Модель Самуэльсона Хикса

см.: выше http://works.tarefer.ru/102/100438/pics/image027.gif
Модель Самуэльсона-Хикса3
Модель Тевеса
Некоторые варианты динамики национального дохода
при взаимодействии мультипликатора и акселератора


САМУЭЛЬСОНА—ХИКСА МОДЕЛЬ [Samuelson—Hicks model] — модель делового цикла, в которой механизмы колебания конъюнктуры объясняются исходя из принципа акселерации (см.Акселератор) и концепции мультипликатора. В его основе — динамическое уравнение

Y(t) = (a + v) Y(t – 1) – vY(t – 2) + b, (или вариант на рисунке)

где Y(t), Y(t – 1), Y(t – 2) — соответственно национальный доход периодов t, t – 1, t – 2; v — мощность (или фактор) акселерации; a — склонность к потреблению; b — базовое потребление.

Но модель включает в себя лишь рынок благ, отсюда уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; а объем предложения благ совершенно эластичен.

Попробуйте рассчитать НД России или США 2008 г. (Y(t) по этой формуле с учетом тенденций изменения НД 2007 (Y(t – 1) и 2006 Y(t – 2)  годов . А v — мощность (или фактор) акселерации – у каждой страны окажется своей, как a — склонность к потреблению; b — базовое потребление.

Итак, модель Самуэльсона—Хикса включает в себя только рынок благ.
При широком смысле слова – это не страшно.
Беда в том, что это одна из многих в экономической теории идеализаций,
типа рынка совершенной конкуренции.

Модель разработана для идеализированных условий (предполагается только частная экономика – это при явной эскалации ГМ, да еще в условиях глобализации -
без внешнего рынка и т. д.), весьма проста.
Модель допускает четыре (см.: рисунок)
важнейших сочетания величин акселератора и склонности к потреблению.
Каждое сочетание определяет особую динамику производства.
Причём одно сочетание может определять экономический рост с колебаниями, а другое – нисходящую динамику производства с колебаниями.
Варианты динамики национального дохода при взаимодействии
мультипликатора и акселератора.

Если значения МРС и акселератора указывают на область (график)  I, то после
нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса  график
(национальный доход) монотонно устремится к новому равновесному уровню.

При значениях МРС и акселератора, находящихся в области II,
национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие
колебания.

Когда сочетания значений МРС, акселератора указывают на область III,
тогда динамика национального дохода приобретает характер взрывных колебаний.

Комбинации значений МРС и акселератора из области IV приводят к тому,
что после нарушения равновесия график монотонно устремляется в бесконечность.

И
наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной
склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные
незатухающие колебания национального дохода.

Реальной экономике соответствуют области III и IV, так как МРС
< 1, а акселератор > 1. При таком сочетании значений МРС и акселератора
равновесие не устойчиво, и при его нарушении в модели национальный доход
принимает неправдоподобные значения. В действительности размер национального
дохода не может существенно превышать величину национального дохода полной
занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода
сверху.

Если в классическую модель Самуэльсона-Хикса, объясняющую характер конъюнктурных колебаний взаимодействием мультипликатора и акселератора, включить регламентированную фискальную политику государства, предписывающую осуществлять государственные расходы по формуле Gt = G0 + б(yF - yt-1); 0 < б < 1 (при полной занятости объем госрасходов фиксируется объемом G0, а в случаях отклонения от национального дохода полной занятости расходы корректируются по указанной формуле), то область устойчивого равновесия в этой модели расширится, сузится или останется неизменной?

Вариант 1 - расширется;
Вариант 2 - сузится;
Вариант 3 - не изменится.

Включите в модель изменяющиеся указанным образом государственные расходы и посмотрите, как при этом сдвинется линия, разделяющая области монотонного и колебательного изменения национального дохода после прироста автономных расходов.

yt = Cyyt 1 + (yt-1 - yt-2) - yt-1 + At,
где At - все независимые от y слагаемые. Тогда yt = (Cy + b - )yt-1 + byt-2.
Уравнение разделительной линии Cy =  -  + 20,5.
Поскольку разделительная линия смещается вверх, сохраняя максимальное значение при  = 1, то область устойчивого равновесия не изменится, так как Cy  1, но область монотонного (неколебательного) восстановления уменьшится на заштрихованную площадь.


