4-ое письмо... как добавление к обновлённому 3-ему

...юному другу, незабвенному любителю "Изящной арифметики"

_____________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается


Привет, мой друг!

В третьем письме я обещал преодолеть все препятствия к окончанию доказательства Теорем (всех трёх заодно) о делимости суммы квадратов на простое число p. Однако после того, как письмо было уже отправлено, к завершению которого я добавил Следствие из тех самых (недоказанных) Теорем, у меня возникла мысль о том, что я упустил возможность взяться (в первую очередь) непосредственно за доказательство другой теоремы.

ТЕОРЕМА (о делимости числа вида cc+7dd):
Любой нечётный делитель n>7 числа cc+7dd, где c,d - некие целые взаимно простые числа, можно разложить на подобную сумму: n=aa+7bb, в которой числа a,b тоже не имеют общих правильных делителей.

Во-первых, она, пожалуй, пробудила бы вновь твой, возможно когда-то угасший, интерес к арифметике, а во-вторых, позволила бы содержательнее показать именно то, что планировалось: эффективность моего метода "удаления посторонних делителей". Ну и... в общем, я должен признаться в том, что тогда я был явно уставшим, когда взялся за доказательство Теорем в 3-ем письме... В итоге, свою основную конструкцию с использованием тождества (cx-d)(cx-d)+(c+dx)(c+dx)=(xx+1)(cc+dd) я утяжелил некоторыми оговорками и оставил (несправедливо!) тебе некую задачку: "о невозможности появления равенства cx=d в качестве некоторого препятствия к доказательству" - в надежде на то, что тебя (или твоего ровесника) это заинтригует, как интригует иногда некий сюжетный поворот в криминально-детективном романе. Увы, в этом была, пожалуй, моя основная (дидактическая?) ошибка. Именно ради того, чтобы упростить хоть немного наше доказательство, нужно было рассмотреть случай cx=d и, далее, безоговорочно смело "удалять посторонние делители" также, как это делалось (неявно!) ещё во 2-ом письме при завершении доказательства Теоремы Ферма/Эйлера! Здесь заодно отмечу, что и само Следствие, о котором зашла речь здесь в начале письма, можно было бы доказывать обособленно с помощью того же метода удаления, но таким образом, чтобы заданное число, играя роль числа p в качестве соответствующего делителя суммы квадратов, оставалось бы таковым же и после "процедуры удаления постороннего делителя".

Итак, желательно здесь закончить удобным способом, как можно попроще, доказательство Теорем о делимости суммы квадратов. Для этого, возвращаясь к 3-ему письму, нужно усвоить, как можно шире и глубже в подробностях, конструкцию по "удалению постороннего делителя" из суммы квадратов и всё то, что с этим связано... (бык, вроде бы, ещё не вывернулся из наших рук!).

В 3-ем письме я предлагал начинать "удаление" самого большого постороннего делителя q числа cc+dd, который предполагался однократным (лишь "в одном экземпляре"). Однако, в усталости я не отметил того, что тем же способом "удаляется" один и только один "экземпляр" вообще любого (и многократного тоже!) постороннего простого делителя суммы квадратов независимо от его величины. Чтобы это увидеть, нужно обратить усердное внимание на следующие равенства из 3-его письма: q(ax+b)=c(xx+1), q(bx-a)=d(xx+1), где a=(cx-d)/q и b=(c+dx)/q. Из них следует делимость: q\(xx+1). Таким образом, имеем aa+bb = (xx+1)(cc+dd)/qq, где число q как многократный простой делитель числа cc+dd остаётся в качестве делителя новой суммы квадратов: aa+bb//q, но его "кратность" уменьшается ровно на единицу (например, если он был двукратным, то после процедуры "удаления" он станет делителем суммы aa+bb квадратов лишь в "одном экземпляре: aa+bb[/]qq. В конце концов, число q как делитель первоначальных сумм уже перестанет делить некую новую сумму, и можно сказать: многократный делитель q, наконец-то, превратится в нуль-кратный для некоторой очередной суммы квадратов.

