Statistical physics approach to understanding пере

STATISTICAL PHYSICS APPROACH TO UNDERSTANDING
THE MULTISCALE DYNAMICS OF EARTHQUAKE
FAULT SYSTEMS
John B. Rundle,1,2,3,4,5 Donald L. Turcotte,4 Robert Shcherbakov,1,2 William Klein,6,7 and Charles Sammis8
Received 28 April 2003; revised 21 July 2003; accepted 6 August 2003; published 18 December 2003.
1Center for Computational Science and Engineering, University
of California, Davis, California, USA.
2Department of Physics, University of California, Davis,
California, USA.
3Department of Civil and Environmental Engineering, University
of California, Davis, California, USA.
4Department of Geology, University of California, Davis,
California, USA.
5Earth and Space Sciences Division, Jet Propulsion Laboratory,
Pasadena, California, USA.
6Department of Physics, Boston University, Boston, Massachusetts,
USA.
7Temporarily at Los Alamos National Laboratory, Los
Alamos, New Mexico, USA.
8Department of Geology and Geophysics, University of
Southern California, Los Angeles, California, USA.

Copyright 2003 by the American Geophysical Union. Reviews of Geophysics, 41, 4 / 1019 2003
8755-1209/03/2003RG000135$15.00 doi:10.1029/2003RG000135
 Rundle et al.: STATISTICAL PHYSICS OF EARTHQUAKES 41, 4 / REVIEWS OF GEOPHYSICS

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПОДХОД К ПОНИМАНИЮ МНОГОШКАЛЬНОЙ  ДИНАМИКИ СИСТЕМ РАЗЛОМА ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ 
Джон Б. Рандл, 1,2,3,4,5 Дональд Л. Теркотт, 4 Роберт Щербаков, 1,2 Уильям Кляйн, 6,7 и Чарльз Саммис 8
Поступила в редакцию 28 апреля 2003 года; после доработки 21 июля 2003 года; принято 6 августа 2003, опубликовано 18 декабря 2003 года. Дебаты по прогнозирования землетрясений, http://www.nature. COM / природа / дебаты / землетрясения /, 1999, далее Природа как дебаты, 1999).

1Center вычислительных наук и инженерии, Университет Калифорнии в Дэвисе, Калифорния, США.
2Отдел физики, Университет Калифорнии, Дэвис, Калифорния, США. 3Department гражданской и экологической инженерии, Университет Калифорнии в Дэвисе, Калифорния, США.
4Department геологии, Университет Калифорнии, Дэвис, Калифорния, США. 5Earth и космических наук, Лаборатория реактивного движения, Пасадена, штат Калифорния, США.
6Department физики Бостонского университета, Бостон, Массачусетс, США. 7Temporarily в Лос-Аламосской национальной лаборатории в Лос- Аламосе, Нью-Мексико, США.
8Department геологии и геофизики, Университет Южной Калифорнии, Лос-Анджелес, Калифорния, США. Copyright 2003 году Американского геофизического союза.Отзывы геофизики, 41, 4 / 1019 2003 8755-1209/03/2003RG000135 $ 15,00 DOI: 10.1029/2003RG000135


[1] Землетрясения и разломы, на которых они происходят взаимодействуют в широком диапазоне пространственных и временных шкал. Кроме того, многие аспекты региональной сейсмичности появляются стать стохастическими как в пространстве и времени. Однако, включая эту сложность, существует значительная самоорганизация. Мы считаем, что возникновение землетрясений - проблема, которая может быть изучена используя основы статистической физики. Концепции статистической физики связаны с фазовыми изменениями и критические точки были успешно применены в различных клеточных автоматов моделях. Примеры включают песчаной сваи, лесных пожаров, и, в частности, слайдер блока модели. Эти модели демонстрируют поведение лавины очень похожие на наблюдаемую сейсмичность. Основной вопрос, изменения сейсмичности, могут ли быть успешно использованы для прогноза возникновения землетрясений. Несколько попыток были сделаны для использования предвестников сейсмической активизации и покоя, чтобы сделать прогнозы землетрясений, некоторые из которых показывают обещание.

 ИНДЕКС УСЛОВИЯ: 3220 математической геофизики СО РАН: Нелинейная динамика, 3210 математической геофизики: моделирование; 3250 математической геофизики: Фракталы и мультифракталов; 7209 сейсмологии: Землетрясение динамики и механики; 7260 сейсмологии: теория и моделирования, ключевые слова: землетрясения, критических явлений, самоорганизации, прогнозирование Образец цитирования: Рандл, Дж. Б., Д.Л. Теркотт, Р. Щербаков, В. Клейн, и С. Саммис, Статистической физики подход к пониманию многомасштабной динамики систем разлома землетрясения, Обзор физики., 41 (4), 1019, DOI: 10.1029/2003RG000135, 2003.

1. ВВЕДЕНИЕ: ПРОБЛЕМА ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ
[2] Землетрясения имеют большое научное, социальное и экономическое значение. В течение первых 2 месяцев 2001 года 13 января силой 7,6 в Эль Сальвадоре землетрясение, 26 января величины 7,9 в Гуджарате, Индия, землетрясение, и 28 февраля величины 6,8 Сиэтле, Вашингтон, США, землетрясение, убившие тысячи людей и причинившие миллиарды долларов потерь в имуществе. 16 января 1995 в Кобе, Япония, произошло землетрясение всего величиной 6,9 , и   нанёсшее около 200 миллиардов долларов потерь. Подобные сценарии возможны в любое  время в Лос-Анджелесе, Сан-Франциско, Сиэтл, и других американских городах вдоль границы Тихоокеанской плиты. Величина потенциальной потери жизни и собственности настолько велика, что надежным прогнозированием землетрясений стала долгожданной целью. Многие миллионы долларов и многие тысячи лет работы были проведены в наблюдательных программах, ища надежных предвестников явления. [3]
Возможные предвестников явления включают в себя изменения в сейсмичности, изменения в сейсмических скоростях, наклона и деформации прекурсоров, электромагнитные сигналы, гидрологические явления, и химические выбросы [Теркотт , 1991; Шольц, 2002]. Несколько успехов  были доложены, но на сегодняшний день, нет предвестников для большого землетрясения  обнаруженения, что обеспечит надежные прогнозы (природа дебаты, Дебаты по прогнозированию землетрясений, http://www.nature.com/nature/debates/earthquake/, 1999, далее ссылка Nature Debates, 1999).
[4] С точки зрения сбора данных несколько основных подходов в настоящее время подчеркнуто. Они включают (1) сейсмогенные наблюдения исторических землетрясений, чье появление и места сохранились в зачете поверхностных отложений; (2) модели сейсмичности (происхождение, время, место, и величины землетрясений); (3) подлицо деформации, измеренной с помощью Глобальной системы позиционирования (GPS) сети, таких как Южной Калифорнии Встроенной GPS-сети (доступны на http://www.scign.org ) и Bay Area региональной Деформации сети (Южная Калифорния Сейсмографические сети ЮКСС (SCSN) каталог, доступных из Южной Калифорнии землетрясения Центра (ЮКЗЦ  SCEC) центра обработки данных, Университета Южной Калифорнии, Лос-Анджелес, и Nature Debates, 1999); и (4)  синтетической апертуры радар интерферометрии (САРИ InSAR) наблюдающий смещения поверхности. Наблюдения эти типов данных также планируются как часть национальной Научного фонда Earthscope инициативы (см. http://www.earthscope.org ). В самом деле, границы пластины обсерватории (ГПО PBO) планирует разместить более тысячи GPS, деформации измеритель, и датчики деформации вдоль активной границе плато западного побережья Соединенных Штатов, Мексики и Канады в конечной стоимости превышает 100 млн. долл. США (Nature Debates, 1999).
[5] Это чисто очень высокий приоритет для использования этого богатства новых данных, чтобы лучше понять основы появления землетрясений. Это понимание может улучшить некоторые аспекты сейсмической опасности: (1) оценки риска, определения вероятности наступления землетрясения указанной величины указанного района в течение определенного времени, и (2) предпосылки (предсказание) землетрясений,  поиск моделей поведения, которое может обеспечить статистически приемлемый прогнозы будущих сильных землетрясений. Есть два серьезных ограничения на чисто наблюдений подход к проблемам понимания физики землетрясений и прогнозирования землетрясений: (1) принципиально ненаблюдаемая динамика и (2) широкий спектр пространства и сроки.
1.1. Ненаблюдаемая динамика
[6] Разломы землетрясения происходят в топологически сложных, многомасштабных сетях или системах, которые приводят к разрушениям под воздействием внешних сил, возникающих из тектонических плит движений [Turcotte, 1997; Ben-Zion and Sammis, 2003]. Основная проблема в том, что детали истинной пространства-времени, сил-смещений динамики ненаблюдаемы, в общем, за исключением нескольких отдельных мест, таких как глубокие скважины (Earthscope, Национальный научный фонд Earthscope Инициатива и ПБО, www.earthscope.org/, 2002) или в очень сыром, усредненном по времени смысле, таком как Всемирная Карта стресса [Zoback, 1992]. Для того чтобы полностью определить проблему, истинная динамика должны быть наблюдаемой на всем пространстве и во все времена. В системах поломок эта ненаблюдаемая динамика, как правило, закодирована [Stein, 1999] во временной эволюции функции отказа Колумба CFF (х, t):
 , (1)
где  ;(x,t) - напряжение сдвига в точке х и времени t, ;s - коэффициент трения покоя, и ;N(x,t) - нормальное напряжение. Однако, пространства-времени модели, связанные с временем, местом, и величиной внезапных событий (землетрясения) наблюдаются,  приводящие к сосредоточению для понимания их наблюдаемой, многомасштабной, очевидной динамики [Ball, 1999; Eneva and Ben-Zion, 1997a, 1997b; Fukunaga, 1990; Giering and Kaminski, 1998; Holmes et al., 1996; Lermusiaux and Robinson, 1999; Miller et al., 1999; Molchan and Kagan, 1992; Mora, 1999; Matsu`ura et al., 2001; Nijhout et al., 1997; Preisendorfer and Mobley, 1988; Rundle et al., 1999, 2000b, 2000c, 2000d, 2001, 2002; Tiampo et al., 2000, 2002b].
1.2. Диапазон масштабов
[7] Вторая проблема, не менее серьезна, в том, что нелинейная динамика землетрясения сильно связана через широкий спектр пространства и сроки, которые значительно больше, чем "человеческие" размеры [Anghel et al., 2003; Bufe and Varnes, 1993; Main, 1996; Mora, 1999; Rundle et al., 1999, 2002; Scholz, 2002; Turcotte, 1997]. Важные пространственные величины от микроскопического масштаба (1 мкм до 1 см), связанные с трением, к тектонической плиты границы шкалы (103-104 км), связанные с движущей силой. Эти шкалы приведены в Таблице 1 вместе с соответствующей физикой, вход из меньших масштабах, выход на более крупные масштабы, и соответствующих вычислительных методы. Важные временные масштабы ранга от секунд (В процессе динамического разрыва) до 103-104 лет (повтор случаев для землетрясений) на 107-108 лет (эволюция границы плиты).
[8] Исследования должны быть направлены на понимание происхождения и реализации пространства-времени корреляции и динамических моделей в этих фундаментальных многомасштабных явлениях. Мы ожидаем, что вычислительный подход в связи с проблемой землетрясения будет производить новые модели и пояснение наблюдений, таких как GPS и InSAR, более чем крупномасштабные вычислительные подходы должны дать существенное и длительное воздействие в других областях науки, где лежащие в основе явления занимают значительные диапазоны в пространственных и временных масштабах. Хотя все шкалы имеют важное значение, мы уделим больше внимания на сети неисправности и масштабу системы, так как эта шкала большинства наблюдаемых данных сетей.
[9] В этой статье мы обсудим, как статистической физики подход к пониманию землетрясений может приводить к статистически значимым прогнозам землетрясений. Мы сначала обсудим различные статистически надежных мер появлений землетрясений. Затем мы введем множество подходов к отказу материала, которые могут привести к лучшему пониманию появлению землетрясений. Мы затем обсудим, как основы статистической физики могут быть применены к моделям, которые имеют отношение к возникновению землетрясений, и, наконец, мы рассмотрим прогнозирования методы, вытекающие из статистических методов физики, которые показывают перспективы для прогнозирования землетрясений. Научно-исследовательские разработки в течение последнего десятилетия обеспечивают существенную поддержку идее, что новые, системного уровня подходы к численному моделированию систем землетрясения разломов, вместе с новыми идеями от фундаментальных подходов к многомерным нелинейным системам, возникающим из статистической физики, обеспечат успешные и критически важные новые пути исследования. Расширенные программы численного моделирования могут быть использованы либо в развитие ансамбля и других методах прогнозирования или как численная лаборатория, в которой строгая гипотеза может быть поставлена, оцениваться и испытываться [Rundle et al., 2000d, 2001; Solid Earth Research Virtual Observatory Grid, http://www.servogrid.org/, 2002; Asia Pacific Economic Cooperation for Earthquake Simulations, http://quakes.earth.uq.edu.au/ACES/, 2002].
ТАБЛИЦА 1. Режимы мастабирования землетрясений
Пространственный масштаб Физика  Входной из Нижней шкалы Выход на верхней шкале Вычислительные Методы
Размер зерна 1 мкм до 1 см
контактные взаимодействия, плоские отказы, упругие стены сплоченный потенциал через зерна
 эффективная вязкость, LG эффективные константы
МД, ЧД
Неисправность  в зоне 1 см до 100 м
Сжиженный обман  вязкости, упругие стенки и взаимодействия, сильные корреляции
эффективной вязкостиь LG эффективные константы
эффективные законы трения, например, скорость и состояние, листок-скольжения, вытекающей стресс, упругие постоянные, эффективные константы LG
FD, PD, FEM, CA, BEM, инерционные решатели
Неисправность групп100 м до 10км
шелуха-зернистые плоские неисправности, эффективное трение, сильные корреляции
эффективные законы трения, например, скорость и состояние, листок-скольжения, вытекающей стресс, эффективные упругие константы, эффективные LG константы
эффективные модули упругости, эффективного трения свойства (;s, ;cl, ;),эффективные константы LG
CA, BEM, МКЭ, квазистатические решатели
Неисправности сети и системы 10-1000 км
сложная топология отказов, вязкоупругая релаксация, статика кинетика трения, сильные корреляции
эффективные упругие модули и фрикционные свойства (;s, ;cl, ;), эффективные LG константы
эффективная вязкость спектра, эффективный вязкоупругий спектр модуля
CA, BEM, GeoFEM
Тектонической плиты границы
Вязкоупругий поток на очень долгие  временные рамки, кинематика  движения плит при скорости отказа V
эффективная вязкость спектра, эффективный вязкоупругий спектра модуля
не большого масштаба интерес
GeoFEM

*FEM, метод конечных элементов МКЭ; GeoFEM, японского ГeoМКЭ программного обеспечения; MC, Монте-Карло; DFT, теории функционала плотности ТФП, FD, конечная разница КР, MD, молекулярная динамика МД, PD, динамика частиц ДЧ, LG, Гинзбурга-Ландау, CA, клеточных автоматов КА и BEM, граничных элементов метод ГЭД.

2. ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ
[10] Земная кора явно чрезвычайно сложная, и землетрясения статистика проявляет много случайных аспектов. Однако, несмотря на эту сложность, есть несколько универсальных действительный отношений масштабирования.
2.1. Статистика частота -величина
[11] Наиболее известные отношения масштабирования для землетрясений является отношение Гутенберга-Рихтера частота- магнитуда [Gutenberg and Richter, 1954]
, (2)
где NGR - (кумулятивное) число землетрясений с магнитудой выше m, происходящие в указанном районе и времени, и a, и b постоянные. Это соотношение действительно для землетрясений как на региональном уровне, так  и на глобальном. Постоянная b или "b значение" варьируется от региона к региону, но как правило, в диапазоне от 0,8<b<1,2 [Frohlich andDavis, 1993]. Постоянная a - мера регионального уровня сейсмичности. Есть целый ряд мер для магнитуд, в том числе местных,  волны тела, поверхностной волны, и момент магнитуды [Lay and Wallace, 1995].  Вообще, для малых землетрясений (m< 5,5) этих различные магнитуд меры дают примерно такие же результаты.
[12] Хотя Гутенберга-Рихтера частоты-магнитуды отношение изначально разрабатывалось как эмпирическое отношение, теперь мы признаем, что оно принадлежит к широкому диапазону природных явлений, которые обладают фрактальным масштабированием [Turcotte, 1989, 1997]. Для землетрясений, фрактальное масштабирование реализует справедливость соотношения NGR=CA-;, (3) где NGR - (кумулятивное) число землетрясений с разрывом областей больше чем А, происходящих определенных области и времени; С и ; константы с D=2; фрактальной размерности. Aki [1981] показал, что уравнения (2) и (3) полностью эквивалентны с
 . (4)
Таким образом универсальная применимость Гутенберга-Рихтера соотношения соответствует универсальному фрактальному поведению землетрясений.
[13] Как пример действия Гутенберга-Рихтера масштабирование рассмотрим сейсмичность в южной Калифорнии. 
 
