Классический принцип неопределенности

Классический принцип неопределенности есть прямое следствие Фурье трансформаций и относится к свойствам волн. Принцип неопределенности Гейзенберга в квантовой физике следует из гипотез Планка и де Бройля и относится к свойствам частиц и волн.


Есть принцип взаимно обратного соответствия между длительностью почти гармонического сигнала и его шириной частотного спектра Фурье. Классический принцип неопределенности указывает, что чем меньше длительность сигнала, тем больше ширина спектра и наоборот. В общем случае произведение длительности сигнала на ширину спектра равно/больше 2*pi. Это в радианном измерении спектра. В частотном измерении это произведение равно/больше 1. Это для волнового пакета во временной области. Волновой пакет в пространстве имеет протяженность и произведение протяженности волнового пакета на ширину спектра равно/больше скорости волнового движения энергии в данной среде. Основной характеристикой волнового движения энергии является скорость распространения. Скорость волнового пакета в данной недиспергирующей среде есть величина постоянная и не может быть произвольно большой. Знак «больше» в соотношении неопределенности не имеет физического объяснения.


Для того чтобы ответить на вопрос, что есть волновое движение энергии, нужно ответить на вопрос, что есть неволновое движение энергии. Известно, что ударные волны распространяются в среде с большей скоростью, чем обычная волна, но соотношение неопределенности не имеет отношения к ударным волнам. Известно, что ударная волна давления, возбуждаемая взрывом в атмосфере, имеет крутой передний фронт и пологий задний фронт [1]. С удалением от источника однополярная ударная волна трансформируется в двухполярную волну или волновой импульс, скорость распространения которого есть величина постоянная, равная скорости звука в атмосфере. Профиль давления волнового импульса имеет простую форму. Но попытка ответить на простой вопрос: может ли волной импульс давления быть однополярным, обнаруживает парадокс бесконечно низких частот. Известно, что модуль спектра Фурье однополярного импульса содержит низкие и бесконечно низкие частоты, амплитуда которых увеличивается, когда уменьшается частота и максимум спектра находится на нулевой частоте. Однополярный импульс имеет конечную длительность и протяженность, но длина волны доминирующей частоты в пространстве равна бесконечности, независимо от скорости распространения волны. Первая зона Френеля или френелевский объем распространения волнового процесса также равен бесконечности для однополярного импульса.


Основная характеристика спектрального анализа есть разрешающая способность, которая может быть низкой или высокой. Но разрешающая способность спектрального анализа должна быть постоянной вдоль оси частот. Причиной смещения спектров Фурье в сторону низких частот, прежде всего для однополярных функций, является переменная разрешающая способность Фурье анализа вдоль оси частот и чем ниже частота, тем меньше разрешающая способность. Фурье анализ безупречен с математической точки зрения, но спектры Фурье содержат физически не наблюдаемые сверхнизкочастотные гармонические составляющие. Модифицированный Фурье анализ имеет постоянную разрешающую способность вдоль оси частот, решает парадокс нулевой частоты, вводит понятие элементарного волнового импульса в виде двухполярной функции, произведение ширины модифицированного спектра Фурье на протяженность однополярной причинной функции определяет скорость ударной волны [2, 3, 4].


Целью этой публикации является сравнение соотношения неопределенности как для модифицированных, так и для стандартных спектров Фурье. Полная версия статьи на английском выложена здесь: www. sciteclibrary. ru/eng/catalog/pages/11221.html.


На рис. 1а показан осциллирующий импульс с относительной шириной модифицированного спектра Фурье 0,2 и его модифицированный (толстая линия) и стандартный (тонкая линия) спектры Фурье (рис. 1b). Ширина модифицированного спектра Фурье на уровне 0.707… имеет значение 8 Гц. Длительность осциллирующего импульса, измеренная по экспоненциально затухающей составляющей, имеет величину 0.125 с. Соотношение неопределенности для модифицированного спектра Фурье выполняется точно и произведение 8*0.125=1. Стандартный спектр содержит бесконечно низкие частоты и смещен на незначительную величину в сторону низких частот. Ширина стандартного спектра незначительно превышает 8 Гц. Поэтому для стандартного спектра также можно принять 8*0.125=1.