Стоит посмотреть «Управляемые динамические модели в экономике»

Специальный курс

Составители: к.ф.-м.н., доцент Екимов А.В.
к.ф.-м.н., доцент Смирнов Н.В.
1. Элементы качественной теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Понятие интегральной кривой и траектории системы о.д.у. Фазовый портрет и поле направлений. Положения равновесия линейной системы и их фазовые портреты: узел, седло, фокус, центр, вырожденные случаи (примеры). Задачи о построении сепаратрис и определяющих прямых. Устойчивость положений равновесия.

Положения равновесия нелинейной системы. Линеаризация системы в окрестности неподвижной точки. Теорема об устойчивости по линейному приближению. Проблема центра-фокуса, первый интеграл системы, теорема Ляпунова. Понятие предельного цикла. Примеры качественного анализа нелинейных систем на плоскости и построения их фазовых портретов.
2. Теория экономических циклов

Колебания экономической активности общества во времени. Экономическая конъюнктура. Эволюция представлений о причинах экономического цикла. Цикл как колебания вокруг положения экономического равновесия. Циклические колебания вокруг трендовой траектории экономического роста. Деловой цикл и его фазы. Причинная обусловленность экономического цикла. Экзогенные и эндогенные теории. Современные представления о механизме циклических колебаний. Неокейнсианский и неоклассический подходы. Циклы Дж. Китчина и К.Жюглара. Длинные волны Н.Д.Кондратьева. Экономический цикл как объект управления.
3. Моделирование циклических колебаний

Принцип акселерации. Взаимодействие мультипликатора и акселератора. Модель Самуэльсона-Хикса. Использование линейного мультипликатора и линейного акселератора. Запаздывание в индуцированных инвестициях. Модель Калецкого. Учет запаздывания в принятии решения об инвестировании и в осуществлении капитальных вложений. Модель Гудвина. Использование нелинейной формы акселератора. Анализ неравновесных процессов на рынке капитала. Модель Калдора. Сбережения и инвестиции как нелинейные функции занятости. Зависимость сбережений и инвестиций от национального дохода и объема капитала. Модель Чанга-Смита. Учет денежного рынка. Анализ возможностей банковской системы в регулировании конъюнктурных колебаний. Модель Тевеса. Монетарная концепция экономических циклов. Зависимость цикла от предложения кредита со стороны банковской системы. Модель Лайдлера. Модели Роуза и Бенасси, включающие кривые Филипса.
4. Анализ моделей ценообразования

Математическая модель ценообразования для двух конкурирующих товаров. Положения равновесия системы, анализ их устойчивости и экономический смысл. Применение второго метода Ляпунова для оценки области асимптотической устойчивости и оценки времени переходных процессов. Задача управления запасами. Задача конвертации валюты. Модель обмена между несколькими производителями. Ценообразование для взаимозаменяемых товаров.
ЛИТЕРАТУРА (старовата)
Андронов А.А. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка. М., 1966.
Аукуционек С.П. Современные буржуазные теории и модели цикла. М.: Наука, 1984.
Бергстром А. Построение и применение экономических моделей. М.: Прогресс, 1970.
Булавский В.А. Управление динамикой экономической системы через внешнее потребление // Экономика и математические методы. Т.31, вып. 2. 1995. С. 106-114.
Гальперин В.М. и др. Макроэкономика. СПб., 1997.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1974.
Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры // Проблемы экономической динамики. М., Экономика, 1989.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.
Математическое моделирование / Под ред. Дж.Эндрюс, Р.Мак-Лоун. М., 1979.
Меньшиков С.М., Клименко Л.А. Длинные волны в экономике. М., Международные отношения, 1989.
Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. Т.30, вып. 1.
Поманский А.Б., Трофимов Г.Ю. Математические модели в теориях экономического цикла // Экономика и математические методы, т. 25, вып. 5. 1989. С. 825-839.
Тесля П.Н. Моделирование цикла капиталистического воспроизводства. Новосибирск, 1988.
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1986.

