предполагая: p[\]cd и допуская делимость (cc+dd)//p. В связи с этим, согласно формулам c=p[c/p]+{c|p}, d=p[d/p]+{d|p}, далее можно было бы иметь дело с суммой квадратов {c|p}{c|p}+{d|p}{d|p} из остатков. Такая сумма тоже делится на простое p. Таким образом, используя новые обозначения s={c|p}, t={d|p} ради краткой записи, мы добились бы аналогичного, формально того же самого: p\ss+tt и p[\]st, но при этом имели бы весьма важное ограничение ss+tt<2pp. И в этом случае тоже можно надеяться на наш известный "монотонный спуск" и, к тому же, на отсутствие препятствий, которые могли бы вдруг появиться в связи с ослабленным ограничением ss+tt<2pp по сравнению с таким ss+tt<pp, что позволило во 2-ом письме получить весьма успешное доказательство Теоремы Ферма/Эйлера. Однако даже при появлении некоторых затруднений (далее будет видно как их преодолевать!) здесь мы вновь пришли бы к равенству p=aa+bb, где a,b - некоторые целые числа. И мы увидили бы, что предположение p=4[p/4]+3 приводит к нелепости, поскольку любое натуральное число вида 4m+3, где m - целое, не может быть суммой двух (да и только) "целочисленных квадратов". Это и являлось бы доказательством, по существу, каждого из предлагаемых здесь утверждений. Единственным необычайным(!) препятствием в нашем "спуске" был бы случай равенства ss+tt=pp, но и здесь относительно так называемых пифагоровых чисел s,t,p достаточно указать на известный факт, согласно которому число p тоже оказалось бы суммой двух "целочисленных квадратов"; к этому мы ещё вернёмся, но с другим подходом к решению... В заключение этого абзаца, можно отметить: существует весьма простой способ, который привёл бы к ограничению ss+tt<pp. Мы к нему тоже обратимся в какой-нибудь иной раз.

Итак, с другой стороны, несмотря на всё вышеотмеченное, мне хотелось бы здесь показать: что можно делать, если нет и таких важных ограничений, как ss+tt<2pp, когда "монотонный спуск" оказывается невозможным без существенных затруднений при решении какой-нибудь другой, но подобной задачи. Другими словами, я хочу предложить тебе, мой друг, иной взгляд на мой способ, которым я завершал доказательство Теоремы Ферма/Эйлера. Даже в том случае, когда так называемой "монотонности" не окажется в этом методе "спуска", либо когда "монотонность" уже не станет такой важной для достижения результата, применение такого метода под "другим углом зрения" вполне может оказаться результативным. Это особенно важно в связи с построением алгоритмически эффективного решения той или иной задачи, учитывая их разнообразие (немного об этом уже была речь в конце моего второго письма).

Пожалуй, пока "бык ещё не вывернулся," приступим к моему способу доказательства с прежним построением, но... под "другим углом зрения" и под другим названием, например: "удаление посторонних делителей".

Мы уже предполагали p\(cc+dd) и p[\]cd, надеясь на противоречия, что и доказывало бы Теоремы. Более того, мы можем допускать и то, что любой простой делитель q суммы cc+dd удовлетворяет условию q[\]cd, и следовательно: q[\]c и q[\]d одновременно (здесь одно из двух, q[\]c или q[\]d, влечёт другое согласно условию q\cc+dd и свойству альтернативной делимости данного числа q). В дальнейшем, такие простые делители (кроме числа p, естественно) будут называться "посторонними" делителями суммы квадратов. При этом, допуская делимости cd//q и cc+dd//q, мы уже знаем, что имели бы число q в качестве общего делителя чисел c,d и могли бы образовать целые числа a=c/q, b=d/q, а затем - и соответствующую сумму aa+bb=(cc+dd)/qq, сохраняя предварительные условия p\aa+bb, p[\]ab. Следовательно, для доказательства Теоремы достаточно допускать случай, когда в её условиях дана сумма квадратов cc+dd, у которой слагаемые не имеют ни простых, ни вообще каких-либо правильных общих делителей; такие числа c,d (cc,dd) называются "взаимно простыми" (относительно понятия "правильный", см. 1-ое письмо).