Рисунок 1. Совокупное количество землетрясений в год, NGR, происходящих в Южной Калифорнии с магнитудой больше того m в зависимости от m. Двадцать отдельных лет рассмотрены (SCSN каталог, 2003): () 1983-1987, (б) 1988-1992, (C) 1993-1997 годов, и (D) 1998-2002. Сплошная прямая линия на рисунке 1a-1d  - Гутенберга-Рихтера соотношение (2) с b= 1,0 и a=5,4. Большее число землетрясений в 1987, 1992, 1994, и 1999 можно отнести к послеударам (aftershock) Уиттиер-Нарроус, Ландерс, Нортридж, и Гектор Майн землетрясениям, соответственно. Если толчки исключены, фоновая сейсмичность в Южной Калифорнии почти равномерна во времени.
Частота-магнитуда распределения региональной сейсмичности в Южной Калифорнии на ежегодной основе, приведены на рис 1, используя данные, полученные от SCSN Каталога (2003). Для каждого отдельного года в период с 1983 и 2002 годах общее число землетрясений NGR с магнитудой больше m строится как функция m. Период 1983-2003 вместе взятых - результат по Гутенберга-Рихтера степенному закону соотношения (2) с b=1,0 и a=5,4 , показано, как сплошная прямые в цифрах 1a-1d. На рисунке 1 в целом хорошо согласуются между собой данные каждого отдельного года  и Гутенберга- Рихтера соотношение (сплошная прямая) на период 1983 - 2003 год. Исключения могут быть отнесены к послеудару последовательности 1987 Уиттиер-Нарроус, 1992 Ландерс, 1994 Норсридж, и 1999 Гектор Майн землетрясений.
[14] С послеудара сдвинуты, фоновая сейсмичность в южной Калифорнии, показанная на рисунке 1, - почти равномерная из года в год и не функция времени. Малые землетрясения ведут себя как теплового фона шум. Eсть данные наблюдений, свидетельствующие, что земная кора постоянно на грани разлома [Scholz, 1991]. Одним из примеров является наведенная сейсмичность. Всякий раз, когда кора нагружается, землетрясения индуцируются, будь то в тектонически активной зоне или нет. Примеры нетектонической загрузки включают заполнение водохранилища за недавно построенной плотиной или высокого давления введение жидкости в глубокий колодец.
2.2. Временной распад послеударов
[15] Универсальный закон подобия описывает временное распад афтершоков деятельности после землетрясения. Это известно как модификация Омори  закона и как наиболее широко используемое имеет вид [Scholz, 2002]
, (5)
где Nas это число подземных толчков с магнитудой больше, чем указанное значение, t время, измеряемое вперед от появления главного толчка, t0 и t1 константы, и мощность p имеет значения вблизи р; 1. Когда землетрясение происходит, есть регионы, где стресс увеличивается. Это увеличение напряжения фундаментальная причина подземных толчков. Однако, систематические задержки до возникновения афтершоков требует объяснения. Дас и Шольц [1981] относят эту задержку к коррозии  напряжения в сочетании с критической интенсивностью фактора напряжений. Шоу [1993] использовал феноменологической подход к динамике докритического роста трещины. Время задержки подразумевается в эмпирически выведенной скорости и  законе состояния трения. Дитрих [1994] вывел степенной закон уменьшения в активности афтершока по этому закону. Время задержки также связаны с разрушением композитных материалов и других материалов техники. Механика разрушения широко использует эмпирический подход к этим проблемам. Майн [2000] и Щербаков и Теркотт [2003b] объяснили степенной  закон распада афтершоков с точки зрения механики разрушения. Там проявляются, чтобы быть  фундаментальные сходства между афтершоками задержки и зарождением пузырьков в перегретой жидкости. Это сходство ведет Рандл [1989], Рандл и Клейна [1993] и  Рандл и др. [1999] связать афтершока последовательности к степенному закону шкал в окрестности спинодальной линии. Эта ассоциация также поддерживается отношениями между трехмерными пространственными распределениями афтершоков и "обратно хорошей" трехмерной перколяции кластера задается др. Робертсоном и др.. [1995].
[16] Другой подход для объяснения возникновения афтершоков основан на ветвящихся стохастических процессах. Типа эпидемии модели афтершоков была введена Каганом и Кнопов [1981, 1987] и Огата [1988] и подробно изучены Хелмстеффером и Сорнетом [2002a, 2002b] и Хелмстеффером и др.. [2003]. В этой модели каждое событие способно производящих вторичных секансов афтершока и может рассматриваться одновременно как форшок (обычный удар), главный толчок, или афтершок. Результат секанса афтершока- совместное действие многих афтершоков секансов, произведенных каждым афтершоков.
2.3. Релиз ускоренный момент
[17] Существуют, также накапливаются доказательства того, что  может быть увеличение числа промежуточных размеров землетрясения до сильного землетрясения. Возникновение относительно большого числа промежуточных размеров землетрясений в северной Калифорнии до 1906 года землетрясения Сан- Франциско было отмечено Сайкс и Жауме '[1990]. Эти авторы также указывают увеличение в промежуточных размерах событий до 1868 Хейуорд и 1989 Лома Приета события в северной Калифорнии. Эллсворт и др.. [1981] первые указали на то, что скорость среднего размера событий в области залива Сан-Франциско начала расти около 1955 из пост-1906 низко. Кроме того, было предложено, что есть степенной закон увеличения в сейсмичности до сильного землетрясения как cперва предложенный Бюф и Варнс [1993]. Они считали, совокупный объем деформации Беньофа в указанном регионе. Совокупная деформация Беньофа ;B (t) связана с предвестником землетрясений определяется
, (6)
где еi - сейсмическое энерговыделение предвестника землетрясения и N(t) - число предвестников землетрясения, рассмотреные выше, за время t. Бюф и Варнс [1993] показали, что точные ретроспективные прогнозирования землетрясения Лома Приета может быть сделано, считая увеличения степенного закона в Беньофа деформации до землетрясения. Это увеличение степенного закона вступает в форме
, (7)
где ;0 является кумулятивной деформацией Беньофа за время характерного землетрясения и ;t - безразмерное время, оставшееся до следующего характерного землетрясения дается
;t=1-t/tf, (8)
где t время, измеряемое вперед из предыдущего характерного землетрясения и tf - временной интервал между характеристиками землетрясения. Сразу после характерных землетрясений мы имеем ;t=1; следующее характерное землетрясение происходит при ;t = 0. Константы B и s  использованы в соответствии с данными.
[18] Систематическое увеличение среднего уровня сейсмичности до большого землетрясения были предложены рядом авторов [Varnes, 1989; Bufe et al., 1994; Knopoff et al., 1996; Varnes and Bufe, 1996; Brehm and Braile, 1998, 1999a, 1999b; Robinson, 2000].  Систематическое изучение оптимальной пространственной области и диапазона магнитуд для получения степенного закона сейсмической активации осуществлена Боуменом и др.. [1998]. Четыре примера их результатов представлены на рисунке 2, где совокупная деформация Беньофа ; (t) была коррелирована (сплошная линия) с уравнение (7). Чистое увеличение сейсмической активности до 1952 округ Керн, 1989 Лома Приета, 1992 Ландерс, и 1983 Колинга землетрясения показано на рисунке.
[19] Также утверждено, что ускоренный сейсмический релиз показывает журнала-периодического поведение в дополнение к степенному закону увеличения, данное в уравнении (7) [Sornette and Sammis, 1995; Saleur et al., 1996b; Sornette, 1998; Sammis and Sornette, 2002]. Однако, это поведение широко не принято.
 Рисунок 2. Данные точки кумулятивного Беньофа деформаций  ;(t) определяются из уравнения (6) до четырех основных землетрясений в Калифорнии [ Боумен и др., 1998]. Чистое увеличение сейсмической активности до 1952 Керн Каунти, 1989 Лома Приета, 1992 Ландерс, и 1983 Колинга землетрясения показано на рисунке. В каждом из четырех примеров данные были соотнесены (сплошные линии) с отношением степенного закона  данного в уравнении (7). Значения показателя степенного закона  s ,  используемого в уравнении (7), приведены в таблице 2. Пунктирные прямые представляют наилучшим образом соответствие постоянной скорости сейсмичности.
[20] При получении данных, приведенных на рисунке 2, Боумен и др.. [1998] исследовали круговые области о каждом из характеристик землетрясений, по их мнению. Они определили оптимальный радиус для активации. Сорнет и Саммис [1995] связывают этог предвестник активации  с подходом к критическому фазовому переходу. Saleur и др. [1996a, 1996b] интерпретируют такое поведение с точки зрения корреляции длины, которые увеличивают до характеристик землетрясения. Таким образом, мы будем называть этот радиус оптимальной области, как активация корреляции длины (ACL).
 
Рисунок 3. Корреляция длины ; для предвестников сейсмической активизации приведены в зависимости от корня квадратного из разрыва области и магнитуды землетрясения m. Круги- значения, данные в работе Боумен и др. [1998] и приведены в таблице 2. Открытых квадратов значения, полученные для землетрясений в Новом Мадриде сейсмической зоны Бремом и Брейлом [1998]. Погрешности - ограничения, полученные для землетрясений в западных Соединенные Штаты, Бремом и Брейлом [1999b]. Сплошные квадраты являются значения, полученные для землетрясений в Новой Зеландии Робинсоном [2000].
 [21] Показатели степенного закона и ACL  ; для 12 землетрясений, изученые  Боуменом и др. [1998],  приведены в таблице 2. Среднее значение s для этих землетрясений -  (погрешность данная составляет 1 стандартное отклонение). Используя подобные подходы к ускоренному моменту выпуска, ACL других землетрясения были получены Брем и Брейл [1998, 1999а] и Робинсон [2000]. Все эти данные приведены на рисунке 3. Длин активации корреляции приведены в зависимости от землетрясения и характерной длины разрыва. Несмотря на значительный разброс, есть явное увеличение ACL с ростом величины землетрясения. Также для сравнения отношения
 . (9)
Многие из списков ACL больше чем в 10 раз длины характеристики разрыва.
[22] Добровольский и др. [1979] и Кейлис-Борок и Кособоков [1990] сообщили аналогичные масштабирования для максимального расстояния между землетрясением и его предшественниками с использованием методов распознавания образов. Большой ACLs также предложен, удаленно срабатывающим афтершоком

ТАБЛИЦА 2. Шкалы наблюдаемых землетрясений
 Землетрясение Дата  магнитуда Км  с
Ассам, Сан – Франциско, Округ Керн, Ландерс, Лома Приета, Колинга, Нортридж, Сан – Фернандо, Суеверие Хилл, Боррего Маунтин, Палм-Спрингс, Виргинские острова

следующим Ландерс, Калифорния, землетрясение [Хилл и др.., 1993].

Рисунок 4. Гутенберга-Рихтера иллюстрация кумулятивного числа землетрясений, происходящих в единицу времени с магнитудой больше m в зависимости от m. Данные для различного периода времени во время землетрясения цикл 1;;t;0 до появление характеристик землетрясения в ;t=0. Малые землетрясения происходят с постоянной скоростью, но есть активации промежуточного размера землетрясений до появления характеристики землетрясения.
[23] Гипотезы сейсмической активации иллюстрирует Рисунок 4 [Рандл и др.., 2000a]. Накопленное частота-магнитуда распределение землетрясений показывает для трех периодов времени цикла землетрясения, 1,0 >;t>0,2, 0,2>;t>0,1 и 0,1>;t>0,0, где ;t было определено в уравнении (8). Малые землетрясения появляются равномерно во все времена, но сначала включаются в цикле землетрясения 1,0 >;t> 0,2; есть систематическое отсутствие среднего размера землетрясений. В период времени 0,2>;t>0,1, есть увеличение средних размеров событий. В предшествующий период времени 0,1>;t>0,0 эта сейсмическая активизация и дальнейшее увеличение числа промежуточных-размерных событий. Наконец, при ;t = 0, характеристика землетрясение происходит. Первые две кривые также свидетельствуют о росте длин корреляции, как мы обсудим в разделе 3. Последняя кривая представляет неустойчивый  рост кластеров землетрясения.
[24] Кроме того, мы предположим, что поведение, описанное выше, вложено. Ландерс 1992 и 1994 Нортридж землетрясения порождены предвестника активацией, которые будут описанны в разделе 3. Однако, вполне вероятно, что Ландерс и Нортридж землетрясения представляют предвестников активации, которая связана со следующей большой (характеристика) землетрясения  Сан-Андреас Разлома в южной Калифорнии.
[25] Z;ller и др. [2001] непосредственно оценили ACL из каталогов землетрясений, используя одну ссылку кластерного анализа [Фрелих и Дэвис, 1990]. Они изучили 11 землетрясений в Калифорнии с m> 6,5 с 1952 года и обнаружили, систематическое увеличение в длинах корреляции до большинства из этих землетрясений. Майн [1999], Жауме и Сайкс [1999], [2000] Жауме, Вер-Джонс и др.. [2001], Боумен и Кинг [2001], Цоллер и Hainzl [2001, 2002], и Бен-Цион и Ляховский [2002] предоставили критической обзоры сейсмической активизации. Гольц и Бозе [2002]  изучали предвестника сейсмической активизации, используя конфигурационную энтропию.
[26] Важный вопрос, который остается нерешенным, - который землетрясения масштабирование, как обсуждено в разделе 2.1, связывает с масштабированием разломов в земной коре. Он показывает, что фрагментированные структуры земной коры фрактальны в очень широком диапазоне масштабов [Саммис и др.., 1986, 1987; Саммис и Biegel, 1989; Саммис и Стейси, 1995]. Однако, ассоциация этом масштабирование с землетрясения масштабированием не была продемонстрирована.

3. Фазового перехода МОДЕЛЬ: зарождение и критические явления.
[27] Наблюдаемые законы масштабирования, связанные с землетрясениями привели различных исследователей [Рандл, 1989; Боумен и др., 1998;. Фишер и др., 1997;. Мора, 1999; Klein и др., 2000;. Рандл и др., 1996;. Жауме и Сайкс, 1999; Теркотт, 1997] к выводу, что эти события могут быть рассмотрены как тип обобщенного фазового перехода, аналогичный для зарождения и критических явлений, которые наблюдается в тепловых и магнитных системах [Ma, 1976]. Физика  этих систем, и её применение к  явлению землетрясения, подробно разобрана в другом месте, то мы не повторим эти обсуждения здесь [Ма, 1976; Гантон и Дро, 1983]. Тем не менее, мы даем краткое резюме, в качестве фона для обсуждений, которые следуют.