Полезное замечание сделал В.А.Колемаев

СИНЕРГЕТИКА ЛИНЕЙНОЙ ЭКОНОМИКИ

В.А. Колемаев

Государственный университет управления
Институт информационных систем управления
кафедра прикладной математики
Россия, 109542, г. Москва, Рязанский проспект, 99
тел.: (095) 3711165


Распространено мнение, что синергетическими свойствами обладают только нелинейные системы. В докладе показывается, что синергетические свойства присущи  линейным динамическим системам.
Известная модель Самуэльсона — Хикса, представляющая собой линейную динамическую модель второго порядка, является синергетической при предельной склонности к сбережению   и коэффициенте акселерации   .
Двухсвязная линейная динамическая модель (например, линеаризованная упрощенная модель Кейнса) также при определенных значениях параметров является синергетической.
Таким образом, линейные многосвязные системы, а также односвязные системы второго и более высоких порядков могут быть синергетическими при определенных значениях параметров.

Литература

1. Занг В.Б. Синергетическая экономика. – М.:  Мир, 1999.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
3. Колемаев В.А. Синергетика линейной экономики  // Собственность и рынок. – 2005. – №  6.


Полезна работа В.В. Лебедева

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Валерий Викторович Лебедев, доктор экономических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей математики Государственного университета управления.
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM
(рисунки и формулы по сайту)

Гипотеза “спрос создает предложение” позволяет построить целую систему моделей, объясняющих функционирование рыночной экономики. Рассмотрим в качестве примера упрощенный вариант кейнсианской модели, который тем не менее дает наглядное представление о действии рыночных механизмов. В этой модели, которую часто называют также моделью мультипликатора, анализируется один макроэкономический рынок — рынок товаров и услуг, а состояние всей экономики описывается двумя переменными. Первая переменная YS — произведенный национальный доход, используемый на потребление и накопление. Эта переменная трактуется как предложение товаров и услуг. Вторая переменная YD — совокупный спрос на товары и услуги; она представляет собой сумму двух составляющих: спроса на инвестиции I и спроса на текущее потребление C:

YD = I + C.                (1)

Существенным допущением модели является то, что спрос на текущее потребление C есть возрастающая функция национального дохода: C = C(YS). При этом считают, что спрос изменяется медленнее, чем национальный доход, вследствие чего производная функции потребления C'(YS) — так называемая предельная склонность к потреблению — удовлетворяет условию 0 < C'(YS) < 1.

В дальнейшем для упрощения анализа модели примем, как обычно, что спрос на текущее потребление C изменяется по линейному закону:

C(YS)= a + cYS,                (2)

где а и c — положительные константы (поскольку здесь C'(YS) = c, то 0 < c < 1).

Пусть до некоторого момента времени T экономика находилась в состоянии равновесия, т.е. при t < T совокупный спрос был равен предложению: YD(t) = = YS(t). Что произойдет, если по какой-либо причине в момент T совокупный спрос увеличится (например, за счет роста спроса на инвестиции)?

Логика упрощенной (канонической) модели Кейнса, используемой для получения ответа на этот вопрос, такова. Во-первых, с увеличением спроса на инвестиции произойдет смещение линии совокупного спроса, вследствие чего система будет характеризоваться новым состоянием равновесия. Во-вторых, рост совокупного спроса приведет (в результате действия гипотезы Кейнса “спрос создает предложение”) к увеличению предложения. Увеличившемуся предложению (национальному доходу), вызванному ростом производства товаров и услуг, соответствует увеличившееся значение совокупного спроса. Но так как предельная склонность к потреблению меньше единицы, разность между спросом и предложением сокращается. Эту разность E = YD – YS называют избыточным спросом на товары и услуги. Таким образом, положительный избыточный спрос на товары и услуги вызывает в каждый последующий момент времени рост их предложения, что приводит к сокращению избыточного спроса. Точно так же, если избыточный спрос отрицателен, происходит сокращение национального дохода.

При формализации описанного механизма в упрощенной модели Кейнса обычно исходят из того, что национальный доход в момент t+1 равен совокупному спросу в предыдущий момент t, т.е.

YS(t+1) = YD(t),                (3)

где t = T, T + 1, ј

Математики говорят, что уравнение (3) задает итерационный процесс (одномерное отображение). Возникает вопрос, приведет ли этот процесс к новому равновесному значению национального дохода YE? Для получения ответа удобно ввести новую переменную yt = YS (t) – YE , которая равна отклонению текущего значения национального дохода от его нового равновесного значения YE. Можно показать, что динамика этой переменной в силу уравнений (1), (2) и (3) описывается формулой геометрической прогрессии:

yt+1 = cyt.                (4)

А поскольку предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию 0 < с < 1, то, как известно из школьного курса алгебры, уравнение (4) задает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, вследствие чего yt ® 0 при t ® Ґ. Поэтому национальный доход YS(t) устремляется к своему новому равновесному значению YE.

