Как я доказывал Теорему Ферма

«Мы часто ищем сложности вещей,
там где лежат банальные причины».
                Одиночествору

22:47:19 22.04.2010

Метку времени ставлю с опозданием минут на 17... Вообще-то, процесс создания в голове завершился в 10:30 вечера по местному времени... Но обо всём по порядку.

Сегодня день рождения Владимира Ильича Ленина. 140 лет ему! Если кто не знает, то он родился 22 апреля 1870 года.

Я решил отметить этот день чем-нибудь великим. Взял и доказал Великую Теорему Ферма в уме в течении часа.

Я посвящаю своё доказательство Владимиру Ильичу. Это его день, чтобы там ни говорили. А его лозунг: Учиться, учиться и учиться! – останется злободневным всегда.

Теперь про Теорему Ферма.

Во-первых, что это такое?

Был такой великий математик во времена сэра Исаака Абрамовича Ньютона – Ферма', который оставил на полях книги запись своей Великой Теоремы, а про доказательство умолчал, сказав лишь:

«Я нашёл поистине удивительное доказательство этой теоремы, но поля книги слишком малы, чтобы привести его полностью...»

Теорема формулируется так –

Задано уравнение трёх переменных:
     x^2 + y^2 = z^2         (1)

Например, для целых чисел от 1 до 110
подходят следующие значения:

  x             y             z
––––––––––––––––––––––
  3             4             5
  5            12            13
  7            24            25
  8            15            17
  9            40            41
 11            60            61
 12            35            37
 13            84            85
 16            63            65
 20            21            29
 20            99           101
 28            45            53
 33            56            65
 36            77            85
 39            80            89
 48            55            73
 60            91           109
 65            72            97

Теорема Ферма:

Не существует других целых степеней больше 2-ки, для которых существовала хотя бы одна триада x, y, z целых положительных чисел больше нуля, для которых бы выполнялось приведённое выше уравнение вида (1).



Я рассуждал следующим образом.

Во-первых, Ферма вряд ли собирался кого либо разыгрывать. В те далёкие времена занятия математикой не приносили ни Нобелевских премий, ни кафедр, ни пожизненных пенсий, ни выгод от приоритетов и соблюдения Авторского Права. А посему никакого резона в подшучивании над потомками у Ферма не было.

Во-вторых, доказательство его Теоремы должно быть простым и изящным. Основанным на минимуме теоретических изысканий. Всякие доказательства на уровне современных разработок просто исторически не оправданы, поскольку были сделаны в последующие годы, а Ферма их не знал.

В-третьих, Ферма очевидно не придавал своей Теореме (названной в последствии его потомками Великой) большого значения. Иначе он непременно бы записал её доказательство.

Из всего сказанного я сделал вывод, что решение должно лежать на поверхности. Тут не нужны никакие умопомрачительные сверх математические знания из экзотических областей высшей математики, которыми занимаются очень не многие люди на планете. Тут нужна ИДЕЯ! Широта непредвзятого взгляда.

Так и оказалось. Судите сами.

Я отталкивался от своего впечатления, что в формулировке теоремы Ферма есть ещё какое-то условие, которое задано в неявном виде. Мы принимаем его на интуитивном уровне, не формулируя явно, и от этого математическая конструкция условий оказывается разомкнутой. Из-за этого и возникают все сложности с доказательством...

Почему в формулировке фигурирует фраза «не существует других»? – думал я. – Значит, формулировка страдает не утверждением, а исключением! И значит, если я её «выверну наизнанку», чтобы всё тоже самое было указано в утвердительной форме, то получу более сильное утверждение.

Я оттолкнулся от этой мысли и как с хорошего трамплина взлетел ввысь. Прочь сомненья. Будем формулировать условия не для  множества, для которого соотношение НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ, а наоборот! Зададимся вопросом, а для какого множества оно будет работать при ЛЮБЫХ степенях?!

