К формуле Хаббла и возрасту Вселенной

                Жила В. А.


            К формуле  Хаббла и возрасту Вселенной

  Исходим из идеи Большого Взрыва и закона всемирного тяготения. Вселенная возникла из точки, скорее области малого размера, назовем её Ядром Вселенной, в результате Большого Взрыва. Рассмотрим шар, который расширяется, радиуса r с центром в точке Взрыва и звезду(звёздное скопление) на поверхности шара. Масса шара М не меняется при расширении. На звезду действует ускорение:
               
          d^2 r / d t^2  = - GM / r^2 = - b / r^2                (1)

   G – Гравитационная постоянная. При расширении шара М не меняется, b = const.
  Решим это уравнение. Обозначим dr/dt=u(r). Тогда d^2r/dt^2 = (du/dr)u, udu = -b dr/r^2.   На первом шаге получим уравнение относительно первой производной (или скорости звезды):

          d r / d t = (2b /r + c1)^1/2                (2)

          c1 = V0^2 – 2b / r0

V0, r0 - скорость звезды и расстояние её от точки Взрыва в какой-то момент времени t0 (например, в наше время).

  Приравняем c1 = 0. Это означает устойчивость шара, в том смысле, что звезда никогда не оторвется от шара и не упадёт внутрь. Случай, когда c1 отлична от 0 рассмотрим в другой статье.

  Тогда:

d r / d t = (2b / r)^1/2                (3)

 Решая это уравнение, получим:

r = ((3/2) t (2b)^1/2 + c2 )^2/3                (4)

c2 = r0^3/2 – (3/2)t0 (2b)^1/2                (5)

  При t = 0 (начало расширения шара) r равно:

r = (r0^3/2 – 3/2 t0 (2b)^1/2 )^2/3 = r0 (1 – t0 (6 G П p0 )^1/2 )^2/3                (6)
p0 - плотность вселенной в наше время, G - гравитационная постоянная, П – число пи.

  Чтобы r была равна 0 (или почти 0) в начальный период времени, необходимо равенство 0 выражения в скобках в формуле (6), или

p0 = 1 / (6 t0^2 G П )                (7)

При t0 = 18 млрд. лет, p0 = 2.629 * 10^-27 кг / м3

При t0 = 12 млрд. лет, p0 = 5.915 * 10^-27 кг / м3

 На самом деле точность определения p0 должна быть достаточно большой, чтобы выполнялось условие Взрыва из Ядра Вселенной. Так, если принять размер Ядра 10^6 м (навскидку), то при размере сегодняшней вселенной r0 = 10^25 м , выражение в скобках должно быть порядка 10^-19 , т.е. точность для p0 должна быть порядка 10^-57.

  Из формулы (4) получим, дифференцируя по времени, выражение для скорости:

d r / d t = V = (2b)^1/2 / ((3/2) t (2b)^1/2 + c2)^1/3                (8)

 Рассмотрим отношение V / r исходя из формулы (3):

H = V / r = (2b)^1/2 / r^3/2                (9)

 Для времени достаточно большого, т.е. когда Вселенная достаточно расширилась, значением  c2 в формуле (4) можно пренебречь, т.к. c2 / r0 =  10^-17 – 10^-20.
  Тогда уравнение (9) примет вид:

H = V / r = 2 / (3 t)                (10)

H – Постоянная Хаббла, изменяется обратно пропорционально времени, прошедшему с момента расширения. Наиболее надежной считается оценка Н, равная:
 
H = 75 км / (сек Мпс) = 2.6 * 10^-18 1 / сек

То есть звёзды (все звёзды), которые мы видим, имеют возраст:

t 0 = 2 / (3H)= 2.564 * 10^17 сек = 8.8.млрд лет.

  Заметим, это возраст от момента начала расширения шара с этой конкретной звездой до момента испускания света, который видит наблюдатель, и значение Н на тот же момент.

  Возраст звезды на сегодняшний момент можно определить, прибавив время прохождения света от звезды до наблюдателя.

T0 = t0 + t1 = 2 /(3H) + r / c = 2 /(3H) + V /(Hc)                (11)

  с – скорость света.

  Видим, что возраст звёзд относительно нашего сегодняшнего времени неодинаков для всех звезд. Он больше у тех звёзд, у которых скорость больше, и, соответственно, они находятся дальше. Это можно объяснить так:

 Ядро Вселенной не было однородным. В нём существовали структуры с разной энергией. Первыми стали вырываться из Ядра структуры( которые позднее сформировались в скопления, галактики) с высокой энергией, сумевшие преодолеть притяжение Ядра. Затем, когда масса Ядра уменьшилась, стали вырываться структуры с меньшими энергиями.

  Время t1 сильно отличается у разных звёзд. Так, для «типичных» звезд скорость равна
V = 0.001c, для наиболее удалённых V = 0,25 c (возможно больше). То есть возраст звёзд может отличаться на 0.25 / H = 3.3 млрд лет.

  Все приведенные расчёты были сделаны относительно наблюдателя в центре Взрыва. Однако, формулы (9) и далее справедливы для любого наблюдателя, в том числе на Земле. Можно построить треугольник с вершинами –центр Ядра, звезда, Земля. Т.к. векторы скорости и расстояния лежат на одной прямой, то из подобия треугольников следует V / r = V1 /r1 ,  где V1 - лучевая скорость звезды (проекция скорости на луч Земля-звезда), r1 -  расстояние от Земли до звезды.

  Выводы:

1. Постоянная Хаббла не постоянна во времени и обратно пропорциональна времени от начала расширения.
2. Время жизни всех звезд, которые мы видим, до момента испускания света одинаково и составляет 8.8 млрд. лет (при Н = 75 км/сек Мпс).
3. Структура Ядра Вселенной до начала Большого взрыва была неоднородной.
4. Большой взрыв был не одномоментный, разница по времени вылета из Ядра между наиболее быстрыми и медленными звездами превышает 3 млрд. лет.

  Примечание: Если в формуле (2) c1 отлична от 0, то дальнейшее решение даст уравнение вида:

t = f (r) +c3 ,

не разрешимое относительно r. Его анализ значительно сложнее.

02.06.2009.