Рисунок 5. Схема давление-объем (P-v) проекция фазовой диаграммы чистого вещества [Debenedetti, 1996]. Равновесное и неравновесное поведение жидкость-пар смеси обсуждается в тексте. Заштрихованная область  метастабильна.
[28] Для того чтобы проиллюстрировать соответствующими статистической физике сначала рассмотрим фазовую диаграмму для сосуществования жидкой и паровой фаз чистого вещества. Схема проекции давление-объем фазовой диаграмме иллюстрируется на рисунке 5 [Debenedetti, 1996]. Мы рассмотрим жидкость сначала в точке А на рисунке 5. Давление снижается изотермически до точки сосуществования, достигается в точке В. В термодинамическом равновесии жидкости закипит при постоянном давлении и температуре, пока станет полностью  паром в точке G. Далее снижение давления приведет в изотермическом расширении пара по пути GF. Однако, это возможно создание метастабильной, перегретой жидкости в точке В. Если пузырьки пара не образуются или быстро поглощаются  жидкостью, либо однородным или разнородным зарождением, жидкость может быть перегретой вдоль пути BD. Точка D  пересечение жидкости P-v кривой спинодали S. Это не возможен перегрев жидкости за этой точкой. Если жидкость перегрета в окрестности точки D, взрыв зарождения и кипения (неустойчивость) будет иметь место. Если давление и температура поддерживается постоянной в течение это сильно неравновесного взрыва, вещество будет следовать пути  DE к кривой равновесия пара GF. Если взрыв происходит при постоянном объеме и температуре, давление будет расти по мере вещества, следуя DH пути к равновесной линии кипения BG. Любой горизонтальный путь между перегретой жидкостью BD и паром GE возможен. Например, путь IJ. Вся заштрихованная область  метастабильна. Критическая точка C находится на критическом давлении Рс и критическом удельном объеме vc. Точки на горизонтальной линии, например IJ,  определяется "влажностью" из смеси жидкость-пар, массовая доля, которой жидкость. На момент I масса доля жидкости существенно 1; в точке J массы доля жидкости существенно 0. Какой путь следует в метастабильной области, определяется физикой процесса зарождения пузырей [Debenedetti, 1996].
[29] В критической точке [Стэнли, 1971; Ма, 1976] параметры в уравнении состояния вещества, таком как система воды жидкость-пар, которая регулируется Ван-дер-Ваальса типа уравнением состояния, могут показать, чтобы указать местоположение в пространстве состояний, при которых теплоемкость c(T) имеет точку возврата, или особенности, когда начерчен, как функция от температуры Т.  Фазовый переход этого типа называется второго порядка, так как количество отображения особенность c(T) является второй производной от термодинамического свободной энергии. Для температуры Т при, или выше чем критическая температура, плотность ; является непрерывной зависимостью от давления P. Наблюдения лаборатории продемонстрируют наличие очень больших пространственных и временных флуктуаций плотности смеси жидкость-пар вблизи критической точки. Наблюдения показывают, что эти флуктуации коррелируют с расстоянием и сроками, которые характеризуются корреляцией длины ; и времени ;, соответственно. Как критической точке подходит, как правило, путем контроля T и v в какой-то поршень-цилиндр установке, лабораторные наблюдения показывают, что как ;, так  и ; расходятся (   и ). Расходимость корреляции сроков ; называется критическим замедлением. Кроме того, эксперименты показывают, что , где Z представляет собой динамичный показатель масштабирования. Для диффузионной системы типичное значение Z является Z =2.
[30] Магнитные системы имеют подобного типа физики в точке Кюри, определяющие переход от низкотемпературного ферромагнитного поведения к высокотемпературному парамагнитному поведению. В этих магнитных системах критическая температура Кюри Тс, намагниченность M играет роль, аналогичную плотности ; в системах жидкость-газ (), и приложенное внешнее магнитное поле h играет роль, аналогичную давления P в системах жидкость-газ (). Установлено также, что в точке Кюри, большие колебания в M, связанные с переходом от ферромагнетизма к парамагнетизму и что эти колебания характеризуются расходящимися длиной и сроками, ;  и ; соответственно. Общая терминология эволюционировала для описания всех таких систем. Так, например, M и ; называются порядка параметры соответствующих систем. Это физические поля, что реагируют на изменения в управление параметры (T, h) или (T, P).
[31] Вдали от критической точки, фазовые переходы имеют первый порядок и связаны с зарождением [Stanley, 1971; Клейн и Unger, 1983; Клейн и Leyvraz, 1986; Debenedetti, 1996; Кляйн и др., 2000].. В воде системы жидкость-пар, зарождение -  процесс, в котором формы пузыри паров воды с  жидкой водой до кипения. Изменения в T или P может сделать тепловую систему неустойчивой к изменению в ;, что приводит к появлению новой фазы. Примером может служить изменение воды из жидкого фазы в газовую фазу при увеличении Т при постоянном P. В процессе перехода из жидкой в газовую фазу, масса жидкой воды может прогрессировать от его стабильного равновесия режима через область метастабильного равновесия, но не может оставаться стабильной метастабильная жидкость, пройдя классический предел устойчивости или спинодального линии [Debenedetti, 1996; Клейн и Unger, 1983; Ray и Клейна, 1990; Рандл и др., 2000a].. Существование спинодальной линия является следствием уравнения состояния Ван-дер-ваальсова типа. Спинодального линия имеет ряд интересных свойств, наиболее важной из которых является то, что ведет себя как линия критических точек для зародыша капель пара. Рядом со спинодальной линией, наблюдается расходящиеся масштабы длин ; и сроки ;, а также появление больших колебаний в ; и масштабирования, как в отношении .
[32] Многие реальные тепловые системы никогда не могут приблизиться к спинодальной линии из-за наличия случайных тепловых флуктуаций, связанных с факторами окружающей среды. Эти случайные флуктуации вызывают жидкость-пар переход происходящий при очень мелком глотке глубины ("облако точки ") в метастабильном режиме, далеко от спинодальной линии [Гантон и др.., 1973]. Однако для систем, имеющих долгого -ранга взаимодействия, таких как спина диполей или упругих сил, эти случайные колебания, как правило,   подавляются на длинах волн меньше, чем ранг взаимодействий из-за пространственного усреднения эффектов взаимодействий. Таким образом, каждая молекула или спин видит только среднее поля, или значение поля, всех других взаимодействующих молекул или спинов [Клейн и Унгер, 1983]. В значении системы поля, только длинные волны колебаний выживают усреднения эффекты, ведущие к стабилизации системы через метастабильный режим. В результате метастабильная фаза в системах значения поля может подходить очень близко к спинодальной линии, так и масштабирование и другие критические явления, подобные свойства спинодального линии можно наблюдать [Klein и др.., 2000].
[33] В системе, которая находится рядом, но не на пределе значения поля из-за длинных, но конечного ранга взаимодействий, относительная величина флуктуаций в параметре порядка будет увеличиваться. Эти колебания, которые становятся все более больше, чем предел устойчивости (спинодаль линия) подходит, связаны с более крупным регионом системы конденсации в капли "другой фазы", затем испаряется и возвращается к "исходной фазе." Одна из крупных капель "другой фазы", наконец, становится достаточно большим, чтобы родить систему, и фазовый переход затем происходит. То же увеличение флуктуации амплитуды можно наблюдать, как критическая точка подходит.
[34] Размер колебаний в системе жидкость-газ как правило, измеряется критерием Гинзбурга:
 . (10)
Здесь  представляет вариацию  параметра порядка, который плотность  в жидкость-газ системе, а  значение. Поскольку Гинзбург критерий применяется к системам, которые в любом равновесии или долгоживущем метастабильном равновесии, все средние берутся по времени и пространству. В спин-системы колебания параметра порядка спиновой плотности, а аналогичный критерий Гинзбурга можно записать. Как правило, "критическая область", указывая близость системы критической точке, определяется условием [Ma, 1976]
Г; 10%, (11)
что является свидетельством больших флуктуаций. Для систем претерпевает фазовый переход первого рода, можно ожидать, чтобы увидеть большое значение Г до появления перехода.

4. Хрупкое разрушение.
[35] Прежде чем рассматривать землетрясения проблемы, мы кратко рассмотрим связь между хрупким разрушением и статистической физикой. Хрупкого разрушения твердого тела сложное явление, которое получило большое внимание со стороны инженеров, геофизиков и физиков. Предельный пример хрупкого разрушения - распространение одного перелома через однородное твердое тело. Тем не менее, это идеализированный случай, который требует уже существующие трещину или надрез сосредоточить приложенное напряжение. Даже распространение одного перелома еще плохо изучены из-за особенностей в вершине трещины [Kanninen и Popelar, 1985; Freund, 1990]. В большинстве случаев разрушения однородного хрупкого твердого тела включает в себя генерации микротрещин. Первоначально эти микротрещины распределены, как увеличивается их плотность, они сливаются и локализуются до сквозного результата разрыва. Этот процесс зависит от неоднородности твердого тела. Существует аналогия между микротрещинами, приводящими к зарождению трещин, и пузырями, ведущими к кипению.
[36] Многие эксперименты по разрушению хрупких твердых тел были проведены. В условиях разрушения горных пород ранние эксперименты по Моги [1962] были новаторские. Акустических выбросы, связанные с микротрещинами, была рассмотрена, и степенного закона частоты-магнитуды Гутенберга-Рихтера статистика наблюдалась для акустической эмиссии. Когда нагрузка была применена очень быстро, время на перелом, было установлено,  зависит от нагрузки. Многие другие исследования такого типа были проведены. Отани и др.. [1991] получили статистическое распределение жизни с постоянной загрузкой стресса для углеродного  волокна микрокомпозита эпоксидной смолы. Йохансен и Sornette [2000] изучали разрыв сферических танков из кевлара обернутые вокруг тонких металлических вкладышей и обнаружили увеличение степенного закона акустических выбросов до разрыва. Гуарино и др.. [1998, 1999] изучали провал круговой панели (222 мм в диаметре и 3-5 мм толщиной) из ДСП и стекловолокна. Перепад давления был либо применен быстро через  панель и оставался постоянным, пока панель не лопнула или  линейно возрастал во времени, пока панель не лопнула. Акустические выброса события, связанных с микротрещинами, были тщательно рассмотрены, расположены, и измерены. Первоначально, микротрещины оказались случайно распределенны по панели, как количество микротрещин увеличилось, они как правило, локализовались и сливаются в регионе, где окончательный разрыв произошел. Гуарино и др.. [1998, 1999] также показали, что частота -магнитуда статистика акустической эмиссии удовлетворяет степенному закону (Гутенберга- Рихтер) отношения, уравнения (2) и (3). Они также измерили совокупную энергию в акустической эмиссии событий eAE как функция времени t. Вся акустическая энергия излучения в момент разрыва etot. Наблюдаемая зависимость eAE / etot от (1- t /tf) для этих экспериментов дана на рисунке 6. После начального переходного период, хорошее степенного закона масштабирование  наблюдалось. В этой масштабирования области было установлено, что eAE ;(1- t /tf) -0,27. Это активации очень похожа на степенной закон сейсмической активизации, данный в уравнении (7), показано на рисунке 2. В случае быстрого применения давления, Гуарино и др.. [1999] обнаружили систематическую зависимость времени отказа tf от приложенного давления P. Щербаков и Теркотт [2003а] коррелировали эту зависимость с соотношением
tf;(P-Py) - 2,25, (12)
где Ру порог или предел текучести.
[37] Статистическая физика связывает хрупкое разрушение с жидкость-пар фазовыми переходами в различных направлениях. Бушель и Sethna [1997] связывали хрупкое разрушение с фазовым переходом первого рода. Аналогичные рассуждения были даны др. Zapperi ET. [1997] и Куна и Херрманн [1999]. С другой стороны, и Sornette Андерсен [1998] и Глузман и Sornette [2001] утверждают, что хрупкое разрушение аналогично явлению критической точки более, чем метастабильности первого порядка изменения фазы. Они связаны наблюдается закон подобия власти в хрупких экспериментов неудачи с критической точки ( второго рода изменений). Ряд авторов считает хрупкое разрушение по аналогии с зарождением вблизи спинодального линии [Рандл и Кляйн, 1989; Селинджер и др.,. 1991; Рандл и др., 1997b, 1999, 2000а;. Zapperi и др.,. 1999].

Рисунок 6. (a) Накопительные акустической энергии выбросы eAE (t)  момент времени t, деленное на общее акустической энергии etot выбросов в момент разрыва (t=tf) в зависимости от (1-t / tf). Постоянная разность давления применялась при t = 0. Прямой корреляции линия с eAE ;(1-t / tf) - 0,27 [Гуарино и др.., 1999]. (b) Накопительные акустической энергии эмиссии eAE  (t), разделенные на общую акустической etot  энергии эмиссий в момент разрыва (t=tf) в зависимости от (Рf- Р) / Рf, где Р -примененный перепад давления через перелом панели ДСП и Рf перепад давления, когда доска разломится. Применяемый перепад давления через панель  линейно возрастал со временем. Прямой корреляции линия с eAE ;(1- Р / Рf) - 0,27 [Гуарино и др. др.., 1998].
[38] Далее применяется понятие фазового изменения к хрупкому разрушению твердого тела. Для простоты, мы будем обсуждать отказ образца области a при сжатии  силой F. Состояние образца определяется стрессом   и ее деформацией (L0- L) / L0 (где L является длина и L0 является начальной длины). При низких напряжениях будем считать, что Гука закон применяется таким образом, чтобы
 , (13)
где  E0 -Югна модуля, постоянная.
[39] Мы предполагаем, что хрупкое твердое тело будет подчиняться линейной упругости для напряжений в диапазоне 0;;;;y, где ;y предел текучести. Из уравнения (13) соответствующие урожай напряжения  ;y задается
. (14)
Если напряжение приложено бесконечно медленно (для поддержания атермодинамического (athermodynamic) равновесия), мы также предполагаем, что твердое тело будет разрушено в урожае напряжения (пределе текучести). Отказа путь ABG на рисунке 7 соответствует пути ABG равновесия провала на рисунке 5. Это эквивалентно прекрасно пластическому поведению. Мы провести аналогию между фазой изменение поведения показаной на рисунке 5 и неупругой деформации твердых тел показаной на рисунке 7. Давление P аналогично стрессу ;, и конкретный  объем v аналогично деформации ;.