Чтобы нас не смущало подозрительное равенство cx=d при переходе от одной суммы квадратов к другой в процессе доказательства (теорем из 3-го письма), нам необходимо убедиться в отсутствии делимости числа вида ss+1 (s - некоторое целое) на простое число p=4[p/4]+3; ss+1[/]p. (Заодно мы будем иметь, так сказать, частичное подтверждение справедливости тех самых теорем.) Если принять такое условие ss+1//p, то мы получим s[/]p и с учётом формулы s=p[s/p]+{s|p} можем легко убедиться в том, что имеет место делимость {s|p}{s|p}+1//p с очень важным соотношением {s|p}{s|p}+1 < pp. Чтобы убедиться в этом неравенстве достаточно проверить справедливость такого (p-1)(p-1)+1 < pp для самого большого остатка среди других из семейства {|p}. Далее, можно действовать точно также, как при завершении доказательства Теоремы Ферма/Эйлера, и получить нелепый вывод: бесконечный(!) "монотонный спуск", который здесь может закончиться только в том случае, когда p=4[p/4]+1, поскольку иначе по окончанию появилось бы абсурдное равенство 4[p/4]+3=aa+bb, где a,b - некие целые числа. Теперь мы можем быть уверенными в том, что нежелательный случай cx=d как некое препятствие к доказательству не возможен! (Иначе в силу взаимной простоты натуральных чисел c,d окажется: с=1 (x=d), и мы вновь придём к противоречивому условию: dd+1//p(?!), где p=4[p/4]+3.) В итоге, уже совершенно ясно, что начиная удаление посторонних простых делителей с наибольшего, если он превосходит число p по величине, можно удалять, в свою очередь, и "лишние экземпляры" делителя p. И таким образом, предположение о несправедливости какой-нибудь из трёх теорем неизбежно и, так сказать, окончательно(!) приводит вновь к уже известной нелепости: 4[p/4]+3=aa+bb, где a,b - некие целые числа.

И тем не менее, можно доказывать Теоремы другим способом, идею которого мы, пожалуй, сможем воплотить и в будущем с целью доказательства как Следствия, так и ТЕОРЕМЫ: о делимости чисел двух видов cc+dd и cc+7dd, соответственно, на некоторое (составное) число.

Пусть нам дано aa+bb//p, где a,b - некие натуральные и взаимно простые числа, и к тому же: aa+bb>p, тогда выделим из числа aa+bb, скажем так: "полный посторонний" делитель m=(aa+bb)/p. Ясно, что m>1 и существует простой делитель q числа m (таким числом q будет являться, например, наименьший правильный делитель числа m, и при этом допустима(!) любая ситуация: q<p, q>p и даже q=p). Повторяя уже хорошо известную конструкцию "удаления посторонних делителей", а здесь именно числа q, точно также, как в двух предыдущих письмах (см. например, завершение доказательства Теоремы Ферма/Эйлера), мы придём к другой сумме двух квадратов натуральных чисел: cc+dd = (xx+1)(aa+bb)/qq =pm(xx+1)/qq, где имеется делимость m(xx+1)//qq. Однако, поскольку здесь натуральное число x дано при ограничении x<q, мы имеем ещё и справедливое неравенство xx+1<qq, в силу которого получаем, что новый "полный посторонний делитель" m(xx+1)/qq числа cc+dd меньше числа m. Более того, если числа c,d имеют общий простой делитель, то лишь такой, который делит число (xx+1)/q. И вновь (и окончательно!) мы получаем нелепости: либо бесконечный "неопределённый спуск", либо абсурдное представление числа p=4[p/4]+3 в виде суммы лишь двух квадратов целых чисел.

Нам остаётся признать: все три теоремы о делимости суммы квадратов на простые числа двух видов p=4[p/4]+3, p=4[p/4]+1 по существу доказаны и по меньшей мере двумя способами (можно сказать: третий способ в 3-ем письме был основан на "слабом" ограничении: ss+tt<2pp). Мне же, в свою очередь, остаётся надеяться на то, что любой читатель, глубоко постигший всё вышеизложенное здесь, в моём 4-ом письме, сможет самостоятельно доказать Теорему о делимости числа вида cc+7dd. Для этого можно применить равенство (cx+7d)(cx+7d)+7(c-dx)(c-dx) = (xx+7)(cc+7dd) как частный случай тождества Фибоначчи к построению подобной конструкции "удаления простого делителя". Здесь главная забота лишь в том, чтобы выяснить роль первых простых чисел: 2,3,5,7; например, семёрка может быть лишь "в одном экземпляре". Относительно всевозможных других делителей, рекомендуется учитывать такой факт: для натуральных чисел x и q имеет место очевидное неравенство xx+7<qq при соблюдении условий: x<q и 4<q.

Подробное доказательство, мой друг, отложим до какого-нибудь другого (быть может, следующего) письма. Мне кажется, ты не будешь возражать!

Всего доброго!

P.S.:
Этот факт, что простое число p=4[p/4]+3 не является делителем числа вида ss+1 (s - целое), можно воспринимать и как некий намёк на существование другого доказательства каждой из трёх теорем 3-его письма. Применяя равенство rc-sd=1, где r,s - некие целые числа, к ещё одному из вариантов тождества Фибоначчи (rr+ss)(cc+dd)=(rd+sc)(rd+sc)+(rc-sd)(rc-sd), мы получаем весьма "благоприятную" делимость: p\(rd+sc)(rd+sc)+1.

В арифметике много интересного и даже забавного, мой друг! Если наш интерес к ней не угаснет, и лично мой интерес останется ещё и к созданию моего будущего учебника, то мы с тобой обнаружим и в нём, и здесь какие-нибудь новые занятные элементарные факты из арифметики...

Удачи тебе!