Рассмотренная нами динамика национального дохода носит название “мультипликативный процесс”. Графически этот процесс изображается в виде ломаной линии с помощью так называемого креста Самуэльсона—Хансена (рис.1). Здесь линия Y = YS (биссектриса координатного угла) является графиком функции предложения, а линия Y = YD(YS), где YD(YS) = C(YS) + I — графиком функции совокупного спроса.
 
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

Рис.1. Мультипликативный процесс. Сначала спрос характеризовался прямой Y = YD, и система находилась в состоянии равновесия A. Затем спрос вырос (прямая Y = YD), и в результате итерационного процесса (соответствующие переходы показаны цветом) система перешла в новое состояние равновесия B.


Итак, действие гипотезы “спрос создает предложение” приводит макроэкономическую систему (в данном случае рынок товаров и услуг) к новому состоянию равновесия. Поэтому в методологическом плане упрощенная модель Кейнса используется в экономической теории для демонстрации тезиса о действии рыночных механизмов, приводящих систему в состояние равновесия, если товаропроизводителям выгодно делать инвестиции и расширять производство при наличии избыточного спроса. Напомним, что ключевая гипотеза Кейнса “спрос создает предложение” выражает действие именно этого механизма.

Упрощенная модель Кейнса, изложенная в таком виде практически во всех учебниках макроэкономики, формирует у читателей убеждение, что макроэкономическая система всегда устойчива в указанном выше смысле и любое изменение точки равновесия связано в конечном итоге со смещением функции спроса. Оказывается, однако, что одного действия рассмотренного механизма недостаточно: новое состояние равновесия, как мы увидим дальше, может и не наступить.

Рождение хаоса

Статистические данные, характеризующие динамику национальной экономики, говорят о неравномерности развития: темпы экономического роста изменяются во времени. Открытие Кондратьевым “длинных волн экономики” (об этом свидетельствуют периодические спады и подъемы темпов роста макроэкономических показателей приблизительно через каждые 50 лет) дало импульс для развития теории циклов, в результате чего в экономической теории были разработаны разнообразные модели, обладающие свойством цикличности. К их числу относится, например, модель Самуэльсона—Хикса, в которой колебания национального дохода объясняются единственной причиной — колебаниями совокупного спроса. Однако действие гипотезы Кейнса может и без дополнительных допущений приводить к циклической, а то и хаотической динамике переменных.

В качестве примера рассмотрим следующую модификацию упрощенной модели Кейнса, для построения которой снова вернемся к ее ключевой гипотезе. Как было сказано, традиционная, более того — общепринятая трактовка этого принципа формализуется с помощью уравнения (3). Однако из гипотезы Кейнса вовсе не следует, что значение предложения (национального дохода) в каждый последующий момент времени должно быть равно значению спроса в предыдущий момент. Строго говоря, она определяет лишь направление изменения национального дохода, поэтому более последовательной и общей является такая ее формализация: знаки приращений национального дохода и избыточного спроса совпадают. В этом случае рост национального дохода происходит, если спрос выше предложения, а снижение национального дохода — если спрос ниже предложения. Такому условию удовлетворяет не только рассмотренная модель, но и следующее, уже нелинейное, одномерное отображение:

YS(t+1) = YS(t)exp{g[YD(t)–YS(t)]},                (5)

где g > 0 — коэффициент реакции экономики на дисбаланс между спросом и предложением. Уравнение (5) может быть сведено чисто формально к уравнению Риккера, задающему итерационный процесс:

yt+1 = Aytexp(–yt).                (6)

Здесь yt = qYS (t), где q = g(1 – c), A = exp(qYE).

Уравнение Риккера (6) впервые было использовано в математической биологии при анализе динамики популяций. Оно обладает свойством бифуркации удвоения периода, которое заключается в следующем: при сравнительно малых значениях бифуркационного параметра A равновесное решение уравнения устойчиво; при увеличении этого параметра равновесие нарушается — возникают циклы периода 2, 4, 8 и т.д., а при еще больших значениях бифуркационного параметра наступает детерминированный хаос. Это хорошо видно на рис.2 и рис.3 (слева), где итерационный процесс (6) изображен на плоскости при различных значениях бифуркационного параметра A с использованием графиков функций y = xAe–x и y = x. Здесь используется тот же прием, что и при рассмотрении динамики национального дохода в упрощенной модели Кейнса (см. рис.1).
 