 Рисунок 7. Идеализированная напряжения-деформации диаграмма для хрупкого твердого тела. Это предполагается, что твердое тело ведет себя как линейный упругий материал при напряжениях меньше предела текучести ;у и деформациях менее урожая деформаций ;у (путь А. Б.). Перелом в промежуточной постоянной ставки увеличения стресса происходит по пути ABE. Пунктирные линии соответствуют постоянным переменным повреждений переменной ;.
[40] Если упругое тело загружается очень быстро с постоянным стрессом ;0;; применяется мгновенно, твердое тело будет удовлетворять уравнению (13) и будет следовать по пути ABI, как показано на рисунке 7. Впоследствии, ущерб будет происходить при постоянный стресс на пути IJ до перелома твердого тела. Это поведение аналогично постоянного давления кипения что происходит по пути DE на рисунке 5.
[41] Кроме того, упругое твердое тело может быть напряженным очень быстро с постоянной деформацией ;0;;y применяется мгновенно, и снова твердое тело будет удовлетворять уравнению (13) и следовать по пути ABI, как показано на рисунке 7. В этом случае, ущерб будет происходить по пути постоянной деформации IH, пока стресса не уменьшится до текучести ;y. Это поведение аналогично постоянного объема кипению, что происходит на пути DH на рисунке 5.
[42] Щербаков и Теркотт [2003b] утверждают, что этот процесс релаксации напряжения, применимый к пониманию  афтершока секансу, что следует землетрясению. Во время землетрясения в некоторых регионах близости от землетрясения испытывают быстрый рост напряжения (деформации). Стресс ; больше предела текучести ;у, и микротрещины (афтершоки) расслабляют стресс ;у так же, как показано на рисунке 7. Время задержки афтершоков по отношению к основной ударной непосредственно соответствует времени задержки ущерба. Задержка результат, так как требуется время, чтобы зарождение микротрещин (Афтершоков).
[43] Когда напряжение на хрупкое твердое тело увеличивается с постоянной конечной скоростью, линейная  упругость (уравнение  13)) применима в диапазоне от 0;;;;y. При напряжениях больше чем предел текучести, ;>;y, причинен ущерб в виде микротрещин. Это повреждение ускоряется деформацией и отклонением от линейной упругости. Типичный путь отказа ABE показан на рисунке 7. Для того чтобы количество отклонения от линейной упругости переменной ущерба ; введена в отношении напряжение-деформация
 (15)
Когда ;=0, уравнение (15) сводится к уравнению (13), и линейная упругость применима, как выйдет из строя. Позиции в напряжения-деформации чертежа (рис. 7) соответствующие ;= 0,0, 0,25 и 0,5 показаны. Это необходимо подчеркнуть, что аналогия между кипением и разрушением показана на рисунках 5 и 7 не является полной. Кипения является обратимым процессом; перелом нет. Однако мы считаем, аналогия иллюстративна.
[44] На основе термодинамических соображений [Качанов, 1986; Krajcinovic, 1996;. Ляховский и др., 1997] время эволюции ущерба переменной связана для зависящих от времени стресса ;(t) и деформаций ;(t) по
, (16)
где H [; (t)] известна как ставка опасности. Нужно отметить, что существуют альтернативные формулировки обоих уравнений (15) и (16) и H [; (t)] может принимать различные форм [Krajcinovic, 1996]. В нашем анализе мы будем считать,  что уравнения (15) и (16) применимы и будем далее требовать, чтобы [Щербаков и Теркотт, 2003а]
 (17)
, (18)
где td является характерная шкала времени для ущерба, и ;  мощность, которая будет определена из эксперимента. Ставка с которой повреждения накапливаются пропорциональна силе стресса превышение предела текучести ;y .
[45] Монотонный рост в ущерба переменной ; задается уравнениями (16) - (18) представляет ослабление хрупко твёрдого тела  из-за зарождения и слияния микротрещин. Это зарождение и слияние микротрещин аналогично зарождению и слиянию пузырьков в перегретой жидкости, как описано в разделе 3. Хрупкое твердое тело в заштрихованной области в напряжения-деформации диаграммы на рис 7  метастабильно в том же смысле, что неравновесное кипение в затененном региона на рисунке 5  метастабильно.
[46] Решения уравнений (16) - 18) дают по степенному закону активации до землетрясения [Ляховский и др., 1997;. Бен-Цион и Ляховский, 2002; Теркотт и др.  2003] и степенной закон распада афтершоков деятельности, связанной с измененным Омори законом [Щербаков и Теркотт, 2003b]. Майн [2000] ввел эмпирический закон масштабирования деформации за ущерб, а также смог воспроизводить степенного закона предвестников сейсмической активизации и распада степенной закон афтершоков деятельности.
[47] Некоторые виды ущерба четко термически активированы. Деформации твердых тел за счет диффузии и дислокации ползучести пример. Способность вакансий и дислокаций  для перемещения через кристалл управляется экспоненциальной зависимостью от абсолютной температуры с четко определенной энергией активации. Роль температуры в хрупком разрушении неясно. Гуарино и др.. [1998], разнообразной температуры некоторой в своих экспериментах на разрушение ДСП, и не обнаружили никакого эффекта. Систематическая температурная зависимость ставки и состояние трения, записано документально Накатани [2001]. Это также было показано, чтобы быть верной, для  статистики времени жизни кевларовых волокон [Ву и др.., 1988].
[48] Время задержки, связанные с пузырями в перегретой жидкости объясняются с точки зрения теплового флуктуации. Флуктуации должны стать достаточно большими для преодоления устойчивости, связанной с поверхностным натяжением в пузыре. Основной вопрос в  механике разрушения- причина задержки в возникновении повреждения. Эта проблема рассматривалась в некоторых  деталях  Ciliberto и др. [2001]. Эти авторы объясняют ущерб "тепловой" активацией микротрещин. Эффективная "температура" может быть определена в терминах амплитуды случайных упругих колебаний твердого тела. Пространственная изменчивость напряжений в твердых телах вызвана микротрещинами сама по себе не тепловыми флуктуациями. Это микротрещины происходят на широком диапазоне масштабов.
5. Дискретные модели
5.1. Расслоения модели
[49] Другой подход к хрупкому разрушению применим к композитным материалам. Композитный материал из сильных волокон вложен в относительно слабые матрицы. Неудачи из композитных материалов  рассматривались многими авторами с использованием концепции волокна расслоения [Смит и Феникс, 1981; Кертин, 1991; Ньюман и Феникс, 2001]. Статистики отказов отдельных волокон, которые составляют расслоение волокон указаны. Статистика может быть статической или динамической. В статическом случае вероятность отказа волокон указанна в плане нагрузки на волокна. Неудача предполагает, что происходит мгновенно. В динамическом случае статистического распределения раз на провал для волокон определяется в терминах напряжения на волокон [Coleman, 1956, 1958]. Эксперименты обычно польза динамического разрушения, модели расслоения. Когда напряжение применительно к расслоению волокон, волокна начнут разрушаться. Это необходимо указать, как напряжение на разрушающемся волокне перераспределяется в остальных звуковых волоконах [Смит и Феникс, 1981]. В гипотезе равномерного распределения нагрузки обмена стресс от особого волокна перераспределяется в равной степени к остальным волокнам. Это приближение значения поля. Альтернативная модель перераспределения - гипотеза обмена местного нагружения. В этом случае нагрузка на особое  волокно перераспределяется в соседние слои. Местной нагрузки обмен применим к сильно связанным волокнам (композитных) материалов, тогда как равной нагрузки обмен применяется в слабо связанных волокнистых материалах.
[50] Krajcinovic [1996] и др. Теркотт  [2003]  показывают, что значение поля расслоения волокна модели с динамической особенности  статистикой дает  решение для особенности расслоения, что идентично тому, что получено с помощью ущерба уравнений (16) - (18). Континуума ущерба уравнения и дискретные расслоения волокна модели дают одинаковые результаты хрупкого материала для особенности переходного процесса. Спаренная особенность волокон непосредственно аналогична спаренным микротрещинам связанным с ущербом.
5.2. Модели песчаной сваи.
[51] Концепция самоорганизованной критичности [Теркотт, 1997, 1999; Jensen, 1998] превратилась из "sandpile" модели, предложенной Бак и др.. [1988]. В этой модели есть квадратная сетка из коробки, и на каждом шаге по времени частица сбрасывается в случайно выбранное окно. Когда коробка накапливает четыре частицы, они перераспределяют четыре смежных коробки, или в случае края коробки, они теряют из сетки. Так как только ближайших соседей коробки крутятся в перераспределении, это клеточных автоматов модель. Перераспределение может привести к дальнейшей неустойчивости и лавины частиц, в которых многие частицы могут быть потеряны от краев сетки. Вход - устойчивого состояния дополнение частиц. Мера состояния системы - среднее число частиц в коробках. Это "плотность" колеблется около квазиравновесного значения. Каждое из множественных перераспределений в течение шага времени вкладывает в размер модели лавины. Одна мера размера модели лавины дает числом частиц потерянных из сетки в течение множественного перераспределения; альтернативная мера размера - число клеток, которые участвуют в множественном перераспределении. Согласно Бака и др.. [1988] система находится в состоянии самоорганизованной критичности, если она поддерживается рядом с критической точкой. Система находится в устойчивом состоянии незначительно, когда возмущенная из этого состояния, она будет закручиваться естественным образом обратно к состоянию маргинальной устойчивости. В критическом состоянии, нет длиннее природных масштабов длины так, что фрактальная статистика применима. Однако, это определение спорно, как мы покажем, при рассмотрении связанных с лесными пожарами и модели слайдера блока. 5.3. Лесного пожара модель
[52] Модель лесных пожаров [Бак и др., 1992;. Дроссель и Schwabl, 1992] имеет много общего с sandpile моделью, но также имеет важные различия. Стандарт модель лесных пожаров состоит из квадратной сетки сайтов. В каждом шаге по времени модель дерева падает на случайно выбранный участок, если сайт не занят, дерево посажено. Искренняя  частота fs -обратное число  испытанных падений дерева на квадратную сетку, прежде чем модели матч упадет на случайно выбранный сайт. Если fs =1 / 100, было 99 попытки посадить деревья ( удачных и неудачных) перед матчем отбрасывается на 100 шагов по времени. Если матч упал на пустое место, ничего не происходит. Если упал на дерево, дерево воспламеняется, и модель пожара происходит этого дерева и все смежные (недиагональные) деревья.
[53] Задав размер квадратной сетки и искрение частоты fs, симуляция выполняется для Ns время шага, и количество пожаров NF с АF определяется. АF - количество деревьев, которые горят в огоне. Во всех случаях количество мелкого пожара NF масштабов с АF в хорошем согласии с фрактальным соотношением (3). Если fs относительно большое, область степенного закона ограничивается мелкими пожарами. Если fs мало, пожары происходят, что пролетает сетку, и есть пик в частоты- магнитуды распределения для больших пожаров. Параметр fs может быть "настроена" так, что пожары окружают сетку, но это не ясно, что это критическая точка. В терминах самоорганизующейся критичности устойчивый вход- посадка деревьев, "лавины"- пожары и число деревьев включает сетки колебания около значения квазиравновесия.
[54] Модель лесных пожаров также характеризуются частоты-размера распределением кластеров, который непосредственно связан с частоты -размера распределением пожаров; оба являются фрактальными. Исследование модели лесных пожаров показывают, что кластеры деревьев непрерывно увеличиваются в размерах. Небольших пожаров образец частоты-размера распределения кластеров, но лишь малая доля малых кластеров теряются в пожарах. Значительное количество деревьев теряется только в крупнейших пожарах. Маламуд и др. [1998] показали, что фактические лесные пожары также обладают почти фрактальной частоты -площади масштабирования.
[55] Простая модель мультипликативного каскада была введена для объяснения поведения  модели лесных пожаров и дать ответ на самоорганизованную критичность [Теркотт, 1999; Габриэлов и др., 1999.]. Кластеры деревьев растут как деревья посажены. Большие кластеры создаются в первую очередь от слияния меньших кластеров. Кластеры также теряются, но ставка потерь пропорциональна количеству кластеров, а ставка, с которой кластеры объединяются, пропорциональна числу кластеров в квадрате. Таким образом значительные потери происходят только на очень крупных кластерах. Сочетание кластеров приводит к масштабированию области с фрактальным распределением частоты-размера. Это масштабирование прекращается, когда значительное число кластеров теряются в пожаре.
[56] Важным вопросом является отношение самоорганизованной критичности для обычных критических явлений. Модель сайта протекания -классическая критическая проблемная точка, что тесно связано с моделью лесных пожаров. Опять же, квадратная сетка точек измеряется, и деревья посажены на сайте с вероятностью р. Эта вероятность может быть "настроена" как кластеры деревьев пролетают (муха spans) сетку, это критическая точка. Кластеры не сочетаются, и деревья не теряют в  пожаре. Частоты-размера распределение фрактально только в непосредственной близости от критической точки.
5.4. Модели Блока раздвижного (Slider слайдер) 
[57] Семейство многомерных динамических моделей с наиболее непосредственным отношением к моделированию поведения землетрясения разлома- слайдер блока модели. Первая модель слайдер блока с массивными блоками модель Берридж и Knopoff [1967]. Первого клеточного автомата слайдер блока модель с безмассовыми блоками была дана Рандл и Джексон [1977]. Первого значения поля слайдер блока модель был обсужден  Рандл  и Клейн [1993].
[58] Рассмотрим один блок массой m, вытянутый над поверхностью,  постоянной скорости V ведущей пластиной. Ведущая пластина крепится к слайдер блоку погрузчика спрингом (пружиной - загружающим ростком loader spring) с ростка (spring) константой kL. Взаимодействие блока с поверхностью находится под контролем трения в той или иной форме. Статического трения порог, связан со статическим коэффициентом трения, определяет усилие, необходимое для начала слип (slip слипания) блока. Различные законы предлагаются для динамического трения оперативные во время слип. Согласно классическому закону трения Куломба-Мора, прерывистое (stick-slip) поведение наблюдается, если кинетическое (динамическое) трение меньше трения покоя. Динамическое трение можно  взять, чтобы была  постоянной функция слип скорости или, более общо, функция  как  скорости, так и  истории слип (ставка и состояние трения). Для одного слайдер блока прерывистое поведение результат в периодических слип событиях. Это поведение аналогично классической гипотезе периодических характеристики землетрясений об основных разломах [Шварц и Копперсмит, 1984].
[59] Теперь рассмотрим поведение пары слайдер блоков, а не только один блок, как и выше. Оба блока крепятся к постоянной скорости ведущей пластине  спринг погрузчика, каждый имеет спринга константу kL. Блоки соединяются друг с другом с подключением спринга, где подключения спринга kC не обязательно совпадает с константой загружающего спринга  kL. Отношение спринга констант  ;=kL /kС определяет жесткость системы. Если ;>>1, жесткая система стремится веcти  как единый блок с периодическими событиями слип. Если  ; =0, каждый из блоков имеет периодические, независимые слип события. В промежутке между этими двумя пределами широкий ранг интересного поведения может произойти. Если система симметрична (равные массы, трения, а также подключения констант спринга), периодическое поведение наблюдается. Однако, если симметрия нарушается (т. е. неравные массы), пара слайдера блоков экспонат детерминированного хаоса [Хуан и Теркотт, 1990]. Удвоения периода маршрут к хаосу наблюдается с положительными значениями показателя Ляпунова в хаотических областях. Пара слайдер блоков четвертого порядка динамической системы (скорость и перемещение каждого блока), и поведение очень похоже на то из уравнений Лоренца [Lorenz, 1963] и логистической карты [Май, 1976]. Поведение квазипериодическое и не могут быть предсказаны с полной определенностью.
[60] Хаотическое поведение низкой размерности уравнения Лоренца (третьего порядка) в настоящее время принимаются в качестве доказательства, что поведение атмосферы и океанов хаотическое  [Palmer, 1991; Рид, 1993]. Аналогично, хаотическое  поведение пары слайдер блоков -доказательство того, что землетрясения могут проявлять хаотическое поведение. Хаотическое поведение привело к концепции ансамблевого прогнозирования погоды. Чувствительность прогноза к начальным условиям берется как мера надежности прогноза. Аналогично для землетрясения, абсолютное прогнозирование времени и места события не представляется возможным для хаотической системы. Однако, вероятностные прогнозы, конечно, возможны, и они должны быть также возможны использовать ансамбль методов, чтобы установить достоверность прогнозов.
 
Рисунок 8. Иллюстрация из двумерных слайдер блоков модели. Массив блоков, каждый с массой m, тянется через поверхность движущей пластиной  с постоянной скоростью V. Каждый блок спарен с соседними блоками  с либо листом (рессора) или пружиной связи (спринга) (пружины (спринга ростка) постоянная kc) и ведущая пластина с рессорами (пружины постоянная kL).
 [61] С пионерским работам Берридж и Knopoff [1967] многие исследования многих слайдер блока модели были выполнены. Стандартная многих слайдер блока  модель состоит из квадратного массива слайдер блока, как показано на рисунке 8. В своей простейшей форме блоки имеют равные массы, связаны с постоянной скорости ведущая пластины с загрузкой пружинами (пружины постоянная kL), и связаны друг с другом с подключением или спариванием пружинами (пружины постоянная kc). Если Куломба- Мора статико-динамического трения закон предполагается провести, статический коэффициент трения ;s и кинетический (динамический) коэффициент трения ;d должны быть указаны. Кроме того  предполагается, что движение ведущей пластины так медленно, что целесообразно пренебречь его движением во время слип события. Поведение этой модели то, контролируемое размером в n;n массива, жесткостью системы  ;=kL / kC, и отношением статического к  кинетическому трению.
[62] Многие другие вариации на эти модели были рассмотрены в литературе, и всеобъемлющие обзоры были даны др. Карлсон и др.. [1994], и Рандл Клейн [1995а], и Теркотт [1997, 1999]. Изменения включают следующие:
5.4.1. Метод решения
[63] Мы обсуждаем два решения: (1) молекулярной динамики (MD) решения позволяют многим блокам скользить одновременно во время события слип (скольжения слипания) многих блоков. Требуется цифровые коды очень похожие на MD коды, используемые для изучения поведения твердых тел, которые просто решают Ньютона  уравнения второго закона для частиц, движущихся в совокупный потенциал всех других частиц. (2) Клеточных автоматов (КA СА) решения те, в которых первому блоку, который становится неустойчивым, разрешено укомплектовать свое движение, перед вторым блоком, разрешено слип. Это подход значительно упрощает вычисления, так как только одно уравнение должно быть решено за время.
[64] Другой способ заявления разницы между этих двух методами решения то, что одно решает дифференциальные уравнения детерминировано в MД случае в двух пространственных размерах плюс одно измерение времени, в то время как КA модели обычно используют обновленную схему Монте-Карло с моделью, определенной на пространственной решетке двух измерений. В случае КA, время определяется в единицах Монте-Карло развёрток, что может быть связано с фактическим временем с помощью различных размерных констант в задаче [Binder и Heermann, 1997]. КA моделирование часто имеет значительное физическое значение, так как большинство интересных нелинейных процессов имеют сильную стохастическую компоненту, и результат распределения вероятностей - отношения будут сравнены с данными. КA моделирование также имеет явное преимущество, будучи гораздо быстрее, для работы на современных компьютерах, поэтому очень больших систем размеры могут быть использованы, и конечных размеров эффекты следовательно сведены к минимуму. В отличие от этого, МД симуляции чрезвычайно вычислительно интенсивны, так симуляции часто ограничиваются небольшими размерами системы (несколько сотен частиц) и очень коротким временем интервалов (обычно микросекунды или меньше в течение всего пробега). Детерминированные моделирования также часто менее "строги", чем их появление, так как значения для многих параметров, входящих моделей, как правило, не очень хорошо известны или не известны вообще.
[65] Следует отметить, что осторожность должно быть принято в интерпретации решений. Morein и др. [1997] рассмотрел движение слайдер блока со статическим трением, но нулевого динамического трения. Отсутствие ведущей плиты было использовано, и энергия была сохранена. Используя значения поля КA подход с длинного ранга пружиной, термолизация (thermolization) от начальной энергии была найдена. Однако, Morein и Теркотт [1998] рассмотрели ту же проблему, используя MD подход, с без шума и с ближайшими соседями пружин и найдены нормальные моды решений, которые вели себя как солитоны.
5.4.2. Инерция
[66] Если подход КA используется, инерция (массы) блока пренебрежима. Конечное состояние блока после скольжения затем указано скачком или перехода правилом. В противном случае, если массы не пренебрежимы, дифференциальные уравнения движения (Ньютона второй закон) должны быть решены. В КA подход, только одно уравнение требует решения, тогда как в MD подходе с ближайшими соседями пружин одновременное решение многих уравнений требуется.
 5.4.3. Ранг взаимодействия
[67] Ранг взаимодействия указывает, сколько смежных блоков для которых каждый блок связан через пружину или альтернативный механизм для передачи напряжения, таких как объемная упругость. Существуют различные возможности: (1) ближайших соседей перераспределение, в котором напряжение передается к или только от ближайших соседей блоков как показано на рисунке 8; (2) равномерное перераспределение, в котором стресс передача в равной степени перераспределяется для всех других блоков, представляющие "плоского взаимодействия" приближения; и (3) дальнего ранга взаимодействий, которые могут быть либо приближении плоских взаимодействий (силы взаимодействия не зависят от расстояния) или, возможно, через обратной степени расстояния. Стресс перераспределяется в q другие блоки как зависимость от расстояния блока от блока скольжения (расслоения слипания slipping). В крайнем случае перераспределения с одного блока на все другие блоки, колебания напряжения (сил) усредняются, и один подход означает поля режим, где каждый блок считается взаимодействует со средним полем, создаваемым всеми другими блоками. Для примера, можно показать, что если каждый блок взаимодействует с q других блоков с помощью плоского взаимодействия, с каждым блок-блок взаимодействием, имеющие силу kC, то состояние значения поля больше подходить как qkC ;; [Klein и др.., 2000]
5.4.4. Трения закон
[68] Существуют различные трения законы, которые используются; к ним относятся [Рабинович и др., 1995.] следующее: (1) Статодинамических закон о Куломба-Мора или с "новичка физики" типа, в которых есть постоянная статический коэффициент трения ;s  и постоянный динамический коэффициент трения скольжения (раздвижное  sliding)  ;d . Движение рывками поведение получается, если ;s> ;d . (2)Cкорость ослабления закон трения, используемый в классической Берридж и Knopoff [1967] бумаге, он включает в себя статический порог трения, следующий зависимостью от обратной силы скорости слипинг (расслоения ). (3) Закон слип ослабления похож на статодинамический закон, но ослабляет трение по характерному расстоянию. (4) Ставка и состояние трения закон - феноменологический закон, вытекающих из лабораторных экспериментов,  в котором блок раздвигается (sliding) над поверхностью, с случайными резкими изменениями в скорости раздвижения (слайдинг). После каждого изменения в скорости раздвижения следует отметить, что стресс ослабляет в новом переменные за некоторые характерные раздвижные (sliding) расстояния. Условия, при которых эти законы трения наблюдаются, чтобы иметь неустойчивые раздвижные, включают чрезвычайно жесткое тестирование машины и чистой поверхности раздвижения .
5.4.5. Введенные Случайности
[69] Существуют два принципиальных типа введенной случайности: (1) закаленная случайность представляется в виде случайных отклонений от блока к блоку в параметрах таких, как пружины константа и / или коэффициенты трения. (2) В отожженной случайности, стресс капли в подходе КA на блок во время слипания события случайным разнообразны добавлением случайных недолетов или перелетов. Характерно для всех решений является то, что, по крайней мере ограниченный ранг, слипания события, как правило, тянут степенной закон частоты-ареала распределения, хотя истинное степенного закона  поведение наблюдается только в моделях с дальнего ранга взаимодействием [Фергюсон и др., 1999;. Castellaro и Mulargia, 2002]. Пример приведен на рисунке 9. Количество слипания событий за такт с площадью Ae, Ne/N0, дается в зависимости от Ae. В этом моделирование сотовых автоматный подход был использован при статических динамического трения. Результаты приведены для жесткости ;=30, отношение статического для динамического трения в 1,5, и сетка размеров n;n 20 ;20, 30; 30, 40;40 и 50; 50. Для жестких систем, большой ;, всю сетку слайдера блоков, в значительной мере зависит, и крупные события, в том числе все блоки, происходят регулярно. Эти пики при  Ae= 400, 900 и 1600 показаны на рисунке 9.
6. Статистическая физика раздвижного (SLIDER) БЛОКа МОДЕЛИ
6.1. Применение к землетрясениям
[70] В складывающейся картине землетрясения физики было показано, что землетрясения можно рассматривать как (главные generalized обобщенные) основные фазовые переходы [Смолли и др., 1985. Рандл, 1989; Майне, 1996]. Там была оживленная дискуссия о том, либо землетрясения лучше представлены второго порядка или первого порядка фазового перехода. Тем не менее, последние результаты [Рандл и Клейн, 1993, 1995b; Рандл и др. др., 1997а, 1998;.. Кляйн и др., 1997, 2000] приводят к мнению, что переход первого рода представляет на сегодняшний день гораздо богаче физическая картина, в комплекте с предсказаниями

