Мультишкалы моделирование гетерогенных материалов

1Multiscale Modeling fo Heterogenous Materials.
From Microstructure to Macro-scale Properties.
Edited by Oana Cazacu
Мультишкалы моделирование гетерогенных материалов.
От микроструктуры к Макрошкалы свойствам.
Под Редакцией Оана Казаку
Содержание
Предисловие
Chapter 1. Accounting for Plastic Strain Heterogenities in Modeling Polycrystalline Plasticity: Microstructure-based Multilaminate Approaches
Patrick Franciosi
Часть 1. Учет для пластических страдания гетерогенностей в моделировании поликристаллической пластичности: микроструктуры основанные на мультиламинатных подходах
Патрик Франсуа
1.1.Введение
1.2.Поликристаллическая морфология в понятиях зерен и подзерен границ
1.2.1.Некоторые свидетельства части подобной регулярности для зерен границ
1.2.2.Характеристики пластического страдания из-за подзерен границ
1.3.Подграницы и мультиламинатная структура для гетерогенной пластичности
1.3.1.Эффективные модули тензора и оператор Грина для мультиламинатных структур
1.3.2.Мультиламинатные структуры и части подобная гомогенная  пластичность
 1.4.Применение поликристаллической пластичности с аффинным приближением
1.4.1. Конституционные отношения
1.4.2. Фундаментальные свойства для мультиламинатного моделирования пластичности
1.5.Заключение.
1.6. Библиография.
Chapter 2. Discrete Dislocation Dynamics : Principles and Recant Applications
Marc Fivel
Часть 2. Динамика дискретной дислокации: Принципы и недавние применения
Марк Фивель
2.1.Дискретная дислокация как связка в мультишкалы моделировании
2.2.Принципы динамики дискретной дислокации
2.3.Пример перехода шкалы: от Динамики Дислокации DD к Континуум механике
2.3.1.Введение в модель плотности дислокации
2.3.1.1.Конституционные уравнения модели основанной на дислокации кристаллической пластичности
2.3.1.2.Параметры идентификации
2.3.1.3.Применение к симуляции меди
2.3.1.4.Взятое в учет кинематическое  укрепление
2.4. Пример ДД DD анализа : симуляции инициации трещины в усталости
2.4.1.Случай одиночной фазы AISI 31 GL
2.5.Заключения
2.6.Библиография
Chapter 3. Multiscale Modeling of Large Strain Phenomena in Policrystalline Metals
Kaan Inal and Raj. K.Mishra
Часть 3.
Мультишкал Моделирование Явления Большого Страдания в Поликристаллиновых Металлах.
Каан Инал, Радж. К. Мишра
3.1. Реализация поликристаллической пластичности в анализе конечных элементов.
3.2. Кинематика и конституционные рабочие рамки.          
3.3. Форвард алгоритм Эйлера.
3.4. Применение форвард алгоритма Эйлера.
3.5. Шаг времени вытекающий в форвард Эйлера схеме.
3.6. Сравнение ЦПУ CPU времени: ставки тангенс против форвард Эйлера методов
3.7. Заключения
3.8. Благодарности
3.9. Библиография
Chapter 4. Earth Mantle Rheology Inferred from Homognization Theories
Olivier Castelnau, Ricardo Lebensohn, Pedro Ponte Castaneda and Donna Blackman
Часть4.Реология земной мантии внесенная из теорий гомогенизации
Оливер Кастелно, Риккардо Лебенсон, Педро Понте Кастанеда и Донна Блэкман
4.1.Введение
4.2. Зерна локальное поведение
4.3. Полного поля переноса решения
4.4. Оценка значения поля
4.4.1.Основные свойства теорий значения поля
4.4.2. Результаты
4.5. Заключительные наблюдения
4.6.Библиография
Chapter 5. Modeling Plastic  Anisotropy and Strength Differential Effects in Metallic Materials
Oana Cazacu and Frederic Barlat
Часть 5. Моделирования пластическая анизотропия и сопротивления дифференциал эффекты  в металлических материалах
Оана Казаку и Фредерик Барлат
5.1. Введение
5.2. Изотропического урожая критерий
5.2.1. Прессованные нечувствительные материалы деформированные касанием
5.2.2.  Прессованные нечувствительные материалы деформированные двойникованием
5.2.3. Прессованные нечувствительные материалы с эффектами не Шмида
5.2.4. Прессованные нечувствительные материалы
5.2.5. SD эффект и пластичный поток
5.3. Анизотропичного урожая критерий с SD эффектами
5.3.1. Казаку и Барлат [CAZ 06] орфотропичный урожая критерий
5.3.2. Казаку Плюнкет Барлат критерий урожая [CAZ 06]
5.4. Моделирование анизотропичного укрепления из-за эволюции текстуры
5.5 Заключения и будущие перспективы
5.6. Библиография
Chapter 6. Shear Bands in Steel Plates under Impact Loading
George z. Voyiadjis and Amin H. Almasri
Часть6 .Сдвига полосы в стальных пластинах под нагрузкой ударом
6.1.Введение
6.2.Вязкопластичность и конституционное моделирование
6.3. Высшего порядка теория градиента
6.4.Двумерная пластина подвергнутая скорости граничными условиями
6.5. Сдвига линия в стальной плаcтины ударе
6.6. Заключения
6.7. Библиография
Chapter 7. Viscoplastic Modeling of Anisotropic Textured Metals
Brian Plunkett and Oana Cazacu
Часть7. Вязкопластичное моделирование анизотропичных текстурированных металлов
7.1. Введение
7.2. Анизотропичная эластовязкопластичная модель
7.3. Применение к циркониуму
7.3.1. Квазистатическая деформация циркониума
7.3.2. Высокого страдания ставка деформации циркониума
7.4. Высокого страдания ставка деформации тантала
7.5. Заключения
7.6. Библиография
Chapter 8. Non-linear Elastic Inhomogenous Materials: Uniform Strain Fields and Exact Relation
Qi-Chang He, B. Bary and Hung Le Quang
Часть 8. Нелинейные эластичные негомогенные материалы: единой формы поля страдания и  точные отношения
Ци-Чанг Хе, Б.Бэри и Хунг Ле Куанг
8.1. Введение
8.2. Локальные единой формы поля страдания
8.3. Точные отношения для эффективных эластичных тангенсов модули
8.4. Кубические поликристаллы
8.5. Степенной закон волокнистых композитов
8.6. Заключения
8.7. Библиография
Chapter 9. 3D Continuous and Discrete Modeling of Bifurcations in Geomaterials
Florent Prunier, Felix Darve, Luc Sibile and Francois Nicot
Часть 9. 3D континуос и дискретное моделирование бифуркаций в геоматериалах
Флоран Прюнье, Феликс Дарве, Люк Сибиль и Франсуа Нико
9.1. Введение
9.2. 3D бифуркации представленные детально нелинейных конституционных отношений
9.2.1. Детально нелинейные и кусочно подобные линейные отношения
9.2.2. 3 D анализы второго порядка с феноменологической конституционной моделью
9.3.Дискретные моделирования отказа способа связанного со второго порядка работы критерием
9.4. Заключения
9.5. Благодарности
9.6. Библиография
Chapter 10. Non-linear Micro-cracked Geomaterials: Anisotropic Damage and Coupling with Plastcity
Djimedo Kondo, Qizhi Zhu, Vincent Monchiet and  Jian-Fu Shao
Часть 10 Нелинейные микротрещин геоматериалы: Анизотропичное повреждение и спаривание с пластичностью
 Джимедо Кондо, Цижи Жу, Винсент Монши и Жан –Фу Шао
10.1. Введение
10.2. Анизотропичное эластичного повреждения модель с односторонними эффектами
10.2.1.Гомогенизация эластичной микротрещины среды
10.2.1.1. Микромеханика среды со случайной микроструктурой
10.2.1.2. Применение к микро трещин среде
10.2.2. Микротрещины закрытия кондиции и эволюция повреждения
10.2.2.1.Микротрещины закрытия эффекты и односторонние повреждения
10.2.3. Нелокальные микромеханики основанные модель повреждения
10.2.4. Применение модели
10.2.4.1. Неосевого напряжения тесты
10.2.4.2. Предсказания анизотропичной повреждения модели для теста Вильяма
10.2.4.3. Численные анализы Хасанзаде направления напряжения тест
10.3. Новая модель для податливых микротрещин материалов
10.3.1. Вводные наблюдения
10.3.2. Базовые концепции и методология предела анализа подхода
10.3.2.1. Представленный элемент объема с пустотами образующимися
10.3.2.2. Эшелби подобные поля скорости
10.3.3.Определение поверхности макроскопического урожая
10.3.3.1.Вопрос граничных условий
10.3.3.2. Принципы определения функции урожая
10.3.3.3. Закрытая форма выражения макроскопического урожая функции
10.3.4. Частный случай пенса формы трещины
10.4.Заключения
10.5.Благодарности
10.6. Приложения
10.7. Библиография
Chapter 11. Bifurcation in Granular Materials : A Multiscale Approach
Francois Nicot, Luc Sibille and Felix Darve
Часть 11. Бифуркации в гранулированных материалах: подход мультишкал
Франсуа Нико, Люк Сибиль и Феликс Дарве
11.1.Введение
11.2. Микроструктурное происхождение смывающейся второго порядка работы
11.2.1. Модель микронаправления
11.2.2.Микростуктурные выражения макроскопической второго порядка работы
11.2.3. От микро к макро второго порядка работе
11.2.4. Микромеханические анализы смывающейся второго порядка работы
11.3. Некоторые отметки по основным микро-макро отношениям для второго порядка работы
11.4. Заключения
11.5. Библиография
Chapter 12 . Direct Scale Transition Approach for Highly –filled Viscohyperelastic Particulate Composites: Computational Study
Carole Nadot-Martin, Marion Touboul, Andre Dragon and Alain Fanget
Часть 12. Прямой подход шкалы перехода для высоко наполненной вязкоэластичной частичной композитов: компьютерное учение
Кароль Надо- Мартин, Марион Тубол, Андрэ Драгон и Ален Фанге
12.1. Морфологический подход в конечного страдания рабочей рамке
12.1.1. Геометрическая схематизация
12.1.2. Проблема локализации-гомогенизации
12.1.2.Принципиальные инструменты и этапы
12.1.2.2. Решения процедуры
12.2. Оценка включающая КЭМ FEM/МА  конфронтации
12.2.1. Материальная геометрия, относительные представления
12.2.3. МА оценки  спаренные с КЭМ FEM результатами для гиперэластичных компонентов
12.2.4.Оценки включающие вязкогиперэластичное поведение матрицы
12.3. Заключения и проспекты
12.4. Библиография
Chapter 13. A Modified Incremental Homogenization Approach for Non-linear Behaviors of Heterogenous Cohesive Geomaterials
Ariane Abou-Chakra Guery, Fabrice Cormery, Jian-Fu Shao and Djimedo Kondo
Часть 13. Модифицированная реализация подхода гомогенизации для нелинейного поведения гетерогенных когезивных геоматериалов
Ариан Абу-Чакра Гюэри, Фабрис Комери, Жиан –Фу Шао и Джимедо Кондо
13.1. Введение
13.2. Экпериментальные наблюдения Галово-Оксфордиан агрилита поведения
13.2.1. Микроструктуры и минералогические композиции материала
13.2.2. Краткий итог макроскопического поведения материала
13.3. Подробная формулировка гомогенизированного конституционного отношения
13.3.1.Введение
13.3.2. Ограничения Хилла подробного, детального метода
13.3.3. Модификации Хилла подробного метода
13.4. Модифицированное локальных компонентов поведение
13.4.1. Эластопластичное поведение фазы глины
13.4.2. Эластичное одностороннего повреждения поведение фазы кальцита
13.5. Реализация и численное применение модели
13.5.1. Локальная интеграция микромеханической модели
13.5.2. Сравнение с единицей клетки (конечный элемент) вычисление
13.6. Калибровка и экспериментальное применение модифицированного реализации                микромеханической модели
13.7. Заключения
13.8. Благодарности
13.9 Библиография
Chapter 14. Meso- to Macro-scale Probability Aspects for Size Effects and Heterogenous Materials Failure
Jean –Baptiste Colliat, Martin Hautefeuille and Adnan Ibrahimbegovic
Часть 14. Мезо- к макрошкалы  вероятности аспекты для размера эффектов и гетерогенных материалов отказ
Жан-Баптист Коллиа, Мартан Хотфёйль и Аднан Ибрагимбекович
14.1. Введение
14.2. Мезошкалы определяющая модель
14.2.1. Структурные сетки и кинематические повышения
14.2.2. Оператор раскола решения для отказа  поверхности
14.2.3. Сравнение между структурной и неструктурной  сетки подходом
14.3. Вероятности аспекты неэластичного локализованного отказа для гетерогенных материалов
14.3.1. Мезошкалы геометрии описание
14.3.2. Стохастическая интеграция
14.4. Результаты вероятностной характеризации двуфазного материала
14.4.1.Определение SRVE размера
14.4.2 . Численные результаты и обсуждение
14.5. Моделирование эффекта размера
14.5.1. Случайные поля и  выражение Карюен-Лове
14.5.2. Эффект размера и корреляция длины
14.6. Заключения
14.7. Благодарности
14.8. Библиография
Chapter 15. Damage and Permeability in Quasy-brittle Materials: from Diffuse to Localized Properties
Gilles Pijauder-Cabot, Frederic Dufour and Marta Choinska
Часть  15. Повреждения и проходимость в квазихрупких материалах:
от диффузии к локализованным свойствами.
Жиль Пижадье-Кабо, Фредерик Дюфор и Марта Чуанска
15.1. Введение
15.2. Механическая проблема моделирование повреждения континуума
15.3. Проходимость закона сопоставления
15.3.1.Диффузные повреждения
15.3.2. Локализованные повреждения –трещины открытия против проходимости
15.3.3. Закон сопоставления
15.4. Вычисление открытия трещины в континуума повреждении вычислений
15.5. Структурные симуляции
15.5.1. Механическая проблема – Бразильский раскола тест
15.5.2. Эволюция появившейся проходимости
15.6. Заключения
15.7. Благодарности
15.8. Библиография
Chapter 16. A Multiscale Modeling of Granular Materials with Surface Energy Forces
Pierre-Yves Hicher and Ching S. Chang
Часть 16. Мульти шкалы моделирование гранулированных материалов с силами поверхностной энергии
Пьер Ив Ишер и Чинг С. Чанг
16.1. Введение
16.2. Модель стресса-страдания
16.2.1. Между частиц поведение
16.2.1.1. Эластичная часть
16.2.1.1. Пластичная часть
16.2.1.3.  Влияние блокировки, интерлокинг
16.2.1.4. Эластопластичное силы смещения отношение
16.2.2. Силы смещения отношение
16.2.2.1. Микро-макро отношения
16.2.2.2. Схемы вычисления
16.2.3. Итоги параметров
16.3. Результаты рассмотрения численной симуляции без сил поверхностной энергии
16.4. Гранулированный материал с силами поверхностной энергии: пример лунной почвы
16.4.1. Силы Ван дер Вальса
16.4.2. Трехосевые тесты с рассмотрением сил поверхностной энергии
16.5. Итоги и заключения
16. 6. Библиография
Chapter 17. Length Scales in Mechanics Granular Solids
Farhang Radjai
Часть 17. Шкалы длины в Механике Гранулированных твёрдых тел
Фарханг Раджай
17.1. Введение
17.2. Модели описание
17.3. Силы звеньев цепи
17.3.1. Плотности вероятности функции
17.3.2. Бимодальный характер передачи стресса
17.3.3. Пространственные корреляции
17.4.Смещения флуктуаций частиц
17.4.1. Униформы страдание и флуктуации
17.4.2. Шкалы зависимые pdfs
17.4.3. Пространственные корреляции
17.4.4. Грануленс, зернистость
17.5. Трения мобилизация
17.5.1. Критические контакты
17.5.2. Эволюция критических контактов
17.5.3. Пространственные корреляции
17.6. Заключение
17.7 Благодарности
17.8. Библиография
Лист авторов
Индекс
Предисловие
Несколько десятилетий механическое поведение материалов было описано феноменологическими конституционными отношениями в главной рабочей рамке теории эласто-вязко-пластичности. Эти подходы, когда комбинируют с численными методами (т.н. конечных элементов методы), должны вести к очень мощным инструментам – инструментам, которые симулируют границ переменной проблемы в резонном реалистичном способе, делающие их подходящими к реальным инженерным проблемам.
Обычно эта методология достигает некоторые пределы, первично из-за большого числа конституционных параметров должных быть определенными, текущая трудность в симуляции циклической нагрузки и ограничений  в предсказании пост отказа поведения. В признании этих основных ограничений метод основанный на микромеханике гетерогенного материала имеет энергичное развитие через так называемую технику гомогенизации. Молекулярная динамика также появилась как очень используемый инструмент в симуляции механического поведения материалов, чья внутренняя структура легка для идентификации.
Эта книга разовая и релевантная, адресуется последним достижениям, которые берут в учет микроструктуру материалов. Чтобы это завершить, некоторые части иллюстрируют, как возможно показать феноменологические конституционные отношения надлежащим слиянием микромеханических ингредиентов, пока другие предлагают строить макроскопические отношения, описывающие взаимодействия законы между  элементами зерен или частиц. Конечно эти взаимодействия законы обычно довольно просты –если слияния шкала должно выбрана- или надлежаще хорошо представлена. Для этих методов наиболее трудный шаг- вероятно построить локализации (или проекции) оператор, особенно потому что решение не уникально.
Другие части относятся к применению континуума основанном мультишкалы методам к металлическим материалам или геоматериалам. Новые мощные методологии для описания анизотропии на одиночном кристалле и на агрегатном уровне представлены.
Здесь также механических параметров очень немного, локальные законы (зерна уровня или одиночного кристалла уровня) совершенно просты и выведенные макроскопические свойства неожиданно реалистичны. Таким образом макроскопическое поведение, которое появляется в экспериментах как экстремально комплексное может быть описано с несколькими механическими ингредиентами. Следовательно макро-комплексность могла быть из-за большого числа элементов во взаимодействии или в текстуре и не из-за события микро-комплексности. Как в случае молекулярной динамики такие континуума основанные мульти-шкалы методы позволяют реального мира явления восстановить численно.
Некоторые особенные трудности появляющиеся в континуума механики рабочей рамке (т.н., описание внутренней длины) решены в молекулярной динамике  очень натуральным и элегантным способом.  С другой стороны подобная основная трудность взята с учетом свойственной геометрии для сборки элементов.
С уважением к практическим проблемам мы теперь понимаем, что это особенное в рассматриваемых материалах в их собственной окружающей среде. Из этой перспективы описывающей окружающей среды спаривание (как следствие хемо-термо-гидро- механических взаимодействий) будет более и более важно в будущем. Некоторые части рассматривают эти «мультифизики» спаривание.
Из инженерной перспективы отказы всегда особенный вопрос. Эффективная анализов рабочая рамка предложена теорией бифуркации. Сущность бифуркационого направления и роли совершенств и пертурбаций должна быть исследована с успехом.  Более того для несвязанных материалов (и все материалы, чье поведение зависит от значений давления, кажется ведут подобно этому) сущность области большого стресса бифуркаций или материала/ геометрии нестабильности имеет теперь представление фирмы теоретической, экспериментальной и численной базы. Различные отказа способы связаны с этими бифуркациями, и диффузия и местные отказы также обсуждаются в определенных частях.
Наконец другая интересная грань этой книги лежит в факте, что разнообразия твёрдого тела материалов рассмотрены, это совершенно редкое свойство сегодня. Читатели будут интересоваться в крест-связке методов и инструментов развиваемые описать макроскопические свойства металлических материалов и геоматериалов из их очень различных микроскопических внутренних структур.
Эта книга собрала вместе отобранные вместе отборные статьи из приглашенных лекторов представленных во время 1-го США-Франция cимпозиума проведенного 28-30 марта 2007 года в Университете Флорида в Шалимаре, Флорида. Это было организовано Джон «Роу» Родачки и Оана Казаку под патронажем Международного Центра Примененной Компьютерной Механики (ICACM)  с финансовой поддержкой Офиса Воздушных Сил Исследований, Менеджера программы Д. Фариба Фаро (грант  #FA 9550-07-1-0234) . Эту поддержку благодарим сердечно.
Феликс Дарве
Гренобль институт Технологии , Франция.
 Часть 1.
Учет для пластичного страдания гетерогенности в моделировании пластичности: микроструктуры основанные мультиламинатные подходы            
1.1. Введение.
Модели механического или физического поведения материалов наиболее эффективны, когда они микроструктуры основаны. Однако репродукция реальности не достижима и энергии сохранения также требует модели, что не становятся высоко болезненны от компьютерного пространства и времени. С целью соединения шкал в моделях, что стартуют из элементарных атомистических моделей симулировать всеобщий отклик, поиск компромисса между микроструктурными описаниями и результирующими симуляциями точности остаются для исследуемой области на длительное время.   Смарт, умная альтернатива  для пробега огромного «аб инисио» компьютерных вычислений -ожидать какие микроструктурные свойства делают реальный материал для макрошкалы кастрюли согласно  рассматриваемой ситуации.    
В специфических полях моделирования пластическое поведение гетерогенных нелинейных металлических материалов, эффективные свойства резонно приближены, когда одновременно рассмотрены 1) хорошее вроде описание развития  морфологии 2) справедливая гомогенизации схема согласно материала морфологии и типа поведения 3) релевантное микроструктурное моделирование интракристаллиновой пластичности. Во всех этих областях последние несколько декад имели значительное прибавление способного фона. С рассмотрением третьей точки дислокации динамики симуляции прояснили многие свойства,  что варят кристалла укрепления развитие со страданием [DEV 06], анизотропия которых один из наиболее комплексных вопросов еще не отвеченный, даже для простых кубических структур. Со взглядом на другие две области расширенные морфологические описания интеграцией n- точки статистики с увеличением n [TAL 97], также как исправленное первого или второго порядка развитие для лучшего описания не линейности фазы пластического поведения законов [PON 98] достигли отмеченных доходов в точности принятого поведения оценок или границ. Возможные дальнейшие исправления в глобальном моделировании поликристаллиновой пластичности обсуждены здесь, адрес указывает, что предпринято в комбинированной манере для описания морфологии,  гомогенизации рабочeй рамке и  поведения приближении в членах пластического потока критерия. Для теоретических деталей  симуляции примеров приведенных в этой книге смотри [FRA 07, FRA 08].
Для таких агрегатов что деформируют кристаллографического сдвига механизмами (т.е. касание, двойникование или также трансформации пластичности до изменений объема), мы спрашиваем первый вопрос, гранул описание, что обычно, конвекционно используется, спаривается с альтернативным описанием в терминах границ и подграниц зерен ориентации распределения. Во-вторых, между эволюцией подграниц пространственной расстановкой и сдвига активностью в материале  связка сделана на основе мультиламинатного подхода пластичной гетерогенности. Так мультиламинатный подход, описать текущую морфологию страдающего материала, врублен, действует по схеме гомогенизации, что может быть предпочтительно использован. Сравнивая с включения основанном моделированием, дальнейшие преимущества указывают даже, как наиболее натуральный перенос к эквивалентному гомогенному супер-кристаллу, что справедлив, включая одиночный пластический потенциал для целого агрегата, или возможность учета для зерен размера эффекта. Секция 1.2. иллюстрирует некоторую поддержку к подгранице основанной морфологии описания поликристаллической пластичности, секция 1.3. вводит рассмотрение мультиламинатного представления и секция 1.4. подводит итог предлагаемой моделирования рабочей рамке, что показывает результаты.
1.2. Поликристаллическая морфология в членах зерен и субзерен границ.
1.2.1. Некоторые доказательства кусочно- подобной регулярности для зерен границ.
Когда смотришь на микрографические или нанографические картины металлических агрегатов, много доказательств, что зерна – многогранные области, чьи границы граней результат из разработанных циклов. Рисунок 1.1. показывает два примера, что варят агрегаты микрометрических (слева) или нанометрических (справа) зерен. По топологической земле, это также очевидно, что если, идеально говоря, все зерна были выпуклы и гладки- т.е. округленные края – некоторая матричная фаза,  смывающаяся объема доля, должна быть учтена для уверенного дела длительности и компактности. Обычно часть зерен может быть не выпуклыми многогранниками, некоторые имеют четкие края и широко используемое приложение эллипсоидальной зерен формы определенно круглой единицы. Далее общее пространство картирования крепко получено с одиночного зерна формой, если частично многогранники идентифицированы в стереологии. Связанные разряда-2 корреляции функции между парами зерен центральной точки (А-А, А-В, А-С, В-В, В-С, и т.д.) - в главной разности для форм, что не подходящи, и они не уменьшают к одиночной эллипсоидальной симметрии, ни к набору различной эллипсоидальной симметрии, как обсуждено в [FRA 04a] . Эти реальные пределы к включению основанным агрегатным подходам.

Рисунок 1.1. ТЕМ микроструктуры (cлева) микрометрические зерна в стали (любезно К.Жу LPMTM) и (справа) ультра- точная зернами альфа сталь (любезность Г . Дирраса, LPMTM)
Альтернативный тип описания морфологии, что появился,- из рассмотрения ориентации распределения зерен границ. Не вдаваясь в подробности здесь, из еще открытых анализов области границ сети [SHU 05] или совпадающих мест решетки [COU 05], особенные свойства этих агрегатных структур примечательны: кристаллографические ориентации граней границ таких многогранных зерен в основном ориентированны параллельно к напряженным плоскостям или закрывают их.
1.2.2. Характеристика пластичного страдания из-за подзерен границ
Теперь когда металлический агрегат с по крайней мере микрометрическими зернами пластически страдающий, зерен субструктура вставлена прогрессивно, что  относится к сдвига механизму, что оперирует в рассматриваемой кристаллографической решетке. Рисунок 1.2. показывает пример в случае касания активности. Согласно Кульсмана- Вильсдорфа LEDS теории [KUL 02] дислокации клетка субструктур может быть анализирована в «дислокации ковров», параллельных плоскости касания, и «дислокации стен», более или менее ортогональных к индивидуального касания направлению или некоторые значения ориентации со взглядом на некоторые различные касания направления. Фактически, как пример показанный на рисунке 1.2. для отрезков растяжение + сдвиг со взглядом на некоторые направления, дислокации подструктура в агрегате, что страдает известного страдания путем, может быть проанализирована со взглядом на ориентацию плоскостей максимума решенного сдвига стресса (MRSS МРСС) закрыто относящимся к наиболее активным близким плоскостям касания. Самые из стен дислокации клетки появляются либо параллельно, либо нормально следам MRSS МРСС плоскостей. Двухфазная морфология (включая   клетки без дислокации в матрице плотности стен) часто права быть принятой первого порядка главного описания этих субструктур. Обычно их также лучше представляют типичными многогранниками клеток, чем гладкими включениями. К этой субзерен шкале так же хорошо как зерна шкале, даже если здесь области выпуклость более принятое упрощение, эллипсоидальные аппроксимации еще грубое описание реальности.

Рисунок 1.2. TEM микроструктуры IF стали после 10%   растяжения-сжатия в катящемся направлении следующем 20% сдвигу вдоль определенного направления SD (любезность В.Ричарда LPMTM). Одиночная (отн. Двойной) линия отмечает след MRSS плоскости в изменении длины (Относительно сдвига).
В настоящее время другие доказательства металлической пластичности –что внутри-кристалина подструктура (в достаточно больших зернах позволить это) быстро одолеет начальную гранулы структуру в членах специфического вклада в урожай поверхности или укрепления развития.  Фактически эффективные модели для симуляций формирования металла должны интегрировать то, после каждого страдания пути изменения, предыдущая дислокация подструктуры стерта делать комнату для новой стройки подструктуры, что - характеристика текущего пути [HAD 06].
Примечательно что ультра прекрасные зерен агрегаты   делают не легкую деформацию такими    внутрикристаллина умножения   касания процессами. Эти нанометрические структуры более крепки чем микрометрические структуры и также более неподатливы. На этой зерна шкале где зерна границы «матрица» несет большую часть деформации, многофазные подходы  включения/ матрицы типа можно адаптировать с малой пластичностью в зерна интерьере. Однако в членах подграниц  основанном подходе, как  спрашивается здесь, эта разница более прямо соединена с нехваткой внутригранул пластичной активности через нехватку относительно пластичного- страдания- долга подграниц [CUB 07].               
1.3. Подграницы и многоламинатная структура для гетерогенной пластичности.
Рисунок 1.3. иллюстрирует относительные вклады зерен границ структуры и подзерна структуру, что является из-за пластичного страдания и развивается с этим.

Рисунок 1.3. TEM микроструктура что похожа на обе стороны зерна границы (стрелки) в катанной и отожженной   стали (любезность Ф. Грегори и А. Вотье, LPMTM)               
Как наблюдается  однажды пластическое страдание вставлено, зерна структура становится второй в членах границ плотности, сравнимой с клетки подструктурой, и становится ничтожной при достаточно большом пластическом страдании. Последствие это то, что любое моделирование агрегата поведения, что основано на зерна формы эволюции, будет терять главный вклад быстрых изменений внутри кристаллина клеточной структуры. Однако моделирование внутригранул гетерогенности без чрезмерной комплексности трудная задача. По крайней мере главное свойство, быть учтённой  конечно, их  интимное соединение к касанию (или главному сдвигу) активности.
Один недавно открытый способ учесть для клетки субструктуры развития сперва до зерна развития, среди различных подходов, что должны быть развиты с той целью,  - обращаться с агрегатом как развивающейся многоламинатной структурой, с ламината ориентацией плотно соединенной с пластического страдания механизмами конституционных кристаллов, здесь названные сдвига механизмами. Полные анализы возможного описания пластического страдания в металлических кристаллах в членах оборота многоламинатных структур выполнены Ортиз и сотрудниками, когда предварительные многоламинатные модели для поликристаллиновой пластичности также были предложены ими [ORT 99] или другими группами [ELO 00]. Если ламинатные структуры  уместны для пластичного страдания из-за такого сдвига механизмов, трудности возникают, когда попытка следовать успешной отрасли, что ожидается умножать, когда пластическое страдание увеличивается или когда будущий  уверять индивидуальные совместимости условия между ламината ориентациями. Описания, что обходят эти трудности, из статистических рассмотрений например, будут более легко управляемы.
Подход предложенный в [FRA 07,FRA 08] для одиночного и поликристаллического идет в этом направлении. Основной дополнительный пункт, что используется здесь, -, что не только делает мультиламинатный подход наполненным хорошо с пластическим страданием, что дает результаты из сдвижения механизмов, но они также сопоставимы со структуры описанием в членах подграницы ориентации распределения и его развитием.
1.3.1. Эффективный модули тензор и Грина оператор многоламинатных структур.
Много- или разряда –n ламината структуры были показаны [MIL 88] иметь простые соединения с гранулы структурами в специальном случае двухфазных композитов сделанных соединенной матрицы (m ) погружением  второй включенной фазы(i), что полностью характеризует (область формы или распределения) эллипсоидальными объемами V tmv «страдания Грина оператора» 1. Выражение эффективного текущего тангенса модули  в последнем случае в членах фазы модули :
[1.1]
Эффективный связанный модули разряда –n ламината структуры с успешными ламинатными слоями (;1,;2,…..,;n) нормального направления получен неоднократно

1 Для «страдания модифицированного Грина оператора интеграл связан с бесконечной средой (m)»
применением выражения [1.1]. Для альтернативных слоев матрица фазы и разряда – (n-1) ламината выражение [1.1] применено с , вместо tmv , оператором  разряда k, что стоит для оператора Грина ;k-ориентированных ламинатных слоев в среде (m). Рекуррентная формула читает:
[1.2]
Это дает для модули тензора разряда –n ламината (;1,;2,…,;n) форму:
, [1.3]
где fi(n)=;ni=1fi  сумма включенной фазы (i), пока (с f0=1) мы имеем набор .
Выражение [1.3] где  расширяется над ламината оператором , похоже на выражение [1.1] в котором Грина оператор для V формы можно длительно расширить в его  полярное разложение над единицей сферы R3 как [FRA 04b]:
[1.4]
В выражении [1.4] , и  , пока базовые операторы  -ламината операторы нормальны ко всем ; направлениям в R3.
Выражение не зависит по отобранной иерархии в успешные ламинации k. Он только зависит от  их ориентаций ;k и от весов ;k ;0, ,что окончательно применяется на каждой из них. Наоборот, мультиламинат иерархический в случаях нескольких включенных фаз  или различных погруженных  матриц. Пусть обобщенное уравнение [1.1] специально для подходящих включений V из N различных модули Ci и концентрации fi погруженных в матрицу смытого  объема фракции . Это дает главную форму, что итеративно обеспечит самосодержащую (sc сс) оценку для такого определения агрегатной структуры, например, к итерации p и с tV/p-1 зависимой по модули  к итерации (p-1):
[1.5]
Если мы распространим уравнение [1.3] как уравнение [1.5] распространяет уравнение [1.1], мы можем получить  само консистентный, растворенный  тип оценки для агрегата, сборки с N плоскостями работающими как разряда- n ламинатная структура, где  и fi(n) из [1.3] подставлена с tV/p-1 и fi в [1.5] и что (sc сс) тип оценок не зависит от ламинации иерархии, подчинения. Так перемещая, включения основы эллипсоидальное описание некоторой агрегатной структуры описанием разряда –n ламината в основном итожит для перемещения продолжительно взвешенного распределения ламинатного, покрытия Грина оператора (над единицей сферы в R3) дискретной взвешенной суммой n их. Во включения основанном описании эллипсоидальная анизотропия веса функции V повинуется , где  широта характеристики эллипсоида V в ; направлении (изотропический вес функции  ) . Похоже в мульти направлении взято  описать (подходящую) многогранника области с n различно ориентированными граней типами, большой вес в уравнении [1.3] будет соответствовать направлению нормали к плотно упакованным параллельным границам. Любая дискретная сумма (k- ориентированная) ламината операторов часть продолжительного распределения ламината операторов над R3. Эти значения, что происходят из гранул морфологии характеризуются длительно ламинатным оператора распределением к дискретно мультиламинатной структуре (что будет указывать пластическую странность в представленном случае) базово подытоженной подпрессовыванием части длительного распределения и адаптации части, что остается. Представленная веса функция и ее развитие с пластическим страданием будут затем проявляться из рассматриваемой «границ основанной» морфологии описания для агрегата сваренного (природа сдвига механизмов, связи ориентации распределение границ и под границ, отношение пластического страдания, зерен размера влияние и др.)
Давайте предположим например, что некоторые фиксированные или текущие подструктуры (G) представлены дискретного веса функцией ,  где ;=;k,  и  иначе. Взяв каждый член   как вероятность собрания зерен или под-зерен границ нормально к ; направлению, этого веса функция представляет некоторую статистически определенную анизотропию ориентации распределения зерен или под-зерен границ граней в агрегате (G). Для примера зерен форма V в (G) описана , мы может ожидать оборота (роста) подструктуры влияние с пластическим страданием, так что представленный Грина оператор t‹G› формально имеет текущую   ;- градуса веса функцию :
[1.6]
В уравнении [1.6], q представляет зависимость функции ; с зерна размером эффектов и другими морфологическими свойствами быть учтёнными для того, Ep (относ. Wp) - пластического страдания (отн. вращения) тензор и ;-g(;(I)) представляет распределение всей сдвига страдания по всем сдвига механизмам агрегата, быть определёнными в секции 1.4.Функция ; - а приори возрастания функция от нуля к единице с пластическим страданием, ставка которой зависит от параметров q. Доминантная характеристика уравнения [1.6] – разность пластического страдания зависимости между двумя вкладами: значения зерна формы, что назначены оставаться эллипсоидальными и идентичными для всех зерен,  могут только быть протянуты и вращаться согласно материала всеобщей пластической деформации. Это ограничивает эволюцию веса функции ;V(;). В сравнении ;(G)(;) -характеристика веса функция разряда n ламината субструктуры, где каждый индивидуальный член может быть независимо связан с одним индивидуальным сдвигом амплитуды, что связано с одного сдвига (касания или двойникования или трансформации) плоскости (или направления) типом в агрегате, наиболее активная из этих плоскостей (отн. направления) будет ожидаться участвовать доминантно.2 Функция ; прогрессивно (быстро) изменяет отклика оператор из зерна (включения основанном) оператора  определенного согласно уравнению [1.4] (и для агрегата случая, используя само-консистентную аппроксимацию), «границ- основанную» мультиламинат формы  определенной используя веса функцию такую как в уравнении [1.3]. Такую эволюцию можно ввести в любой гомогенизации рабочей рамке, что будет найдено релевантно уже, так же как с любым предпочтительным пластического потока законом для материала и любого поведения законы для фаз. Рассматривая гомогенизации рабочую рамку, важное свойство мультиламинатных структур можно теперь использовать для справедливости значительных упрощений.
2 Для пользы упрощения, это легче только рассмотреть ламинатную параллельно сдвига плоскостям, чья плотность или вероятность может быть легко связана к в –плоскости сдвига активности.
1.3.2. Мультиламинатные структуры, детали и кусочно подобная однородная пластичность.
Стресс и страдания поля униформны почти везде в слоях  любых (иерархичных, подчиненных или нет) мультиламинатных структурах. Здесь «почти везде» значит, что гетерогенности могут оставаться закрытыми для плоских границ между слоями, но с неконечными объема долями. Эти свойства также делают (по крайней мере статистически) пластическое страдания поле в агрегата кусочноподобной однородности.  Благодаря этим свойствам мы можем использовать  прогрессивно упрощение TFA (Анализов трансформации поля) рабочей рамки [DVO 92].
Таким образом на одной руке такие (либо иерархические либо нет) мультиламинатные описания агрегатной морфологии справедливы в членах зерен или подзерен границ  распределения оборота со  сдвига механизмами и на другой руке их требующее применения использование TFA как гомогенизации рабочей рамки. Это теперь сформализовано, когда стартует из контекста аффинной гомогенизации приближения которого, TFA –специальный случай. Как TFA приспосабливает несовместимости чисто эластично между различно страдания  областями, аффинное сравнение материала для каждой нелинейной фазы –эластичный режим фазы самой с их индивидуальной пластическим страданием как гомогенным собственным страданием. В следующем, это TFA –HML моделирование ( где “HML” стоит для «иерархического мультиламината») ассоциировано, согласно [FRA 07, FRA 08] с глобальной регуляризацией закона Шмидта как простой пластичный потенциал для агрегата и с локальной кристаллизации укрепления законом, что согласно с экспериментальными данными.
1.4. Применение поликристаллической пластичности с аффинным приближением
1.4.1. Конституционные  отношения.
Мы отмечаем ;;(I) значение тотального страдания над субобластью  ;(I) фазы I, и ;;(I) (;;(I))=;;(I) соответствуют значению стресса. Аффинное приближение нелинейных законов –результаты из первого порядка Тейлора расширения:

где  и:
,
Звездочки индикаторы, что в каждом гомогенном нелинейном суб-домене, области ;(I) мы переносим к линейному сравнения материалу модули C*;(I)  и к гомогенному собственному страданию ;*;(I) . Несмотря на специфические свойства конечной ставки независимого кристалла пластичности [FRA 91], стресса ;;(I) в под области ;(I) можно написать так
[1.7]
Стресса концентрация и влияния тензоры (B*;(I),B*I) и  зависят от текущего эффективного тангенса эластичного-пластичного модули  материала согласно само-консистентной схеме3. Это как хорошо затем, хорошо чем для операторов   и , что комбинируют интра- и интер – гранулярным гетерогенности эффектам4. Для простого пластичного потенциала F, пластичного потока условия будут читать F=0 и dF=0. Мы берем простой пластичный потенциал для агрегата глобально регуляризованной Шмида формы:
, [1.8]
где в каждой области, домене ;(I) n- набор основного сдвига механизмов g(;(I)) рассмотрены. Мы отметим  текущий примененный перерешенный сдвига стресс по механизму g(;(I)) определенном сдвига направлением  и сдвига плоскостью единицы нормали . Страдания укрепления закон для кристаллов взят из классической формы для касания (что может быть нелокальным):
3
4 В уравнении [1.7] мы имеем набор  , ,
, [1.9]
в членах значения сдвига подробностей над агрегатом .
Здесь мы упрощаем касания механизмы. Пластического потока условия dF=0 в таком случае становится:
[1.10]
Подробный макроскопический стресс d; против страдания dE отношения читает:
, [1.11]

Где   эффективное собственное страдание главной аффинной аппроксимации, пока со взглядом на пластическое страдание часть ,  и . Дальнейшее развитие отсюда может быть преследуемо в главном аффинном контексте. Конечно предупредив возможное материала разделение в пластически гомогенные области, мы теперь включаем шаг в TFA специфическую рабочую рамку, для которой фазы собственное страдание –фазы однородное пластическое страдание,  такая что dE*=dEP и все предыдущие звездочки исчезают. Так решая для полного примененного подробного стресса тензора d;, тангенс пластического тензора согласия LP в dEP=LP:d; берет форму:
[1.12]
c 
В уравнении [1.13] эффективные укрепления матрицы члены могут пошагово написаны как:
[1.14]
Эти два члена разложения результат в связанного разложения модулуса H0; в уравнении [1.12] как H0;=H0(h0)+H0(RFR) где H0(RFR)=H0(TFA):
[1.15]
Характером TFA,  оператор – в главном порядке эластичности модули, которое дает H0(TFA);;/3>>H0(h) для «стандарт» зерна размеров где H0(h);;/300. Это не случай  для ультра прекрасно  озерненного поликристалла где H0(h);H0(TFA);;/3.  влияния тензор –взвешенная сумма ламината операторов, что комбинируют сплошной и                дискретный   вклады между гранулярным и интрагранулярным                гетерогенности уровнями соответственно. Согласно уравнению [1.7], их вовлекает влияния операторы , что    читают
FIJ=HI;IJ-fJLIJ; F;(I);(I)=H;(I);;(I);(I)-f;(I)L;(I);(I) . [1.16]
Операторы HI и LIJ получены из стресса Грина оператора t`i=Ceff-Ceff:ti:Ceff подходящего  эллипсоидального зерна как:
HI=HtI=-t`i:BtI=-BI:t`i;LIJ=HI:BtJ=BI:HJ. [1.17]
Для изотропичной эластичности LIJ=HI=HJ=-t`i и . Связанные операторы ti и t`i для эллипсоида V в высшем выражении можно переместить оператором t‹G› и t`‹G› веса функцией данной уравнением [1.6]. Похожее отношение может быть выведено для F;(I);(I) либо рассмотрением под-гранул эллиптическим разделением или рассмотрением  мульти-ламинатным типом структуры в зерне, что урожай оператора формы уравнения [1.3] вместо ti. Для набора основных операторов связанных с плоскостями активного сдвига механизмами, точные методы определения относительных весов из их сдвига активности еще неотвеченный вопрос. Простая форма может быть инкрементально выведена в пропорции касания инкремента , используя текущие коэффициенты .               
1.4.2. Фундаментальные свойства для мультиламинатного моделирования пластичности.
Мы теперь пришли к ключевому пункту для предлагаемого «под-  границы- основанной» мультиламинатного подхода агрегатной структуры. Давайте отметим сперва, что когда все ламинаты ориентированы параллельно идентичным кристаллографическим плоскостям, все ламинаты Грина операторов идентичны до вращения и появления эластичной симметрии могут быть изотропичны для в –плане изотропичных ламинатов. Более особенно для Грина операторов все ламинаты в , что либо параллельны сдвига плоскости сдвига механизму или нормальны к его сдвига направлению, продукт Грина оператора со Шмида тензором этих механизмов показывает быть нулем [FRA 07].  Мы называем такие сдвига механизмы ортогональными механизмами. Последовательно для эволюции закона операторы (используя ;-градус веса функцию такую как уравнение [1.6]) что уменьшает или подавляет не-смывающийся вклад базового Грина операторов (т.е. тех не связанных с ортогональными механизмами), TFA приспособление может быть уменьшено к ничтожному уровню спаренному к физическому укрепления члену H0(h). Пока нижнее этого H0(h) члена больше, конституционные зерна - TFA приспособление, что нуждается быть уменьшенным более для больших зерен, чем для маленьких единиц, чтобы возможно стать ничтожными. Физически позволенная сумма уменьшения  в членах границ и подграниц анализов будет зависеть от рассматриваемого материала.
Так, когда связь мультиламинатных подходов с TFA рабочей рамкой, это возможно для правильной ориентации, и иерархически порядочна, если надо, ламинат уменьшит хорошо известную наджёсткость, что получается из TFA.  Необходимые условия для этого уменьшения, что базовые ламинаты особенно «ортогональны» с наиболее активными сдвига механизмами последовательны с описанием агрегата морфологией в членах значения зерна или домена, области формы. Подграницы обычно ориентированы ортогонально со сдвига механизмами, в смысле  «ортогональности» определены здесь,- подходящее допущение. Подграницы имеют большее влияние, когда зерна больше, которое значения больше эластичной договоренности части для малого зерна размеров. Суперпозиция некоторых возможных ламинации структур, с возможно различными события вероятностями, чисто дает статистическую природу для такого подхода. В дальнейшем благодаря суперпозиции некоторые возможные решения или «моды, способы» и к спариванию,  используя глобально регуляризованный Шмида потока закон, этот тип моделирования- родитель, для микроструктуры основанной поликристаллической пластичности, к не- униформы TFA (NTFA) модели предлагаемой в [MIC 03]. 
1.5.Заключение.
Из этих обсуждений возможно вообразить различные моделирования коротко изложенные, что могут выгадать из обсужденных свойств, рассматривая мультиламинатные структуры связанные с кристаллографическими сдвига механизмами и подграниц основанные морфологии описания. Коротко изложенные будут различаться согласно сдвига механизмам вовлеченым, физическому укрепления закону рассмотренному и потока критерию. Случаи имеют объяснения и обсуждения: интра- и интер- гранулярная иерархическая мультиламинатная пластичность для касания [FRA 07], зерен размера зависимая всеобщая  HML поликристаллическая пластичность для касания  и двойникования [FRA 08]. Хотя некоторые трудности могут оставаться скрытыми в моделирования деталях, эти HML под-зерен-основанные подходы оборота морфологии поликристаллиновых агрегатов под пластичным страданием, здесь спарены и использованы, но ограничены, включения основанным моделированием.
1.5. Библиография.


Часть2.
 Дискретная дислокации динамика: Принципы и недавние применения.
2.1. Дискретной дислокации динамика как стяжка в мультишкалы моделировании.
В кристаллиновых материалах дислокация – линейный дефект, который представляет постоянные отклонения атомов от их оригинальной кристаллографической периодичности. Дислокации движение в касания системах кристалла дает рассвет макроскопической пластической деформации. Дислокации –таким образом макроскопическая карьера кристаллической пластичности.
Моделирование пластичности кристаллиновых материалов вовлекает понимание природы дислокаций, которое определяется на атомистической шкале и также оценивает деформации поведение на макроскопической шкале. Много моделей были развиты понять пластичность металлов. Пока свойства пластичности изменялись немного в размере и времени, модели также изменялись широко в длине и времени шкалах как нарисовано на рисунке 2.1. Не в порядке моделей, наибольшее внимание дано в этой части  Молекулярной Динамике (MD МД), Дислокации Динамике (ДД DD) и Механике Сплошной Среды (МСС CM) с специальными примерами DD симуляций.
Атомы  основной составляющий, строительный элемент MD симуляций. Атомы взаимодействуют с каждым другим через межатомные потенциалы. Временная траектория набора атомов под внешней нагрузкой симулирована минимизацией тотальной потенциальной энергией системы.   Отклонение позиции атомов от решетки мест, сайтов неявно представляет дислокации. Атомистической шкалы топология линии дислокации может таким образом исследоваться  MD. MD симуляции служат больше в изучении физических свойств одиночной или нескольких линий дислокации  из-за ограничений симуляции размера (<(200 нм)3). 
В ДД DD методах дислокации линии представлены явно. Каждая линия дислокации моделируется как эластичное включение погружённое в эластичную среду. Коллективное развитие большого числа взаимодействующих дислокаций под внешней нагрузкой симулировано используя эластичные свойства кристалла. Ядра свойства дислокаций такие как линейная мобильность, соединения сопротивление и др., вводные параметры ДД DD симуляций, что выведены из МД MD симуляций. ДД DD симуляции дают доступ к дислокации копированию, но также к механическому отклику симулируемого объема (<(50 мкм)3) .      
               
сканирущий электронный микроскоп, перехода электронный микроскоп, оптический микроскоп, высокого разрешения электронный микроскоп, глаз,
гомогенизации техника , кристаллическая пластичность, поликристалл
Рисунок 2.1. Типичный объема размер и физическое время покрытое тремя моделями посвященными кристаллической пластичности.
На высшей шкале МСС CM изучает поведение континуума среды используя набор уравнений и границ условий. Это широкий ранг численных методов, который может решить уравнения. Конечная разность и конечного элемента методы два широких поднабора такой техники. В этих методах континуума домен, область интереса подраздел в дискретных клетках или элементах, в которых переменные определенных физических количеств определены решением систем уравнений. Идеально МСС CM должна использовать набор конституционных уравнений, что точно учитывают для физики происхождения пластичности которая, в случае кристаллиновых материалов закрыто относится к дислокации динамике. Так ДД DD симуляции могут очевидно подавать МСС CM модели вычислением конституционных уравнений. В МСС CM максимальный размер симулированного объема не ограничен, но вместо этого вставлен пространственным разрешением связанным с проблемы процедурами. Обычно каждая симуляция клетки должна быть хотя бы  представителем континуума среды в согласии с конституционными уравнениями.
Как введено кратно выше МД MD, ДД DD и МСС CM имеет их свои характеристики длины и времени шкалы. Рисунок 2.1. показывает такие ранги длины и времени шкал для каждого метода. Как выполнение каждого численного метода исправлено, объем и физическое время, которое может быть симулировано увеличивается (вверху и справа домена, области ограничение каждого метода на рисунке 2.1.). Недавно длины и времени шкалы трех методов начали перекрываться.  Это дает большой стимул изменить информацию между различными моделями в задаче построить единое описание кристаллической пластичности, которая будет идеальна способной предсказать поведение материала из фундаментальных свойств атомов.
2.2. Принципы Дискретной Динамики Дислокаций.
Концепция 3D дискретной дислокации симуляций была придумана Л. Кубиным, И. Бречетом и Г.Канова в начале 1990 [KUB 92], [DEV 92].                                Первый код Micromegas был простой моделью для которой линии дислокации ГЦК fcc простого кристалла подразделен на наборы края                или кручения дислокации сегментов погруженные в континуума среду как нарисовано на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2. (a)  Края скручивания дискретизация линий дислокации; (б) внутренние сегменты индуцированные краем и скручивания сегментами.
Каждый дислокации сегмент генерирует длинного ранга эластичное стресса поле в пределах цельного симулированного образца. В случае изотропической эластичности  аналитические выражения для внутреннего стресса генерируемые конечным сегментом  были представлены Дж.К.М. Ли [LI 64] и Р. ДеВит [DeWIT 67] . Брать в учет анизотропию эластичной среды- больший вызов в членах калькуляции времени пока нет явного отношения. Мы можем обычно использовать линейные интегралы предложенные Дж.Вилис [WIL70]
Используя линейной эластичности свойства эффективный стресс примененный на каждой дислокации оценивается на средней точке каждого сегмента как суперпозиция внутреннего стресса индуцированная всеми сегментами в симулируемом объеме и примененном стрессе вложенный нагрузкой. Они индуцированы силами данными Пича – Колера уравнением
[2.1]
где ; единичный вектор линейного направления и b Бюргерса вектор дислокации сегмента. В ДД DD симуляциях наибольшее время ЦПУ CPU посвящено оценке уравнения [2.1],  пока это подразумевает N2  вычислений внутреннего стресса тензора и число сегментов N непрерывно увеличивается со временем. Так много усилий должно быть перенесено в оптимизации вычислений внутренних стрессов. Как пример Булатов и др. недавно предложил  быстрого мультиполя разложение ведущее к N операциям [CAI 06]. Эта оптимизация может еще быть обеспечена использованием параллельных калькуляций, которые теперь общая опция в многих ДД DD кодах [SCH 99] [SHI 06][ARS 07].
Одна сила известна в каждом дислокации сегменте, сегменты смещены согласно мобильности функции, которая зависит от свойств материала. В случае ГЦК FCC структуры  скорость линейная функция скольжения компоненты силы  тогда как в случае материалов с большой долиной Пайерлса, типа ОЦК BCC для примера, скорость скрученного сегмента дана термически активированным отношением используя Больцмана отношение [TAN 98][CHA06].
Типичный выход ДД DD симуляций очевидно дислокации микроструктуры, но также больше статистических данных таких как дислокации плотности, кумулятивное сдвига страдание, сохраненная энергия, локальные стрессы и т.д. Недавно методы были развиты в порядке вычислить актуальную форму любых частей кристаллически деформированных дислокациями как иллюстрировано на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. Пример калькуляции актуальной формы кристалла деформированного дислокации активностью. Случай меди одиночного   кристалла нагруженного в неосевом растяжении вдоль (112) оси.
Из некоторых точек зрения ДД DD симуляции могут казаться как идеальный инструмент заполнить промежуток между атомистическими симуляциями и континуума моделированием. Эти свойства объясняются большим распространением этого моделирования во время прошедших нескольких лет. Сегодня более чем дюжина дискретных дислокаций динамики кодов в мире [ZBI98] [SCH 99] [GHO 00] [WEY 02] [BUL06] посвящены различным кристаллографическим структурам, но они все основаны на похожих ингредиентах. Исследования представленных после этого все выполнены используя код Tridis развитый в Гренобле Франция
2.3.Пример перехода шкалы : от ДД DD к Континуум механике CM
2.3.1.Введение в модель плотности дислокации
Развитие конституционных уравнений для кристаллической пластичности еще вызов сегодня. Задача- всегда выводить набор законов поведения, включая наибольшую физику вовлеченную во время пластической деформации. В случае кристаллиновых материалов эти вовлечения учитываются для дислокации свойств на   континуума шкале.
В этой секции мы представляем кристаллической пластичности модель, для которой дислокации плотности различных касания систем –внутренние переменные. Три уравнения необходимы связать стресс с пластическим страданием. Мы должны отметить, что каждый закон выведен из физических рассмотрений движений дислокации.
2.3.1.1.Конституционные уравнения модели основанной на дислокации кристаллической пластичности
Пластическое поведение изучалось с начала 1960 [TEO 75]. Давайте рассмотрим движение одиночной дислокации скольжения на касания системе s и погруженного в гетерогенное стресса поле. Допустим, что дислокации движение управляется выступами, препятствиями (как обычно принято для fcc структур), эти выступы можно классифицировать в две категории:
(i) выступы индуцированные длинного ранга стрессами ;; как например дислокации сохраненные на границах или вокруг препятствий
(ii) выступы индуцированные короткого ранга стресса полями, записанные как ;* , типа в случае леса дислокаций или примесей.
;; не зависит от температуры тогда как ;* термически активированный. Следуя этому различию, мы можем определить типичное пространственное развитие для стресса компонентов как нарисовано на Рис.2.4.

Рисунок 2.4. Разложение стресса поля чувствующееся   движением дислокации при данной температуре.
Когда рассматривают только изотропическое укрепление, пространственное развитие атермального стресса похоже на периодическую функцию с нулем средним и большой длиной волны. Когда дислокация встречается с выступом, которое действует в пределах некоторых атомических дистанций к дислокации позиции,   необходим дополнительный стресс ;* пройти выступ. Для каждого касания системы s, перерешенный сдвига стресс необходимый для дислокации движения
[2.2]
Когда время для дислокации полета ничтожно в сравнении с ожидаемым временем в фронте выступа, мы можем написать следующее выражение для дислокации скорости [TEO 76]:
[2.3]
Где ;D Дебая частота, b Бюргерса вектора магнитуда, ;G0 и ;V* активации энергия и активации объем соответственно.
Средняя скорость из целой мобильной дислокации плотности данной касания системы получена используя Орована уравнение:
[2.4]
Когда эффективный перерешенный сдвига стресс скромен (менее 70% значения при 0 K , мы можем пренебрегать обратной вероятностью, что sinh в уравнении [2.4] переставлен негативной экспоненциальной частью. Перемещая ;*(s)  на (;;(s)-;(s)), первого порядка приближение в членах ;*s /;;s  конечно дает [RAU 93]:
[2.5]
Уравнение –потока закон написанный под классической формой степенного отношения между страдания ставкой и нормализованным стрессом.
Давайте кратко повторим допущения необходимые представить это уравнение. Уравнение применимо для скромных значений ;*(s). Более того первого порядка приближение подразумевает что ;*(s) <<;;(s). Эти условия полностью выполнимы для  fcc металлов в пределах ранга температуры ниже чем 0.3Tf (так называемая холодного режима деформация). Параметры  и n представлены из среднего выполненного для вех мобильных дислокаций в пределах данного касания системы  так, что три макроскопические переменные ;*(s)  , ;G0 и ;V* -теперь псевдофеноменологические константы хотя основная физика еще там. Другими словами эти значения, что мы должны идентифицировать, переменные тех параметров.
Страдания укрепление определяется увеличением атермального стресса с внутренними переменными, т.е. дислокации плотностями. Так отношения ведено через Мекинга и Кока уравнениями [MEC 81]:
[2.6]
Где ;F леса дислокации плотность и ; коэффициент близкий к 0,3. Эти уравнения можно расколоть более 12 касания системами fcc кристаллами, используя матрицу, которая отвечает касания системе взаимодействий.

Закрытая форма системы конституционных уравнений                полученная написанием развития дислокации плотности с деформацией. Отношения могут быть объяснены из статистического рассмотрения дислокации продукции и аннигиляции [MEC 81][ESS 79].
[2.8]
Это уравнение вовлекает хранения член со значением свободного пути формы  и аннигиляции члена основанного дистанцией yc=;R. Уравнение [2.7] подразумевает, что дислокации плотности будут насыщать продукции член равный аннигиляции члену ведущему к насыщению изотропичного укрепления.
Наконец кристаллической пластичности модель определена набором трех уравнений [2.5], [2.7] и [2.8]. Их можно переписать в классикой форме калькуляции вывода и введения     данного [2.8]. Это дает
[2.9]
Отметьте что эти конституционные уравнения только применимы для монотонного нагружения, пока они не учитывают любые кинематические укрепления.
2.3.1.2.Параметры идентификации
ДД модель представленная в секции 2.2 хорошо адаптирована идентифицировать коэффициенты вовлеченные в эту дислокации плотности основанную модель кристаллической пластичности. Например любой asu коэффициент укрепления закона может быть определенным симуляции взаимодействием касания систем (s) и (u) и измерением сдвига стресса примененного системами (s) необходимыми усилить его, пересечь  популяцию дислокации леса системы (u) плотности ;(u) [FIV 97]. Следуя идее мы можем идентифицировать 12*12 коэффициенты матрицы (которая ограничена 5 независимыми переменными зависящими от 3 D геометрии системы взаимодействия). Недавно Деванкр и др. [DEV 06] нашли следующие переменные для меди одиночного кристалла: a1coli=0.625±0.044; a3=0.137±0.014; a1copla;a1ortho=0.0454±0.003.
Похоже возможно  измерить переменные коэффициенты из ДД кривых данных развития дислокации плотности различных касания систем с пластической деформацией [FIV 98] [TAB 98].
Для меди мы нашли типичную переменную K=32 для значения свободного пути для аннигиляции дистанции.
2.3.1.3.Применение к симуляции меди
Конституционные уравнения легко введены в конечного элемента кода такого как ABAQUS использует User Material routines. Используя параметры идентифицированные ДД DD симуляциями, мы можем теперь симулировать вязкопластичное поведение любого одиночного кристалла под данной нагрузкой. Отметим, что поликристаллиновые материалы могут также быть симулированными обеспечением значения свободного пути вовлеченного в уравнении [2.8],  модифицированного в порядке учета для дистанции между интеграции Гаусса точки и  границы зерна.
Рисунок 2.5. показывает симуляции меди кристалла нагрузки в растяжении вдоль (125) направления.

Рисунок 2.5. Симуляция растяжения теста вдоль (125).
Изначально Шмида фактора высочайшее в системе B4:(111) . Это отвечает уровню I, где укрепления ставка слаба, пока только одиночное касание системы активировано. Если вращения позволяют в захватах как показано в деформации сетки начерченной на рисунке 2.5., Шмида фактор изменяется с пластической деформацией кумулятивной в системе B4. Эти активации вторая касания система C1: . Дислокации активность в системе B4- затем модифицирована леса дислокациями системы C1 так что укрепления ставка более произносима. Это уровень II режима. Наконец как только две дислокации плотности закрыты к насыщению переменной, стресс становится насыщать то что укрепления ставка  уменьшает в так называемом уровне III.
2.3.1.4.Взятое в учет кинематическое укрепление
Усталости симуляции выполнены в ДД (см. секцию 2.4) показывают эффект дипольных взаимодействий по механическому отклику одиночного кристалла меди подвергнутой циклической нагрузке. Это дало информацию по интра-гранулярному укреплению и более точно по кинематической части укрепления, т.е. укрепления стресса которое может перекрыть когда нагрузка обратна. Эта секция представляет модель, что можно репродуцировать наиболее экспериментальные свойства усталости [DEP08]. Модель основана на диполя взаимодействии и может красиво укомплектовать набор конституционных уравнений представленных в секции 2.3.1. Это может быть показано из дислокации теории [HIR82] , [FRI64] что диполя высота h имеет  сопротивление s написанное как
[2.10]
Дистанция h легко оценивается из ДД симуляций. Рисунок 2.6а показывает типичную дислокацию микроструктуры в пределах зерна циклически загруженной в чистом сдвиге с пластическим страданием амплитудой ;;p=3.10-3. Распределение диполя высоты доложено на рисунке 2.6.b.

