Теорема Ферма

В память о довоенных выпускниках школы
№7  преподавателям  математики и всем
ученикам  XXI века.
Ученик 10 Б кл. ,выпускник школы 1941,
Женя Яхнин
6 мая 2010 года

ТЕОРЕМА  ФЕРМА

Когда-то,  давно-давно, когда  я ещё учился в  школе, мудрые взрослые озадачивали нас, учеников 7-го, 8-го класса, а позднее и мы сами друг друга разными хитрыми логическими задачками, мировыми и не очень мировыми проблемами. Много их было, они заполняли возникавшие в жизни   пробелы, учили думать, учили общению. Они, если не всем, то всё же многим известны и время от времени возникают вновь, заставляют задумываться, получать удовольствие от красоты человеческого  интеллекта. Думаю, что  и вам, кому доведётся читать эти строки, они могут доставить удовольствие.
Где-то на востоке могущественный богдыхан пригласил к себе  трех прославившихся мудрецов и сказал: «Хочу проверить мудрецы ли вы. Решите мою задачу».
 Он поставил их друг против друга в вершинах треугольника. Каждому на голову надел колпак. Таким образом, каждый видел  колпаки на головах двух других, но не видел колпака на своей голове. 
Затем пояснил: «У меня имеется пять колпаков, два белых и три красных. Три колпака у вас на головах. Если кто-нибудь из вас догадается, какой у него на голове колпак, задача решена, вы настоящие мудрецы. Я вас щедро награжу. Если никто не догадается, то вы обманщики, и я отрублю вам головы».
Мудрецы посмотрели друг на друга, и через некоторое время старший из них сказал: «У меня на голове красный колпак».
Богдыхан был доволен и щедро наградил всех троих.
Спрашивается: как старший из них догадался, что у него на голове красный колпак?  При этом, конечно, отвергается вариант, когда у двух из них были на голове белые колпаки. И вообще требуется рассмотреть все возможные варианты. Старший из них догадался, что у него на голове красный колпак, даже когда увидел на головах двух своих товарищей тоже красные колпаки. Здесь всё просто и  на 99% логично. Скажу только, что его размышления начались со слов:  «Мои друзья тоже мудрецы и, если бы . . .то ..»
А вот ещё одна задача на логику, пожалуй, более сложная. Учительница математики Надежда Петровна, закончив очередной урок, объявила, что на следующей неделе будет контрольная.   
–  Готовьтесь – сказала  она, – так как контрольная может быть в любой день,  и вы не догадаетесь о ней накануне.
–  Вы ошибаетесь, Надежда Петровна – заявил Петя, –  Вы не сможете провести контрольную так, чтобы мы накануне не догадались об этом.
 –  Почему? – спросила Надежда Петровна.
 – А потому, что в субботу  Вы не  дадите контрольную, так как суббота последний день недели и в пятницу нам будет ясно, что на следующий день контрольная. В пятницу Вы также не можете дать нам контрольную, так как в четверг, понимая, что в субботу контрольной не будет, мы догадаемся о контрольной в пятницу. Вы и в четверг не можете дать контрольную, чтобы мы не догадались об этом в среду. Вы же нас учили быть логичными и поэтому понимаете, что мы легко сообразим: в субботу контрольная невозможна, в пятницу также, поэтому вам придётся думать о четверге, но вы учтёте, что мы, рассуждая логично, в среду об этом  догадаемся, и, следовательно, четверг также отпадает. Да Вы и в среду не сможете устроить контрольную. Если бы Вы всё-таки устроили контрольную в среду, то мы, поняв, что ни в  субботу, ни в пятницу, ни в четверг контрольной не будет, сразу догадались бы о ней во вторник.  Я не буду, Надежда Петровна, продолжать эту логическую линию, но Вы понимаете, что аналогичным образом доказывается невозможность  выбора вами вторника и понедельника для проведения контрольной, чтобы накануне мы об этом не догадались.
Такой разговор состоялся между учительницей и её учеником.  На этом я мог бы остановиться и предложить читателю найти  дефект в приведенных рассуждениях. Но автор задачи добавил, что Надежда Петровна всё-таки провела контрольную и ребята не догадались, что она будет.
Теперь требуется указать где ошибка. Попробуйте, это не так просто. На мой взгляд, здесь логики только процентов на   50%, ну, может быть, на 65%. Впрочем, это неважно, важно всё-таки указать где, в каком месте рассуждений  её нет. Попробуйте. Мы дефекты логики в этих рассуждениях нашли.    