На рис. 2а показан слабо осциллирующий импульс с относительной шириной спектра 1 и его модифицированный и стандартный спектры Фурье (рис. 2b). Ширина модифицированного спектра 40 Гц, длительность импульса 0.025 с. Соотношение неопределенности для модифицированного спектра выполняется точно и 40*0.025=1. Стандартный спектр и его максимум смещены в сторону низких частот. Ширина стандартного спектра 46.75 Гц, соотношение неопределенности не выполняется: 46.75*0.025=1.168.


На рис. 3а показан однополярный импульс с относительной шириной спектра 2 и его модифицированный спектр (рис. 3b). Ширина модифицированного спектра 80 Гц. Длительность импульса 0.01767… с. Для модифицированного спектра соотношение неопределенность перестает выполняться и произведение ширины спектра на длительность импульса становится больше 1: 80*0.01767=1.4142… . Стандартный спектр смещен в сторону низких и сверхнизких частот и имеет максимальную амплитуду на нулевой частоте. Ширина стандартного спектра 25.7 Гц и произведение ширины спектра на длительность импульса становится меньше 1: 25.7*0.01767… =0.4543… .


На рис. 4а показан однополярный импульс с относительной шириной спектра 10 и его модифицированный и стандартный спектры (рис. 4b). Ширина модифицированного спектра 400 Гц. Такое расширение спектра имеет физическое объяснение. Крутизна переднего фронта импульса на рис. 4а значительно больше, чем у импульса на рис. 3а, что есть причина расширения спектра в сторону высоких частот. Длительность импульса на рис. 4а значительно больше длительности импульса на рис. 3а, что есть причина расширения модифицированного спектра в сторону низких частот. Длительность импульса на рис. 4а имеет значение 0.1237… с. Для модифицированного спектра 400*0.1237… =49.49… . Стандартный спектр смещен в сторону сверхнизких частот и имеет максимальную амплитуду на нулевой частоте. Ширина стандартного спектра 4Гц, что в 100 раз меньше, чем ширина модифицированного спектра. Для стандартного спектра 4*0.1237… = 0.4949.


Итак, для стандартных спектров Фурье произведение ширины спектров на длительность импульсов есть переменная величина. Для однополярных импульсов эта величина меньше 1. Для осциллирующих импульсов эта величина больше 1 и только при увеличении их длительности произведение стремится к 1.


Произведение длительности осциллирующих функций на ширину модифицированных спектров Фурье есть постоянная величина. Для однополярных функций это произведение больше 1 и чем больше относительная ширина спектров, тем больше произведение.


Произведение протяженности осциллирующих импульсов на ширину модифицированного спектра Фурье есть скорость волнового движения энергии. Классическое соотношение неопределенности для волнового движения выполняется точно. Классическое соотношение неопределенности не выполняется для однополярных функций и скорость их распространения тем больше превышает скорость волновых импульсов в данной среде, чем больше относительная ширина модифицированных спектров Фурье. Например, однополярной импульс на рис. 3а имеет коэффициент превышения скорости 1.4142… . Однополярный импульс на рис. 4а имеет коэффициент превышения скорости 49.49… .


Скорость волнового движения энергии в данной среде могут превысить только ударные волны. Однополярные причинные импульсы есть ударные волны. Ударные волны есть неволновая форма движения энергии. Предельный случай ударной волны есть единичная ступенчатая функция Хэвисайда, скорость распространения которой есть бесконечность.


Двухполярная волна с относительной шириной спектра 1 есть элементарный волновой импульс [2, 3].
 
Литература

1. G.P. Kinney, Explosive shocks in air, Macmillan Co., New York (1962).
2. М.Т. Близнецов, «Элементарный волновой импульс», Геофизика, 1, 52-60 (2001).
3. M. T. Bliznetsov, «Spectral analysis resolution and study of the uncertainty relationship», Physics Essays, v. 18,№ 1, 63-80 (2005).
4. М.Т. Близнецов, «Модифицированный Фурье анализ и вейвлет анализ», Геофизика, 3, 3-8, (2006).