Рисунок 2.6.Тонкая фольга взятая из ДД усталости симуляции и распределения диполя высоты.
Допустим что высота распределения следует Гауссиана функции, эксперименты показывают, что значение переменной оборачивается как  [CAT05] так что дистанция уменьшается когда дислокации плотность увеличивается. Соответствующее диполю сопротивление может теперь быть вычисленной используя уравнение как показано на рисунке 2.7. для двух переменных дислокации плотности в ДД симуляции.

Рисунок 2.7. Распределение диполя высоты и соответствующее диполю  сопротивление вычисленное для двух переменных дислокации плотности.
Для пользы упрощения мы допустим, что сопротивление также заполняет Гауссиана функцию f(s) определенную средней переменной  и стандартным отклонением ;s:
; [2.11]
Как показано в уравнении [2.11], средняя переменная наложенная, воображаемая быть пропорциональной дислокации плотности через классическое отношение предложенное Муграби [MUG75]. Более того эксперименты показывают, что стандартное отклонение пропорционально средней переменной использующей постоянный коэффициент ; [CAT05]. Поведение было недавно подтверждено DEPRESS используя ДД DD симуляции [DEP 04].
Локально стресс может дестабилизировать слабейший диполь который может затем вложен в сдвига страдания ставку как:
[2.12]
Где X длинный ранг внутреннего стресса индуцированный страдания градиентом. Смещения индуцированные смещениями на сетку локализованы на рисунке 2.6. точками вне этих градиентов. Соответствующая деформированная сетка начерчена на рисунке 2.8. Три отметки указывают, что экстра дислокации локализованы между отметками 1 и 2 и также между отметками 2 и 3.

Диполярная стены область, тонкая часть , соседи сдвига полос
Рисунок 2.8. Данные экстра дислокаций страдания градиентов.
Эти избытки дислокации (часто называемые геометрически необходимыми дислокациями) всегда прикреплены к диполям. Так их индуцируют обратный стресс по источнику из которого они были испущены. Этот кинематический обратный стресс можно грубо оценить как стресс индуцированный эквивалентный дислокации цикл радиуса  с сети Бюргерса вектором Nb. Число циклов N прямо связано с разностью между локальной деформацией дипольной локации и макроскопическим страданием ;: N=(2R/b)(;-;s). Так обратный стресс X дан как , где A геометрический параметр зависящий от актуальной геометрии зерен и дислокации циклов. Перемещая N зависимостью над сдвига страданием, мы окончательно получаем:
[2.13]
ДД симуляции показывают, что  геометрический коэффициент M закрыт к константе M;2. Уравнение [2.11] может теперь быть введенным в уравнение [2.12] с задачей определить новый недостатка закон учёта для кинематического укрепления.
Конституционная модель основанная на уравнении [2.11],[2.12], [2.13] может быть укомплектована эволюции законом [2.8] так что, она может быть использована вывести механический отклик зёрен подвергнутых циклической нагрузке. Типичный отклик дан на рисунке 2.9. вместе с экспериментальными результатами Муграби [MUG 78]. Численные результаты получены с M=2 и ;=0.8.

Рисунок 2.9.(а) Предсказанные гистерезиса циклы для данной вложенной пластического страдания амплитуде  и циклу формы полученные для различных вложенных страдания амплитуд; (б) соответствующие эксперименты опубликованные Муграби
Предложенная модель в хорошем согласии с экспериментальными измерениями Муграби  для эволюции гистерезса при данном страдании амплитуде и также для формы цикло обогащённого при насыщении для различных страдания амплитуд. Завершить эту часть кинематического укрепления, давайте повторим, что предложенная модель только добавляет 2 константы M и ; в оригинальную изотропичную укрепления модель. Здесь простая скалярная модель представлена, но она мет легко быть написана в тензора способом и детализирована в конечных элементах  рассмотреть любые комплексные пути нагрузки.
2.4. Пример ДД анализа : симуляции инициации трещины в усталости
2.4.1.Случай одиночной фазы AISI 31 GL
На мощности заводах, электростанциях AISI 316L нержавеющая сталь обычно используется во внутренних частях охлаждения систем. Когда подвергается термической усталости, как в случае подсоединения холодной жидкости в цепи, трансгранулярная трещина наблюдается. С задачей изучить трещины формирование, эксперимент CYNTHIA (CYclade Termique par Induction desciers Циклы термические для вызова   в  стали) был сохранен Комиссариатом Атомной Энергии (CEA/SRMA). Идеальный эксперимент содержит циклически тепло трубок использующих высокой частоты индукцию катушки тогда как часть трубы постоянно охлаждена потоками воды. Трансмиссии Электронный Микроскоп  (TEM) наблюдает поверхности зерна расположенные на внешней части усталости поведения этого типа материала [MUG 92],[LI 94], [OBR94]. Атомный Силовой Микроскоп (AFM) наблюдает зерна поверхность показывающую что циклы, преследующие касания полосы ведут к развитию экструзии, вытеснения и интрузии, вторжения рельефа на поверхности [MAN02], [MAN 03], что может вызвать трещины.
Много ДД симуляций с различными условиями нагрузки амплитуды и зерен размеров были выполнены со взглядом объяснить формации преследуемых, присущих касания полос [DEP 04b] и отношения с поверхностью рельефа и зарождением первой трещины [DEP 06]. Как показано на рисунке 2.10, симуляции объем соответствует изолированным зернам с одной свободной поверхностью. Примененная нагрузка предполагается гомогенной в пределах всего зерна и зерна границ выполненных как непроницаемые препятствия движению дислокации.  Для всех симуляций пластического страдания амплитуда вложена и только две  скольжения, гладкие системы разделены некоторым Бюргерса вектором рассмотренным. Начальная дислокации конфигурация содержит одиночное дислокации источник, чья характеристика дана TEM наблюдениями выполненными CYTHIA образцом: Бюргерса вектор близко выпрямлен с вектором нормали поверхности. Оба чистых сдвига и двойного гладкой нагрузки условий были тестированы.

Нагрузка, свободная поверхность, Вычисленная сеть, зерна граница, начальный Франка-Рида источник, Интенсивная касания полоса, первичная система
Рисунок 2.10. Начальная конфигурация смещения симуляции и типичная дислокации микроструктура полученная после 25 циклов выполненных с наложенной пластического страдания амплитудой.
Было найдено, что пересечение-касания механизм играет решающую роль в организации дислокации микроструктуры [DEP 04b]. Во- первых он позволяет смещению, дислокации вторгнуться в целое зерно ведущее к  выгодной гомогенизации в пределах симулируемого объема пластичности. Затем численные реакции линий дислокации на двух взаимодействующих касания системах ведут к формированию интенсивных касания полос как показано на рисунке 2.10. ДД симуляции объясняют в деталях механизм по происхождению этих типичных смещения организаций. После нескольких циклов края диполи формируют в так называемой  вены структуре и когда смещения из пересечения- касания систем сдвига этих зон, смещения линии рекомбинируют, пересобираются и формируют комплексную микроструктуру содержащую каналы, запутанные зоны и сваи, пики- вверх дислокации как нарисовано на рисунке 2.11. ниже.

мобильные дислокации, вытеснение, мультиполюсы, каналы, путаницы
Рисунок 2.11. Схематичное описание преследуемые касания полосы как наблюдается в ДД симуляциях.
Смещения в пределах каналов содержат мультиполюса сделанные призматичные циклы и хеликоидальные, наросшие смещения. Плотность мультиполюсов продолжительно возрастает с циклами сохраняя больше и больше энергии в полосе. Отметим, что мобильность этих дислокаций ограничена к цилиндру определенному цикла размером и вектором Бюргерса. Под однородного стресса полем мультиполюса не могут двигаться. Напротив когда подвержено стресса градиенту, их можно гладить в канале и возможно обогатить поверхность где промежуточные циклы печатают языка подобные вытеснения и вакансии циклы покидают удар в поверхности (вторжения) как показано на рисунке 2.11.
Согласованные анализы поверхности рельефа были выполнены, когда вложенное пластическое страдание в максимуме. Показано, что вся пластичность локализована на поверхности между касания полосами и матрицей. На этом месте локализованы высокие мобильные дислокации, которые совершенно согласны вложенной пластичности . Отметим, что такие дислокации трудно наблюдать в микроскоп  пока наблюдения обычно выполненные пост мортем и только несколько экспериментов выводят ин ситу [LEP 85]. Когда эти дислокации движутся, они индуцируют стресса градиент по мультиполюсам , которые ведут их вне объема.

Обратимые касания линии, необратимые, вытеснение
Рисунок 2.12. Развитие поверхности  рельефа с циклами. Вычисления выполнены по сетке указанной на рисунке 2.10.
Трещины зарождение было изучено калькуляцией энергии и стресса статуса в полосах. Как обсуждено раннее мультиполюсы хранят энергию в полосе с циклами. Конечно ДД симуляции показывают, что стресса   компонент необходим открыть трещину, насыщенную после нескольких циклов. Значения, что трещина может не инициировать внутри полосы, но даже на поверхности, где стресс концентрирован вытеснения /вторжения формой поверхности рельефа. Из симуляции компании выполненной с различными переменными пластического страдания амплитуды, значения страдания, зерна размера, зерна формы и стресса трехосности, возможно вывести эффект этих параметров по усталой жизни [DEP 06]. Найдено, что вытеснения рост –линейная функция страдания ранга и зерна размера и развивается как квадратного корня функция числа циклов.  Когда сравнивают эти предсказания вытеснения роста ставки с экспериментальными измерениями [MAN 03], [MAN 02] мы можем отметить хорошее согласие для нескольких циклов и несоответствие для большого числа циклов. Разница может быть присуща диффузии точечных дефектов, что могут изменить квадратного корня отношения в линейную форму.   Несмотря на эти ограничения предсказания выведенные из ДД симуляций большого интереса пока эксперименты показывают, что трещина всегда инициирует очень рано в циклическом  процессе, т.е. где ДД предсказания  релевантны, справедливы.
2.5.Заключения
Эта часть представляет два учения раскручивающие дискретную динамику дислокации симуляций. В первом случае ДД DD код был использован идентифицировать конституционные уравнения  сплошной среды модели кристаллической пластичности. Модель была основана на дислокации плотностей, количества были калькулированы ДД DD симуляциями и комплекта вязкопластичная  модель FCC кристалла взятого в учет изотропическим и кинематическим укреплением предлагалась.
Второй пример касается учению трещины инициации в усталости, где ДД DD симуляции объясняются формацией дислокации микроструктур в типичной присущей касания полосе наблюдаемой в экспериментах. Показано, что вытеснение напечатанное на поверхности зерен под стрессом в усталости можно получить с дислокации движениями.  Не нуждается в учёте для неконсервативных механизмов таких как диффузия точечных дефектов. Наконец предсказание усталости жизни получено через симуляции компанию ДД DD симуляций.
Во многих случаях ДД DD симуляции нуждаются в информации из низшей шкалы с задачей определить локальные правила, что не могут полностью выполнены эластичной теорией. Например, дислокация мобильности в BCC материалах относится к ядру дислокаций. Так информация может быть получена из атомных симуляций [CHA 06]. Затем ДД DD симуляции можно использовать для анализа коллективных эффектов большой популяции дислокаций и заполнить пропасть между атомистическим и континуума шкалами.
2.6.Библиография





Charter 3. Multiscale Modeling of Large Strain Phenomena in Polycrystalline Metals.
A New Constitutive Update Scheme for Rate-dependent Crystal Plasticity in FEM
Kaan INAL, Raj. K. MISHRA

Часть 3.
Моделирование Мультишкалы Явления Большого Страдания в Поликристаллиновых Металлах.
Новые Конституционные Современные Схемы  для Ставки –Зависимой Пластичности Кристалла в КЭМ.
Каан Инал, Радж. К. Мишра

Современные тенденции в металле используют требуемый легкий вес и вторичного цикла металлы, чтобы, ложа в растущие машинные применения, заменить сталь –рабочую лошадь структурный материал 20 века. В отличии от стали, легкие металлы такие как алюминий, магнезий, титан и другие сплавы ожидаются выполнять с ограничением их внутренних свойств, чтобы быть ценой и качеством компетентными.  Эти рассмотрения   требуют чтобы машинные материалы проектировались и использовались оптимально, используя мультидисциплинарный подход происходящий из материальной физики и химической термодинамики к металлургическим процессам и твёрдого тела механике.  Многодисциплинарный подход является многих длин шкалой подходом от атомов до зерен агрегатов.
Мечта разрабатываемых погружённых моделей, чтобы принесенные вместе теория, эксперимент и вычисление симулировать свойства материалов многих длин шкал и продвинуть машинной шкалы решения едино от атомных и электронных структур  входящих, еще далека. В иерархическом многих шкал подходе, показанном схематически на рисунке 3.1. выход от низкой длины шкал для симуляций с квантовой механикой, молекулярной динамикой, кинетическим Монте Карло и дискретной дислокации динамики начинает переходить к симуляциям  на высших шкалах длины для ситуаций, где экспериментальные данные не  способны или тяжелы для генерации. Авансы в теории, микроструктурные количества смарт алгоритмы  и быстрые компьютеры делают возможным выполнять погружённые симуляции на континуума  шкале с кристальной пластичностью (микроструктуры шкалы модели). Дискуссии  о нюансах моделирования на шкалах длины ниже микроструктурного уровня, включая применения этих моделей против экспериментов на каждой длины шкалы, вне рассмотрения этой части. В последующем мы представляем численную формулировку, что можно значительно упростить текущую схему погружения кристаллической  пластичности модель в конечных элементах (КЭ) и возможна широкослойная реализация кристаллической пластичности в коммерчески применимых КЭ кодах показать их применимость к симуляциям формирования металла.

Рисунок 3.1. Схема показывающая иерархическую схему в многих шкал формирования ситуации. Квантовая Механика (электронная) и Молекулярная Динамика (атомная) могут симулировать решающее взаимодействие с одним электроном, когда Дислокации Динамика (мезошкала) может симулировать многие дислокации  и их взаимодействия.  Кристаллической пластичности (микроструктурная шкала) модель может комбинировать дислокации решающее взаимодействие со структурами зерен и распределениями частиц показать урожай и локализацию в погружённом континууме шкалы симуляции тела панелей для автомобилей.
3.1. Осуществление поликристаллической пластичности в анализе конечных элементов.
Благодаря комплексности и цене,  операции формирования металла должны прийти к связи больше и больше по моделям завершить проектирование, отбор материала и спецификацию процессов. Модели используемые в формировании металла формируются типично обращаясь к континуума шкалы моделям с входом механических свойств материала. Механические свойства поликристаллиновых металлов зависят от многих атрибутов его микроструктуры и рассматриваемые усилия должны сделать в учении микромеханики на этой шкале длины к погружённой микрошкалы моделям в макрошкалы модели. Микрошкалы исследования показывают что кристаллографическое касание и факторы, что влияние касания процессы -наиболее важны для симуляции деформации или дизайна материала для оптимального выполнения.  Структура кристалла и химическая композиция сплава  аффект, чувствительно влияет на критические разрешенные стрессы сдвига (CRSS КРСС), чтобы активировать касание. Удвоение   похоже  аффект структурой и композициями. Различные   зерна в поликристаллических материалах раскручивают их ориентацию различно. Текстура развиваемая во время формирования процессов -  макроскопическая среднее в таких не случайных ориентациях. Многие металла формирования процессы такие как рисование, экструзия, катание и листового металла формирование продуцируется  текстурированным материалом. Текстуры развиваемые в одном или многих этих формирования процессах   имеют большое влияние на последующие процессы фабрикации  так же, как качество продуктов таких, как пластичная анизотропия из-за факта, что текстура ведет к значительно  большим страданиям [KOC 74].
Текстура с сопротивлением материала систем касания, действует как характеристика состояния материала. Использование теории поликристаллической пластичности в процессах симуляций может быть рассмотрено как пример примененного состояния изменяемых моделей для конституционного описания материалов. Эволюция статуса описывается с уравнениями, что описывают переориентацию   кристаллической решётки и изменяет в системах касания  сопротивление введенное деформациями. Одна область исследований в микромеханике имеет представление отношений (реалистичных, физически основанные предположения) между этими двумя типами моделей.
Когда пластическая деформация – долг одиночно кристаллографического касания, описание  деформации одиночных кристаллов имело хорошее определение в модели предложенной    [ASA85]. Модель описывающая конституционное поведение поликристалла может быть выведена из одиночного кристалла деформации моделей включая микроструктуры, анизотропические свойства одиночного кристалла, микромеханизм (касание и/или  сдвоенный механизм) и решетки вращение вызванное касанием или сдваиванием. Реализация  поликристаллической пластичности в симуляциях конечного элемента падает в две  широкие категории. Одна категория включает симуляции в которых каждый элемент содержит приближение к распределению кристалла ориентаций. Ориентации в каждого элемента  может насчитывать как несколько, так только несколько десятков кристаллов, или может быть  тысячами. Вторая категория, которая также называется «конечный элемент на зерно»  (КЭ/зерно), включает симуляции, что имеют одну ориентацию с каждым конечным элементом.
В первой категории, наиболее широко используется теория для связывания макроскопичного (континуума) и микроскопичного (кристаллического),  деформация – модель Тейлора которая   приравнивает деформацию каждого кристалла с макроскопической оценкой. Это должно быть показано адекватно оценить агрегатный механический отклик, если зерна близко равноосны и страдания аккумулированные над нагрузки путями не велики так что локализация  с зернами не происходит. Обычно Тейлора предположение не учитывает зерен взаимодействие и эффекты зерна морфологий (размеры зерна, формы зерна границы зерен). В дополнение, даже хотя коллективно зерна в агрегате следуют макроскопической   деформации, индивидуальные зерна  больше подобны показанным откликам, что различает  от значений.  Тяжело работающие зерна становятся искаженными и различные комбинации зерен деформации способы начинают активироваться, прямо аффектируя субсеканты, последовательно  текстуры развитие и анизотропии потока и урожая свойства. Ограничения Тейлора приближения переходят в КЭ/зерна модель, постепенно развивая [INA 08], где единица клетки подходит, комбинируя с плоским стрессом предположениями используя электронного обратного рассеяния дифракции (EBSD ЭОРД) карту как вход в реализованную текстуру, зерна морфологию  и зерна взаимодействие в симуляциях формы способности.    Единица клетки макроскопически   конечно велика и содержит достаточно большое число   зерен, что определяет представленный элемент объёма (RVE ПЭО).
Операции формирования металла трехмерная проблема (3D). 3D реализация ставки зависимая кристаллической пластичности модели в КЭ кодах используют явную или неявную временную интеграцию. Конституционная современность  в решении, что используя явное время интеграции использует классическую неявную схему интеграции. Следуя реализации   неявного кода используя схему ставки тангенса     [PEI 83], [MAN 92], [CUI93], [KAL 92] и  [RAP 04] имеют дальнейшее развитие метода, что требует инверсии квадратной матрицы, чья сторона – число систем касания в кристаллите. Эти реализации позволяют для больших шагов времени и коротких времен вычислений; они также требуют вывод матрицы материала тангенсов жёсткости (Якобиана материала). Конституционная современность была выведена используя второго порядка схемы Ранге –Кутта в [RAP 04]. Матрица Якобиана материала чувствительно влияет на ставку конвергенции глобальных уравнений равновесия и его вывод в  тяжелом.
Альтернативный подход к определению материала Якобиана- явное время интеграции уравнений момента. Здесь некондиционно стабильный шаг времени управляется Куранта- Фридриха-Леви шагом времени [BEL 00], который управляется размером элемента и скоростью звука в материале. Последовательно  достигнуть больших деформаций в материале, долгие времена вычислений требуют,  которые не постоянны со способностью параллельных вычислений больших шкал. Ставки зависимая теория кристаллической пластичности со схемой Ранге- Кутта была реализована в коде КЭМ [ZIC 94] используя явное время интеграции. Простейшая конституционная реализация в явном коде КЭ – долг [KUC 06], кто используют ставки зависимый степенной закон предложенный  [CUI 93] и перестресс подход, что просто реализовать, но требует некоторой итерации до перестресса критерия удовлетворяющего всем системам касания. Много комплексных схем таких как гомотопии продолжения метода использованного  [LI 08].
Главный фокус в этих исследованиях включает численное осуществление кристаллической пластичности основанной конституционной модели предложенной [ASA 85] к КЭМ FEM применениям. Мы представляем новую конституционную современную схему для ставки зависимой кристаллической пластичности для использования в явном коде конечного элемента; в частности LS-DYNA явную программу конечного элемента [HAL 98]. Она основана на форвард схеме интеграции Эйлера  рабочей рамки кристаллической пластичности доложенной [PEI 83]. Мы показываем, что результаты полученные используя эти новые формулировки спариваемы со второго порядка Ранге Кутта схемой реализованной в явном коде конечного элемента. Наша схема делает круговорот инверсии  матрицы (ставки тангенса схема), итерации (перестресс и другие схемы)  или вывод комплексных формул ( Схемы Ранге Кутта).
3.2. Кинематика и конституционные рабочие рамки.          
Модель поликристаллической пластичности сформулированная  [ASA85] и использованная [INA 02]  служат в этом анализе. Тотальная деформация кристаллита взята быть  результатом двух отчётливых физических механизмов: кристаллографического касания должное движению дислокации на активных системах касания и эластичные искажения решетки. С FCC  ГЦК  кристалла пластичная деформация происходит кристаллографическим касанием по 12 {111} ‹110›  системам касания где касания панели {111} кристаллографические плоскости с нормалью m, и  ‹110›  указания- указания сдвига с вектором касания s.
Согласно градиент тензор деформации F написан как:
F=F*Fp ,      [3.1]
где     Fp содержит соло кристаллографические касания вдоль специфических систем касания, пока эластичные деформации и любые жёсткого тела вращения воплощенные в Fp. Из уравнения [3.1], пространственный градиент скорости можно написать как
[3.2]
где L*  и Lp эластичные и пластичные части пространственного градиента скорости соответственно.
Беря симметричные и антисимметричные части свыше отношений ведущих к эластичным и пластичным ставкам страдания D* и Dp , так называемый пластичный спин Wp ассоциированный с жёсткой решетки вращением
D=D*+Dp,  W=W*+ Wp [3.3]
Вектора s(;) и m(;) рассматривают как вектора решетки, так  что их протяжение и вращение
s*(;) =F* s(;) и m*(;) = m(;)F*-1  [3.4]
Введением следующих симметричных и уклон симметричных тензоров для каждой системы касания ;,
[3.5]
[3.6]

пластичная ставка страдания и спин для кристалла могут быть соответственно написаны как
, 
где  ставка сдвига системы касания ;.
Эластичное конституционное уравнение для кристалла определяется как
[3.8]
где ставка Жумана тензора стресса Кирхгофа основанного на вращениях решетки, и L0 тензор эластичных модули.  Эти модули основаны на анизотропичных эластичных константах ГЦК FCC кристаллов и таким образом показывает свойственную кубическую симметрию.
С целью выразить конституционные уравнения [3.8] в членах ставок Жумана  стресса Коши  основанные на касания континуума W, мы вводим второго порядка тензор R(;)  для каждой системы касания следующим
R(;)=L0P(;)+W(;);-;W(;) [3.9]
Используя [3.3]-[3.7] и [3.9] конституционное уравнение можно переписать в форме
[3.10]
где вязкопластичный тип ставки стресса определенный .
Ставки касания подставленные в уравнения выше предполагаются быть управляемыми следующими выражениями степенного закона
.
Здесь  ссылки ставка сдвига взятая быть той же для всех систем касания, ;(;)= P(;):;   перерешенный стресс сдвига для системы касания ;, g(;)  харднесс, крепкость,  и m индекс чувствительности ставки-страдания. Функция g(;)  характеризует текущий статус страдания-укрепленного всех систем касания. Ставка увеличения функции  определенная законом укрепления:
[3.12]
где g(;)(0) начальная крепкость беря быть константой ;0 для каждой системы касания и h(;;)  укрепления модули. Форма этих модули
h(;;)= q(;;) h(;) (не суммируя по ;)  [3.13]
где h(;)  одиночного касания укрепления ставка, и q(;;)  - матрица описывающая скрытое поведение укрепления для кристаллита. Для деталей матрицы укрепления, h(;;), и матрицы описывающей скрытое поведение укрепления для кристаллита q(;;) , смотри [PEI 81].
Много исследователей (e.g., [ASA 85]) просто беря каждый g(;;) , чтобы зависить от аккумулированных сумм ;a  касаний; т.е.,
g(;)= g(;)(;a) ,  [3.14]
Касания укрепление взято быть функцией ;a, тотальное касание по всем системам [PEI 83]:

где h0 укрепления константа и g0 и gs системы изначальное и насыщения сдвига сопротивление.
3.3. Форвард алгоритм Эйлера.
В этом разделе предлагается форвард алгоритм Эйлера представленный ( см. [TUG 04] для кинематики кристаллической теории пластичности). Основная идея этого алгоритма использовать ставки касания за систему касания к времени t(n)  чтобы вычислить количества за время t(n+1). В шаге 4 ниже, например, используется вычислить пластический спин, пластическую часть пластической ставки страдания и R тензор. Подобно в шаге 5 и 6 мы используем пластические ставки касания из t(n) вычислить касания пластичность связывающую количества за время t(n+1).
(1) Подпрограмма входит с F(n+1), F(n), P(n);, W(n);, ;(n), и ;t известны.
(2) Вычисление деформации и спина изменений для t(n+1)
, 
, (3)Приближение ставок касания сдвига для t(n+1) используя статус стресса и P(n);  ко времени t(n).
 ,
(4) Используя касания сдвиг ставки вычислить ставку пластического страдания и пластический спин.
,                (5) Вычисление вязко-пластичного стресса ставки, Жумана ставки Коши стресса для t(n+1) и осовремененный Коши стресс.
                ,  (6) Вычисление пластической порции деформации градиента, F* и W*


  ,

(7) Вычисление exp (W* (n+1);t)Q(n), где Q вращает оси кристалла в рабочую систему и осовременивает используя метод [RAP 04] используя Эйлера- Родригеса формулу и осовременить ориентацию матрицы используя Q(n+1) =(W* (n+1);t)Q(n).
(8) Вычисление углов Эйлера; вращение модулуса кристаллита и векторов решетки и вычисление P(;) и W(;) тензоров
Q(n+1);;1(n+1), ;(n+1) ;2(n+1), L0(n+1)=Q(n+1)Q(n+1)L0(0)QT(n+1)QT(n+1)
s(;)*(n+1)=F*(n+1)s(;) , m(;)*(n+1)=m(;)F*-1(n+1) ,


(9) Вычисление полного касания, укрепления и осовременивание сдвига сопротивлений систем касания.
,

(10) Выход подпрограммы.
3.4. Применение форвард алгоритма Эйлера.
В этом разделе мы применяем наш форвард алгоритм Эйлера  выносом одиночного элемента, который представляет одиночный кристалл, вычисления. Одиночного элемента вычисления вынесенные  [RAP 04] были повторены используя форвард схему Эйлера и результаты спарены с теми полученными ими. Модели параметры использованы в симуляциях кристаллической пластичности были также взяты из предыдущих ссылок  и показаны в Таблице 3.1. Ставка загрузки была 0.001/s для всех прогонов.

Таблица 3.1. Параметры материалов использованные в симуляциях.
Рисунок 3.2 представляет результаты одиночного элемента вычислений, где загрузки указания были не осевые и в [100] и   направлениях. Результаты из форвард алгоритма Эйлера показаны как  сплошные линии и эти результаты спарены с теми  [RAP 04]  для определенного направления загрузки. Последний результат показан прерывистой линией. Это можно рассмотреть, что явная схема форвард Эйлера использована в явном коде дающая результаты, что идентичны тем полученным со второго  порядка схемы Рунге-Кутта использованной в явном коде. Включение урожая для [100] направления происходит когда     и это в согласии с жёсткой теорией пластичности Тейлора, Бишопа и Хилла [HOS 93].   В случае результатов   нагрузки, урожай происходит при , который также в согласии с теорией. Это ценность указывает, что в вычислениях q=1 и скрытое укрепление не играет роли для этих направлений нагрузки.


Рисунок 3.2. Кривые стресса страдания для неосевой нагрузки в [001] и [-111] направлениях. Прерывистые линии –кривые из статьи [RAP 04].
Рисунок 3.3. представляет одиночного элемента вычисления для неосевой нагрузки  направления, где поперечные и нормальные направления были  и , соответственно. Здесь, эффект касания системы вращения и подобные эффекты скрытого укрепления протестированы.  Отмечено что параметр q контролирует магнитуду скрытого укрепления; q=1 отвечает изотропному укреплению, когда q=1.4 отвечает скрытому укреплению. Не относясь к случаю укрепления, направление нагрузки сравниваемое здесь неотъемлимо нестабильно и касания системы вращают взять кристалл к стабильной ориентации. Стресса-страдания кривые для этих направлений для q=1 и q=1.4  показаны на рисунке 3.3, показывающие что скрытое укрепление играет значительную роль в решении формы кривой стресса-страдания.

Истинное страдание
Рисунок 3.3. Стресса страдания кривые для неосевой нагрузки в [-123] направлении для q=1 , и q=1.4. Прерывистые линии – кривые из статьи [RAP 04].
Касания на касании системах (111)  и  [011]  против глобального страдания кристаллита и вращения оси нагрузки в форме обратного полюса рисунка представленного на рисунках 3.4a,b. Для случая q=1 касание активировано на первой системе (111)  и стресса-страдания отклик стабилен до глобального страдания 15%. На уровне деформации касание на второй или сопряженной системе [011] теперь активировано и ось нагрузки теперь на границе и первый треугольник вдоль связывающей линии [001]- на рисунке 3.4.b. Ставка аккумуляции касания на сформированной системе уменьшается как может быть показано на графике касания страданий на рисунке 3.4а. Эта ставка также ниже когда спаривается со ставкой касания на первой схеме. С дальнейшей аккумуляцией касания нагрузки направление склоняется к, имеет тенденцию навстречу стабильной  ориентации.
В случае скрытого укрепления q=1.4, стресса –страдания кривые помечены различно. Касание на первой системе активировано как предыдущее, но активация касания на второй системе выполнено как последовательность скрытого укрепления. Причины направления нагрузки проскочить связывающую линию (обсуждение скрытого укрепления проскакивания явления было представлено [ANA 96] и не будет обсуждаться здесь). На уровне деформации касание на второй системе активировано и ориентации направления нагрузки грубо параллельны связывающей линии, склоняющейся, имеющие тенденцию к стабильной ориентации. Для q=1 и q=1.4 стресса-страдания кривые из нашей форвард Эйлера схемы в хорошем согласии с теми [RAP 04]. Для графика показанного на рисунке 3.4а в интересах ясности мы не показываем кривые из последней работы, но согласие снова великолепно.

Рисунок 3.4. (а) Аккумулированное пластическое касание на активных касания системах; (b) вращения плоскостей касания показывающие скрытое укрепление проскакивающее для q=1.4
3.5. Шаг времени вытекающий в форвард Эйлера схеме.
Шаг времени в явном коде для некондиционной стабильности дан хорошо известным критерием Куранта- Фридрих-Леви, который можно определить как
                [3.16]
где ;X мера размера элемента ,  CI     скорость звука, SF фактор сохранения. Переменная  SF обычно между 0.9-0.95 для моделей  феноменологической пластичности. Полное обращение      CFL критерия можно найти в [BEL00].
Из уравнения [3.7],    - нуль до активации касания по системе ;. От нуля  изменяется к ненулевой переменной по урожаю. В дальнейшем когда пластический поток хорошо развит  уменьшается. Как следствие управляющие уравнения кристаллической пластичности жёстки (смотри также [LIN 05]). В контраст к моделям феноменологической пластичности из-за жёсткости ставки зависимой пластичности модели требуют меньшее SF для стабильного вычисления. Также следует что модели параметры и ставка нагрузки аффектируют SF. В этом разделе проблемы рассматривающие эффект SF и кристаллической модели пластичности параметры по полученному стабильному вычислению присланы.
Рисунок 3.5. представляет пластические порции кривой стресса- страдания из одиночного элемента вычислений, где нагрузки направление было [100]. Мы сперва рассмотрим случай (а) и (b). В этих симуляциях однажды снова модели параметры показанные в таблице 3.1. были использованы с двумя различными ставками 0.001 и 0.01 с-1. Переменная m=0.02 была использована для этого прогона. Для 0.001 с-1 ставки нагрузки отметим, что SF = 0.95 и SF=0.6 дают идентичные кривые стресса- страдания. Когда ставка увеличится к 0.01 с-1 кривая стресса-страдания,  что получена, выше чем та которая была получена для низкой ставки нагрузки. Это может быть показано, что когда m=0.02 , SF 0.95 достаточно для сходимости и стабильности.
Мы  теперь рассматриваем случаи (c) и (d) где m взято как 0.001. Это может быть рассмотрено как  ставки независимый предел и [PEI 83] отмечает, что эта переменная m ведет к малым шагам времени. Для ставки нагрузки 0.001 с-1 SF 0.95 и 0.6 дают идентичные результаты. Когда ставка нагрузки увеличивается, высшая SF, что дает сходимый и стабильный результат, - 0.5. В дальнейшем отметим , что кривые стресса- страдания для обоих ставок те же, пока для m=0.01, ставки независимый предел подходит.
Обсуждения представленные выше натурально ведут к заключению, что для высокой m переменной (индикатор ставки зависимого материала) переменная SF может быть высокой. Альтернативно высший шаг времени можно использовать для вычисления. В случае где m переменная очень мала ставки независимый  предел таким образом подходит; высшая ставка нагрузки уменьшает SF и таким образом шаг времени. Далее некоторая методология должна быть применена исследовать случай простого сдвига и анализы должны показать, что стабильный шаг времени в простого сдвига случае будет выше, чем для неосевой нагрузки случая.
 
Рисунок 3.5. Пластичные порции неосевых стресса-страдания кривых из одиночного элемента вычислений. Нагрузки направление в [100].
Численные симуляции с идентичным входом файлов для ставки тангенса метода и форвард Эйлера метода были выполнены. В этих симуляциях единица кубов была смоделирована с 8, 27, 64, 125 и 216 элементами. Как ожидается увеличение в числе элементов отвечает близко линейным увеличениям во времени пробега с двумя моделями (Рисунок 3.6.). Обычно  наклон кривой пробега времени/ число элементов более крутой для ставки тангенса схемы спаренной с форвард Эйлера схемой. Это указывает, что эффективность новой схемы Эйлера спаренной со ставкой тангенса схемой увеличивается с увеличением числа элементов. Это ожидаемый результат и большое преимущество предлагаемой новой модели над ставки тангенса формулировки, пока даже  хотя обе модели требуют справедливо малые шаги времени  и исключают итерации, предлагаемая форвард Эйлера схема избегает времени потребление математических операций таких как матрицы инверсии (натуральный выход ставки тангенса формулировки [PEI 84]) которая становится проблемной с увеличением числа элементов.

Рисунок 3.6. Сравнение пробега времени между двумя различными численными схемами.
3.7. Заключения
В заключении мы имеем развиваемый новый численный метод доказать численные симуляции облегчить реализацию моделей кристаллической пластичности в коммерчески способном коде КЭ. Это достигнуто через новую конституционно современную схему для ставки зависимой кристаллической пластичности, которая очень эффективна для фиксированного малого шага времени. Этот метод применим спариванием макроскопических (стресс-страдания кривая) и микроскопических (текстуры) свойств предсказанных новой моделью с соответствующими данными доступными в литературе и с симуляциями использующими традиционную ставки тангенса теорию подхода для неосевого напряжения, давления и простого сдвига.




Часть4. Реология земной мантии внесенная из теорий гомогенизации
4.1.Введение
Земли верхняя мантия известна выставлять эластичную анизотропию, которая вообще атрибут присутствия Решетки Преднесущая, Привилегированная Ориентация (РПО Lattice Preferred Orientation LPO). Такая ориентация раскрыта в записях сейсмических волн, что путешествуют через мантию со скоростью, что зависит от распространения и /или поляризации направления. Развитие РПО LPO из-за пластической деформации мантии минералов ассоциировано с крупной шкалы конвенктивным потоком. Оливина и пироксена кристаллы показывают призматическую структуру и имеют только несколько систем касания доступные для смещения сползания. Это ведет к очень высокой вязкопластичной  анизотропии на шкале зерен, так что верхней мантии регион со строгой сейсмической анизотропией (т.е. произносимо РПО LPO) может также показывать крупную эффективную вязкопластичную анизотропию, которая может провозглашать себя как разницы в эффективной вязкости до первого или второго порядка магнитуды зависящей от направления нагрузки. Это может иметь большое влияние на поток в (по крайней мере) некоторых регионах мантии [CHR 87], как было также показано для потока льда в ледяных листах [MAN 97], но тема получила небольшое внимание [BLA 07]. Ключ этого вывода –понять связку между одиночной кристаллической реологией, микроструктурой (в частности РПО LPO) и связанным поликристаллическим поведением, т.е. как получено для полярного льда [CAS 08b] .
В этом труде удар РПО LPO по мантии реологическим свойствам связан с использованием численного исследования вязкопластичного поведения оливина (Mg,Fe)2SiO4. Этот минерал главная пропорция (~60% ) верхней мантии. Оливина реология, под давления и температуры условиями связана с верхней мантией (типично 10 GPa, 1500° C),  комплексная; см. [KAR 93, HIR 03]  для обзора. Дислокации и диффузии ползучести режимы могут быть учтены в различных глубинах, но только бывший режим рассмотрен здесь. В основном пластическое поведение строго влияние давлением, которое ведет к инверсии крепкого и мягкого касания систем [DUR 05, RAT 07], водной мимолетности [MAC 85] и присутствия расплава карманов [KOH 96]. Динамическая кристаллизация также значительно- аффект LPO эволюции большого страдания [ZHA 95]. Отметьте окончательно, что двойникование неизвестный деформации механизм для оливина.
Вызывающее свойство в оливина пластичности –недостаток пяти независимых касания систем на зерна уровне, который, согласно фон Мизеса критерию, необходим приспособить произвольную пластическую деформацию. Согласно [TOM 00, WEN 99], тангенса (TGT) самоконсистентная (SC) поликристаллическая модель предсказывает конечного потока стресс с только тремя независимыми системами, которые только озадачивают результат. Обычно галочка указывает, что гексагональные поликристаллы с только базальными и призматическими касаниями, т.е. с четыремя независимыми системами, найдены быть способными деформировать пластически [HUT 77, NEB 00]. Обычно согласно [NEB 01], этот результат –модели зависимый. Систематическое недавнее изучение основанное на полного поля моделировании [LEB 07] показало, что, эффективно, три независимые системы не достаточны для оливиновых поликристаллов (см. также [CAS08a]).
Некоторые поликристаллические пластичности значения- поля (гомогенизации) модели применены к оливиновому агрегату, главным образом оценить LPO  эволюцию и гораздо реже исследовать их (нелинейное) реологическое поведение. В дополнение к классическому единой формы стресса (статической) границе используемой [CHA 93, DAW 00], некоторые модели сконструированы делать специально с кристаллами недостатка пяти (даже четырех) независимых касания систем [KAM 01, PAR 90] , последние служат в числе недавних геофизических применениях. Тангенса расширение SC схемы [LEB 93, MOL 87], обычно перенесенная к типа ”VPSC model” в геофизической литературе, часто описывается так, если взаимодействие между каждым зерном и его окружением может быть приближено взаимодействием между одним эллипсоидальным зерном с некоторой решетки ориентацией, как оригинальное зерно  и гомогенная эквивалентная среда, чье поведение представлено тем поликристаллом, таким образом беря прогресс аналитического решения [ESH 57] для включения /матрицы взаимодействия. Это резонно ведет к заключению, что TGT схема полностью наполняет явное  допущение  единой формы стресса и страдания ставки внутри зерен, которое не корректно (смотри [CAS 98] для обзора). Совсем недавно как для расширения SC схемы для поликристаллов показывающие нелинейную реологию, изменяющаяся оценка [BOT 95,CAS 91] и второго порядка (SO) процедура [CAS 02, LUI 04] обеспечивают главные исправления. Обе из них показывают очень интересные свойства, так как предсказания эффективных потенциалов лежащих ниже строгой верхней границы главным образом насилуются другими гомогенизации процедурами [GIL 95]. Следуя этому [CAS 96, MAS 00] далее предложено «аффинное расширение» (AFF), которое также может казаться довольно грубым приближением SO процедуры.
В основном, все эти методы основаны на определении «Н-Фазы Линейного Обыгрыша, Сравнения Поликристаллов» (“N-Phase Linear Comprison Polycrystal” NPLCP) имеющем некоторую микроструктуру как реальный нелинейный поликристалл и к которому SC схема (оригинально развитую для материалов показывающих линейное поведение [HER 54, KR; 58]) может быть применена с задачей получить поведение реальных поликристаллов.  Число моделей предлагаемых в литературе вывернуто быть значительным, отражая трудность нахождения оптимального NPLCP. В дополнение этим значения- поля оценкам, полного поля подходы должны быть предложены  вычислить флуктуации стресса и страдания ставки внутри зерен, вместе с всеобщим поликристаллическим поведением. Результаты данные этими подходами могут быть рассмотрены «точно» (или к последнему переносу) решениями.  В этом контексте численно эффективный метод основан на Быстрых Фурье Пребразованиях  (Fast Fourier Transforms FFT)  был предложен [MOU 98] и применен к поликристаллам [LEB 01]. Мы будем видеть,  что этот метод очень полезен понять детали материального отклика и оценить применение значения поля оценок.         
Цель этой главы расширить новый взгляд в реологию оливина поликристаллов. Мы сфокусируемся на недостатке пяти независимых касания систем, это удар по эффективному поведению и по стрессу и страдания-ставки распределения внутри индивидуальных зерен. Эта работа ограничена изучением мгновенного потока стресса изотропичного (случайного LPO) поликристалла. Мы рассматриваем простую но реалистичную реологию на зерна шкале (секция 4.2). Перенос результатов полученных полного поля подходом основан на FFT процедуре представлен (секция 4.3) и спарен с оценкой предложенной значения- поля подходами (секция 4.4), следующими некоторыми заключительными наблюдениями (секция 4.5).
4.2. Зерна локальное поведение
На зерна (локальной) шкале мы рассматриваем деформацию, что происходит только дислокацией ползучести по данному числу систем касания. Перерешенный сдвига стресс ;(k) действующий по касания системе (k) дан проекцией локального отклонения стресса тензором ;
 [4.1]
со ;(k)(r) Шмида тензором выражающим ориентацию  касания системы с отношением к лаборатории переноса рамки и (r) представляет кристалла ориентацию на данной пространственной позиции x. Как для конституционного отношения на касания системы уровне мы используем классический степенной закон для касания ставки  по системе (k)
[4.2]
c ;0(k)  переноса сдвига стресса систем (k) , n(k) соответствующие стресса чувствительности и  переноса касания ставке. Комбинируя все возможные касания системы, локальная страдания-ставка таким образом читает
[4.3]
с K тотальным числом касания систем.
Дислокации касания системы рассмотренные здесь- те использованные [TOM 00] основаны на некотором наборе экспериментальных результатов. Они написаны на первых семи линиях Таблицы 4.1 и иллюстрированы на рисунке 4.1. Легкие касания происходят в оливине вдоль [100] направления, тогда как вдоль [001] направления разрешено, но с высоким сопротивлением. Эти условия присваиваются для «сухого» кристалла деформированного при высокой температуре и низком давлении. Мы выбрали некоторую стресса чувствительность n(k)=n=3.5 для всех систем, тенденция что появляется быть поддержанной экспериментальными данными. Типичные переменные для ;0 и  для условий превалирующих в верхней мантии ~1 MPa и ~ 10 -15 s-1 соответственно. Только три из этих касания систем независимы. Они позволяют сдвигать кристаллическую решетку, но никакая из них не позволяет осевую деформацию вдоль a, b или c решетки направлений. Следовательно эти системы не могут быть удобны произвольной пластической деформации оливиновых кристаллов. Следующие главными принятые процедуры (см. например [TOM 00, WEN 99]), мы представим в дополнительной («кубика типа») касания фамилии {111}  сопротивление которого выражено скаляром M1, для цели наличия пяти независимых систем возможных на кристаллическом уровне (Таблица 4.1). Мы далее введем последний набор касания систем,, чья активация позволяет осевое страдание кристаллической решетки вдоль a и c (но не вдоль b), способ подражать так или иначе деформации, что дислокации подъем будет продуцировать. Сопротивление этих последних систем дано M2. В последующем мы будем фокусироваться на эффекте M1 и M2  по эффективному поведению и по стрессу и страдания-ставки  гетерогенностям в пределах поликристалла.  Играя с M1 и M2, мы можем исследовать материалы с 3, 4 и 5 независимыми касания системами. Очевидно ограниченные случаи M1;; эквивалентны передвижению отвечающего набора систем, покидающих зерно с бесконечными нормальными вязкостями вдоль некоторых a, b и c направлений и открытой урожая поверхности. Процедура следующая здесь позволит нам оценить уместность различных гомогенизации методов для оливина и потерять свет на локальном механическом статусе оливиновых поликристаллов деформированных в дислокации ползучести режиме. В предстоящем изучении мы будем перемещать две последние касания системы M1 и M2 присвоением физически-основанными приспособленными процессами (подъема, зерен границ раздвижения и др.), но это требует дальнейшего теоретического развития.


Таблица 4.1. Касания система (hkl) и ориентация вектора Бюргерса [uvw] сравнены для оливина зерен, вместе с числом эквивалентных систем для каждой фамилии (k) и переносом сдвига стрессов ;0(k). Первые 7 фамилий наблюдались экспериментально. «Типа кубика» системы {111} добавлены для пользы наличия 5 независимых касания систем на зерна шкале; обыграны 12 систем, что  не точно равны должны быть орторомбической структуре оливиновых кристаллов, но эти различия небыли сравнены здесь. Последняя система {101} обыгрывает две касания плоскости и касания направления.

Рисунок 4.1. Схематичное представление наблюдаемых касания систем в оливиновых одиночных кристаллах.

4.3. Полного поля переноса решения
Полного поля переноса результаты получены с FFT методом [LEB 01, MOU 98] который содержит нахождение страдания-ставки поля связанное с кинематически допустимой скорости поля что минимизирует среднюю локальную работу под совместимости равновесия ограничениями. Регулярная Фурье сетка 64;64;64  точек использована дискредитировать периодическую 3D единиц клеток, случайно генерированных мозаикой Вороного и содержит 32 случайно ориентированных зерна (Рисунок 4.2). Чтобы уверять статистическое соответствие  результатов, тотальное    среднее было выполнено более 50 тех случайных конфигураций.  Механического поведения вычисления  выполнены неосевым сжатием  с эквивалентной макроскопической страдания ставкой , с  и  отмечающих макроскопически страдания- ставки тензор. В этой секции 

Рисунок 4.2. Типичная периодическая микроструктура генерируемая мозаикой Вороного. Содержит 32 зерна каждое имеет различный цвет  соответствующий его кристаллографической ориентации.

и к началу следующей секции, вычисления выполнены с M1;;, так что кристаллы покидают с только  3  независимыми касания системами  как (и 5 для конечных переменных).
Полного поля подход может быть использован прогрессивно экзаменовать распределение стресса и страдания-ставки в пределах микроструктур. 3D обзор распределения локального эквивалентного стресса ;eq(x) и страдания- ставки  дан на рисунке 4.3 для M1 =10 и M1 =100  с  и . Может показаться что сильный стресс и страдания-ставки локализации происходят, с концентрацией на полосах локализованных либо с зернами либо лежащие вдоль зерен границ, тогда как высокие переменные найдены на зерна границах. Также чисто наблюдается решительный эффект M1, с увеличением стресса и страдания ставки гетерогенности наблюдаемых на высоких M1 переменных, соответствующих зернам, что могут быть тяжело деформированы вдоль  a, b  и c решетки направлений.
Чтобы оценить эти свойства  более количественно, мы начертили на рисунке 4.4 значение  против , для каждой Фурье точки одного из 50 случайных конфигураций. Среднее 613/32=8,192 точек таким образом начерчены для каждого зерна, т.е. хотя бы для статистической презентации интрагранулярного поля гетерогенности. Нет ясных тенденций найденными в тех чертежах. Локальный эквивалент страдания –ставки может быть высоким (или низким) с либо низким или высоким локального стресса уровнем, зависящим от пространственной позиции наблюдаемой точки. Глобально нет корреляции между локальным  и  переменными и этими выражениями в огромном эффекте интергранулярных взаимодействий: локальный механический статус в материале не только руководится локальными кристаллографическими ориентациями рассмотренных зерен, но также высоко влияет соседством. Поэтому микроструктура не может быть описана  как содержанием «крепких» и «мягких» зерен зависящих от их ориентации, как иногда предлагается в литературе. Обычно как показано [CAS 08a], фазы

Рисунок 4.3. Пространственное распределение   и вычисленное  методом для (a,c) M1 =10 и (b,d) M1=100, для микроструктуры данной на рисунке 4.2. Сплошная линия показывает зерен границы (и кубические края). Направления неосевого растяжения вертикальны. Отметьте различные шкалы каждой фигуры.

cредние переменные1  и  коррелированны, с низким средним (эквивалентным) стрессом и высокой средней (эквивалентной) страдания- ставкой для «мягкой» ориентации и обратной ситуацией для «крепкой» ориентации. Жемчужина этих свойств - то, для экспериментальной характеризации активной деформации механизмов, например электронной микроскопией, очень большое количество зерен с похожей ориентацией должны наблюдаться, если мы хотим достигнуть статистически представимых заключений. Должно быть подчеркнуто, что ;eq(x) и   в основном больше чем их макроскопические коллеги  и в частности на высоком M1, как также показано на рисунке 4.3. Материальная точка таким образом подвержена более строгим механическим условиям, чем средние поликристаллы, свойство, что надо взять в учет, когда используют одиночные кристаллические данные вывести поликристаллическое поведение.
1 Фазы  среднее –среднее значение переменной над большим (т.е. статистически уместным) числом зерен показывающих некоторые кристаллографические ориентации.

Рисунок 4.4. Отношение между  и  для каждой Фурье точки микроструктуры показанной свыше для (слева) M=10 и (справа) M=100. Отметьте различные шкалы.
4.4. Оценка значения поля
4.4.1.Основные свойства теорий значения поля
Несмотря на полного поля решения, цель значения поля теорий - обеспечить границы или оценки поликристаллического эффективного отклика без наличия оценок деталей локальных полей. Следовательно эти методы представляют прогресс очень низкой компьютерной цены, как спарено с полного поля методами, могущие их событийно спаривать с большой шкалы потока моделей такие как региональные или глобальной конвекции модели Земли. Здесь мы ограничимся статистическим описанием микроструктуры; то есть, точная локализация каждой грани не известна, но только основные геометрические свойства микроструктуры (например изотропичное распределение зерен, и др.) предположены. Поля распределения таким образом не достижимы. Как для SC схемы,  хорошо адаптированные для поликристалла, только первого и второго порядка моменты стресса и страдания-ставки (относительно ;(r) = ‹;›(r) и  и похоже для страдания-ставки ) доступны, смотри например [CAS 98]. Реальная трудность для значения поля подходов  -захватить эффект поля гетерогенности (доказанный в предыдущей секции) по эффективному поведению без полной оценки теми гетерогеностями.  Согласно предыдущей секции, это может стать возрастающим вызовом как M1 возрастет.
Мы не будем детализировать здесь теоретический фон различных значения поля методов предложенных в литературе, но только очень основные свойства будут пересмотрены. Читателя отошлем к уместной литературе  для подробных деталей. Как уже указывалось, SC схема проводит точное решение для некоторых специфических случайных поликристаллических микроструктур, но только в контексте линейного локального поведения (например линейная термоэластичность). Для нелинейного поведения как сравнивалось здесь, полезные процедуры  содержат определенные линейные обыгрыши материала (NPLCP) выставляющие фазы единой формы согласия и стресса –свободные (или термальные) страдания- ставки так, что можно гомогенизировать (линейной) SC схемой. Поля в нелинейном поликристалле интереса обычно не идентичны точно с теми NPLCP [IDI 07]. Проще говоря, линеаризация может [4.2] быть выражена в форме
[4.4]
со сдвига согласием  и стресса- свободные сдвига- ставки  зависящие от двух переноса сдвига стрессов,  и
, [4.5]
где подшрифты (k) и (r) опущены для ясности и  обозначает сдвига –ставку данную нелинейным отношением [4.2] для сдвига стресса ;. Оптимальный выбор (с точки зрении вариационной механической проблемы) переноса стрессы   и - не прямо вперед, в лоб и это одна из причин, почему различные расширения SC схемы для вязкопластичности предложены в литературе. Очевидно все из них уменьшатся к некоторой (оригинальной) SC модели в линейном случае n=1. Фокус будет расположен здесь на наиболее прогрессивных методах к датам, именно  «Второго порядка» (SO “Second order”) метод [CAS 02, LIU 04]. Основная идея этого метода –руководить выбором свойств NPLCP используя подходяще спроектированный вариационный принцип. Более того несмотря  на вариационный принцип, выбранный NPLCP здесь генерализованного аффинного типа, т.е.  не требует смывания. Оригинальная процедура содержит эффективный стресса потенциал  из которого эффективная страдания ставка может быть выведена . Применение этого метода к анизотропным кристаллам, для которых форма  не известна заранее, будет требовать численную дифференциацию  которая может быть довольно лабориус, трудоёмкой. Таким образом использование сделанного здесь приближения оригинальной SO формулировки которая нацелена на оценку эффективного поведения прямо без наличия знания эффективного потенциала, прямой идентификацией полей в NPLCP с теми реального нелинейного потенциала. Это обеспечивает немного меньше точности результатов, чем оригинальная формулировка [LIU 04], но гораздо более эффективная с компьютерной точки зрения. Перенос сдвига стрессов теперь читает
, [4.6]
Галочка указывает, что согласие в линейном отношении [4.4] зависит от первого и второго момента фазы среднего стресса, через , которое означает, что определение NPLCP хорошо захватывает части поля гетерогенности в нелинейном поликристалле.
С риском переупрощения так называемая «аффинная» (AFF) модель [MAS 00] основана на линейном поведении [4.4] тангенса нелинейного поведения [4.2] значения сдвига стресса и может быть понятна в членах следующих отношений
 , [4.7]
Таким образом, не используя интрафазную гетерогенность  для конструкции NPLCP, как SO процедуры использует, ведущая к слегка простейшему численному решению. Ограничения этой модели описано в [BOR 98, MAS 00]. Проще говоря аффинное растяжение известно предсказать эффективное поведение, что слишком жестко с возможным произволом строгих границ.
Окончательно «тангенс» (TGT) растяжение SC схемы [LEB 93, MOL 87] основано на некоторой тангенс линеаризации [4.7] как AFF метод. Обычно несмотря на AFF расширение, эта процедура делает успех факта что для степенного закона поликристаллов с  одиночного стресса экспоненты n, тангенса поведение [4.4] можно переместить секанта типа отношением, c  и  перемещенным . Похожая процедура далее применена на макроскопическом уровне, ведущая к несодержащейся комбинации секанта описания для локального и глобального поведения но тангенса анализам для включения/ матрицы взаимодействия [MAS 00].
4.4.2. Результаты
Рисунок 4.5. показывает эквивалентный эффективный стресс предсказанный TGT, AFF и SO расширения схемы SC, как функции «кубической» системы сопротивления M1 (когда с бесконечным M2), вместе со статическим и Тейлора  границами. Результаты спарены с отклика решением обеспеченным FFT полного поля подходом. Прежде всего наблюдается, что FFT подход указывает на эффективного стресса прирост непрерывно с M1. При достаточно большом M1 переменной, например M1>10 даже простой шкалы закон наблюдается, с  пропорциональным к Mk1, с k;0.5, в согласии с предыдущими находками для других материалов [LEB 07, NEB 00]. TGT расширение SC схемы с другой стороны показывает насыщение  пока скромная переменная M1 (;20), которая ясно отделяется от переноса FFT результатов. Пока  остается конечной когда M1;;, TGT модель нереалистично позволяет поликристаллу деформироваться с только тремя независимыми касания системами. Так что ведет себя количественно как статистическая граница, но с высоким потока стрессом. Как ожидается Тейлора границы значительно переоценивают эффективный стресс, который просто тенденция быть пропорциональной к  M1 (k;1). AFF формулировка обеспечивает значительно лучшее сопоставление полного поля решению спаренному с TGT моделью, при отсутствии дополнительной численной платы. Обычно AFF потока стресс увеличивается слишком быстро с M1 (k;0.7). С другой стороны предсказания SO процедуры репродуцируют FFT переноса результаты довольно качественно. Несмотря на все другие модели, предсказания точны шкалы с k;0.5.

Рисунок 4.5. Эффект «кубической системы» M1 по эффективному стрессу для некоторых расширений SC схемы и спареный с переносом решений обеспеченным FFT полного поля моделированием. Статистические и Тейлора границы также показаны. Здесь система M2  не сравнивается.
Эволюция отвечающего всеобщего стресса и страдания -ставки гетерогенностей  и , определенная как
,  [4.8]
показана на рисунке 4.6. Эти количества относятся к стандартному отклонению стресса и странности-ставки в целом поликристалле. Они иллюстрируют всеобщие гетерогенности в поликристалле, комбинируя поля флуктуации внутри зерен вместе с флуктуациями между различными зернами. Может показаться, что полного поля решение предсказывает, что стресс и странности-ставки гетерогенности несколько увеличиваются с M1, как уже указано в секции 4.3. Снова TGT подход показывает нереалистичный отклик с насыщением M1 переменной как малой ~5-10 (отмечено в пройденном, что статистики и Тейлора отношения ведут к  и , соответственно, конструкцией). AFF, VAR и SO оценки проводят хорошие тенденции, в хорошем согласии с полного поля результатами. Отметим также, что SO процедуры показывают довольно отличное сопоставление с переноса результатами для .
  Эти результаты предлагают, что 3 независимые касания системы не достаточны для достижения конечного потока стресса в оливиновом поликристалле. Это справедливо FFT результатами и корректно репродуцировано SO процедурой. Таким образом в реальных материалах некоторые договоренности, приспособления процессы (такие как дислокации подъём или зерен границ раздвижение) необходимо активировать. Введение такого механизма в гомогенизации схемы требует развития, что вне обзора настоящей работы. Обычно интересно проверить действительно ли необходимы 5 независимых систем. Например одновременный подъем a и c дислокаций может доказывать, уверять оливина зерен деформацию  вдоль осей а и с, но только не вдоль b, покидая 4 независимые системы на шкале зерен. Для этого мы теперь сравним последнюю касания систему таблицы 4.1. с сопротивлением M2.

Рисунок 4.6. Всеобщие гетерогенности (слева) эквивалентного стресса и (справа)  эквивалентная странности-ставка как функция параметра M1 для некоторых расширений SC схемы и спаренные к переносу решений обеспеченного, проведенного моделированием FFT полного поля.

Эта касания система позволяет осевое страдание вдоль a и c только. Эффективный стресс полученный SO процедурой для M2=10 и M2=50 и различного сопротивления «кубических» систем показан на рисунке 4.7а. Более того великолепное поведение SO значения поля подход, когда спарен с переносом полного поля решения, отмечается. При достаточно больших M1 переменных (;100), насыщения поведение наблюдается, предлагая, что оливина поликристаллы могут деформироваться как только M1;;, т.е. с только 4 независимыми касания системами. В режиме насыщения2 эволюция  потока стресса с M2 показывает, что эффективное поведение поликристалла крупно ведется переменной M2, даже если этот механизм очень плохо вложен во всеобщее страдание (рисунок 4,7б). В согласии с предыдущими результатами шкал законы с  пропорциональными M20.5 получены, но теперь только после большой переменной M2 (;100).
4.5. Заключительные наблюдения
В этом труде переноса решения в членах эффективного поведения и поле распределений получены значениями FFT полного поля подхода. Мы наблюдаем огромное увеличение интрагранулярного стресса и страдания-ставки гетерогенностей как сопротивление  «кубических» систем увеличивается (так тенденция покинуть кристаллы с только 3 независимыми касания системами). В такое время эффективного потока стресс увеличивается как M10.5. Хотя все значения поля подходы используются здесь, только SO процедуры могут предсказать правильный тренд, тенденцию и хорошее количественное сопоставление полного поля результатам. Это отличный результат. В злости укомплектованной формы стресса и страдания- ставки распределения проявляющиеся в действительном поликристалле, SO подход еще аккуратно
2 соответствующее поведение может быть получено беря очень высокие переменные M1, но наш численный код также сходим без сравнения «кубической» системы для всех.