Рисунок 9. Результаты моделирования для двумерных слайдер блок модели с несколькими блоками [Хуанг и др.., 1992].Отношение  числа слип событий Ne, площадью Ae, к общему число N0 слип событий нечерчено против Ae, число блоков, участвующих в событии [Хуанг и др.., 1992].Результаты дано для систем с жесткостью kС / kL 30, трения Fs / Fd 1,5, и сетки размером 20; 20, 30; 30, 40; 40 и 50;50. Пиков при 400 Ae, 900, и 1600 соответствуют катастрофическим слип событиям с участием всей системы. От Хуанг и др.. [1992], перепечатано с разрешения Blackwell Publishing.

масштабирования явления и пространственно-временных схем, которые было успешно протестированы наблюдениями.

Рисунок 10. Потенциальная энергия U [;] в зависимости от перемещения ;, данное уравнением (19). (Слева) С ; > 0, одной потенциальной ямы (wells). (Справа) с ;< 0, двумя потенциальными ямами. С f= 0 ямы равны. Так как f увеличилось, а слева  яма становится мельче, и справа яма становится глубже. Слева дуга (велл)  также - метастабильное состояние, так как это не состояние минимума потенциальной энергии. Как f дальнейшем увеличится точка перегиба происходит, и левый минимум исчезает, это спинодальная точка.

[71] В первом порядке, фазового перехода картина, пластины тектонических сил ведет разлом в состоянии метастабильного равновесия. Поскольку упругих взаимодействий длинного ранга [Клейн и Unger, 1983; Ray и Клейн, 1990], вблизи значения полевых условий преобладают, и разлом может подходить вблизи линии спинодали [Рандл и Клейн, 1993]. В самом деле, в случае повторного землетрясения на разломе через  времени система рассматривается как постоянно существующая в окрестности спинодали линии, выполняя разнообразные флуктуации вблизи спинодали линии во времени [Klein и др. др.., 2000]. В этой картине параметра порядка для разлома можно рассматривать либо как стресс, слип, или слип дефицит, все из которых изменяются драматически во время от землетрясения на разломе.
6.2. Нескольких состояний (Multistate) системы
[72] Чтобы сделать это обсуждение немного более конкретными и обеспечить связь физики обсуждаемый в разделе 3 в слайдер блоках и землетрясениях, рассмотрим функцию энергии U [;], которая является функцией переменной
U[;] =;; 2+;;4- f;. (19)
U [;] – примером функционала Гинзбурга-Ландау  [Ma, 1976]. В типичном примере, U [;] - потенциальная энергия, связанная с двумя частицами, разделенными расстоянием ;, константы ; и ; представляют межчастичные силы, а f -приложенная сила. Уравнения вида уравнения (19) были использованы для описания систем с несколькими возможными состояниями, в которых внезапные переходы между состояниями возможны. Типичные зависимости U [;] ; приведены на рисунке 10 для различных значений параметров. Как видно на рисунке 10, что форма из U изменяется в зависимости от знака ; и ; и от  f отличной от нуля. В большинстве физических систем, одна только заинтересована в условиях, когда ;> 0, потому что тогда U может быть сведено к минимуму при конечных значениях переменной ;. Управляющий параметр определяет, будет ли U функция  симметричной относительно пространства отражения или нет.
[73] В качестве примера системы, которые могут регулироваться уравнением, таким как уравнение (19), рассмотрим случай, блок тянется вдоль поверхности постоянной скоростью ведущим, подключенным к блоку пружиной. Если мы рассмотрим U, представлять термодинамическую свободную энергию этой системы то, точка конфигурации системы  стремится развиваться таким образом, чтобы свести к минимуму U. Кроме того, равновесие описывается следующим уравнением:
, (20)
которая получается взятием производной уравнения (19), которая  представляет принцип минимума свободной энергии.
[74] Ситуация иллюстрируется на рисунке 10. Слева график, где ;>0, можно считать представляет стабильное раздвижение блока. Здесь есть только одна местная потенциальная яма в U, поэтому небольшая силы f производит малый сдвиг стабильной точки  ;0, соответствующая минимальному значению U. Эти уравнения описывают простую модель устойчивого раздвижения.
[75] В правой графике рисунка 10, ;< 0, и существует очень различные физические ситуации, в которых есть два локально стабильных (минимум энергии) состояний ;L и ;R (слева и справа). Если f = 0, две местные потенциальные ямы  одинаковой глубины, и ни одно состояние ; не является предпочтительным по основе наименьшей потенциальной энергией. Однако, теперь ситуация, когда f>0, так что правая яма также имеет меньшую энергию, чем левая яма. Как f увеличивается, слева яма также становится мельче, и справа яма становится глубже. Между левым локальным минимумом в U и правым локальным минимумом в U, есть локальный максимум в U,  ;max=0, свободный энергетический барьер между двумя местными минимумами. Левый локальный минимум имеет более высокую энергию, чем правый локальный минимум. Таким образом левой минимум ;L является метастабильным, в то время как правый минимум ;R  самым низким состоянием энергии и, следовательно, стабильным. Когда F увеличивается дальше, точка перегиба будет происходить, и слева минимум исчезнет, это предел метастабильности. Для модели слайдер блока это предельное значение f соответствует на статическому коэффициенту трения, и блок будет внезапно слип, тем самым уменьшая f. Локальный максимум соответственно состояние локально неустойчивого равновесия. Эта модель поэтому кандидат для процесса неустойчивого прерывистого (стик слип) : Если конфигурация системы изначально соответствует метастабильному состоянию, как f увеличивается, внезапный переход будет происходить в определенной точке, как системы конфигурация перемещается из высшей свободной энергии, метастабильной ямы на нижнюю свободной энергии, стабильную яму. При этом таким образом, точка системы должна пройти  над локальной энергии барьер вблизи ;= 0. В более исходном смысле этого процесса называемого зарождением, и она соответствует первого порядка фазовому переходу.
[76] Спинодальная линия определяется значениями параметра ;, ; и f, при которых энергетический барьер только исчезает, а функция U [;] имеет точку перегиба. Спинодальная линия представляет классический предел стабильности системы, так как исчезновение энергетического барьера означает, что система имеет теперь только один локальный минимум, глобально стабильный минимум, вместо двух локальных минимумов. Поэтому переход от  ;L к  ;R с ростом f становится неизбежным.
[77] Это ясно желательно расширить модель, описанную выше, которая применима к простому слайдер блоку, в большом массиве слайдер блоков. Более главная версия уравнения (20), что позволяет как пространственные, так и временные флуктуации  является времени -независимое уравнение Гинзбурга-Ландау [Хакен, 1983]:
. (21)
Это уравнение возникает во многих отраслях науки, когда последствия внезапных (первого порядка) переходов из одного состояния в другое  наблюдается. В случае землетрясений, например, это простое представление для физической ситуации двух сред в контакте на нерегулярной раздвижной поверхности, имеющей шишки (bumps), дёрн (divots), и зведности (неровностей asperity), в которых ; (x, t) представляет собой разницу между перемещением в точке х и времени t.
[78] Здесь коэффициент T - характерное время, и коэффициент R2 нового Лапласиана термин -квадрат ранга взаимодействия R, который физически представляет расстояние, на котором эффекты флуктуации в ;(x,t) в точке х непосредственно связаны с физическими переменными, такими как стресс и слип, которые расположены в другой точке х`. Пространственные и временные вариации в ; (x,t) теперь  возможны.
6.3. Масштабирование
[79] Уравнение (21) позволяет нам продемонстрировать, что масштабирование и степенной закон статистических распределений обязательно связанных с фазовыми переходами второго порядка. Основная идея заключается в масштабе уравнения (21) так, чтобы оно равномерно справедливо вблизи возможных фазовых переходов. Важные контроля параметры в этом процессе являются ; и f, так как магнитуда и знак этих параметров контролируют форму U [; (X, t)] и, следовательно, характеристики фазового перехода.
[80] Пусть нам сначала положат f=0 и измерят необходимые масштабирования уравнения (21) в непосредственной близости от ;=0. В целях сделать  это, введем масштабируемые безразмерные переменные
 , , . (22)
Подстановка из уравнения (22) в уравнение (21) с f=0 дает
. (23)
На основе данного масштаба в уравнении (22), определить соотношение длины  и время корреляции? в соответствии с
, . (24)
В пределе ; ;0 критическая точка, корреляция длины и времени подходят к бесконечности со степенным законом масштабирования.
[81] Иначе, мы можем положить ;=0 и измерим необходимое масштабирование уравнения (21) в непосредственной близости от f= 0. Для того чтобы сделать это, введем масштабируемые безразмерные переменные:
 , , . (25)
Замена уравнения (25) в уравнение (21) с ;=0 дает
. (26)
На основе данного масштаба в уравнении (24),определить соотношение длины  и время корреляции?в соответствии с  
 . (27)
В пределе f;0 критическая точка, корреляция длины ; и времени ; снова стремится к бесконечности со степенным законом масштабирования.
[82] Эти значения (;, f), т. е. (0, 0), определяют Гинзбурга-Ландау "критическую точку". Контроля параметров (;, f), которые мера близости системы к критической точке, называются "поля масштабирования." Уникальным свойством такой критической точки в том, что, независимо от того  ; или f является управляющим параметром, имеет масштабирования соотношение для длины ; с точки зрения одного из масштабирования полей, где  является ; корреляция длины, поскольку он устанавливает шкалу для пространственных флуктуаций, возникающие с Лапласиана терма [Стэнли, 1971; Гантон и Дро, 1983; Бинни и др.., 1993]. Аналогичным образом ; - время корреляции, поскольку он устанавливает сроки для флуктуаций, возникающих из производной по времени терма.
[83] Более конкретная связь между физикой зарождения и критическим явлением и землетрясениями была сделана моделью под названием путешествия волны плотности (TDW) модели для землетрясений [Рандл и др.., 1996]. Здесь уравнение, аналогичное уравнению (21) может быть записано в виде
 , (28)
где терм kL; заменил f. Синус терм - новый и представляет периодические силы трения. Системы ведется со скоростью V пластины  синус термом. В приложениях для реальных материалов синус терм, предположительно, заменен суммой Фурье термов. Там также может быть шум в форме аддитивного случайного шума терм, два эффекта приводят к случайной, неупорядоченной пиннинга (тоскуя) силы, представляющей трение между  раздвижными поверхностями [Рандл и др.., 1996].
[84] Чтобы понять динамику уравнения (28), пусть нам найдет для решения ;(x, t);;(t), которое равномерно в пространстве (без пространственных флуктуаций), но изменяется во времени. Тогда мы имеем следующее уравнение:
 . (29)
В соответствии с уравнением (29), есть также энергии функция U[;,t]:
 (30)
Уравнение (29) связано с уравнением (30) с помощью принципа минимальной энергии в необратимой термодинамике [Рандл, 1989]:
 . (31)

Рисунок 11.  Модель путешествия волны плотности. (Вверху) Графики с параметром ;=2, так что  спинодальное существует (Рекуррентные "хрупкому разрушению"). (Внизу) Графики с ;=0,5, так что спинодальное не существует (рекуррентное "податливому раздвижению"). (Слева) Стресс ; в зависимости от слип дефицита ;. (Справа) Энергия U в зависимости от слип дефицита ;.
 [85] Физика этой модели изображена на рис 11, что опять-таки связано с идеей метастабильности и спинодальной линии или пределу устойчивости. Если параметр ;=2;;2/kL>1, мы имеем ситуацию, показанную в верхней части рисунка 11; метастабильное состояние возможно, и повторяющиеся (recurring) спинодальная линия появляется. Если ;<1, мы имеем ситуацию на нижней части рисунка 11, где всегда есть только одно зависящее от времени, стабильное состояние. Лучшие участки представляют случае периодических рывков, в то время как нижний участки представляют случай стабильное раздвижение с переменной скоростью.
[86] kL член в уравнении (29) представляет квадратичной потенциальной ямой (1/2)kL; 2, который периодически искажен распространяющейся влево волной косинуса. В правом верхнем углу график на рисунке 11 показывает, как плита движения V в уравнении (29) готовит систему для следующего события  (1) принятием глобально устойчивой потенциальной ямы сразу после последнего события и перемещения точки конфигурации системы в состоянии метастабильного равновесия и затем (2) постепенное снижение энергетического барьера до спинодальной линии достигается, в конечном итоге позволяет системе распасться спонтанно во время неустойчивого слип события. Это как видно из этой дискуссии, что между событиями, есть период времени сразу после последнего землетрясения, когда есть только одно глобально устойчивое состояние системы. В последнее время глобально устойчивое состояние постепенно превращается в метастабильное состояние, при котором три точки равновесия существуют: одно метастабильное состояние, одно неустойчивое состояние, и одно глобально стабильное состояние. (Stick-) Стик-слип раздвижное возможно только когда три решения вступили в существование, так как только затем - распад из метастабильного равновесия возможен.
[87] Модель TDW иллюстрирует прерывистую критичность [Саммис и др.., 1996]. Процесс распада может быть пониматься анализом решений уравнения (29), и, в частности, эти решения имеют ряд масштабных свойств наблюдаемых в природе, в том числе Гутенберга-Рихтера масштабирование, Омори типа масштабирования и т.д.   [Рандл и др.., 1996, 1997a, 1997b]. Интервал времени , в ходе которого зарождения барьер исчезает и распад из метастабильного состояния становится неизбежным, действует как масштабирование поле, потому что приводит систему к или от спинодальной линии. Последний выступает в качестве критической точки, вблизи которой масштабирование происходит.
[88]Дособытие (preevent) и послесобытие (postevent) флуктуации и процесс распада из метастабильности может быть связан с подслойным  физическим механизмами предшок (форшок)-основа  шок-послешок (афтершок)  последовательности (секанс). Примеры наших результатов моделирования, вместе с реальными данными из циклов активности в Озере Мамонтов (Mammoth Lakes), штат Калифорния, области, показаны на рисунке 12. Подобные циклы могут  наблюдаться и в других районах мира [Шольц, 2002]. Результаты моделирования были получены на решетку размером 64; 64=4096 сайтов. Корреляции длины ; [Klein и др.., 1996 года;. Рандл и др., 1997a, 1997b] изменяется обратно с высотой барьера разделяющей стабильное и метастабильное состояние:
. (32)
Уравнение (32) говорит, что как основное ударное время приближается, корреляционная длина растет. В непосредственной близости от спинодальной линии корреляция длины расходится как обратно одной четвертой (inverse-fourth)степени высоты барьера, а не обратно половинной (inverse-half) степени подсчитанной  в уравнении (23). Описание этого физического процесса напоминает "прерывистой критичности" модель, предложенной Саммис и др.. [1996] для объяснения развития и роста корреляций на разломе землетрясения, как время основных шок подходов. Соответствующие изменения в ходе масштабирования землетрясения во время предшока и послешока фаз, в соответствии с предсказаниями уравнения (32), в последнее время наблюдалось Жауме и Сайкс [1999] и др. Боумен. [1998]. Мы, таким образом, будем мотивированы изучить эти сходства подробно, узнать, какие наблюдаемые свойства должны быть отражены в сейсмичности распределениях и кластеризации. В зависимости от физических деталей конфигурации метастабильных ям, эта модель может быть связана либо с покоем (депрессия деятельности предшока), или с повышенной деятельностью предвестника (повышение активности предшока).