Но вершиной, апогеем множества задач, над которыми нам посчастливилось размышлять в молодости,  была Великая теорема Ферма. Нам рассказали, что  Ферма сформулировал  свою теорему на полях какой-то книги или тетради, добавив, что её доказательство оказалось удивительно простым.  Самого доказательства он не записал, и с тех пор многие математики пытались доказать эту теорему, но пока безуспешно.  О теореме нам было сказано очень кратко: «Любое простое  число состоит из трех простых!»   Мы все тут же  взялись за доказательство этой теоремы, в приведенной выше формулировке. Любой математик должен запротестовать: «Что значит состоит? Правильно – есть сумма или является суммой двух простых». Но я записал «состоит», так нам было сказано. Кто-то, не помню сейчас кто, предложил доказательство, но в бурном обсуждении оно было опровергнуто. Мы продолжали свои попытки, найти то «удивительно простое» доказательство, о котором упомянул Ферма, но они оказывались столь же «успешными», как и попытки профессиональных  математиков.
Казалось, всё прошло, забыто, но нет, и, по-видимому, совсем не вдруг, каких-нибудь 25 лет назад, я аналогичным образом озадачил своего младшего сына. Он, как и мы когда-то, тут же принялся за её доказательство. Довольно быстро он пришел к заключению, что любое  чётное состоит из двух простых. Он был очень воодушевлён, но следующий шаг ему никак не давался.
Теперь я вспоминаю, что рассказал о его рассуждениях своему племяннику Саше Рыбко, который к тому времени вырос в серьёзного математика, признанного мировой математической общественностью. Саша показал мне настоящую формулировку «Великой теоремы Ферма» [уравнение  (x;  +  y; ) =  z;   при  a   больше 2-х не имеет решений, при которых корни являются положительными целыми (натуральными) числами], и разъяснил,  что дело не так примитивно, как это  представлялось нам на школьном уровне, и, как я озадачил своего сына Мишу. Одновременно он подтвердил, что любое четное состоит из двух простых, и мне казалось, что это было доказано. Всё, можно было  поставить точку, осознав свою принадлежность к той массе первооткрывателей «Вечного двигателя» и других «Великих проблем» человечества, которые никак не даются науке. Но случилось  странное и неожиданное.  О нём и расскажу.
Я давно замечал за собой склонность к ночным фантазиям. Прилетают образы родителей, знакомых, иногда события разные –   всякое.  Однажды, ещё во время учёбы в военной академии я ночью без каких-то специальных волевых усилий решил во сне сложную геометрическую задачу. Встал и записал, чтобы не забыть. Преподаватель  проникся ко мне таким уважением, что поставил в журнал отметку не пять, а шесть. Начальство ему разъяснило, что таких отметок не бывает, и он вынужден был переделать шестёрку на пятерку. Однако он всё же обвёл клеточку с отметкой жирной красной линией.  Уверяю вас – во  сне всё может быть.
Мне  восемьдесят  уже   стукнуло, а ночные полеты в дрёмах по-прежнему доставляют удовольствие.  И надо же, случилось. Во сне я почувствовал себя снова школьным мальчишкой и  снова стал яростно решать теорему Ферма, в той давней простой формулировке: любое простое число состоит из трёх простых чисел.  Закрутилось, закрутилось в голове и совершенно неожиданно возникло доказательство да такое простое, что вполне могло удовлетворить  рассказанной когда-то красивой байке о теореме Ферма.  Доказательство получилось действительно простым и красивым. Поэтому приведу его здесь в качестве примера моих ночных полётов-фантазий. Всё-таки это фантазия с логикой, а не какая-то, чёрт знает, как и из чего навороченная.
Итак, возьмём условно очень большое простое число. Такое большое,  что среди чисел меньше него имеется много простых.  Присвоим этому числу первый номер и проведём нумерацию всех чисел до него в обратном порядке.
Я пишу не математическое исследование, а простое эссе о случившемся, и должен учитывать, что среди  тех, кто случайно прочтет это эссе, окажутся принципиальные ненавистники   математической символики даже в  простом виде. Поэтому изложу всё словами и  совсем на простом примере.
 Напоминаю, что я начал рассуждение (см. начало этого абзаца) со слов «возьмем условно очень большое число». Так вот, пусть этим числом будет 563, оно  будет у нас номером 1,  562 –  номером 2,  561 – номером  3 и т.д., то есть мы нумеруем все числа в обратном порядке.  Наконец, мы подошли к какому-то номеру, который является простым числом,   например, 13. Теперь,  если мы отнимем 13 от 563, то получим число 550, которое, будучи чётным, состоит (далее я буду полагать – является суммой) из двух простых.  Таким образом, число 563 состоит из этих двух простых и 13-и, то есть из трех простых. Теорема доказана. Мало того, получается, что любое нечётное число состоит из трех простых. При этом, чем больше исследуемое  нечётное число, тем из большего нечетного числа простых его можно составить. Так, используя снова обратную нумерацию, мы вновь присваиваем номер 1, но уже чётному числу, следующему за первым нами выбранным простым (в нашем случае – числу 550),  и далее 2, 3, 4 ….  . Доходим  до   «боле или менее приличного» чётного номера и соответственно четного числа, например 24 и вычитаем его из 550. Получаем два чётных числа 24 и 526. Оба состоят из двух простых, то есть всего из 4-х простых, например, 24 из 7-и,  17-и, а 526 из 23-х и 503-х. Эти четыре простых и 13 (то есть 5 простых) в сумме дают первоначальное число 563. Таким образом,  исследуемое число оказывается состоящим из 5 простых, и т.д.