Рисунок 4.7. (слева) Эволюция эффективного стресса с отношением для потока стресса «кубической» системы M1 для M2=10 и M2=50. SO и FFT предсказания спарены. (справа) Эффективный стресс полученный при насыщении (т.е. M1;;) как функция потока стресса «подъема» системы M2. SO предсказания.

захватывает основные свойства поля статистики. Этот успех приписан факту, что линеаризированные  согласия зависят явно от второго момента стресса. Также галочка напоминает, что эта процедура не сравнено увеличивает численную плату, когда спаривается с AFF оценкой (в основном фактором около 20), так что субсекант, отрезки спариваются с большой шкалы конвекционной модели могущей еще быть следуемой. SO процедуры  правильно оценивают интергранулярные взаимодействия и их эффекты по эффективному поведению. Мы тогда ожидаем, что этот подход будет успешен в соединении экспериментальных реологических данных одиночного и поли- кристаллов, шкал переход, что не может достигнут количественно с простейшими подходами [DAW 00]. Жемчужина, что SO подход, благодаря его точности и ограниченной калькуляции платы,  требуется, может быть использован в инверсном способе учиться далее около договорных, удобных процессов в оливине, сравнением численных результатов с экспериментальными данными. Включения свыше результатов в членах деформации механизмов и геофозических выводов должны быть детализированы в [CAS 08a]. Следующий шаг этой работы ввод в действующую формулировку «правильной» договоренности, приспособленности механизм в оливине (или при последней что действительно знает о них), в частичной дислокации подъема, что было доказано экспериментально и учтено для эволюции касания системы  сопротивления с, например, давлением, температурой, водной мимолетностью, и др. Также необходимое для применения этой работы к ин ситу условиям сравнение другой минеральной фазы представленной  в верхней мантии, такой как пироксен, объем фракции которого 30 %. Эта фаза выставляющая специально одиночную легкую гладкую касания систему, мы можем ожидать в перидотитах (т.е. оливина – пироксена агрегатах) даже большего стресса и страдания-ставки гетерогеностей, что то получено здесь, которое врублено иметь значительное влияние на днамические рекристаллизации процессы и отрезки влияние LPO развития.
4.6.Библиография




Часть 5. Моделирования пластическая анизотропия и дифференциальные эффекты сопротивления в металлических материалах
5.1. Введение
Для металлов с кубической кристалла структурой основной деформации механизм – касание. Пока касание не зависит обычно от знака стресса сдвига, т.е. может оперировать как вперед и назад, растяжения и сжатия стрессы урожая равны. Как результат урожая поверхности симметричны около  происхождения в стресса пространстве.  Галочкой отмечено, что некоторые кубические материалы такие как высоко  укрепленные стали или молибден могут демонстрировать неосевые урожая стрессы, которые различны в растяжении и сжатии. Этот эффект назван   сопротивления дифференциал (SD) эффект. В этих материалах SD эффект последствие касания кристалла, что не повинуется хорошо известному закону Шмида. Не смотря на SD эффект материалы всегда показывают анизотропические свойства из-за направленной микроструктуры, что результат из термо-механического процесса.
Металлы с гексагональной закрытой упаковки (hcp) кристаллической структурой деформируются пластически касанием и двойникованием. В контраст касанию, двойникование - поляризации сдвига механизм: сдвиг в одном направлении мог бы вызвать двойникование, если  сдвига в противоположном направлении нет. Например в магнезиума сплава листах двойникование не активно в растяжении вдоль любого направления в плоскости листа, но легко активируется в сжатии. Как результат средний в плоскости сжимаемого урожая стресс – около половины среднего в- плоскости растяжимого урожая  стресса (например смотри [LOU 06]). Так урожая поверхность не симметрична с отношением к стресса свободному условию. Более того пока hcp металлические листы показывают строго базальную структуру (с- ось ориентированная предпочтительно перпендикулярно к толщине направлению), произносимая анизотропия в урожае наблюдается.
На континуума шкале характеризация и моделирование анизотропии в пластическом отклике традиционных металлов с кубической кристаллической структурой хорошо продвинуто. Анизотропичного урожая функции, что захватывают с увеличивающейся точностью анизотропию как урожая сопротивлением так и Ланкфорда коэффициентами одновременно было предложено (смотри [BAR 04]). Обычно формулировки что захватывают как пластическую анизотропию так и  SD эффект одновременно не развиты хорошо. В следующем недавние успехи в моделировании анизотропии и сопротивления дифференциальных эффектов будут представлены. Вязкопластичные расширения этих моделей и их применения к предсказанию динамического урожая текстурированных металлов дано в Главе 7 этой книги.

5.2. Изотропического урожая критерий
Строгие математические методы вводят анизотропию в любой данный изотропического урожая критерий существующий в литературе, например линейной трансформации подход (см. [BAR 07]) и главных инвариантов подход предложенный [CAZ 01]. Главная трудность учитываемая в формулировке аналитических выражений, выпрессовываний для урожая функций  под прессом нечувствительных металлов – отношение к описанию растяжения против давления ассиметрии. Методология содержит развитие изотропичных формулировок, что описывают сопротивления дифференциала эффекты, и расширения этих изотропичных формулировок к ортотропической анизотропии недавно предложенной [CAZ 04]. Практически эта методология делает использование комбинации экспериментальных и численных  данных полученных используя кристальной пластичности симуляции. Обычно первый шаг – развить звука изотропичную формулировку. Эта глава начинает с краткого обзора классических изотропичных урожая функций для пресса-нечувствительных материалов с не SD эффектами.
5.2.1. Прессованные нечувствительные материалы деформированные касанием.
При скромной температуре пластическая деформация в давления, пресса нечувствительных материалах происходит в основном скольжением  дислокаций. Связанные сдвига страдания оперируют на данных кристаллографических  плоскостях и в конечных направлениях. Если сдвига механизмы идентичны в  направлении и его оппозитном направлении, урожай зависит только от магнитуды перерешенного сдвига стресса и урожая стрессы в растяжении  и сжатии равны. Следовательно урожая месторасположение в отклонения ;–плоскости (плоскости содержащей происхождение и перпендикуляр к гидростатической оси) должно иметь шестикратную симметрию. Форма урожая поверхности диктуется требованиями пресса-нечувствительности, изотропией и равного урожая стрессами в растяжении и сжатии. Размер урожая расположение – определен совершенно эффективно, используя несколько тестов, таких как неосевое растяжение или простой сдвиг. Наиболее универсальный изотропичного урожая критерий для пресса нечувствительных материалов выражен в членах принципиальных переменных  s1, s2, s3 отклонения Коши стресса тензора S как [HER 54]:
  [5.1]
Для экспоненты a=2 или a=4, уравнение  уменьшено к фон Мизеса урожая критерию, пока  для a=1 и в ограничения случае  a;; оно уменьшается к Треска. Эта формулировка –хорошее приближение урожая места вычислено используя Бишопа –Хилла [BIS 51] кристаллической пластичности модель установкой  для тела центрированного кубика (bcc) и для грани центрированного кубика (fcc) кристаллических структур соответственно. Другой универсальный урожая критерий, что вовлекает оба инварианта стресса девиатор S, было предложено Дрюкером [DRU 49].

Где J2=trS2/2 и J3=trS3/3 - второй и третий инварианты S, соответственно (tr обозначает следа оператор );;Y урожая стресс в чистом сдвиге и с– материальная константа.
5.2.2.  Прессованные нечувствительные материалы деформированные двойникованием
Двойникование и мартенситный сдвиг – направленные деформации механизмы, и если они происходят, урожай будет зависеть от знака стресса [HOS 93]. Ранняя симуляция дает результаты [CHI 69], которые анализирует деформации  смешивая касание и двойникование в fcc кристаллах, предсказанных в неосевом растяжении 25% ниже чем то в неосевом сжатии. Хостфорд и Ален [HOS 73] расширили вычисления к другим типам нагрузки. Основываясь на этих симуляциях и более недавнии результаты эффекта не Шмида урожая критерий на одиночном кристаллическом уровне на поликристаллическом отклике, это может быть заключено, что урожай места со строгой ассиметрией между растяжением и сжатием должно ожидаться в любом изотропичном пресса –нечувствительном материале, что деформируется двойникованием или направлением касания.
Чтобы учесть зависимость внутреннего сдвига механизма по знаку примененного стресса, [CAZ 04] предложена следующая изотропичного макроскопического урожая функция:
, [5.3]
где ;y урожая стресс в чистом сдвиге и
, [5.4]
;T и ;C неосевого урожая стрессы в растяжении и сжатии, соответственно. Отметим что для равного урожая стресса в растяжении и сжатии c=0, урожая критерий дан уравнением [5.3] уменьшающимся к фон Мизесу. Уверять гибкость урожая функции [5.3], константа c ограничена к данному численному рангу: . Для плоского стресса условий урожая место дает:
[5.5]
где ;1 и ;2 обозначают принципиальный стрессы. Для любого с;0, эта функция гомогенна степени 3 в стрессах и ведет к «треугольному» урожая месту с прямыми углами.
Урожая место для случайно ориентированных bcc поликристаллов деформированных  двойникованием, как вычислено [HOS 73] используя генерализации Бишопа и Хилла модели [BIS 51], показано  на рисунке 5.1. (открытые круги). Это спарено с урожая местом вычисленным с изотропичными критериями [5.5]. Только параметр вовлекающий в предлагаемый критерий - с, который выразим в членах отношения ;t/;c (смотри уравнение [5.4]). [HOS 73]  доложены вычисленные переменные 1.28  для этого отношения, которое соответствует с=0.92. Рисунок 5.1 показывает соответствующие теоретические плоскости стресса урожая места (сплошные линии), которые захватывают кристаллическую пластичность делающие  результаты [HOS 73] (открытые круги) очень хорошо. Также показаное на рисунке 5.1.- спаривание между урожая местом предсказанным [5.5] (сплошная линия) и поликристаллиновой моделью (открытые круги) для fcc поликристалоов деформированных соло  двойникованием. Поликристаллическая модель предсказывает ;t/;c=0.78, следуя переменной параметра  для fcc поликристаллов -0.92. Отметим, что аналитически изотропический критерий описывает очень хорошо ассиметрию в урожая результат из двойникования активации. Эти примеры иллюстрируют предсказания способности аналитической модели (уравнения [5.5]).

Рисунок 5.1. Сравнение между плоскости стресса урожая поверхностями (с ;3=0) предсказанными проложенной теорией и поликристаллина моделью [HOS 93] для  bcc (;T/;C=1.28 для которых c=0.92); и fcc (;T/;C=1/1.28  для которых c=-0.92)
Недавно [PLU 06] предложен изотропического урожая критерий формы:
(;;; [5.6]
где Si, i=1…3 принципиальные переменные стресса девиатора. В контраст с критерием [5.3], урожая функция –гомогенная функция степени a  в стрессах. Также в [5.3] k - материальная константа, пока F дает размер урожая место. Для a фиксированного параметр k выразим соло в членах отношения ;T/;C:
[5.7]
Отметим, что для любой переменной a, нет разницы между откликом в растяжении и сжатии если k=0. В частности для k=0 и a=2   критерий [5.6] уменьшается к фон Мизеса критерию.
5.2.3. Прессованные нечувствительные материалы с эффектами не Шмида
Недавно Витек и др [VIT 04] демонстрировали, что значительный растяжения –сжатия ассиметрии эффект получен на поликристаллическом уровне, если не Шмида эффекты включены в описание касания на одиночного кристалла уровне. Специфически эти авторы показали, что происхождение не Шмида эффектов – не плоский кусок масла индивидуальных дислокаций. Основываясь на результатах атомистических калькуляций ; ‹111› скручивания дислокации скольжения, было заключено что для молибдена одиночного кристалла, критический перерешенный сдвига стресс (CRSS) зависит от ориентации  максимума перерешенного сдвига стресса плоскости и следующий критерий для включения касания был предложен:
[5.8]
Здесь ;Schmid– Шмида перерешенный сдвига стресс, - не скольжения, не гладкий стресс (сдвига стресс параллельно Бюргерсу вектору в (011) плоскости), ;0- константа порога переменной, которая рассмотрена быть некоторой для каждого касания системы и ; –константа. Для продолжения они доложили результаты Тейлора типа калькуляции выполненные для случайного поликристалла. Для каждого зерна в поликристалле предположено, что потенциально  касания системы, каждый урожай согласно [5.6] с ;=0.6. Вычисленная биаксиальная урожая поверхность для случайного поликристалла представлена на рисунке 5.2 символами. Строгая растяжения – сжатия ассиметрия наблюдается: ;T/;C=1.22 к которому соответствует переменная c=1.109 в изотропичном критерии. Рисунок 5.2  показывает теоретическую [CAZ 04] урожая поверхность для c=1.109 в сравнении с поликристаллиновой симуляцией доложенной [VIT 04]. Великолепное согласие наблюдается. Некоторые авторы также выполнили Тейлора типа симуляции используя классический Шмида закон (устанавливая ;=0 в уравнение [5.8]).  Результата bcc случайной поликристаллической поверхность представлена на рисунке 5.3. Как ожидалось отсутствие сопротивления дифференциала эффектов наблюдается в поликристалле. Интересно отметить, что поликристаллиновые результаты очень хорошо аппроксимируются  Дрюкера изотропичного урожая критерием [DRU 49] (представленным в рисунке  5.3 сплошной линией) с c=0.288 (см. уравнение 5.3). На рисунке 5.3. стрессы нормализуются неосевым урожаем в растяжении, ;T=3;0, где ;0– константа порога переменной CRSS (см. уравнение [5.8]).

Рисунок 5.2. Сравнение между урожая поверхностью для случайного BCC (символами) молибдена поликристаллов полученных из Тейлора типа полкристаллина калькуляции используя на одиночного кристалла уровне урожая критерий [5.6] с ;=0.6 (после [VIT 04] и теоретической урожая поверхностью согласно [CAZ 04] с c=1.109

Рисунок 5.3. Сравнение между урожая поверхностью для случайного bcc молибдена поликристалла (символами) полученного из Тейлора –типа поликристаллина вычисления используя по одиночного кристалла уровне Шмида закону (критерий [5.6] с ;=0) и теоретической урожая поверхностью согласно [DRU 49] с c=0.288 (сплошная линия).

5.2.4. Прессованные нечувствительные материалы
Общепризнано, что потока стрессы высокого-сопротивления, высокопрочной стали больше при неосевом сжатии, чем в неосевом растяжении. Этот SD эффект был экстенсивно исследован Шпициг и коллегами ([SPI 75], [SPI 76], [SPI 79]). Для очень высокопрочной стали таких как  подавленная и умеренная стали в которых растяжимое урожая  сопротивление под атмосферным давлением около 1.450 MPa, эти авторы нашли SD параметр определенным как [SPI 75].
[5.9]
было равно 5.5%. Они присущи эффекту для чувствительности стали гидростатическому давлению. Действительно эти авторы проводят неосевое растяжения эксперименты под гидростатическим ограничением и находят линейную зависимость между значениями стресса (;m=;kk/3) и эффективным стрессом. [RIC 80] использует следующую урожая функцию, что описывает резонную аппроксимацию их экспериментов,
  [5.10]
В уравнении выше ;0–растяжимый урожая стресс при атмосферном давлении и ;– коэффициент. Это выражение похоже урожая кондиции предложенной [DRU 52] для почвы. Для осисимметричного нагружения (гидростатическое давление супервложено в неосевое растяжение) потока стресс (принципиальная стресса разность при урожае) может быть выражен как функция ;0
;=;0(1-3;;m) [5.11]
[SPI 84] проведены эксперименты для различных сталей и получен примерно некоторый давления коэффициент, ;=20 TPa-1, пока для коммерчески чистого алюминия они нашли ;=20 TPa-1. Объема изменения наблюдаемые экспериментально были пренебрежимо спарены с теми вычисленными допущением классически связанного потока правила, т.е. нормальности между урожая поверхностью и страдания ставкой. Они заключили, что пластический поток несвязан, т.е. страдания инкремент, деталь был нормален к урожая поверхности ([SPI 75], [SPI 76], [SPI 79]). Этот несвязанный эффект был субсекантно, прерывисто моделирован [CAS 85] и [LEE 88]. Конечно для низкого к среднему  сопротивлению материалам и низкому ограничению давления, этот уход от нормальности может быть ничтожным.
Чтобы объяснить SD эффект связанный с ограниченным давлением, [JUN 81] предложена модель основанная на дополнительной работе необходимой указать движение дислокации, должной давлению зависимости эластичного сдвига модулюса (;). Эта модель ведет к давлению коэффициенту ; равному около 17 и 59 TPa-1 для стали и алюминия соответственно. Эти переменные в хорошем согласии с экспериментальными переменными, обдуманные выше. [BUL 99] используют молекулярную статистическую калькуляцию с погруженным атома потенциалом, симулировать эффект давления на дислокации движения. Они находят, что это явление результат из взаимодействия передачи дилатации связанной с движения дислокациями с давлением. Для алюминия они вычислили переменные для давления коэффициента ; 48 и 63 TPa-1 для скручивания и смешанной дислокации, соответственно, которые смешиваются с экспериментальными данными хорошо.
5.2.5. SD эффект и пластичный поток
Следствие конституционных уравнений, что учитывают SD эффект, то что пластический поток в растяжении и сжатии не симметричен. Недавно [YAG 05] доложено аномально рэчетинг поведение в хроме сплавов ферритных сталей (например модифицированная 9 Cr-1 Mo сталь) очень произносимы рачетинг в растяжимом направлении под нуля значением стресса. Эти авторы предугадали, что причина может быть растяжения- сжатия ассиметрия этих материалов. Они отметили, что во всех существующих рачетинг моделях эффект ничтожен, следовательно один может захватить наблюдаемое поведение. Достоверно, что формулировка такая как [CAZ 04] и [CAZ 06], которая захватит растяжения сжатия ассиметрию, может быть использована  предугадать  с нелинейным кинематическим укрепления правилом исправить ратчетинг симуляции.
Другая последовательность моделей, что учитывает для SD эффекта - что чисто сдвига стресс может генерировать нормальное страдание. Действительно простая симуляция была проведена используя уравнение [5.7] с k=0.17556 и a=3, которое ведет к сжатию к растяжения урожая стресса отношению 1.22. В этом случае используя ассоциированное потока правило, найдено, что отношение максимума нормали страдания ставки компонента к сдвига страдания ставки компоненту было около 16%. Другой способ интерпретировать этот результат, что трубки под свободной конца скрученностью будет продлен  со страданием около 8% примененного сдвига страдания. Хотя эта калькуляция чисто гипотетическая, показано, что этот тип континуума модели, используя простого связанного потока правило, может подключить объяснение Шмида эффекта, который переносит к удлинению или укорачиванию цилиндра или трубки подвергнутой большому страданию скрученности в пластичном страдания режиме [SWI 47].
5.3. Анизотропичного урожая критерий с SD эффектами
С задачей описать симметрию в урожае и анизотропию текстурированного прокатного листа, расширения к ортротропии изотропичного критерия [5.6] и [5.6] предложены.
5.3.1. Казаку и Барлат [CAZ 06] орфотропичный, призматический урожая критерий
В литературе имея два строгих метода для ведения анизотропии в любом данном изотропическом критерии: главный инвариантный подход [CAZ 01] и линейной трансформации подход (смотри (BAR 06)). Метод [CAZ 01] содержит использование перепредставленной теоремы конструировать генерализации анизотропичным условиям классических инвариантов J2 и J3 затем перемещается в выражение изотропичного критерия, J2 и J3 их относительными генерализациями. Генерализация J2 к ортотропии обозначена  J20 - ожидается в переноса рамки связанной с ортотропией как:

где x, y и z листа катанного, переноса и нормального направлений, соответственно, пока ak (k=1…6) обозначает анизотропии коэффициенты. Отметим, что J2 0– гомогенная функция степени два в стрессах, интенсивная к давлению, и инвариант к любым трансформации удлинения к группе симметрии материала. J20 квадратичного урожая критерий [HIL 48]. Если все коэффициенты ak (k=1…6) установлены к единице, J20 уменьшится к J2. Предложенная генерализация к ортотропии J3, обозначена J30, ожидается как:
 [5.12]
где все коэффициенты bk (k=1…111) уменьшены к одному изотропному условию (смотри [CAZ 01]). Отметим, что J30 гомогенизации функция степени три в стрессах, интенсивна к давлению и инвариантна к любым трансформациям удлинения к симметрии группе материала. Используя эти генерализации инварианты, любые изотропичные урожая критерии могут быть расширены описать ортотропичный материал. В [CAZ 04]  этот подход был использован расширить изотропичного урожая критерий [5.3], предложенный ортотропичный критерий является:
[5.13]
В плоскости стресса случае (;xx,;yy,;xy), критерий [5.10] вовлекает 11 материала параметров (10 анизотропии коэффициенты и переменная константы c). Эти коэффициенты можно определить используя различные методы  например измерением неосевого урожая стрессы ;; и Ланкфорда коэффициенты r; в пяти различных направлениях определенных углом ; от катания, также как балансированный биаксиальный стресс, ;b (для больших деталей см [CAZ 04]). Как пример рисунок 5.4. показывает плоскости стресса урожая место вместе с экспериментальными данными Mg-Th листа металла (данные после [KEL 68])

Рисунок 5.4. Сравнение между плоским стресса урожая местом для Mg-0.5% Th листа предсказанные анизотропичным [CAZ 04] критерием (данные после [KELL 68])
5.3.2. Казаку Плюнкет Барлат критерий урожая [CAZ 06]
Описать симметрию между растяжением и сжатием и анизотропию наблюдаемую в hcp металлических листах, [CAZ 06] предложил расширение призматически изотропического критерия [5.6].Анизотропия была введена значениями линейной трансформации девиатора Коши стресса тензором, т.е.  в выражении изотропичного критерия [5.6] принципиальные переменные Коши стресса девиватора Si были подставлены принципиальными переменными трансформированного тензора ; определенного как:
;=L[S] [5.14]
где L константа 4 порядка тензора. Таким образом ортотропичный критерий [CAZ 06]- формы:
(;;;;;|;1|-k·;1)a+(|;2|-k·;2)a+(|;3|-k·;3)a=F
где ;1,;2,;3 принципиальные переменные ;. Тензор L удовлетворяет мажорной и минорной симметриям и требует инвариант с отношением к ортотропии группы. Так для 3D стресса условия, критерий вовлекает 9 независимых анизотропии коэффициентов и уменьшается к изотропии критерию [5.7] для L равного к идентификации тензору.
Для плоскости стресса статуса 7 независимых коэффициентов возможны. Показано что критерий способен репродуцировать плоскость стресса урожая поверхности соответствующий различным данным (фиксированным) уровням аккумулированным пластической деформацией   для чисто Mg, также как для Mg и Ti сплавов (смотри [PLU 06]). Дополнительная линейная трансформация может быть вварена в изотропичный критерий [5.6] для исправления перепрезентации анизотропии (смотри [PLU 08]).
5.4. Моделирование анизотропичного укрепления из-за эволюции текстуры
Несмотря на форму урожая поверхности,  страдания укрепление может быть изотропическим или анизотропическим. Бывшая соответствует   расширению урожая поверхности без искажения. Любой другой тип укрепления анизотропичен и ведет к  различным свойствам в различных направлениях после деформации, даже если материал изначально изотропичен. Чистая трансляция начальной урожая поверхности может быть описана классическими линейными кинематическими укрепленния законами (смотри [CHA 86]). Моделировать гладкие, обдутые эластично-пластичные    переходы над реверс нагрузкой более точно, мультиповерхности модели как нелинейные кинематичные укрепления модели были предложены. Такие модели, пересмотренные [LI 03], можно захватить укрепления анизотропию связанную с циклической нагрузкой (например Бошингера эффекты) но не анизотропичные укрепления под монотонными страдания путями.
Моделирование укрепления в гексагональных металлах - даже  больший вызов, пока укрепления ставка- строго зависима не только от нагрузки пути но также от чувства, смысла нагрузки (смотри [LOU 07]). Описать с точностью эволюцию урожая места, императив учесть для более важного источника анизотропии в данном материале: касание и/или двойникования активность, субструктуры эволюция на зерна уровне  и текстура развития во время деформации. В кристаллической пластичности моделях (смотри например [DAW 03]), доступные касания /двойникования системы, их кристаллические сдвига стрессы и распределение решетки ориентаций в данном поликристалле взято в учет явно. Тогда решетки вращение и связанная анизотропия эволюции дает результаты прямо от использования подходящей гомогенизации схемы (например Тейлора модель или само содержащая модель). Недавно применение кристаллической пластичности модель hcp металлов и их использование в конечных элементах (FE) анализах  получило больше уделенного внимания. Модели, что учитывают для касания и двойникования активности и служат Тейлора (например [WU 07]) или самосодержащей (например [LEB 93]) усреднения схемам, предсказать агрегата поведение, были предложены. Например [STA 03] пренебрегает укрепление, но учитывает для трангранулярного эффектов на пластической деформации наблюдаемые в сплавах магнезиума. [WU 07] фокусируется на характеризации страдания –укрепления поведения высокой чистоты титаниума при комнатной температуре и развитие касания- укрепления и двойник–укрепления функции. Эти законы были использованы симулировать стресс-страдания отклик и текстуры эволюцию для монотонной нагрузки (неосевое сжатие и простой сдвиг). Обычно не было сделано попыток предсказать конечную деформированную форму образца или выполнить бенчмарк, эталонные симуляции более комплексной монотонной нагрузки такой как изгиб. В [KAS 01], самосодержащая вязкопластичная модель соединена с явным FE кодом EPIC успешно использованным для описания деформации чистого циркония со строго изначальной текстурой под квази –статической монотонной нагрузкой.  Поликристаллиновый агрегат был связан с каждой FE точкой интеграции. Так FE калькуляции имели прогресс  хранения следа текстуры эволюции. Обычно они вычислительно очень интенсивны и таким образом, их применение ограничено к проблеме, что не требует точной пространственной резолюции.
Альтернативный подход – развить анизотропичную укрепления формулировку на макроскопическом уровне, что может быть реализовано в FE кодах и применено рутинно для детального анализа комплексного формирования процессов.[PLU 07] была введена мультишкалы процедура, позволяющая нам описать искажение урожая поверхности должное быстрым изменениям в текстуре, что результирует из двойникования активности. Она основанна на кристаллической пластичности калькуляциях с само консистентной вязкопластичной моделью моделированной Лебенсоном и Томом [LEB 93] и макроскопической шкалы интерполяции техникой. Экспериментальные кристаллографические текстуры и стресса-страдания кривые использованы как ввод. Специфично, используя экспериментальных урожая стрессов и численных теста результатов, коэффиценты анизотропии тензора L вовлечены в анизотропии урожая критерий [5.12] определяются для конечного набора переменных эквивалентного пластичного страдания, например . Следующее, эффективный стресс определен согласно критерию [5.15],  например:
[5.16]
калькуляция для индивидуального страдания уровня , j=1…m так же как , где Y– эффективное стресс-эффективное пластического страдания отношение в данном направлении (например катания направлении). Затем интерполяции процедура использует получить урожая поверхности отвечающие любым данным уровням аккумулированным страданиям. Таким образом для произвольной переменной аккумулированного пластического страдания, изотропическая урожая функция –формы:
[5.17]
с
[5.18]
и
[5.19]
для любой , j=1…m-1. В уравнении [5.18]-[5.19]  эквивалентный стресс отвечает индивидуальному страдания уровню . Для линейной интерполяции схемы, веса параметр , который появляется в уравнении [5.18]-[5.19], определен как:
[5.20]
так что  и
Это методология для моделирования анизотропичного укрепления была бенчмаркед, эталоном тестирована против балки изгиба теста, что дает результат на циркониуме доложено в [KAS 01]. Причина для выбора изгиба теста – потому что, обеспечивает, проводит негомогенные формирующие условия с деформации градиентами  и локальные изменяемые подсудные  детализированным анализам для двойникования вклада в деформацию. Тесты были вынесены на прямоугольном бруске квадратной секции. До нагрузки балки  были прямыми в одной или двух возможных ориентациях с отношением к основному текстуры компоненту: с ‹с›- осями содержащимися в изгиба плоскости и с ‹с›-осями наиболее прямой нормали к изгиба плоскости. Специальные экспериментальные техники были развиты на карте и мере локального страдания поля (см [KAS 01]). Детальная информация, касающаяся, варящая вариации каждой страдания компоненты как функция локации вдоль ширины образца, доложена для сжатой стороны (вверху) так же как для растяжимой стороны (внизу). Сравнение между предсказанными и измеренными макроскопического страдания полями и балки секциями показывают, что предлагаемая модель описывает сопротивления дифференциала эффекты очень хорошо. Разность в отклике между растяжимым и сжимаемым волокнами и скачком нейтральной плоскости частично хорошо захвачены. Финал кросс-секций склонности бруска точно предсказан. Отметим, что модель предсказывает классическую втиснутую кросс- секцию для случая, когда крепкие- к- деформации ‹с›-оси – параллельны к изгиба плоскости (рисунок 5.5.(а) и 5.5 (с)).

Рисунок 5.5. Сравнение экспериментально фотографированной кросс- секции склонности бруска и симуляции используя предлагаемую модель (а)  и (с): Exx контуры соответствующие к ‹с›-осям наиболее параллельно к изгибу плоскости, пока для ‹с›-осей наиболее продольно перпендикулярно к изгибу плоскостям, соответсвенно. Ориентация ‹с›-осей показана стрелками (данные после [KAS 01])
Для случая когда ‹с›-оси продольно перпендикулярны к изгиба плоскости (рисунок 5.5. и 5.5), модель корректно описывает жесткость в крепкого-к-деформации направлению, и предсказывает, что финала кросс-секция остается прямоугольной, в согласии с эспериментом.
5.5 Заключения и будущие перспективы
Некоторые физические механизмы что ведут к SD эффектам были кратко обсуждены. Несколько континуума механизмы, что захватывают это поведение для давления –независимых и давления –зависимых изотропических материалов, были  пересмотрены.
Обсуждение затем фокусируется на давления –независимых hcp анизотропичных материалах показывающих SD эффекты. Недавние прогрессы в континуума формулировке, что можно описать пластическую анизотропию и SD эффекты одновременно были описаны.Способность этих моделей захватить урожая поведение bcc и hcp  материалов было продемонстрировано сравнением с поликристаллиновыми симуляциями и экспериментальными данными.
Из-за двойникования, эволюция текстуры и микроструктуры в hcp металлах очень решительна как спаренная с постепенным решетки вращением связанным с касанием. Как результат, в hcp материалах, страдания укрепление – очень анизотропично даже для монотонной нагрузки. Недавний мультишкалы подход, что способен  захватить этот феномен, был представлен. Текстуры эволюция учитывается для использования кристаллической пластичности симуляций, что дальнейшее использование для определения эволюции анизотропии коэффициентов  вовлеченных в аналитическую анизотропии урожая функцию. Эта  анизотропии укрепления модель была осуществлена в конечного элемента коде ABACUS. Симуляции изгиба Zr брусков в различных ориентациях с отношением к главным текстуры компонентам показывает  возможность точно описать изменения в геометрии кросс- секции как функции ориентации и чистый прыжок в нейтральной оси из-за SD эффектов связанных с деформацией двойникования.
Прогресс этого подхода с отношением к прямой связке КЭ и кристалла пластичности кодов лежит в исправленном соглашении между симуляции результатами и экспериментами к фракции калькуляции времени. Эта времени эффективность – частично  важна для промышленного применения вовлекающего комплексные структуры и большие деформации. Конечно следующий шаг будет расширять континуума модель, что                захватывает эволюцию анизотропии связанную с нагрузкой следа изменений.
5.6. Библиография




Часть6 .Сдвига полосы в стальных пластинах под ударной нагрузкой
6.1.Введение
Хотя физические явления адиабатического сдвига границ, полос могли быть известны по крайней мере три десятилетия назад или более, точное наблюдение и измерения таких физических процессов не были проведены до конца 1980. Обычно много численных симуляций и теоретических анализов провалено предсказать экспериментальный выход таких деформаций, и, в главном, динамическое сдвига полосы распространение оставалось быть неуловимым для численных симуляций. Различные опубликованные симуляции результаты такие как Батра и Гуммалла (2000) и Нидлман и Тверд (2000) не способны захватить точно физический процесс динамического сдвига полосы распространения.
Известно что в страдания локализации проблемах конечного элемента решение обычно страдает от зависимости размера сетки и чувствительности сетки выравнивания. Классическая ставки- независимая  теория не обладает любой свойственной, встроенной длины шкалой. Отсюда, незатыкаемая регуляризации проблема во время анализов, которые ведут к численным нестабильностям в симуляции страдания локализации проблем. Один подход, схватить этот вывод,- использование нелокального градиента теорию, где материала поведение на любой точке предполагается зависимым не только от статуса той точки но также от статуса его соседнего региона. Градиента теория налагает материала длины шкалу, что может быть получена экспериментально используя нано-индентации тесты.
6.2.Вязкопластичность и конституционное моделирование.
Металлические материалы обычно страдания- ставки чувствительны при высокой температуре, но не равно чувствительны при комнатной температуре. Металлы в основном страдания-ставки чувствительны под динамической нагрузкой. Стресса –страдания кривая для высшей страдания ставки лежит выше чем для низшей страдания ставки. Другими словами  материал нагруженный высшей страдания ставки показывает высшее сопротивление. Из-за низкой страдания-ставки чувствительности многих металлов при комнатной температуре в страдания- ставке ранга 10-6 до10-3 /s (или квазистатична), постоянная деформация металла была классифицирована как пластичная или ставки -независимая деформация. Это приближение, почему в реальности все металлы показывают некоторую форму страдания-ставки зависимость. Обычно резонная аппроксимация и  возможность развития теорий пластичности. Много теорий вязкопластичности сформулированы добавлением страдания –ставки чувствительности к теории пластичности. Даже в пределах квазистатического страдания-ставки ранга присутствие страдания-ставки эффекта ведет к ползучести и стресса релаксации. Обычно страдания- ставки эффект особенно значителен под динамической нагрузкой.
Конечного элемента алгоритм (ABAQUS/Explicit) использован в этой работе адресоваться проблеме для динамической нагрузки с адиабатического сдвига шириной. Программа содержит одну форму вязкопластичности, которая теста вязкость. Теста вязкость вводит демпинг связанный с объемным страданием. Это свойство для исправления моделирования высоко-скоростной динамики событий. Две формы теста вязкости в ABAQUS/Explicit. Первая находит во всех элементах и вводит влажность «кольцевания» в высшей элемента чистоте. Этот демпинг иногда переносит к как, типа транкации, усечения частоты демпингу. Производит теста вязкости давление, которое линейно в объемном страдании:
[6.1]
где b1 –демпинга коэффициент (недостаток 0.06), ; -текущего материала плотность, cd - текущая дилатационная волны скорость, Le - элемента характеристическая длина и – объемная страдания ставка. Вторая форма теста, объемной вязкости давления найдена только в твёрдого тела континуума элементах. Форма квадратична в объёмной страдания ставке:
[6.2]
где b2– демпинга коэффициент (недостаток-1.2). Квадратичная теста вязкость  применена только, если объемная страдания ставка сжата.
Анализы страдания локализации высоко зависимы от селекции конституционной модели самой. Различные материальные модели развивались описать материала поведение включая те основанные на физических механизмах (т.е. Вояджис и Альмасри, 2008; и Альмасри и Вояджис, 2008). Конечно нет материала модели, что могут заткнуть, закрыть симуляции материала страдания смягчения в простой и грубой форме. Страдания смягчения явления в сдвига полосе обычно объясняются дислокации поглощением зерен границ, где дислокации делокализованы и аннигилируются следуя релаксацией в решетки искажении. Этот эффект зерен границ может раскрыть себя в зерен границ раздвижении, где уменьшение в дислокации плотности в курсе пластической деформации  отмечено. Это результат дислокации подъема и множественного кросс-касания, что может вести к формации и росту подзерен. Это уменьшение в плотности дислокации известно как динамическое перекрытие. Ставка динамического перекрытия зависит от деформации ставки и температуры и велика чем та соответствующая статическому перекрытию. Страдания укрепление доминирует материальной деформацией на очень раннем уровне до смягчения из-за динамического перекрытия  становясь значительным, где на позднем стаже страдания смягчения тотально доминирует деформация. Отсюда простые конституционные  уравнения со смягчения членом – предложены и осуществлены в ABACUS/Explicit как следующее:
[6.3]
где
[6.4]
[6.5]
[6.4]
[6.5]
где a1 до a12 константы. Отрицательный  знак показывает, что смягчения член работает против укрепления члена. Страдания смягчение стартует доминировать пластическую деформацию на высоком страдании и отсюда   будет ожидаться, что страдания смягчения экспонента n2 будет иметь переменную больше чем один так что целый член будет ничтожен на низком страдании. Высокая переменная экспоненты n2 уверяет, что смягчения член будет иметь главный эффект пластической деформации на высоком страдании.
С задачей получить модель константы для CR-1018 стали, стресса страдания кривые на различных температурах и страдания ставки полученные Костин и др. (1980) использованы (рисунок 6.1.). Во-первых, каждая стресса-страдания кривая при специфической температуре и страдания ставки подгоняется к уравнению [6.3] с задачей получить B1, n1, B2  и n2. Отмечено, что нет смягчения в страдании при статическом страдания ставке, которая результат в очень малой переменной в B2. Следующее эти переменные подгоняются  в уравнениях  [6.4], [6.5], [6.6] и [6.7] начерчены например для B2 и n2 на рисунке 6.2  и 6.3.
Поведение смягчения коэффициента проиллюстрировано на рисунке 6.2. На низкой страдания ставке, где CR-1018 сталь не показывает любого смягчения поведение, коэффициент имеет очень малую переменную, что не зависит от температуры. С увеличением страдания ставки коэффициент стартует приобрести переменную, что  порядка GPas, компенсировать для укрепления части при высоком страдании. Несмотря на укрепления коэффициент, смягчения коэффициент увеличивается с увеличением температуры при высокой ставке нагрузки пока металлы имеют больше смягчения когда температура возрастает.
Рисунок 6.3. показывает изменение укрепления экспоненты n2 с температурой и страдания ставкой. Смягчения экспонента n2 имеет гораздо больше переменных чем n1, которое может конституционные уравнения учесть для смягчения только при высоких страданиях. Генерально смягчения экспонента должна быть великой чем одна и может иметь переменную 3 и более как иллюстрировано на рисунке 6.3. Пока n2 похоже на n1 в чем оба независимы страдания ставки, смягчения экспонента имеет тенденцию увеличивать с возрастанием температуры указывающей более термальное смягчение в материале. Смягчения экспонента имеет термальную чувствительность около 0.5/100 ;K. Модели константы a1 к a12 показаны в таблице 6.1.
Теперь со всеми модели константами определенными стресса-страдания диаграмма может быть  начерчена. Рисунок 6.4. описывает стресса-страдания кривую для всего ранга температур при сдвига страдании ставке 500/s. Модель согласна с экспериментальными результатами как на низких так и на высоких страданиях, и захватывает термальное смягчение с высокой точностью. Модель также показывает очень хорошее согласие с лабораторными данными на низких и высоких страданиях, где она захватывает смягчения поведение CR-1018 стали с хорошей точностью.


Рисунок 6.1. Стресса-страдания кривые CR-1018 стали для широкого ранга температур при сдвига страдании ставке 500/s (Данные Костин и др., 1980)

Рисунок 6.2. Изменение укрепления коэффициента B2 против температуры и страдания ставки.

Рисунок 6.3. Изменение укрепления экспоненты n2 против температуры и страдания ставки.

Таблица 6.1. Параметры конституционной модели для CR-1018 стали.

Рисунок 6.4. Стресса –страдания диаграмма CR-1018 стали для широкого ранга температур при сдвига страдания ставке 500/s (данные Костина и др, 1980)
6.3. Высшего порядка теория градиента
Использование классической  ставки- независимой теории пластичности или локальной теории решить статические и динамические проблемы не ложащиеся в свойственную шкалу длины и обычно ведут к численной стабильности проблемам, таким как сетки размер и сетки чувствительностям выравнивания (т.е. Бамман и др., 1999; Глема и др., 2000; Войияджис и Абу Аль Руб, 2006), частично, в проблемах демонстрируемого  явления локализации страдания. Недавно это было большой мотивацией для введения нелокальной или градиента теории.
Типичная градиента теория включает высшего порядка производной, дериватива члены в конституционных уравнениях вдоль с коэффициентами, что представляют длины шкалы измерения деформированного материала в микроскопическом уровне. Градиенты введенные в конституционные отношения учитывают для микроструктурного взаимодействия где материала поведение при любой точке полагается зависеть не только от  статуса той точки но также от статуса его соседних регионов. Это можно представить нелокальным тензором , что может быть выражен как взвешенная средняя его локальных коллег  над окружающим объемом V при малой дистанции  из позиции x такой как:

где a– функция свойственной длины шкалы и h(;)– весовая функция что распадается гладко далеко от точки x. Здесь h(;) будет равна Ih(;), где  I идентичный тензор который дает урожай изотропической весовой функцией. Для анизотропичной весовой функции идентичности тензор может быть перемещен с любым другим подходящим тензором. Используя Тейлора расширение ;=0 для A(x+z) мы получим:
[6.9]
где  обозначает градиента оператор. Если изотропичное поведение среднего полагается, то интеграл в уравнении [6.8] будет только сохранять члены с даже градиента операторов. Для простоты только первые два члена будут использовать выражение не локального тензора  так что:
[6.10]
которое упрощается к:
[6.11]
и . В уравнении [6.11] – функция связанная с квадратом материала длины шкалы и веса всех компонентов градиента равно, где l*–длины шкалы параметр и k– константа. Градиента форма в уравнении [6.11] может быть применена для примера к страданию, страдания ставке, укрепления или температуре. Один способ получить такую длины шкалу – использование экспериментальных результатов из инструментальных индентаций. Индентации тесты используют меру одной основной материала характеристики, крепкости металла. Эти тесты можно описать просто как форсирование крепкого индентора в относительно мягкий материал и нагрузки индентора измеримы против индентации глубины. Микро- и макро-  индентации тесты показывают, что материала крепкость увеличивается с уменьшением индентации размера в микро- и нано- шкале. Градиента пластичности теории показали хорошее согласие с этой материала размера зависимостью, что наблюдается в инструментальных крепкости экспериментах. (см. например Никс и Гао , 1998; Чонг и Лам, 1999; Вояджис и Абу Аль-Руб, 2002; Абу Аль-Руб и Вояджис , 2004).
В недавние годы новое объяснение для индентации размера эффекта были получены. Учение Никсом и Гао (1998) введена концепция страдания градиента пластичности основанная на дислокации теории. Никс и Гао (1998) показали что ISE поведение для кристаллиновых материалов может быть точно смоделировано используя концепцию геометрически  необходимых дислокаций. Никс и Гао (1998) основываются их причинами экспериментального закона необходимого прогрессу механизма основанной теории страдания градиента пластичности. Их модель  можно выразить как :
[6.12]
где H–микрокрепкость, H0 макрокрепкость и h –индентации глубина. Для стекла полимеров Чонг и Лам (1999) описали вариации крепкости используя странности градиента пластичности теорию, которая отличается от того Никса и Гао (1998) в способе сепарации     постоянной деформации процесса. Модель относит микрокрепкость к индентации глубины как следующее:
[6.13]
Вояджис и Абу Аль-Руб (2002) и Абу Аль-Руб и Вояджис (2004) развили новый метод определить материала длины шкалу используя микрокрепкость результаты из конических или пирамидальных инденторов. Связь между микрокрепкостью H, макрокрепкостью H0 и длины шкалы параметром l* следующая:
[6.14]
где ;–константа. Действительно используя ; равный двум мы перекрываем Никса и Гао (1998) отношение. Установкой ; равным одному, размера зависящая крепкость предложенная Чонг и Лам (1999) получена. Отсюда кажется, что экспонента  ;  должна изменяться между единицей и двумя, захваченное, в принципе, материала поведение различно от кристаллина к полимеру.
Вышеупомянутые три страдания градиента модели крепкости будут использоваться получить длины шкалы переменные, что можно осуществить в страдании градента пластичности моделях для регуляризации свойств. В этих экспериментах низкоуглеродистая холоднокатаная (CR) 1018 сталь, которая  среди наиболее возможных степеней, –протестирована для наноидентации так же как для Бринелля крепкости в порядке получить материала длину шкалы. Механические свойства и химическая композиция CR -1018 стали напечатаны в таблице 6.2. Наноиндентации эксперименты были выполнены на MTS Nano Indenter XP  системе с пирамидальным Берковича алмаза наконечника индентором, что может индентировать  материалы с глубиной 100 до 1000 нм. В тоже время силы -смещения отклик измеряется вовремя индентации. Через очень высокие данных- образца ставки система продуцирует очень точные данные любой инструментальной наноиндентации где каждая записанная данная точка –среднее  1000 сепаратных измерений. В дополнении когда применения Продолжительных Жесткости Измерений (CSM) техники система записывает жесткость данных вдоль с нагрузкой и смещения данных динамически, позволяя крепкости и Юнга модулю быть вычисленными при каждой данной точки приобретаемой во время индентации эксперимента. Бринелля крепкости машина используется получить жёсткости переменные на макрошкале. Это использует сферический индентор с нагрузкой в кг. Макроиндентации показаны на рисунке 6.5.

Рисунок 6.5. Брюнеля макро-индентации CR-1018 стали.

Таблица 6.2. Механические свойства и химические композиции CR-1018 умеренной (низкоуглеродистой) стали.
Различные индентации эксперименты проведены на CR-1018 стали с нагрузкой 10, 20, 40, 80, 160, 320, 500 и  640 мН, где максимум нагрузки, что может быть достигнут машиной 640 мН. При на каждой одной такой нагрузке результат вычислен из среднего девяти индентаций в порядке получить представленные чтения.  Для тестов Бринелля нагрузки использовались 3,000, 2 ,000, 1,000, и 500 кг .
Типичные нагрузки смещения кривые для CR-1018 стали при 320 мН показаны на рисунке 6.6. Высокий начальный ненагруженный наклон и малая перекрывающая глубина указывают высокую контактную жесткость и эластичный модулюс. Различные результаты при различной нагрузке начерчены вместе с макро – крепкости результатами на рисунке 6.7. Экспериментальные результаты показывают что  крепкости переменные увеличиваются с уменьшением индентации глубины, которая показывает что сталь обладает индентации размера эффектом. Нано-крепкости  увеличиваются с около 9.7 ГПа при 270 нм до макрокрепкости 1.31 ГПа при 0.5 мм.  Одно возможное объяснение для индентации размера эффекта в податливых материалах – различной пластичной деформации режимов связанных с размерами шкалы индента. Поток стресса малого объема материала  выше чем тот при большем объеме, возможно потому ограничение для зарождения и /или движения дислокаций в малом объеме. Чтобы получить длины шкалу, три модели уравнения [6.12], уравнение [6.13] и уравнение [6.14]  подгоняют к этим данным. Длина шкалы 15.8 мкм, связана с уравнением [6.12], 10.8 мкм согласно уравнению [6.13], и 10.8 мкм  согласно уравнению [6.12] с ;=1.2. Длина шкалы вычислена, используя уравнение [6.14] (Вояджис и Абу Аль-Руб, 2002; Абу Аль-Руб и Вояджис , 2004) –в между двух переменных используя другие две модели, которые ожидаются пока ; -1 для модели Никса и Гао (1998) и 2 для модели Чонга и Лам (1999). Как мера хорошести, товарности заполнения для регресса, коэффициент определения для модели предложенный Вояджис и Абу ль-Руб (2002) и Абу Аль-Руб и Вояджис (2004) –найден быть 0,975 спаренной с 0,972 для модели представленной Чонгом и Ламом (1999) и 0,951 для той Никсом и Гао (1998). Следовательно переменная 13 мкм будет рассмотрена в анализах в следующей секции. Пока проблема под рассмотрением здесь -динамичной природы, мы можем просто учесть для динамичного эффекта материальную длину шкалы включением динамичной крепкости модели такую как одна предложенная Альмасри и Вояджис (2007) . Тем не менее это –вне обзора этого контекста и только статическая длина шкалы будет использована.

Рисунок 6.6. Нагрузки –смещения кривая нано-индентации CR-1018 стали при 320мН.

Рисунок 6.7. Экспериментальная крепкость против индентации смещения с данными заполнения различных моделей для CR-1018 стали.
6.4.Двумерная плаcтина подвергнутая скорости граничными условиями
Это пример вводится, чтобы показать потенциал градиента теории в регуляризации конечного элемента результатов. Двумерная пластина подвергнута скорости граничным условиям на верхнем краю, пока дно фиксировано. Силы на единицу площади с двух сторон образца установлены к нулю. Их горизонтальные смещения приняты быть небольшими и                ничтожными полностью вдоль границ. Инициировать сдвига полосу в сетке, площадь в дна левой руки угол образца назначена 10% ниже урожая сопротивления чем отпуск сетки. Эта совершенная площадь нормализована быть 1/10 длины базы и это некоторая для каждой сетки.
Три сетки с 15;30, 30;60 и 45;90 четыремя узлами элементами с  2;2 интеграции точками (полная интеграция) проанализированы. Определения пластины H=0.6 м, W=0.3м, и материальные свойства Юнга модулюса E=200ГПа, и Пуассона отношение ;=0.35.
Деформированные формы различных сеток начерчены на рисунке 6.8. Локальные сетки зависимые анализы, что не включают градиента теорию, показывают высокую сетки чувствительность на рисунке 6.8(a). Деформация отмечает увеличить, где пластина более сжата и сдвига полоса более локализована когда сетка уточнена. Эта локализация высоко концентрирована вблизи негомогенности, которая указывает высокую сетки чувствительность. Обычно эта чувствительность устранена в нелокальной градиента теории анализах как показана на рисунке 6.8(b). Деформации форма и магнитуда почти некоторая в трех сетках. Хотя сдвига полосы ширина похожа в сетках, указывая что градиента формулировка                успешна в уменьшении любой сетки зависимости.
В дополнении к деформированной форме, эквивалентной пластической  странности контуры проиллюстрированы на рисунке 6.9(a) для локальных анализов и на рисунке 6.9(b) для нелокальных анализов. Контуры эквивалентного пластического страдания для локальных анализов сетки-независимые, которая ожидается пока деформация  кажется быть сетки –зависимой. Для нелокальных анализов сдвига полосы ширина показана быть независимой  элемента размера и имеет уникальную ширину. Эквивалентное пластическое страдание для локальных анализов увеличивается с уточнением сетки, чьи значения более страдания локализации происходят. С другой стороны разность между результатами нелокального эквивалентного пластического страдания в трех сетках – гораздо меньше чем та локальная одна, из-за регуляризации эффекта градиента теории.
Этот пример и его связанные результаты правят применение предложенной градиента теории и способности этого подхода уменьшить  и даже устранить сетки зависимости. Таким образом мы не нуждаемся очень точной сетки симулировать деформации локализации проблемы, и резонно точная сетка может использоваться вместо как показано в следующем примере.

Рисунок 6.8. Деформированная форма стальной плиты с последовательно уточненной сеткой используя (a) локальную сетки зависимые анализы и (b) нелокальные сетки независимые анализы, шкалы фактор=5.

Рисунок 6.9. Эквивалентного пластического страдания контуры под (a) локальной сетки- зависимыми анализами и (b) нелокальной сетки- независимыми анализами, шкалы фактор =1.
6.5. Сдвига линия в стальной пластины ударе рукой
Отказы в удара тестах часто смесь сдвига локализации и макротрещин (Бай и Додд, 1992). Так что процесс не легок для анализа. В дальнейшем не имеющаяся визуальная запись деформации и отказа во время опыта может быть взята  экспериментально, пока разделение  происходит на внутренних, скрытых поверхностях. Таким образом конечного элемента моделирование удара теста нуждается в соединении  с экспериментальными опытами позволить большее понимание внутренней деформации. Произошедшее адиабатического сдвига локализации в удара операциях так же как эффекты сдвига локализации по удара нагрузке и энергии –обсуждены в членах экспериментального наблюдения и численных моделях.
Роессиг и Мейсон (1999а) проводят экспериментальные исследования которые экзаменуют отказа способы 1018 стали, 6061-Т6 аллюминия сплава, и титаниума 6+4 сплава в серии удара рукой тестов с различными удара/ смерти очистки с различными средними страдания ставками используя  серво-гидралического сжатия машину, механический пресс и Хопкинсона бруска аппарат. Эти материалы были выбраны потому что их толстый кусок масла используется в индустрии и в широкой изменчивости в материала свойствах. Из-за симметрии проблемы пластина моделируется используя конституционную модель описанную ранее в этой  главе вдоль с нелокальным градиентом формулировки используя половину плиты конечного элемента модели со свойственными граничными условиями. Бесконечные элементы    (серые элементы на фигуре 6.8) используются представить расширение пластины в том направлении. Бьющий брусок массой 4.2 кг представляется как жесткого тела цилиндр и  предполагается, что не страдает любой деформацией. Галочка напоминание, что жесткого тела цилиндр не совершенно симметричен, где слегка отклонен  с задачей симулировать реалистичные экспериментальные результаты. Это будет случай очень малой ассиметрии в результатах. Конечный элемент предполагается отказать и оценивается, когда достижимо эквивалентное пластическое страдание 1.  Две толщины моделированы; 3,2 и 1,6 мм. Деформация 3,2 мм толстой пластины при удара скорости 14,25 м/ с различной  временной рамкой проиллюстирована на рисунке 6.10. Ударяющий брусок проникает в пластину всего около t=180 мкс. Бесконечные элементы позволяют более реалистичные  симуляции пластины где она может стороны пластины вращать с деформацией.
Нагрузка против смещения стальной пластины вдоль с экспериментальными результатами Роессинга и Мейсона (1999а) начерчены на рисунке 6.11. Нагрузка получена из пресса распределения на вершине поверхности стальной плиты, и смещение взято при центре низа поверхности. Численные анализа предсказания 3.2 мм пластины жесткости совпадают с экспериментальными результатами. Обычно укрепления поведение не захвачивается очень хорошо. Даже численные результаты Роессига и Мейсона (1999и) не могли захватить некоторое укрепления поведение. Причина  этого может быть недостаточная информация о стали используя в экспериментах так как стресса –страдания диаграммы при различной температурах и страдания ставках. Склон (жесткость) нагрузки- смещения кривой для 1.6 мм пластины кажется примерно половина одной для 3.2 мм пластины. Это указывает что, несмотря на случай изгиба проблемы, жесткость пластины связана линейно с пластины толщиной когда деформация – сдвига локализации типа. Хотя отказа нагрузка двух толщин закрыта (105 МПа для 1.6 мм плиты и 110 МПа для 3.2 мм пластины), отказа смещение было не то закрытое, с переменной примерно 2.4 мм и 1.5 мм и 3.2 мм плит соответственно.
Страдания энергии плотность модели показана на рисунке 6.12. Ясно что двойная толщина, грубо, будет двойной страдания энергии плотности хранится в пластине первой к отказу для сдвига полосы деформации, где достигнута к максимуму переменной 0.8 МПа для 3.2 мм пластины сравненной с 0.4 МПа для 1.6 мм пластины. Обычно вязкости диссипация энергии (рисунок 6.13) не ведут себя в похожем способе. В увеличении из 9 Нм для 1.6 мм плиты к около 11 Нм для 3.2 мм, которое значит что вязкости диссипация не линейно связана со сдвига полосой длины.


Рисунок 6.10. Деформированная 3.2 мм толстая пластина из-за удара скорости 14.25 м/с при (а)  t=40мкс (b) t=80мкс (d) t=160 мкс (e) t=180 мкс

Рисунок 6.11. Нагрузка против смещения CR-1018  стальной пластины из-за к удара скорости 14.25 м/с.