Рисунок 12. Циклы землетрясений (форшок-основной удар- афтершок событий) из (а) Мамонта Озера, штат Калифорния, и (б) путешествия плотности моделирования волн [после др. Рандл и др.., 1999].

Методы прогнозирования землетрясений
[89] Как отмечалось в разделах 1 и 2, как правило, принято считать, что землетрясения хаотические явления. Таким образом, как и в случае прогноза погоды, землетрясения прогнозирование должно рассматриваться на основе статистических данных. Однако не существует общепринятого прогнозирования землетрясений алгоритмов в настоящее время. Фундаментальный  вопрос есть ли модель сейсмичности, которая может быть использована для прогноза будущих землетрясений. Обнадеживающие результаты предлагают, что это может быть возможно, должно в последнее время быть получено. Данные по ускоренному моментальному обзору приведены в разделе 2.3 безусловно свидетельствуют, что могут быть "действия на расстоянии " первые по крайней мере некоторых землетрясений. Эти "действия на расстоянии" может быть физикой, лежащей в основе прогнозирования землетрясений алгоритмы, разработанные в международном Институте теории прогноза землетрясений и теоретической геофизики в Москве под руководством академика В. И. Кейлис-Борок. Этот подход основан на модели распознавания распределенной региональной сейсмичности [Кейлис-Борок, 1990; Кейлис-Борок и Rotwain, 1990; Кейлис-Борок и Кособоков, 1990; Кейлис- Борок и Соловьев, 2003]. Предостерегающие сейсмичности шаблоны были найдены для сильных землетрясений в Калифорнии и Неваде (алгоритм "CN") и для  землетрясений m> 8,0 во всем мире (алгоритм "М8"). Когда порог аномального поведения был достигнут, предупреждение о времени повышенной вероятности (TIP)  землетрясения выдано. Успешное советы были выданы до 42 из 47 событий. Советы были выпущены до армянского землетрясения 7 декабря 1988 года и до Лома Приета землетрясения 17 октября 1989 года. Такой подход, безусловно, не без критики. Независимые исследования установил справедливость (наконечник) TIP для Лома Приета землетрясения, однако, появление узнаваемого предвестника моделей до землетрясения Ландерс  сомнительна. Кроме того, статистическая значимость размера и временных интервалов предупреждений в активных сейсмических районах  под сомнением. Тем не менее, сейсмической активизации до для сильного землетрясения, безусловно, представляется одной из наиболее перспективных подходов к прогнозированию землетрясений.
[90] Альтернативный шаблона информатики (PI) подход для прогнозирования землетрясений была предложена Рандл и др.. [2000D, 2002] и др. Tiampo. [2002а, 2002с]. Это подход основан на сильной корреляции пространства-времени, которые отвечают за кооперативное поведение управляемых систем порога, таких как модель TDW описанная в разделе 6.3. Корреляции возникают как из порога динамики, а также из значения поля (дальнего ранга) характер взаимодействий. Управляемые (Driven) системы порога могут рассматриваться как примеры фазовых динамических систем [Мори и Курамото, 1997], когда ставка вождения постоянна, так что интегрированная стресс диссипация или скорострельность по всем узлам почти постоянна, с исключением малых флуктуаций.
[91] В порога системах, таких как землетрясения разломы, стресс, как правило, поддерживается с постоянной ставкой, но рассеивается эпизодически с помощью землетрясений. Благодаря природе значения поля  и симулированная, и реального порога систем,  обнаружено, что, как размер системы N увеличивается, амплитуда "малых флуктуации " уменьшается примерно как .
[92] Используя и моделирования, и наблюдаемых данных землетрясения, Tiampo и др.. [2000, 2002c] и Рандл и др.. [2000D, 2002] показали, что пространственно-временные шаблоны порога событий (землетрясений) могут быть представлены зависящими от времени вектором состояния системы в гильбертовом пространстве. Длина вектора состояния представляет средний временной частоты событий через регион и тесно связана со ставкой f [;, V], при которой напряжение рассеивается. Можно сделать вывод, что информация о пространства-времени флуктуациях в состоянии системы представлена исключительно фазовым углом вектора состояния, следуя, термину "фаза динамики." Изменения в норме вектора состояния представляют собой только случайные флуктуации и могут по большей части быть удалены, требуя вектор системы состояния, чтобы иметь постоянную норму.
[93] Такой подход PI лучше проиллюстрировать с помощью конкретных примеров. Tiampo и др.. [2000, 2002b] проанализировали данные из Южной Калифорнии с 1932 года между 32° и  37° северной широты и 238° и до 245° и восточной долготы. Поверхности площадь была разделена на N= 3162, квадратные коробки с размером LCG=0,1°~11 км, что соответствует примерно на линейному размеру землетрясения магнитудой m~6. Стандартный набор данных онлайн, доступный через веб-сайт, основанный СУЭК (SCEC) (каталог SCSN), был использован. Этот набор данных включает  все инструментально записанные землетрясения в южной части Калифорнии в начале времени t0 =1 январь 1932 и расширяющийся до настоящего времени. Для этого региона, землетрясения с магнитудой больше чем mc= 3 как правило, используются для обеспечения полноты каталога с 1932 году. Идея заключается в использовании малых событий, имеющих шкалу  ;<LCG для прогнозирования возникновения крупных событий, имеющих шкалу ; > LCG.
[94] Сейсмической интенсивностью в коробке i называется общее число, N (xi, tb, t), землетрясений в коробке во время периода времени tb к t с магнитудой больше чем mc. Для каждой коробки функция активности ставки S(xi, tb, t) определяется как средняя ставка возникновения землетрясений в коробке i в период tb по t. То есть,
 . (33)
Нормированная функция активности ставки найдена  вычитанием пространственного значения для всех коробок и делением  пространственным стандартным отклонением
. (34)
Изменения в нормированной функции активности ставки для  прогнозируемого периода времени t1 до t2 найдены  вычитанием нормированной функции  активности ставки за период времени, tb в t1 от нормированной функции  активности ставки для  периода времени tb до t2,
 (35)
Изменения в нормированной функции деятельности ставки, затем полученные для последовательности значений, приняты на ежегодных интервалах от t0 до t1- 1.  Эти изменения являются, затем усредненные, дать значение нормированного изменения в активности
. (36)
Наконец, введем вероятность изменения активности в коробке относительно к фону; это дано разницей между квадратом значения нормированного изменения в активности для  коробки и ее пространственным значением:
. (37)
Поскольку ;s (xi, t0, t1, t2) в квадрате, вероятность является мерой как сейсмической активизации так и сейсмического покоя. Использование ;P для прогнозирования землетрясений относят к типу метода шаблона информатики.
[95] Теперь мы применим метод PI к югу Калифорнии. Распределение относительной сейсмических интенсивности для южной Калифорнии на период 1932-1991  приведено на рис 13а. Относительная интенсивность определяется быть логарифмом отношения N (xi, t0, t1) / N (xi, t0, t1)max, где N(xi, t0, t1) число землетрясений в коробке i в период t0 =1 январь 1932 и t1=31 декабрь 1991 года и N (xi, t0, t1)max наибольшее значение N (xi, t0, t1).
 
Рисунок 13. (А) Относительная сейсмическая интенсивность log10 [N (xi, t0, t 1) / N (xi, t0, t1)max] для южной Калифорнии за период 1932 - 1991 используя цветовой код ниже рисунке 13. (Б) Ретроспективный прогноз землетрясений за период 1992-2002 используя PI методологию прогнозирования. Относительная вероятность для активности log10 (;P / Pmax) приведена для южной Калифорнии с использованием цветного кода выше рисунка 13. Время , использованное, было t0 1 январь 1932 года t1 1 январь 1978 года, и t2 31 декабрь 1991. Землетрясения, произошедшие в период с 1978 по 1991 год, показаны как перевернутые треугольники (наименьший треугольник 5,0< m; 6,0, промежуточный треугольник 6,0<m; 7,0, и крупнейший треугольник m> 7,0). Землетрясения, которые произошли с 1991 года представлены в виде кругов (Наименьший круг 5,0<m<6,0, промежуточный круг 6,0<m; 7,0, и крупнейший круг m> 7,0). (C) Вероятность (log10L) значения для 500 рандомизированных испытания каталогов (гистограмма), интенсивности карта на рис 13а используется как прогнозная карта (левая вертикальная штрих-пунктирная линия), и PI метод на рисунке 13b (правая вертикальная штрихованная линия). Большие значения относительной вероятности представляют более вероятными прогностические модели.
[96] PI метода прогноз землетрясений в этом регионе приведен на рис 13b. При применении метода к N= 3162 0,1°;0,1° коробке с mc= 3,0,  время, использованное, было t0 1 января 1932 года t1 1 января 1978 года, и t2 31 декабря 1991. Это было, знача, быть ретроспективным прогнозом на период 1992-2002 гг. Относительные переменные вероятности активности приведены в форме log10 (Рj /; Pjmax). Цветом кодированные аномалии показаны на рисунке 13b. Обратите внимание, что только положительные значения log10 (Рj /; Pjmax) заданы. Таким образом цветом кодированные регионы представляют регионы аномально высокой сейсмической активации или высокого сейсмического затишья. Обратите внимание, что нет данных было использовано в затененной аномалии рис 13b от времени после 31 декабря 1991 года, за 6 месяцев до 27 июня 1992 m~7,3 Ландерс землетрясения (34°13` N широты, 116° 26` западной долготы). Землетрясения с m> 5,0, которые произошли в период 1978-1991 показаны, как перевернутые треугольники. Землетрясения с m>5.0, которые произошли с 1991 года представлены в виде кругов.
[97] Визуальная  инспекция рис 13, б показывает, что ретроспективный прогноз достаточно успешен, но строгое статистическое тестирования требуется. Tiampo и др..[2000, 2002b] использовали два типа нулевых гипотез для проверки прогноза на рисунке 13b. (1) Тысячи рандомизированных каталогов землетрясений были получены из наблюдаемых каталогов с помощью того же места и общего количества событий, но назначающие  каждое событие случайного времени возникновения из равномерного распределения вероятности по 1932-1991 годам. Рандомизованный каталог таким образом, разрушивший  любую когерентную структуру пространства-времени, должен существовать в данных. Эти случайные каталоги были использованы для построения набора нулевой (нуля) гипотезы, так как любой прогноза метод с использованием такого каталога не может, по определению, давать полезную информацию. (2) Для второго нуля гипотезы интенсивность сейсмических данных на рис 13а была использована непосредственно как плотность вероятности как это было предложено в литературе [Каган и Джексон, 2000] для стандартного нуля гипотезы.
[98] Тест максимального правдоподобия [Гросс и Рандл, 1998; Бевингтон и Робинсон, 1992; Каган и Джексон, 2000;. Tiampo и др., 2002a] был использован для оценки точности, с которой вероятностную меру ;Рi можно прогнозировать "будущие" (t>t2) "большие" (m; 5,0) события, по отношению к прогнозу от нулевой гипотезы. Правдоподобие L является вероятностной мерой, которая может быть использована для оценки полезности одного прогноза меры по другому. Как правило, вычисляется log10 (L) для предлагаемой меры прогноза L и сравнивается это с вероятности мерой L N для представленной нулевой гипотезы. Отношение этих двух значений, затем дает информацию о том, какая мера- более точное прогнозирование в будущих событиях.
[99] Рис 13с показывает вычисления (1) log10(L) для 500 случайных каталогов первого типа (гистограмма), (2) log10(L), для карты сейсмической интенсивности на рис 13а  (Вертикальная штрих-пунктирная линия), и (3) log10(L) для прогноза на рис 13b (пунктирная линия). Поскольку большие значения из log10(L) указывают на более успешные гипотезы, логический вывод, что метод имеет прогнозирования навыки.

