О равномощности множеств

Парадокс Галилея – пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, … столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16 …

В своей последней работе «Две Науки», Галилей привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах:

Суждение1. Некоторые числа являются точными квадратами (т.е. квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают.
 
Вывод1. Таким образом, точных квадратов должно быть меньше, чем всех чисел.

Суждение2. Для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень.
 
Вывод2. Точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество.

Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств.

В 19 веке, Георг Кантор, используя свою теорию множеств показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств – так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе суждение Галилея).

В защиту Галилея:

Применение термина "равномощность" к бесконечным множествам некорректно, т.к. бесконечные множества не могут быть равными по мощности, по крайней мере не существует однозначного метода это установить. Можно говорить определённо только про неравномощные множества (например, множество действительных чисел мощнее натуральных). Но рассматривая бесконечные множества равномощные натуральному множеству, приходится признать что это не равномощность, а неопределённость.

Поскольку биекция - НЕОБХОДИМОЕ условие равномощности множеств, но совершенно НЕДОСТАТОЧНОЕ условие равномощности. Для того, чтобы понять почему это так рассмотрим пример с конечными множествами (метод биекции в своё время был применён к бесконечным множествам на основе аналогии с конечными множествами, но как мы увидим был некорректно применён, т.к. нельзя автоматически переносить правила, справедливые для конечных множеств на бесконечные).
Итак, рассмотрим два конечных множества:
в корзине №1 10 бильярдных шаров с разными номерами (скажем от 1 до 10),
в корзине №2 10 бильярдных шаров с разными номерами (скажем от 21 до 30).
По условию задачи, Вы не знаете сколько шаров в корзинах. Чтобы сравнить их количество Вы одновременно достаёте по одному шару из корзин (таким образом применяете метод биекции, т.е. пытаетесь установить биекцию: если количество шаров будет одинаковым, то мощности равномощны; если разное, то мощность одного множества будет больше мощности другого). При этом не важно какие номера стоят на этих двух шарах (например: 4-26, 7-22 и т.п.), в любом случае получится, что мощности этих множеств равномощны.

Таким образом, для конечных множеств существование хотя бы одного способа биекции однозначно говорит об их равномощности. Но это не выполняется для бесконечных множеств, так как в зависимости от порядка сопоставления элементов, мы получаем противоречащие друг другу результаты: либо мощности множеств равны, либо неравны. Таким образом если существует хотя бы 1 способ, когда биекции не существует, то мы не имеем право однозначно судить о равномощности. Подобно тому, как мы не можем судить о сумме бесконечного ряда чисел, если ряд расходящийся, т.к. сумма зависит от порядка слагаемых.
Вообще, количество способов биекции между двумя равными множествами определяется факториалом числа элементов. Например, если в двух множествах по 2 элемента, то способов биекции 2!=1*2=2, если по 3 элемента, то 3!=1*2*3=6 и т.д. И если в случае 3-х элементов - 5 способов давали бы биекцию, а шестой - нет, то говорить о равенстве количества элементов мы бы не могли.

Существующее правило: "Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция" неполное. Полное должно звучать так: "Равномощные множества - это множества между которыми существуют биекции при любом порядке сопоставления их элементов".

Отсюда следует важный вывод, что равномощные множества на самом деле множества относящиеся к одному классу (в отличие от более мощных множеств, например, множества действительных чисел R). И говорить о том, что чётных чисел столько же сколько натуральных - неправомерно. Так как мы не можем даже утверждать, что натуральных чисел столько же сколько и натуральных. Так как для сравнения мощностей множеств существует только один метод - метод установления биекции, а этот метод несовершенен.

1. Существующее правило: Множество натуральных чисел (N) равномощно множеству целых чисел (Z). Т.к. мы можем установить биекцию, т.е. занумеровать числа множества Z числами множества N так, что ни одно число не повторится и все окажутся пронумерованными. Делается это так:
Целые числа: 0, 1, -1, 2, -2,…,+/-<><>
Натуральные: 1, 2,  3, 4,  5,…,+<><>
Видно что нечётные числа нумеруют ноль и отрицательные, а чётные – положительные. На этом основании делается вывод, что множества равны по мощности.

2. Множество натуральных чисел неравномощно множеству целых чисел.
Запишем целые числа: -<><>, …, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Запишем натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>.
Начнем пересчитывать точки одного множества в другое: Начнем с 1.
Целые числа: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Натуральные: 1, 2, 3, 4, 5,…,+<><>
Как видно натуральные числа нумеруют только положительные целые числа, таким образом, отрицательные числа и 0 не могут быть пронумерованы. Ибо какое бы натуральное число мы ни взяли оно уже занято, т.е. оно нумерует число из ряда положительных целых чисел. Таким образом, для чисел -<><>, …, -5, -4, -3, -2, -1, 0 не существует свободных натуральных чисел, которыми можно пронумеровать этот ряд.

Т.е. в зависимости от порядка сопоставления элементов из разных множеств друг с другом, мы получаем разные результаты. Современная теория множеств считает, что это свидетельствует о том, что часть равна целому (часть множества Z также равномощна и N, и Z). На самом же деле мы не можем однозначно утверждать равномощны ли эти множества, это неопределённость.