Рисунок 6.12. Страдания энергии плотность CR-1018 стальной пластины из-за к удара скорости 14.25 м/с.
Рисунок 6.13. Вязкости диссипации энергия CR-1018 стальной плиты из-за к удара скорости 14.25 м/с.
6.6. Заключения
Адиабатического сдвига ширина CR-1018 стали изучена в этой части используя простую конституционную модель. Пока наиболее конституционные законы не учитываются для смягчения поведения, страдания смягчения член был предложен к конституционной модели симулировать реального материала поведение. Смягчения член –функция температуры и страдания ставки, где модели константы могут быть легко получены используя стресса –страдания кривые при различных температурах и страдания ставках. Предложенная конституционная модель захватывает механическое материала поведение CR-1018 стали очень хорошо.
Наноиндентации тесты проводились на CR-1018 стали в порядке получить материала длины шкалу что можно использовать в градиента теории. Предлагаемый степенной закон конституционной модели с нелокальной теорией и материальной длины шкалой использовался симулировать адиабатической сдвига полосой. Нелокальная градиента теория показывает быть успешной в уменьшении сетки                зависимости в конечного элемента анализах для локализации проблем. Конечного элемента результаты также показывают хорошее согласие с экспериментальными данными в захваченной  нагрузки –смещения кривой ударенной плиты проблеме.
6.7. Библиография




Часть 7. Вязкопластичное моделирование анизотропичных текстурированных металлов
7.1. Введение
Развитие теоретических и симуляции способностей для моделирования высокой-страдания ставки стресса-страдания отклика претекстурированного металла является особенным для изменения применений порядка из анализов  разрушения-ценности и фореинг, образования-объекта повреждения в аэрокосмической системе, баллистике и брони применений, высокой-ставки формирования и высокой-ставки   сопоставления и т.д. С задачей сохранить анализы простыми, только минимальное описание материала поведения,  используя Джона Кука модель [JOH 83], главным образом рассмотрено. Эта модель включает изотропичный урожай, изотропичное страдания –  укрепление, страдания-ставки чувствительность, и термальное смягчение в одиночном 1D уравнении. Обычно систематические экспериментальные учения показывали что субструктуры эволюция значительно изменена изменениями в страдания ставке и температуре также как сплав и междувстроенное, интерститиал содержание и  текстура (например [KAS 00]). Отсюда чистая потребность для адекватного содержания пластичной  анизотропии и ее эволюции как функции страдания ставки и температуры.
В этой главе мы варим с моделированием анизотропии пластичного поведения поликристаллиновых агрегатов под динамичной нагрузки условиями.  К настоящему времени наибольшее внимание сконцентрировалось на моделировании материалов с кубической кристалла структурой. Ананд и сотрудники (см [ANA 97]) развили конечный элемент (FE) поликристалла модели для описания высокой страдания-ставки и большой деформации поведения  тела –центрированного- кубика (BCC) и грани- центрированного- кубика  (FCC) поликристаллов. Модлен и сотрудники [MAU 99a,b] обслуживали анизотропичную репрезентацию урожая поверхности полученную из  поликристалла калькуляции к численной модели динамического отклика текстурированного BCC тантала. Эти модели описывают квалифицировано хорошо важные геометрии изменения что происходят в образце во время Тейлора теста. Чтобы учесть экспериментально наблюдаемую выпуклую площадь рядом с собранных грибов концом Тейлора образца, Брюниг и Дриемейер  [BRU 07] численно симулировали нержавеющей стали цилиндры подвергнутые Тейлора удара тестам используя урожая функции что зависят от гидростатического давления,
, [7.1]
где I1 – значение стресса (гидростатическое давление), J2 -второй инвариант стресса девиатора, пока a и c материала параметры. Пока анизотропия ничтожна экспериментально несимметричные удара cледы не были захвачены в симуляциях.
В контраст моделирование динамики поведения гексагонального закрыто-упакованного (hcp) материала менее продвинуто. Пока под квазистатическими условиями те материалы  деформируются касанием и двойникованием; как страдания ставка увеличивается  или температура уменьшается двойникование становится доминантным деформации механизмом. Пока двойникование аккомпанирует зерен переориентацией и высоко направленное зерен взаимодействие, ответственно для значительной текстуры эволюции и строго сопротивления дифференциала (SD) эффектов (т.е. урожай в растяжении и сжатии не равен).
Главная рабочая рамка для описания урожая анизотропии и его эволюции с аккумулированной деформацией для квазистатических и динамических нагрузки условий предлагается поликристаллической вязкопластичностью. Недавно много усилий предпринято всунуть  анизотропию из-за кристаллической текстуры в FE симуляции (например [TOM 01]). Прямое осуществление поликристаллической вязкопластичности моделируется в FE кодах, где поликристаллина агрегат связан с каждой FE интеграции точкой, имеет прогресс, что следует эволюции анизотропии из-за текстуры развития. Обычно такая FE калькуляция компьютерно очень интенсивна, так как ограниченная  применимость такого подхода к проблеме,    что не требует точного пространственного разрешения. Альтернативный подход – развить вычислительно эффективного макроскопического уровня анизотропичные формулировки, что всовывают характеристики поведения hcp металлов при различных длинах шкал. Недавно эластичная/вязкопластичная модель для описания высокой ставки анизотропичного пластичного отклика текстурированных металлов была предложена Плюнкет, Казаку, Лебен и Барлат [PLU 07]. Ключ в этом развитии использование  недавно развитой анизотропичной урожая функции [CAZ 06]. Эта урожая функция (обозначена в том, что следует как CPB 06) описывает одновременно анизотропию и растяжения/сжатия асимметрию. Более того если параметр ассоциирован с сопротивлением-дифференциала эффектами – установлен к нулю, CPB 06 критерий аккуратно захватывает урожайность кубического металла без растяжения/сжатия асимметрии. 
Больше деталей сваривающие эту урожая функцию и моделирующие hcp металлы для квазистатической нагрузки могут быть найдены в главе 5 этой книги.
План этой главы –как следует: секция 7.2 проводит презентацию эластичной/вязкопластичной модели [PLU 07]. Секция 7.3 представляет применение модели к гексагональным  орторомбическим поликристаллам, подчеркивая процедуру определения эволюции законов. Применение модели проведено спариванием FE симуляций с квазистатическими экспериментальными тестами и Тейлора удара тестами. Высокой симметрии материалы (BCC) также протерты с подходом использующимся для моделирования более анизотропных материалов (т.е. с оборота текстурой)  и вязкопластичный отклик во время удара тестов также проанализирован.
7.2. Анизотропичная эластовязкопластичная модель
Анизотропичная эластично/вязкопластичная модель [PLU 07] разработана описать одновременно влияние страдания ставок, температуры и оборота текстуры по неэластичному отклику текстурированных металлов. Основное допущение, что вязкие свойства материалов провозглашаются только после пропуска пластического статуса. Так страдания ставка  может быть разложена дополнительно в эластичную часть  и вязкопластичную часть , последняя перепредставляет комбинацию вязкого и пластичного эффектов, т.е.
[7.2]
Эволюция вязкопластичной страдания-ставки рассмотрена быть данной надстресса типа законом формы:
, [7.3]
где
[7.4]
  В уравнении [7.3] f- квазистатическая урожая функция, g - квазистатический пластичный потенциал, ; вязкости  параметр и m – страдания –ставка чувствительности константа. Квазистатического урожая функция:
[7.5]
где Y– укрепления параметр, который функция аккумулированного эквивалента вязкопластичного страдания , и, возможно, температуры T, пока – эквивалентный стресс ассоциированный с CPB 06 урожая функцией ([CAZ 06], [PLU 06]) т.е.:
[7.6]
В уравнении [7.6], ;1, ;2, ;3 -принципиальные переменные тензора ;=L:S (где L – четвертого порядка ортотропичный тензор, что дает рефлект, ослабляет пластичную анизотропию  материала и S- девиатор Коши стресса тензор), k- сопротивления дифференциала параметр, и а– гомогенности константа. Отметим что для случая когда a=2, k=0,  и L равны к четвертого ранга идентичности тензору, CPB06 уменьшается к фон Мизеса критерию.
Чтобы учесть эволюцию анизотропии из-за оборота текстуры,  мультишкалы процедура предложена. Основана на экспериментальных текстурах и стресса-страдания кривых, поликристаллина калькуляции используют вязкопластичную самоконсистентную (VPSC) модель (Левенсон и Томе [LEB 93]) и макроскопической шкалы интерполяции технику. Процедура стартует заполнением параметров VPSC поликристаллической модели к репродукции механического отклика поликристалла вдоль данной деформации пути (отметим что измеренная изначальная текстура нуждается как ввод для поликристаллической модели). В следующем, используя VPSC код, эволюция текстуры вычислена при данной деформации уровне  вдоль некоторого деформации пути. Затем, с задачей определить количественно индуцированную анизотропию, пред-страдающий поликристалл далее «численно» апробируется вдоль различных направлений. Вычисленные урожая стрессы вдоль различных теста направлений в свою очередь использованы определить коэффициенты , ,  вовлеченные в макроскопический CPB06 урожая критерий и таким образом получить макроскопическую CPB06 урожая поверхность соответствующую текстуре для данного уровня предстрадания,   калькуляцией согласно уравнения [7.6], так же как . Эта процедура повторена для конечного набора предстрадания уровней . Далее, интерполяции процедура используется получить макроскопические урожая поверхности соответствующие любому предстрадания  уровню [PLU06],                т.е.:
[7.7a]
[7.7b]
для любого . Интерполяции параметр  появляющийся в уравнении [7.7] определен как:
[7.8]
Галочкой отмечено что, хотя свыше процедура поставляет вязкопластичный отклик для любого примененного статуса при любой аккумулированной деформации, такой механический отклик представляет, передарит хорошую аппроксимацию для актуального поведения материалу только для примененной нагрузки со скромным отклонением с отношением к принятому предстрадания деформации пути.
7.3. Применение к циркониуму
7.3.1. Квазистатическая деформация циркониума
В этой  и следующих секциях мы представляем применение модели к циркониуму. Результаты неосевого сжатия опытов часы-прокатанного циркониевой пластины были описаны [MAU 99b], [KAS00] и [TOM 01]. Это hcp агрегат высоко анизотропичный как на одиночного кристалла так и на поликристалла уровнях. Был процесс через серию часов-катящихся и отжига циклов продуцировать пластины со строго базальной текстурой (‹с›- оси hcp кристаллов предоминантно ориентированные вдоль пластины нормального направления). Процесс множественного катящегося пропускается с вращением был использован с задачей получить близко изотропичную  в- плоскости текстуру. Пусть (x,y,z) будет координаты переноса рамка связанная с пластиной, где (x,y) плоскость соответствует оригинальной катящейся плоскости, пока z– направление есть через- толщины (TT) направление. Право-круглые цилиндрические теста образцы были отрезаны из пластины в через- толщину (z-) и в плоскости (x- и y-) направлениях. Квазистатические тесты в обоих направлениях были вынесены  при комнатной температуре (298 K) и жидкого азота температуре (77 K)[TOM 01]. Здесь мы анализируем только комнатной температуры результаты. Теста результаты указывают, что механический отклик высоко зависим по предоминантной ориентации ‹с›- осей с отношением к нагрузки направлению [TOM 01]. Большая вариация, наблюдаемая в потока стрессе и страдания-укрепления ставки,  из-за относительной ориентации возможного двойникования и касания систем и критических стресса уровней требует активировать их. В случае через-толщину образцов нагрузка сжатия применяется препендикулярно к базальной плоскости, так крепкое пирамидальное ‹c+a› касание – доминантный механизм. Сжатия нагрузка в-плоскости образцов предпочтительна для активации призматического касания и растяжимого двойникования, таким образом пластический поток берет место для низких примененных тестов. В чем следует, все  доложенные численные тесты используя VPSC модель перенесены предполагая: i) экспериментальные начальные текстуры (содержащие 377 ориентаций) часов –катящихся циркониума пластины ii) деформации механизмы характеризующиеся как ориентации при комнатной температуре (т.е. призматическое ‹a›–касание, пирамидальное ‹a+c›– касание и растяжимое двойникование) и переменные касания и двойникования параметры (критические стрессы, укрепления коэффициенты, ставки чувствительности экспонента) как доложено [TOM 01].
Эволюция урожая поверхности из-за оборота текстуры может быть изучена выполнением численного теста используя VPSC модель. Для часов –катящихся пластины циркониума описанной предварительно, код был сперва использован характеризовать эволюцию урожая поверхности во время IP сжатия. Для этих целей поликристалл был предстрадания вверх к данной деформации уровням. Рисунок 7.1 показывает биаксиальные стресса плоскости проекции VPSC урожая места (символы) соответствующие предстрадания уровням , , , , ,  и . Следующее, для каждого индивидуального престранного уровня мы получим  и определим коэффициенты  , ,    (смотри также как ). Эта процедура была повторена для всех семи престранных уровней. Линейная интерполяции процедура использовалась получить макроскопического урожая поверхности линии соответствующие любому предстрадания уровню (смотри уравнение [7.7]). На рисунке 7.1. прерывистые линии представляют CPB06 урожая поверхности для междусреды предстрадания уровней полученных используя линейную интерполяцию. Отметим что аккуратные описания оборота урожая функции вверх к IP сжатию предстрадания уровней около 30% и, далее, вверх до 60% необходимы для квазистатического в- плоскости сжатия симуляции ниже, и для Тейлора цилиндрического симуляции в следующей секции соответственно. Хотя отметим что успешные урожая функции проекции для предстрадания выше чем 5% более круглые и центрированные, отражение  уменьшения пластической анизотропии. Этот эффект связан с высоко растяжимой двойникования активностью и сопутствующего обязательства строгой переориентацией двойной порции зерен что имеет место во время в плоскости сжатия.

Рисунок 7.1. Теоретическая урожая поверхности эволюция для циркониума часов-катящейся пластины во время в-плоскости сжатия для различных уровней предстрадания. Сплошные линии: CPB06 урожая поверхности соответствующие фиксированным предстрадания уровням, определенным используя VPSC код (символы). Прерывистые линии: CPB06 урожая поверхности для междусреды предстрадания уровней полученная линейной интерполяцией.
Предложенная модель была использована симулировать неосевое сжатие правого цилиндра круглой кросс-секции с осью параллельно к в-плоскости x–направлению до 28% удлинения страдания и спарена с экспериментальными результатами доложенными Томе и др. (рисунок 7.2) . Отметим что, потому что z– направление  очень трудно деформировать, образец деформируется наиболее в y– направлении и кросс-секция деформированного образца становится эллиптической. Симуляции предсказывают в – плоскости  расширение  22% и вне-плоскости расширение 6% (или овализации длиный/короткий радиус =1.19), которые cогласны очень хорошо с экспериментальными результатами доложенными в [TOM 01]. Галочкой отмечено что под допущением изотропического укрепления и фиксированной переменной анизотропии коэффициенты отвечают  предстрадания уровню, симулированное расширение 27% в –плоскости и 1% вне–плоскости. Чисто показано, что хорошее согласие с экспериментальными результатами можно получить только если анизотропия индуцированная текстуры эволюцией (в случае уменьшения пластической анизотропии) взята  в учет. Рисунок 7.2. а показывает финал ABAQUS FE сетки. Фотография финала экспериментальной кросс-секции формы и суперизложенной симуляции результатов (полученные используя FE программы EPIC прямо связанные к VPSC коду) показана на рисунке 7.2b (симуляции и данные после [TOM 01]). Сравнение демонстрирует  очень хорошее согласие с экспериментальными результатами, может быть получено иcпользуя правомерную изначальную урожая поверхности презентацию и укрепления закон что учтен для текстуры эволюции.

Рисунок 7.2. Кросс-секции для квази-статического сжатия для циркониума цилиндра  с осью параллельно к в- плоскости направлению. (а) Финал ABAQUS FE сетки полученной с [PLU 07] моделью. (b) Фотография финальной экспериментальной кросс-секции и EPIC/VPSC симуляции результаты (прерывистая линия) после [TOM 01]. Стрелки указывают предоминантные направления кристаллографических ‹с›-осей.
Следующее, мы представляем симуляции для квази-статики через- толщину сжатия для некоторого циркониума образца. Рисунок 7.3. показывает урожая стрессы полученные с VPSC кодом (символы) для пяти индивидуальных сжатых предстрадания уровней (0.2%, 1%, 5%, 25% и 35%) вдоль через- толщины направления, соответствующие пяти индивидуальным CPB06 урожая поверхностям для которых коэффициенты были получены (сплошные линии), и урожая поверхности на междусредних уровнях страдания полученного  линейно интерполяцией (прерывистые линии). Отметим что в этом случае уменьшение в пластической анизотропии как предстрадания уровень увеличивается  меньше отмечено  чем для в-плоскости сжатия. Это отражение недостатка для двойникования активности в через- толщины сжатии.
Отметим что CPB06 урожая поверхности эволюция ассоциированная с деформацией индуцированной изотропии в неосевом сжатии вдоль z–направления очень отлична от эволюции связанной с неосевым сжатием в плоскости направления (смотри рисунок 7.1. и 7.3 ). Через –толщины сжатие доминирует, является главным образом касанием, так текстура не значительно изменяется во время нагрузки, в то время как во время в- плоскости сжатия, растяжимое двойникование легко активируется так продуцируя строго эволюцию в текстуре. Урожая поверхность нарисованная на рисунке 7.3.  в рубильник, в поворот использовалась в ABAQUS FE симуляции  сжатию  правого цилиндра круговой кросс-секции и оси параллельной к z-оси до 28% удлинения страдания, и сравнена с экспериментальными результатами (рисунок 7.4). Пока сжатие имеет место вдоль оси симметрии образца, финал кросс-секции остается круглым. Модель корректно предсказывает экспериментальные результаты (смотри рисунки 7.4а и 7.4b).

Рисунок 7.3.  Теоретическая урожая поверхности эволюция для циркониума часов-катящейся пластины во время через-толщину сжатия для различных уровней предстрадания. Сплошные линии: CPB06 урожая поверхности соответсвующие фиксированным предстрадания уровням, определенным используя VPSC код (символы). Прерывистая линия: CPB06 урожая поверхности для междусреды предстрадания уровней полученных линейной интерполяцией.
Рисунок 7.4. Кросс-секция для квазистатического сжатия циркониума цилиндра с осью параллельной через-толщину направлению. (a) Финал ABAQUS FE сетки полученной с [PLU 06] моделью. (b) Фотография финала экспериментальной кросс-секции и EPIC/VPSC симуляции результатов (сплошные линии) после [TOM 01].
7.3.2. Высокая страдания -ставки деформация циркониума
Контролируемого удара тесты использовались охарактеризовать высокий страдания-ставки механический отклик металлов. Так тесты обеспечивают результаты в 104-105 с-1 страдания- ставки ранга, прямо свыше чем данные приемлимые через Хопкинса –Бара технику и ниже удара экспериментации. Один стандарта подход используемый -это удар правого круглого цилиндра по массивной наковальне (жёсткой пластине) или по рецептору прута идентичного материала. Этот эксперимент вообще назван Тейлора удара тест [TAY 48]. Из-за удара прут пластически деформируется и сокращается причиняя материалу на удара поверхности поток радиально наружу относительно оси прута.
Эта эластичная/ вязкопластичная модель была далее применена используя Тейлора цилиндра удара теста результаты доложенные [MAU 99b]. В-плоскости образцы использованные в экспериментах были отрезаны некоторой циркониума пластиной описанной и характеризуемой в    предыдущей секции (т.е. цилиндрические оси были соединены с в-плоскости направлениями). Например результаты симуляции соответствующие удара скорости 243 м/с представлены. Модель предсказывает с точностью финальную геометрию образца т.е. результаты овализации 1.13, которая ясно указывает уменьшение в анизотропии. Это уменьшение  должное к большей двойной объема фракции результирующей из страдания около 60-70% при удара секции, которая имеет тенденцию уменьшить интенсивность текстуры. Ключ в получении реалистичной симуляции результатов ставки –зависимого поведения моделирует искажения урожая поверхности из-за текстуры эволюции. Чтобы продемонстрировать эту точку, на рисунке 7.5. показано сравнение между экспериментальным минорным профилем пост-теста образца, симулируемым профилем используя предложенную анизотропии модель (рисунок 7.5(a)) и используя изотропное укрепление основанное на 0.2 % урожая поверхности (рисунок 7.5(b)).
Рисунок 7.6 изображает визуальное сравнение между симулируемыми и экспериментальными мажорными и минорными профилями и следом пост-теста образца. Небольшая разница между экспериментальными данными и симуляции результатами более относятся к температуры эффектам, которые были не взяты в рассмотрение в симуляциях потому что экспериментальные данные не были доступны.

Рисунок 7.5. Сравнение теоретических (линии) и экпериментальных (символы) логарифмических страдания профилей пост-теста Zr Тейлора удара образца: используя анизотропичную модель [PLU 07]; данные после [MAU 99b].
Рисунок 7.6. Сравнение симулируемых (с осевыми  пластическими страдания  контурами) и экспериментальными кросс-секциями пост-теста циркониума Тейлора удара эксперимента для мажорного профиля, минорного профиля и след; данные после [MAU 99b].
Дополнительные тесты на чистом Zr были вынесены на Eglin Air Force Base Хаус и др [HOU 05]. Образцы взятые из часов катящихся пластины и подвергнутые различным отжига условиям. Отжиг дает результаты в больших зерен размерах и изменяет текстуры как показано полюса фигурами и микрографами на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7. 0002 Полюса фигуры и микрографы чистого Zr; данные после [HOU 05]
Квазистатические тесты в в-плоскость и через- толщину направлениях  выполнили с различными образцами. Для каждого отжига условия большие изменения наблюдались в потока стрессе и  странного –укрепления ставке зависящей от чувства и ориентации для нагрузки направления с отношением к ‹с›-осям. Мажора разность между различными условиями есть увеличение двойникования активности в больших зерен образцах отожженных при поднятой температуре. Используя текстуру измеренную для образцов в как-рабочий статусе и после отжига при 725 ;С, VPSC код использовался захватить доступные квазистатические стресса –страдания данные. В последствии вычисленные урожая поверхности эволюции для как-работающего и 725 ;С отжига условий показаны на рисунке 7.8. Очевидно из чертежа что отжига условие  изначально менее анизотропично из-за меньшей структурированной изначальной текстуры (смотри рисунок 7.7.), и увеличенная двойникования активность в большем зерен отжига материале изменяет текстуры гораздо более быстро с аккумулированной деформацией чем меньший зерен как-работающий материал.
Далее Тейлора удара тесты выносят на образце отрез из каждой пластины. Высокого разрешения сканирование сфотографированного следа т.е. кросс-секционная площадь при удара интерфейсе (т.е. y–z плоскость) и cфотографированных стороны профилей для мажор и минор разрешений взято. Из анализов оцифрованных стороны профилей, как функция осевой позиции z, измеренных относительно к удара интерфейсу, логарифмические страдания получены. Смоделировать наблюдаемую динамику поведения мы использовали методологию описанную в секции 7.2. FE симуляции Тейлора удара тестов захвачены экспериментально наблюдаемые анизотропичные отклики для этих материалов (смотри рисунок 7.9).

Рисунок 7.8. Теоретическая урожая поверхности эволюция для как-сохраненной циркониума пластины (а) и отожженной при 725 ;С (b) во время в-плоскости сжатия для различных уровней предстрадания. Сплошные линии: CPB06 урожая поверхности соответствующие фиксированным предстрадания уровням, определенные используя VPSC код (символы). Прерывистые линии: CPB06 урожая поверхности для междусреды предстрадания уровней полученных линейной интерполяцией.
Рисунок 7.9. Сравнение теоретических (сплошные линии) и экспериментальных (символы) профилей пост –теста циркониума Тейлора удара образца используя анизотропичную модель [PLU0]; мажор и минор профили для образцов из как– полученной пластины (a) и из 725; отжига пластины (b). Данные после [HOU 07]. Оригинальный образца профиль показанный прерывистой линией.
7.4. Высокая страдания-ставки деформация тантала
Анизотропичная эластовязкопластичная модель [PLU 07] была развита захватить анизотропичное, ассиметричное поведение укрепления hcp металлов. Статическая урожая поверхность в этой модели – CPB06 урожая поверхность. Обычно CPB06 критерий может быть также использован представлять урожая поведение материала с кубика кристаллографической структурой с не симметричным растяжения /сжатия урожая просто установкой сопротивления дифференциала коэффициента к нулю. В этой секции мы применяем предложенную формулировку к описанию анизотропии BCC тантала листа (полученного ненаправленным катанием и отображающим неортропичную текстуру) подвергнутому высокой страдания-ставки и большим пластическим деформациям (данные после [MAU99a,b]).
Нет достаточно экспериментальных данных доступных определить анизотропичную урожая функцию тантала листа. Таким образом  оценить коэффициенты вкрученные в  CPB06 урожая критерий, переменные урожая стрессов в различных направлениях вычисленных [MAU99a,b] используя Тейлора-Бишопа –Хилла (TBH) поликристалла модель были использованы. Неосевого сжатия теста результаты при различных страдания-ставках и температурах были доложены для тантала образцов отреза из некоторой катанной пластины. Результаты Сплит-Хопкинсона бруска тестов выполненных  при различных температурах в ранге 200;С-1000;С и для страдания –ставок в ранге 2,800-3,900с-1 показали что сжатия отклик зависит от страдания–ставки и температуры. Урожая стресс был найден увеличить с увеличением страдания-ставки  и увеличением температуры. Эффект температуры сжатого урожая стресса тантала смоделирован согласно Джонсона –Кука закона формы [JOH 83]:
[7.9]
Для тантала, ;=16,640 кг/м3 и cp=140 Дж/кгК. В дальнейшем используя доступные данные вязкость ;=1,500с-1 и страдания –ставки чувствительности параметр m=5.0 (смотри уравнение [7.3]) определили. В следующем мы оцениваем предсказанную способность представленной модели предсказать некоторые геометрические изменения тантала образца после Тейлора-удара цилиндра эксперимента доложенного [MAU 99a]. Металлографические анализы пре- и пост- теста образцов показывают ничтожную текстуры эволюцию, так в наших симуляциях мы предположим изотропичное укрепление. При 100 мкс образец восстанавливал отключение цели и все пластические деформации прекращались. Симулированные и экспериментальные пост-теста образцы визуально сравнены на рисунке 7.10. Очень хорошее согласие наблюдается.
 7.5. Заключения
Макроскопическая анизотропичная эластовязкопластичная модель, что захватывает влияние оборота текстуру по механическому отклику претекстурированных металлов для квазистатистических и динамических кондиций нагрузки была предложена. Урожайность описывалась используя недавно развитую анизотропичную урожая функцию предложенную [CAZ06]. Эта урожая функция может захватить одновременно анизотропию и растяжения/сжатия ассиметрию. Обычно если параметр, ассоциируемый с  сопротивления дифференциальными эффектами, установлен к нулю, урожая функция тоже описывается с точностью урожайности металла с кубической симметрией.

Рисунок 7.10. Сравнение между симулируемыми (с контурами осевой пластического страдания) и экспериментальными тантала Тейлора удара образцами. Фотографии пост –теста образцов после [MAU99a,b].
Анизотропии коэффициенты также как размер эластичного домена  рассматривался быть функцией аккумулированного пластического страдания. Специфическое выражение для эволюции закона определялось используя мультишкалы методологию, т.е. экспериментальную информацию (кристаллографической текстуры и стресса-страдания кривой вдоль простых деформации путей) поликристаллина калькуляции, и с макроскопической шкалы интерполяции техника. Перестресса подход был использован рассмотреть ставку эффекта. Предложенная модель сперва применялась к описанию квази-статического поведения  высокой чистоты циркониума при комнатной температуре во время  в-плоскости сжатия. Сравнение между симулируемыми и экспериментальными кросс-секциями образца показывает что модель захватывает строго зависимость механического отклика по ориентации ‹с›–осей с отношением к нагрузки направлением. Перестресса формулировка далее применялась к описанию высокого страдания-ставки отклика низкой симметрии (часы-катящиеся  циркониума) и высокой симметрии (катящийся BCC танталум) претекстурированного металла. Очень хорошее согласие между симулированной и экспериментальной пост-теста геометрией Тейлора удара образцов в членах мажора и минора стороны профилей и удара следы доказывают способность модели  описать нанесения удара разность в эволюции анизотропии между циркониумом и танталом.
Благодарность: авторы обязаны Др. Дж.В. Хаусу за обеспечение микрографа, текстуры информации и механического теста результатов по Zr. Мы благодарим Риккардо Лебенсона  за обеспечение VPSC кода и за плодотворную дискуссию оборота урожая места. О.К. благодарит Профессора Фреда Барлата, Похонг Университет, Корея, за плодотворные дискуссии и комментарии и Др. Дж. В. Юун из Алкоа Инк. За неоценимую помощь в FE численных осуществлениях.
7.6. Библиография



Часть 8. Нелинейные эластичные негомогенные материалы: единой формы поля страдания и  точные отношения
8.1. Введение
Эффективные механические и физические свойства локально негомогенного материала зависят интимно от его микроструктур. Эта зависимость делает ее в основном невозможной точно определить их. В последствии большое число приближения методов такие как вариационная ограничения техника и аналитические и численные оценки схемы должны быть развиты для подхода их предсказания. Обычно хотя в ранних пионерских работах [HIL 52;63;64], [KEL 63], [LEV 67] и [CRI 68], несколько точных отношений были открыты для эффективных свойств бесспорно локально негомогенных материалов. Использование точных отношений троекратно. Во –первых, может служить прямо для определения эффективных свойств. Во-вторых, может быть использовано как бенчмарк, эталонное тестирование для аналитических и численных приближения методов. В-третьих, может  позволить  нам получить лучшее понимание зависимости эффективных свойств от микроструктуры.
До начала 1990 годов нет систематических методов должных быть развитых для поиска точных отношений для эффективных свойств негомогенных материалов. Признание первой важности концепта, понятия униформных полей в негомогенной среде (Смотри например [DVO 90]) было бесспорно поворотной точкой в поиске вне общих точных отношений для большого класса негомогенных материалов. С тех пор затем и особенно за последние 10 лет  сравнимый прогресс был выполнен ([MIL 97;02];[GRA 98a; 98b; 00]; [TOR 01]), так что главная теория точных отношений теперь в порядке как инструмент дополнительный для нечисленных приближения методов. Тем не менее представлена эта теория в основном ограниченной к линейным явлениям отдельно от некоторых изолированных результатов ([TAL 98]; [PON92a; 92b]; [MIL 97; 00]; [LEV 98]; [He 99]). Эта глава нацелена на уменьшение этого промежутка систематически расширяя подходящую  теорию к нелинейным эластичным материалам которые локально негомогенны в одном, двух или трех направлениях и чьи прототипы слоеные, волокон- укрепленные, матрицы – включения композиты или поликристаллы. Даже хотя это расширение выносит в отношение к эластичности, релевантная методология может быть применена к другим нелинейным механическим и физическим феноменам.
Глава организована следующим образом. В секции 8.2, систематический метод основаный на неявной функции теореме предложен найти вне, обнаружить условия для существования локально униформных страдания полей в многофазном материале и точно определить всеобщий стресса отклик такого материала для макроскопического страдания связанного с локально униформными страдания полями. В секции 8.3, новая процедура использована продемонстрировать  главные точные соединения между эффективного эластичного тангенса модули двуфазного материала оцененного при каждом макроскопическом страдании соответствующего локально униформным страдания полям. В секции 8.4 и 8.5 кубика поликристалл чье эластичное конституционное отношение наиболее главная единица, и степенного  закона волокна-укрепленных композиты наблюдаются как два примера применения главного результата секции 8.2 и 8.3. Наконец, несколько заключительных наблюдений даны в секции 8.6.
8.2. Локальные единой формы поля страдания
Материал под исследованием содержит m(;2) индивидуально однородные фазы, которые совершенно бондед, выигрышны вместе через их интерфейс. В дополнение положено быть статически гомогенным на макроскопическом уровне. Пусть ; будет домен, область занятый представленным объема элементом (RVE) материала и пусть ;(r) соответствует суб-домену, подобласти фазы r(=1,2,…,m). В дальнейшем мы определяем границу ; из д;, фазы интерфейс из Г, объёма среднее над ; из ‹·› , объема среднее над ;(r) из ‹·›r, объема фракция фазы r из cr.
Локальное (или микроскопическое) поведение каждой фазы материала предположено быть нелинейно эластичным. Отмечая неконечный страдания тензор E и Коши стресса тензор S, локальное стресса-страдания отношение материала определено
[8.1]
Здесь S(r)(E) нелинейное стресса-страдания отношение фазы r и ;(r) характеристическая функция ;(r) так что ;(r)(x)=1 для   и ;(r)(x)=0 для . Эти характеристические функции полностью описывают микроструктуру материала. Далее стресса-страдания отношение S(r)(E) каждой фазы положено быть дифференцируемым и подтверждает начальные условия
S(r)(0)=0
Физически это означает что каждой фазе не подходит любой резидентный стресс.
Как фазы нелинейно эластичны и превосходно выигрышны вместе, эффективное (или макроскопическое) поведение материала  также нелинейно эластично. Эффективное стресса-страдания отношение имеет форму
[8.3]
Выше  и  макроскопические стресса и страдания тензоры. В общем стресса –страдания отношения [8.3] не могут точно определиться, потому что их определение включает решение нелинейной границы переменной проблемы. Обычно ожидается что [8.3] может оцениваться точно для некоторых частиц переменных макроскопического страдания тензора. Действительно под допущением [8.2] мы тривиально имеем
[8.4]
для . Стартуя из начальных условий [8.2], мы теперь продвигаемся искать вне условий под которыми [8.3] можно точно вычислить для ненулевых макроскопических страданий ассоциированных с локально униформными страдания полями.
Для наших задач рассмотрим униформное страдания поле E* над ;. В пределах жёсткого тела смещения E* выведено из смещения поля u*(x)=E*x которое уверяет смещения продолжение через фазы интерфейсы Г. Далее опираясь на гипотезы что все фазы гомогенны, результата стресса поле  S(x,E*) униформно в каждой фазе и уверяет равновесия уравнениям в каждой фазе так долго как тела силы ничтожны. Так только остается экзаменовать стресса продолжение через Г.
В довольно главном способе интерфейса стресса продолжения требование удовлетворяет униформы страдания индуцированным стресса полям S(x,E*)  если следующее условие выполнено:
, [8.5]
где P ортогональная проекция из пространства Sym всех второго порядка симметричных тензоров к одному из его под пространств и x` любая точка ;. Форма P зависит от микроструктуры. В этой работе мы интересуемся в следующих 3 типах микроструктур (смотри рисунок 8.1):

Рисунок 8.1. Три типа микроструктур: (а) тридирекционально, в трех направлениях неоднородность; (b) двунаправленная;  (с) однонаправленная неоднородность.
Тринаправленно негомогенная микроструктура. Композит сделан матрицей и включения одного типа. Поликристалл также эго типа. Для этих материалов P просто четвертого порядка идентичности тензор 1:

где I второго порядка идентичности тензор и использование делает отметку  для любых двух второго порядка тензоров A и B.
Бинаправленно негомогенная микроструктура. Композит состоит из матрицы перевфорсированной, укрепленной продолжительными параллельными волокнами этого типа. Отмечая волокон направление единичным вектором n, проекции оператор P берет форму:
[8.7]
с .
Однонаправлено негомогенная микроструктура. Композит с продолжительно параллельными плоскостями вдоль этого типа. Если направление перпендикулярно слоям определена единичным вектором тогда проекция оператора P дана:
[8.8]
c .
Там в факте существует униформы страдания поле E* удовлетворяя условию [8.5]? Ответить этот вопрос, наблюдаем что [8.5] вместе с [8.1] подразумевает что E* должно быть решением системы уравнений:
. [8.9]
Как в [HE99] ключ показать условия существования решений для [8.9]–применить неявной функции теорему.

Рисунок 8.2. Область D, коллектор M униформных страдания решений, тангенс плоскости TM к M при E*,  и разложение страдания вариации ;E в тангенса компоненты ;E* и ;E`.
Сперва используя нуля резидентное стресса допущение [8.2], мы видим что E*=0 тривиальное решение [8.9]. Следующее гипотезы стресса-страдания отношений S(r)(E) (r=1,2,…,m) непрерывно дифференцируемы. Эти значения что четвертого порядка тангенса тензора   определены

для любого второго порядка симметричного тензора ;E непрерывны. Пусть  будет ядро пространства тензора , т.е
[8.10]
и пусть q будет определение подпространства результатом из подсекции ядра пространства определенного [8.10] с 1;i<j;m:
[8.11]
Достаточное условие для существования ненулевого решений для  [8.9] есть затем требование:
q;1. [8.12]
Действительно, когда [8.12] удерживается, неявная функции теорема (смотри например [BOR 98]) может быть примененной заключить что здесь открытая область  включая E*=0 такая что
 [8.13]
дифференциальный коллектор определения q в страдании тензора пространстве (рисунок 8.2). В дополнение тангенса плоскость к M при E*, обозначена как TM(E*), дана
[8.14]
и определение TM(E*) равно q, т.е.
[8.15]
обеспечивая .
С каждым локальным униформы страдания полем E* ассоциирует макроскопический тензор  такой что . Так мы можем написать  без конфуза. Результат локального стресса поля  в любой фазе r –униформа и, более того,  для любой пары фаз i и j. Последовательно макроскопическое стресса-страдания отношение [8.3] можно просто и точно определить для любого макроскопического страдания тензора  как следующее:
[8.16]
где  и выбор фазы произволен.
Теперь дайте нам экзаменовать ключа условие [8.12] с отношением к трем типам микроструктуры рассмотренной в этой работе. Упростить этот экзамен, мы ограничимся двуфазным материалом. Так [8.9] уменьшено к
P[S(2)(E)-S(1)(E)]=0
и условие [8.12] вместе с [8.1] становится
[8.18]
Для тринаправленно  негомогенной микроструктуры P дано [8.6] и условие [8.18] содержит требование:
[8.19]
Чисто это не содержит в главном и только некоторая частично триенаправленно негомогенность двуфазного материала может удовлетворить [8.19]. Когда микроструктура бинаправлено негомогенность,  P дано [8.7] и соответственно
, [8.12]
Опираясь на факт что , затем [8.18] всегда удовлетворяет двунаправлено неоднородным материалом. Обычно дайте нам отметить что с волоконным композитом сделанным до трех и более чем три фазы, условие [8.12]  вместе c [8.11] не может обычно выполнено. Когда однонаправлено негомогенная микроструктура сварена, P берет форму [8.8] и затем
[8.21]
так что [8.18] тривиально верно. Мы также отметим что для слоенного композита сравнены три и более чем три фазы, условие [8.12] верно только в некоторых частных случаях.
 8.3.Точные отношения для эффективных эластичных тангенсов модули
В предыдущей секции было показано как локальные униформы   страдания  может быть генерируема в нелинейно эластичном многофазном материале и  форме дифференцируемого коллектора  M. Также показано что эффективные стресс-страдание отношения могут быть точно определены в каждой точке M. В этой секции точные отношения будут дальше представлены соединить эффективные эластичные тангенс модели определенные в любой точке M. Чтобы упростить выражения, мы ограничимся двуфазными материалами.
Рассмотрим фазу r(=1,2). Вариация  его стресс S(r)(E) из-за вариации ;E его страдания E дана
[8.22]
В похожем случае вариация  макроскопического стресса  из-за вариации  макроскопического страдания  дано
[8.23]
В [8.22] и [8.23] -тангенса тензора  фазы r оцененной для странности E и  эффективный тангенса тензор оценен для макроскопического страдания . В следующем мы интересуемся в случае когда  с  но ;E произвольна (рисунок 8.2).
Владея в уме результаты [8.14] и [8.15] давайте введем ортогональной проекции оператор Q(E*) из Sym TM(E*)
, [8.24]
и дополнительно ортогональный проекции оператор
[8.25]
Чисто оба проекции оператора  и  зависят от разности тензора . Используя  и  любой вариации ;E локального страдания  можно разложить как
, , [8.26]
Это значит что любая вариация ;E странности  вовлекает два компонента: Первая ;E* которая тангенс к M при E* и указывает униформы стресса вариации, и вторая ;E` что перпендикулярна к тангенсу плоскости TM(E*) для M при E* (Рисунок 8.2). Соответственно детальное локальное стресса-страдания  отношение разложено как следующее:
[8.27]
[8.28]
В похожем способе все вариации  макроскопического страдания могут быть разделены на две части:
, , [8.29]
где использование должно делать факт что . Более того присущее эффектное стресса-страдания отношение [8.23] можно расколоть в:
[8.30]
[8.31]
С помощью [8.27]-[8.28] и [8.30]-[8.31] точное соединение между компонентами  можно показать использованием процедуры похожей на один  служащий [CHE 00].
Беря объема средние [8.27] и [8.28] отмечая что униформы  в фазе r и , мы получим
[8.32]
[8.33]
Спаривая [8.32]-[8.33] с [8.30]-[8.31] пока используя , мы получим
[8.34]
[8.35]
c
, [8.36]
Устанавливая , устраняя и предписывая   произвольно, следует  из [8.34] и [8.35] что
[8.37]
Полагая , устраняя и позволяя  быть произвольной, следует  из [8.34] и [8.35] что
[8.38]
В [8.37] и [8.38] обратная  понятна в смысле что . Вспоминая что ортогональная проекция операторов Q и  определенные [8.24] и зависят от .
Отношения [8.37] и [8.38] показывают что точные соединения существуют между эффективными тангенса модели оцененными на каждой точке . Эти точные соединения микроструктурно –независимые в смысле что только релевантные фазы объема фракции вовлечены. Как прямая последовательность этих соединений число независимых эффективных тангенса модули уменьшены. Полагая что фаза и эффективные стресса-страдания отношения  гиперэластичны говорим  и ,. Тогда с 1;q<6 [8.37] представляем q(q+1)/2 независимых  отношений пока [8.38] включение q(6-q) независимых отношений. Соответственно максимума число независимых эффективных тангенса модули вычислены при  и уменьшены от 21 до
[8.39]
Для примера мы имеем nmax=15 для дву-фазного волоконного материала с q=dim[Ker(P)]=1 и nmax=6 для дву-фазного слоенного материала с q=dim[Ker(P)]=3.
Для слоеного или последовательно слоеного материалов страдание и стресс есть униформы в каждом слое так что их эффективное поведение можно точно определить. Для линейного феномена главная точная аналитическая формула дана для релевантных эффективных свойств  в литературе (смотри например [MIL 02]). Для нелинейного феномена нелинейные уравнения или нелинейные математические программирования проблемы должны быть решены и нет главной точной аналитической формулы ожидаемой для соответствующих эффективных свойств (смотри например [PON 92]; [DEB 02]). Основной интерес формул и для слоеных материалов проживает в факте что их уменьшение числа независимых эффективных тангенса модули вычислены при каждом .
Для авторов знаний [8.37] и [8.38] – наиболее главные точные отношения способные для эффективных тангенс модули нелинейно эластичных негомогенных материалов. Они включают как частиц отношения точных соединений данных [HE 99] для нелинейных эластичных волокон материалов. В дополнение метод развит получить [8.37] и [8.38] новый и простой. Легко будет использовано для других механических или физических нелинейно негомогенных материалов
8.4. Кубические поликристаллы
Как пример аппликации результатов секции 8.2. и 8.3. , мы рассмотрим поликристаллиновые материалы с кубической симметрией. Локальная нелинейно эластичное поведение этих материалов характеризуется [8.1] с [8.40].
[8.40]
Здесь R(r) второго порядка тензор определяющий вращение монокристаллов фазы r относительно к кубика монокристаллу от переноса и R(r)T транспозиция R(r). Четвертого порядка тензор R(r) и его транспозиция  R(r)T связана с R(r) посредством  и . Стресса страдания отношение кубика монокристалла для переноса – S(0)(E) и должно быть инвариантным под его кубика симметрии группы G:
S(0)(OEOT)=OS(0)(E)OT для всех  и всех [8.41]
Пусть {e1,e2,e3} ортонормальный базис связанный с тремя ортогональной симметрии осями кубика монокристалла переноса и пусть e единичный вектор определяется e=(e1+e2+e3)/(3)1/2 (рисунок 8.3). Затем кубика симметрии группа G определяется его четыремя генераторами:
G={O(;/2e1),O(2;/3e),O2,-I} [8.42]
где O(;a) представляет вращение угла ; около оси a и O2 отражение с отношением к плоскости нормально к e2.

Рисунок 8.3. Кубика монокристалл переноса.
Применяя теорию тензора функции представления  мы знаем что нелинейное эластичное стресса-страдания отношение S(0)(E) удовлетворяет симметрии условию [8.41] если только если она имеет следующую форму:
[8.43]
Свыше ;i скалярные функции и k1,k2,….,k8 - 8 кубика инварианты E и формы неуменьшаемый функциональный базис; Fi(E) -10 второго –порядка тензора функций E и форма неуменьшаемого генератора базиса.  Определить k1,k2,….,k8 и Fi(E), пусть мы введем следующее замечание:

[8.44]
Затем мы имеем :
, , ,  ,  [8.45a]
, ,  [8.45b]
F1=I, F2=E, F3=E2, F4=A(E), F5=A(E2), F6=B(E), F7=B(E2) [8.46a]
F8=EA(E)+A(E)E, F9=EA(E2)+A(E2)E, F10=EB(E)+B(E)E  [8.46b]
Нуля резидентные стресса условия [8.2] уверяют [8.40] с [8.43] если и только если
;1(0)=0 [8.47]
В следующем отметим что в линейно эластичном случае только генераторы F1, F2 и F4 остаются и соответствующие не нулю функции – ;1, ;2, ;4 с ;1 являющейся линейной функцией от trE и ;2 и ;4 являющимися константами.
Для главного кубика поликристаллического агрегата мы введем [8.40] в систему уравнений [8.9] пока берем P=1. Затем результаты  что
R(j)S(0)(R(j)TE)-R(i)S(0)(R(i)TE)=0, (1;i<j;m). [8.48]
Условие [8.12] с [8.11] соответственно написаны как
 [8.49]
Проверить эти условия, выражение  необходимо. Для этого мы призываем [8.43] и вычисляем
[8.50]
Это наиболее главное выражение для тангенса тензора не линейно эластичного кубика монокристалла. Учитывая для [8.44]-[8.46], следует из [8.50] что
[8.51]
с
, 2;=;2(0), ;=;4(0). [8.52]
С помощью [8.51] можно теперь показать что условие [8.49] выполнено. В факте для любой изотропичной страдания вариации, говорим ;E=;;I с ;; являющейся скалярной, мы имеем
[8.53]
для любой фазы r. Это включает что
, [8.54]
так что [8.58] действительно верно.
Теперь пусть мы вернемся к системе уравнений [8.48]. С [8.49] известно из результатов секции 8.2 что уравнения [8.48] формы дифференцируемого коллектора М с определением к краю 1. Увидеть это, мы сперва отметим что [8.40] с [8.43] подразумевает  что для любой фазы r
S(r)(;I)=S(0)(;I)=;(;)I , [8.55]
где скаляр ; и ;(;) нелинейная скалярная функция ;. Используя [8.55] в [8.48], чисто что
. [8.56]
Физически [8.55] или [8.56] значения что изотропичное униформы страдания поле может продуцировать в нелинейно эластичном кубика поликристалле и указывает униформы гидростатическое  стресса поле.
Наконец примененная формула [8.16] с P=1 и призывая [8.55], мы получим
[8.57]
Так всеобщий стресса отклик нелинейно эластичного кубика поликристалла к изотропичному страданию есть некоторый как релевантный локальный стресса отклик кубика поликристалла. Этот результат не линейная генерализация что дано [HIL 52] для линейно эластичного поликристалла с кубика симметрией. Это нелинейное выражение кажется не было доложено в литературе. Также галочка указывает что [8.57] можно ожидать если учет берет кубика симметрию. Обычно отклонение данное в секции основано по теории тензора функции представленной и содержит строгие правила для них. В дополнение как указано [8.57] униформы стресса коллектор M может быть больше чем изотропичный униформы страдания коллектор в случае когда второго-порядка вращение R(r) в [8.40] не произвольно.
8.5. Степенной закон волокнистых композитов
Как другой пример аппликации мы рассматриваем композиты  составленные матрицей укрепленной со сплошными прямо параллельными волокнами (рисунок 8.1b). В следующем  удобно отнести матрицу как фаза 1 и волокна как фаза 2. Далее волокна приняты линейными и матрицы линейными и повинующимися степенному закону, когда они подвергаются гидростатической и отклонения нагрузкам, относительно. Эти конституционные положения для матрицы  были приняты для примера в работе [SUQ 97] и [PON 98].
Локальное поведение волокон композитов описано уравнением [8.1] в которых конституционные законы фаз 1 и 2 определены компактной формулой ([SUQ 97]):
S(r)(E)=L(r)(E)E, L(r)(E)=3k(r)J+2;(r)(E)K [8.58]
Здесь L(r)(E) соответствует секант жёсткости тензору и константе  четвертого –порядка тензоров J и K определено
, K=1-J
который ортогональная проекция из Sym к относительным подпространствам изотропичных и отклонения тензоров. Гипотезой  теста модули k(r) фаз 1 и2 постоянны сдвига модулюсы ;(2) фазы 2 также постоянны но (секант) сдвига модулюсы ;(1) фазы 1 зависят от страдания тензора E через фон Мизеса равного страдания ;eq как следует:
, [8.60]
В этом выражении ;0, ;0 и p три материала параметров. Когда p=1 матрица становится линейно эластичной и его сдвига модулюсы даны . Если p=0 отклонения стресса-страдания отношение матрицы берет  форму S(1)(KE)=;0KE/(3;eq), которая реминисцентна, напоминает поведения жестко-пластичного материала с урожая стрессом ;0. В этой работе переменные изменяются между 0 и 1.
Фазы тангенс тензоры  ассоциированы с [8.58] c [8.60] имеют следующие выражения (Сукет, 1997):
,
, [8.61]
Как ;(1) дано [8.60] и ;(2) константы, затем ;(1)(E)=4(p-1);(1)/3  и ;(1)(E)=0. Следующее из [8.61] легко получить
[8.62]
c ;(1)(0)=;0/(3;0)
Мы можем применить результаты секции 8.2 и 8.3 к волокнам композитов. В обзоре [8.58] уравнения [8.17] можно написать как
P[[L(E)]]E=0, [8.63]
где [[L(E)]]=L(2)(E)-L(1)(E). Вводя [8.58] и выражения [8.7] P в [8.63] мы получим
[[k]](trE)(I-N)+2[[;(E)]][E-(E:N)N-1/3(trE)(I-N)]=0 [8.64a]
c
[[k]]=k(2)-k(1), [[;(E)]]=;(2)-;(1)(E). [8.64b]
Используя [8.7] и [8.62] мы получим
[8.65]
так что условия [8.18], т.е.  тривиально верны.
Пусть {e1,e2,e3} ортонормальный базис с e1 ориентированным вдоль волокон направления n. Затем пять независимых уравнений [8.64] можно удобно переделать в компонента форму
, (;=2,3;нет суммирований); [8.66a]
[[;(E)]]Eij=0 (i, j= 1, 2 , 3 и i<j).
 Теперь мы проведем численно решение этих систем уравнений для композита содержащего алюминия –матрицы укрепленной  бора волокнами. Материала параметры композитов имеют следующие численные переменные:
k(1)=51.6ГПа, k(2)=211ГПа, ;(2)=158ГПа, c2=0.34,
;0=5.89МПа, ;0=9.29*10-5, p=0.549.
Эти переменные были использованы в работе [DEB 93]. Начальный тангенс сдвига модулюс матрицы ;(1)(0)=;0/(3;0)=21.1 ГПа, так что [[;(0)]];0. Более того мы можем проверить что в большем соседстве нуля    страдания E=0, [[;(0)]];0.  Затем среднее из [8.75] что в соседстве каждое решение E* так что сдвига компоненты E*ij(i;j)  нули и поперечные нормали страдания компоненты равны, т.е. E*22=E*23. Другими словами каждая униформы страдание E* поперечно изотропично с отношением к волокну направлению e1. В линейном случае это уже наблюдалось [HIL64].
Численные решения для уравнений [8.66] начерчены на рисунке 8.4. Непрерывные –линии кривые полученные использованием предыдущих численных  данных и двух других переменных для p. Короткая точечно-прерывистая прямая линия соответствует линейно эластичной матрице (т.е. p=1), коротко-прерывистая кривая к волокнам перемещенным дырками, и длинная точечно –прерывистая кривая к случаю где волокна эластичные параметры разделены на 2. Как ожидается когда матрица нелинейна, т.е. p;1, униформы страдания формы кривые вместо прямой линии. Обычно отметим что, для численных переменных адаптированных для материальных параметров, нелинейность этих кривых остается относительно слабой. Рисунок 8.4. показывает что переменные эластичного параметра волокон могут изменить нелинейности униформы страдания кривые.

Рисунок 8.4. Униформы волокон –направления страдания против униформы поперечного страдания как решения уравнения [8.66] в следующих случаях: p=0.549 (смело непрерывная линия), p=0.1 и p=0.8 (непрерывные линии) линейно эластичная матрица (короткая точечно-прерывистая кривая), волокна перемещенные дырками (короткая прерывистая кривая), волокна с эластичными параметрами деленными на 2 (длинная точечная- прерывистая линия)
Макроскопические  нелинейные стресса-страдания отношения волокон композитов берут форму [8.3]. Как содержимое изотропично  наиболее моноклинная пока плоскость поперечная волокнам -симметричная плоскость. Применяя формулу это макроскопичное нелинейное стресса-странного отношение может быть точно оценено для любого макроскопического страдания ассоциированного с локально униформы страданием E*. Должно быть подчеркнуто что эти точные оценки относительно любого частичного геометрического распределения волокон в поперечной плоскости. На рисунке 8.5. макроскопичная стресса –страдания отношение вдоль направления волокон, т.е.  отношение представлено. На рисунке 8.6. поперечное макроскопичное стресса-страдания отношение т.е.  отношение начерчено. Униформы страдание E*11 и E*11 на рисунках 8.5 и 8.6 то же что на рисунке 8.4. Точные численные результаты данные на рисунке 8.5. и 8.6. утверждают бенчмарк, эталонные тесты для любого приблизительного метода, чтобы использовать для рассматриваемых волокон композитов.

Рисунок 8.5. Макроскопическое стресса-страдание в направлении волокон, для страданий являющихся решениями уравнений [8.66].
Рисунок 8.6. Макроскопическое стресса –страдание в направлении перпендилярно волокон направлению, для страданий являющихся решениями уравнений [8.66].
8.6. Заключения
С начала 1990 большое количество точных отношений найдены для эффективных механических и физически линейных свойств неоднородных материалов. Недавно теория главных точных отношением должна быть развита для линейно негомогенных сред ([GRA 00]; [MIL 02]). Поощренные этим прогрессом работа представленная выше нацелена при расширении к большого класса нелинейно эластичных негомогенных материалов, точные отношения способны для релевантных линейно эластичных отношений. Наше успешное расширение чисто показало что точные отношения для линейного феномена можно генерализовать обдутыми нелинейными феноменами. Как указано в [HE 99], ключ переставлен в примененные неявные функции теоремы и показывает его последовательности. Когда нелинейные эластичные негомогенные материалы подвергнутые  большим деформациям варятся, некоторые специфические трудности возникают в применении и эксплуатации неявной функции теоремы но они могут циркулировать иным использованием номинальных и материальных описаний [HE 06]. Отметим, что неявные функции теоремы нельзя применить к негомогенным материалам чьи фазы имеют негладкое поведение. Негомогенный эластопластичный материал  прототип такого материала. В этом случае различные подходы должны  работающими конструировать униформные страдания поля и находить точные отношения [HE 04].

8.7. Библиография



Часть 9. 3D континуос и дискретное моделирование бифуркаций в геоматериалах
9.1. Введение
Геоматериалы  строго несвязанные материалы (дилатации угол обычно меньше чем трения угол на 25° как очень грубая оценка, когда оба угла должны быть близкими для связанных материалов). Благодаря этому, эластопластичный тензор  не симметричный и различные типы бифуркаций могут быть ожидаемы до достижения Мура –Куломба пластичного лимита кондиции. Действительно два примера таких бифуркаций хорошо достижимы. С одной стороны эксперименты должны показать что пластического страдания локализация может появиться до стресса пика в истощенных трехосевых сжатиях [DER 04]. Мы имеем здесь бифуркации страдания моды из квази-гомогенной моды в локализации одной. С другой стороны отклонения стресса пик из свободы песка подвергнутого   истощенным трехосевым сжатиям (таким как пик внутри Мура –Куломба поверхности) дает  возвышение диффузной моды для отказа если малая осевая сила добавлена [KHO 06]. Существование таких бифуркаций до Мура –Куломба пластичного лимита кондиции представлено для всех не связанных материалов после эластопластичной теории. Как неассоциативность в основном связана со значения пресса зависимой пластичного поведения, такие свойства можно ожидать для других значений пресса зависимых урожая кондиций таких как Дрюкера-Прагера критерий.
Исследовать такие бифуркации, различные критерии способны, такие как смывание детерминанта эластопластичной матрицы, или акустичной матрицы или симметричной части эластопластичной матрицы и др. Если мы принимаем  флаттера нестабильности, один этих критериев играет частично роль потому что устанавливает нижнюю границу для всех этих критериев [BIG 90]. Это так называемый «второго порядка работы критерий»  который эквивалентен смыванию детерминанта симметричной части эластопластичной матрицы для существенно кусочных линейно эластопластичных конституционных отношений [DAR 04].
Второго порядка работы критерий был экстенсивно изучен в осесимметричных кондициях [DAR 04] и в плоскости страдания кондиций [NIC 07b]. Уравнение границы бифуркации домена, области было представлено и направленный характер  критерия вел к существованию конусов нестабильных стресса направлений.
Первая задача этой главы обобщить эти результаты к 3D кондициям в фиксированных принципиальных стресса- страдания осях. Рассмотрением существенно кусочных линейных конституционных отношений аналитических уравнений границ бифуркации домена, области и нестабильности конусов представлены явно, затем начерчены в 3D принципиальном стресса пространстве.
Даже если некоторые частичные экспериментальные применения этих результатов теперь способны [CHU 03], эти эксперименты деликатны для выполнения особенно потому что бифуркации очень чувствительны к любым усовершенствованиям или пертурбациям. Так интересно постараться симулировать эти материала нестабильности используя численную модель гранулированных материалов. Эти модели в линии молекулярной динамики методов теперь доступны [MAG 98] и возможно симулировать поведение кубических образцов гранулярных материалов [SIB 07a].
Вторая часть этой главы – так для дыры, посвящена прямому численному исследованию второго порядка критерию. Сперва проверкой знака второго порядка работы при различных стресса-страдания статуса и для различных стресса направлений, бифуркации домен, область и нестабильности конусы показаны. Затем рассмотрением точных теоретических кондиций для эффективного отказа:
-стресса- страдания статус внутри бифуркации домена;
-осуществленное стресса направление внутри нестабильности конуса;
-свойства загруженных параметров позволяющих отказ развить;
некоторые отказы были получены численно, которые характеризуют экспоненциально растущим страданием, взрывом кинетической энергии и диффузии отказа модами.
9.2. 3D бифуркации представленные подробно нелинейным конституционным отношением
Эта первая часть посвящена учению второго порядка работы критерию используя детально кусочно конституционным отношением в аналитической и численной рабочей рамке. Численные результаты будут так же показаны  детально нелинейным отношением. Этот критерий [HIL 58] определяет что механический образец стабилен если:
соединено его конституционным отношением  [9.1]
 обозначает Коши стресса инкремент, присущего тензор и  малый страдания подробный тензор. Обратное ложно, так если , тело  в потенциально нестабильном статусе. Мы будем показывать далее что происходящее нестабильности зависит от контролируемых нагрузки параметров и направления нагрузки. В первой секции письма напоминание существенно нелинейных и октолинейных конституционных моделей Дарве будет дано [DAR 95]. Затем во второй секции 3D лимит бифуркации домена и 3D «конус» нестабильно нагрузки направлений будут показывать для этих двух моделей. Мы подчеркиваем что все аналитические результаты в этой части применяются для всех детально кусочного типа линейных эластопластичных моделей. Только численные результаты  показанные на рисунках ограничены последними двумя моделями.
9.2.1. Существенно нелинейные и кусочно-подобные линейные отношения
Для упрощения задач симметричные второго порядка тензоры  и  будут впредь представлять колонну вектора разрешения, определения 6 и обозначается  и . Варя эти отношения, галочка указывает  что они не связаны с классическими концепциями эластопластичности и поэтому допущения:
- страдания разложение в эластичные и пластичные части;
-существование эластичного предела;
-существование потока правила.
Описать нелинейное поведение геоматериалов, существенно нелинейные отношения второго порядка использованы и написаны в принципиальных осях как следующее:
[9.2]
c:
[9.3]
Коэффициенты E+i и ;+ij определены по генерализованным трехосевым нагрузки тропам когда d;i>0 и относительно E-i и ;-ij когда d;i<0. Для d;i=0  можно верить, что отношение непрерывно [GUD 79]; смотри [DAR 95] найти больше около этих конституционных отношений и частично как тангенса модули и Пуассона отношения развиваются со стресса-страдания историей. При определении  эти отношения кусочно- линейны. Экстрополяцией Ф. Дарве определил октолинейную модель (восемь тензориальных зон)1 как следующую с предыдущими замечаниями:
[9.4]
В этих выражениях восемь тензориальных зон явны, и отношение [9.4] идентично для следующих линейных отношений:
1Тензориальная зона –домен нагрузки пространства в которой  существенное конституционное отношение линейно. Классическая эласпластичная модель имеет тензориальные зоны: одна для нагрузки и вторая для без нагрузки.
[9.5]
c  8 матрицами  где индекс (+) делает аффект к колонне d;j и если d;j>0, и (-) если d;j>0 . В следующей секции отношение [9.5] будет использоваться для аналитических калькуляций. Действительно калькуляции полагаются быть выполненными в данной тензориальной зоне.
9.2.2. 3 D анализы второго порядка работы с феноменологической конституционной моделью
Как уже показано в последние годы [DAR00], второго порядка работа зависит специально от направления нагрузки. После данной нагрузки тропы материал имел достижимый некоторый стресс-страдания статус который мог быть потенциально нестабильным, даже внутри пластического лимита кондиции. Из этого страдания-стресса статуса в ситуации внутри пластического лимита кондиции, некоторые нагрузки направления могут вести к  отказам и иного нет. Если отсутствия нагрузки направление ведет к отказу, механический статус рассмотренный стабилен, иное потенциально нестабильно. В глобальном 3D нагрузки пространстве предел, где материал потенциально нестабилен или стабилен,  называется пределом  бифуркационного домена. [DAR 04] и [KHO 06] определили этот предел бифуркации и конусы нестабильных нагрузки направлений для осесимметричных и плоскости страдания кондиций соответственно. Мы стараемся сделать генерализацию в 3D кондициях здесь.
Сделать связку между смыванием второго-порядка работы и существованием пика в плане, плоскости сопряженных нагрузки переменных, мы выбираем определить страдания пропорциональные нагрузки тропы как в уравнении [9.6]. Эти страдания тропы позволяют сканирование  всех нагрузки направлений 3D страдания пространства.
[9.6]
R обозначает набор всех реальных чисел, пока R* - набор реального числа кроме элемента 0. Рисунок 9.1 показывает результаты для этих страдания путей в инвариантных плоскостях.

Рисунок 9.1. Отклик для пропорциональных страдания нагрузки троп полученных с октолинейной моделью.  и
Зная что
 [9.7]
Допустимый набор сопряженных переменных для второго-порядка работы, рассмотренные нагрузки тропы [9.6], может быть следующим:
[9.8]
Беря в учет кинематики кондиции из уравнения [9.6], второго порядка работа будет смываться для класса нагрузки тропы определенной: d;1+Rd;3=0  и d;2-R`d;3=0 при пике  против d;1 на рисунке 9.1. Этот статус также соответствует исчезающей переменной детерминанта . Если мы локализуем  эти пики в 3D стресса пространстве, можно показать что они для ситуации ограниченно внутри пластической предела кондиции. Так мы находим класс нагрузки троп где нестабильность происходит ограниченно внутри пластичности критерия, и эти нестабильности соответствуют смываемой переменной второго порядка работы.
Если мы определим матрицу  так что:
[9.9]
можно утверждать что:
[9.10]
c  симметричной частью . Действительно как уже написано выше:
[9.11]
И:
[9.12]
устанавливающие условия по направлению страдания деталей, присущих которых ведут к отказу из данного стресса-страдания статуса. [9.12] – квадратично в 3D осуществленном страдания пространстве с ни константы членами с ни первой степени членами, так [9.12] -уравнение эллиптического конуса в 3D осуществленном страдания пространстве. Если мы положим что собственные переменные  развиваются непрерывно с нагрузки параметром  и позитивные при оригинальном девственном статусе, то 4 случая. Первый при начале нагрузки программы все собственные переменные положительны и [9.12] не имеют решения, исключая центр квадрика самого, так эти статусы стабильны и вне бифуркации предела. Затем один  из собственных переменных смывается и . Так [9.12] признает прямую линию (в направлении соответствующему собственному вектору) как решение. Из этого страдания–стресса статуса это нагрузки направление нестабильно. Этот статус соответствует пределу бифукации домену. Продолжая увеличивать нагрузки параметр одна собственная переменная негативна, и две другие позитивны, затем  и [9.12] признает эллиптический конус в 3D страдания пространстве как решение. Все нагрузки направления в ситуации внутри или на этом конусе ведут к отказу. Этот механический статус внутри бифуркации домена, но до пластического лимита. Наконец как крайне математическое решение, мы  можем получить две собственные переменные оппозитного знака и третий один равен нулю, затем  , и [9.12] признает два секанта плоскостей, планов как решение, но этот поздний случай никогда не достижим численно нашими моделями.
Конечно двойной анализ можно выполнить в стресса пространстве. В некотором способе  мы также имеем:
[9.13]
который дает в расширенной форме:
[9.14]
c   матрица уравнения [9.5] и  симметричная часть . В этом случае мы можем начертить бифуркации предел и конусы нестабильных направлений в 3D стресса пространстве. Рисунок 9.2 показывает предел бифуркации области для существенно нелинейного и октолинейного отношения Дарве для плотности Хостина песка. Следующие наблюдения выведены из рисунка 9.2:
-бифуркации домен октолинейной модели –больше чем нелинейная модель(предел достигнут до согласия с нагрузки параметрами);
-некоторые прерывистости с октолинейной моделью из-за включения тензориальной зон;
-пределы бифуркации домена замечательно конические (которые соотвествуют конической структуре для Мура- Куломба пластического предела кондиции), но не строго конически потому что механические свойства не изменяются точно в пропорции со в стресса уровнем в конституционных моделях используемых.