Далее, будем рассматривать случай, когда qq[\]cc+dd, где q - посторонний простой делитель суммы cc+dd (квадрат числа q уже не делит сумму). Образно говоря, число q как делитель данной суммы можно использовать лишь "в одном экземпляре". В связи с этим, такое число q обычно называется "однократным" делителем. (Иногда некое число называют "нуль-кратным" делителем какого-нибудь другого заданного числа, если оно на самом-то деле вовсе не является делителем другого.) В тех случаях, когда некоторые числа вида: qq, qqq,... оказываются делителями одного и того же заданного числа, число q называется многократным (двукратным, трое... и т.д.) его делителем. С однократным делителем q нам будет проще всего предъявить метод "спуска" в качестве некоторого способа "удаления постороннего делителя".

И всё же, при любой "кратности" делителя q мы здесь и в дальнейшем можем делать по существу то же самое, что предлагалось в моём втором письме при завершении доказательства Теоремы Ферма/Эйлера. - Подобно тому, что и раньше, согласно частному случаю тождества Фибоначчи: (cx-d)(cx-d)+(c+dx)(c+dx) = (xx+1)(cc+dd), мы можем перейти к другим целым числам  a=(cx-d)/q и b=(c+dx)/q  при некотором натуральном x (x<q). В итоге, вновь получим: aa+bb = (xx+1)(cc+dd)/qq, и при этом, очевидно, будем иметь p\(aa+bb). Однако, поскольку предполагается, что (cc+dd)[/]qq, мы имеем (xx+1)//q, но в силу неравенства xx+1<qq замечаем, что (xx+1)[/]qq. Следовательно, мы добились удаления простого числа q: aa+bb[/]q. (Впрочем, из дальнейших рассуждений будет видно, что делимость (xx+1)//q и при многократном простом делителе q тоже соблюдается, и при этом: ab[/]q.)

По существу, мы уже близки к цели. Осталось лишь убедиться в том, что любой общий правильный (простой) делитель чисел a,b является делителем числа xx+1. В этом легко убедиться, если учесть такие равенства q(ax+b)=c(xx+1), q(bx-a)=d(xx+1), которые вытекают из равенств qa=cx-d, qb=c+dx, имеющих место согласно определению чисел a,b. Например, равенство q(bx-a)=d(xx+1) получается из таких двух qbx=(c+dx)x, qa=cx-d путём вычитания, а именно: разность qbx-qa=q(bx-a) чисел, расположенных слева от знаков равенства, равна разности (c+dx)x-(cx-d)=d(xx+1) чисел справа от тех же знаков, соответственно. Таким образом, мы видим: если бы обнаружился общий правильный (простой) делитель, скажем t, двух чисел a,b (t\a и t\b), то он заодно был бы делителем числа xx+1, иначе получилось бы несовместимое t\c и t\d, в связи с нашим естественным предположением о взаимной простоте чисел c,d. При этом, поскольку появление "нового" простого делителя суммы aa+bb возможно только в качестве делителя числа xx+1<qq , "новый" обязан быть меньше числа q. (Впрочем, то же самое справедливо относительно "новых" простых делителей и при удалении многократного q.) И наконец, важно отметить: числа c,d могут предполагаться натуральными, чтобы со всей очевидностью оба новых числа a,b можно было бы тоже получать в качестве натуральных. Такое предположение о числах c,d связано с тем, что случай равенства cx=d попросту приводит к появлению делимости 1+dd//p. В свою очередь, такая делимость 1+dd//p, когда дано p=4[p/4]+3, быстро приводит к противоречию (этот случай можно рекомендовать заинтригованному читателю в качестве весьма полезного упражнения). В конце концов, мы ясно видим: именно такое число p=4[p/4]+3, не может являться общим делителем чисел a,b (иначе делимость (xx+1)//p привела бы к нелепости, как уже было выше отмечено). Поэтому, далее, по возможности сокращая числа a,b путём непосредственного деления их на одно и тоже число (удаление возможных общих делителей), мы сможем обнаружить некие натуральные(!) и взаимно простые числа s,t, которые тоже удовлетворяют первоначальным условиям: p\(ss+tt), p[\]st, но при этом: q[\](ss+tt). Мы уже видили: в связи с тем, что произошло удаление числа q как постороннего однократного простого делителя суммы cc+dd, число q уже оказалось "нуль-кратным" делителем суммы aa+bb.