Я  поделился своим ночным откровением с  приятелем. Он внимательно меня слушал и, немного подумав, сказал:  «Ха!  А зачем нумеровать все числа в обратном порядке, и вообще нумерация в вашем рассуждении совершенно ни к чему. Достаточно просто из вашего  исследуемого числа вычесть любое простое число,  только существенно меньше исследуемого. Вы получаете четное число и, если верно, что оно состоит из двух простых, то поздравляю. Но в последнем я, не математик, всё-таки,  сомневаюсь. Кстати, и вторая  обратная нумерация ни к чему, вы просто можете вычитать из вашего числа 550 любое чётное, и всё получится.  И потом, странно, что такие простые рассуждения не приходили в голову никому из математиков, занимавшихся теорией чисел». – «Послушай – тут же сообразил я, –  получается, что любое натуральное число состоит из простых чисел. Чётные минимум из двух, нечётные минимум из трех».  Он  согласился, но ещё раз  высказал сомнение в том, что эти факты не известны в теории чисел. 
Приятель оказался прав,  до сих пор ещё не доказано, что любое чётное число состоит из двух простых, и, таким образом, моё «сонное» рассуждение  доказательством не является. Кроме того, Великая теорема Ферма:  к рассмотренным комбинациям простых чисел отношения не имеет. То, что нам когда-то было объявлено теоремой Ферма, на  самом деле с некоторыми уточнениями является проблемой Гольдбаха, которую он изложил в  1742 г. в письме к Эйлеру. Гольдбах сделал уточняющую приписку, как и Ферма, на полях своего письма, что и привело озадачившего нас «математика» к путанице. Ну и что в результате?  А то, что всё это замечательные упражнения ума. Только не надо открывать Америк.
Приятель посоветовал мне также  сны  оставлять в снах. Вот с этим я уже не согласился.
Живое ничего не забывает, не спорьте. Мне было 13 лет, и я очень хотел научиться играть в теннис.  Наконец, в руках у меня оказалась ракетка, и я на радостях, размахнувшись,  с силой ударил  по летящему навстречу мячу, а затем её ободом по середине своего носа. Кровь брызнула фонтанчиком. Через некоторое время запеклась, конечно, но в виде нашлёпки величиной с небольшой орех. Я ходил с такой нашлёпкой недели две и  очень переживал. Я уважал свой нос, и изменение его формы меня не  устраивало. По этому поводу  пришлось даже посокрушаться в письме к девочке, которой я был тогда увлечён. Всё прошло, как и должно было быть, нашлёпка отпала, кожица на носу обновилась, и я забыл об этом происшествии, казалось, навсегда. Сейчас, подумайте только –  через 75 лет, в том самом месте на середине носа возникла небольшая отметина и шелушение. Её не было, и возникла, Удивительно.  Его сиятельство мой Нос не пожелал забыть, то, что я забыл.  Живое всё помнит, ничего не забывает.
Неудивительно, что  и всё случившееся внутри нашей  головы, тоже не пропадает, копится и, считаю к счастью, иногда выходит наружу. Наша личность – бесконечный и непознаваемый космос, хранящийся в голове, тоже может внезапно проявиться неожиданными сторонами. У меня он, как и рубец на моём носу, время от времени проявляется и чаще всего в снах.  Открываются такие замечательные сферы, которые волевым усилием разума не открыть. В настоящем сне, когда  голове ничего не мешает, нет  забот,  переживаний, уличного шума, соседей, работы  . . . –  ни-че-го, она отправляет нас плавать по  космическому пространству личности  и  открывает самое-самое, давно запрятанное в дальних уголках памяти,  важное и прекрасное, чистое без шелухи, как в детстве. Обычно сны не запоминаются. Бывает, однако, что наиболее яркие и значительные  удаётся  запомнить,  и тогда хочется их кому-нибудь рассказать, и, о чудо, они как часть  жизни делают её больше и интереснее. Поэтому я и не согласился  с приятелем. Постарайтесь не оставлять ваши сны в снах.

                Коприно.     14.07.09.