Рисунок 9.2. Бифуркации домен начерченный с окто- и нелинейной моделями для плостности Хостуна песка.
Начертить бифуркации домены, радиальные стресса тропы вдоль данного направления в отклонения стресса плоскости были рассмотрены до того как кондиция   была утверждена. Рисунок  иллюстрирует такую стресса тропу.

Рисунок 9.3. Пример стресса тропы следующей определить предел бифуркации домена.
Затем когда мы напишем , мы должны рассмотреть в факте  с i={1,..,8} для окто-линейного отношения, и i={1,…,;} для нелинейного отношения. Для нелинейного отношения каждое направление 3D сферы деталей, присущих стрессов можно рассмотреть как тензориальные зоны. В этом случае численные результаты получены с точностью 1; по 3D сфере.
Мы будем теперь презентовать и обсуждать конусы нестабильных направлений для стресса-страдания в ситуации за бифуркации пределом. Сделать  это, две процедуры осуществлялись. Первая чисто численная, основанная на Гудехус отклика развития техники [GUD 79], и предложенная [DAR 00]. Принципы следующие: истощенная трехосевая нагрузки тропа следующая, и при данном отклонения статусе, стресса сущность в 3D пространства направлении наложены. Если второго – порядка работа отрицательна или нуль, направление есть через быть нестабильным (численно, все направления можно протестировать при каждом шаге трехосевого пути). Рисунок 9.4 иллюстрирует эти процедуры и дает результаты полученные [DAR 04]  для плотности Хостина песка для осисимметричной кондиции.

Рисунок 9.4. Стресса пробы тест найти нестабильный конус (слева) и результаты полученные в антисимметричном условии (справа).
Второй метод одновременно аналитический и численный. Этот содержит составляющие текущие численные переменные тангенса модули и Пуассона отношения в уравнении [9.14]. При данном отклонения уровне восемь уравнений. Как результат  мы имеем эллиптические уравнения так что они не перетекают их территориальные зоны. Этот метод способен нам утверждать что согласие между численными и аналитическими результатами для октолинейной модели. Эти результаты показаны на рисунке 9.5. Численные точки представлены на точек облаке и аналитическом конусе представленном сеткой для октолинейной модели. Сравнение между аналитическими и численными результатами доказывает высокое удовлетворение. Конечно для нелинейной модели только первый численный метод  может быть использован потому что каждое нестабильное направление  -бесконечно эллиптический конус, так что эта структура эллиптического конуса не может быть сохранена. На рисунке предел между каждой территориальной зоной октолинейной модели представлен тремя ортогональными плоскостями. Наконец мы имеем выбор  показать четыре статуса распределенных на равных расстояниях  пути между бифуркации доменом (первое нестабильное направление)   и пластичности предела критерием как рисунок 9.6 иллюстрирует. Рассматривающий  некоторый отклонения уровень для обоих моделей на рисунке 9.5  не будет иметь свойства для сравнения. Как мы показали ранее на рисунке 9.2, бифуркации домены различны для этих двух моделей, тогда как конституционные константы ( калиброванные для некоторого Хостуна песка) точно те же.

Рисунок 9.5. 3D конусы для плотности Хостуна песка слева: октолинейная модель, справа: нелинейная модель.

Рисунок 9.6. Механические точки сравнения для окто- и нелинейных моделей.
9.3.Дискретные моделирования отказа способа связанного со второго порядка работы критерием
По настоящее время в этой части бифуркации анализы были развиты рассмотрением второго порядка работы критерия примененного к феноменологическим конституционным отношениям. В этой секции дискретная 3D численная модель гранулярных материалов нужна исследовать 3 вопроса:
- показывают ли гранулярные материалы бифуркации область согласно второго порядка работы критерия как показано ранее?
- есть ли некоторые конусы, коны нестабильного стресса направлений?
- если стресса статус внутри бифуркации области, приращенное стресса направление находится внутри нестабильного кона и если надлежащие контроля параметры рассмотрены, то эффективный отказа способ достигнут?
Используемая дискретная элемента модель названная SDEC развивалась [MAG 98] и как обычно для молекулярной динамики методов, каждое сферическое зерен взаимодействие с его соседями через основные локальные механические отношения. Локальная эластично-пластичная модель характеризуется нормальным эластичным жёсткости коэффициентом kn, тангенсальный эластичный жёсткости коэффициент kt и локальный трения угол ;c. В представленном случае , с ds сферы диаметром,   и ;c=35;. Схематичная диаграмма зерно-зерно взаимодействия дано на рисунке 9.7b. Численный кубический образец около 10.000 сфер может  так быть построен и некоторые нагрузки пути можно численно применить к границе куба.

Рисунок 9.7. Дискретная элемента модель (a), реологическая модель  между зерен взаимодействия (b).
Эта прямая численная симуляция поведения гранулированных материалов реализована отмеченной емкости реалистично репродуцировать их «истинное» поведение, даже если механические ингредиенты очень грубы, т.е. простой эластично- пластичный контакта закон на мезо-шкалы уровне. Как обычно для молекулярной динамики макроскопического поведения экстремальная комплексность есть из-за очень большого числа взаимодействующих зерен.
Так первая цель была исследовать полярные вариации второго-порядка работы с отношением к подробным стресса направлениям. Осесимметричные кондиции выбраны, изотропичные нагрузки применены, тогда для 3 различного пресса, давления уровней (;3=100;200;300 kPa) трехосевые сжатия симулируются и событийно при 4 различных отклонения стресса уровнях (характеризуемых ) переменные второго порядка работы вычислены в каждом стресса направлении от 10; до 10;. Результаты даны на рисунке 9.8 в полярных диаграммах против стресса направлений. Подставляя нормализованные переменные второго порядка работы рассмотрены с задачей иметь переменные изменяющиеся между -1 и +1, пока  это косинус угла между подробным стрессом и подробным страданием:
[9.15]
Дальше больше константа добавлена в порядке увидеть чисто в фигуры когда переменные негативны. Так прерывистые кривые на рисунке 9.8 представляют нулевые переменные второго порядка работы, точки вне соответствующие позитивным переменным и внутри негативным переменным (принцип этих диаграмм сперва представлялся в [DAR 00]). Рисунок 9.8 показывает чисто что второго порядка работа может взять негативные переменные внутри конуса стресса направлений для высоко отклоненного стресса уровней и что этот конус ориентирован (грубо говоря) к стресса пространства происхождению как было показано в секции 9.2. Все результаты были синтезированы в рисунке 9.9.

Рисунок 9.8. Полярные диаграммы нормализованного второго порядка работы d2Wnorm вычисленной со свободным численным образцом; пунктирные круги представляют смывающиеся переменные второго порядка работы.
Так называемая Рендулич плоскость для осесимметричных стресса статусов рассмотрена на рисунке 9.9. Все стресса точки, где второго порядка работы переменные были проверены,  показаны. Для некоторых из них конусы негативных переменных были получены и эти конусы начерчены. Мы видим во-первых в этом рисунке что бифуркации область, которая имеет приблизительно коническую форму, чья вершина будет при плоскости происхождения, существует. Затем во-вторых некоторые нестабильности конусы появились для некоторых стресса статусов внутри этой бифуркации области. Все эти конусы ориентированы к стресса происхождению. Два образца различной плотности были рассмотрены, плотности один (с пустоты радиусом e=0.618) демонстрирует дилатанта поведение во время трехосевого истощенного сжатия, и свободный один (e=0.697) главный контрактант. Сравнение между рисунком 9.9.а и рисунком 9.9b показывает влияние плотности бифуркации домена и конусов нестабильных стресса направлений. Бифуркации домен уменьшен для плотнее образца тогда как он более расширен для cвободного образца. В таком способе конусы с большим открытием получены со свободнейшим образцом. Так возможности бифуркации будут казаться более важными для свободнейшего образца. В дополнение направления включая в конусах для нестабильных стресса направлений зависят от плотности. Например направление соответствующее постоянной стресса отклонения нагрузки пути (d;1=d;3<0 так как dq=0) включено в конусы для свободейшего образца  (смотри рисунок 9.8a) и не для плотнейшего образца. Количественное идентичное влияние плотности по результатам  найдено с Хостуна песком [DAR 04].

Рисунок 9.9. Синтезы конусов нестабильных стресса направлений в осесимметричной плоскости стрессов вычисленных из плотности численного образца (a) и свободного одного (b); полные круги представляют стресса пробы для которых нет смывания или негативные переменные d2W были найдены.
До настоящего времени было  показано что некоторый тип бифуркации области и нестабильности конусы можно получить с феноменологически конституционными отношениями (секция 9.2) и с прямыми численными симуляциями дискретного элемента методом (эта секция). Другой базовый вопрос связан с отказами самими. Если мы берем в учет 3 теоретические кондиции для эффективного отказа:
-С1: стресса страдание должно быть бифуркации доменом;
-С2: представленное стресса направление должно быть внутри нестабильности конуса;
-С3: нагрузки параметры должны быть такими что отказы эффективны.
В дискретной численной модели можно симулировать «истинный» отказ, истинный отказ характеризуемый экспоненциально растущими страданиями и взрывом кинетической энергии? Этот вопрос обсужден теперь.
Осесиметричные истощения q cst нагрузки тропы изучались экспериментально и некоторые отказы получены со свободными песками до достижения Мура-Куломба критерия [CHU 03]. Эта тропа характеризуется идентично негативными инкрементальными стрессами (q cst влечет d;1=d;3 и осесиметричные кондиции вложений d;2=d;3), так это в факте инкрементально изотропичной разгрузке. В факте для свободного песка мы имели выставленный  что стресса направление может быть расположено внутри нестабильного конуса [DAR 04] и в факте рисунок 9.8. показывает что в случае (a) (изначальное изотропичное давление равно 100 kPa) для высоко отклоненных стресса уровней q cst стресса направление – внутри конуса. Так условия, условия C1 и C2 удовлетворены и интересно сравнить численные отклики кубического образца когда условие C3 выполнено или нет. Теоретические анализы этих троп [DAR 04] показывают что свойство нагрузки или контроля параметров q и ;v (где ;v первого стресса инвариант или оппозит объема вариаций) для эффективного отказа. Это значит что, согласно теории, для контроля параметров определенных d;1=d;2=d;3=данное негативом cst, тропа должна быть нестабильной.
Рисунок 9.10 показывает сравнение между результатами полученными с обоими наборам контроля параметров. Рисунок 9.10 представляет осевую страдания вариацию против компьютерного времени достичь равновесия сферы сборки. Для комплекта стресса контролируемой тропы (d;1, d;2, d;3) вариация страдания становится пренебрежимой пока для смешанного контроля (dq и d;v) осевое страдание растет экспоненциально (последнее страдание  так же растет экспоненциально потому что связка между обоими страданиями из-за вложенной переменной d;v). Рисунок 9.10с дает стресса переменные (3 принципиальных стресса необходимо  имеют различные вариации). Для  комплекта стресса контроля ничего специфического не появляется пока для смешанного контроля стрессы уменьшаются внезапно до 0 показывающего что тропа не более «контролируема» в Нова смысле [NOV 94]. Наконец рисунок 9.10a показывает вариацию кинетической энергии, вычисленной добавлением кинетической энергии каждой сферы в кубический образец. Взрыв кинетической энергии чисто видим на рисунке  9.10b для смешанной контролируемой нагрузки тропы. В факте было показано из теоретических рассмотрений основанных на энергии консервации что негативные переменные второго порядка работы связаны с позитивными переменными детали кинетической энергии [NIC 07a]. В заключении истинная отказа мода получена численно  дискретным элемента методом в точных теоретических кондициях (смотри С1, С2 и С3) предсказанных теорией развитой в секции 9.2.

Рисунок 9.10. Сравнение откликов вдоль q-константы тропы симулированной со свободными образцами для полного стресса контроля и a контроля в dq=0 и dev<0.
Как в предыдущем, кондиция С3 (т.е. вопрос выбора нагрузки параметров) исследовалась, кондиции С1 и С2 были выполнены.Теперь мы рассмотрим случай где С1 и С2 удовлетворены и кондиция С2 исследована. Для того мы можем выбирать стресса статус внутри бифуркации домена, свойство контроля параметров и рассмотреть различные нагрузки направлений, некоторые их внутри нестабильности конуса и другие снаружи. Выбранные нагрузки пути определены в осесимметричных кондициях (они в факте частичных случаев 3D троп рассмотренных в секции 9.2):
(here cst=-0.002%) (9.16)
Давайте отметим что тропы рассмотренные в предыдущем соответствуют R=1. Для различных переменных R, различные стресса направления можно получить, они характеризуются различными стресса углами ; как определено на рисунке 9.8a (изначальное изотропии давление равно 100 kPa).
Согласно рисунку 9.8a стресса направления соответствуют 200; и 240; (R=0.408) снаружи нестабильности конусу, 210; (R=1.22) и 230; (R=0.593) более или менее близко к пределу конуса, и 220; (R=0.843) и 215.3; (R=1.00, т.е. направление соответствующее q cst нагрузки тропе рассмотренной в предыдущем) внутри  конуса. Отношение между стресса углом ; дано R:
[9.17]
Симуляции содержат применение численно к некоторому образцу при некотором стресса-страдании статусе внутри бифуркации домена (т.е. статус рассмотренный на рисунке 9.8a с ;=0.46) 6 подробных нагрузок ориентированных навстречу 6 стресса направлений определенных выше.
Результаты даны на рисунке 9.11. Для стресса углов равных 200; или 240;, ничего не случилось. Кинетическая энергия образца  становится равной нулю, и стрессы и страдания не изменяются значительно. Для стресса-страдания статуса расположенного внутри бифуркации домена и таким образом потенциально нестабильного, бесконечно малая нагрузка применена в стабильном направлении вне нестабильности конуса. Согласно теории развитой в секции 9.2 отсутствие отказа ожидается.
Давайте рассмотрим теперь стресса углы 210; и 230;. Малая вариация кинетической энергии видима в обоих случаях на рисунке 9.11, но быстро кинетическая энергия смылась снова. Некоторые ограниченные вариации последнего страдания и последнего стресса (и так  аксиального страдания и стресса) индуцированы. Для ;=210; новый стресса-страдания равновесия статус достигнут которое различен в случайном пути к изначальному статусу, для ;=230;, образец тотально делает коллапс внезапно. Эти стресса направления близко к лимиту нестабильности конусу и отклик к малой нагрузке в этих направлениях зависит от превосходства, численной природы в этих калькуляциях или механической природы в экспериментальных тестах. Мы знаем что так бифуркации отклик не детерминистический.
Последние двух стрессов направления 215.3;  и 220;  аккуратно внутри нестабильности конуса. В обоих случаях большой взрыв кинетической энергии видим на рисунке 9.11, страдания неограниченны и стрессы смываются. Образец сжижаем, если обычное определение  сжижения принято, т.е. смывание интер-гранулярных стрессов как механического отклика материала к страдания контролируемой или смешанной контролируемой нагрузки тропе [DAR 96]. Истинный отказа статус был достигнут, как ожидается из настоящей теории.

Рисунок 9.11.Симулируемые отклики со свободным образцом к применению нагрузки программы ds1-ds3/R=0 и de1+2Rde3<0 из стресса статуса ds3=100kPa и eta=0.46 (различные R переменные рассмотрены)
Интересно отметить что отказа мода есть «диффузии» одна, и не «локализуемая» одна, если мы назовем «диффузия» отказа моду без любого сорта страдания локализации полосами сдвига, уплотнения или дилатации [DAR 04]. В факте в каждой из этих симуляций только хаотичные и случайные смещения полей без любой локализации фигуры были наблюдаемы при отказе, который также применен страдания локализации теорией пока локализации критерий (смываемые переменные детерминант акустического тензора) не удовлетворяют для этих стресса статусов. В факте когда детерминант акустического тензора есть нуль, детерминант симметричной части эластопластичного тензора необходимо смывается, которое обозначает что второго порядка работы критерий удовлетворяет до локализации критерия (но конечно не необходимо в некоторых   стресса направлениях).
9.4. Заключения
 В первой доле этой части 3D анализы второго порядка работы критерия были предложены.
Этот критерий который есть специально материальной нестабильности критерий (некоторая малая пертурбация нагрузки или механического статуса индуцирует большие отклики) связан с бифуркации пунктами (механический статус изменяется внезапно со взрывом кинетической энергии). Главное уравнение границы бифуркации домена  было дано для эластопластичных подробно кусочно линейных конституционных отношений. Соответствующая поверхность в 3D принципиальных стресса пространств –приблизительно конуса, чья вершина– пространства происхождение для некогезивных материалов. Приблизительно коническая структура Мор-Куломба пластического критерия  так сохраненная для бифуркации лимита поверхности. Если мы ожидаем флаттера нестабильности, все позитивные отказа моды внутри этой бифуркации области.
Из-за направленной структуры второго порядка работы критерия, нестабильные стресса направления и существование некоторых нестабильности конусов было аналитически доказано и численно проверено. Появилось что один конус (при максимуме) в данной эластопластичной тензориальной зоне. 3D уравнения нестабильности конусов были выставлены. В данной тензориальной зоне, эти конусы были показаны быть эллиптичными, которое влечет что в главной манере нестабильного стресса направлений формы набора эллиптических конусов [PRU 08].
В классической пластичной теории два отношения должны быть выполнены: пластичный лимита критерий и потока правило. В некотором пути это было показано здесь что в дополнение к бифуркации критерия отказа правило было удовлетворено. Это отказа правило чисто  выдающееся из потока правила, потому что смешанное подробное стресса- страдания отношение. Показано что, даже если решение не далее уникально как вдоль потока правила, бесконечно число решений имеет, удовлетворить некоторые общие условия данные этим отказа правилом.
Во второй части эти анализы должны быть выполнены с дискретным элемента методом на численном кубическом образце [SIB 07a]. Некоторые основные свойства были получены: существование для бифуркации домена чей предел приблизительно прямая линия проходящая через стресса плоскости происхождение  для осесимметричных условий, и для нестабильности конусов направленных навстречу  происхождению. Затем 3 теоретических условия получить эффективные отказа были экзаменами:
-С1: стресса статус должен быть внутри бифуркации домена;
-С2: стресса направление должно быть внутри нестабильности конуса;
-С3: нагрузки изменения должно соответствовать бифуркации критерию.
Зная что С1 очевидно, численные симуляции показали что, если С2 или С3 не удовлетворены, без отказа появились, пока С2 и С3 оба выполнены истинного отказа мода более внезапно развита. Этот отказ характеризуется  экспоненциально растущим страданием, смывающимся стрессом и взрывом кинетической энергии [SIB 07b]. Без локализации фигура наблюдается, которая хороший индикатор диффузии отказа моды.
9.5. Благодарности
Эти теоретические и численные результаты были использованы оценить нестабильности земли слайдов и камня падений, благодаря поддержке 2 Европейских PCRD проектов (DIGA и LESSLOSS) и 3 национальных Франции ANR проектов (ROMIGO, SIGMA и STABROCK). Без этой поддержки возможно не было бы этих исследований, что будут развиваться.

9.6. Библиография



Часть 10 Нелинейные микротрещин геоматериалы: Анизотропичное повреждение и спаривание с пластичностью
10.1. Введение
С пионерскими работами Л. Качанова [KAC 58] и Работнова [RAB69], которые ввели понятия повреждения изменяемого и повреждения- основанного эффективного стресса, Механика Повреждения непрерывно развивалась и теперь одна из наиболее активных отраслей Механики Твёрдого Тела. На своем первом этапе развития Континуума Повреждения Механики (КПМ CDM) модели в основном развивались в феноменологическом контексте используя стандартный подход термодинамики необратимых процессов. Среди многих таких моделей мы можем вспомнить работу Ж. Леметре и Ж.Л. Чабош [LEM 78], и затем [MAR 81, SUQ 82, LAD 83, JU 91, MUR 97, KRA 96, DRA 04]. В основном два поля КПМ учета для различных механизмов для повреждения в хрупких против податливых материалов, чье различие, инициированное в раннее феноменологическом развитии, было прогрессивно использовано в ассоциированных микромеханических подходах:
(i) Первое поле варит хрупкое повреждение материалов таких как литье, камни, керамика и хрупкие матрицы композиты. В этом случае неэластичная деформация в основном из-за микротрещины роста в эластичной твёрдого тела матрице; как последствие, основной фокус  есть правомерно смоделировать спаривание между эластичностью и повреждением. В злости прирожденной простоты эта задача представляет некоторые трудности которые в основном связаны с повреждения- индуцированной анизотропией, возможным микротрещины закрытием, и с фрикции феноменом который может появиться в закрытой микротрещине. Некоторые статьи точка вне некоторых внутренних содержаний в существующих макроскопических моделях [CHA 92, CAR 96]. Хотя это имеет мотивации развития новых моделирования подходов (смотри например [CHA 93, CUR 95, DUR 04]), это  еще некие нерешенные стоки [COR 02].
Варка микромеханических подходов эластичного повреждения микротрещины ростом, первые изучения были проведены в начале 19801. Среди пионерских изучений мы можем  процитировать работу [AND 86] вместе с теми М. Качанова [KAC 82]. Совсем недавно микромехнические повреждения модели были развиты [GAM 93, PEN 02] (смотри [KRA 96] для обзора).
(ii) Второй домен развития имеет дело с повреждением и отказом податливых материалов и был развит в рабочей рамке КМП (смотри [LEM 96]). Из феноменологической точки зрения цель спарить пластичность и повреждение пустоты ростом. Развитие микромеханических моделей в этой области было открыто Гурсон [GUR 77] используя предел анализов полой сферы с Фон Мизеса-типа пластичной твёрдого тела матрицей. Этот подход [GUR 77] выведен макроскопической урожая функцией что описывает эффекты пустот пластического отклика. Было продемонстрировано что Гурсона –подобный критерий утвержден на высшей границе  для точного урожая критерия. Более того пока нормальности  правило также принято при макроскопической шкале, определение урожая функции достаточно для отклонения конституционного закона (механического отклика) податливой пористой среды2. Опираясь на успех Гурсона модели, некоторые расширения деланные с пустоты формы эффектами [GOL 93, GOL 94] были проложены и используются некоторыми авторами (смотри [PAR 00]). Эти расширения включают в частичном случае пенса –формы трещин для которых новые результаты проводятся в этой работе.
Эта глава в основном содержит две части: эластичного повреждения моделирование (секция 10.2) и спаривание между пластичностью и повреждением. Проложенные подходы полностью 3D. В случае эластичного повреждения моделирования, учение расширяет результаты полученные [PEN 02] (смотри также [DOR 06]) и включает в частности повреждения-индуцированные анизотропии, односторонние эффекты из-за микротрещины закрытия и влияние пространственного распределения микротрещин. Для податливых микротрещин материалов модель проложенная является также анизотропичной и, в контраст с существующими моделями доступных учений, учитывает для трех мод трещины роста (секция 10.3).
1 Главное исследования сфокусировано на эффективных свойствах микротрещин среды [BUD 76, LEG 82, HOR 83, KAC  93, REN 96].
2 смотри [LEB 1].
10.2. Анизотропичная эластичного повреждения модель с односторонними эффектами
10.2.1.Гомогенизация эластичной микротрещины среды
10.2.1.1. Микромеханика среды со случайной микроструктурой
Рассмотрим представленный элемент объема (ПЭО) занимающий область ; и имеющий границу д;. Это ПЕО положено иметь матрицы –включения морфологию: композиция твердого тела матрица с изотропичным жёсткости тензором обозначенным CS, и трещины –подобных включений с                жёсткостью Cc,r, r=1,…,N. Гетерогенности поведение в ПЭО положено быть линейно эластичным:  с  и  как локальных стресса тензор и страдания тензор полей, соответственно. Используя линейность проблемы и беря среднее страдания поле над ;, эффективный (однородный) жесткости тензор классически выраженный как:
[10.1]
где ;r объема фракция включения фамилии r. Ac,r так называемый страдания концентрации тензор который связывает локальное страдание в линейном способе с макроскопической униформы страданием E.
Следовательно что калькуляция гомогенизированных свойств требует определения четвертого порядка концентрации тензора Ac,r для которого мы можем использовать базовое решение матрицы –включения проблемы по Эшелби [ESH 57]. Для многих инженерных материалов использовано взять в учет как влияния включения форм так и эффекты связанные с его пространственным распределением. Для этих задач мы принимаем гомогенизации схему развитую Кастанедой и Виллис  [CAS 95] в которых два независимых четвертого порядка тензоры Pr; (так называемый Хилла тензор) и Pd введены; Pr; учитывает для эффекта включений  пока Pd описывает пространственное распределение включений. Когда некоторый тензор Pd положен для всех включений, гомогенизации жесткости тензор читает:
[10.2]
где I четвертого порядка идентичности тензор; выражает значениями Эшелби тензора (S;=P;:Cs) трещин:
[10.3]
Для простоты мы рассмотрим сферическое пространственное распределение для всех трещин. Следует что Pd изотропичный и берет форму:
; c ; [10.4]

Рисунок 10.1 Схематичное представление пенса –формы трещины.

в котором ks и ;s теста модулюсы твердого тела матрицы, относительно; K и J четвертого порядка изотропичные тензоры, удовлетворяющие отношению K+J=I (в компонента форме Kijkl+Jijkl=Iijkl) с Iijkl=1/2(;ik;jl+;il;jk) и Jijkl=1/2;ij;kl. Далее интересно отметить что Мори-Танака оценка [MOR 73] соответствует Pd=Pr; в пределах разведенной схемы [ESH 57], что  можно восстановить беря Pd=0. Это подразумевает что можно интерпретировать как модификация микротрещинами жёсткости тензора когда твёрдого тела матрица ослаблена малой концентрацией трещин, соответствующей разведенной схеме.
10.2.1.2. Применение к микро трещин среде.
Давайте рассмотрим микротрещин материал. Любая фамилия пенса –формы трещины может апроксимироваться как набор параллельных приплюснутых эллипсоидов характеризуемых их единичным нормальным вектором (ориентация)  и их аспект отношение , положенное быть малым и обозначенное ;; a радиус трещин и c  половина длины их малых осей (смотри рисунок 10.1). Объема фракция ;r для rth трещин фамилия может выражаться в форме:
[10.5]
где Nr обозначает трещины плотность (число трещин за единицу объема) rth фамилии, и dr=Nra3r -трещины плотность параметр введенный [BUD 76].
Для открытых трещин жёсткость Cc=0 классически рассмотрена в порядке учесть для отмены стресса вектора по трещины лицам. В случае без трения для закрытых трещин, сдвига стресс по трещины лицам смывается пока нормальный стресс непрерывен через микро-трещин лица. Таким образом как предложено в [DEU02a] (смотри так же [DEU 02b]) закрытая микротрещина может быть адекватно смоделирована  фиксированным материалом с эластичным тензором Cf=3ksJ. Используя определение трещины плотности параметра, следует что для низкого аспекта отношения ;, четвертого порядка тензор Cd определенный в уравнении [10.3] берет форму:
[10.6]
где, из-за малого аспекта отношения (;<<1), Tr читает для открытых трещин
[10.7]
Также продемонстрировано, что уравнение [10.6] владеет для закрытых трещин, обеспеченно, что Tr смещается T`r , данное:
[10.8]
Калькуляция Tr и T`r может далее упроститься используя Валполе алгебру  пересечения изотропичных тензоров [WAL 81]. Для этих задач cход написать уравнение [10.2] в форме:
Chom=Cs-Cd+Cd:B:Cd [10.9]
где B определяетcя как:
B=(I+Pd:Cd)-1:Pd [10.10]
Классически W является эластичной энергией микротрещины среды, макроскопическое стресса-страдания отношение дано:
[10.11]
10.2.2. Микротрещины закрытия кондиции и эволюция повреждения
10.2.2.1.Микротрещины закрытие эффекты и односторонние повреждения
Эта секция посвящена определению трещины открытия-закрытия перехода кондиции, из которых мы проверяем трещины открытия статус в порядке соответственно выбора соответствующего жёсткости тензора Сс (Сс для открытых трещины и Сс =3ksJ для закрытых трещин). Подстановка уравнения [10.1] в уравнение [10.11] позволяет нам переписать стресса-страдания отношение в форме:
[10.12]
c
Ec,r=;r(I-Ss:Cc,r):Ac,r:E [10.13]
Тензор Ec,r который представляет вклад в тотальную деформацию rth трещины фамилии, деформация вкложенная  rth трещины фамилией может также быть выражена в форме:
[10.14]
в которой, изменяемая ; представляет среднее открытие микротрещин (нормали компонент смещения прыжка) тогда как  характеризует  сдвижение между трещины лицами (сдвига смещения прыжок). Это затем сход использовать ; как индикатор для трещины  открытия- закрытия перехода. Комбинация уравнений [10.13], [10.14] и [10.9] дает
[10.15]
Использованием выражения  мы также выражаем  этот открытия- закрытия критерий как следует:
[10.16]
Отметим что открытия – закрытия статус трещины фамилии также влияет другими фамилиями через член (I+Pd:Cd)-1. В других словах пространственное распределение трещин делает аффект не только эффективные эластичные свойства для повреждения среды но так же трещины открытия –закрытия перехода кондиции [10.16]. Более того для  Pd=0 выше критерий уменьшается к одному уже способному для разведенной схемы (смотри [PEN 02]):
10.2.2.2. Повреждения критерий и эволюции закон.
С задачей укомплектовать консистенции микро-макро-моделирования повреждение, критерий должен быть выведен из некоторых микромеханических или  физических аргументов на микроскопическом уровне. К сожалению такие строгие аргументы не применимы теперь. Как следствие повреждения критерий и повреждения эволюции закон сформулированы  комбинацией микромеханических результатов с термодинамикой необратимых процессов. Классической термодинамики аргументы базруются на анализах внутренней диссипации в присутствии повреждения позволяющее нам  заключить что повреждения критерий  и его эволюция должна контролироваться сопряженными силами связанными с повреждения изменениями:
[10.17]
Отметим что последний член в выражении  высоко нелинеен в повреждения изменяемой (используя Сd). Для пользы простоты только два первых члена рассматриваются в повреждения ведущих силах.
Отмечая  вклад этих двух членов [10.17] мы имеем:
[10.18]
Следующая простая форма проложена для повреждения критерия:
[10.19]
где R(dr) локальное сопротивление к повреждения распространению. Как аффинная форма R(di)=c0+c1dr  также принята в настоящем изучении, с с0 и с1 двух моделей параметрами которые имеем, чтобы быть определенными. Параметр с0 связан с первого повреждения порогом. Эти два параметра можно калибровать использованием данных из простого неаксиального нагрузки теста.
В теоретической рабочей рамке генерализованных стандартных материалов, мы далее приняли нормальности правило для повреждения эволюции закона:
[10.20]
где повреждения множитель  определяется использованием содержания условий  для всех рассмотренных трещины фамилий [ZHU 06]. Должно быть отмечено что упрощение сделанное по форме повреждения ведущей силы  не аффект позитивности для повреждения диссипации, пока можно  показать что  и .
10.2.3. Нелокальная микромеханики-основанная модель повреждения
Хорошо известно, что деградация материалов обычно ведет к  смягчения поведению и страдания локализации. Моделирование этого смягчения поведения в контексте континуума модели без любой интринсик, натяжения материала длины ведет к поддельной сетки размера зависимости. Например повреждения локализация в полосе нуля толщины с парадоксальной последовательностью структурного отказа такого как нуля энергии диссипации может получиться. В порядке перейти этот вывод, различные методы проложены, среди которых так называемые нелокальные подходы [PIJ 87]. Базовая идея содержит перемещение локальной повреждения силы  для всех рассмотренных фамилий с его средним над переноса объема V материала центрированного в данной точке. Повреждение изменяемое dr есть затем рассмотренное как функция нелокальной ведущей силы  определенной как:
[10.21]
В уравнении [10.21] ;(x,y) пространство веса функции которое описано взаимным нелокальным взаимодействием и только зависит от расстояний между источника точкой x и полученной точкой y. Математически нормализации кондиция  требуется для униформы поля. В этом изучении мы принимаем следующие широко использованные веса функции:
[10.22]
где ; Гаусиана функция:
[10.22]
с материальной характеристической длиной которая определяет размер взаимодействия зоны для отказа процессов.
10.2.4. Применение модели
В этой секции предлагаемая нелокальная микромеханики-основанная модель повреждения использована симулировать некоторые лабораторные тесты с целью проверить предыдущие предположения. Симуляции выполнены в следующих случаях: неосевой тест, тест Вильяма, неосевой тест на зубчатой литой структуре. В Картесиана координаты системы с базисом , неосевые нагрузки наложены быть в направлении . Проложенная модель содержит только 4 параметра и каждая из этих параметров имеет чисто физическое значение. Эластичные константы твёрдого тела матрицы, Es и vs, очевидно определены рассмотрением линейной части идеализированной стресса-страдания кривой; параметры с0 и с1, которые входят в определение для функции R вкрученной в повреждения критерий (смотри уравнение [10.19]), характеризуют порога переменную и укрепление сопротивления повреждению, соотносительно. Для всех симуляции результатов что мы будем представлять, не менее специально, Пуассона отношение взято равным 0.20. В микромеханической повреждения модели начальный микротрещины статус явно предположен. Сумма этих изначальных микротрещин должна быть в принципе получена из экспериментальных наблюдений. Из-за недостатка таких данных распределение повреждения плотности принято быть изначально изотропичным. Низкая начальная переменная трещины плотности параметра d0=0.01 будет рассмотрена.
10.2.4.1. Неосевые растяжимые тесты
Экспериментальные результаты из неосевого растяжения теста [BAZ 89] рассмотрены для сравнения целей. Материала константы и модели параметры использованы в тестах: Es=2.9*104 MPa, c0=1.5*10-3 J.m-2 и c1=3*10-3 J.m-2. Рисунок 10.2 показывает сравнение между стресса- страдания кривой предсказанных проложенной моделью и экспериментальными данными. Главное хорошее согласие наблюдается. Глобальная тенденция для повреждения эволюции показана на рисунке 10.3а.

Рисунок 10.2. Сравнение между теоретическим и экпериментальным откликами для неосевых нагрузок (данные из [BAZ 89])
Рисунок 10.3.Неосевой растяжимый тест: а) глобальная повреждения эволюция, b) презентация в розетке  повреждения плотности.
Далее повреждения плотности распределение в 3D пространстве вычислено. Если  o происхождение и a точка на поверхностях трещины плотности параметра распределения функции, ориентация вектора  соответствует фамилии микротрещин с единицей нормали  и переменная соответствующая трещины плотности параметру -  (смотри рисунок 10.3b). Как ожидается материала повреждение для неосевого теста -главным образом из-за микро-трещин нормально к нагрузке направлению.
10.2.4.2. Предсказания анизотропичной повреждения модели для теста Вильяма
Очень интересный случай нагрузки для применения литого конституционного моделирования – так называемый тест Вильяма [WIL               87]. Специфически этот тест широко использовался оценить способности повреждения моделей следовать вращению принципиальных осей стресса тензора. Хотя тест чисто теоретический имеет способности дискриминировать конституционные хрупкие повреждения законы и в частности проверить их способность правильно учитывать для  повреждения–индуцированного анизотропии и микротрещины закрытия эффектов. В этом тесте который имеет часть бенчмарк (MECA)  координируемую EDF во Франции [GHA 03], материал успешно подвергнут двум нагрузки шагам в плане страдания кондиций:
-первый шаг неосевое растяжение пока пик стресса не достинут. Компоненты страдания тензора в плоскости , следует тропе пропорциональной (1,-vs,0), где vs Пуассона отношение неповрежаемого материала; в не повреждаемом эластичном режиме, это соответствует неосевой растяжимой нагрузке в направлении ;
-страдания статус полученный в конце первого шага следует нагрузки шагом где подробности страдания тензора компонент E11, E22, E12 пропорциональны (1, 0.5, 0.5). Нагрузки шаг равен биаксиальному расширению  соединенному раздвижением в плоскости ; индуцирует, влечет вращение принципиальных осей макроскопического страдания тензора. Эволюция мажора принципиального направления  во время этого теста показана на рисунке 10.5 значениями ;E (угол между принципиальными направлениями и осью вдоль ).
Материала свойства проложенные в бенчмарк [GHA 03] следующие:
Юнга модулюс, модуль Es=3.2*10-4 MPa, Пуассона отношение vs=0.2, сжатия  сопротивление fc=38.3 MPa, страдание соответствующее пику стресса Efc=2*10-3, растяжения сопротивление ft=3.0 MPa и доли, раздела энергия Gf=110 J/m2. Эти материала характеристики соответствуют следующим переменным модели параметров: c0=7.5*10-4 J.m-2 и c1=0.
Эти результаты предсказаны микромеханическими моделями для Вильямса теста, именно ;11, ;22, ;12 согласно с осевым страданием  E11, иллюстрировано на рисунке 10.4. Для сравнения налогов неосевой растянутый стресса-страдания отклик также обеспечен. Давайте обсудим квалификацию  отклика полученную. Следующие комментарии можно сделать варя механический отклик в повреждения режиме:
-для осевого стресса ;11, смягчения поведение похожее на неосевого растяжения случай наблюдается. Во время этой смягчения фазы, небольшое плато (или второй пик) происходит при осевом страдании близким к 0.03%. Это плато одновременно наблюдается для стресса компоненты ;22. Отмечено что ;22-E11 кривые проходят над тем ;22-E11 и достигают пика при E11=0.03%;
- сдвига стресс ;12 это первый позитив и затем увеличение и достижение пика до уменьшения ко второму негативному пику.
Мы будем экзаменовать модели предсказания в членах принципиальных оси вращений из принципиальных топоров из стрессов. Для больших деталей сваренных этими симуляциями смотри [ZHU 06]. Рисунок 10.5 показывает сравнение между эволюциями мажора принципиального стресса направления ;; и что ;E для страдания тензора, соответственно.

Рисунок 10.4. Вильямса тест: в плоскости стресса компонентов.
Рисунок 10.5. Вильямса тест: эволюции в углах между –осью и главными принципиальными направлениями ; и E.
Немонотонная эволюция принципиального стресса вращения получена. Разность между двумя кривыми это знак повреждения индуцированной анизотропии. Интересно отметить что MECA бенчмарк, численная модель, даже анизотропичная, где нельзя описать этот ключа аспекты оценены Вильямса тестом [GHA03].

Рисунок 10.6. Геометрия (в мм) и нагрузки условия Хасанзаде теста: а) геометрия структуры; b) геометрия зубьев.
10.2.4.3. Численные анализы Хассанзаде направления напряжения тест
Последнее численное применение показанное здесь для проложенной эластичной модели повреждения варит направленного растяжения тест выполненный Хассанзаде [HAS 91] на четырех стороннем зубчатом литом образце. Геометрическое описание зубчатого образца и нагрузки кондиции показаны на рисунке 10.6. Гипотезы плоского страдания кондиции приняты для численных анализов.
В порядке изучить сетки чувствительность проложенной нелокальной микромеханически-основанной модели, две различные сетки рассмотрены: первая дискретизация содержит 960 прямоугольных элементов и вторая с 1,512 элементами получена уточнением дискеретизации в центральной разлома зоне. Следующие материала параметры использованы: Es=3.6*104 MPa, c0=7.5*10-3 J.m-2 и c1=1.*10-3J.m-2.
Рисунок 10.7 показывает силы –смещения кривые для двух сеток которые сравниваются с экпериментальными данными доложенных Хасанзаде [HAS 91]. Очень хорошее согласие между численными результатами и экспериментальными данными получено. Повреждения распределения при трех различных переменных изложенных смещений также представлены и сравнены  для рассмотренных сеток на рисунке 10.8 и на рисунке 10.9. Далее сетка внуренней чувствительности верна не только в численных предсказаниях но в анизотропных повреждения профилях.
10.3. Новая модель для податливых микротрещин материалов
10.3.1. Вводные наблюдения
За последние три десятилетия моделирование поведения податливой поврежденной среды подвергалось важным исследованиям в нелинейной механике материалов. В своих пионерских работах Гурсон [GUR 77] получил по аналитическим выражениям урожай

Рисунок 10.7. Силы-смещения отклика кривые и сравнения с экспериментальными данными доложенными в [HAS 91].
Рисунок 10.8. Распределения повреждения компонент D11 при трех смещения уровнях для двух сеток.
функции из лимита анализов подходов полой пластической сферы (твёрдого тела матрица повинующаяся Фон Мизеса критерию). Позднее Гологану и Леблонд расширили Гурсона работу к случаю не – сферических пустот (смотри [GOL 93, GOL 94]). Они следуют пределу анализам Гурсона рассмотрением сфероидальной единицы клетки (смотри секцию 10.3.2). Пенса–формы трещина которая основной субъект этого учения смоделирована как готовая полость с очень низким аспекта отношением.

Рисунок 10.9. Распределения повреждения компонента D22 при трех смещения уровнях для двух сеток.
В контексте нелинейной гомогенизации использованием справедливой вариационной техники Кастанеда и Суке [CAS 98] получили строгую нелинейную Хашина-Шртрикман верхнюю границу для податливой треснутой среды. Важное наблюдение что можно сделать это то, в контрасте к [CAS 98], Гурсона –похожий критерий [GOL 94] можно неправильно учесть для спаривания между сдвига стресса компонентами и повреждения из-за присутствия микротрещин. Обычно для осесимметричной нагрузки, более лучшее предсказание получено Гурсона-подобного подходом чем Хашина-Штрикмана для высокой стресса трехосности. Цель нашего изучения обеспечить исправление лимита анализов рассмотрением более уточненных скорости полей чем одни рассмотренные до настоящего времени в литературе. Мы сперва представляем генеральную методологию подхода и фамилии скорости полей рассмотренных. Затем мы проводим определение примерного выражения макроскопического критерия в генеральном случае образующейся полости. Наконец полученный критерий обсужден в частичном случае Фон Мизеса твёрдого тела матрицы ослабленной пенса-формы трещиной.
10.3.2. Базовые концепции и методология предела анализа подхода
10.3.2.1. Представленный элемент объема с пустотами образующимися
Рассмотрим сфероидальную образующуюся полость (смотри рисунок 10.10) с полуосями a1 (вдоль ), и b1 (вдоль и ) погруженную в клетку, которая имеет форму конфокального сфероида с полуосями a2 (вдоль ) и b2 (вдоль и ). Давайте отметим фокальные дистанции и  эксцентричность полости определенной:
[10.24]

Рисунок 10.10. Схематичная диаграмма показывая образующуюся сфероидальную пустоту погруженную в конфокальный сфероид относящийся к Картесиана координатной системе (x1, x2, x3).
Последствия ввода сферических координат характеризуемых ;, ;, ;  и определенных в цилиндрических рамках (координаты ;, ;, z) ;=bsin;, z=acos;. Изо-; поверхность определяет конфокальный сфероид с полуосями a=csinh(;), b=ccosh(;)и  эксцентричностью c/b. Единицы векторы (смотрите рисунок 10.10):
[10.25
c  и .
Пористость определена:
[10.26]
10.3.2.2.  Эшелби подобные поля скорости
Следуя Гарсон [GUR 77], скорости поле в матрице, , классически разложенно в первое поле, , отвечающее за униформы страдания ставку, и гетерогенное поле, обозначенное , которое описывает пустоты расширение и пустоты формы изменений:

 обозначает позицию вектора текущего пункта в твёрдого тела матрице. Ли и Меар [LEE 92] изучали сфероидальный полости рост в бесконечно несжимаемом степенного закoна-материале, подвергнутом осисимметричной нагрузке. Они ввели очень большую фамилию скорости полей, которая была использована позднее Гологану и др. [GOL 97] для определения макроскопического урожая поверхности. Обычно читаемо наблюдалось что этот класс осесиметричных скорости полей не может правильно взять в учет роль сдвига стресса компонентов.
Мы проложили здесь рассмотреть для лимита –анализов неосесимметричных скорости полей. Для  мы рассмотрим внешнее точки решение Эшелби негомогенного включения проблемы (смотри [ESH 57]) адаптированные здесь к несжимаемому вязкости жидкости (занимая домен  который содержит сфероидальное включение подвергнутое униформы собственному страданию d*). Это высоко гетерогенное скорости поле читает (смотри например [MUR 87]) :
[10.28]
где T четвертого порядка тензор который не обладает мажора и первого минора симметрии (Tijkl;Tklij и Tijkl ;Tjikl обычно Tijkl=Tijlk). Компоненты T, которые только функции ;, даны в секции 10.6.
Далее пластичный страдания ставки тензор d можно уменьшить беря симметрии часть градиента рассмотренной скорости поля  (определенной [10.27]): .
10.3.3.Определение поверхности макроскопического урожая
10.3.3.1.Вопрос граничных условий
Пока проложенная Ешелби типа скорости поле [10.28] не подчиняется с униформы страдания ставки по границе клетки, мы проложим использовать классическое среднее правило между  d и D:
[10.29]
где  обозначает объем единицы клетки (матрица + пустота), S(e) (четвертого порядка) Эшелби тензор для эластичной несжимаемой среды содержащей сфероидальное включение эксцентриситета e. Компоненты S(e)  даны в секции 10.6. Можно отметить что полученное отношение [10.29] дает связку между макроскопическим страдания тензором D и всеми кинематическими параметрами (компоненты A и d*) которые входят в определение скорости поля [10.27] рассмотренное здесь. Также читаемо показано что комплект скорости поля определен 11 параметрами и кондиция [10.29] обеспечивает шесть отношений между теми различными параметрами. Так здесь остается пять неизвестных параметров которые будут определены из минимизации процедур. Компоненты отклонения части d* обозначены .
10.3.3.2. Принципы определения функции урожая
Для рассмотрения скорости поля макроскопическая диссипация определена как минимум микроскопической диссипации3
[10.30]
где  эквивалент пластического страдания определенного ; ; область полости, чей объем .
Макроскопическое урожая локус, место получено из (смотри [LEB 01]):
[10.31]
Из-за трудности интеграции микроскопической диссипации (смотри [10.30]) процедура которая следует здесь проложена в [MON 07] обеспечить приблизительное выражение П(D) и затем макроскопического урожая функции.
10.3.3.3. Закрытая форма выражения макроскопического урожая функции
Выражение макроскопического урожая функция пористой среды,  которая получена использованием методологии описанной в предыдущей секции, читает (см. [MON 07):
[10.32]
Где фиксированная пористость определенна  c .
Фокальная дистанция дана [10.24]. зависит от эксцентричности; выражение дано в секции 10.6.
Более того ;1C=;2eq+f;2A+(1+g)(f+g);2B. Для выражения ;A и давайте введем следующие поперечные изотропичные cтресса инварианты которые связаны с анизотропией индуцированной ориентацией сфероидной полости:
;
 ;
3 Здесь минимум взят с отношением компонентов  которые неизвестные кинематические параметры.
Сперва мы имеем ;2A=;1;2q+;2;2m+;3;m;q+;4;2s+;5;2t где коэффициенты ;i даны:
[10.35]
Y  определённая:
[10.35]
Количества  и такие как:
;
c ;i=;(ei) и ;i=;(ei), i=1,2. Вспомним что выражения ;(e) и ;(e)  даны в секции 10.6.
Варя ;B, определяется: ;2B=k1;2p+k2;2q+k3;p;q+k4;2s+k5;2t где коэффициенты ki даны:
; ; ; [10.37]
;
c






в которой .
Иллюстрации выставленных критериев для подготовленных полостей можно найти в [MON 06]; мы можем экзаменовать здесь случай циркулярных (пенса-формы) трещины.
10.3.4. Частный случай пенса формы трещины
Трещина моделируется рассмотрением следующего предела готовящейся полости e1;1. Пористость f;0 и параметр g становится пропорциональным стандартному трещины плотности параметру4 d, т.е. g=d/2 с . Читаемо показано что макроскопический критерий читает:
[10.39]
Давайте теперь уточним выражения ;C и ;B в случае пенса формы трещин. Сперва, когда f;0, член f;2A, который появится в определении ;C, имеет тенденцию к конечному лимиту. Выразить этот предел удобно разложить пористость как следующее: f=dz1 с ; в случае пенс-формы трещины, z1;0. Давайте затем рассмотрим следующее развитие:
[10.40]
Следует что Y (уравнение [10.35]) читает:
[10.41]
Наконец рассматривая уравнения с различными выражениями коэффициентов ;i [10.34], показано что (смотри Моншие):
[10.42]
4 Отмечено что трещины плотности параметр здесь единица введенная Будански и О`Коннелл [BUD 76] охарактеризовать эластичной трещины среду.
Варка члена ;B, давайте сперва отметим что . Рассматривая отношения [10.40] можно показать что различные pi читаем:


[10.43]


На рисунке 10.11 урожая поверхности для различных переменных трещины плотности параметр представлен:d=0.01, d=0.1 и d=0.5. На  этом рисунке начерчен полученный критерий [10.39], Хашин- Штрикмана верхняя граница [CAS 98] и точный урожая критерий полученный  численным разрешением лимита анализов проблем с рассмотренными Эшелби-типа скорости полей. Очень хорошее согласие проложенного критерия [10.39] с численными точками получено. Наблюдается что Хашин- Штрикмана верхняя граница отказа репродуцирует данные для высоких переменных значения давления ;m.

Рисунок 10.11. Урожая место для циркулярной трещины. Сравнение между полученным критерием [10.39] (полная линия) Хашина –Штрикмана верхняя граница (прерывистая линия) и решение, полученное численно (круги).
10.4.Заключения
Часть посвящена развитию микромеханических моделей нелинейного поведения твёрдого тела ослабленного микротрещинами. Микротрещины спариваются либо с эластичным или пластичным поведением твёрдого тела матрицы. Микромеханика эластичного повреждения из-за распределенных микротрещин наблюдалось используя Эшелби основанной гомогенизации технику, пока поведение податливого микротрещин материала изучалось используя лимита анализов подход введенного Гурсоном [GUR 77].
Варя квазихрупкие материалы для которых повреждение спаривается с эластичностью мы проложили новые гомогенизации –основанную нелокальную повреждения модель. Эта модель берет прогресс Кастанеды и Виллиса (1995) границы. Как следствие позволяет нам вставить много выступающих свойств хрупких геоматериалов таких как повреждения –индуцированной анизотропии, односторонних эффектов из-за микротрещин закрытия, микротрещин взаимодействие и их пространственное распределение. Должно быть подчеркнуто что модель содержит малое число  параметров с чисто фическим значением и может быть легко исполнен в компьютера кодах. Более того нелокальная формулировка такой модели также позволяет нам исследовать отклик структур в которых материала смягчение поисходит и ведет к прогрессивному отказа процессу. Численные применения представлены здесь для литых структур показывается что модель обеспечивает эффективный инструмент для анализов структур подвергнутых комплексным нагрузки условиям. В злости этих результатов открываемо нести прямую микромеханическую формулировку нелокальной модели. Такие выражения можно сформулировать на базе результатов Друган и Виллис [DRU 96].
Изучение пластичной микро-трещины среды, сложено отличной пластичной жёсткой матрицей содержащей готовящиеся полости имеет также вынос значениями микромеханического моделирования. Новый аналитический мароскопический критерий выведен используя лимит анализов подход. Оригинальность изучения лежит в основном в рассмотрении Эшелби –подобного суда скорости полей для определения макроскопической диссипации. Мы показали что проложенный критерий значительно исправит существующий критерий податливой пористой среды.  В частности для низкого стресса трехосности новые результаты также согласны  очень хорошо с (нелинейной) Хашина-Шрикмана границей (смотри также [MON 06]). Специфические применения тесты выполнены для пенса-формы трещин используя разнообразие новых критериев. Как в [GUR 77], макроскопический критерий должен быть выполнен эволюции законом пластической деформации и повреждения изменениями (трещины плотности параметр). Так упрощено фактом что нормальности правило еще держится на макроскопической шкале. Важный аспект что будет исследоваться в будущей работе  варит расширение модели геоматериалов которая отображает пластичную сжатия возможность (Дрюкера-Прагера или Мура-Куломба) матрицы.
10.5.Благодарности
Авторы благодарят Др. О. Казаку за полезные замечания и предложения, которые помогли им исправить эту главу.
10.6. Приложения
Выражения компонентов T(;), S(e) и выражения ;,;



[10.44]


 

10.7. Библиография





Часть 11. Бифуркации в гранулированных материалах: подход мультишкал
11.1.Введение
Понятие отказа может быть рассчитано в многих полях безотносительно шкалы рассматриваемой. Это понятие особенное в материала науках где отказ может наблюдаться в образца (материала точке) шкале. Это также значительно в гражданской технике предупредить появление отказа на больших шкалах.
Для геоматериалов известных как несвязанные материалы некоторые отказа моды можно учитывать ограниченно в пределах пластической поверхности. С математической точки зрения это свойство особенно связанное с несимметрией тангенса конституционного тензора. В то время как локализованные моды описывают отказ соответствующий непрерывности смещения полю, диффузные моды связаны с гомогенности кинематическим полем, диффузная мода связана с гомогенным кинематическим полем с нелокализации образца. Показано что эту отказа моду можно предсказать с смыванием второго порядка работы [NIC 07a и b]. Введенное Хилл [HIL 58], это количество (позднее обозначенное W2) определённое из внутреннего продукта  подробного первого Пиола-Кирхофа стресса  тензора() с подробным смещения градиента тензором:
[11.1]
Глава написана Франсуа Нико, Люк Сибиль и Феликс Дарве.
Интерес этой полу-Лагранжиана формулировки лежит в том что все изменяемые докладывают фиксированную изначальную конфигурацию определенную объемом V0 и координатами Xi. Для материальной точки, соответствующей представленного объема элемента (ПОЭ) гранулированного материала, уравнение [11.1] упрощается в следующее выражение:
[11.2]
Второго порядка работа может быть выражена под Эйлера формулировкой, вводя Коши стресса тензор :
[11.3]
где Lij, так как , главный член скорости градиента тензора . Следует что второго порядка работа комбинация трех членов:  материальный член,  относится к изменению в объеме, и  связан с изменением в текстуре [NIC 07a и c].
Согласно малой страдания аппроксимации, , где  обозначает страдания ставки тензор и  подробный малый страдания тензор. Из симметрии этого тензора следует что:
[11.4]
Различные формулировки второго порядка работы вводят макроскопические тензориальные изменяемые что представляют и комплексную силу и смещения распределения в пределах гранулярного образца. Смывание второго порядка работы основа таким образом из микроструктурного происхождения для которого локальные изменяемые (контакта силы и относительные смещения между подсоединенными частицами) -подходящее. Как следствие пока смывание второго порядка работы надлежащий критерий для детектирования проишествия конечной отказа моды в геоматериалах, есть смысл следить микроструктурное происхождение этого макроскопического смывания. Эти анализы будут перенесены рассмотрением нашей микронаправленной модели, которая базово микромеханически основана конституционными отношениями. Затем  подход будет расширен на основе главного микромеханического отклонения.
11.2. Микроструктурное происхождение исчезающей второго порядка работы
11.2.1. Модель микронаправления
Модель микронаправления – мульти шкалы отношение между Коши стресса тензором  и страдания тензором  взятием микромеханических характеристик в учёт. В этом подходе гранул cборка описана как распределение контактов с подсоединенными частицами. Каждый контакт связан с данным направлением физического пространства,  соответствующим нормальному направлению тангенса контакта плана, плоскости. Текстура таким образом описана распределением контактов вдоль каждого направления физического пространства. Вероятность что некоторый контакт существует в данном направлении наблюдается и локальная изменяемая усреднена в каждом направлении, так что направления изменяемые введены. Фундаментально эта модель основана на гомогенизации процедуре в пределах представленного элемента объема (ПЭО) что может перерешена в трех следующих основных этапах (для больших деталей смотри [NIC05]).
Стресса средняя соответствует Лове формуле ([LOV27]; [WEB66]; [CHR 81]; [MEH 82]):
[11.5]
где  ветви вектор присоединенный центрами частиц в контакте на контакт c, – контакта сила, сумма расширенная ко всем Nc контактам происходящим в ПЭО объема. Норма ветви вектора  положена быть константой параметра (равной значению диаметра зерен) чья эволюция над нагрузки параметром игнорируется. Это уверяет что члены  и  неспарены. Дискретное суммирование данное в уравнении [11.5] можно переместить с непрерывной интеграцией над всеми контакта направлениями в физическом пространстве. Эта схема поддержит направленный характер модели:
[11.6]
где ; плотность контакта вдоль каждого пространства направления , rg обозначает значение радиуса сферы формы зерен,  среднее всех контактов сил  связанных с контактами ориентированными в направлении , и d; элементарный тёрдого тела угол. После дифференцирования следует что:
[11.7]
Кинематическое проекции отношение дано:
[11.8]
где  направленная кинематическая изменяемая соединенная с  вдоль контакта направления .
Локальное поведение описано введением конституционных отношений между и средней нормальной силой  и тангенсальной силой , и средним относительным нормальным смещением  и тангенсальным смещением . Эластично-пластичная модель введена и следующие локальные внутренние отношения можно внести:
[11.9]
[11.9b]
где , kn -нормальная эластичная жёсткость, kt - тангенсальная эластичная жёсткость и ;g локальный трения угол.
11.2.2.Микроструктурные выражения макроскопической второго порядка работы
Стартуя из уравнения [11.7], и отмечая, что плотность контакта ; вдоль каждого направления выдавлено   как , где – число контактов вдоль
рассматриваемого направления, следует, что дифференцирование Коши стресса тензора – сумма трех членов:
 [11.10]
который можно также написать как:
 [11.12]
Теперь взяв среднее кинематические проекции отношения урожая:
Уравнение [11.12] можно интересно спарить с уравнением [11.4]. Член , который показан  относящимся к изменению в текстуре [NIC 07c], можно ассимилировать с членом  который также учитывает для текстурного изменения. В этих условиях можно установить что макроскопическая второго порядка работа может быть выражена в очень в лоб манере с отношением к микроскопичным изменяемым:

  Возвращаясь к дискретной формулировке интеграл  соответствует суммированию скалярного продукта  над всеми контактами содержащимися в пределах сборки. Как продемонтрировано Нико и Дарве ([NIC 07a и c], член  можно интерпретировать как микроскопическую  второго порядка работу с контактом “с” между двумя данными подсоединенными частицами. Как последовательность уравнение утверждает [11.13] что макроскопическая второго порядка работа равна сумме микроскопической второго порядка работе связанной со всеми контактами существующими в пределах сборки.
Основной результат внес рассмотрением данного конституционного отношения, т.е. микро-направленной модели. Свойство следующей секции содержит генерализцию этого результата без переноса к любой конституционной модели.
11.2.3. От микро к макро второго порядка работе.
Давайте рассмотрим зерновую сборку содержащую N зерен ‘p’ с 1;p;N. Каждое зерно ‘p’ в контакте с np других подсоединенных зерен ‘q’ с 1;q;N. Границы частицы () подвергнуты внешней силе  направленной внешней средой. Мы вводим Галилея рамку R вместе с локальной рамкой  посоединенной к рассматриваемой контакту чья нормаль к тангенса контактной плоскости- . обозначает    дифференциацию любой изменяемой с отношением к этой  рамке.

Рисунок 11.1. Гранулярная сборка: границы частиц и внешние силы.