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

Рис.2. Динамическая спираль — циклы периода 2 (слева) и 4. Здесь со временем устанавливаются циклы: переменная yt принимает последовательно значения y1 и y2  (в первом случае) или значения y1, y2, y3 и y4 (во втором). Переходы при итерационном процессе показаны цветом.
 
 

http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

Рис.3. Детерминированный хаос. Слева изображена фазовая диаграмма, характеризующая динамику переменной yt. Справа — соответствующее изменение yt во времени.
Рассмотрим внимательно рис.3 (справа), где показана динамика переменной yt на небольшом временном промежутке. У читателя может сложиться впечатление, что здесь переменная yt изменяется случайным образом, хаотично. Но так как динамика системы описывается детерминированным уравнением (6), эту особенность стали называть детерминированным хаосом.

Для иллюстрации свойства бифуркации удобно использовать бифуркационные диаграммы, которые в случае одномерного отображения представляют собой множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям бифуркационного параметра, а ординаты — установившимся значениям рассматриваемой переменной (рис.4). На рисунке видно, как по мере роста параметра A меняется характер решения. Сначала решение соответствует состоянию равновесия, затем становится периодическим, с циклическими колебаниями переменной yt между двумя значениями (кривая “раздваивается”), и, наконец, переходит к детерминированному хаосу (тонированная область на диаграмме).

До сих пор мы говорили об одномерном отображении, которое возникало при моделировании динамики национального дохода в духе упрощенной модели Кейнса. Однако макроэкономика — сложная система, и ее развитие характеризуется многими переменными. Мы разработали различные нелинейные динамические модели, в которых рассматривалась динамика ряда макропеременных, в том числе ставки процента и уровня цен. Естественно, что усложнение объекта исследования (в частности, учет взаимовлияния товарного и денежного рынков) приводило к усложнению модели: увеличивалась не только размерность отображения, но и число бифуркационных параметров.

Выполненные нами вычислительные эксперименты свидетельствуют: при увеличении размерности модели усложняется поведение рассматриваемой динамической системы, что видно из сравнения рис.4 и 5. Однако основное свойство одномерного отображения (6) — свойство бифуркации — также присуще построенным двумерному и трехмерному точечным отображениям, моделирующим взаимовлияние конечного продукта, уровня цен и ставки процента. Здесь, как и в одномерном случае, состояние равновесия макроэкономической системы сменяется циклами периодов 2, 4, 8 и т.д., которые переходят в область хаоса; хаотичное изменение сменяется на циклическое с периодами 5, 6 и выше, после чего период может снизиться, потом снова возможно хаотическое поведение и т.д. При этом область устойчивости равновесного решения достаточно узкая (см. рис.5).
 
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

Рис.4. Бифуркационная диаграмма одномерного отображения (6) и ее увеличенный фрагмент (справа). По оси абсцисс откладываются значения параметра A, по оси ординат — значения переменной yt при 4900<t<5000.
 
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

Рис.5. Проекция бифуркационной диаграммы трехмерного отображения (случай взаимовлияния ставки процента, уровня цен и конечного продукта). По оси абсцисс откладываются значения коэффициента реакции уровня цен, по оси ординат — значения ставки процента.

Подводя итоги

Исследование экономических процессов с помощью многомерных нелинейных отображений, характеризующих динамику макроэкономических переменных, приводит к заключению, что этим процессам присущи, в зависимости от значений параметров, многообразные динамические режимы: равновесие, цикличность и достаточно сложное квазистохастическое поведение (детерминированный хаос). При относительно небольших значениях коэффициентов реакций цены и ставки процента на дисбаланс между спросом на товары и их предложением, а также коэффициентов реакции экономики на несоответствие спроса и предложения, система в перспективе ведет себя просто: со временем устанавливается либо равновесие, либо периодические колебания с малым периодом. Однако при увеличении даже одного из коэффициентов реакции происходит усложнение динамики переменных модели. Это означает, что в общем случае равновесное решение неустойчиво, а динамика переменных обобщенной макроэкономической модели может быть достаточно сложной и при некоторых значениях параметров приобретать стохастические свойства. Следует отметить, что сложный характер решений не следствие внешнего случайного воздействия, а внутреннее свойство используемой детерминированной модели.