Рисунок 14. Схемы информатики метода прогноз для южной части Калифорнии на период 2000-2010 годов [Tiampo и др., 2002a. Рандл и др.., 2002]. Относительная вероятность log10(;P/;Pmax)  дана с использованием цветового кода в верхней части рисунка 14. Времена  использованые t0= 1 января 1932 года, t1= 1 января 1990 года, и t2=31 декабря 1999. Землетрясения с m> 5,0, которые состоялись в течение 1990-1999 показаны в виде перевернутого треугольника. Круги представляют события с магнитудой m> 5,0, которые произошли так далеко во время периода прогноза.
[100] Истинное испытание любого алгоритма прогноза землетрясений -  сделать будущий прогноз, который окажется правильным. Tiampo и др.. [2002а] и Рандл и др.. [2002] сделали это для периода 2000-2010 годов. Такой прогноз приводится в рисунке 14. Значения log10 (;Рj / ;Pjmax) приведены использованием того же кода цвета, как на рисунке 13b. Для этого прогноза времена были использованы t0= 1 января 1932 года, t1= 1 января 1990 года, и t2= 31 декабря 1999. Также показано на рисунке 14-события с m>5,0, состоявшиеся в течении периода 1990-1999 годов.
[101] Ставка успеха этого метода прогнозирования была положительна. Количество событий совпадает, с ±11 км погрешностью (шелухи зернистости размер коробки), с прогнозами, в которых большие землетрясения произошли в районах, предсказанных методом, имеющим быстро растущую вероятность события. Эти события (SCSN каталог) включены m=5,1 Большой Медведь I событие 10 февраля 2001 года (событие 1, рисунок 14); m= 5,1 Анза событие на 31 октября 2001 года (событие 2, рисунок 14); m=5,7 Баджа событие от 22 февраля 2002 (событие 3, рисунок 14); m=4,9 (впервые доложены на m=5.2) Гилрой событие 13 мая 2002 года (события 4, рисунок 14); и 5,4 м Big Bear II событие 22 февраля 2003 (событие 5, рисунок 14). Из этих событий первое (Big Bear Я) произошло после исследований [аль Рандл и др.., 2002] было  завершено (январь 2001), второй (Анза) произошло после статьи в прессе (июнь 2001 года); и события 3-5 все произошли после публикации статьи  Рандл и др. [2002] 19 февраля 2002 года.
8. Обсуждение
[102] В обзоре рассматриваются недавно разработанные подходы к пониманию физики землетрясений на основе применения статистической физики с наблюдаемыми данными и численными моделированиями процессов землетрясения. Ранние подходы подчеркивают либо геологические исследования и картирование или применение методов сплошной среды, разработанных в технике, в том числе таких областях, как эластичность, вязкоупругость, пластичность, механика жидкости и трение. Статистической физики подход отличается от ранних подходов его акцентом на процедуры землетрясения разломов и отказов систем как многомерных динамических систем характеризуемых широким диапазоном масштабов в пространстве и во времени. Примеры таких масштабов можно увидеть в фрактальной топологии отказов систем, в линейности Гутенберга-Рихтера амплитудно-частотного отношения, а в других наблюдается статистика землетрясений, в том числе изменённая Омори отношение афтершока и Bufe-Варнс закон предвестников активации.
[103] Мы также описываем различные модели, вместе с их анализом статистическими механическими методами. Многие из этих моделей были использованы для построения численного моделирования физики землетрясения, некоторые из которых используют подход клеточного автомата. Первый успешный пример этого класса моделей - Берридж-Knopoff слайдер блока модель [Берридж и Knopoff, 1967], которая использует массивные блоки ведущие к набору дифференциальных уравнений, основанных на Ньютона втором законе. Первый версия клеточного автомата Берридж-Knopoff слайдер блока модели была опубликована по Рандл и Джексон [1977], а также включает анализ физики землетрясения на основе закона трения характеризуемого, зависящим от времени, ослаблением.
8.1. Статистическая физика приложенная к разрушению
[104] Статистической физики подход считает землетрясение, чтобы быть типа обобщенного фазового перехода. Хотя некоторые исследователи подчеркнули аналогии землетрясений  с переходами второго рода ("критической точечной модели для землетрясений "), много последних работ показывают,  что модели, основанные на зарождении и первого порядка фазовые переходы, вероятно, более применимы. Оба подхода приводят к законам подобия или распределения степенного закона для динамических переменных. Переходы второго рода демонстрируют масштабирования вблизи критической точки, в то время как переходы первого рода демонстрируют масштабирования, когда ранг взаимодействия велик (значение состояние поля), как это в случае с упругими взаимодействиями. В переходах первого рода значение состояния поля позволяет спинодальная линия, или классический предел стабильности, чтобы быть подходящим в течение переходного процесса. Спинодальная линия ведет себя как линия критических точек, в которых законы подобия с четко определенными масштабирования показателями видны.
[105] Хрупкое разрушение, процесс, который тесно связан с землетрясениями, является еще одним примером процесса, который может быть смоделирован переходами первого рода. зарождения и слияния микротрещин в хрупких отказах аналогично гомогенному зарождению пузырьков в перегретой жидкости. Твердое тело напряженнное выше текучести -, затем считается находится в метастабильном режиме, аналогично к той перегретой жидкости. Взрывное однородное зарождение пузырьков в перегретой жидкости происходит рядом со спинодальной линией, которая является пределом допускаемого перегрева. Фаза изменения вблизи спинодали линии имеет много масштабирования аспектов перехода второго рода вблизи критической точки, но с разными показателями масштабирования в целом. Таким образом, представляется разумным утверждать, что генерация и слияние микротрещин до разрушения материала очень похожа на однородное и / или разнородное зарождение пузырьков до жидкости в газ изменения фазы в перегретой жидкости. 8.2. Термодинамические переменные.
[106] Температура играет существенную роль практически во всех приложениях статистической физики. Тепловые флуктуации непосредственно связаны с подходом к критической точке или изменению фазы. Эти колебания несут ответственность для гомогенного зарождения перегретой жидкости вблизи спинодали линии.
[107] В аналогии между изменением фазы и хрупким разрушением не вызывает сомнения, связать стресс с давлением и деформацией с удельный объемом (плотностью). Однако то, что о температуре? Экспериментальные результаты неоднозначны. Однако, существуют значительные доказательства того, что флуктуации в напряжении (упругих колебаний) связанны с микротрещинами играют роль в хрупком разрушении, что аналогично колебаниям давления вызванные тепловыми флуктуациями в классической фазе изменения.
8.3. Землетрясения верстка
[108] Основной вопрос в физике землетрясения – являются ли землетрясения  шкалы инвариантом. Магнитуды m= 2,0 такие же, как магнитуды m=4,0  , такие же, как величины m=6,0 м, такие же, как величины m= 8,0? Наблюдения сейсмической активизации предполагают, что это происходит для больших и малых землетрясений. Увеличение числа от землетрясения силой 4 предшествуют 5,5 землетрясения, увеличение числа землетрясения силой 5,5 предшествуют 7,0 землетрясения, и увеличение числа землетрясения силой 7 предшествуют 8,5 землетрясения. На основании результатов, приведенных в разделе 2.3, сейсмические активации, имели место до m= 7,5 м округ Керн землетрясение, m=7,3 Ландерс землетрясения, и m= 6,7 Нортридж землетрясение.
8.4. Модели статистической физики
[109] Ряд моделей, были введены  за последние 15 лет, которые обладают повторяющихся лавин поведения и шкалирование степенного закона, связанные с отказом систем. Модель, наиболее тесно связанная с отказом систем является модель слайдер блока. Движение блоков по поверхности происходит в слип событиях. Этих событий шкала в способе похожа на фактический разлом разрывающий. 
[110] Обширные исследования моделей слайдер блока показывают, что они обладают спектром поведений, которые обычно происходят в статистической физике. Распределение энергии в источниках (спринг) становится термализованным и демонстрирует Максвелла- Больцмана распределение во многих случаях [Рандл и др.., 1995].
8,5. Прогнозирование землетрясений и землетрясений шаблоны
[111] Статистическая физика приводит, естественным образом, к развитию методов для определения пространственно-временных моделей сейсмичности. Эти методы могут быть использованы для определения, есть ли систематические модели сейсмичности, которые могут быть предшественниками будущих сильных землетрясений. Сейсмическая активации, как это предложено Bufe и Варнс [1993], должна в настоящее время быть признана, чтобы иметь место для значительного числа землетрясений с широким кругом магнитуд (см. рис 2). Предвестник покоя, пока более трудно определить и наблюдать, может также возникнуть: степенной закон увеличения в деформации Беньофа не происходит (или не может быть признан) для всех землетрясений. Исследования сейсмической активации на сегодняшний день в основном ретроспективно, и прогнозирование и предсказание будущих больших землетрясений, основанное на методах шаблона анализа только только начинается.
[112] Русская группа, под руководством В. И. Кейлис-Борок, разработала ряд между средами терма (intermediate-term) прогнозирования землетрясений алгоритмов, основанных на шаблон- технологии распознавания [Кейлис-Борок и Соловьев, 2003]. Регулярные землетрясения "тревоги" (время  повышенной вероятности, или "Советы") выдаются. Там есть было две претензии успеха с этой методологии, 1988 Армянского землетрясения и в 1989 году Лома Приета, Калифорния, землетрясение. Однако, ряд относительно сильных землетрясений не было предсказано или спрогнозировано, и подход погряз в спорах. Ключевой элемент в этих алгоритмах является предвестник увеличения сейсмической автивности над районами близкими по размерам к распознавания шаблону сейсмической активизации.
[113] Другой, более поздний подход к прогнозированию землетрясения с использованием шаблона информатики (PI), был предложен группой Колорадо [Рандл и др., 2002;. Tiampo и др., 2002b, 2002c]. Этот подход, который не зависит от установки любых параметров модели по подготовке данных, основана точно на идеях о фазовых динамических системах. Классические примеры фазовой динамики включают системы жидкости, реакция-диффузия системы, а в общем, любые диссипативные системы, в которых фаза может быть определена [Мори и Курамото, 1998]. Здесь вероятность для  будущих больших событий могут быть вычислена из данных самих, без ссылок на любую модель. В этом методе, миграция наименьших землетрясений от одной области пространства в следующую по времени используется в качестве индикатора для будущей активности крупнейших событий. Карты можно подсчитать, что прогноз мест и максимальных магнитуд крупнейший будущих событий. Карта этого типа был опубликован по Рандл и др.. [2002] и др. Tiampo. [2002а]. Три землетрясений с магнитудой m> 5,0 произошло после публикации первой статьи 19 февраля 2002 года, и все три события правильно упали в прогноз регионах (см. рисунок 14), тем самым указывая, что метод может иметь широкие перспективы.
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
[114] Мы утверждали, что системы землетрясений разломы представляют класс ведущих нелинейных динамических систем характеризуемый широким рангом шкал как в пространстве и времени, от сантиметров до тысячи километров, и от секунд до многих тысяч лет. Шаблоны поведения в высоко-размерных природных системах, как правило, хаотичны и сложны. В большинстве случаев, трудно или невозможно непосредственно наблюдать текущее состояние системы, или иметь детальное знание динамики с помощью которых система развивается. Нелинейности в динамике обычно приводят к сильным спариваниям между различными пространствами и шкалами времени, так что активность на больших пространствах и длинных шкал времени может иметь драматические удары для событий, которые происходят на небольшом пространстве и короткие шкалы времени, и наоборот. Наблюдения природных систем может иметь лишь ограниченное применение в прогнозировании и экстраполяции будущего развития системы, поскольку такие наблюдения принимаются в очень ограниченный ранг шкал, и необходимо неполны. Всеобъемлющего понимания нелинейной динамики землетрясения неисправность системы может быть создана лишь путем дополнения наблюдений со сложной программой численного симулирования, что приводит к развитию теоретических идеи и результатам, которые могут быть применены к природной системе. Симулирование имеет явные преимущества, такие как 1) эффекты различных масштабов во времени и пространстве может быть испытаны, даже те, гораздо больше и дольше чем человеческие размеры, 2) различные нелинейных динамических процессы могут быть предложены, и их последствия определяются, в качестве кандидатов на динамику ненаблюдаемую, которая характеризует природные системы и 3) данные могут быть ассимилированы в симуляциях с использованием хорошо понятными методами, позволяющие тщательную оценку важности конкретных данных и приводит к развитию организованных программ сбора данных. Здесь мы обобщили результаты нового поколения Землетрясение вине системы моделирования, а также вновь разработанных аналитических методов для этих фундаментально высоко- размерных систем, которые возникают из статистической физики точки зрения. Заметим, что аналитические методы фундаментальны и уже применяются в к пониманию других высоко- размерных нелинейных систем, в том числе нейронные сети, стеклянные переходы, ведущие (driven) пены, полупроводников и сверхпроводников. Исследования мы описываем демонстрирует полезность даже простых высоко- размерных моделей, таких как слайдер блок системы с  динамикой клеточного автомата, лесного пожара модели, и модели протекания. Даже на этом ранней стадии, модели предсказывают результаты, которые подтверждается новыми наблюдениями. Пример изменение  времени в регионального землетрясения магнитуда -частота распределения до сильных землетрясений. Новый метод анализа вектора состояния для региональной сейсмичности наблюдений является еще одним примером, который показывает значительное обещание, как внутри среды – терм (среднесрочный intermediate-term) прогноза землетрясений инструмента.
Обозначения
a мера регионального уровня сейсмичности
A разрыв области.
Ae области слип событий.
АF области горящего кластера.
 b "b переменная".
B постоянная в уравнении (7).
С постоянная в уравнении (3).
c специальное тепло
D фрактальная размерность.
ei сейсмическое энерговыделение i-го землетрясения.
E0 модуль Юнга
f сила
 fs искреняя частота.
F сжимающая сила.
h магнитное поле
H опасности ставка
kC подключения пружины постоянная.
kL погрузчик пластины пружины постоянная.
L длина образца.
 LCG размер квадратной коробки.
L правдоподобия вероятностная мера.
m магнитуда землетрясения.
mc магнитуда обрезания.
m масса слайдер блока.
M намагниченность
 N число событий.
 Nas число толчков.
Ne число слип событий.
NF число пожаров.
NGR кумулятивное число землетрясений.
p показатель в Омори законе
р вероятность
P давление
Pc критическое давление
Pf отказа давление
Ру выход давления.
;P изменение в вероятности для сейсмической активности
q координационное число решетки
 R спектр взаимодействия.
s показатель в уравнении (7).
 значение переменной s
 S функция активности ставки.
 нормированная функция активности ставки.
;s значение нормированной  активности ставки
t момент времени.
t0, t1 константы в Омори законе
t0, t1, t2, tb даты  ссылки.
tf время на провал.
tsp характерное время повреждения
tsp время, в которое спинодальная точка достигнута.
;t  интервал времени
; t безразмерное время.
T характерное время.
T температура
Тс температуры в критической точке.
U энергетический потенциал.
v удельный объем.
vc критических удельного объема.
V скорость ведущей пластины.
z динамический показатель.
х пространственная координата.
; повреждение изменяемое.
; постоянная.
; жесткость системы.
; экспонента в уравнении (3).
; параметр в уравнении (28).
Г Гинзбурга критерий.
; постоянной в уравнении (19).
;B кумулятивной деформации Бениофф.
;0 кумулятивной деформации Бениофа при ;t = 0.
; деформация
;y  выхода напряжения.
; параметр в уравнении (28).
; длины шкала
; параметр в разделе 6.3.
;d  коэффициент динамического трения.
;s  коэффициент трения покоя.
; параметр порядка (слип дефицит).
; L, ; R, ; max экстремума значения ;
; слип дефицит.
; напряжение сдвига.
; критическое медленно вниз.
; стресс.
;N нормальное напряжение.
;y текучесть.
; экспонента в уравнении (18).
; плотность.
; c плотность в критической точке.
;gas плотность  газовой фазы. 
; корреляции длина.
[115] Авторы. Эта работа была поддержана НАСА / JPL грант 1247848 и U. S. Гранта DOE DE-FG03-03ER15380 (JBR, DLT, и RS) и Министерства энергетики США /ОBES грант DE-FG02-95ER14498 и W-7405-ENG-6 на LANL (WK). Мы хотели бы поблагодарить Кристи Tiampo за её большой вклад в эту работу. Мы также хотели бы поблагодарить Иегуда Бен-Цион, Мюррей Гелл-Манн, Джеймс Холлидей, Дэвид Д. Джексон, Том Иордании, Владимир Кейлис-Борок, Владимир Кособоков, Бернард министра, и Фрэнк Пресс за многочисленные полезные дополнения.
[116] Томас Торгерсен  ответственный редактор за этот документ. Он благодарит двух технических обозревателей и одного междисциплинарного рецензента.
REFERENCES
Aki, K., A probabilistic synthesis of precursory phenomena, in
Earthquake Prediction: An International Review, Maurice
Ewing Ser., vol. 4, edited by D. W. Simpson and P. G.
Richards, pp. 566–574, AGU, Washington, D. C., 1981.
Anghel, M., W. Klein, J. B. Rundle, and J. S. Sa. Martins,
Scaling in a cellular automaton model of earthquake faults,
Phys. Rev. E, in press, 2003.
Bak, P., C. Tang, and K. Weisenfeld, Self-organized criticality,
Phys. Rev. A, 38, 364–374, 1988.
Bak, P., K. Chen, and C. Tang, A forest-fire model and some
thoughts on turbulence, Phys. Lett. A, 147, 297–300, 1992.