Тогда Великая Теорема Ферма предстанет в таком виде:

Корень n-ой степени из суммы n-ых степеней будет целым числом только при количестве параметров равных показателю степени n.

То есть:

КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ (x^2 + y^2) = ЦЕЛОЕ ЧИСЛО

КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ ИЗ (x^3 + y^3 + z^3) = ЦЕЛОЕ ЧИСЛО

КОРЕНЬ ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНИ ИЗ (x^4 + y^4 + z^4 + t^4) = ЦЕЛОЕ ЧИСЛО

и т.д.

Очевидно, что если бы удалось доказать это утверждение, то Великая Теорема Ферма доказывалась бы автоматически, как следствие, поскольку являлась бы УСЕЧЁННЫМ МНОЖЕСТВОМ данного.

Ответ вам, наверное, уже очевиден. Координата точки в n-мерном пространстве определяется n-параметрами. Каждый из которых привносит в результирующий вектор, соединяющий начало координат с данной точкой, свою информационную составляющую. Таким образом, модуль вектора рассчитывается только через соответствующее число параметров, но ни как не меньшее!

Если вы отбросите лишние координаты, то и результирующий вектор будет проекцией а не истинным значением. Поэтому для него равенство выполняться уже не будет. Проекция должна в данном случае тоже «похудеть» из n-мерного пространства в 2-х мерное!

Вот и всё.

23:23:23 22.04.2010


Но это оказалось ещё не всё.

Голос здравого рассудка мне возразил на мои поэтические попытки «усовершенствовать бытие», как только я немного протрезвел.

– Во-первых, – сказал мне этот голос, – ты видимо подзабыл геометрию. Величина вектора в любом пространстве определяется извлечением КВАДРАТНОГО КОРНЯ из суммы КВАДРАТОВ его координат. Так что аналогия с размером вектора перестаёт работать, как только ты переходишь от квадратов к кубам и выше...

– Во-вторых, вчерашний твой вычислительный эксперимент по поиску такой же таблицы, как и для квадратов, провалился. Программа не нашла ни одного подходящего решения. А это говорит о том, что их нет даже при увеличении числа координат вместе с ростом степеней.

.            .            .            .            .            .            .            .            .            .

Я сказал в ответ:

– Пусть величина, которую я описал, не является аналогом размера вектора. Не в этом же дело…

– А таблица для кубов получилась! Только все решения отличаются ровно на ЕДИНИЦУ. Такое впечатление, что в правой части возникает ещё одно слагаемое... При понижении порядка оно просто растворяется, как при поиске производной (производная от константы равна нулю)... Поэтому не удивительно, что на внешних «этажах» в правой части вырастает какой-то «гриб». Важно то, что он имеет не случайный характер. А значит, его всегда можно вычесть. Вот и всё.


x^3 + y^3 + z^3 = R^3 + 1^3             (2)

Приведу полученную мной таблицу для кубов:

   x                y               z              R           C
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
     4             37             63             67           1
     4             38             58             63           1
     7             24             25             31           1
     8             34             49             54           1
     9             29             91             92           1
     9             60             91             99           1
     9             91           288           291           1
   10             56           106           111           1
   11             90           151           161           1
   12             25             28             34           1
   12           177           294           314           1
   13             81           242           245           1
   14             19             39             41           1
   14           256           298           351           1
   19             51           123           126           1
   19             58             77             87           1
   21             51             60             71           1
   22             65           105           113           1
   22             69             91           103           1
   22           207           299           329           1
   28             30             38             47           1
   28             44             82             87           1
   28           104           274           279           1
   30             57             90             98           1
   30             82           252           255           1
   31             39             98           101           1
   32             52           105           110           1
   34             39             71             77           1
   37             49             86             93           1
   37             63           101           110           1
   37             88           245           249           1
   37           211           273           310           1
   40             98           169           180           1
   43           210           251           293           1
   45             64             93           105           1
   53           124           175           195           1
   59             67             91           108           1
   65             97           144           161           1
   66             77           247           251           1
   73             77             99           122           1
   76           169           210           244           1
   78           118           148           175           1
   87           226           247           301           1
   91           109           180           199           1
   98           169           300           320           1
 105           128           130           176           1
 119           130           297           311           1
 120           121           182           212           1
 121           152           196           234           1
 129           158           205           245           1
 150           214           217           286           1
 154           252           273           342           1