Более того, анализ динамики рассмотренных моделей позволяет предположить: сложное поведение переменных (цикличность, хаотичность и др.) есть неотъемлемое свойство самой моделируемой макроэкономической системы. Поэтому использование квазистационарного подхода к прогнозированию макроэкономики может иметь смысл лишь в том случае, когда коэффициенты реакции соответствующей динамической модели лежат в области устойчивости ее равновесного решения. Это происходит, например, при таком государственном регулировании изменений процентной ставки и уровня цен и такой реакции экономики на отклонение системы от равновесия, при которых не допускаются резкие взлеты и падения макроэкономических переменных.

Сказанное означает, что квазистационарный подход может быть эффективен лишь при анализе макроэкономических тенденций сложившейся, эволюционно изменяющейся экономики, в которой действуют механизмы государственного регулирования, направленные не только на стимулирование спроса, но и на устранение отклонений макроэкономической системы от траектории эволюционного развития. По-видимому, лишь в этом случае можно говорить об “автоматическом действии” равновесных рыночных механизмов, которые, как и “невидимая рука” А. Смита, обеспечивают устойчивость равновесия макроэкономических рынков.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект 98-06-80085.
 
http://vivovoco.rsl.ru/VV/JOURNAL/NATURE/12_01/MODEC.HTM

9.2.2. Модель Тевеса
все формулы и рисунки по источнику
Т. Тевес5 дополнил модель Самуэльсона-Хикса рынком денег, который в соответствии с моделью IS-LM взаимодействует на рынок благ через ставку процента. В используемых нами обозначениях динамическая функция спроса на деньги в модели Тевеса имеет вид
т.е. в текущем периоде спрос на деньги для сделок зависит от дохода предшествующего периода, а спрос на них как имущество - от текущей ставки процента, что вытекает из предназначения каждой из частей кассовых остатков. Предложение денег задано экзогенно и равно M.

При заданном уровне цен P = 1 на рынке денег установится динамическое равновесие, если

Решив равенство (9.4) относительно it, получим

Из-за того что теперь ставка процента не постоянна, нужно из суммы автономных расходов выделить автономные инвестиции; при этом предполагают, что их объем в текущем периоде зависит от ставки процента предшествующего периода,

Тогда уравнение (9.1) принимает вид

Подставив значение it-1 из уравнения (9.5) в уравнение (9.6), после преобразований получим
где 

Уравнение (9.7) определяет динамику национального дохода после приращения автономных расходов при взаимодействии рынка благ с рынком денег.

График функции  отделяет множество сочетаний Cy, ( + ), приводящих к монотонному изменению объема эффективного спроса, от множества сочетаний этих же параметров, приводящих к его колебаниям. На рис. 9.8 показана разделительная линия при  = 0,5; для сравнения на нем пунктирной линией воспроизведен график, представленный на рис. 9.3.

Рис. 9.8. Сдвиг областей, определяющих динамику национального дохода
при взаимодействии рынка благ
с рынком денег

Устойчивость или неустойчивость совместного динамического равновесия на рынках благ зависит от значения суммы  + . Если  +  < 1, то равновесие устойчиво, при  +  >  1 после нарушения равновесия оно не восстановится, а при  +  = 1 экзогенный толчок в виде приращения автономного спроса приведет к равномерным незатухающим колебаниям эффективного спроса около своего равновесного значения.

Поскольку по своей природе  величина положительная, то теперь разделительная линия проходит выше, чем в модели Самуэльсона-Хикса. Но из-за того, что предельная склонность к потреблению не может превышать единицу, все точки, лежащие выше линии Cy = 1, не имеют экономического смысла.

Как следует из рис. 9.8, с включением в модель рынка денег область устойчивого равновесия сокращается на заштрихованную площадь; это уменьшение тем больше, чем выше .

Напомним к тому же

МОДЕЛЬ [model] (в том смысле, как этот термин применяется в словаре) — логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса (обычно рассматриваемых как системы или элементы системы). М. используется как условный образ, сконструированный для упрощения их исследования. Природа моделей может быть различной (общепризнанной единой классификации моделей в настоящее время не существует): материальные или вещественные модели (напр., М. самолета в аэродинамической трубе); знаковые модели двух типов — графические (чертеж, географическая карта) и математические (формула, описывающая гравитационное взаимодействие двух тел); материально-идеальные (“деловая игра”); словесное описание объекта (явления, процесса) можно также рассматривать как его М.