Рисунок 11.2. Галилея рамка и локальная рамка.
Микроскопическая  второго порядка работа подсоединенная к контакту “c” между частицами “p” и “q” дана отношением ([NIC 07a и c]):
[11.14]
где  обозначает подробную контакта силу эксертед,  вынутую частицей “p” на частицу “q” и  подробное относительное смещение частицы “p”  с отношением к частице “q”.
По гранулярной сборки шкале макроскопическая второго порядка работа может быть связана со второго порядка времени отклонением кинетической энергии как:
[11.15]
Беря в учёт выражение кинетической энергии,
[11.16]
мы получим после некоторой алгебры ([NIC07a]):
[11.17]
Это базовое отношение указывает что макроскопическая второго порядка работа  -сумма микроскопической второго порядка работы расширенной ко всем контактам целой сборки, , минус границ комплеметарный, дополнительный член . Этот последний член кажется  ничтожным из симуляций основанных по дискретному элемента методу [SIB 06 и 07]. Эти отношения что связывают макроскопические второго порядка работы к микроструктуральным элементам погруженым в член , обеспечивающий внутри микроструктурного происхождения для смывания для второго порядка работы. Следующая секция варит с экзаменом эти свойства.
11.2.4. Микромеханические анализы смывания второго порядка работы
Давайте рассмотрим член . Смывание требует чтобы количества  смывались для конечного числа контактов. Обычно  и  связаны через конституционные уравнения такие как те данные в [11.9]. Рассматривая любой контакт “c”,  раскалывает в нормали компонентах  и тангенсальных компонентах . Когда контакт ведется в пластическом режиме, микроскопическая второго порядка работа Wc2 -квадратичной формы что может быть позитивной или негативной:
Wc2=kn(;unc)2+tan;gcos;kn;utc;unc+ktsin2;(;utc)2  [11.18]
где ; угол между обоими векторами  и .  Для осесимметричных условий, ;=0,  и уравнение [11.18]  дает урожай:
Wc2=kn(;unc)2+tan;gkn;utc;unc [11.19] 
Смывание Wc2 требует чтобы оба следующих условия выполнялись [NIC 06];[NC 07a]: ;unc;0 (ненагруженная вдоль нормального направления) и (амплитуда тангенсального смещения достаточна для контакта вести пластично). Галочка отмечает что микроскопическая второго –порядка работа всегда позитивна когда контакт подвергается нормальному сжатию.
Как в пластическом режиме, ;Ftc=kntan;g;unc, условие ;unc;0  так же значит что оба компонента ;Fnc и ;Ftc отрицательны. Локально на контактной шкале стресса статус спускает Куломба линии, как показано на рисунке 11.3. Результат можно рассмотреть как микроструктурное происхождение факта что смывание макроскопической второго –порядка работы особенно наблюдается в пределах третьего квадранта, соответсвующие ;;1<0 и ;;3<0 (в стресса прирастающем пространстве), как показано для примера на рисунке 11.4. (в некоторых случаях отрицательные переменные второго –порядка работы можно также наблюдать в пределах первого квадранта [DAR 04])

Рисунок 11.3. Эволюция контакта силы для смывания микроскопической второго- порядка работы: контакта силы спускается Куломба линии.
Рисунок 11.4. Полярная презентация второго-порядка работы вдоль подробного стресса направления (октолинейная модель с левой стороны, микронаправленная модель с правой стороны) для различных отклонения отношений (после [NIC 06]).
11.3. Некоторые отметки по основным микро-макро отношениям для второго порядка работы
Давайте вернемся к дальнейшему обсуждению отношения [11.7]. Эти отношения встречаются в дискретного элемента симуляциях. Рассматривая кубических гранул образец, при отдыхе после инициальных осисимметричных истощения трехосевых нагрузок серии стресса проб были вложены, вдоль всех направлений подробного стресса пространства, и оба количества W2 (макроскопическая второго порядка работа) и  (сумма микроскопических второго порядка работ) спарены.
Как показано на рисунке 11.5. уравнение [11.17] совершенно уверяет в пределах эластичной тензориальной зоны (зона сбора нагрузки направлений ведущих к непластичной диссипации), когда контакты ведут особенно эластично, и в части пластичной тензориальной зоны где пластичная диссипация связана с раздвижением контактов (рисунок 11.6). Как только нагрузки направления характеризуются контактом открытия и /или созданием (которое соответствует центральной части пластичной тензориальной зоны), значительный прыжок между  и  существует (рисунок 11.6) . Будет применение уравнения [11.17] построено? Наше убеждение что это базовое отношение применено, безотносительно тензориальной зоны рассмотренной. Тем неменее галочка указывает что уравнение [11.17] применяется к равновесия статусу; наоборот дискретные  элемента симуляции требуют рассмотрения конечного времени интервала вычислить оба количества  и . Для нагрузки направления вдоль центральной части пластичной тензориальной зоны (характеризуемой контактом открытия или создания), зерен перестановка непрерывно имеет место, так что среднее (при последней локально) не дольше в равновесии. Как следствие для такого нагрузки направления дискретные элементы симуляций не конституция, утверждают правого пути для проверки отношения применения при равновесии но вовлекая (силы и смещения) ставки.

Рисунок 11.5. Микроскопичные и макроскопичные второго порядка рботы плотности вдоль различных стресса нагрузки направлений (после [NIC 07c])

Рисунок11.6. Зерна перестановка раздвижением и открытия /создания контактов вдоль различных стресса нагрузки направлений (после [DAR 07])

11.4. Заключение
Часть посвящена микромеханическим исследованиям смывания  второго порядка работы. Как это количество показало играть фундаментальную роль в детектировании проишествия конечной отказа моды (диффузии отказа моды, связанной с спонтанным взрывом кинетической энергии), большого интереса понять что микроструктурные кондиции, что ведут к смыванию второго порядка работы, существуют.
Во-первых рассмотрением нашей микро-направления модели, внесено что макроскопическая второго-порядка работа данная гранул сборки равна сумме микрокопичной второго-порядка работе расширенной ко всем контактам в пределах сборки. Затем применимость отношения расширена на основе главных микромеханических аргументов. Эти отношения фундаментальны пока это мосты микроскопического и макроскопического миров. Анализы  преследуют введением эластопластичности (трения) модели по контактной шкале. Кондиции для смывания микроскопичной второго порядка работы (которая квадратичной формы с отношением к относительному смещению) экзаменовались, интерпретация факта, что «нестабильные конусы» содержащие нагрузки направления для подробного стресса пространства соответствует негативным переменным W2, содержится в третьем квадранте, была обеспечена. Микроструктурные ингредиенты анализа особенно связаны с внезапной (и сильной) отменой контакта на (мезоскопичной) сил звеньев цепи шкале. Эти геометрические аспекты будут  рассмотренны в дополнении к прежнему материальному аспекту (раздвижения кондиции) рассмотренной в этой главе.

11.5. Библиография


Глава 12. Прямой подход шкалы перехода для высоко наполненных вязкоэластичной частичной композитов: компьютерное учение.
Эта глава имеет дело с первой количественной оценкой прямой шкалы перехода посвященного долгого пробега предсказаний нелинейного механического поведения высоко заполненными эластомерами (зерен объема пропорции >60%) такие как топлива типа материалы. Шкалы переход при ставке, названный «морфологический подход» (МП MA), утверждает генерализацию конечного страдания, смотри [GUI 06], ранних линейных рабочих рамок [CHR 83]. Специфичность подхода лежит особенно в прямой геометрической схематизации реальной микроструктуры. Некоторая богатая и соответствующая информация варящая морфологию и внутренний порядок содержимого взято в учёт через геометрические параметры идентифицированные в течении схематизации шага. Это утверждает важные свойства знающие что ярмарки распределение представленного элемента объема (ПЭО RVE) всегда было ключа выводом в контексте «усреднения методов» [NEM 93]. Концепция «морфологично представленного образца» проложена [BOR 96] для случайных микроструктур становится как иллюстрация готовности  обеспечить морфологически появившиеся презентации. Более того спаривание между морфологической способностью проникнуть внутрь и локальной кинематикой постулируемой (допущения видя замечательно матрицы –связанной смещения поле) предлагает способ взять в учет некоторую внутрифазную гетерогенность в гомогенном поведении оценки. Это особенное рассмотрение значительного эффекта локальной гетерогенности по нелинейному макроскопическому поведению гетерогенной  среды как показано для примера [MOU 03], [IDI 03], [IDI 06].
В секции 12.1 основные свойства МП, т.е. геометрические и кинематические ингредиенты, средняя схема и практическое решение локализации –гомогенизации проблемы, перевызваны следующим [GUI 06]. Следующее, соответствие подхода оценивается в простом контексте 3D композита с периодической микроструктурой (секция 12.2). Глобальные и локальные оценки сравниваются с результатами данными конечных элементов методом (FEM) со специальным вниманием оплаты  отношения кинетических гипотез  делающие конституцию МП MA стартующих точек. Это выполнено для гиперэластичных конституциентов (секция 12.2.3.) и для времени- зависимого поведения видя матрицы фазу (секция 12.2.4). В последнем случае текущие вызовы видя вязкоэластичности гомогенизацию и способности МП к лицу этих вызовов будут указывать наружу. Секция 12.3. заканчивает главу кладя подчеркивание «направленного» характера МП и дает некоторые проспекты.
12.1. Морфологический подход в конечной страдания рабочей рамке
12.1.1. Геометрическая схематизация
Изначально случайная микроструктура высоко заполненным композитом представленная агрегатом многогранных зерен соединенных между собой тонкими матричными слоями с постоянными толщинами. Схематизация происллюстрована на рисунке 12.1. Для каждого слоя ; набор четырех «морфологических параметров»  идентифицируется в недеформируемой конфигурации:
-h;, постоянная толщина слоя ;;
- A; проектируемая площадь слоя ;; связанный объем затем A; h;;
- d;, вектор связка центроида многогранника отделенного слоем ;
- n;, единичный вектор нормали к плоскости интерфейса зерна/слоя ;.
Однажды зерна перемещенные многогранником (удовлетворяющим кондиции паралеллизма между интерфейсами оппозитных зерен), параметры d;, n; и h; читаемо определены. Для случайных микроструктур проектируемая площадь A; – ведет к определению матрицы зоны между двумя соседними зернами названными «слой ;» идентифицированой как следует. Стартуя из центроида двух зерен, два оппозитных интерфейса спроектированы на среднем плане между зерен зоны. Затем средняя проекция определена и выбрана как площадь A;. Таким образом слой ; (связанный объем A; h;) не соответствует точно к матрице зоны ограниченно точно между двумя оппозитными интерфейсами. Это может быть больше как проиллюстрировано на рисунке 12.1c (2D презентация). С практической точки зрения вызов  -оптимизировать соответствие  «истинной» микроструктуры с Кристоферсена схематизации микроструктуры в порядке нести ярмарки соответствие по морфологическим параметрам. X–лучевая томография вместе с доступными инструментами для морфологических анализов 3D образов может быть использована для этих целей. (смотри [TOU 07b] для деталей).

Рисунок 12.1. Иллюстрация геометрической схематизации (а) реальная микроструктура (b) схематизации микроструктура, [TOU 07b], морфологические параметры для слоев ; [CHR 83].
Показано что такое прямое морфологическое описание позволяет нам учесть для выступающей информации варя реальную морфологию. В факте в оригинальной статье [CHR 83] зависимость оценок  возможной текстуры (изначальная анизотропия),  рассматриваемого композита, на зерен форме нерегулярности и на слоя толщинах продемонстрирована (смотри так же [NAD 03]); в конечном страдании эти свойства очевидно сохранены.
12.1.2. Проблема локализации-гомогенизации
12.1.2.1.Принципиальные инструменты и этапы
Второй шаг MП формулировка упрощения кинематических допущений варя локальное смещения поле в схематизируемом объеме.  Они вспомнили ниже и утвердили генерализацию к конечному страданию Кристоферсена оригинальной гипотезе. Зерен центроиды смещены так как для отображения глобального, гомогенного деформации градиента F (данные для локальных проблем). Зерна сами наложены гомогенно деформированные и соответствующий деформации градиент f0 предполагается быть общим ко всем зернам схематизируемого объема. Каждый междусвязанный, интерконнектинг слой подвержен гомогенной деформации, надлежащий к слою под рассмотрением  и обозначен f;. Локальное волнение на зерен краях и углах (смотри круглые зоны на рисунке 12.1c) ничтожны на базисе тонкости слоев. С предыдущими допущениями и следуя Кристоферсона методологии, непрерывности смещений на зерен /слоев интерфейсах ведет к выражению деформации градиента f; любого слоя ; как функции данного макроскопического градиента F, f0 и морфологических параметров надлежащих к этому слою:
[12.1]
Кристоферсона морфология и кинематики рабочая рамка расширена к конечной страдания предлагают способ взять в учет некоторую страдания гетерогенность в матрицы фазе представленную сборкой слоев с различными морфологическими характеристиками. Это утверждает позитивные свойства в контексте нелинейной гомогенизации как известно локальная гетерогенность должна быть взята в учет гарантировать ярмарки оценку макроскопического поведения нелинейной гетерогенной среды (смотри например [MOU 03]). Наоборот гипотезы идентичной деформации градиента f0 для всех зерен (позволяя отсутствие гетерогенности в зерен фазе) могут показаться слишком упрощенными. Обычно остается резонной для высоко заполненных частичных композитов  где матрица гораздо более мягче чем зерна и где это матрица что приспосабливает более страдания, хранит в памяти что деформация градиента в матрице фазе изменяется из одного слоя к другому.
С задачей уверять совместимость между локальным движением определенным выше и глобальным движением характеризующим данной деформации градиентом F, следующие средние отношения сложены:
[12.2]
С [12.1] последнее дает возрасти следующей «совместимости кондиции»:
[12.3]
В [12.2] и [12.3] V0 обозначает изначальный объем занятый многоугольника и слоев сборкой, с - слоя концентрация с отношением к объему  и ;IJ символ Кронекера. C практической точки зрения отношение должно удовлетворять параметрами схематизации микроструктуры в порядке уверять совместимость между локальным и глобальным движениями в смысле [12.2]. Вовлекая оба размер  объема V0 и морфологию схематизации микроструктуры (и последовательно морфология реального материала), уравнение [12.3] показалось как двойной критерий. Рассмотрен как критерий применимости МП для данного материала и как критерий для выбора механического ПЭО соответствия к этой морфологии (смотри секцию 12.1.2.2 для дальнейших деталей).
Используя Хилла –Мандела принципы макрогомогенности –генерализовано к конечному страданию в случае гомогенных стресса границ кондиций и применено в контексте рассмотренном -  следующие системы получены:
[12.4]
,  и  обозначает среднего номинального стресса тензоры соотвественно макроскопическим и микроскопическим в зернах и в слое ;. t; соответствует тотальной силе перенесенной через интерфейсный слой ; в действительной конфигурации но представляющей в переноса конфигурации. Отметим что хотя первое усреднение «классически» получено, второе отстается специфическим к Кристофферсена подходу: стрессы кажутся с гранулярной точки зрения как силы перенесенные из зерна к зерну слоями действующими как контакта зоны.
Согласно Кристоферсона оригинальной методологии следующее содержит  поиска f0 в таком способе что оцененное стресса поле удовлетворяет системе [12.4], т.е. следующее отношение:
[12.5]
Конституционные законы для конституциентов (зерен и матриц) введены при этом уровне; смотри [GUI 06] и [CHR 83] для детального развития ведущего к особенным отношениям [12.1], [12.3] и [12.4].
12.1.2.2. Решения процедуры
Давайте рассмотрим схематизируемый объем удовлетворяющий совместимости требований [12.3] подвергнутых макроскопической деформации градиенту F. Данные локализации-гомогенизации проблемы - так F и локальные морфологические параметры характеризуемые целым набором слоев, {d;, n;, h;, A; }. Из-за [12.3] локальное оцененное деформации градиента поле будет удовлетворять отношению [12.2].
Практическая морфология решения локализации –гомогенизации проблемы – затем как следующая. В [12.5] локальные конституционные законы выбраны для зерен и матриц фазы позволяя нам выразить s-0 как функцию f0 и  s-;  для каждого слоя ; как функция f0,  F и морфологических параметров к слою ; (используя [12.1]). Делая это уравнение [12.5] теперь вовлекает данные (F, {d;, n;, h;, A; }) и f0, неизвестное количество будет определено. Это затем численно решено. Знание f0 позволяет обратное вычисление композитного отклика при обоих шкалах: f; для любого слоя ; используя [12.1], локальный стрессы локальным контитуционным законами и окончательно гомогенизированный номинальный стресса тензор  через [12.4]. Произошедшая стратегия остается примененной что даже, безотносительно конституциентов конституционных законов.
Для случайных микроструктур размер микромеханического ПЭО RVE соответствующий МП MA– при последнем равном к тому статистически представленного объема элемента (СПЭО SRVE) реальной морфологии композита изученного. Более точно соответствует размеру меньшего схематизированного объема V0 который представляет следующие требования:
 - являясь  как  можно более возможной представлять реальную микроструктуру;
- удовлетворять совместимости требованиям [12.3];
- уверять стабильность количества быть оцененным.
C практической точки зрения необходимо протестировать размеры для V0 (из того что морфологическое СПЭО SRVE) до этих трех кондиций представленных (смотри [TOU 07b] для деталей). Для каждого объема размера совместимости кондиция проверена первой. Локализации- гомогенизации проблема решена когда совместимость удовлетворяет с достаточной точностью. Оценки для успешных объемов затем сравнены.
Это быть отмечено что гомогенные стресса граничные условия использовались только в теоретической манере для выставки системы [12.4] используя Хилла-Мандела принципа макро-гомогенности. На практике они не вложены на схематизации объеме V0; нагрузки тропа характеризуется через данный макроскопический деформации градиент F.
Некоторые фундаментальные отметки могут сформулироваться глядя теоретическую допустимость локальных оценок. Первое из-за четырех кинематических допущений эффекты межслойных зон (круговые зоны рисунке 12.1с) не точно описаны. В частности если непрерывность смещения поля гарантирует через зерен/ матрицы интерфейсы, это не случай между слоями. Отношение  тем не менее удовлетворяет значениями [12.3]. Более того если механические свойства выбраны гомогенными в зерен и в матрице, непрерывность стресса вектора на зерен/матрицы интерфейсах не будет гарантирована. Тем не менее следующая стратегия служит найти f0 в случае пути что [12.5] уверяет – делает оценку стресса поля удовлетворяет фундаментальным свойствам  где  вычислен . Вспомнено что  не длиннее развивает, крутит  где размер V0 что ПЭО.
12.2. Оценка включающая КЭМ FEM /МП MA конфронтации
Целью обеспечить первую количественную оценку в конечной страдании рабочей рамке кинематического описания построения надпотока  основы MП MA. Это выполнено делая сравнение между КЭМ FEM результатами и оценками данными МП MA, рассматривая частичные микроструктуры удовлетворяющие требованиям геометрической схематизации (многогранника зёрен, плоских и паралелльных оппозитных интерфейсов) и используя некоторые конституционные законы в обоих методах описать конституциентов поведение. Зерна и матрица будут сперва рассмотрены как гиперэластичные (секция 12.2.3). Затем, матрица будет рассмотрена как вязкогиперэластичная (секция 12.2.4). Сорт сравнения (используя численные инструменты такие как КЭМ, или быстрые Фурье преобразования ([MOU 98], [MOU 03]) действительно обще допустимы сегодня как возможный точный стандарт смотря микромеханических методов применимость и релиабилити, надежность; смотри например [REK 07], [IDI 06]. Более того эти конституциенты особенно предварительный этап до сравнения с экспериментальными данными.
12.2.1. Материальная геометрия, относительные представления
Для первой оценки представленной в этой части мы рассмотрим 3D композит с периодической микроструктурой. Это сделано кубическими зернами (размер: Tg=0.2 mm) регулярность построена в матрице занимающей объем как показано на рисунке 12.2a (расстояние между зернами: 0.02mm). Эта специфическая микроструктура была выбрана по двум причинам. Во-первых, благодаря периодичности, КЭ FE калькуляции выполняемые на единичной клетке могут быть выполнены легко в 3D случае. Наоборот для случайной микроструктуры вопрос размера ПЭО RVE и одной ЦПУ CPU времени –для нелинейного контекста при ставке - будет расти. Во-вторых анализы локального отклика упрощены потому что микроструктура простая геометрия, которая важна для первой качественной оценки.
Смотря КЭ FE моделирование единицы клетка рассмотрена  одной кубической грани (размер: Tg=0.2mm) погруженного в полый куб матрицы (толщина =0.01 mm =половина меж гранулярного расстояния). Рисунок 12.2b представляет сетку примера (1.000 идентичных гибрида кубика элементов (C3D8H in Abacus®) для зерен и 21,184  некоторого типа матрицы). Стресс что похожие результаты были получены с точными сетками в зерен и матрицы фазах (смотри [TOU 07b] для деталей).
Для МП MA оба объема V0 вареные, для которого уравнения [12.5]  решены, и морфологические параметры характеризующие слои (смотри секцию 12.1.1) должны быть определены. Из-за периодичности микроструктуры достаточно рассмотреть только одно зерно вместе с тремя слоями: «слой 1» чей нормали единицы вектор n1 –e1, «слой 2» чей нормали единицы вектор n2 –e2 и «слой 3» чья нормаль единицы вектора n3 –e3. Дистанция между двумя зернами является некоторой в трех направлениях, три слоя натурально имеют
- некоторая толщина h=0.02 mm (межгранулярное расстояние)
-вектор d с некоторой нормой  но различными ориентациями:d1=de1, d2=de2,  d3=de3;
- некоторая проектируемая площадь A.
В частичном случае проектируемую площадь A, определяя объемы Ah  каждого слоя, можно вычислить так что совместимости условия  [12.3] точно удовлетворяются. Это ведет к . Следовательно для периодичной структуры рассматриваемой объем Ah занятый каждым из трех слоев больше чем одна матрица ограниченно ограниченная   между гранями двух оппозитных зёрен (названных межгранулярными зонами в следующем). Так вокруг краев (и углов) зерна, слои имеют «общие зоны» что будут названы «соединения зоной». Так «соединения зона» проиллюстрирована на схематичном 2D представлении на рисунке 12.2с. Это соответствует в главном случайном случае круглой области на рисунке 12.1с.
Как проиллюстрировано для частичных композитных изучений ПЭО соответствует МП в периодическом случае не соответствует классической единице клетки (пока геометрия целого реального композита не ограниченно реконструирована мощением пространства с этой клеткой). Объем V0 периодически определенный может рассматриваться как «эквивалент» базы «образца» надлежаще к МП, чьи геометрические параметры будут позволять нам учитывать для решения периодически (смотри следующую секцию).

Рисунок 12.2. (а) периодически микроструктура изученная, (b) восемь единиц клеток смотря КЭ FE моделирование, (c) базовый «образец» для МП MA (схематичная 2D презентация)
12.2.2. Нагрузки тропа, путь, методология анализа.
Композиты рассмотренные подвергнуты неосевой сжатия деформации и простому сдвигу, относительно определенного следующими средней деформации градиентами:

[12.6]
Практически  применение таких нагрузки троп в МП MA легко: нет граничных условий явно наложенных. Вложенная макроскопическая деформация градиента действительно достаточна определить нагрузку для соответствующей локализации –гомогенизации проблемы (смотри конец секции 12.1). Периодичность решения появляется натурально из кинематического описания благодаря морфологическим параметрам характеризующим «образец» определенный в секции 12.2.1. Для пользы рассмотрим сборку нескольких «образцов»: f0 будет идентичным для всех зерен и таким образом f; данное [12.1] будет некоторым для всех слоев с n1 =e1 , для всех слоев n2 =e2 и все слои с n3 =e3.
Наоборот для КЭМ FEM определяя нагрузки используя средней деформации  градиент неся наложенные периодические условия на оппозитные внешние лица  единицы клетки рассмотренной (смотри [TOU 07b] для деталей).
Цель для КЭМ FEM/МП MA конфронтации есть для количества соответствия- для композитных изучений- кинематическое описание конституционного  надпотока базы МП MA. Последнее в факте наложено что локальной деформации градиент кусочно гомогенный в матрице (т.е. гомогенное в пределах каждого из трех слоев определенных в секции) и гомогенное в зерне. Более того вспомним что каждый слой больше чем матрица между гранул зоны ограниченно ограниченная между гранями зерен отдельно. Для большей ясности рисунок 12.3 обеспечивает 2D представление следующих зон в КЭ модели: черный регион соответствует интергранулярной зоне 2 нормали к e2 и заштрихованный регион к интеррегулярной зоне 2 нормально к e2. Матрицы зона не ограниченно состоявшаяся между зерна гранями (белый регион на рисунке 12.3) соответствует для МП MA «соединения зоны» между слоями в котором механические поля не точно описаны.
Так после сравнения гомогенизации первого Пиола-Кирхгофа стрессов КЭ FE картография будет испытана в порядке квантирования расширения возможной гетерогенности локальной деформации градиента в пределах каждого из трех между гранулярных зон и в пределах зерен. Для каждой между гранулярной зоны влияние флуктуации- индуцированно эффектами в «соединения зоны» не правильно описанной МП MA- будет оцениваться  через сравнения между точки-подобной переменной (далеко от «соединения зоны», смотри соответствие пробы точки на рисунке 12.3.) и средней переменной в междугранулярной зоне рассмотренной. Пока МП MA не дает правильно оценки в «соединения зонах», гомогенности деформации градиент слоя 1 данный МП MA будет спариваться с КЭМ FEM «локальной средней» деформации градиента в между-гранулярной зоне 1 нормально к e1 (соответствующая к черному региону на рисунке 12.3 и включая белые «соединения зоны»). В некотором способе гомогенности деформация градиент слоя 2 для МП MA будет спарен со средней деформации градиентом в между гранулярной зоне 2 нормально к е2 (заштрихованный регион на рисунке 12.3), некоторым для между-гранулярной зоны 3 нормальным к е3 ,  не представлен к 2D иллюстрации на рисунке 12.3.

Рисунок 12.3. Иллюстрация   междугранулярной зоны в КЭ FE модели (2D плоская секция) и теста точки для оценки флуктуации влияния.
12.2.3. МА оценки спаренные с КЭМ FEM результатами для гиперэластичных конституциентов.
Форма  потенциала (т.е. свободной энергии за единицу объема) для конституциентов, составляющих (зерен и матрицы) дана сжатия Муни-Ривлина моделью:

, [12.7]

C10, C01 и K относительно Муни- Ривлина коэффициентов и теста модулюс.  С обозначает Коши-Грина отрезка тензор. Для сравнений представленных в этой секции C10= C01 =0.5 MPa и K=100MPa (ведущих к Пуассона отношению 0.49). Контраст между зернами и матрицей 10: ;grains=10;matrix.
Для МП уравнение [12.5] решено в порядке найти зерен деформации градиент f0 согласно методологии выложенной в секции 12.1.2.2 и иcпользуя Ньютона –Рафсона алгоритм программируемый в Mathematica®. Вызвано что знание f0 позволяет далее оценить отклик при обоих шкалах.
Рисунок 12.4a и 12.4b представляют эволюцию компонентов гомогенизации первого Пиола-Кирхгофа стресса тензора  с макроскопическим стресса фактором для симуляции неосвой сжатия деформации и простого сдвига относительно (смотри [12.6] для соответствия среднего деформации градиента) Спаривая с гомогенизации откликом полученным КЭМ, макроскопическая оценка дана МП высоко уместная для первого нагрузки пути (величайшая относительная ошибка ниже чем 5%). Для простого сдвига МП результаты варя  П12 удовлетворительны (относительная ошибка отборно равна 7.7% для ;=0.3 менее чем 6% в другом случае) тогда как П12 плохо приближен для ;>0.3. Сильное искажение зон A и B на рисунке 12.4b показывает какая такая нагрузки тропа  некоторая для микроструктуры.

Рисунок12.4. Конфронтация гомогенизации стрессов полученная обоими методами (КЭМ и МП): (a) для симуляции неосевой сжатия деформации, (b) для симуляции простого сдвига- связанной деформируемой формой (КЭМ) единицы клетки (2D плоская секция)
Экзаменуя  диагональные компоненты f внутри единицы клетки во время симуляции неосевой сжатия деформации (другие компоненты являются нулями) мы можем заключить что в зернах и в каждой из трех междугранулярной зон деформации градиент может быть рассмотрен гомогенным и этим, все вдоль нагрузки. Действительно нет значительной гетерогенности отмеченной в зерне и расширяя гетерогенность что можно наблюдать в каждой  из трех междугранулярных зон близко зерна краев, именно когда приходит близко к «соединения зоне» остается очень ограниченным. Рисунок 12.5а показывая 11 и 22 компоненты f в среднем плане единицы клетки ортогонально к e3  для ;=0.86, проводит иллюстрацию этого свойства. Более того интенсивность наблюдаемых флуктуаций  не достаточна влиять на соответствующие средние переменные (смотри рисунок 12.5с). Таким образом как показано на рисунке 12.5с гомогенные принципиальные отрезки даны МП для каждого из трех слоев утверждают удовлетворяющие оценки средних принципиальных отрезков в трех между гранулярных зонах. Согласие также великолепно в зернах. Отметим что принципиальные отрезки в направлении e3 некоторые как для e2 обратно роли междугранулярных зон 2 и 3. Как заключение принято в «соединении зонах» и в очень близком соседстве этих зон, локальные (точки подобные) отрезки оценены МП высоко соответствующими когда сравнены с «точным» КЭ решением. Стресс что такие заключения остаются применимыми для локального стресса поля. Отсутствие правильного описания локальных эффектов в «соединении зонах» не делают аффект (для этой нагрузки и материальных рассмотрений) качеству оценок.

Рисунок 12.5. Компоненты 11 и 22 локальной деформации градиента f во время симуляции неосевой сжатия деформации: (a) КЭ FE картография восьми единицы клетки (2D плоская секция) для ;=0.86, (b) КЭМ FEM локальные (точки подобные) переменные спаренные со средними переменными в различных регионах (зерна и между гранулярными зонами), (c) КЭМ FEM /МП MA сравнение смотря средние переменные
В случае простой сдвига нагрузки гипотезы гомогенной деформации градиента для каждого зерна соответствуют кроме для компонента 21 (смотри рисунок 12.6а). Следовательно согласие между КЭМ FEM и МП MA результатами очень хорошее для всех компонент (относительная ошибка менее чем 2%) кроме для этих частичных компонентов для которого  ошибка достигает 20%. Как для неосевого сжатия нагрузки тропы гетерогенность в каждой трех между гранулярных зон –из-за эффекта в соединении зон –остается расположенной около соединения зоны (ниже ширины). Наоборот эффект этой гетерогенности не всегда ничтожен. Так ситуация частично проноизносится  для f21 специально в между- гранулярной зоне 2 и 3. Как иллюстрировано 3D картографией на рисунке 12.6b точки- подобные переменные близко «соединения зоны» с между гранулярной зоной 1 и гораздо более чем переменные в гомогенном регионе. Несмотря на  это низкое расширение, его гетерогенность так имеет сильное влияние на средние переменные f21 в между гранулярных зонах 2 и 3 которые таким образом плохо приближают МП MA (ошибка более чем 90%) Отмечено что МП MA оценки в лучшем согласии с точки –подобными переменными в гомогенности регионах. Следуя свойствам проиллюстрированым для между гранулярной зоны 2 на рисунке 12.6с. Для других компонент f согласие лучше. Когда гетерогенность- слегка расширена в междугранулярных зонах –имеет незначительное влияние на средние переменные (которые таким образом близки к переменным в гомогенности части), хорошее согласие между КЭМ FEM и МП MA результатами (относительная шбка ниже чем 9%). Эта ситуация варит все компоненты кроме f22 в между- гранул зоне 2 и f12 в между- гранул зоне 3 для которой ошибки тем неменее остаются приемлимыми (15% при конце нагрузки).
Читателя можно отнести к [TOU 07a] и [TOU 07b] для дополнительных иллюстраций и деталей смотря следующие анализы. В [TOU 07a] несколько отметок также даны в порядке оценить способность МП MA делать с несжимаемыми ограничениями.

Рисунок 12.6. Компонент 21 локальный деформации градиент f для симуляции простого сдвига: (a) картография кварты зерна для ;=0.32, (b) КЭ FE картография кварты единицы клетки (взгляд матрицы) для ;=0.32, (с) МП MA оценки спаренные с КЭМ FEM средним и локальные (точки подобные) переменные в между гранулярной зоне 2.
 
12.2.4.Оценки включающие вязкогиперэластичное поведение матрицы.
В нелинейной гомогенизации рабочей рамке процедура времени зависимого поведения, где и эластичные и вязкие эффекты сосуществуют, (вязкоэластичности, эластовязкопластичности  и др.) еще составляет жесткий вызов. Первый трудно варит точное описание пространства - времени отмеченных взаимодействий между конституциентами и их макроскопической последовательностью – так называемый «длинного ранга памяти эффект» (смотри [SUO 87] и [BEU 00] среди других). Более того наиболее текущие классические подходы в малой страдания рабочей рамке  используют соответствия принципы и Лапласа-Карзона преобразование, чтобы делать с вязкоэластичностью композитов. Кроме очень частичных микроструктур, это дает результаты в очень вовлеченные калькуляции, заметно когда процедура с инверсией Лапласа Карсона преобразований. В этом контексте новые методы исследованы в порядке упростить численные процедуры, протирку вязкоэластичных композитов. «Времени интеграции подхода» недавно проложенного [LAN 07] и «прямой инверсии метода» выданого [BRE 05] конституция, состав плодотворно вкладывают, вносят к этому концу.
Кристоферсена оригинальный подход расширеный к малой страдания вязкопластичности [NAD 03] позволяющий нам получить в прямой манере – именно без использования Лапласа –Карсона преобразований –квалификационно удовлетворительно дает результаты в членах локально вязкопластично взаимодействий и последовательно длинного ранга памяти эффекта. Цель здесь иллюстрировать способность МП MA делать с конечной страдания вязкоэластичностью Это выполнено спариванием КЭМ FEM/МП MA результатов для периодичной микроструктуры изученной под неосевой сжатия деформацией для которой МП MA оценки были очень удовлетворительны в гиперэластичности.
Матрица периодической микроструктуры описана используя конечную страдания вязкоэластичную модель в Abacus®. Рассматривая что нет значительного отклонения эффекта происходящего для периодической микроструктуры изученной под неосевого сжатия деформацией (смотри следующие анализы в гиперэластичности), только объемное вязкости поведение здесь рассматривается. Конечно такое упрощение не будет дольше применяться для случайных микроструктур пока матрица будет подвергнута и искажению и объема локальной нагрузки тропам даже для высоко макроскопичных гидростатических прессов, давлений. В случае описание отклонения вязкости эффекты будут рассмотрены. Более того для первой оценки представленной в этой главе только релаксации время v -вовлеченное в Прони закон определяющий теста релаксации модулюс. Как результат отклонения часть, ;D, и гидростатическая часть, ;H, Кирхгофа стресса тензор ; =J; (;, Коши стресса тензор) дан:
[12.8]
Два тензора ;eD и ;eH , характеризующие мгновенный эластичный отклик, выведены из сжатия Муни-Ривлина страдания энергии определенной [12.7] и kp– характеристический параметр Прони закона. Для симуляции представленной в следующем, kp=0.5, v=25s, мгновенный сдвига модулюс дан G=2(C10+C01) с C10=C01=0.5 MPa, и долгого-члена тесто модулюс K;, относящийся к мгновенному модулюсу K используя отношение K;=K(1-kp), равен 100 MPa. Зерен поведение описано сжатия Нео -Хокин моделью:
[12.9]
c Gg=20 MPa и Kg=1.000 MPa.
Локализации-гомогенизации проблема относимая к МП MA решена согласно  методологии выложенной в секции 12.1.2.2 используя алгоритм представленный в Abacus® документации вывести ;(tn) из ;(tn-1) определенного при времени шаге n-1, и отношение  между номинальным и Кирхгофа стресса тензорами.
Следующие результаты варят неосевое сжатия нагрузки/разгрузки тропу определенную средним деформации градиентом [12.6]1 с ;(t)=1-vt для нагрузки и ;(t)=0.8+vt для ненагрузки. Отмечено что после ;=0.8 КЭ FE симуляция остановлена. При локальной шкале максимума принципиальный отрезок не менее равен 0.4. На рисунке 12.7 эволюция гомогенизации сперва Пиола Кирхгофа стрессов с макроскопическим нагрузки фактором ; дано для двух нагрузки скоростей: v1=25.10-4s-1 и v2=5.10-3s-1. Согласие между КЭМ FEM и МА макроскопическим результатами очень хорошее (величайшая относительная ошибка ниже чем 6%).

Рисунок 12.7. Конфронтация гомогенизации стрессов полученных КЭМ FEM и МП MA во время симуляций неосевой сжатия деформации (нагрузки/ненагрузки) с v1=0.0025s-1 и v2=0.005s-1.
С локальной точки зрения заключения есть некоторые как для гиперэластичных конституциентов. Все вдоль нагрузки/разгрузки  зерен деформации градиент гомогенный. Более того хотя расширение флуктуации наблюдаемое в трех матрицах между гранулярных зон близко соединения зон является малым более произносимым, нет значительного влияния – доказательство соответствия средним переменным f. Таким образом МП MA обеспечивают удовлетворительную оценку локальной деформации градиента везде кроме соединения зон (максимальная относительная оценка ниже чем 5%) . Некоторые комментарии могут указывать вне для локального стресса поля смотря гетерогенности расширения и влияния и последовательное качество оценок. Как иллюстрация рисунок 12.8. представляет локальные средние первые Пиола Кирхгофа стрессы полученные обоими методами для v2=5.10-3s-1.

Рисунок 12.8. Локальные средние Пиола –Кирхгофа стрессов (компоненты 11 и 22) полученных КЭМ FEM и МП MA для симуляций неосевого сжатия деформации (нагрузки/ ненагрузки) с v2=0.005s-1.

12.3. Заключения и проспекты
MП MA становится типа прямого шкалы перехода подхода для моделирования конечного страдания нелинейного поведения высоконаполненных частиц композитов. Этот прямой характер провозглашается через некоторые аспекты. Во-первых МП MA стартует прямой геометрической схематизацией реальной микроструктуры, определенный и протертый  надпоток, т.е. до процедуры со шкалы переноса самой. Во-вторых мы можем отметить прямой характер решения процедуры локализации-гомогенизации проблемы. В факте более существующая нелинейная гомогенизации схема переносит к замечанию эквивалентных линейных комопзитов и нуждается первой линеаризации конституционного поведения. Линеаризации процедура может иметь строгое влияние по глобальным оценкам (смотри например [REK 07]). Для МП MA нелинейные конституционные законы не нуждаются любой первой модификации. Более того как показано [NAD 03] в малой страдания рабочей рамке и проиллюстрировано в этой главе в конечном страдания контексте, МП MA решения процедуры  для вязкоэластичности композитов прямо смотрят времени –область, домен. Таким образом МП MA несет способ упростить процедуру времени- зависимого поведения (смотри также [LAN 07]). Другой прогресс лежит в прямой приемлимости оценить локальные поля (везде кроме вокруг зерен краев) так в нелинейном контексте. Наконец, для периодической среды МП MA позволяет нам натурально (т.е. без дополнительных условий) учитывать для решения периодичность используя только морфологические параметры схематизированного объема (представленный «образец» надлежащий к МП, MA) рассматриваемого материала.
Происхождение выше специфики лежит отмечаемо в кинематическом описании конституции очень базы  МП MA. Это почему  важно квантировать соответствие такого описания в конечной страдания рабочей рамке. Конфронтация между КЭМ и МП результатами –для периодической микроструктуры рассмотрены в этой главе – конституция особенного предварительного этапа прямо к этой цели. В частности параллельная установка неосевого сжатия деформации и простого сдвига позволяет нам оценить роль региона (соединения зон) вокруг зон краев и углов – в которой эффекты неправильно описаны МП MA- агрегата деформацией. Для обоих нагрузки тропы гетерогенности деформации градиента в трех матриц между гранул зон – из-за что происходит в соединении зоне слегка             расширено. Для неосевого сжатия деформации соединения зона вовлечена к меньшей степени в агрегата деформации свойств и МП MA обеспечивает хорошую оценку локальных полей. Это утверждение остается применимым для симуляций  вовлеченных вязкоэластичной матрицей. Ситуация более контрастна для простого сдвига где соединение зоны высоко деформировано. В этом случае влияние индуцированной флуктуации не может дольше быть ничтожно замечательно для 21 компонента деформации градиента. Пока МП MA не учитывает точно для стресса концентрации из-за эффектов в соединении зонах, макроскопический стресс П21 подоцененный. Тем не менее можно предугадать что результаты параметров полученые для неосевого сжатия деформации в гиперэластичности и вязкогиперэластичности позволят нам квалифицировать глобально метод как обещано. Вспомним что МП MA достижим сперва протереть случайные микроструктуры такие как единица на рисунке 12.1. Таким образом действительные исследования варят МП MA/КЭМ FEM калькуляции для случайных микроструктур с многогранника зернами численно генерируемы в порядке относя требованиям геометрической схематизации. Согласно применения контекста некоторая предоминантность дана высоко сжатия нагрузки тропам. Специальное внимание уплочено влиянию гипотезы идентичности градиента для всех зерен чье событий пределы могут быть оцененными в периодическом случае. Первые результаты получены [TOU 07b] для гипеэластичности конституциентов уверенно. В частности даже если некотрая матрица между гранул зон подвержена раздвижению, вклад соединения зоны страдания статуса слабее чем для периодической микроструктуры изученной под простым сдвигом. Эти конфронтации, также вовлекают различные контрасты, надо определенно квантовать применения область кинематическим описанием конституции очень базы МП MA. В параллели некоторые исследования есть под способом в порядке оптимизовать геометрическую схематизацию для реального топлива –типа материала. В факте даже если эта схематизация прямая (явно представляет каждый физический конституциент, зерен и матрицы межгранулярные зоны), это ставит трудную задачу сама по себе которая может влиять квалификацией  дальнейшей оценки для реального материала.
Из фундаментальной точки зрения некоторая  подходящая работа будет посвящена исправить описания соединения зоны.

12.4. Библиография



Глава 13. Модифицированная реализация подхода гомогенизации для нелинейного поведения гетерогенных когезивных геоматериалов
13.1. Введение
Эта глава представляет исследования проводимые как часть выполнимых изучений подземного хранения радиоактивных отходов, с поддержкой Французского Национального Радиоактивных Отходов Управления Агенства (Андра). В этом контексте спаривание термо- гидро- механического моделирования должны быть выполнены исследовать ограничения мощностей такой услуги. Один из наиболее важных шагов  формулировка предсказуемой конституционной модели для механического поведения Галлово-Оксфордского аргиллита, который выбран как один из возможных геологических барьеров. Этот материал сложен из гетерогеных конституциентов и его механическое поведение чисто зависит от минералогических композиций. Брать в учет такие влияния минералогической композиции, появление необходимо и полезно развить физически –основаные подходы надлежаще включающие материала микроструктуры. Методология  следующая в представленной работе состоит развития микромеханической конституционной модели делая использование нелинейной гомогенизации техники. Изученный материал рассмотрен быть композитом, сделав эластопластичную глины матрицу с эластичными зернами кварца и эластично поврежденными зернами кальцита, различных минералогических композиций. Различные нелинейные гомогенизации техники доступны в  литературе. Например, мы можем вспомнить так называемого секанта формулировки [BER 79, CAS 98, TAN 88] для которых нелинейное локальное поведение каждой фазы описано значениями секанта жёсткости соответствуя принятой переноса деформации. Совсем недавно [CAS 91, WIL 89] проложены вариационные методы которые обеспечивают границы для нелинейного макроскопического поведения. Обычно должно быть подчеркнуто что секанта модулюса техника также как вариационный подход примененный особенно к нелинейному конституционному поведению выведенна из простого потенциала, также как нелинейная эластичность или вязко пластичность когда эластичные эффекты ничтожны. Далее эти модели главно ограничены к монотонной и радиальной нагрузки тропам.
Опираясь на вариационность нагрузки тропам которые вовлекают во время конструкции подземных качеств для хранения радиоактивных отходов, цель этой главы в основном формулировка и осуществление подробного гомогенизации метода для неэластичного механического поведения аргилитов. Во-первых мы будем представлять  адаптацию Хилла-типа подробного метода  для моделирования гетерогенного геоматериала недавно проложенного [ABO 08a].
Пока эта модель не может быть проложена легко для моделирования вязкопластичного поведения, проложено развить альтернативную модель использованием модифицированного подробного метода который может быть использован для времени-независимого и зависимого поведений. Две проложенные модели далее спариваются с численными (конечного элемента) решениями по единице клетки и затем оценены для различных нагрузки кондиций.

13.2. Экпериментальные наблюдения Галово-Оксфордиан аргилита поведения
13.2.1. Микроструктуры и минералогические композиции материала
Материал под изучением – осадочный камень названный Галлово-Оксфордиана аргиллит, из мест подземной исследовательской лаборатории для ядерных отходов распоряжения оперируемый Андра. Галлово-Оксфордский аргиллита слой около 130 м толщиной и разработан Андра как С2. Минералологические композиты начальной пористости и натуральной воды содержит образцы исследованные различными авторами [CHI 00, GAS 99]. Минералогия была получена из результатов X–лучей дифрактометрией и кальциметрией что показывает композицию кварца (23% среднее), кальцита (28% среднее) и глинянных минералов (45% среднее) вместе с субординатным полевыми шпатами, пиритами и железа оксидами (5% среднего). Глиняные минерала композиции относительно постоянны при 65% I/S (иллита-смектита переслоенного минералов), 30-35% иллит и 0-5% каолинит и хлорит. Из микроструктурных наблюдений ([CHI 00, GAS 99]) (смотри рисунок 13.1(a), можно отметить что аргиллит гетерогенная среда в которой минералы, в основном кальциты и кварца зёрна, погружены в глины  матрицу. Как проиллюстрировано на рисунке 13.1(b), вариация в минералогической композиции с глубиной  также получена. Геологическая формация –затем разделена на пять геомеханических зон из А в Е характеризуется объема фракциями в минералах что ведут к различным механическим свойствам.

Рисунок 13.1. Микроструктура и минералогическая композиция материала.

13.2.2. Краткий итог макроскопического поведения материала
Гидростатическое и трехосевое сжатия опыты выполнены [CHI00]. Ранг ограничения давления исследованной от 0 до 20 МПа был выбран основываясь на оценке ин ситу стрессов. Разгрузки-перезагрузки циклы включены в каждый тест в порядке оценки прогрессивного уменьшения эластичной жёсткости с увеличением нагрузки уровня и макроскопической пластической деформации. Экспериментальные результаты получены из гидростатического сжатия тестов  показаны параллельно и перпендикулярно к натуральной погружения плоскости (смотри [CHI 00]). Это указывает что изначальная анизотропия Галлово-Оксилиана аргиллита совсем мала и может быть ничтожна. Типичные стресса- страдания кривые из трехосевого сжатия  тестов показаны двумя базовыми свойствами макроскопического отклика аргилита (рисункок 13,2). Сперва большие перманентные страдания получены оба в осевой (E11) и последней (E33) направлений после разгрузки отклонения стресса. В соединении с микроскопическими анализами обдуманными выше, такие нереверсивные страдания особенно относятся к пластической деформации глины листа раздвижение. Во-вторых определение эластичной жёсткости во время ненагрузки-перенагрузки циклов прогрессивное уменьшение эластичной жёсткости как функция примененной отклонения стресса уровня получена. Далее уменьшение эластичной жёсткости в последнем направлении более значительно чем в осевой единице.

Рисунок 13,2. Пример стресса-страдания кривых из трехосевого сжатия теста под 10 МПа ограниченного давления с ненагрузки-перенагрузки циклами. Глубина 3 с  f0=60%, f1=26% и f2=14%.
Также в соединении с анализами аргиллита микроструктуры эта деградация эластичных свойств может быть рассмотрена последовательностью индуцированного повреждения микротрещины в основном  происходящего расклеиванием контактных перхностей зерен/ матрицы  границ и /или трансгранулярными трещинами в основном внутри кальцита зёрен [CHI 00] и почти случайно ориентированными. Отметим что индуцированное повреждение в хрупких материалах главно анизотропично                из-за ориентированного распределения микротрещины. Ожидается что это микротрещины индуцированное повреждение ведет к деградации материала жёсткости в частности в последнем направлении. Действительно главно наблюдаемо во время макроскопически трехосевого сжатия тестов на хрупком камне. Обычно в случае аргиллита индуцированная анизотропия кажется не есть очень произносимая. Для пользы простоты мы предполагаем здусь изотропичное повреждение и мы рассматриваем что только кальцита конституциент имеет эластичного повреждения  поведение.
Итог: изотропичное, линейное и эластичное поведение предполагается для кварца зерен; для кальцита зёрен с микротрещинами случайно                распределенными, эластичное повреждения поведение рассмотрено пока поведение глины матрицы моделируется как эластопластичное.
13.3. Подробная формулировка гомогенизированного конституционного отношения
13.3.1.Введение
Цель этой секции сформулировать макроскопический конституционный закон Галлово-Оксфордиана аргиллита используя нелинейный гомогенизации подход. Для этого конца мы развили модификации Хилла подробный метод [HIL 65].
Как уже сказано Галлово-Оксфордиана аргиллит может представляться трехфазным композитом с различными механическими свойствами.  Материал имеет матрицы включения- морфологию с фазами распределенными, кальцита и кварца минералами являющимися погруженными в глины матрицу.
Методология  подробного метода используется [HIL 65] содержа вывод всеобщего тангенса оператора из локального поведения. Требуется ставки формулировка локального поведения конституциентов:
[13.1]
Пока это локальное поведение берет форм линеаризации закон с нелинейным тангенс модули, классические Эшелби-основанные гомогенизации процедуры можно использовать для резолюции проблемы. Для этих целей тангенса локализации тензор который относится локальной страдания ставки к макроскопической страдания ставке можно ввести:
[13.2]
Беря объема среднее макроскопический стресс  ставки читает:
с [13.1]
где Lhom макроскопический тангенса оператор связанный с гомогенизации средой.
Отметим что в генеральном случае, возможно получить аналитическое решение такой проблемы. Для осуществления  подробного метода, мы отметим приближения тангенса оператор в каждой фазе.
Гипотезы.
При любой точке  фазы (r)1 отношения между страдания ставки и стресса ставки можно апроксимировать :
[13.4]
На практике Lr оцененная для переноса статуса  классически выбранная при среднем страдания поле в фазе (r). Таким образом рассматривая что каждая фаза имеет униформы модулюс  пока в факте страдания поле вокруг и внутри включения строго гетерегенное. Локализации отношение [13.2] затем написано как:
[ 13.5]
1. (0) в глины фазе, (1) кальцита фаза и (2) кварца фаза.
где Ar константы локализации тензор в фазе r который ситуационно вычислен используя Мори-Танака [MOR 73] схему. Берет форму:
[13.6]
где fr концентрация фазы (r).
Тензор  так -называемый Хилла тензор который зависит  от геометрии включений r (рассмотренные здесь как сферы) и от тангенса оператора L0 определяющего нелинейное поведение матрицы.
Как кальцит и кварц минералы имеют некоторую геометрию, мы отметим  с: .
Следует что:
[13.7]
13.3.2. Ограничения Хилла подробного метода
Как наблюдается в различных симуляциях в контексте металла пластичности (см. например [CHA 05, DOG 03] и геомеханики (см. [ABO 08a], Хилла подробный метод ведет к отклику, который слишком жёсток. Один способ обеспечить, исправить предсказания рассмотреть изотропизации процедуры, в которых Эшелби тензор оценен изотропичным приближением тангенса оператором глины матрицы поведения (см. [ABO 08a, CHA 05, DOG 93]). В факте изотропизации техника показала некоторую эффективность в моделировании времени- независимого неэластичного поведения различных материалов даже если теоретический фон такой техники еще хорошо не понятен.
В случае где некоторая композита фаза показывает времени –зависимое неэластичное поведение  например вязкопластичным законом, подробный метод с или без изотропизации, представленной выше, можно продолжать использовать. В факте так долго как времени-зависимый неэластичный конституционный закон - закон варки, не длиннее один –к –одному соответствие между стрессом и страдания ставками, т.е. невозможно определить так-называемый физический континуума тангенса оператор L как в случае времени независимой эластопластичности. По этой причине мы проложим модификацию подробного метода так что микромеханическая модель может описать  времени независимое и времени зависимое поведение гетерогенных материалов.

13.3.3. Модифицированый Хилла подробный метод
В задаче избежать использования локального тангенса оператора давайте рассмотрим следующую новую проблему сформулированную использованием стандартного макроскопичного эластопластичного конституционного отношения:

с Сhom макроскопическим эластичным жёсткости тензором, который определен  с эластичной страдания локализации тензором:

Решение этой новой проблемы лежит в определении макроскопической пластичной страдания ставки . В порядке решить эту проблему следующие допущения введены для аргиллита: пластическая деформация происходит только внутри глины матрицы и эластичной страдания  матрицы и во включениях допущения быть наименьшим чем пластическое страдание в матрице. Затем рассматривая далее что эластичное страдание близко униформному в ПЭО, возможно вывести всеобщее пластическое страдание значениями объемного среднего локальным пластическим страданием. Это:
[13.10]
Очевидно что эти гипотезы не полно математически справедливы, и его применимость может быть ограничена конечным классом композитных материалов содержащих эластичные  включая высокой жёсткости. Отсюда рекомендовано что применимость этих гипотез протестировано прямым сравнением между предсказаниями и экспериментальными данными.
Беря в учет эти допущения, численные процедуры  используемые для осуществления модифицированного подробного метода может подытоживаться как следующее:
[13.11]
В порядке вычислить локализации тензор Ar из уравнения [13.6], модифицированный Хилла подробный метод требует использование  тангенса операторов соответствующих поведения различных фаз. Тангенса оператор кварца фазы обозначенный как L2 равен изотропичному линейному эластичному жёсткости тензору. Тангенса оператор кальцита фазы демонстрирующая эластичного повреждения закон L1 будет дан в уравнении [13.24]. Варя глины матрицу,  времени независимое и времени зависимое поведения рассмотрены. В случае  времени-независимого поведения эластопласичная модель используется и тангенса оператор L0 дан уравнением [13.18].

13.4. Моделирование локальных компонентов поведений.
Как уже понятно, основываясь на микроструктурных наблюдениях и механических данных (см. секцию 13.2.1), глины матрица описана эластопластичной моделью пока кварц рассматривается как линейно эластичное тело. Поведение кальцита зерен описано используя эластичного повреждения модель. Далее для кальцита фазы частично внимание дано описанию одностороннего эффекта из-за повреждения.
13.4.1. Эластопластичное поведение фазы глины
Несвязанная пластичная модель основана по Дрюкер-Прагер критерию [DRU 52] с изотропичным укреплением предложенным для глины матрицы. Классически свободная энергия написана в следующей  форме
[13.12]
где  обозначает пластического страдания тензор и ;p представляет скалярную внутреннюю переменную для изотропичного укрепления.С –эластичный жёсткости тензор глины матрицы который допусткает изотропию: С=3kJ+2;K. Позитивные скаляры k и ; - эластичные теста и сдвига модули соотвественно; J  и K– сферический и отклонения операторы, относительно:  и K=I+J, с  и I означают второй и четвертого порядка симметрии идентичности тензора относительно.
Урожая функция выражена как следующая:
[13.13]
где термодинамическая сила связанная с укреплением переменной ;p.
[13.14]
где ;0p и ;mp относительно представленный изначальный порог (при эластичном лимита статусе) и ультимативная переменная где отказа статус богат. Параметр b контролирует кинетику пластического укрепления. Параметр cp соответствует гидростатическому растяжения сопротивлению которое относится к когезии материала.
В классическом Дрюкера-Прагера критерии, урожая поверхность определенная [13.13] зависит от двух базовых стресса инвариантов только, т.е. значения стресса  и эквивалента стресса , s является отклонения стресса тензором. Функция t(), введенная здесь, определяет зависимость урожая функцию от Лоде угла, третьего стресса инварианта. Его специфическая форма должна определиться из релевантной экспериментальных данных на базе урожая стресса в различных нагрузки ориентациях. Обычно в настоящей работе такие данные не достижимы и фаза положена на формулировки микромеханической модели. Для пользы упрощения мы имели t(;)=1. Потока правило дано следующим пластическим потенциалом:
[13.15]
Коэффициент ;p контролирует ставку пластического объёмного страдания. Как объемная страдания ставка в основном изменяется с пластичной деформации историей, предполагается, что коэффициент ;p -функция пластического укрепления переменной; т.е.:
[13.16]
в которой ;pm и ;p0 относительно изначальный и конечный дилатации параметры.
Пренебрегая членом t(;), пластическое потока правило читает:
[13.17]
Тангенса модулюс L0 вычислен использованием стандартной консистенции кондиции и отношениями [13.13] и [13.15]. В случае изотропичного укрепления следующее выражение тангенса оператора связанного с глины матрицы поведением получено как:
[13.18]
c параметрами ki, i=1,..,5  данными:
, ,  ,  , .
Другие количества читают:  и скаляр .

13.4.2. Эластичное одностороннего повреждения поведение фазы кальцита
Секция дело с формулировкой изотропичного повреждения модели для минерала кальцита, учитывающего односторонние эффекты из-за микротрещины закрытия. Пока микротрещины ожидаются быть случайно ориентированными повреждения статус представлен положительной скалярной переменной d, которая отвечает за микротрещины плотности параметру (см. [BUD 76]) в зернах кальцита.
Стартующая точка эластичного повреждения модель – термодинамический потенциал (свободная энергия) которая зависит от внутренней переменной d и от страдания тензора :
[13.19]
где C(d) представляет изотропичный жёсткости тензор повреждения зерен.
В порядке обеспечить справедливое моделирование одностороннего повреждения связанного с кальцитом, повреждения жёсткости тензор описан С(d) отдельно. Выражение зависит от открытия/закрытия тензора статус микротрещин (повреждения активация/деактивация).
Следуя [WEL 03] (смотри так же [CUR 95]) и в согласии с микромеханическим рассмотрением (смотри [PEN 02]), показано что непрерывность  означает W что:
[13.20]
Таким образом микротрещина открыта если  и закрыта если . K(d) и G(d) представляют теста и сдвига модули повреждения кальцита фазы. K0 –сжатия модулюс для среды без микротрещин.
Согласно классической термодинамики аргументов основанной по анализам диссипации, и следуя работе [MAR 85], повреждения инициация и эволюция контролируется термодинамической силой (энергии обзора ставка) Fd связана с повреждения переменной d. Пусть нам затем введут  повреждения урожая функцию в форме:
f(Fd,d)=Fd-H(d) [13.21]
H-скаляра позитивная функция:
H(d)=H0(1+;0d)  c H0>0  и ;0>0 [13.22]
Допуская стандарта нормальности правило мы получим:
[13.23]
в котором повреждения множитель  получен используя консистенции кондицию.
Если это повреждения эволюция, тангенса оператор L1 дан следующим выражением:
[13.24]
в котором  представлен отклонения частью .
,
[13.25]
с  и .
где K//(d) и G//(d) вторая производная K(d) и G(d), соответственно, тогда  как K/(d) и G/(d)  первые производные K(d) и G(d) соответственно.
В порядке обеспечить физический базис повреждения модели мы рассмотрим для K(d) и G(d)  микромеханические результаты показанные [CAS 95] для микромеханической среды:
[13.26]
[13.27]
где v0 Пуассона отношение неповреждаемого материала.
13.5. Реализация и численное применение модели
13.5.1. Локальная интеграция микромеханической модели
В контексте конечного элемента метода используемого для неэластичного анализа структур, интеграция проложенной микромеханической модели выполнена для каждой Гаусса точки. Мы еще рассмотрим трех фазный материал чей ПЭО подвержен униформы макроскопическому страданию  при шаге (n+1). Определить тангенс локализации тензор для каждой фазы мы приспособим численное схему описанную как следующее. Пусть мы отметим , оценки среднего страдания подробность, приращение при итерации (i) для фазы r (для первой итерации (i=0),  ). Для каждой фазы и для каждой деформации статуса , тангенса модули Lir определены. Так возможно получить подробный локализации тензор Air для каждой фазы с выражением [13.6]. Страдания ставка дана: . Если   итерация достигнута.
Если нет, новые оценки тангенса локализации тензоров вычислены во время субсеканта итерации шага используя современные страдания ставки. Рассмотрев что теперь  известно, мы можем получить  используя локальную итерации схему в фазе 0. Мы получим . Наконец мы выведем макроскопический эластичный модули и макроскопический подробный стресс. В случае времени зависимого поведения физический тангенса оператор не существует нигде больше для глины матрицы. В порядке оценить страдания локализации тензоры алгоритмичный тангенса оператор может использоваться и выводиться из вязкопластичности  модели ([ABO 08b]).
13.5.2. Сравнение с единицы клетки (конечный элемент) вычислением
Мы сравниваем в этой секции предсказания Хилла подробного метода и модифицированного одного с переносом решения полученного Конечного Элемента  (КЭ) вычислениями. Некоторые допущения варят локальные конституциенты используемые в гомогенизации и КЭ вычислениях.
Выбранная конфигурация соответствует двухфазному материалу со сферическими эластичными включениями погруженными в эластопластичную матрицу. В численных симуляциях, как уже указано, модели параметры используемые есть некоторые в гомогенизации и в КЭ калькуляциях. Матрицы поведение описано значениями следующих параметров: E0=3ГПа, v0=0.3, ;0p=0.4, ;mp =0.9, b=400, ;0p =0.1, ;mp =0.8, b/=400, cp =0.9. Эластичное включение описано со следующими параметрами: E1 =100 ГПа, v1 =0.2. Композит подвержен неосевому растяжения тесту. Мы можем наблюдать результаты полученные с Хилла подробного метода и проложенную модификацию метода - в согласии с КЭ решением (рисунок 13.3). Тем не менее пока Хилла подробная гомогенизации модель применена иначе где (смотри [ABO 08a]), мы представляем сравнение модифицированного подробного метода который может быть применен к времени- зависимому поведению.

13.6. Калибровка и экспериментальные применения модифицированной подробной  микромеханической модели.
Задача этой последней части изучения- оценить предсказательные мощности о модифицированной прирощения модели и в частично его способности репродуцировать механическое поведение аргиллита. Предварительный шаг определение модели параметров. Эластичные параметры связаны с кальцита и кварца конституциентами взятыми из литературы [LID 04]: E0=3 ГПа, v0=0.3, E1=95 ГПа, v1=0.27, E2=101 ГПа, v2=0.06. Варя идентификации других параметров для локально пластичной и эластичной повреждения моделей

Рисунок 13.3. Неосевой сжатия тест- сравнение между Хилла подробной формулировкой, модифицированной подробной схемой и переноса КЭ решением.