13:17:21 24.04.2010



Какой же ты смешной, – сказал мне голос здравого рассудка, – будто для двух переменных в левой части нельзя найти аналогичного решения для кубов, различающихся в правой части только на единицу. Смотри!

x^3 + y^3 = z^3 + 1^3     (3)

    x               y               z           C
––––––––––––––––––––––––––––
    9             10             12           1
  64             94           103           1
  73           144           150           1
135           235           249           1
244           729           738           1
334           438           495           1

Может быть, имеет смысл искать множество решений без увеличения числа переменных в левой части? А? – сказал голос и хитро ухмыльнулся...

.                .                .                .                .                .                .                .

Я ответил:

–Нет, – сказал я. – Заметь, на сколько «похудело» множество решений! Их всего 6 строчек, а ведь диапазон был расширен (от 2 до 1000). Очевидно, что при увеличении степеней на следующих «этажах» множество решений выродится в пустое…


А он ответил:

– Но у тебя же остаётся «гриб», как ты выразился, в правой части. Вот за счёт него и выкручивайся. Лишь бы он имел исчислимое значение, и ты его всегда отнимешь… Не так ли?

14:39:14 24.04.2010



                «Мир наш – это шахматная доска, по
                которой движутся фигуры и пешки.
                Не бывает ни половины клетки, ни
                половины хода, ни половины фигуры».
                Мудman


     Основная трудность доказательства Теоремы Ферма состоит в том, что понятие ЦЕЛОЕ ЧИСЛО ни каким особым образом не выделяется в современном математическом образовании. Целые числа преподают первоклассникам, считая их детскими игрушками. А напрасно!

     Несомненно, что этому способствует и наличие калькуляторов, мгновенно производящих вычисления с десятичными дробями; и промышленное производство, где точность вычислений уже уходит в нанометры.

     Однако, непредвзятый взгляд на вещи, однозначно позволяет утверждать, что в реальности существуют лишь ЦЕЛЫЕ числа. Как универсальные «кирпичики мироздания», из которых построено всё вокруг. Каждый такой «кирпичик» (элементарная частица) является событием, вступающим во взаимодействие с другими.

     Как не может быть половины события, так не может быть и половины элементарной частицы, так же число не может быть «чуть-чуть» ЦЕЛЫМ, как и женщина «слегка» БЕРЕМЕННОЙ... Например, как ответить на вопрос: вода в ёмкость набралась или не набралась? Если перелилась через край, значит набралась. Если не перелилась, значит, ещё нет. Момент перелива через край – есть событие. И снова – половины его не бывает!

     Всякое целое число является возможным в реальности объектом (хотя бы гипотетически). А все иррациональные числа – невозможными. Они всегда будут смоделированы нами лишь приблизительно. Эта та грань, которая отделяет наше виртуальное сознание от реальности.


     Наглядной демонстрацией дискретной плоскости, содержащей лишь целые значения, является компьютер. Откроете графический редактор MSPAINT.EXE , – в нём всякое изображение состоит из пикселов (точек) разного цвета. Половины пиксела не бывает.

     А память компьютера! Это же огромный набор байтов, каждый из которых имеет восемь разрядов и свой порядковый номер. Так что и тут всё содержимое представлено в виде «пикселов двух цветов» – чёрных и белых – нулей и единиц.

     Точно также и все вычисления внутри компьютера основаны на целочисленной арифметике. А все «продвинутости» сопроцессоров моделируются из неё, при помощи многочисленных ухищрений.

Так что весь мир дискретен. Числа целые – есть реальность.