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют математические, прежде всего экономико-математические М., часто объединяемые в комплексы М. и системы М.

Подробнее см. Моделирование, Экономико-математическая модель, Экономико-математическое моделирование. (Во второй из этих статей см. условную классификацию М., представленных в словаре.)

КОЛЕБАНИЯ [oscillation] — элемент временного ряда, отражающий происходящие в экономике периодические изменения (напр., подъемы и спады производства продукции и потребления тех или иных товаров). В экономико-математических моделях для приближенного отражения колебательных процессов возможно использование тригонометрических функций (напр., синусоиды). См. Сезонные колебания.

К. производства — подъемы и спады производства продукции и потребления тех или иных товаров — являются одним из основных элементов экономической конъюнктуры в стране (наряду с такими ее элементами, как К. финансового оборота, К. процентных ставок, К. валютного курса и т. п.).

В отдельных звеньях (на предприятиях и внутри предприятий), за редкими исключениями, они практически неизбежны и объясняются как организационными, так и технологическими причинами. В экономике же в целом они могут сглаживаться (по закону больших чисел), что в некоторые периоды может создавать иллюзию устойчивого общего развития той или иной экономики без резких спадов и резких подъемов.

Общие колебания производства в рыночной экономике находят выражение в понятии экономического цикла — периодически наступающего расширения (подъема) и сокращения (спада) реального объема производства на фоне общей тенденции экономического роста.

АКСЕЛЕРАТОР [accelerator] — в наиболее общем смысле (термин экономической кибернетики): такое звено системы управления (“дифференцирующее звено”), в котором выходная величина y пропорциональна скорости изменения входной величины x, т. е. y = к (dx/dt). Соответственно в теории экономического роста это показатель, характеризующий связь между приростом национального дохода (или конечной продукции) и объемом капиталовложений и отражающий т. н. эффект нарастания развития (акселерации). Наконец, еще более узкой является трактовка этого понятия в работах представителей неокейнсианства — как показателя, отражающего лишь одну сторону указанной связи: влияние ожидаемого или потребного роста национального дохода (объема продукции, или спроса на эту продукцию) на размер “индуцируемых” им капиталовложений. Именно последняя трактовка наиболее распространена в западной экономической литературе.

Смысл “эффекта нарастания развития” состоит в том, что чем бо;льшая доля национального дохода выделяется на капиталовложения, тем быстрее растет сам национальный доход, тем большую долю его можно выделить на новые капиталовложения и т. д. Коэффициент k получается делением суммы капиталовложений K в данном году на прирост национального дохода (конечной продукции) N в предшествующем году. Иначе говоря, это сумма капиталовложений, связанных с приростом единицы дохода:

где величина k называется мощностью А. (или фактором А.). Такое соотношение объясняется тем, что всегда стоимость средств производства существенно превышает стоимость производимой ими в течение года продукции.

Следовательно, если известен абсолютный объем капиталовложений данного года, то с помощью А. можно определить примерную величину прироста национального дохода (или конечной продукции) в будущем году:

И наоборот, если задаются целью получить определенный прирост национального дохода (или конечной продукции), то, зная величину А., определяют необходимый объем капиталовложений (т. е. прироста фондов) включая затраты на восстановление выбывающих фондов и автономные капиталовложения (слагаемое b):

K = kN + b.

Напр., если мы хотим, чтобы выпуск продукции в будущем году вырос на 20 млн руб., то при коэффициенте акселерации 3 придется затратить 60 млн руб. капиталовложений, а при коэффициенте 4 — 80 млн руб. (в этом смысле А. иногда отождествляют с коэффициентом приростной фондоемкости). Это будут, однако, не все потребные капиталовложения, а лишь “индуцированные” (без слагаемого b).

Вместе с мультипликатором А. дает в руки исследователя важные инструменты для построения динамической модели экономики (в частности, взаимодействие между акселератором и мультипликатором заложено в основу известной модели Харрода—Домара.)