проложенная свыше, несчастно  что данные варящие механические отклики каждого конституциента при макроскопической шкале не доступны. Таким образом непрямая итеративная процедура нужна оценить параметры. Выход процедуры следующий. Беря экспериментальные результаты из некоторых лаборатории тестов рассмотренных быть переноса данными, например, неосевой сжатия тест соответствует глубине 466.8 м (рисунок 13.4(а))   который используется здесь как переноса тест. Все параметры идентифицированы из этого теста численным заполнением. Полученные переменные параметров: E0=3 ГПа, v0=0.3, ;p0=0.05, ;pm=0.95, b=300, ;p0=-1.5, ;pm=0.3, b/=400, cp=14 и ;=5E9;  E1=95 ГПа, v1=0.27, h=0.001 и ;=150; E1=101 ГПа, v1=0.06.
Затем используя эти переменные другие лабораторные тесты симулируются, например, трехосевого сжатия тесты с 10 МПа ограничения давлением (рисунок 13.4 (b)), последние расширения тесты (рисунок 13.4(c)) и пропорциональные трехосевые тесты (рисунок 13.4(d)) Отметим что для этих симуляций, только глубина, т.е. минеральные композиции материала, модифицированы. Сравнение между симуляциями и экспериментальными данными указывает всеобщее хорошее согласие Это непрямо уверенность уместности параметров идентификации процедуры и хорошее выполнение проложенной микромеханической модели. Эти модели покажут  способность захватить основные свойства времени-независимого механического поведения аргилита, такого как важная пластическая деформация, давления зависимость, перехода из пластичной сжатия к дилатации и к деградации эластичных свойств.
13.7. Заключения
На основе микроструктурных рассмотрений два  подробных метода проложены в этой главе. Первый –расширение Хилла подробности гомогенизации процедуры к рабочей рамке несвязанной пластичности спаренной с повреждением. Это расширение основано на изотропизации Эшелби тензора. Второй -модифицированный подробный метод, который мог быть использован для времени независимого и времени зависимого поведений на локальном уровне.

Рисунок 13.4. Сравнение между экспериментальными тестами и предсказаниями модели.

Используя модифицированный подробный гомогенизации метод, эластопластичная повреждения модель проложена для аргилита который идеализирован как композит  трех фаз. Таким образом влияние минералогической композиции  неотъемлимо соединено в проложенной модели.
Другой аспект представленной работы лежит в формулировке новой повреждения модели для хрупких включений, что учитываются для односторонних эффектов. Далее показано что проложенная модель учитывает основные свойства механического поведения наиболее каменных материалов таких как давления чувствительность, переход от пластического сжатия к дилатации, несвязанный поток и спаривание между пластической деформацией и индуцированным повреждением. Проложенная модель осуществлена в конечного элемента коде и применена против переноса численного решения на единице клетки. Выполнение модели затем проверено на лабораторных тестах для различных нагрузки кондиций. Отметим что проложенный модифицированный подробный метод можно прямо в лоб применить к описанию времени зависимого поведения гетерогенных материалов и представленные результаты предоставлены в [ABO 08b]. Хорошее согласие между предсказаниями модели и экспериментальными данными получены в сползания тестах [ABO 08b]. Обычно следующее применение еще необходимо например сравнением с ин ситу измерениями. Один оставшихся вызовов – прямая идентификация локальных конституционных параметров каждой конституциента фазы значениями  справедливых экспериментальных инструментов таких как наноидентация [BOB 08]. Возможное расширение таких работ может включать гидромеханическое спаривание и включение совершенных включения -матрицы интерфейсов.

13.8. Благодарности
Авторы благодарят Др. О.Казаку(Университета Флорида) за полезные комментария и предложения которые позволяют им исправить эту главу.
13.9 Библиография



Часть 14. Мезо- к макрошкалы  вероятности аспекты для размера эффектов и гетерогенных материалов отказа
14.1. Введение
Численные анализы гражданских машинных структур и их отказа процессы ведут к многим важным моделирования выводам, шеф среди них учет гетерогенности реальных материалов на точных шкалах. Цемента основанные материалы, такие как литье или бетон можно  рассмотреть на различных шкалах, зависящих от целей и физических механизмов  учета ради. Рассмотривая современные компьютерные ресурсы  и во взгляде  машинных приложений, анализы на структуры шкале (макрошкале) необходимы, чтобы водить. На этой шкале цемента- основанные материалы могут быть рассмотрены как гомогенные, и их свойства полученные используя ключа концепт представленного объема элемента  (ПОЭ смотри [BOR 01, KAN 03]) восстановить феноменологические модели неэластичного поведения (например смотри [ZIE 05, BAT 96, IBR 06]). Эти модели хорошо известны для их кофейности, робустнесс и ведут к относительно малой компьютерной цене. Из-за их основных точек феноменологические подходы- широкий кусок масла, спред. На другой руке такие модели базируются на наборе «материала» параметров, которые необходимо идентифицировать, в основном из экспериментов и проводя уникальные нагрузки тропы и граничные условия. Таким образом это «натуральная» методология ведет к набору параметров который связан с выбранной нагрузки-тропой. Не являясь адаптированной к другой тропе, возможно трудно получить любые предсказаний свойства из этих феноменологических макромоделей. Основные причины для этого –что макрошкала не правая шкала сравнивать с целью моделировать отказ гетерогенного материала. Много авторов старались преодолеть мажора рисунок зада фурнитуривая микромеханические базы к макроскопической модели набора параметров (смотри [MAR 04, LAD 01]) и проводя более предсказывающие макрошкалы модели. Один возможный путь достичь такого гола  адаптировать гомогенизации методы которые ведут к точным, аккуратным результатам для линейных проблем. В представлении нелинейностей такие методы не способные обеспечения хороших оценок для эффективных (макроскопических) свойств (смотри [GIL 95]). Более того такой подход не берет в учет неотемлимые неуверенности прижатые к гетерогенным материалам и структурам.
На более точной шкале чем макроскопическая шкала цемента основанные материалы появляются быть гетерогенными показывая значительную вариативность. Эта вариативность может рассмотриваться из геометрической точки зрения, смотря расположение (позиции, формы) различных фаз. В этой работе мы проложим  взять в учёт мезошкалы вариативность в порядке для: первое, калькулировать макроскопические (эффективные)  свойства статистики для пористых сред сделанных нелинейной матрицей; второе, показать как эта статистика (в основном корреляции длина  через ковариации функцию) может быть использована на макроскопическом уровне моделировать частиц свойства цемента основанные материалы такие как размера эффекты. Ключевой пункт –что материала параметры на мезошкале допустимы быть детерминистическими, так что вариативность –только относится к размеру и позициям пустот в пористой среде. В порядке решить эти стохатические проблемы   и вычислить статистические моменты для отклика количеств, мы служим Монте Карло методу в пределах распределенного программного оборудования. Этот стохастической интеграции метод базируется на многих оценках мезоструктуры откликов таким образом  ведя к времени- потреблению процессам. Более того как ошибка может быть точно оценена                в членах числа реализаций, необходимо выбрать относительно малую дискретную проблему, даже в случае комплекса мезоструктур. Достичь этого мы проложим модель базируюмую на регулярной сетке которая не ограничена  фическими интерфейсами. Эта модель переложена на классические CTS элементы, чье кинематики описание достигает использованием страдания и смещения непрерывностей в порядке представить две фазы.
Вывод следующий: в секции 14.2. мы описываем мезошкалы уровень, с пластичности моделью служащей и регулярной сетки стратегией, ведущей к быстрым калькуляциям нелинейного отклика без любых перемен сеток. В секции 14.3 мы описываем стохастическую проблему, геометрический описания процесс для определения мезоструктур и стохастический интеграции метод. Секция 14.4. показывает результаты полученные для СПОЭ  размера также как для макроскопических свойств статистики. Наконец секция 14.5. делает с размера эффектами моделируемыми  базируясь на второго порядка коррелируемых макроскопических свойств полей.
14.2. Мезошкалы определистическая модель
Сетки установка один из главных выводов, стоков в моделировании гетерогенных материалов. Возможно высокое число фаз и их комплексные формы часто могли бы вести к совершенно высокому числу степеней свободы и также совершенно искаженным сеткам. Более того сеткования процесс сам мог бы содержать комплекса и времени – потребления алгоритма. Цель этой части –показать как служить структурным сеткам в порядке упростить сеткования процесс гетерогенных материалов. Таким образом эта секция представляет основные идеи ведущие к регулярным сеткам которые не ограничивают физическими интерфейсами между различными фазами. Ключа ингредиенты проводить такие модели – поля прерывности введенные внутри элементов в которых  физические интерфейсы представлены. Эти  кинематические повышения  могли бы развиваться в пределах рабочей рамки Несовместимых Мод Метода (смотри [WIL 73, IBR 91]), и требует посвященный решения алгоритм который иллюстрирует следующее.               
14.2.1. Структурные сетки и кинематические повышения
На мезошкале мы рассматриваем гетерогенный материал в 2D стройке различных фаз и мы полагаем, что каждая из трех фаз описана включения позицией и формой. В порядке моделировать такой материал со структурной сеткой, рисунок 14.1 показывает типично 3-узла трехугловой конечный элемент представляющий две фазы. Эти две фазы введены используя два типа непрерывностей (смотри [IBR 07]), т.е. прерывности страдания поле и прерывности смещения  поле, оба из них лежат на некоторой позиции (предписанной известным физическим интерфейсом между двумя фазами). Страдания прерывность может надлежащее страдания представление двух различных наборов эластичных свойств соответствующих каждой фазе. Смещения прерывности ведет к возможности моделирования розыгрыша или отказа механизма на интерфейсе. Для последнего два отказа механизма рассмотрены: один относится к открытию трещины в нормальном направлении и второй раз к раздвижению в тангенса направлении (смотри [SIM 93]). Обе эти прерывности  введены использованием Несовместимого Мод Метода (смотри [WIL 73, IBR 91]). Ключ прогресса этого метода – вести постоянный номер глобальной степени свободы.
Обе эти кинематики разростания добавлены на вверх стандарта CST элемента (рисунок 14.1). Таким образом  этот элемент разделен на две части введением  интерфейса чья позиция получена пересечением выбранной структурной сетки с включениями местными в пределах структуры. Домен ;e стандарта 3-узла элемента - так разделен на две подобласти ;e- и ;e+. Один из самых важных и хорошо-известных  свойств строгих (смещения поля) непрерывности моделей - их затыкаемость, способность быть независимыми от сетки,  даже для смягчения законов. Так способности лежат в факте что диссипация процесс происходящий, колеблющийся на линии (т.е. интерфейсе) и не в целом объеме. Обычно различные эластично-пластичные или эластичные- повреждения поведения законы с позитивным укреплением могли быть выбраны для каждого под-домена раскола интерфейсом с различными эластичными свойствами (смотри [IBR 03b]).
Галочкой отмечено, что страдания поля непрерывность всегда присутствует из-за различных эластичных констант между двумя фазами. В контраст и потому что представления, отказа механизм между двумя фазами, смещения поля непрерывность нуждаются быть активированными согласно  некоторому выбранному отказа критерию.

Рисунок 14.1. Две фазы 3-узла трехугольный элемент, интерфейса позиция и соответствующие поддомены.
Введение этих непрерывностей требует роста кинематики элемента используя две совмещенные моды. Таким образом смещений поле могло быть написанное как следует:
[14.1]
Это выражение содержит четыре члена: первый член проводит константы страдания поле внутри элемента (как классическая CST элемента делает). Второй или третий члены оба представляют прыжок в смещения поле в нормальном и тангенсальном направлениях. Наконец последняя часть обеспечивает страдания поля непрерывность. Все страдания и смещения  разростания ограничены к одинарному элементу только; последнее проводит лучшие базы для конструирования кофейного, робуст оператора раскола анализов из X-FEM метода. Форма функций  для первой несовместимой моды (смотри рисунок 14.2а) соответствующая смещению поля прерывности для нормального и тангенсального направлений (смотри [IBR 03a]) могла быть написана как:
[14.2]
где Na представляет нормальную SCT форму функций элемента и  Хевисайда функцию местную на интерфейса позиции. Форма функции  которая проводит прыжок в страдания поле показана на рисунке.
Рассмотривая смещения интерполяции [14.1], страдания поле могло бы написаться как:
[14.3]

Рисунок 14.1. Несовместимые  способы соответствующие смещению а) и страданию b) несплошности, прерывности для CST элемента.

где  хорошо известные CST элемента страдания-смещения матрицы (например смотри [ZIE 05]) и  содержащие  выводы первого несовместимого способа. Наконец в [14.4], GII – матрица содержащая выводы второй формы функции .
14.2.2. Оператор  раскола решения для поверхности отказа 
Выведенный из Несовместимых Способов Метода для двух типов прерывностей добавленных на вершину классического CST элемента (странности поля и смещения поля), тотальная система будет решена состоя из четырех уравнений равновесия, с [14.4a] как глобальное уравнение равновесия и [14.4b] до [14.4d] отвечающих за локального одного. Галочка напоминает что уравнения [14.4b] и [14.4c] должны быть решенными только в случае активации смещения несплошности в нормали или тангенса направлениях.
[14.4]
Констистента линеаризация (например смотри [IBR 06]) этого набора ведет к линейной системе в матричной форме:
[14.5]
Расширенную форму   для   каждого блока можно найти в [HAU 08].
Оператор раскола стратегии содержит первое решение локальных уравнений системы [14.4] (именно уравнений [14.4b] к [14.4d]) при каждой численной интеграции точки для фиксированных глобальных степеней- свободы переменных. Второй шаг -затем перенести статическое рассмотрение (например смотри [WIL 74]) . Эти статические рассмотрения ведут к эффективной жёсткости матрице (смотри [SIM 85, HAU 08] и так последний шаг –решить глобальную систему уравнений [14.4] получить современные переменные смещения поля
[14.6]
Один из ключевых точек отметить –что тотальное число глобальных неизвестных остается некоторым как со стандарта CST элемента который главный прогресс Несовместимого Способа Метода. Простые иллюстративные примеры делают с использованием структурных сеток можно найти в [HAU 08].
14.2.3. Сравнение между структурной и неструктурной  сетки подходом
Здесь мы нацелены сделать сравнение между структурной и неструктурной сетками с задачей оценить  затыкаемость для обоих случаев получить очень крытые, близкие результаты. Для этого мы рассмотрим пористый материал сделанный с совершенно пластичным материалом с круглыми пустотами различных размеров. Первый случай (рисунок 14.3а) представляет точную сетку полученную использованием программ GMSH. Очевидно в этом случае каждый элемент содержит только одну фазу ( т.е. матрица или «пустоты») . Более того некоторые элементы строго искажены и они выставляют совершенно различные размеры. Для этих двух причин жёсткости матрица плохо подходит. Второй случай (рисунок 14.3b) относится к структурной сетке которая базируется на регулярной сети. В этом случае элементы необходимы представить две фазы моделировать включения и мы адаптируем стратегию представленную на начале этой секции. Рисунок (14.3) показывает осевого смещения контура чертеж (с увеличением фактора 100) для обоих неструктурированных и структурированных сеток. Рисунок 14.4 чертит соответствующую макроскопическую осевую реакцию смещения кривой.

Рисунок 14.3. Длиннющий смещения контура чертеж соответствующий максимуму. Нагрузка для адаптивной сетки) и регулярной сетки)

Рисунок 14.4. Реакция суммы против смещения кривой (тёмная неструктурированная сетка, легкая структурированная сетка)
Мы показываем что оба случая проводят очень  близкие результаты но с работой калькуляции времени структурных сеток стратегии (эта точка в основном из-за тангенса матрицы оптимального кондиционинга). Комбинируя с сетки процессом который более легкий, структурной сетки метод появился быть хорошим и аккуратным методом моделировать гетерогенные материалы, особенно в контексте многих реализаций что должно быть проанализировано. Эта последняя точка- один ключ вывода рассмотривая вероятности аспекты для гетерогеных материалов.
14.3. Вероятности аспекты неэластичного локализованного отказа для гетерогенных материалов
На точной шкале, чем макроскопическая шкала, цемента основанные материалы очевидно появляются быть гетерогенными. Как пример на этой мезошкалы  бетоны сделаны тремя фазами: два твёрдого тела фазы (зерен и цемента пасты) и пустоты. Хорошо известно из экспериментальных данных что макроскопические свойства таких материалов строго связаны с (при последнем) мезо-шкалы конституциентами. В [YAM 02] авторы собрали некоторые экспериментальные результаты показывающие очень значительное уменьшение макроскопического механического сопротивления (в растяжении и сжатии) вдоль увеличения пустот объема   фракции. Более того, рассматривая постоянную пористость, пустот формы и позиции также имеют главное влияние на макроскопические свойства, особенно для малых образцов. Этот ключевой пункт связан со статическим ПОЭ RVE размером (СПОЭ SRVE смотри например [KAN 03]) который должен быть определенным вдоль предписанной макроскопической ошибки допустимости. Основная цель этой секции затем проиллюстрировать возможности проводящие использованием структурной сетки презентации и эффективной калькуляции закрываемости проложенной модели для дела с случайными гетерогенностями. К тому концу мы рассмотрим  здесь пористый материал, типично бетоны при мезошкалы уровне. На этой шкале мы полагаем что такой материал характеризуется двух фаз микроструктурой с твёрдого тела фазой и жидкой фазой. Бывшее будет перенесено к как «матрица» и последнее полагается  наложено представлять пустоты или включения. Завися от числа включений, их размеры и позиции, нелинейный макроскопический отклик такого материала будет варироваться. Другими словами макроскопические свойства, такие как Юнга модулюс и урожая стресс, будут влиять мезошкалы геометрией. Наши голы здесь:  первый определить размер соответствующий такой геометрии (морфологический ПОЭ); второй перенос численно вариаций макроскопических характеристик до включения  размеров и позиций. Ключевой пункт этого учения что вариационность введенная в  модель ограничена образца геометрией только, тогда как механические характеристики двух фаз допустимы быть определестическими. Быть более точным, матрицы фазы  наложены быть точно моделированными эластично- совершенно пластичной моделью на базе до Дрюкера –Прагера критерия (смотри [DOL 07]). Пустоты представлены простой линейной изотропичной эластичности моделью с очень малой Юнга модулюса переменной. В следующей секции мы сперва начнем описывать Гиббса точки процесс, ведущий к реализации мезоструктур. Мы также покажем  пример одной типичной сетки полученной и соответствующего макроскопического отклика к растяжения тесту. Затем мы повернем  стохастический интеграции метод который выбран численно решить эту проблему и соответствующие программы машинных аспектов. Наконец мы представляем методологию ведущую к ПОЭ определению и мы обсуждаем результаты полученные для стохастических проблем.

14.3.1. Мезошкалы геометрии описание
Здесь мы описываем оба процесса и гипотезы ведущие к сеткованию, установке сетки процедуре в пределах прямоугольной области (3.6;1.8 см2). Мезоструктуры геометрия такой области здесь налагается быть смоделированной Гиббса точки, пункта процессом. Так точки процесс построен по двух шагов схеме. Первый раз содержит определение включения согласно Пуассона закону. Второй шаг содержит определение включения центра координат также как радиус для каждого включения. Пока такой Гиббса процесс уже натурально ведет к набору непересечения включений, мы применяем даже более переограниченный критерий, выбором минимальных дистанций между включениями (здесь равное 2мм). Более того в порядке содержать с сетки размером и модели свойствами, включения радиус граничит между 1 мм и 3 мм. Рисунок 14.5 показывает частичные реализации мезоструктур и соответствующие структурные сетки. Мы можем отметить что каждое включение точно моделирует набор прерываний без любого главного искажения.

Рисунок 14.5. Мезоструктуры геометрия а) и соотвествующая структурная сетка b)
Пока материала параметры выбраны быть детерминистическими, статистика макроскопического отклика зависит от мезоструктуры геометрии только, определенная пустот объема фракцией и последовательно пустоты радиусом и центра позициями. Таким образом макроскопическая проблема стохастическая и требует стохастический интеграции метод в  следующей секции.
14.3.2. Стохастическая интеграция
Как мы уже поняли позиции и размеры пустот в матрице описаны дискретным случайным полем, основанным на Гиббса точки процессе. В главном смысле 2D случайной точки процесс может быть увиден как конечный набор случайных переменных, который индексирует пространственными координаты векторами в R2. Таким Макаром, мезоструктуры геометрия определена как случайное поле, которое означает что каждое решение вычисленное механической моделью- также случайное поле (например структуры смещение при фиксированной точке - случайная переменная). В этом изучении мы интересуемся в характеристике макроскопических механических   свойств нашей структуры. Достичь этих целей мы используем глобальный подход который содержит идентификацию материальных свойств управляющих глобальным поведением структуры. Более точно мы нацелены определить эффективные глобальные материала свойства соответсвующей идентификацией глобального отклика вычисленого конечного элемента  моделью. Для этого пока глобальный отклик (смещения или реакции)- случайные переменные, глобальные материальные свойства мы нацелены идентифицировать, такие как Юнга модулюс или урожая стресс,- также случайные переменные.
Вероятностная характеризация макроскопических механических свойств можно увидеть как описанный вероятностный закон следуя каждой из этих свойств. Два подхода можно нарисовать найти вероятностный закон описывающий случайные феномены. Первый, так называемый частотный подход [KEN 49], на базе статистических тестов, похожие ;2  тест для Гауссиана вероятности закона. Результаты этих тестов ошибка краев что оценивают как выходы данные случайным феноменом наполнения с отношением к данному вероятности закону. Второй так-называемый Байесиана подход [JAY 03], стараясь использовать всю доступную информацию по максимума энтропии теории (смотри [SHA 48, SOI 01]) в порядке  обеспечить, проводить наиболее главный вероятности закон для данного статуса информации; таким образом полно описать этот вероятности закон, статистические моменты разных порядков должны быть  вычислены. В этой работе второй подход выбран. Макроскопические материала свойства мы имеем тенденцию охарактеризовать все определенными по позитивной реальной линии. Более того мы полагаем что они могут дать значения переменные и конечное стандарта отклонение. На базисе такой информации максимума энтропии теория ведет к наиболее главному вероятности закону для этого случая в термах, членах лог-нормального распределения, которое полно описывается его вычисленной значения переменной и стандарт отклонением.
Следовательно в порядке охарактеризовать макроскопические механические свойства используя Байесиана подход, первые два статистических момента каждого этих свойств должны быть вычисленными. Статистический подход любой случайной переменной - интеграл функционала этой случайной переменной над вероятности пространством. Отсюда эффективный численный инструмент вычислить так интеграл в многоразмерном пространстве требуется. Скорее чем высокого порядка квадратуры правила похожие на Смоляка алгоритм [SMO 63], мы используем здесь простой интеграции алгоритм который Монте Карло симуляция [CAF 98]. Базовая идея Монте Карло симуляции аппроксимировать интеграл функционала случайной переменной взвешенной суммой реализации этого случайного функционала. Пусть ; случайная переменная определенная по некоторой вероятности пространству (;,B,P), ; где событий пространство,  B – ;-алгебра строится на ; и P  вероятности мере. Любое определенный момент ; можно описать как . Простой Монте- Карло алгоритм содержит апоксимацию этого интеграла как конечную взвешенную сумму реализаций f(;(;i)), каждая вычисленная при случайно независимой выбранной точке ;i в ; умножена соответствующим весом (с N данным числом реализаций).
[14.7]
Для этого типа численной интеграции конвергенции ставка может а приори калькулирована благодаря центральной предела теореме [LOE 77]. Мы можем найти ошибку оценки которая пропорциональна стандартному отклонению f(;) над , N является числом реализации f(;). Как каждая реализация Гиббса процесса  стохастически независима от других, этот метод применен здесь и далее более паралелизирован используя бесспорное программное оборудование оценить основные виды сзади Монте Карло алгоритма, медленной ставки конвергенции. В этом случае, где  корреляции не существует в геометрическом пространстве, нет других инструментов таких как  Карюнен- Лоеве расширение, что требуется (смотри [LOE 77, COL 07]).
Программная архитектура используется здесь на базе программы компонента технологии и мидлваре, средней проволокой CTL [MAT 06], которая обеспечивает, проводит адекватное сети оборудование смочь кода коммуникации под предписанным протоколом и более главно кода спариванием. Базовая идея программ компонента технологии  определить программы рабочую рамку в некоторых задачах и затем  осуществить программы компоненты, каждый из них способен перенести частично задачу. Существующее программное обеспечение можно включить в компоненты определением интерфейса через которую коммуникации будут каналы. Осуществление компонентов для предсуществующих программ содержат код набора методов что другие программы можно вызвать через этот интерфейс. В случае Монте Карло симуляций две различные задачи можно нарисовать. Одна –генерировать Гибсса процесс и  перенести этот результат определяя включения геометрию в структурную сетку. Другая- прогнать калькуляции с данной геометрией в пределах  механической модели определенной в первой секции. Базируясь на КЭМ коде Feap [ZIE 05], CTS программы компонент названный coFeap выведен [KAS 08]. Второй компонент в заряде геометрии генерации (так называемый клиент на рисунке 14.6) будет спрашивать для некоторых пробегов coFeap компонентов на некотором времени, каждый из них использует различные мезоструктуры реализации.

Рисунок 14.6. Параллельная программная архитектура для Монте-Карло симуляций используя coFeap  компоненты.
Дальнейшие детали по использованию этих паралелльных рабочих рамок представлены в следующей секции.
14.4. Результаты вероятностной характеризации двуфазного материала
14.4.1.Определение SRVE размера
Как мы уже поняли во введении макроскопические модели обычно основаны на концепции RVE ПЭО.  Здесь мы фокусируемся на понятии SRVE (см [OST 06]) ведущее к объема элементу большому достаточно гарантировать, что его макроскопические свойства предполагаются быть детерминированными, до конечной терпимости. Очевидно такой размер строго зависит от свойств быть рассмотренными и мы перестрадаем, рестрейн наши анализы к геометрическим свойствам, т.е. пустоты объема доли. Следуя [KAN 03], методология адаптированная содержит оценки пустоты объема фракции значения  и вариации ;2; вдоль различных области размеров. В порядке получить эти оценки мы используем Монте Карло рабочие рамки представленные до рассмотрения  набора 10,000 реализаций  для каждой объема фракии и области размера. Как результат рисунок  14.7 показывает конфиденцальный интервал вдоль домена размера. Этот конфиденс интервал определен для одной реализации как .

Рисунок 14.7. a) Пустоты объем фракции конфиденс интервал (0.95) вдоль домена размера b) 5% относительной ошибки морфологический ПЭО размер.

Таблица 14.1. SPVE размер для различных значения пустот объема фракции и 5% относительная ошибка.
Таблица 14.1 также как рисунок 14.7b показывает СПОЭ SPVE размер соответствующий 5% относительной ошибке для различных пустот объема фракций. Чисто СПОЭ SRVE размер уменьшается с увеличением пористости. Типичные пористости переменные для бетонов в 5%- 10% ранге и ведущих к 0.07 м – 0.15 м морфологической СПОЭ SRVE оценки рангу. Как мы думали раньше, все же некоторая методология  могла бы следовать в различных случаях, эта оценка не проводит любую информацию о СПОЭ SRVE размере связанной с любыми нелинейными механическими свойствами (например макроскопический урожая стресс).

14.4.2 . Численные результаты и обсуждение
Использованием стохастической численной интеграции метода разобранного в предыдущей секции, мы выполнили Z=10.000 точек интеграции, каждый из них соответствует независимой мезоструктурной реализации. Эти Монте Карло интеграции точки распределены по 9 процессорам и мы будем представлять здесь различные результаты.
Первый пункт быть обдуман дела с пустоты объема фракцией для каждой мезоструктуры геометрии. Для некоторого расширения те данные могут быть видны как «вход» параметров согласно стохастическим интеграции методом. Мы вспомним здесь что мезоструктуры реализация построена используя модифицированный Гиббса точки процесса с включением радиуса границы  между 1 мм и 3 мм. Рисунок 14.8 показывает пустоты объем фракции (отношение пустоты объема против общего объема) гистограмму соответствующую реализации. Связанное значение переменной - 6.26% и стандартное отклонение 3.59%.

Рисунок 14.8. а) Пустоты объема фракции гистограмма b) 100 реализаций модели результаты.

Рисунок 14.9 Макроскопический значения стресс w.r.t. макроскопическое страдание а) 0.999 конфиденс интервал b) стандарт отклонение
Стохастический интеграции процесс ведет к набору Z осевых реакций силы-смещения диаграммы. Рисунок 14.8 показывает поднабор 100                реализаций. Галочка напоминиет снова что вариативность, показывает этим образцом, - из-за только мезоструктуры геометрии вариативности (материальные параметры допущенные быть определенными и так константы, постоянные вдоль реализаций). Более того мы отметим что некоторые мезоструктуры включенные в образец очевидно не имеют пустот. Эта точка прямо связана с Гиббса точкой процесса свойствами, в частности с дискретным Пуассона законом ведущим к включений номеру который возможно нуль. 
Рисунок 14.9 показывает оцененного значения макроскопической стресса –страдания кривой также как 99% конфиденс интервал. Пока этот конфиденс интервал совершенно узкий число интергации точек для схастической интеграции метода достаточно сделать точное заключение и проводить хорошие оценки статистических моментов. Более того макроскопический стресс и страдание определены как эквивалентные гомогенные количества, квантити,
  [14.8]
где Lx и Ly размер домена и Ri осевые реакции. Эти макроскопические значения кривые ведут к определению оценки для макроскопического значения Юнга модулюса также как максимума стресса значения ;f. Таблица 14.2 суммирует статистические оценки полученные из численных примеров . Те оценки совершенно хорошие кандидаты использовать в контексте макроскопической феноменологической модели, здесь для 1D случая. Актуально эти макроскопические параметры могли быть использованы в порядке определить макроскопические случайные поля и  для этого стохастическую макромодель (что будет иметь решение используя любые стохастические интеграции методы). Галочка отмечает что только пропавшие данные в порядке полно определить слабо гомогенные второго-порядка  случайные поля- ковариантная функция. В более простом случае такая второго порядка информация могла бы дана согласно одного скалярного параметра только, макроскопической корреляции длины.

Таблица 14.2. Макроскопическая количества статистика.

14.5. Моделирование эффекта размера
Размера эффекты для квазихрупких материалов можно экспериментально демонстрировать на мезошкале и некоторые методы существуют делу с его моделированием. Больше всего из них связка, соединяет микротрещин соединения явления, которые состоят из первого шага отказа процесса к такого размера эффекту. Обширная литература существует по этой теме из ранних изучений  Вейбулла (смотри [WEI 51]) делающие с бесконечной цепью построенной из хрупкой связи (теория слабейшей связи), к текущим двум конкурирующим  теориям Базанта с одной стороны и Карпентери с другой. Первая теория-  тенденция описать размера эффект как определестическая теория сопротивления перераспределения во Фракции Процесса Зоне (ФПЗ), который размер пропорционален  характеристической длине, что ведет к энергетической диссипации. На некотором уровне микротрещин соединение что индуцирует гетерогенное поведение и некоторый сорт локализации, - строго запутанное к размера эффекту. Отсюда способ изучить фракцию квази-хрупкого материала изучить размера эффект. Недавно Базант развил новую теорию как комбинацию этих предыдущих теорий с Вейбулла теорией ведущих к так называемому энергетически –статистическому размера эффекту (смотри [BAZ 04]). Другая теория смешивает нелокальную модель и стохастический подход  развитый в [SAB 93]. С другой стороны Карпентери теория на базе изучения квази-хрупкого материала кажется как материал с фрактальной микроструктурой (смотри [CAR 03]).
Наш гол -к стрессу по возможности моделировать размера эффект, берет место на макрошкале, с использованием корреляции случайных полей для макроскопических свойств. С некоторым базовым допущением такие макроскопические случайные поля определены их краевыми (точки подобно) первым и вторым моментами также как их ковариантная функция. Добавляя изотропии кондицию эти ковариации функция могли бы параметризацию использовать например уникальную скалярную переменную: корреляции                длина Lc. Эта длина играет ключевую роль в этом контексте размера эффектов. Напротив к классической макроскопической модели которая на базе ПОЭ RVE концепта только, Lc актуально определяет шкалу к которой целый структуры размер сопоставлен. В том смысле такая корреляция полей  натурально всовывает размера эффекты. Более того и некоторое расширение, такая корреляции длина могла бы сравниваться как «характеристическая длина» которая нуждается быть определенной используя хорошо известные макроскопические нелокальные модели ([PIJ 87]). Напротив к этой характеристической длине для которых здесь  -недостаток физической интерпретации, корреляция длины Lc также как краевые первого и второго-порядка моменты необходимы  полно определить макроскопическое свойство случайных полей, могли бы восстановить из второй шкалы анализов похоже на раз представленный в предыдущей секции. Так мы описываем здесь комплект макроскопического моделирования методологии стартуя из свойств и неконечности при мезошкале (которая появляется быть более шкале рассматривая механический отказ цемента основанные материалы) к макроскопическому поведению.
Как пример методологии в 1D контексте  мы сперва начнем вспоминать некоторые ключевые точки дела со случайными полями и Карунен-Лоеве расширением, который один из наиболее эффективных методов презентации в компьютерном контексте. Затем мы повернем макроскопическое описание модели и его интерпретации используя однажды снова прямой Монте Карло симуляции подход.

14.5.1. Случайные поля и  выражение Карюнен-Лове
Макроскопическая 1D модель, мы рассматриваем здесь, представляет трех этапов отказа процесс, который типичен для цемента основанных материалов. После эластичного режима неэластичное поведение стартует расмотрение гомогенных микротрещин в FPZ. Такое явление могло бы смоделироваться объема диссипации процессом и феноменологически макро-модели очевидно хорошие кандидаты для этого.  Однажды имея достигнутый конечной нагрузки предел, соединения микротрещин повернуты к некоторого сорта локализации и макротрещинам. Для этого последний этап (и только до структур отказа) феноменологические модели  далее не применены в основном по двум причинам: во-первых они ведут к некоторой сетки зависимости которая типична смягчения законов;  в-вторых потому что локализация ПОЭ RVE концепта не применима. Преодолеть этот вид сзади многие авторы врубают хорошо известные нелокальные теории которые содержат рассмотрение характеристических длин. Другой путь рассмотреть строгие непрерывности модели похожие на одну представленную в секции 14.2 для мезошкалы. В 1D контексте эта модель требует четыре параметра полностью описать все отказа процессы (смотри рисунок 14.10b), например эластичный модуль E, урожая стресс ;y, отказа стресс ;u, и раздела энергия Gf.
В порядке моделировать размер эффекта с такой макромоделью, ключевая идея к сровнителю его макроскопические параметры (именно ;y и промежуток ef= ;u -;y) как коррелирует случайное поле над геометрическим пространством D и вероятности пространством ;. Математически говоря  ; пространство случайного базового событий, вместе с  классом  поднабора F (т.е. ;- алгебра смотри [LOE 77]) к коорому реальное число в интервале [0,1] можно назначить, вероятность произошедшего, математическая мера P. ;-переменная случайно изменяемая r затем функция относящаяся к каждой   элемента . В случае пространства ;–пространство функций F(D) пространственной области D, затем r определяется  случайным полем. В некотором смысле это случайное поле r может видеться как бесконечная фамилия случайных переменных r(x,;), связанных при каждой точке . и  положительны и наложены иметь конечной известные вариации. Мы также полагаем что наше решение, здесь смещения вдоль бруска, - второго порядка. Так благодаря максимуму

Рисунок14.10. a) Квази-хрупкая 1D макро-модель; b) Ковариация полученная из 5 мод усеченного KLE расширения.
энтропии теория (смотри [SHA 48, SOI 01]), эти два случайных переменных ;y и ef можно взять с логнормальным распределением. Без потери генеральности это приход к рассмотрению, сравнителю что эти два случайных поля определенны как нелинейные трансформации Гауссиана случайного поля ;1 и ;2:
;y=exp(;1) & ef=exp(;2) [14.9]
;1 и ;2 полно описывают их ожидаемыми переменными и их ковариантами:
[14.10]
В [14.10] свыше мы указываем что Гаусса случайные поля ;1 и ;2 наложены быть слабо гомогенизированным с экспоненциальными формами ковариации и корреляции длины Lc. Как геометрическое пространство -1D, ковариации можно рисовать как поверхность в 3D пространстве над 2D пространством D;D (смотри рисунок 14.10b).
Решая проблему для отклика такого стохастическая система особенно содержит калькуляцию некоторого отклика статистики (например ожидаемая переменная). К тому концу мы однажды снова служим здесь так называемый Монте-Карло метод который требует нам решить много определистических систем, каждая из них являя строит с реализацией ;y(-,;i) и ef(-,;i) (смотри рисунок 14.11) случайных полей ;y и ef. В порядке проводить эти реализации эффективные компьютерные презентации  корреляционых случайных полей необходимы. Один возможный способ - Карюнен-Лове выражение (смотри [LOE 77]), которая на базе проекции данного случайного поля на собственного вектора базис, ортонормальный в L2(D), полученый Фредхольма собственной переменной проблемой второго сорта [14.11],
[14.11]
Решение этой собственной переменной проблемы для любого домена D получено используя конечного элемента технику и дает урожай к способу синтезированного двумя Гуассиана случайными полями ;i=1,2,
[14.12]
и  последовательно ;y и ef используя отношения [14.9]. В уравнении  [14.12] некоррелинуемая Гауссиана случайная изменяемая (с единицей вариации и нуля значением) и таким образом независимая. Имея компьтерный подход в уме, бесконечная сумма [14.12] должна быть усечена. Рисунок 14.10 показывает ковариацию функции синтезированной используя 5-способа RL  расширение. Эти калькуляции выполнены используя модифицированную версию конечного элемента кода FEAP (смотри [ZIE 05]).
14.5. Эффект размера и корреляция длины
Как думали ранее, 1D макромодель, мы рассматриваем здесь, основана на строгой непрерывной модели (см. [IBR 07]), которая ведет к возможности спаривания диффузной пластичности или повреждения (описания объеметричной диссипации из-за гомогенности микро-трещины которые имеют место в FPZ) с поверхностью диссипации у макротрещин. Последнее приводит стресс к нулю без любой сетки зависимости. Более того  нет специальных предоказий, причин в порядке взять в учет размера эффект должный быть взят кроме рассмотрения логнормали корреляционых случайных полей для макроскопических квантити, количеств ;y и ef.
Рассмотривая растяжения тест, три различные длины имеют протирки под смещения контролем (0.01 м, 0.1 м, и 1 м трусс, связка), храня корреляции длину равную Lc=0.01 м. Эти три причины будут вызваны относительно малым, средним и большим. Галочка отмечает что для среднего случая, бар, брусок- некоторый размер как корреляция длины.
Калькуляции реализации (оценки случайного поля при данной точке в стохастической домене) ;1 и ;2 через усеченное Карюнен-Лове расширение на каждый из этих бар как описано предыдуще и используя реализацию уравнения [14.9] ведет к эффективному компьютерному путю представленной каждой реализации полей ;y и ef. . Нормализованная флуктуации часть одной реализации ;y и ef  для каждого из этих бар показана на рисунке 14.11. Галочка отмечает что больший бар есть с отношением корреляции длины Lc больше флуктуации случайные поля есть. Так больше этих макроскопических свойств похоже иметь низкие границы. В членах сопротивления такие низкие границы очевидно ведут к слабому поведению.
Каждая эта независимая реализация используется выполнить Монте Карло с 10,000 интеграции точками для использования coFeap CTL компонент. Рисунок 14.12 представляет кумулятивные плотности  функции для максимальной нагрузки. Рассмотривая

Рисунок 14.11. Нормализированные реализации корреляционных макро случайных полей ;y и ef.
Рисунок 14.12 а) Ультимативного стресса кумулятивное распределение; b) размер эффекта диаграмм
данные процентно сломанные бары, галочка отмечает что меньший бар есть, больший его ультимативный стресс относительно 3.68 МПа для малой связки, 3.3 МПа для среднего одного и 2.87 МПа для большого одного. Другими словами сопротивление структуры прямо связано с его размером. Большая структура спарена с корреляции длиной, слабее структуры. Отсюда этот стохастический путь моделирования квазихрупкого отказа натурально раскрывает размера эффект. Рисунок 14.12 показывает 99% конфиденс интервал с отношением к калькуляции что должно быть сделано. Для каждого бара  нет этой ошибки бар перекрыть. Этот точка ведет к заключению что число стохастической интеграции точек  используя для Монте Карло процесса больше довольно и так что результаты аккуратны.
Чисто корреляция дины здесь играет ключевую роль. Спариваемость с характеристической длиной которая появлется в не локальной теории, ее можно связать с размером FPZ где микротрещины появляются. Больший размер FPZ преобладает на глобальном размере структуры (которая случай для малого бара), более похожий на Континуума Повреждения Механизм (СПМ) структур поведение есть. С другой руки если FPZ размер ничтожен с отношением к размеру структуры (например большой бар), его влияние на глобальное поведение структуры мало. Так макро трещины происходят следуя Линейному Раздела Механизмам (ЛРМ). Моделирование поведения квазихрупких материалов есть попытка связать эти два предела поведений (ЛРМ и СПМ). Рисунок 14.12 показывает что возможный путь –к рассмотрению коррелируемых случайных полей описать макроскопические квантити, количества.

14.6. Заключения
Когда дело с конечного элемента моделированием цемента основанных материалов, феноменологические макромодели широкий кусок масла на макрошкале. Рассматривая гомогенные материалы, такие модели основаны на ключе концепции ПЭО RVE, размер которых должен быть определенным, зависимым от выбранных свойств и предписанных относительных ошибок. Даже хотя эти макро-модели известны быть численно кофе и адаптированным к большим структурным калькуляциям, их недостаток  предсказуемости основно из-за отказа механизмов шкалы происхождения, которая не макроскопическая шкала. Более того ПОЭ RVE размер мог бы слишком большим для цемента основанных материалов делать использование таких феноменологических моделей. Рассматривая эти два основных вида сзади, мезошкала здесь была выбрана как один утонченный описать отказа механизм. При этой шкале цемента- базы материал появляется быть гетерогенными и специально структурированной сетки методология развита. Так структурированные сетки относятся на регулярную сеть и не ограничены к физическим интерфейсам между различными фазами. На базе классических CST элементов мы покажем как увеличить элемент кинематики используя Поместимых Мод Метод проводя  два типа прерывистости. Первый содержит страдания прерывистости внутри элемента в порядке смоделировать различные эластичные свойства двух фаз. Вторая прерывность соответствует смещения прерывности и позволяет нам моделировать интерфейса отказ (например розыгрыша) согласно двум различным механизмам (нормальному и тангенсальному). С такими двуфазными элементами и структурной сетки стратегией отсутствие перемены сеток необходимо.
С таками моделирования инструментом в руке мы представляем  как взять в учет  для разнообразия геометрии описание гетерогенного материала на мезошкалы уровне. Рассматривая цемента-базы материалы, макроскопические свойства такие как механическое сопротивление известны, быть строго зависимыми из пористости (пустоты объема фракции). Так мезошкалы геометрия  смоделирована  используя модифицированные Гиббса точки процессы с циркулярными пустотами внутри совершенно пластической Дрюкера Прагера матрицы. Хотя материала свойства двух фаз положены быть определенными, эти вариации ведут к стохастическим проблемам быть решенными. В этой работе  мы служим классическому Монте Карло методу в порядке  продуцировать статистически момент открытых квантити, количеств. Используя Компонент Шаблоны Библиотеку  и конечного элемента код мы индуцируем независимые реализации ведущие к первого и второго порядка статистики макроскопических свойств таких как эластичный модулюс урожая стресс и ультима стресс. Более того мы определяем  относительную ошибку морфологическую ПОЭ RVE для различных пустот объема фракций.
Наконец на базе макроскопических свойств (например урожая стресс) ковариации функция (именно ковариации длина), мы показываем что проложенная макромодель мог бы проводить в  лоб моделирование для размера эффекта. Такой размер главный вывод в моделировании квазихрупкого отказа на базе цемента материала расположенного между двумя лимита случаями, Сплошной Среды Повреждения Механика и Линейная Раздела Механика как Вейбулла теория. Между прочим некоторые авторы должны проложить размера эффект законы соответствующие различным типам структур и нагрузки тропы или стараться  смоделировать эти частично свойства. Одна попытка содержит использование нелокальных моделей и восстанавливает размера эффекты через их характеристические длины, хотя эти длины имеют не физический базис. Здесь мы покажем что использование макроскопической корреляции случайного поля ковариантно функций действующих похоже на длины шкалу. Эти частиц свойства ведут к возможности восстановления размера эффекта который  применен между двумя лимитами случая . Этот метод мог бы виден как расширение Вейбула теории которые могли бы восстановить рассмотрение некоррелируемого случайного поля.

14.7. Благодарности
Эта работа поддержана Французским Министерством Исследований.
Сотрудничество с ТУ Браунчвайг исследовательской группой профессора Германа Маттиеса оссобенно Др. Райнера Ниекампа и М.Мартин Кроше и ПРОСОПЕ программы фонда также сердечно благодарим. Также благодарим поддержку Александра Гумбольта Фонда.
14.8. Библиография




Часть  15. Повреждения и проходимость в квазихрупких материалах:
от диффузии к локализованным свойствами.
15.1. Введение
Транспортные свойства литья, типа проходимости или диффузности, частично важны в случае структур для которых плотность важна, например  для перестресса литья содержания сосудов на ядерной энергии заводах. Для таких чувствительных ядерных сосудов, плотность газа критична во время ее службы жизни, где литье остается у наиболее микротреснутой, но также при несчастных случаях, где макротрещины появляются локально. Таким образом это важно проводить отношения между суммой трещин и повреждением в литье и его свойственной проходимости.
Экспериментальные теста данные (Чоинская и др. 2007) выполненые на полых литья цилиндрах подвергнутых сжатия нагрузке и при некоторого времени газа потока через их толщины выставляют три режима роста проходимости. В простом сжатия тесте  первый режима ранг всегда вверх к пику стресса. Выставка показывает увеличение проходимости из-за увеличения плотности диффузии микротрещин. Из-за страдания локализации (перехода между диффузией микротрещин и макротрещин формацией), второй режим проходимости роста с быстрым увеличением наблюдаем экспериментально, близко к пику стресса/пику страдания. Наконец и для примененного страдания которое больше чем некоторых времен пика страдание, третий режим достигнут. Охарактеризовано низкой ставкой роста проходимости что содержит с Пуасселя потоком как мы будем видеть далее. Рисунок 15.1 показывает эти режимы как измерено Чоинска и др (2007) в сжатии.

Рисунок 15.1. Эволюция проходимости как функция примененного страдания в сжатии теста по полому цилиндру с радиальным газовым потоком.
Отношение между проходимостью и диффузией микротрещин, описано повреждения изменяемой, выведена теоретически (Дормье и Кондо, 2004 и Чатцигеоргио и др. 2005) и исследована экспериментально (Пиканде и др. 2001). Этот случай соответствует первому режиму  выше рисунка. Когда макротрещина комплектно сформирована, кажется содержит предполагать что очевидная проходимость образца будет управлять трещины открытием. Мы ожидаем что случай соответствующий режиму 3 на рисунке 15.1.
Между этими двумя случаями переход режима что нужен быть должным образом захваченным. Эта цель представляет вклад, где мы вводим закона управление рост свойственной проходимости квазихрупкого материала (литья) как функция повреждения. В делая так мы идем определить содержания сопоставления отношение между двумя свыше крайними режимами.
Уравнения что описывают механические проблемы кратко вспомнены в секции 15.2. Базовая причина для выставки сопоставления закона проводит в секции 15.3. Секция 15.4. посвящена калькуляции оценки трещины открытия нужное в локализации повреждения режиме. Наконец секция 15.5. обсуждает численные результаты с существующими теста данными в литературе.

15.2. Механическая проблема моделирование повреждения континуума
Разделения и повреждения механики две связанные теории (Мазар и Пижодиер-Кабо 1996) . В компьютерном наборе это удобно делать с континуума повреждения вместо описания формы, длины и ориентации трещин (включая их взаимодействие). По этой причине мы используем континуума повреждения подход. Скалярная повреждения модель развитая Мазарс (1984) обогащена густым и совершенно простым набором конституционных отношений. Некоторые развития могут выполняться на базе более комплексного описания повреждения, анизотропичного повреждения, без главных трудностей. Проведет некоторая информация об анизотропии проходимости что погружена в описание Пуаселя потока между двумя лицами в макротрещине. Здесь направленности повреждения и проходимости не рассматриваются для простоты, но проходимость соответствует жидкости потоку паралелльно позитивным (микро) трещины лицам, в плоскости, плане нормали к примененным растяжимым стрессам.
Повреждение полагается быть изотропическим и продуцируют деградации эластичной жёсткости материала через вариации Юнга модулюса:
;=(1-D)C; [15.1]
где ; и ; Коши стресса тензор и традания тензор относительно. C четвертого порядка тензор эластичного модули. Повреждения изменяемые D ранга от 0 для девственного материала к 1 для комплектно поврежденного материала с нуля жёсткостью и зависит от статуса изменяемой Y:
D=F(Y) [15.2]
Статуса изменяемая Y богата максимальной переменной во время нагрузки истории между повреждения порогом YD0 и эквивалентым страданием ;eq:
Y=maxlt(;eq, YD0) [15.3]
Эквивалентное страдание определено как следующее (Мазарс 1984):
[15.4]
Повреждение следует повреждения эволюции закону которое различает растяжения повреждение и сжатия повреждении (Мазарс):
D=;tDt+;cDc
где ;t и ;c веса вычисленные из страдания тензора. В настоящем случае только повреждение из-за растяжения сровнено ;t=1 и ;с=0. Для этого повреждения модель использует после этого на базе следующего эволюции повреждения закон:
[15.6]
где At и Bt модели параметры. В этой формулировке повреждение определено локально. Эти локальные формулировки выставляют скрученную страдания локализацию (похожую любую другую страдания смягчения локальную формулировку). Последовательно численные симуляции дают урожай патологическую сетки зависимость и физически нереалистичные результаты получены (Базант и Планас 1998).
Одно возможное средство содержит переформулировку конституционной модели в нелокальном подходе, с повреждением на каждом материала точке зависимой от страдания не только при этой точке также в его соседних. Эта нелокальная модель развита  Пижодье-Кабо и Базант (1987). В этой модели  нелокальное эквивалента страдание есть веса среднее  локальных страданий над представленным объемом ; вокруг каждой точки x в материале:
[15.7]
;(x-s) - oбычная веса функция определенная как:
[15.8]
lc интервала длина материала, относится к материала гетерогенности параметра квалификации не локальной интеракции.
15.3. Проходимости закон сопоставления
Мы собираемся фокусировать собственную проходимость материала свободного от любого стресса и мы будем игнорировать перенаправляемый стресса эффект по проходимости. До описания как проходимость может быть определена сверх всего ранга изменения повреждения, давайте сперва обсудим два крайних случая диффузии и локализации повреждения.
15.3.1.Диффузные повреждения
С задачей представить взаимодействия между диффузии повреждением и проходимостью материального уровня, феноменологические отношения продемонстрированные Пиканде и др. (2001) для повреждения уровня ниже чем 0,15 сохранены. Свойственные материала проходимость стресса свободного материала есть экспоненциальная функция повреждения:
kD=k0exp[(;D);] [15.9]
где kD и k0 относительно текущая и изначальная материальная проходимость. ; и ; параметры наполняющие авторами к 11.3 и 1.64 относительно. Это отношение заполнено в случае сжатия повреждения. Предположено что держит похоже на случай растяжения повреждения также. Как доложено Пиканде и сотрудниками, уравнение [15.9] с доложенными переменными материала параметров содержит для изменения различного литья (ординарный, высокого выполнения, волокон укрепленного) и отобранного так что для стандартного литья смесей, можно осуществить без любого определения материала параметров, как первое приближение.

15.3.2. Локализованные повреждения –трещины открытия против проходимости
При выполнении разрыва макротрещина (или несколько макротрещин) ожидается. Следовательно жидкости поток будет управлять этими трещинами и Пуасселя закон может быть рассмотрен. Для жидкости между двумя паралелльными (грубо) плитами вероятность права выражением:
[15.10]
[u] -трешины открытие и ;- грубость трещины. Согласно и если мы измерим, расcмотрим трещину длины L в образце крест-секции S  выложеной к жидкости потоку, тотальная сопля за единицу толщины образца проводится добавлением жидкости потока через трещину и жидкости поток через неповрежденный материал вокруг трещины, появившаяся,  очевидная проходимость kap:
[15.11]
Вне трещины проходимость предположительно остается равной к изначальной одной. Это как если мы смотрели на материала проходимость вне раздела процесса зоны и также стандарта допущение в двойной пористости модели. «Трещины проходимость», названная kf, есть:
[15.12]
Эта проходимость второй асимптотический случай. Материала проходимость что должна быть богата когда повреждение близко к 1, при материала отказе. Трудность есть то что это геометрии зависимый параметр. Содержит трещины длину и крест- секцию материала выложеного к жидкости потоку. В пределах континуума описания повреждения, выше выражение проходимости требует знания трещины места, его длины и возможное трещины пространство в дополнение к трещины открытию. Более сходная формулировка вклада трещины к появившейся проходимости  может выводится  полагая что трещина  перемещена полосой интенсивного повреждения.
Давайте назовем ;lc ширину этой полосы. Пропорционально к интервала длине, пока ширина разлома процесса зоны в нелокальном повреждения модели есть действительно линейная функция интервала длины. Появившаяся проходимость теперь выведена из сопли в полосе с материальной проходимостью kl (где повреждение допущено быть константой для простоты):
[15.13]
Мы можем теперь приравнять уровнения [15.11] и [15.13] и материала проходимость kl есть:
[15.14]
Локаль- точки- подобно – проходимость в уровнении [15.14] не зависит от геометрии измеренного образца. Можно читаемо использовать в континуума модели. Если мы  рассмотрим трещину длины L  в образце крест-секции S выложенной к жидкости потоку, уровнение [15.13] будет перекрыто на структуральном уровне (появившаяся средняя проходимость). Оставшаяся трудность –калькуляция трещины открытия. Эта точка обсуждена в секции 15.4.
15.3.3. Закон сопоставления
Как два закона проходимости развития, kD  (уравнение [15.9]) и kl (уравнение [15.14]) были уже сформулированы, используя повреждения изменение только, мы связываем их значениями простого закона сравнения основанного на логарифме проходимости:
log(k)= (1-D)log(kD)+Dlog(kl) [15.15]
В дополнение есть выступ варя применение Пиканде экпоненциальное отношение в проложенном сопоставления законе. Пиканде отношение применено для диффузии и скромного повреждения ранга между 0 и 0.15, быстро  делает тенденцию на встречу бесконечной переменной когда повреждение увеличивается. Так мы используем Тейлора расширение Пиканде отношения для малого повреждения в порядке опасаться крученного экспоненциального увеличения проходимости для высокой переменной повреждения:
[15.16]
15.4. Вычисление открытия трещины в континуума повреждении вычислений
Вывод открытия трещины, как результат вычисления континуума повреждения механики, есть главная задача. Фактически однажды континуума повреждения модель была выбрана с целью смоделировать несплошности отказа, нелегко продвигаться в обратном направлении. Согласно повреждения моделированию нет такой вещи как смещения прерывность. В совсем недавних статьях эта проблема занятая допущением что выше данной критической переменной повреждения, смещения прерывность существует и будет всунута в структуральные модели. Из стартующей точки вперед, на лезвии, передовые вычислительные модели например базируются на X-FEM кинематике проводя звука технику для калькуляции смещения прерывности.

Рисунок 15.2. (а) Трещины домен (дискретный случай); (b) поврежденный домен (сплошной случай)
В совсем недавнем случае Дуфор и др (2008) разработали технику для раскрытия прерывности смещения из континуума повреждения КЭ калькуляции без необходимости  для усиления кинематики со смещения прерывностями. Эта техника также проводит индикатор качества смещения прерывности оценок. Будет возможно осуществить свыше технику в порядке вычислить смещения прерывность при каждой точке  трещины (интенсивная повреждения зона), но в первом шаге, мы будем разрабатывать простой и более прямо в лоб приближение смещения прыжка [u].
В порядке вычислить трещины открытие из повреждения поля мы допускаем снова что трещина согласно повреждения модели, описана как полоса интенсивности повреждения ширины ;lc. Эквивалентность между двумя областями, доменами затем рассмотрена: треснутая с прерывностью трещины открытия [u] (смотри рисунок 15.2(a)) и поврежденная с поврежденной зоной ширины ;lc (смотри рисунок 15.2(b)). Эта эквивалентность утверждает что смещение через трещину описано как интеграл страдания через повреждения полосу. Последовательно  мы полагаем что нагрузки монотонно увеличивается и мы относим страдания внутри  полосы к изменяемой  что контролирует повреждения уравнение [15.3]. В настоящем случае и согласно Мазара модели два количества, квантити похожи и трещина открытия теперь выражена как:
[15.17]
Допуская что повреждения распределение в повреждении зоне есть униформа, мы получим трещины открытие как:
[15.18]
Подставить эту трещины открытие с повреждения полем, мы относим статус изменяемой с повреждения используя инверсию повреждения эволюции закон (смотри уравнение [15.2]):
[15.20]
Наконец подставление уравнения [15.19] в уравнение [15.18], трещины открытие можно представить как функцию повреждения:
[u]=(F-1(D)-YD0);lc [15.20]
Это уравнение можно теперь подставить в уравнение [15.14], и далее в уровнение [15.15] в порядке обозначить локальные переменные проходимости точки –подобно. Будет вспомнено что эти отклонения остаются на базе простого - не сказать простейшего –допущения. Снова можно исправить рассмотрением вариации статуса переменной в повреждения полосе или применением метода представленного Дуфором и др. (2008).
Для пользы иллюстрации давайте сравним материала параметры данные в таблице 15.1 и дайте нам сделать калькуляции эволюции материала проходимости как описано сопоставления законом в уровнении [15.15].

Таблица 15.1. Параметры Мазарс повреждения модели.
Интервала длина произвольно выбрана ровной к 0.02 м, пока параметр ;, который влияет шириной повреждения полосы, выбрано ровной к 2. Начальная проходимость k0 измеренная в симуляциях взятая ровной к 10-17 м2 и ;=1.
Эволюции проходимости, согласно проложенным сопоставления законам (уровнения [15.15] и [15.16]) с повреждения и со статуса изменяемой,  показаны на рисунке 15.3. Сопоставления закон проводит точную презентацию проходимости для малого повреждения, также как для интенсивного повреждения где оно имеет тенденцию на встречу проходимости данной Пуаселя законом.

Рисунок 15.3 Логарифм проходимости эволюции со шкалой статуса изменяемой для оставшегося сопоставления проходимости закона.

15.5. Структурные симуляции
С задачей иллюстрировать влияние сопоставления проходимости закона на структурном тесте, мы рассмотрим литые диски нагруженные либо согласно раскола теста конфигурацией либо «Бипеде» конфигурацией (Джерард, 1996). В последней конфигурации диск сделан бетоном приклеенным к стальной пластине (рисунок 15.4). Растяжение применено к пластине и перенесено к диску  в котором одна или две трещины появляются. В некоторое время вода утекает через дыры в стальной пластине и через  диск. Появление проходимости (к воде) измерено в курсе нагрузки и трещины диска.

Рисунок 15.4. Бипеде тест геометрия (после Джерарда 1996)
В представленных сравнениях мы будем расмотривать тесты в которых простая трещина развита. Отметим что в раскола и в Бипеде тесте два распределения повреждения совершенно похожи.
15.5.1. Механическая проблема – Бразильский  раскола тест
Бразильский тест раскола использован как стандартная мера растяжения сопротивления литья, камней или других геоматериалов. Цилиндрические образцы нагружены вдоль диаметральной  плоскости стали  зажимающих пластин, как показано на рисунке 15.5. Стали зажима пластины произвольно смоделированы  жесткими пластинами, с высокой Юнга модулюсом (Е=300ГПа) и Пуассона отношением ; литья в порядке  избежать уточнения эффекта по литью. Набор параметров интеграла нелокальной повреждения модели (смотри Таблицу 15.1) представляет ординарный литья поведение. Интервал длины ровный 0.02.
Численные симуляции выполнены с 4-узла квадратным элементами. Из-за двойной симметрии вычислительная область содержит четверть образца. Плоскости стресса калькуляция вынесена.

Рисунок 15. 5 Бразильский раскола тест: (а) проблема утверждения; (b) КЭ сетка
Эта не –линейная проблема решена подробно трещины открытия смещением контролем (COD ТОС), т.е. горизонтальным смещением точки P. Чертеж применен нагрузки против ТОС COD показано на рисунке 15.6.

Рисунок 15.6. Сила против трещины открытия смещения в Бразильском раскола тесте.
Повреждения распределения при пике и при последнем нагрузки шаге напичканы на рисунке 15.7 (a) и (b). Максимальное повреждение изначально локализуется в некоторых местах вдоль вертикальной симметрии осей и затем они перенесены вниз лезвия к центру как нагрузки увеличиваются. Мы можем наблюдать что повреждение развивается в полосе ограниченной ширины (управляемой интервала длиной). В дополнение высота повреждения полосы при отказе есть диаметр.

Рисунок 15.7. Повреждения распределения при (a) пике и (b) при последнем нагрузки шаге.

15.5.2. Эволюция появившейся проходимости
Для каждого повреждения состояния локальная проходимость вычислена согласно закону сопоставления на каждом Гаусса пункте дискретизированной структуры. Выражение трещины открытия смещения взято из уровнения [15.20] под допущением что страдание и повреждение есть константы в пределах повреждения полосы. Это не точное правило. Требует что трещины полосы ширина была мала спаренная с размером структуры так что вариации в пределах полосы могут быть ничтожны. Затем  структурная проходимость определена стандарта усреднением  локальной проходимости. Результаты начерчены на рисунке 15.8 который показывает эволюцию средней проходимости  с COD к пику COD  отношения. Мы можем наблюдать что форма  кривой  похожа на ту на рисунке 15.1. Изначально  проходимость увеличится очень быстро и при отказе  ставка роста  уменьшится. Первый режим перекрывает малый ранг но два отрезка режима совсем хорошо представлены.