Осталось заметить: если бы мы начали удаление посторонних однократных делителей, начиная с наибольшего, мы нашли бы сумму ss+tt, у которой, возможно, остались бы только многократые посторонние(!) делители. Однако нетрудно заметить: наш способ удаления посторонних делителей позволяет удалять и многократные делители, если многократно повторять тот же "спуск" по отношению к одному и тому же простому постороннему делителю, который вынуждает такое повторение. В конце концов, найдётся сумма квадратов, имеющая всего лишь один(!) простой делитель, а именно число p. В этом случае, с учётом первоначального ограничения cc+dd<2pp, которое здесь сохраняется: ss+tt<2pp, получилось бы одно из двух: либо ss+tt=p, либо ss+tt=pp.

Мой друг, я уж думаю, что чтение всего такого моего письма тебя изрядно утомило бы... если я здесь не прекращу свои умопомрачительные рассуждения! Да и желательно обдумать всё пройденное нами, чтобы мне было легче и более доступно для тебя изложить остальное. И нам будет проще "покончить" с моим методом в следующий раз, если ты ещё заинтересован во всём этом...

Вот, пожалуй, и мне самому нужно основательно отдохнуть, а в заключение, всё ж таки хочется отметить ещё и...

Следствие (в силу теорем о делимости суммы квадратов на простое число):
Пусть дано, произвольно взятое, число n>1 и пусть оно делит некую сумму квадратов cc+dd, где c,d - целые и взаимно простые числа (такие, которые не имеют общих правильных делителей). Тогда число n тоже является суммой двух квадратов неких целых взаимно простых чисел. И более того, как очевидное следствие нечётное n обязано иметь ещё и такой вид: n=4[n/4]+1.

Здесь, можно было бы (но достаточно ли?) применить к простым делителям числа n одну из наших трёх теорем о делимости суммы квадратов с последующим применением Теоремы Ферма/Эйлера, а затем воспользоваться знаменитым тождеством Фибоначчи. Произведения чисел можно превращать в сумму квадратов с помощью этого тождества, если сами множители представимы в виде некой своей суммы квадратов. Однако возникает пикантный(!) вопрос: в результате применения тождества Фибоначчи будут ли слагаемые полученной новой суммы квадратов взаимно простыми (не иметь общих правильных делителей)?!

Ну что ж, преодоление возникших здесь затруднений, препятствующих завершению доказательства наших Теорем о делимости суммы квадратов (а заодно и Следствия) я откладываю до следующего письма!

Всего доброго и успехов тебе!

P.S.:
Не дадим быку вырвать свои рога из наших рук!


примечания:
а) {b|q}  - обозначение остатка b-q[b/q] как некоторого натурального или неотрицательного целого числа;
б) p\cd, cd//p - обозначения для одного и того же понятия делимости: целое число p (точно, целочисленно) делит произведение cd двух целых чисел c,d, число cd (точно) делится на p (cd кратно числу p);
в) p[\]cd и (cc+bb)[/]qq - обозначения отсутствия делимости: число p НЕ делит (точно) целое число cd и число (cc+bb) НЕ делится на число qq (на точный квадрат);
г) POST FACTUM - обозначения {b"q} и {"q} (для "остатка" и "семейства остатков") не используются и в дальнейшем будут заменяться на {b|q},{|q}, соответственно.


                (13 декабря 2008г.)