• Применительно к отдельной фирме эконометрика трактует коэффициент акселерации k как оптимальный показатель капиталоемкости изменений масштабов хозяйственной деятельности (например, расширения производства некоторой продукции). Он может быть как постоянным, так и переменным — когда при росте производства меняется и уровень его экономической эффективности (“эффект масштаба”, эффект изменения технологии производства). Среди видов А. различают:

А. простой (crude accelerator) — описанная выше модель, учитывающая лишь взаимосвязи роста результатов (дохода или продукции) с необходимыми для него или вызванными им капиталовложениями, но без учета дополнительных обстоятельств (напр., возможностей роста производства без капиталовложений, если имеются недогруженные мощности).

А. гибкий (flexible accelerator) — усложнение предыдущей модели, учитывающее указанные выше возможные обстоятельства, колебания уровня производства и др.

А. с запаздыванием (lagged accelerator) учитывает запаздывание фактической скорости роста инвестиций по отношению к росту результатов производства (дохода), который вызывает (“индуцирует”) их.

МУЛЬТИПЛИКАТОР [multiplier] — коэффициент, служащий мерой умножающего воздействия положительной обратной связи на выходную величину управляемой системы.

Умножающее воздействие носит для каждой “порции” увеличения входной величины затухающий характер на протяжении нескольких циклов развития системы. В частности, в экономике прирост капитальных вложений вызывает прирост национального дохода, часть которого также направляется на капитальные вложения; последние снова дают прирост дохода (но уже меньшего объема), и так до тех пор, пока влияние данного прироста вложений не перестанет сказываться на выходной величине — объеме национального дохода.

В теории экономического роста М. означает, что с приростом общей суммы капитальных вложений национальный доход возрастает на величину, которая в ; раз больше, чем прирост капиталовложений (; — величина М.).

Иначе говоря, если прирост национального дохода обозначить ;N, а прирост вложений — ;K, то эта зависимость будет иметь вид:

;N = ; ;K. (1)

Зная распределение национального дохода на накопление и потребление, получим:

 (2)

где n — доля, которую составляет в приросте национального дохода прирост затрат на непроизводственное потребление. М. a часто называют мультипликатором Кейнса, по имени великого английского экономиста, который ввел в широкий обиход этот показатель (разработанный, впрочем, до него другим английским экономистом — Р. Каном). При анализе государственного бюджета мультипликатор Кейнса определяют также как увеличение объема производства в результате роста правительственных расходов на одну денежную единицу.

Таким образом, прирост национального дохода выступает как функция приростов капитальных вложений. Это и позволяет использовать М. в динамических моделях экономики.

В динамическом М. всегда должен учитывается лаг капитальных вложений.

М. употребляется не только в динамических макромоделях, как в указанном случае, но и в других расчетах. В межотраслевом балансе роль М. играет матрица коэффициентов полных затрат (I – A)-1. (См. Матричный мультипликатор.) Формула, аналогичная (2), связывает конечную продукцию отрасли с ее валовой продукцией, если известна доля валовой продукции, используемой для внутриотраслевых нужд. Подобным образом строится и денег в обращении в результате роста денежной базы на единицу.

Лит.: Самуэльсон П., Экономика, Вводный курс, пер. с англ., М., 1964, с. 289 — 303; Альтер Л. Б., Модели мультипликатора и акселератора в макроэкономической динамике, в сб.: Капиталистическое воспроизводство в современных условиях, М., 1966, с. 107 — 128; его же, Буржуазная политическая экономия США, М., 1961, гл. XIII, с. 593 — 609: Hansen А. Н., Business cycles and national income, N. Y., 1951; С lark J. М. , Business acceleration and the law of demand, в кн.: Readings in Business Cycle theory, pt 3, Phil. — Toronto, 1944.
Л. Б. Альтер.

Ну, и чего ?!
Вернемся к прежнему.
Попробуйте рассчитать НД России или США 2008 г. (Y(t) по этой формуле (модели) Самуэльсона—Хикса с учетом тенденций изменения НД 2007 (Y(t – 1) и 2006 Y(t – 2)  годов . Ведь v — мощность (или фактор) акселерации – у каждой страны окажется своей, как вместе с тем a — склонность к потреблению; b — базовое потребление.
Все это требует пересчетов по странам и крупным регионам отдельно, да затем потребуется учитывать и влияние хотя бы факторов глобализации.

И результат без учета ПРУ (прочих равных условий) явно будет далек от реального.
А это одна из обязательных моделей при изучении современной экономической теории.