Рисунок 15.8. Эволюция логарифма структурной относительной проходимости с COD к пику COD отношения.
Квантивные, количественные сравнения с экспериментами можно проводить с данными полученными в «Бипеде» конфигурации. Мы сровним первые результаты доложенные  Джейсон и др.(2007). На рисунке 15.9  сравнение между предсказаниями средней проходимости вычисленной сравнением что локально проходимость следует диффузии повреждения уравнению (Пиканде отношению) и теста данные представлены. Это сравнение очень слабо, которое правит нужду для проходимости закона что сопоставляет должным образом два крайних случая диффузию и локализованному повреждению. Второй раз не может быть получен как последовательность локализации повреждения, с проходимости законом соответствущему локально диффузии повреждению.

Рисунок 15.9. Эволюция проходимости с повреждением. Сровнение Пиканде отношения (обозначенной как уровнение [15.14]) и степенного закона для повреждения (обозначенный как уровнение [15.15]) с экспериментальными данными.
Не возможно захватить эволюцию появившейся проходимости с диффузии повреждения случая отдельно. Эти отношения переоценивают вариации проходимости локально и не  потому что такая переоценка происходит  в очень малом регионе структуры (повреждения локализации полоса) что может быть пренебрежима. Рисунок 15.10 показывает сравнение между некоторым тестом данных и представленным сопоставления законом. В сравнении  мы имеем вход в нашу формулу некоторый физические постоянные как те в Джерарде (1996): параметры повреждения модели, трещины грубость и динамика вязкости воды. Мы храним некоторой координаты систему которая относит примененное страдание к воды проходимости треснутого образца.

Рисунок 15,10. Эволюция проходимости воды со страданием в «Бипеде» тесте.
15.6. Заключения
В этом вкладе формула описывающая эволюцию проходимости с повреждением была проложена. Сопоставлена консистентно двум случаям: в первом случае проходимость экспоненциальная функция распределённого повреждения, пока во втором случае управляется трещины открытием. Аналитической изменяемой подстановкой мы связали трещины открытие с изменяемой что управляет повреждением в нелокальной интеграла повреждения модели и после лезвия мы отнесли этот статус изменяемой с повреждением в порядке привести к выражению где проходимость контролируется соло вариацией материала повреждения.
Расширенное сравнение предсказаний проходимости с экспериментальными данными на раскола цилиндрах есть в прогрессе, но изначальные сравнения обеспечивают кваликационные и квантовые, количественные результаты, что  совсем содержательны.
15.7. Благодарности
Финансовую поддержку из Национального Агенства Исследования под проектом «Контифисс» сердечно благодарим.
15.8. Библиография




Часть 16 . Мульти шкалы моделирование гранулированных материалов с силами поверхностной энергии
16.1. Введение
В этой главе мы представляем модель развиваемую используя микроструктурный подход который учитывает для поверхностной энергии силы между частицами и может моделировать их эффект по сдвига  сопротивлению грунта состава. Основная идея - обзор гранулированной упаковки как представлено набором микросистем. Неэластичное поведение каждой микросистемы охарактеризовано и всеобщее стресса-страдания отношение упаковки получено из среднего поведений микросистем (Чанг и Хишер [CHA 05]). Если микросистемы рассмотрены как  между частиц плоскости (или мобилизированные плоскости) в упаковке, затем  подход похож на то что используется в моделировании эластичного поведения. Модели на базе между частиц контакта плоскости можно найти в Дженкинсе и Страк [JEN 93], Мацуока и Такеда [MAT 80], Чанг и др [CHA 89], и т.д. По этим линиям мы развиваем новую стресса страдания модель рассмотривая между частиц силы и смещения. Мы всовываем в модель микро-макросвязи между страданиями и междучастиц смещениями для гранулированных материалов (Лиао и др. [LIA 97]).
Отмечено что выше упомянутый микроструктурный континуума подход не «комплект» микромеханического подхода. Пока комплект микроструктурный детали для частиц сборки неизвестный, комплекс деформации поведения частиц не может выводиться прямо из первого принципа теории на базе соло частицы уровня свойств. Кроме того параметры частиц-уровня свойств, представленная модель адаптирует некоторые макрошкалы параметры относимые к степени блокировки и пористости для грунта сборки потому что междучастиц поведение есть не эксклюзивно локальное явление и рассмотриваемо влияет сборки геометрией.
С выше дискуссией по ограничениям и упрощенным допущениям представленная модель  будет смотреться как модель полуэмпирической натуры. Необходимо откалибровать параметры из экспериментального тестирования в порядке предсказать комплекса поведение с хорошим квантити, количественным соглашением.  Основной прогресс представленной модели над конвенционными континуума конституционными моделями его микрошкалы рассмотрение, которое позволит нам сходно расширить модель для новых феноменов при частиц уровне, такой как поверхности- энергии сил. Обычно даже через поверхности энергии силы добавлены из первого принципа физики, не делающего альтернативы эмпирической природе модели. Для чего модель нацелена предсказать только «порядок амплитуды» поверхности энергии эффекта.
В следующем мы сперва описываем формулировку этой модели. Модели выполнение –затем демонстрирует используя результаты симуляции точного песка поведения протестированного под  земными условиями (т.е. без поверхности энергии сил). Наконец Ван дер Вальса эффект между частиц введен предсказать стресса-страдания–сопротивления поведения лунного  грунта.

16.2. Модель стресса-страдания
Мы представляем гранулированный материал как коллекцию частиц. Деформация представленного объема материала генерирована мобилизацией контакта частиц во всех контактах. Таким образом стресса-страдания отношение можно вывести как среднее мобилизации поведения локального контакта плоскости во всех контактах. Для контактной плоскости в ;th ориентации локальные силы f;i и локальные движения ;;i можно обозначить как следующее: f;i={f;n ,f;s ,f;t} и ;;i ={;;n,;;s,;;t}, где подиндекс n, s и t и представляет компоненты в трех направлениях локальной координатной системе. Направления нормаль к плоскости обозначена как n; другие  два отрогональных направлений, s и t, тангенсальны к плоскости (рисунок 16,1). Вращение частиц не рассмотривается здесь.

Рисунок 16.1. Локальные координаты у междучастиц контакта.
Силы и движения в контакта плоскостях всех контактов ситуационно сверхдобавлены  получить макроскопические стресса-страдания тензора. Макроскопические жёсткости тензор получен по условию что ставка энергии диссипации выражена в членах макростресса и страдание должно быть  эквивалентно к что выражено в членах микросил и движений. В такой формулировке обычно допустимо что микроструктуры статистически ограничены, которое означает что силы по каждому контакту плоскости  допускаются быть ровными к перерешению компонент макроскопического стресса тензора. 
Другая ровно простая возможность –положить кинематически ограниченную микроструктуру, в которой  движения, скорее чем  силы  по контакту плоскости, есть перерешеные компоненты макроскопического страдания тензора. Кинематически ограниченные модели  более популярны использовав в литья моделях. Отвержения причина для использования –что, в случае страдания смягчения, легко конструировать стабильную модель с кинематическим скорее чем статическим ограничением. Обычно кинематические ограничения дают больше ограниченную деформации модель, так проводя жёстче результат, специально когда гранулярные материалы подвергнуты высоким отклонения стрессам (Чанг и Мисра [CHA 90]). Далее дискуссию по этому выводу можно найти в работе Чанга и Гао [CHA 90], Криут и Ротенбург [KRU 02] и Криут [KRU 03].
16.2.1. Междучастиц поведение
16.2.1.1. Эластичная часть
Контактная жёсткость контактных плоскостей включает нормальную жёсткость, k;n , и сдвига жесткость , k;r (допущение k;n =k;n=k;n). Эластичный жёсткости тензор определен
f;i=k;eij;;ej [16.1]
который можно связать с контакта нормали и сдвига жёсткости
k;eij =k;nn;in;j +k;r (s;is;j+t;it;j )  [16.2]
где n, s, t  три ортогональные единицы вектора что формируют локальные координаты систем (смотри рисунок 16.1). Вектор n вне лезвия нормально контакта плоскости. Вектора  s и t на контакта плоскости.
Переменные жёсткости для двух эластичных сфер может оцениться из Герца –Миндлин формулировок [MIN 69]. Для песка зерен пересмотренной формой адаптированной (Чанг и др.[CHA 89]), дано
; [16.3]
где Gg эластичный модулюс для зерен, fn -контакта сила в нормали направлении. l– ветвь длины между двумя частицами. kno, kro и n- материала константы. Для двух сферических частиц  ветви длина есть некоторая как частица размера l=d. Если Герца –Миндлин контакта формулировка используется, переменные kno в уравнении можно выразить как:
[16.4]
16.2.1.2. Пластичная часть
Эластичное раздвижения поведение между двумя частицами не имеет спаривания эффект (т.е. раздвижения направление – по контакту плоскости; отсутствие движения компонент в нормальном направлении). Обычно пластичное раздвижение часто происходит с движением над лезвием, наверх или под лезвием, вниз, так сдвиг дилатации, расширения/ контракции, сокращения имеет место. Стресс- расширение есть хорошо–признанное, ориентированное явление в песке и будет правильно моделироваться. Расширения эффект можно описать
[16.5]
где ;0– материала константа которая, во многих случаях, можно рассмотреть ровной к между частиц трения угол ;;. Отметим что сдвига сила T и ставка пластического раздвижения  определена как
и [16.6]
Урожая функция положена быть Мура-Куломба типа,
F(fi,;)=fr-fn;(;p)=0
где ;(;P)– изотропичный укрепления/смягчения параметр. Укрепления функция, определенная как гиперболическое отношение между ; и ;p, вовлекает два материала констант: ;p и kp0
[16.8]
Переменная ; подходов асимптотически tan;p. Изначальный наклон гиперболической кривой kp0. По контакта плоскости под урожая кондицией направление пластического сдвига раздвижения  следует связанного потока правилу и – так перпендикулярно к урожая поверхности. Обычно пластическое движение в направлении нормали к контакта плоскости  управляется  стресса- расширения  уровнением показаном на рисунке [16.5]. Из-за того  всеобщего потока правило не ассоциировано.
16.2.1.3. Блокировки, интерлокинг влияние
Один из наиболее важных элементов, принятых в гранулированном моделировании –критического статуса концепция. По критическому статусу гранулированный материал остается постоянного объема, пока подвергнут длительному искажению. Пустоты отношение, соответствующее этому статусу, обозначено как ec.
Критическое пустоты отношение ec – функция значений стресса. Отношение  традиционно написано  следующим образом:
 или [16.9]
где Г и ; два материала контсанты и  p`– значения стресса упаковки, и  (eref,pref) ссылки точка по критическому статусу линии.
Междучастиц трение угла ;;– константа для материала. Обычно пик трения угла, ;; по константе плоскости между двумя частицами  зависит от степени  блокировки  соседних частиц, которое может  относиться к статусу упаковки пустоты отношения e:
[16.10]
где m материала константы (Биареза и Хишера [BIA 94]).
Для плотности упаковки пик трения угла ;p больше чем ;;. Когда  упаковка структур расширяется, степень блокировки и пик трения угла  уменьшается, который дает результаты страдания-смягчения явления.
16.2.1.4. Эластопластичное силы-смещения отношение
С элементами обсужденными выше отношения между ставками сил и ставками смещения для двух частиц могут быть выведены, что включают эластичное и пластичное поведения, даны

Подробности выражения kij;p можно найти в Чанге и   Хичере [CHA 05].
16.2.2. Силы смещения отношение
16.2.2.1. Микро-макро отношения
Стресса страдания отношения для сборки могут  быть определены из интегрирования поведения всех между-частиц контактов. Во время интеграции процесса отношение требует связки макро и микро изменяемых. Используя статическую гипотезу проложенную Лиао и др. [LIA 97], мы получим  отношения между макро страдания ставкой и между-частиц смещения ставкой
[16.12]
где  – относительного смещения ставка между двумя контакта частицами и ветви вектор lk - вектор соединения  центра двух контакта частиц. Отмечено что контакта частицы включают оба прямой и непрямой контакта соседних частиц связанных с Вороного многоугольником как обсуждено Камбу и др [CAM 00]. Для схода пусть N тотальный номер контактов. Переменные  и lk; определены, относительно, как переменные  и lk связанные с ;th контактом. Фабрики тензор Aik в уравнении [16.12] определен как
[16.13]
Используя оба принципа энергии баланса и уравнения [16.12], значения силы ставка по ;th контакту
[16.15]
В уравнении [16.14] стресса подробность  можно получить контакта силами и ветви векторами для всех контактов (Кристоферсон и др [CHR 81]; Ротенбург и Сельвадурай [ROT 81])
[16.15]
Применяя определенную контакта силу в уровнении [16.14], уровнение [16.15] некондиционно удовлетворено. Из-за его приближения натуры, уровнение [16.14] можно увидеть как среднее решение, в котором  между-частиц сила может быть рассмотрено как значение  переменной для сил по всем контакта плоскостям некоторой ориентации. Для схода  длина ветви может рассмотриваться как значение переменной для всех контакта плоскостей имеющих некоторую ориентацию.
16.2.2.2. Схемы вычисления
Проблема определена следующим.
Изначально мы знаем глобальные переменные (;ij и ;ij) для сборки и локальные изменяемые (f;j и ;;j) для каждого контакта ориентации. Для данной нагрузки подробности, которая может быть стресс контроль, страдания контроль или смешанная мода, 6 вне 12 изменяемых (;ij и ;ij) неизвестны. Цель определить все глобальные изменяемые (;ij и ;ij) и локальные изменяемые (f;j и ;;j) при конце для нагрузки подробности. Для систем с N между-частиц ориентаций число неизвестных 3N для и 3N для . Тотальное число неизвестных 3N+3N+6.
Следующие ограничения должны быть удовлетворены:
-локальные конституционные уравнения, т.е. уравнения [16.11]. Пока три уравнения для каждого контакта плоскости ориентации, тотальное число уравнений 3N, N является тотальным числом между- частиц ориентаций;
- cтатическая гипотеза между глобальным стрессом и локальными силами, т.е. уравнение [16.14]: число уравнений 3N;
-страдания определяются между глобальным страданием и локальным смещением, т.е. уравнение [16.12]. Число уравнений 6 (страдание симметрично);
Тотальное число неизвестных некоторое как тотальное число уравнений. Таким образом уравнение может определится.
Используя уравнение [16.11], [16.12] и [16.14], следующее отношение между стрессом и страданием может получится:
; [16.16]
Суммирование в уравнении [16.16] может переместиться интегралом над ориентациями. Интеграл может вести к закрытой форме решения для эластичного модулюса случайно упакованных равного размера частиц (Чанг и др. [CHA 95]). Обычно в эластичное пластичное поведение из-за нелинейности природы локальных конституционных уравнений, численная калькуляция с итеративным процессом необходима  вынести суммирование в уравнении [16.16]. В порядке облегчения численных калькуляций ориентации отобраны совпадающие с расположениями Гаусса интеграции пунктов в сферической координате. Суммирование над этими ориентациями с Гаусса взвешивания фактором для каждой ориентации ровно определению интеграла над ориентациями. Мы находим что результаты были более аккуратны с использованием набора полно симметричных интеграции пунктов. Из изучения выполнения используя различные числа ориентаций, мы находим  N;74 быть адекватными (Чанг и Хичер [CHA 05]).
Из страдания контролируемого теста уравнение [16.16] не использовано специально при после  пика ранга страдания- смягчения. В этом случае «эластичного предиктор-пластичного корректора» метод адаптирован получить решение. Для смешанной моды нагрузки условия дополнительный процесс распределения небаланса стрессов был необходим (Чанг и Хичер [CHA 05]).
16.2.3. Итоги параметров
Мы можем подытожить материальные параметры как :
-нормализованного контакта число для единицы объёма: Nl3/V;
-значение размера частицы, d;
-между-частицами эластичные константы: kn0, kr0 и n;
-между-частицами трения угол: ;; и m;
-между-частицами укрепления правило: kp0 и ;0;
-критический статус для упаковки: ; и Г или eref и pref.
Кроме для критического статуса параметров все другие параметры – для между-частиц. Страндарт переменные для kp0 и ;0 следующие: kp0=kn0 и ;0 и ;;; типичное отношение kr0/kn0 =0.4 можно в основном допустить [HIC 06]. Тогда только шесть параметров должны быть выведены из экспериментальных результатов и эти могут все определить из стресса-страдания кривых полученных из истощенных сжатия трехосевых тестов.
Как для эффектов частиц размера уровнение [16.4] показывает что между-частиц жёсткость kn0 влияет значения частиц размером. Пока тангенсальная жёсткость kr0 и пластичная жёсткость kp0 прямо относится к kn0, они также частиц размер зависимые. Рассмотривая сборку частиц под внешне примененным стрессом, согласно уровнений [16.3] и [16.4] и используя выражение контакта силы в членах внешнего стресса, между-частиц жёсткость пропорциональна значения частиц размеру (сморти Лиао и др. [LIA 00]):
[16.17]
Хотя магнитуда между-частиц жёсткости зависима от частиц размера, эластичного сдвига модулюс упаковки  от частиц размера не зависит. Это может выводится из факта что сдвига модулюс упаковки пропорционален к  kn/d так ведя к:
  [16.18]
Отметим что неопределенный плотности фактор Nl3/V функция пустоты отношения только. Так сдвига модулюс упаковки от размера частиц не зависит.
16.3. Результаты рассмотрения численной симуляции без рассмотрения сил поверхностной энергии
Серия истощенных трехосевых тестов по прекрасному Хостун Санду выполнены Аль Махмудом [ALM 99]. Градации кривая тестированного песка показана на рисунке 16.2. Значение частиц для прекрасного Хостун песка d=0.5 мм. Это классифицировано как униформы прекрасный песок. Минимум и максимум пустоты отношения для этого песка emin=0.575 и emax=0.943 cоответственно.

Рисунок 16.2. Градации кривая для Хостун песка.
Мы допускаем здесь что поверхности энергии силы могут быть ничтожны под земными условиями. Это допущение будет обсуждаться в следующей секции. Модель нуждается  в малом числе входа параметров таких как значения частиц размер, частиц жесткость, между-частиц трение, инициальный пористости тензор и инициальная степень блокировки. Между-частиц эластичная константа kn0 полагается как 61000 N/мм. Рассмотривая зерен размера распределения кривую, контакта число за объем Nl3/V  равно 2 для плотного песка и 0.9 для свободного песка (Хичер и Чанг [CHA 05]).
Значение kr0/kn0 вообще около 0.4, соотвествующее Пуассона отношению для Хостуна песка ;=0.2 и экспонента n=0.5 (Хичер [HIC 96], Хичер и Чанг, [HIC 06]). Из теста результатов мы можем выводить переменные двух параметров соотвествующих  позиции критического статуса в e-p` плоскости: ;=0.14  и pref=0.01 для eref=1.05. Трения угол ;; был также определен из стресса статуса соответствующего критическому статусу: ;;=34°. Уровнение управляя дилатации ставки требует определение параметра ;0. Переменная ;0 =;; была получена.
Пика функции угол не свойственный параметр, но изменяется с пустоты отношением согласно уравнению [16.10]. Переменная m=1.5 определенная из теста результатов. Переменные kp0 прямо соединены с эластичными свойствами через отношение: kp0=kn. Набор параметров для Хостун песка представлен в таблице 16.1.

Таблица 16.1. Модели параметры для прекрасного Хостуна песка.
Тесты выполненные при различных уточнения давлений  по образцам приготовленным при различных инициальных пустоты отношениях. Типичные результаты представлены на рисунке 16.3. и 16.4, которые показывают трехосевого теста результаты для обоих плотного и свободного образцов сделанных для Хостун песка. Стресса страдания кривые начерчены для плотного песка на рисунке 16.3, свободного песка на рисунке 16.4. Модели выполнение может демонстрироваться сравнением предсказанного и измеренного макро поведения.

Рисунок 16.3. Стресса –страдание кривые для плотного песка.

Рисунок 16.4. Стресса-страдание кривые для свободного песка.
Мы можем видеть комбинированное влияние инициального пустоты отношения и значения эффективных стрессов по стресса- страдания кривым и объемным изменениям. Стресса-страдания кривые достигают пика, который увеличивается с уточненным стрессом. Для расширителя материалов отклоненный стресс уменьшается после пика и сходится к лезвию, навстречу постоянному статусу стресса соответствующего критическому статусу. На практике трудно достичь этот статус из-за страдания локализации, специально в плотных материалах. Критический статус оценивался из результатов по свободному образцу.
16.4. Гранулированный материал с силами поверхностной энергии: пример лунного грунта.
Грунт на Луне сформирован пространственными процессами погоды и динамическими ударами метеоритов, составлена из агрегатов минералов, камней и стекол, сваренных вместе в аглютинаты. Стекло, которое богатое на лунной почве, представлено в форме чёткого, абразивного, отдельных черепков и фрагментов. Лунная субповерхности почва может классифицироваться как сухой илистый песок (Перко и др. [PER 01]). Обычно наблюдения и измерения проводимые во время Сюрвиер (1866-1968), Аполло (1968-1972), и Луна (1959-1976) миссиями указывают что лунная почва имеет необычно высокую когезию в сравнении с некоторыми типами почв под Земными кондициями. Согласно Бузз Алдрин астронавта на Аполло 11 почва по Луне «имеет когезивные свойства что влажный песок будет иметь» (Костес и др. [COS 70]). Стабильная вертикальная траншея выкопана во времы Сюрвиер 7 миссии (рисунок 16,5) демонстрирует красоту и когезивность лунной поверхности.

Рисунок 16.5. Траншея выкопанная Сюрвеем 7 космическим кораблем в лунной подповерхности почве.
Красивые частицы лунной почвы  есть продукт континуального удара по поверхности метеороидами которые ударные и размолотые камни в почве и сваривают почву в новые камни. Мы интересуемся в поведении почв в типичном риголите Луны –поверхности слой который содержит свободный песок и камня фрагменты которые надлежат твёрдого тела каменем. Ранг зерен размера распределения суммируется в почвы градации кривой данной на рисунке 16.6. (Костес и др. [COS 70]) на базе ядра образцов полученных из поверхности слоя Луны (Аполло 11 и 12). Согласно частиц размера распределения лунная поверхность может классифицироваться как илистый песок следуя Единой Почвы Классификации Системы, ASTM стандарта.

Рисунок 16.6. Приблизительный градации ранг для Аполло 11 и 12 почвы ядра образцов.
Наши знания инженерных свойств лунной поверхности в основном выведены из операций выполненных во время Сюрвиер и Аполло программ, включая теста и ядра образцов возвращенных на Землю, траншеи выкопывания, земли проникновения и некоторых простых физических экспериментов (Митчелл [MIT 72]; Скотт [SCO 73]). В лабораторных изучениях найдено что почвы тестируются под палатой с ультравысоким вакуумом и высокой температурой продуцированной при увеличении вверх к 13° в угол внутреннего трения и 1.1. кПа в когезии (Перко и др. [PER 01]). Это увеличение почвы сопротивления содержит со стабильным вертикальным траншеи выкапыванием построенным в сухом илистом песке на Луне. (рисунок 16,5).
Для Земной почвы когезия оригинальна из электростатических сил и поверхности-энергии сил, которые включают Ван дер Вальса силы (межмолекулярная потенциальная энергия). Поверхности –энергии силы действуют на очень коротком ранге. Сравнивая с гравитационными силами  поверхности-энергии силы ничтожны на Земле для почв с частиц размерами больше чем около 0,06 мм. Земно трижды, таким образом, силы ничтожны для песка или илистого песка. Обычно как частиц размеры уменьшаются к размеру глины, поверхности- энергии силы имеют большое влияние на его сопротивление. Эффект поверхности энергии сил на трение и адгезии свойства малых частиц можно найти в литературе о порошковой технологии, частичной технологии и интерфейса науках (Дерягуин [DER 34]; Дерягуин и др. [DER 75]; Джонсон [JON 71]; Молерус [MOL 78]; Тортон и Нинг [THO 98]; Томас [TOM 01], и т.д.).
Из-за различных разностей в окружающих условиях на Луне (такие как гравитационные поля, температуры крайности, низки к практически несуществующему атмосферному давлению, плюс пространства погодность которая  включает  поверхности активации эффект типа UV ультра высокой радиации, солнечного ветра и галактических частиц потоков), кажется вероятно рассмотреть поверхности энергии силы как доминирующий случай для механического поведения лунной почвы с частицами имеющими размер илистого песка с иным. Один из главных выводов, что может адресоваться, – на какой порядок магнитуд поверхности–энергии сил может влиять сопротивление и деформация лунной поверхности.
16.4.1. Силы Ван дер Вальса
Силы поверхностной энергии тянут почвы частицы вместе, таким образом увеличивая сдвига сопротивление почвы. Склеивания силы между двумя твёрдого тела зернами есть результат  в основном из электростатических и Ван дер Ваальсовых сил.  Электростатический компонент в лунной почве полагается быть ничтожным (Перко и др. [PER 01]). Таким что в этой главе поверхности энергии силы вычислены из Ван дер Вальса энергии полей. Некоторые ситуации существуют что можно иначить поверхности свойства и поверхности энергия, такие как монослоев  воды или пассивирование слоев. Для простоты  лунной поверхности зерна представлены сферами равного радиуса что отделены тонкими слоями адсорбированного газа молекул.
Ван дер Вальса силы между двумя телами выведены из дисперсии взаимодействия энергии между двумя идентичными атомами или молекулами (Израелашвили [ISR 92]):
[16.19]
где r дистанция между двумя атомами и C Лондона дисперсии коэффициент.
Затем с допущением аддитивности этих аттрактивных сил взаимодействие энергии молекул расположеных на дистанции D плоской поверхности твёрдого тела сделанного из похожих молекул –сумма его взаимодействий со всеми молекулами в теле:
[16.20]
где ;– число атомов за единицу объема.
Соответствующая Ван дер Вальса сила
[16.21]
Это затем возможно вычислить взаимодействия энергию между двумя твердыми телами таких как для примера две сферы:
[16.22]
D= Дистанция между двумя сферами, R1 и R2 радиус двух сфер, A=;2C;1;2 Хамакера константа, ;1 и ;2 являются числом атомов за единицу объема для двух тел. Для двух плоских поверхностей мы получим взаимодействия энергии за единицу площади:
[16.23]
Ван дер Вальса силы между двумя твердыми  телами в контакте можно затем вычислить из взаимодействия энергии. Мы получим следующие  два случая:
-между двумя сферами:
[16.24]
Уравнения [16.24]– названо Дерягуин аппроксимация (Израилашвили [ISR 92]) В случае двух идентичных сфер уравнение [16.24] становится:
[16.25]
-между двумя плоскими поверхностями за единицу площади:
[16.26]
Давайте теперь рассмотрим два почвы зерна как две идентичные эластичные сферы. Если подвержены внешней силе, две сферы будут деформироваться и создавать плоские круглые контакта площади с радиусом a:
[16.27]
Ep и ;p– Юнга модулюс и Пуассона отношение частиц. Отмечено что для простоты мы рассмотрим только случай эластичного контакта уплощения (уравнение [16.27]). Для случая эластично-пластичного уплощения мы можем отнести к Данекке [DAH 72], Молерус [MOL 78], Торнтон [98], Томас [TOM 01], и др. Под этими упрощенными кондициями Ван дер Вальса силы действовующие на две частицы можно рассмотреть как сумму двух членов,  один из-за взаимодействия между двумя плоскими плоскостями площади S=;a2 и один вдоль оставшейся поверхности двух сфер. Используя Дерягуина аппроксимацию для второго члена мы получим выражение Ван дер Ваальсовых сил между двух частиц:
[16.28]
Хамакера константa A оценивалась быть 4.3*10-20 J для лунного грунта и 1.5*10-20 J для земного кварца песка (Перко и др. [PER 01]).
Толщина молекулы слоя между двумя частицами D высоко зависима от атмосферного давления и композиции. На Луне атмосферное давление близко к нулю, которое может вести к очень тонким слоям молекул между двумя частицами, сравнивая с тем при земной окружающей средой. Тогда согласно уравнения [16.28], резонно ожидать что поверхности энергии силы между частицами более высоки чем те между частицами в земной окржающей среде.
Отмечено что если радиус a контакта площади в уравнении [16.27] увеличивается с уточнением стресса образца, поверхности энергия сила также увеличивается с уточнения стрессом, которое указывает что поверхности энергия сил будет вкладывать к сдвига сопротивлению не только по когезии компонентам но также по трения компонентам.
Ориентация контакта плоскости между двумя частицами определено вектора перпендикуляром к этой плоскости. По каждой контакта плоскости вспомогательно локальная координата может представляться как показано на рисунке 161. Поверхности энергии сила f данная в уравнении [16.28] представляет только силы магнитуду. Его направление нормально к между-частиц контакта плоскости данной ni;. В вектора форме тогда поверхности энергии сила .
Между двумя частицами между частиц сила fi; может разложена на две компоненты: (1) из-за применения нагрузки по границе почвы сборки fi;(A) и (2) из-за поверхности энергии сил между частицами fi;(SE). Так,
fi;= fi;(A)+fi;(SE) [16.29]
Поверхность энергии сила –функция контакта площади, как показанная в уравнении [16.28]. Обычно контакта площадь – в повороте функции между-частиц силы fi; (смотри уравнение [16.27]), так выражение уравнения [16.29] явно и нелинейно в природе.
Из уравнения [16.15] стресс можно разделить на две части:
[16.30]
Вторая часть уравнения [16.30] представляет стресс указанный поверхности энергии силами обозначенными как
[16.31]
Это обозначено что этот член не аналогичен к используемому концепту когезии для теста материала. В представленной модели, поверхности энергии стресс зависит от упаковки структуры и – тензор скорее чем скаляр. Только для изотропичного распределения ветви длины l;, поверхности энергии стресс можно уменьшить к изотропичному тензору.
16.4.2. Трехосевые тесты с рассмотрением сил поверхностной энергии
С целью оценить возможный эффект лунной окружающей среды условий по стресса –страдания отклику почвы,  влияние поверхностной энергии сил для различных значений между частицами расстояний D было испытано. Стресса –страдания кривые предсказали используя некоторые почвы параметры данные в таблице 16.1. Данное введение Ван дер Вальса сил, сдвига сопротивление ожидается быть выше. Рисунок 16.7. показывает влияние дистанции D между частицами на сдвига сопротивление для почвы образцов под 20 кПа уточнением стресса, где q0 представляет сдвига сопротивление для почвы без поверхности энергии сил и q представляет сдвига сопротивление с эффектом этих сил.

Рисунок 16.7. Эффект дистанции между частиц по сдвига сопротивлению.
Отмечено что когда дистанция  D более чем 2 нм, эффект Ван дер Вальса сил практически ничтожен. Эта дистанция D–функция  суммы молекул которые могут адсорбироваться на твёрдого тела поверхности. Адсорбированная толщина может оцениваться значениями потенциальной теории (Адамсон, 1990; Перко и др. 2001). Молекул адсорбция по твёрдого тела поверхностям  кондициирована  температурой, газа давлением и атмосферной композицией. На Земле  адсорбции кондиции легко выполнить из-за присутствия высокого атмосферного давления  Таким образом  дистанция D может легко достичь нескольких нм так что эффект Ван дер Ваальсовых сил ничтожен. Под лунными атмосферными кондициями толщина адсорбированного молекул слоя похожа быть очень тонкой. Для этого случая толщина (D=0.6 нм), сравнения стресса-страдания кривых на Земле и Луне атмосферной окружающей среды даны на рисунке 16.8 для плотной почвы и на рисунке 16.9 для свободной почвы. Допуская что толщина D 0.3-0.6 нм, компьютером сдвига сопротивление для лунных почв  12% -15% выше чем то земной почвы. Жёсткость лунной почвы также выше. Отмечено что эффект Ван дер Вальса сил для примера будет давать результат в увеличении  от 2 до 3 кПа в сдвига сопротивлении, тогда как увеличение 0.5 кПа в сопротивлении - достаточно владеть 1 м траншеи отрезка в лунных гравитационных условиях.

Рисунок 16,8. Предсказанные стресса-страдания кривые для лунной и земной плотности почв.

Рисунок 16.9. Предсказанные стресса-страдания кривые для лунной и земной свободных грунтов.
16.5. Итоги и заключения
В этом исследовании мы ввели поверхности энергии силы между частицами и оценили его эффект на сдвига сопротивление почвы. Микроструктурный подход был предпочтен потому что позволяет нам моделировать взаимодействия на уровне частиц.
В модели простое эластично-пластичное поведение допускалось на каждую контакта плоскость. Эластичная часть на базе Херца Миндлина  контакта формулировки, пока пластичная часть на базе Мура –Куломба трения закона с изотропичным укреплением и не ассоциированным потока правилом. Взаимодействие среди между-частиц плоскостями допускает быть зависимым  по степени блокировки, интерлокинг и пористости сборки почвы. Эффект пористости смоделирован феноменологическим подходом что использует концепты критического статуса так что страдания смягчения поведения можно смоделировать для плотных материалов.  В целом  модель требует  ограниченное число параметров, которые могут легко определиться из конвенкционных, обычных тестов.
Модели емкость репродуцировать основные свойства песка поведения были продемонстрированы. Модели симуляции сравнивались с истощенными трехосевого теста результатами при различных инициальных пустот отношений и различных уточненных стрессах ведущих к ограничителю, контрактанту или расширителю, дилатанту поведению песка образца. Сравнение показывает что модель может репродуцировать главные тренды для обоих свободного и плотности песка.
Модель была затем применена к предсказаниям  сдвига сопротивления лунного грунта. Модели предсказания указывают что грунт под экстремально низким атмосферным давлением имеет увеличение сдвига сопротивления некоторыми кПа выше чем некоторые грунты подсоединенные к атмосферному давлению на Земле. Магнитуды- некоторого порядка как измеренное увеличение сдвига сопротивления для лунного грунта симулянтов тестированных под обычным атмосферным давлением и в ультра высокого вакуума палате. Обычно предсказанное увеличение в сдвига сопротивлении для лунного грунта из-за поверхности энергии сил должно ожидать будущий тест на Луне для дальнейшего применения и калибровки.

16. 6. Библиография




Часть 17. Шкалы длины в Механике Гранулированных Твёрдых Тел
17.1. Введение
Гранулированный материал сдержит плотно упакованные твёрдого тела частицы и очень часто поры заполняющий материал может быть жидким или твердого тела матрицы. Частиц пробка, глушение –общий знаменатель широкого класса материалов. Частицы взаимодействуют на их контакта зонах эластичным отталкиванием, трением, склеиванием и другими поверхностными силами. Контакта сеть котролирует большое расширение  механической интегрированности материала. Природой длин шкалы вовлечены  в контакта взаимодействия хорошо ниже частиц размера. Комплескная реология гранулированного материала возникает из диссипативной природы этих контакта взаимодействий и геометрических  расстройств индуцированных взаимными частиц  исключениями. Эти исключенного –объема эффекты превалируют во время гранулярного потока и результат в большой силе и скорости флуктуаций во времени. Обычно надеясь что представленного объема элемент (ПОЭ RVE) достаточно мал что флуктуации на месте изменяемые полностью усредненные  при шкалах машинного интереса.
Между частиц – относимых шкал численные симуляции и эксперименты  раскрывают больших длин шкалы  в потоке и статистику гранулированных   материалов. Силы цепи звенья- прототипный пример пространственных корреляций и коллективных эффектов вовлекающих много частиц. Обычно еще большие шкалы имеют недавно доказательства исследованиями численно пространственной корреляции в переданном между успешно равновесия статусами и в турбулентных –похожих флуктуациях частиц движений. Связи игра между различными шкалами и их отношение к реологии гранулированных материалов еще плохо понятно.
В этой главе мы обзор дискретного элемента изучений пространственной корреляции в статистике (сил передачи), кинематике (частиц смещений) и динамике (трения сил мобилизации) без когезии гранулярной среды. Более оригинальный материал на базе работы предыдущей опубликовано (1) Раджай, Ру, Джон и Моро в [RAD 96], (2) Раджай, Вольф, Джон и Моро в [RAD 98b], (3) Раджай и Ру в [RAD 02], и (4) Старон, Раджай и Вилотт в [STA 05b].

17.2. Модели описание
Дискретного элемента метод (ДЭМ DEM) был широко использован с пионерской работой Кандалла для симуляций гранулированных материалов [CUN 79]. Частицы трутся как жёсткий элемент но взаимодействия смоделированы значениями вязко-эластичных силы законов выраженных в членах относительных смещений между частицами как в классической молекулярной динамики (МД MD) методе [HER 98]. В некотором способе, Куломба закон для сухого трения нужен быть «регуляризированным» так что трения сила может выражаться  как монопеременная функция раздвижения скорости. Контакта динамики (КД CD) метод, так же описан как «негладкая DEM» метод, проводя альтернативный подход на базе негладкой формулировки взаимного исключения и сухое трение между частицами [MOR 88, MOR 94, MOR 04, JEA 92, JEA 99]. В этом методе уравнения движения выражены как дифференциальные включения и ускорения перемещены скоростью прыжков. При данном времени шаге все кинематические ограничения существенные совершения контактами и возможное катание частиц над одного другим трутся одновременно к определению частиц скоростей и контакта сил. В генерации CD алгоритме итеративный процесс используется решить эту проблему. Содержит решенное одиночного контакта проблему со всеми другими контакта силами хранящими константу, и итеративно современные силы до данной сходимости критерия заполнены [RAD 99a, JOU 98]. Из-за явной времени интеграции схемы свойственной в CD методе, решение непродолжительно стабильно. Частицы позиции современны из вычисленных частиц скоростей до нового определения контактов между частицами, что выполнено.
Схематично, MD метод на базе описания частиц взаимодействий в членах сил законов, т.е. сил-смещения отношений, в пределах СD метода учитывает для кинематических ограничений в членах контакта законов. Эти контакта законы выражают контакта действия  как набор переменных функций частиц позиций и скоростей [SAU 06]. Частицы часто трутся как отлично жёсткие хотя эластичные модули могут вводиться в некоторой рабочей рамке. Это случай для CD симуляций вынесенный для инвестигации доложенной в этой главе. Только материала параметры нормальные и тангенсальные коэффициенты реституции и коэффициент трения ; между частицами. В MD симуляциях контакты часто характеризуются в членах нормальных и тангенсальных жёсткостей kn и kt и коэффициент трения ;. Значение деформации частиц  дано отношением p/kn среднего стресса p к kn. Это отношение хранит  мало сравнимый к значению частицы размера (квази-жёсткого предела). Хотя равновеcие и движение частиц часто перво цель численных симуляций DEM, времени шаг диктуемый малым контакта шкалой. Типично MD симуляции требуют жёсткий репульсивный потенциал и так менее времени шаги спаренные с СD симуляциями.

Рисунок 17.1. Силы cети в 2D гранулярной упаковке. Линия толщины пропорциональна нормальной силе.

17.3. Силы звеньев цепи
17.3.1. Плотности вероятности функции
Выводы  подходящей длины шкал в гранулированных материалах были впервые развиты оптическим наблюдением высоко неоднородного характера стресса передачи в упаковке фотоэластичных частиц [DAN 57]. Высоко сжатые регионы из волокнистого образца описаны как силы звеньев цепи охваченых часто некоторыми диаметрами частиц. Похожие образцы наблюдаются в CD и MD симуляциях некогезивных и когезивных гранулярных упаковок; сморти  рисунок 17.1. Негомогенные силы образцы как-то противоречат высокой степени униформности в плотности из-за близкой упаковки. Это потому что силы переданы только через междучастиц контакты.
Представление жёстких сил цепи значит при некотором времени что большое число слабых сил внутри упаковки. Рисунок 17.2 показывает типично вероятности плотности функцию (pdf) нормальных сил fn в упаковке под квази-статически сдвигом симулированным CD и MD методами. pdfs из обоих симуляций методов  идентичны до малой разницы в ранге слабых сил. Интересно pdf в этом ранге не смывается как сила стремится к нулю. Это английского кофе  свойство хотя точная форма зависит от упаковки статуса [MUE 98, RAD 99b, ERI 02, ANT 01, BLA 01, MUE 02, SIL 02, AZE 07]. Это легко изогнуть вниз как fn;0 в изотропичной упаковке, становится униформным или изгибается до в сдвинутой (анизотропичной) упаковке с ненулевым трением, и это степенной закон в высоко полидисперсном случае или в упаковке многоугольных или многогранных частиц. На другой руке строгие силы характеризуемы близко уменьшающейся экспоненциальной функцией . Мы нашли ;;1.4 в слабо полидисперсной  упаковке сферы но уменьшение с полидисперсностью и для многогранной форме.

Рисунок 17.2. Вероятности плотности функция нормальных сил fn нормализированных значениями сил ‹fn›(f=fn/‹fn›) в упаковке около 4000 круглых частиц в квазистатическом сдвиге симулированных CD и MD методами.
Границы распределение нормальных и тангенсальных сил, на одной руке, и разность в статистике слабых и сильных сил, на другой руке, содержат  видимое впечатление сил звеньев цепи. Силы магнитуды свыше дву кратного значения имеют неничтожную вероятность проявления, и они выставлены  как твёрдого тела скелет в океане слабых сил. Это впечатление укреплено в случае сдвинутых материалов пока сильные силы ориентированы вдоль принципиального стресса направления в пределах слабых сил владеющих только слабой анизотропией.
17.3.2. Бимодальный характер передачи стресса
Роль контактных сил в стресса передачи проанализирована рассмотрением выражения стресса тензора ; в членах «фабрики» и силы распределения [CHR 81, CAM 93, BAG 99, MOR 97, GOL 02]:
;;;=nc‹f;l;›,
где nc число плотности контактов, f; – ; компонент силы контакта и l; – ; компонент «ветви» вектора присоединения центров двух партнёров контакта. Среднее ‹…› пробеги над контактом удлиняя к контрольному объему. Уравнение [17.1] позволяет для дополнительной композиции стресса в гранулярной среде. В частности значениями этого разложения мы находим что слабые силы, т.е. силы ниже значения, в слабо полидисперсной упаковке, составляют около 60% контактов, и  их вклад в сдвига стресс ничтожен [RAD 98b]. Отсюда целый сдвига стресс в сдинутом гранулярном материале перенесен жёсткими сил звеньями.
В этом пути стресса тензор можно расколоть в два вклада:
;=p;I+;s, [17.2]
где p; (изотропичное) давление в слабой фазе, I cтановится для идентичности тензора и ;s представляет стресса тензор несущий только строгую фазу. Наши симуляции показывают что в слабо полидисперсных упаковках p;;0.3p, где p значение стресса [RAD 98a]. Эти наблюдения предложат что силы звеньев в макроскопически гомогенной гранулированной системе можно индентифицировать с жёсткой силой сети составляя более 40% контактов, неся 70% тотального давления, и неся целый сдвига стресс.
Эти бимодальные структуры в силы сети есть фундаментальный факт как  соответствующим длин шкалам для статистики гранулированных сред. В первом случае пока сдвига стресс- средний вовлекая только жёсткие силы, стресса статус в объеме элемента  не хорошо определенный если жёсткие силы статистически хорошо представлены. Соответствующие длины шкалы так определенно больше чем частиц размер как пропорция жёстких сил ниже 40% и эти силы коррелируют; смотри рисунок 17.3. Более того, допуская экспоненциальный cпад в числе жёстких сил, вклад больших сил в плитки распределения к стрессу cнижается медленно (пропорционально fe-;f с f=fn/‹fn›). Переменная экспоненты относится к длине силы цепи. Фактически, для низких переменных ;, вероятность больших сил как спаренная со значениями сил увеличится и отсюда длиннее цепи могут сформироваться. В симуляциях мы наблюдаем что образец к-образцу флуктуации стресса для данного набора частиц и в хорошо –определенном механическом статусе (базово «критический» статус достигнут  после успешно долго монотонного сдвига) может быть ничтожен когда силы магнитудой ниже 5 кратного значения силы хорошо представлены. Это достигнуто (для слабо полидисперсных систем) в объеме элемента содержа по крайней мере 10D частиц, где D пространства размерность. Должно быть отмечено что сила негомогенностей увеличиваются в присутствии жёстких стен. Когда частицы погружены в бокс требуемое число частиц для макроскопически гомогенного стресса статуса возрастает типично из ;10D до ;20D.
Роль плитки силы распределений и требуемая статическая точность зависит от природы макроскопического явления рассмотренного. Как утверждалось ранее для стресса статуса линейный размер близко 10 частиц диаметров кажется подходящим. Для примера в численных симуляциях сдвига сопротивление часто хорошо определено для 2D систем сложенных из 100 дисков (увеличивая до ;500 частиц в настоящей стене). Для реологии, вовлекая частицы смещения и трения мобилизации, соответствующая длины шкала гораздо большая, как мы  будем видеть ниже. В некоторой манере в когезивном гранулярном материале растяжения сопротивление диктуется высочайшим уровнем растяжения сил скорее чем значения сил, и конечного размера эффекты важны [YOU 05, RIC 06, RIC 07]. Экспериментальный спад также наблюдается в когезивной гранулярной упаковке для сжатия и растяжения строгих сил. Как в молекулярном твёрдом теле эффективное растяжения сопротивление генерально гораздо ниже «теоретического сопротивления» на базе значения стресса (значение стресса само дано p=nc‹l›‹fn›).

Рисунок 17.3. Жёсткая (в черном) и слабая (в сером) силы в сдвига упаковке. Линии толщина пропорциональна к нормальной силе.
17.3.3. Пространственные корреляции
Замечено что число 10 частиц –так или иначе «магическое число» гранулированных материалов как это соответствует примерной ширине сдвига полос и корреляции длины сил [BAR 92, POL 94, SHE 97, NOI 98, HOW 99, SIL 02]. Рисунок 17.4 отображает радиальное корреляции функции K(r) нормальных сил в 2D упаковке слабо полидисперсных дисков (фактор 2 между большим и меньшим диаметрами). Пики отражают локальный порядок частиц и мы видим что корреляции упорствуют, преследуют так далеко как 10 кратное значение частиц диаметра d даже более, что это только среднее над всеми направлениями. Действующие длины вовлеченные в сеть силы звеньев цепи, как показано на рисунке 17.3., очевидно больше.
Корреляция длины в когезивной гранулярной среде более убедительно определены рассмотрением частиц вовлеченных в позитивные или негативные (растяжения) давления кластеры [RIC 07]. Для примера в случае сферических частиц выигранных капиллярными мостами, показано что растяжения действие выигрышей индуцирует само-стресса частицу сети которая организована в двух варке в кофеварке фазах позитивной и негативной частиц давлений. Различные статистические описания микроструктуры и выигрыша силы сети раскрывают что высочайшее частиц давление  расположено в тесте каждой фазы, и нижайший давления уровень происходит при интерфейсе между двух фаз, также вовлекает большую связь частиц через растяжения и сжатия выигрыши. Само-стрессный кластер действителен при происхождении агрегатов которые наблюдаются  в сдвиге потока когезивного гранулярного материала с размером что может быть таким большим как размер упаковки зависящий от сдвига ставки.


Рисунок 17.4. Пар корреляции функция нормальных сил в 2 D упаковке. Дистанция нормализирована значениями частиц диаметра d.
17.4.Смещения флуктуаций частиц
17.4.1. Униформы страдание и флуктуации
Мы рассматриваем здесь частиц смещения в медленном 2D гранулированном потоке. Смещения перегиб теряет стабильность частиц в равновесия статусе результирующем в переходе к новому равновесия статусу.  Отсюда смещения интимно коррелируют с силы флуктуациями в раз [BRA 05, TAB 05]. Как в случае сил цепи, макроскопическая гомогенность сдвига будет уверяться в порядке извлекать полнозначную статистику для встроенных флуктуаций. В симуляции это достигнуто значениями периодических границ кондиций [RAD 02, RAD 04]. Смещения поле обычно не периодично если значение страдания ненуль. В плоскости сдвига  содержится аффинная часть ;ri;(;rix,;riy), где i частиц этикетка, в дополнении к периодической флуктуации полю ;si;(;six,;siy) нуля значения (‹;s›=0). Физический механизм подлежа флуктуации поля ;si неcоответствует униформы страдания поля с взаимным исключением частиц. Как результат локальное страдание отклоняется от значения (дальнего-поля) страдания.
В симуляциях с би-периодическими границ кондициями частицы можно водить изложением аффинной компоненты ;rix =;t;riy, где ; константы сдвига ставка и ;t времени шаг [RAD 02]. Другими словами  Фурье мода k=0 тотального страдания изложена, соответствующая большой шкалы силам. Наш фокус здесь на флуктуации компоненты (;six,;siy) в устойчивый статус где‹ ;ryi›;0.
Пока мы интересуемся во времени шкалах среди эластичного отклика времени, частиц скорости будут оценены из частиц смещений. Мы рассматриваем здесь периодическую часть скорости поля и мы определяем флуктуации скоростей как функцию интеграции времени ;
[17.3]
В устойчивом потоке статистические свойства v независят t хотя они чрезвычайно зависят от ;. Хотя динамические симуляции вертят физическое время,  инерциальные эффекты ничтожны и контакта сети оборачивают квазистатически при времени шкалах ниже ;-1. Мы нормализуем все времена ;-1 так что неопределенное время t представляет кумулятивного сдвига страдание. Мы так же используем значения частицы диаметром d к шкале смещений. Как результат скорости  будут шкалить ;d и мощность спектра в пространстве (d2;)2.
Рисунок 17.5 отображает cнимок флуктуации скоростей vi для короткого времени интервала ;=10-5 в симуляциях MD метода. Мы наблюдаем большой шкалы хорошо организованные смещения сосуществующие со строго негомогенным распределением маплитуд и направлений различных шкал. Конвекции катки появляются совсем  часто, но они выживают типично для страданий ; менее чем 10-3. После такого короткого времени большой шкалы катки ломают и новые статистически некоррелированные структуры появляются. Это поведение так радикально различно из турбулентности водоворотов которые выживают долго достаточно подвергать значительные искажения из-за жидкого движения.
17.4.2. Шкалы зависимые pdfs
Интересный вывод как скорости pdfs зависят от времени разрешения ;. В жидкости турбулентности явление перебоя, т.е. жёсткой локализации энергия переносит на малую шкалу, ведет к границе экспоненциальных плиток pdfs скорости разностей при увеличенно меньших шкалах. pdfs показаны на рисунке 17.6 для малой интеграции времени и для большей интеграции времени. Мы видим что pdfs имеет заряд из близко Гаусиана формы при большом ; к не Гаусиана форме с широко разрезаными экспоненты плитками расширено близко к центру распределения при малом ;.

Рисунок 17.5. Снимок частиц смещений ;si с отношением к значению фона потока.

Рисунок 17.6. pdfs ;-компоненты флуктуации скоростей для двух различных времен разрешений: 10-3 (границы кривая) и 10-1 (стрелки кривая). Последняя заполняет Гаусианом.

Рисунок 17.7. Средняя мощность спектра x и y компонент флуктуаций скоростей поля с ;=10-7 для 1D пересечения, крест секций вдоль значения потока.
Эти неГаусиана границы pdfs как функции ; отражены в переменной уплощения F=‹v4y›/‹v2y›-3 которое нуль для Гаусиана распределения и 3 для чисто экспоненциального распределения. Наши данные содержат с F=0 при большом ; (;>10-1) и F=5 для нашего точного времени разрешения (;=10-7). Похожее поведение наблюдается для компонент vx. Переход навстречу Гаусиана распределению для больших времени интервалов – знак частичной потери корреляции и /или истощения больших флуктуаций [RAD 02].
17.4.3. Пространственные корреляции
Расширение пространственных корреляций может быть оценено рассмотрением мощности спектра E флуктуации скорости вдоль и перпендикулярно потоку. Средний спектр 1D крест-секций сдвинутой упавковки показан на рисунке 17.7. Фурье преобразование выполнено над флуктуациями скорости поля определенным на точной сети интерполяцией скоростей из центров частиц. Мощный спектр совершенно похож вдоль и перпендикулярно потоку и для различных снимков потока . Они имеют чисто степенной закон формы k-; порядка из малейшего волны числа k=d/L, соответcтвующего системе размеру L, до отреза около k=0.5, соответствующего  близко двум частиц диаметрам. Экспонента ;;1.24;5/4 над близко одной декадой. Эти значения что флуктуации скорости поля само-аффинны с Хурста экспонентой H=(;-1)/2=0.12 [RAD 02].
«Интенсивность» скорости флуктуаций, определеные как отношение корня значения квадрата смещения к конвективному смещению частицы, - около 2%. Эта сумма смещения обычно достаточна модифицировать кинематику в близости частиц, локальная информация что имеет крайне важную последовательность для нашего описания фабричной эволюции и пластического объема изменения в гранулярной среде. 
17.4.4. Грануленс Зернистость
Переход скорости pdfs из протянутой, разрезанной экспоненциальной к Гауссиану как времени интервал увеличивается и степенного закона спектр поля скорости, так хорошо как супердиффузии характер движения частиц (не показан здесь), имеют отмеченную аналогию со шкалы свойствами жидкости турбулентности [RAD 02]. Турбулентности изучения фокусируются в основном на скорости разностях ;v измеренных при фиксированной точке жидкости над времени интервалом ; или между двумя точками отделенными дистанцией r. Это в контраст с гранулярным потоком который вовлекает дискретное смещения поле что несет  индивидуальными частицами. До  этой разницы в рабочей рамке шкал свойства обсужденные выше общие турбулентными жидкости потоками. Степенной закон шкалы k-; для спектра скорости разностей – признак 3D турбулентности с ;;5/3 (быть спаренным с ;;5/4  в наших гранулярных потоках).
Наблюдаемая аналогия между гранулированной скорости флуктуациями и жидкости турбуленса в членах шкалы характеристик совершенствует кинематические флуктуации в квазистатическом гранулированном потоке к уровню систематической феноменологии, которая может быть выдуманной термином «грануленс» к спаренной с «турбуленс» в динамике жидкости!
Интересно эта аналогия работает с 3D турбулентностью даже наши данные варят 2D гранулярный поток. Энергии каскад в турбулентности управляет инерцией, 2D и 3D системы делают разницу значительно в этом отношении. В квазистатическом гранулярном потоке флуктуации скорости поле-  последовательность геометрической совместимости страдания с частиц распорядком, и диссипация  в основном управляется трением при частиц шкале. Разница между 2D и 3D системами может быть так менее громадной.
Флуктуации скорости и их шкал поведение важно для моделирования пластического поведения гранулированного материала из частиц шкалы рассмотрения. Самоафинная природа гранулированного материала из частиц смещения полей значит что униформы страдание в гранулированных потоках приспособлена через корреляции при всех шкалах. Важно отметить что это поведение не означает что скорости корреляции расширены к бесконечности под произвольными границ кондициями. Наблюдаемые шкал характеристики последовательность униформы сдвига. Интересная последовательность что униформы страдание легко нарушено как результат деталей уточненной кондиции или симметрию ломающего агента такого как теста сила. Другими словами нарушение длинного радиуса корреляции ведет к неуниформному поведению. Это может быть происхождение хорошо известных свойств гранулированного материала локализовать страдания спонтанно.
17.5. Трения мобилизация
17.5.1. Критические контакты
Мы теперь рассмотрим трения мобилизацию, которая играет роль в переходе гранулированного материала от статического статуса к потоку. Контакта трение между частиц описано Куломба законом. Относительное касание между частиц в контакте может происходить только когда трения сила полностью мобилизирована, т.е. ft=±;fn, где ft и fn относительно тангенсальная и нормальная силы при контакте и ; контакта трения коэффициент. Обратное не верно, т.е. трения сила  может быть полностью мобилизирована без касания. Мы относим критические контакты к контактам где трение  полностью мобилизует.
Равновесия статус может характеризоваться согласно фракции ; критического контакта [STA 05b]. При начинающемся отказе для примера в пике наклона при угле близко к углу переложа, отдыха ;c, мы ожидаем большую переменную ; чем при низком угле ;<;с. Под продолжительной нагрузкой, например во время медленного и продолжительного наклона гранулярной постели, критические контакты не могут выдержать сдвига силу деталей и ведет событийно к касанию.
17.5.2. Эволюция критических контактов
Рисунок 17.8. (а) показывает эволюцию ; в 2D гранулированной постели как функцию угла наклона ; симулированного CD методом [STA05b]. Гранулярный образец приготовлен случайной депозицией в прямоугольном боксе с близко плоской поверхностью, толщины 30d и ширины 120d. Когда среднее эволюции ; над много независимыми реализациями (вставка в рисунок 17.8(а)), мы наблюдаем регулярное увеличение ; из интиал переменной ;=0 к максимуму переменной ;;0.08 к максимуму угла отдыха ;с. Это указывает что частичная пластификация происходит хорошо до стабильности предела пики, сваи. Так перенос обычно характеризует быстрыми флуктуациями ;. Они знак перебоя нестабильности во время которого потеря критического контакта происходит через локальные динамические перестановки, как можно показать в флуктуациях значения кинетической энергии на рисунке 17.8(b). Отсюда даже если плотность критических контактов увеличится в среднем, популяция критических контактов обновляется этими перебоями нестабильности и критические контакты имеют короткое время жизни.


Рисунок 17,8. Эволюция пропорции ; критических контактов (a), тотальной кинетической энергии Ek(b) и максимума пропорция ;max критических контактов над 15 различными реализациями (c) как функция угла наклона гранулированной постели.

Рисунок 17.9. Эволюция значения размера rc кластеров критических контактов как функция угла наклона и логарифмических шкал с ;с;20;. Экспонента степенного закона поведения указывает линией -0.5.
Во время перебоя эволюции система может исследовать крайний ;– статус как показано на рисунке 17.8(a). Когда усредняя над малым ; размером окон экстремальные статусы при каждом ; и для всех независимых реализаций, их эволюция показывает хорошо определенные пределы конверта как показано на рисунке 17.8(с). Показаны грубо экспоненциальные сходимости навстречу асимптотическим пределам характеризуемым критическим статусом ;с;0.08, соотвествующему к стабильности пределу.
17.5.3. Пространственные корреляции
Пространственная корреляция критического статуса может характеризоваться рассмотрением пропорций критических контактов в циркулярной пробе радиуса r центрированной на критическом статусе [STA 05b]. Мы определяем rc как значения размер кластеров критических контактов характеризуемых статусом ;=;с. Эволюция rc(;), показана на рисунке 17.9,  показывает медленное увеличение от 2d до 4d так долго как ;;15 градусов. Для больших ; размера увеличение со степенным законом расхождения ;(;с-;)-;. Критический контакт так имеет тенденцию быть организованным как кластеры увеличения размера что событийно дестабилизирует гранулированную постель когда их размер позволяет им вскипятить через упаковку. Рисунок 17.10 показывает два снимка  критических контактов для двух углов ниже и выше ;=15;. Дальнейший анализ  показывает что критические кластеры совпадают с областями слабого давления [STA 05a]. Критические контакты происходят внутри слабых сил сети [RAD 98b, STA 05a]. Локальный перепорядок вовлекает малую длины шкалу соответствующую размеру критических кластеров. При начинающемся отказе кластеры растут и становятся больше достаточно чтобы дестабилизировать строгие контакта сети и иницировать отказ. До отказа гранулярный материал может так найден в метастабильном статусе с долгого порядка корреляциями в трения мобилизации.


Рисунок 17.10. Плотности критические контакты в гранулярной постели при ;=5; (верх) и ;=16; (дно). Площади с ;;;с в черном в пределах площадей с ;=0 в белом. Перебоя переменные ; представлены в сером.
17.6. Заключение
Мы проанализировали корреляции и длины шкал происходящих на трех различных статусах гранулированных материалов: статистика, квазистатистики поток и переход из статистического равновесия к потоку фокусированием на силе звеньев цепей, флуктуации скоростей и фрикции мобилизации, соответственно. В статистике так далеко как сдвига сопротивление сварено, силы цепи можно базово описать при шкале  нескольких частиц диаметра. Гомогенный сдвиг поток вовлекает само- аффинные распределения флуктуации частиц смещений. Перенос вовлекает метастабильный статус в котором  размер критического кластера растет и отклоняется в отказе.
Наш результат поддерживает что реология гранулированного материала не контролируется одиночной длины шкалой. Как в жидкой турбулентности статистический подход кажется необходим описать пластический поток в гранулированной среде [ROU 01]. Это также важно отметить что хотя жёсткая сила цепи владеет сдвига стрессом, высокая мобильность слабой фазы играет важную роль в эволюции гранулированного материала навстречу к нестабильности. Двух-фаз описание так кажется  быть обещающим подходом к гранулированной пластичности со специфичностью  что пластичная диссипация (из-за трения) и сдвига стресс не расположен в некотором фазе, и они должны тогда быть проанализированы при различных шкалах. Больше исследований требуется подробно осветить взаимодействие между этими длинами фаз.
 
17.7 Благодарности
Автор благодарит сотрудничества вклад С. Руа в силу звеньев цепи и частиц смещения полей, также как Л. Старон и Дж.-П. Виллот по фрикции, трения мобилизации.
17.8. Библиография




Лист авторов




Индекс