8-ое письмо юному другу... об Основной теореме

 ...незабвенному любителю "Изящной арифметики"

_____________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается


О мой друг, привет тебе!

Ох, как хотелось бы надеяться на то, что я тебе не надоел с этой моей, так сказать, "Изящной арифметикой!" Уж я и так и сяк стараюсь понравиться... А ты???... С нетерпением ждёшь следующего письма?... или же снисходительно почитываешь, или попросту поглядываешь иногда, да?... Однако я чувствую-чую, что пора менять стиль моего изложения, заодно уменьшая объём моих писем, стараясь публиковать их почаще, при этом. Ну что ж, постараюсь: ведь мне-то нужно и полезно быть постоянно в напряжении!

Итак, вспомним о двух значительных теоремах (так сказать, судьбоносных для глубокого понимания арифметики!) из 7-го письма: о "Каноническом разложении на простые множители" и об "Основном свойстве простого числа". Первая из них осталась мною недоказанной, а вторая была сформулирована и доказана как свойство простого числа под названием "обобщённый признак простоты". Это свойство равнозначно двум хорошо известным важным свойствам его, которые я уже применял неоднократно, а именно: альтернативная делимость и признак простоты (см. 2-ое письмо). Равнозначность (эквивалентность) их, всех трёх друг другу, очевидна настолько, что я уверен в том, что любой читатель (как и ты, мой друг!) в состоянии и сам убедиться в этом и даже убедить кого угодно другого при необходимости. Наконец-то(!) я могу быть спокойным и за тебя, мой друг, и за другого читателя, и... естественно за себя. И между прочим, мне кажется, обе теоремы удачно сформулированы настолько, что они, являясь весьма правдоподобными на обыденный взгляд, будто бы и не требуют каких-либо особых обоснований. По крайней мере, к существованию канонических разложений на простые множители какие-либо доказательства могут показаться уже и ненужными тому, кто способен без особых усилий пользоваться простейшими, но основополагающими, свойствами натуральных чисел: ab=ba, a(bc)=(ab)c или a·bc=ab·c (см. 1-ое письмо). Мы неявно и неоднократно пользовались ими, как например, в таком случае: mmm=m·mm =mm·m. Однако ведь не зря же было сказано Михайло Ломоносовым: "арифметику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит!" - Вот именно в процессе нашего доказательства существования канонического разложения мы сможем заодно легко убедиться и в единственности его. Именно единственность разложения как часть утверждения Теоремы 1 из 7-го письма в первую очередь важна для нас. В силу таких очевидных теорем будут появляться вспомогательные (вовсе не! очевидные) результаты, с помощью которых, в свою очередь, мы будем способны безоглядно с полной ясностью изящно решать многие общеизвестные задачи.

Прежде, чем приступать к обоснованию Теоремы 1, вспомним Лемму из того же письма, в которой утверждается, что метапростое число P от простого p (любое число как метапростое обозначается заглавной буквой) разложимо на простые множители в качестве некой степени числа p - т.е. является некоторым числом из совокупности степеней: p, pp, ppp,... Более того, любая степень простого числа p с показателем j является метапростым числом P=p^j с одним-единственным простым делителем p, в связи с чем она и была объявлена в качестве определения "канонического разложения на простые множители" метапростого числа. В свою очередь, мы обобщили это определение с целью распространения его на все натуральные числа (кроме единицы, естественно). Стало быть, Теорема 1 по существу сформулирована на случай составных чисел, имеющих как минимум два (различных) простых делителя, а с ними и несколько mega-простых делителей.

Пусть дано некоторое натуральное число n вместе с упорядоченным семейством простых чисел p<q<...<r, в котором каждое простое является делителем заданного числа n, и пусть все простые делители данного числа попали в это семейство. Выделив mega-простые делители P,Q,...,R числа n cоответственно от p,q,...,r, мы будем иметь каноническое разложение: n=PQ...R - искомое разложение для Теоремы 1 (к существованию). В частности, отметим: любая степень простого числа как "каноническое разложение на простые множители" для себя самой, да к тому же, и как метапростое число, естественно, является mega-простым делителем самой себя. И более того, я предлагаю тебе, мой дорогой друг и читатель, вновь вспомнить об альтернативной делимости простого числа и самому убедиться в том, что любое каноническое разложение n=PQ...R состоит именно из mega-простых делителей P,Q,...,R числа n. Однако, чтобы здесь было легче убедиться и в этом, а также и, далее, в равенстве n=PQ...R, сначала желательно рассмотреть случай, когда семейство всех простых делителей для данного числа n состоит только из двух чисел: p<q. Если P - mega-простой делитель числа n, тогда число n/P является метапростым от q, поскольку оно имеет один-единственный простой делитель q. Обозначая такое число соответствующей буквой: Q=n/P, заодно отметим, что оно является и mega-простым делителем от q числа n, так как здесь мы имеем P[/]q, n[/]qQ, где n=P(n/P)=PQ. И уже стало очевидным то, что мы получили каноническое разложение: n=PQ, где множители P,Q - метапростые соответственно от p,q как mega-простые делители числа n.

Теперь нам понятно, как можно завершить доказательство, используя так называемый метод математической индукции. Предположим, что при каком-нибудь целом числе k>1  выяснилось (каким-то образом) следующее: если у натурального числа n оказалось ровно k простых делителей, обозначенных буквами здесь, например, так q<...<r, то для n существует каноническое разложение n=Q...R. Далее, в связи с этим предположением, пусть дано некое другое число n, имеющее полное упорядоченное семейство простых делителей в количестве k+1. Эти делители мы можем обозначить соответстветствующим образом: p<q<...<r, а затем - предварительно изобразить число n в виде произведения двух чисел: n=P(n/P), где P - mega-простой делитель от p. При этом, упорядоченное семейство чисел q<...<r уже состоит из всех простых делителей числа n/P, которых оказалось ровно k штук (без простого p). По нашему предположению, мы имеем: n/P=Q...R, а в итоге получаем: n=P(n/P)=PQ...R.

Таким образом, часть утверждения Теоремы 1, о существовании канонического разложения для любого составного числа, доказана. Более того, теперь-то я могу уже надеяться на то, что завершить доказательство Теоремы 1, применяя подобным образом метод математической индукции к обоснованию единственности(!) канонического разложения, сможет самостоятельно любой вдумчивый читатель, а среди них и ты... Не правда ли, мой друг?...

Успехов тебе и в учёбе, и в жизни!


PS: Относительно доказательства единственности канонического разложения для данного числа n, можно учесть такую подсказку: если имеется какое-нибудь каноническое разложение n=ST...U, тогда S=P, в силу альтернативной делимости простого числа p, от которого образовано метапростое число P, как от наименьшего среди всех и простых, и правильных делителей числа n.

Всего доброго!