А иррациональность – есть отсутствие ЦЕЛОСТИ, её принципиальная потеря, которая уводит объект рассмотрения за грань реальности.

     Эта потеря как раз и начинается с вычисления корней! С теоремы Пифагора. С прямоугольного треугольника, гипотенуза которого венчает два перпендикулярных катета. Она-то на самом деле (в физическом смысле) может быть выполнена только целой! А её идеальное (математическое) значение может быть и иррациональным. Например, у прямоугольного треугольника, катеты которого равны единице. Тут уже расходятся физика и математика...

     Это конфликт между теорией и практикой! Потому-то и со степеней выше 2-ки, множество целых решений становится пустым. Это глобальное свойство ЛОГИКИ НАШЕГО МИРА, которую сформулировал Ферма в своей Великой Теореме. Можете считать, что за гранью куба лежит загробный мир...



Итак, окончательный результат должен выглядеть следующим образом:

Уравнение вида
x^2 + y^2 = R^2

преобразуем в
КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ(x^2 + y^2) = R   (4)

x, y -- координаты точки на плоскости;
R -- размер отрезка, проведённого из начала координат в точку (x, y) .

Для (4) решение в целых значениях существуют (см. первую таблицу в начале).

Расширить множество решений можно лишь единственным способом, добавляя в подкоренное выражение ещё одну переменную, что будет соответствовать вычислению размера отрезка в n-мерном пространстве, проведённому из начала координат в точку с координатами (x, y, ... , i, ... n)

КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ(x^2 + y^2 + z^2) = R
КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ(x^2 + y^2 + z^2 + t^2) = R
КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ(x^2 + y^2 ... + i^2 + ... + n^2) = R


Например, для трёх координат:

 x    y    z    R
–––––––––––––
 2    3    6    7
 2    5   14   15
 2    6    9   11
 2    7   26   27
 2    8   16   18
 2   10   11   15
 2   10   25   27
 2   14   23   27
 3    4   12   13
 3    6   22   23
 3   12   24   27
 3   14   18   23
 3   16   24   29
 4    5   20   21
 4    6   12   14
 4    8   19   21
 4   12   18   22
 4   13   16   21
 4   20   22   30
 6    8   24   26
 6    9   18   21
 6   10   15   19
 6   13   18   23
 6   14   27   31
 6   18   27   33
 6   21   22   31
 7   14   22   27
 8    9   12   17
 8   11   16   21
 8   12   24   28
 8   20   25   33
 8   24   27   37
 9   12   20   25
 11  12   24   29
 12  15   16   25
 12  16   21   29
 14  18   21   31
 15  18   26   35
 16  18   24   34
 19  22   26   39


Для четырёх координат:

 x    y    z    t    R
–––––––––––––––
 2    3    4   14   15
 2    4    5    6    9
 2    4    6   13   15
 2    4    7   10   13
 2    4   10   13   17
 2    4   14   15   21
 2    5    8   14   17
 2    6    8   11   15
 2    8   10   11   17
 2    9   10   16   21
 2   10   13   16   23
 2   13   14   16   25
 3    5   11   13   18
 3    6   10   12   17
 3    9   13   15   22
 4    5    8   16   19
 4    5   12   16   21
 4    7   10   14   19
 4    8   10   12   18
 5    6    8   10   15
 5    7    9   13   18
 6    7   10   16   21
 6    9   10   12   19
 8    9   10   14   21
 8   10   13   14   23


Очевидно, что множество решений растёт. А вот поиск кубов сразу сводит множество решений на нет. Объяснение я вижу лишь одно. Для такого вида R уже не будет являться размером отрезка в n-мерном пространстве, что исключает возможность его реального существования.

Очевидно также, что дополнительное отбрасывание переменных ведёт к ещё большему сужению пространства возможных состояний, так что ни в коей мере не может служить появлению целых решений, потерянных при увеличении порядка.

12:41:21 25.04.2010