Ball, P., The Self-Made Tapestry, Oxford Univ. Press, New
York, 1999.
Ben-Zion, Y., and V. Lyakhovsky, Accelerated seismic release
and related aspects of seismicity patterns on earthquake
faults, Pure Appl. Geophys., 159, 2385–2412, 2002.
Ben-Zion, Y., and C. G. Sammis, Characterization of fault
zones, Pure Appl. Geophys., 160, 677–715, 2003.
Bevington, P. R., and D. K. Robinson, Data Reduction and
Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, New
York, 1992.
Binder, K., and D. W. Heermann, Monte Carlo Simulation in
Statistical Physics, An Introduction, 3rd ed., Springer Ser.
Solid State Sci.,, vol. 80, 150 pp., Spring-Verlag, New York,
1997.
Binney, J. J., N. J. Dowrick, A. J. Fisher, and M. E. J. Newman,
The Theory of Critical Phenomena, Oxford Univ. Press, New
York, 1993.
Bowman, D. D., and G. C. P. King, Accelerating seismicity and
stress accumulation before large earthquakes, Geophys. Res.
Lett., 28, 4039–4042, 2001.
Bowman, D. D., G. Ouillon, C. G. Sammis, A. Sornette, and D.
Sornette, An observational test of the critical earthquake
concept, J. Geophys. Res., 103, 24,359–24,372, 1998.
Brehm, D. J., and L. W. Braile, Intermediate-term earthquake
prediction using precursory events in the New Madrid seismic
zone, Bull. Seismol. Soc. Am., 88, 564–580, 1998.
Brehm, D. J., and L. W. Braile, Intermediate-term earthquake
prediction using the modified time-to-failure method in
southern California, Bull. Seismol. Soc. Am., 89, 275–293,
1999a.
Brehm, D. J., and L. W. Braile, Refinement of the modified
time-to-failure method for intermidiate-term earthquake
prediction, J. Seismol., 3, 121–138, 1999b.
Buchel, A., and J. P. Sethna, Statistical mechanics of cracks:
Fluctuations, breakdown, and asymptotics of elastic theory,
Phys. Rev. E, 55, 7669–7690, 1997.
Bufe, C. G., and D. J. Varnes, Predictive modeling of the
seismic cycle of the greater San Francisco Bay region, J.
Geophys. Res., 98, 9871–9883, 1993.
Bufe, C. G., S. P. Nishenko, and D. J. Varnes, Seismicity trends
and potential for large earthquakes in the Alaska-Aleutian
region, Pure Appl. Geophys., 142, 83–99, 1994.
Burridge, R., and L. Knopoff, Model and theoretical seismicity,
Bull. Seismol. Soc. Am., 58, 341–371, 1967.
Carlson, J. M., J. S. Langer, and B. E. Shaw, Dynamics of
earthquake faults, Rev. Mod. Phys., 66, 657–670, 1994.
Castellaro, S., and F. Mulargia, What criticality in cellular
automata models of earthquakes?, Geophys. J. Int., 150,
483–493, 2002.
Ciliberto, S., A. Guarino, and R. Scorretti, The effect of
disorder on the fracture nucleation process, Physica D, 158,
83–104, 2001.
Coleman, B. D., Time dependence of mechanical breakdown
phenomena, J. Appl. Phys., 27, 862–866, 1956.
Coleman, B. D., Statistics and time dependence of mechanical
breakdown in fibers, J. Appl. Phys., 29, 968–983, 1958.
Curtin, W. A., Theory of mechanical properties of ceramicmatrix
composites, J. Am. Ceram. Soc., 74, 2837–2845, 1991.
Das, S., and C. H. Scholz, Theory of time-dependent rupture in
the Earth, J. Geophys. Res., 86, 6039–6051, 1981.
Debenedetti, P. G., Metastable Liquids, Princeton Univ. Press,
Princeton, N. J., 1996.
Dietrich, J., A constitutive law for rate of earthquake production
and its application to earthquake clustering, J. Geophys.
Res., 99, 2601–2618, 1994.
Dobrovolsky, I. R., S. I. Zubkov, and V. I. Miachkin, Estimation
of the size of earthquake preparation zones, Pure Appl.
Geophys., 117, 1025–1044, 1979.
Drossel, B., and F. Schwabl, Self-organized critical forest-fire
model, Phys. Rev. Lett., 69, 1629–1632, 1992.
Ellsworth, W. L., A. G. Lindh, W. H. Prescott, and D. G. Herd,
The 1906 San Francisco earthquake and the seismic cycle,
in Earthquake Prediction: An International Review, Maurice
Ewing Ser., vol. 4, edited by D. W. Simpson and P. G.
Richards, pp. 126–140, AGU, Washington, D. C., 1981.
Eneva, M., and Y. Ben-Zion, Application of pattern recognition
to earthquake catalogs generated by model of segmented
fault systems in three-dimensional elastic solids, J.
Geophys. Res., 102, 24,513–24,528, 1997a.
Eneva, M., and Y. Ben-Zion, Techniques and parameters to
analyze seismicity patterns associated with large earthquakes,
J. Geophys. Res., 102, 17,785–17,795, 1997b.
Ferguson, C. D., W. Klein, and J. B. Rundle, Spinodals, scaling
and ergodicity in a model of an earthquake fault with
long-range stress transfer, Phys. Rev. E, 60, 1359–1373,
1999.
Fisher, D. S., K. Dahmen, S. Ramanathan, and Y. Ben-Zion,
Statistics of earthquakes in simple models of heterogeneous
faults, Phys. Rev. Lett., 78, 4885–4888, 1997.
Freund, L. B., Dynamic Fracture Mechanics, Cambridge Univ.
Press, New York, 1990.
Frohlich, C., and S. D. Davis, Single-link cluster analysis as a
method to evaluate spatial and temporal properties of
earthquake catalogues, Geophys. J. Int., 100, 19–32, 1990.
Frohlich, C., and S. D. Davis, Teleseismic b values; or, much
ado about 1.0, J. Geophys. Res., 98, 631–644, 1993.
Fukunaga, K., Introduction to Statistical Pattern Recognition,
2nd ed., Academic, San Diego, Calif., 1990.
Gabrielov, A., W. I. Newman, and D. L. Turcotte, An exactly
soluble hierarchical clustering model: Inverse cascades,
self-similarity, and scaling, Phys. Rev. E, 60, 5293–5300,
1999.
Giering, R., and T. Kaminski, Recipes for adjoint code construction,
ACM Trans. Math. Software, 24, 437–474, 1998.
Gluzman, S., and D. Sornette, Self-consistent theory of rupture
by progressive diffuse damage, Phys. Rev. E, 63, 066129,
doi:10.1103/PhysRevE.63.066129, 2001.
Goltz, C., and M. Bose, Configurational entropy of critical
earthquake populations, Geophys. Res. Lett., 29, 51–54,
2002.
Gross, S., and J. B. Rundle, A systematic test of time-to-failure
analysis, Geophys. J. Int., 133, 57–64, 1998.
Guarino, A., A. Garcimartin, and S. Ciliberto, An experimental
test of the critical behavior of fracture precursors, Eur.
Phys. J. B, 6, 13–24, 1998.
Guarino, A., S. Ciliberto, and A. Garcimartin, Failure time and
microcrack nucleation, Europhys. Lett., 47(4), 456–461,
1999.
Gunton, J. D., and M. Droz, Introduction to the Theory of
Metastable and Unstable States, Lect. Notes Phys., vol. 183,
Springer-Verlag, New York, 1983.
Gunton, J. D., M. San Miguel, and P. S. Sahni, The dynamics
of first order phase transitions, in Phase Transitions and
Critical Phenomena, vol. 8, edited by C. Domb and J. L.
Lebowitz, pp. 269–482, Academic, San Diego, Calif., 1973.
Gutenberg, B., and C. F. Richter, Seismicity of the Earth and
Associated Phenomena, Princeton Univ. Press, Princeton,
N. J., 1954.
Haken, H., Synergetics, An Introduction, 3rd ed., Springer-
Verlag, New York, 1983.
Helmstetter, A., and D. Sornette, Subcritical and supercritical
regimes in epidemic models of earthquake aftershocks, J.
Geophys. Res., 107(B10), 2237, doi:10.1029/2001JB001580,
2002a.
Helmstetter, A., and D. Sornette, Diffusion of epicenters of
earthquake afershocks, Omori_s law, and generalized continuous-
time random walk models, Phys. Rev. E, 66, 061104,
doi:1103/PhysRevE.66.061104, 2002b.
Helmstetter, A., D. Sornette, and J. R. Grasso, Mainshocks are
aftershocks of conditional foreshocks: How do foreshock
statistical properties emerge from aftershock laws, J. Geophys.
Res., 108(B1), 2046, doi:10.1029/2002JB001991, 2003.
Hill, D. P., et al., Seismicity remotely triggered by the magnitude
7.3 Landers, California, earthquake, Science, 260,
1617–1623, 1993.
Holmes, P., J. L. Lumley, and G. Berkooz, Turbulence, Coherent
Structures, Dynamical Systems, and Symmetry, Cambridge
Univ. Press, New York, 1996.
Huang, J., and D. L. Turcotte, Are earthquakes an example of
deterministic chaos?, Geophys. Res. Lett., 17, 223–226, 1990.
Huang, J., G. Narkounskaia, and D. L. Turcotte, A cellularautomata,
slider-block model for earthquakes II. Demonstration
of self-organized criticality for a 2-D system, Geophys.
J. Int., 111, 259–269, 1992.
Jaume., S. C, Changes in earthquake size-frequency distributions
underlying accelerating seismic moment/energy release,
in Geocomplexity and the Physics of Earthquakes,
Geophys. Monogr. Ser., vol. 120, edited by J. B. Rundle,
D. L. Turcotte, and W. Klein, pp. 199–210, AGU, Washington,
D. C., 2000.
Jaume., S. C., and L. R. Sykes, Evolving towards a critical point:
A review of accelerating seismic moment/energy release
prior to large earthquakes, Pure Appl. Geophys., 155, 279–
306, 1999.
Jensen, H. J., Self-Organized Criticality: Emergent Behavior in
Physical and Biological Sciences, Cambridge Univ. Press,
New York, 1998.
Johansen, A., and D. Sornette, Critical ruptures, Eur. Phys. J.
B, 18, 163–181, 2000.
Kachanov, L. M., Introduction to Continuum Damage Mechanics,
Martinus Nijhoff, Zoetermeer, Netherlands, 1986.
Kagan, Y. Y., and D. D. Jackson, Probabilistic forecasting of
earthquakes, Geophys. J. Int., 143, 438–453, 2000.
Kagan, Y. Y., and L. Knopoff, Stochastic synthesis of earthquake
catalogs, J. Geophys. Res., 86, 2853–2862, 1981.
Kagan, Y. Y., and L. Knopoff, Statistical short-term earthquake
prediction, Science, 236, 1467–1563, 1987.
Kanninen, M. F., and C. H. Popelar, Advanced Fracture Mechanics,
Oxford Univ. Press, New York, 1985.
Keilis-Borok, V. I., The lithosphere of the Earth as a nonlinear
system with implications for earthquake prediction, Rev.
Geophys., 28, 19–34, 1990.
Keilis-Borok, V. I., and V. G. Kossobokov, Premonitory activation
of earthquake flow: Algorithm M8, Phys. Earth
Planet. Inter., 61, 73–83, 1990.
Keilis-Borok, V. I., and I. M. Rotwain, Diagnosis of time of
increased probability of strong earthquakes in different
regions of the world: Algorithm CN, Phys. Earth Planet.
Inter., 61, 57–72, 1990.
Keilis-Borok, V. I., and A. A. Soloviev (Eds.), Nonlinear Dynamics
of the Lithosphere and Earthquake Prediction,
Springer-Verlag, New York, 2003.
Klein, W., and F. Leyvraz, Crystalline nucleation in deeply
quenched liquids, Phys. Rev. Lett., 57, 2845–2848, 1986.
Klein, W., and C. Unger, Psuedospinodals, spinodals, and
nucleation, Phys. Rev. B, 28, 445–448, 1983.
Klein, W., C. Ferguson, and J. B. Rundle, Spinodals and
scaling in slider block models, in Reduction and Predictability
of Natural Hazards, Santa Fe Inst. Ser. Sci. Complexity,
vol. XXV, edited by J. B. Rundle, D. L. Turcotte, and W.
Klein, pp. 223–242, Addison-Wesley-Longman, Reading,
Mass., 1996.
Klein, W., J. B. Rundle, and C. D. Ferguson, Scaling and
nucleation in models of earthquake faults, Phys. Rev. Lett.,
78, 3793–3796, 1997.
Klein, W., M. Anghel, C. D. Ferguson, J. B. Rundle, and
J. S. S. Martins, Statistical analysis of a model for earthquake
faults with long-range stress transfer, in Geocomplexity
and the Physics of Earthquakes, edited by J. B. Rundle,
D. L. Turcotte, and W. Klein, Geophys. Monogr. Ser., vol.
120, pp. 43–72, AGU, Washington, D. C., 2000.
Knopoff, L., T. Levshina, V. I. Keilis-Borok, and C. Mattoni,
Increased long-range intermediate-magnitude earthquake
activity prior to strong earthquakes in California. J. Geophys.
Res., 101, 5779–5796, 1996.
Krajcinovic, D., Damage Mechanics, Elsevier Sci., New York,
1996.
Kun, F., and H. J. Herrmann, Transition from damage to
fragmentation in collision of solids, Phys. Rev. E, 59, 2623–
2632, 1999.
Lay, T., and T. C. Wallace, Modern Global Seismology, Academic,
San Diego, Calif., 1995.
Lermusiaux, P. F. J., and A. R. Robinson, Data assimilation via
error subspace statistical estimation, part I, Theory and
schemes, Mon. Weather Rev., 127, 1385–1407, 1999.
Lorenz, E. N., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci.,
20, 130–141, 1963.
Lyakhovsky, V., Y. Ben-Zion, and A. Agnon, Distributed damage,
faulting and friction, J. Geophys. Res., 102, 27,635–
27,649, 1997.
Ma, S.-K., Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin-
Cummings, Menlo Park, Calif., 1976.
Main, I. G., Statistical physics, seismogenesis, and seismic
hazard, Rev. Geophys., 34, 433–462, 1996.
Main, I. G., Applicability of time-to-failure analysis to accelerated
strain before earthquakes and volcanic eruptions,
Geophys. J. Int., 139, F1–F6, 1999.
Main, I. G., A damage mechanics model for power-law creep
and earthquake aftershock and foreshock sequences, Geophys.
J. Int., 142, 151–161, 2000.
Malamud, B. D., G. Morein, and D. L. Turcotte, Forest fires:
An example of self-organized critical behavior, Science, 281,
1840–1842, 1998.
Matsu_ura, M., K. Nakajima, and P. Mora (Eds.), Proceedings
of the 2nd ACES Workshop, Asia Pac. Econ. Coop. for
Earthquake Simul., Brisbane, Queensland, Australia, 2001.
May, R. M., Simple mathematical models with very complicated
dynamics, Nature, 261, 459–467, 1976.
Miller, S. A., Y. Ben-Zion, and J. P. Burg, A three-dimensional
fluid-controlled earthquake model: Behavior and implications,
J. Geophys. Res., 104, 10,621–10,638, 1999.
Mogi, K., Study of elastic shocks caused by the fracture of
heterogeneous materials and its relations to earthquake
phenomena, Bull. Earthquake Res. Inst. Univ. Tokyo, 40,
125–173, 1962.
Molchan, G. M., and Y. Y. Kagan, Earthquake prediction and
its optimization, J. Geophys. Res., 97, 4823–4838, 1992.
Mora, P. (Ed.), Proceedings of the 1st ACES Workshop, Asia
Pac. Econ. Coop. for Earthquake Simul., Brisbane, Queens-
5-28 ; Rundle et al.: STATISTICAL PHYSICS OF EARTHQUAKES 41, 4 / REVIEWS OF GEOPHYSICS
land, Australia, 1999.
Morein, G., and D. L. Turcotte, Localized vibrations in sliderblock
models, Phys. Rev. E, 57, 5126–5134, 1998.
Morein, G., D. L. Turcotte, and A. Gabrielov, On the statistical
mechanics of distributed seismicity, Geophys. J. Int., 131,
552–558, 1997.
Mori, H., and Y. Kuramoto, Dissipative Structures and Chaos,
Springer-Verlag, New York, 1997.
Nakatani, M., Conceptual and physical clarification of rate and
state friction: Frictional sliding as a thermally activated
rheology, J. Geophys. Res., 106, 13,347–13,380, 2001.
Newman, W. I., and S. L. Phoenix, Time dependent fiberbundles
with local load sharing, Phys. Rev. E, 63, 021507,
doi:10.1103/PhysRevE.63.021507, 2001.
Nijhout, H. F., L. Nadel, and D. L. Stein (Eds.), Pattern
Formation in the Physical and Biological Sciences, Addison-
Wesley-Longman, Reading, Mass., 1997.
Ogata, Y., Statistical models for earthquake occurrence and
residual analysis for point processes, JASA J. Am. Stat.
Assoc., 83, 9–27, 1988.
Otani, H., S. L. Phoenix, and P. Petrina, Matrix effects on
lifetime statistics for carbon fibre-epoxy microcomposites in
creep rupture, J. Mater. Sci., 26, 1955–1970, 1991.
Palmer, T., A weather eye on unpredictability, in Exploring
Chaos, A Guide to the New Science of Disorder, edited by N.
Hall, pp. 69–81, W. W. Norton, New York, 1991.
Preisendorfer, R. W., and C. D. Mobley, Principal Component
Analysis in Meteorology and Oceanography, Elsevier Sci.,
New York, 1988.
Rabinowicz, E., Friction and Wear of Materials, 2nd ed., John
Wiley, Hoboken, N. J., 1995.
Ray, T. S., and W. Klein, Nucleation near the spinodal in
long-range Ising models, J. Stat. Phys., 61, 891–902, 1990.
Read, P. L., Application of chaos to meteorology and climate,
in The Nature of Chaos, edited by T. Mullin, pp. 222–260,
Oxford Sci., Oxford, U. K., 1993.
Robertson, M. C., C. G. Sammis, M. Sahimi, and A. J. Martin,
Fractal analysis of three-dimensional spatial distributions of
earthquakes with a percolation interpretation, J. Geophys.
Res., 100, 609–620, 1995.
Robinson, R., A test of the precursory accelerating moment
release model on some recent New Zealand earthquakes,
Geophys. J. Int., 140, 568–576, 2000.
Rundle, J. B., A physical model for earthquakes: 3. Thermodynamic
approach and its relation to nonclassical theories
of nucleation, J. Geophys. Res., 94, 2839–2855, 1989.
Rundle, J. B., and D. D. Jackson, Numerical simulation of
earthquake sequences, Bull. Seismol. Soc. Am., 67, 1363–
1377, 1977.
Rundle, J. B., and W. Klein, Nonclassical nucleation and
growth of cohesive tensile cracks, Phys. Rev. Lett., 63, 171–
174, 1989.
Rundle, J. B., and W. Klein, Scaling and critical phenomena in
a cellular automaton slider block model for earthquakes, J.
Stat. Phys., 72, 405–412, 1993.
Rundle, J. B., and W. Klein, New ideas about the physics of
earthquakes, U.S. Natl. Rep. Int. Union Geod. Geophys.
1991–1994, Rev. Geophys., 33, 283–286, 1995a.
Rundle, J. B., and W. Klein, Dynamical segmentation and
rupture patterns in a “toy” slider-block model for earthquakes,
J. Nonlinear Proc. Geophys., 2, 61–81, 1995b.
Rundle, J. B., W. Klein, S. Gross, and D. L. Turcotte, Boltzmann
fluctuations in numerical simulations of nonequilibrium
threshold systems, Phys. Rev. Lett., 75, 1658–1661,
1995.
Rundle, J. B., W. Klein, and S. Gross, Dynamics of a traveling
density wave model for earthquakes, Phys. Rev. Lett., 76,
4285–4288, 1996.
Rundle, J. B., W. Klein, S. Gross, and C. D. Ferguson, The
traveling density wave model for earthquakes and driven
threshold systems, Phys. Rev. E, 56, 293–302, 1997a.
Rundle, J. B., S. Gross, W. Klein, C. D. Ferguson, and D. L.
Turcotte, The statistical mechanics of earthquakes, Tectonophysics,
277, 147–164, 1997b.
Rundle, J. B., E. Preston, S. McGinnis, and W. Klein, Why
earthquakes stop: Growth and arrest in stochastic fields,
Phys. Rev. Lett., 80, 5698–5701, 1998.
Rundle, J. B., W. Klein, and S. Gross, Physical basis for
statistical patterns in complex earthquake populations:
Models, predictions and tests, Pure Appl. Geophys., 155,
575–607, 1999.
Rundle, J. B., W. Klein, D. L. Turcotte, and B. D. Malamud,
Precursory seismic activation and critical point phenomena,
Pure Appl. Geophys., 157, 2165–2182, 2000a.
Rundle, J. B., D. L. Turcotte, and W. Klein (Eds.), Geocomplexity
and the Physics of Earthquakes, Geophys. Monogr.
Ser., vol. 120, AGU, Washington, D. C., 2000b.
Rundle, J. B., W. Klein, and K. F. Tiampo, Linear pattern
dynamics in nonlinear threshold systems, Phys. Rev. E, 61,
2418–2431, 2000c.
Rundle, J. B., W. Klein, K. F. Tiampo, and S. J. Gross,
Dynamics of seismicity patterns in systems of earthquake
faults, in Geocomplexity and the Physics of Earthquakes,
Geophys. Monogr. Ser., vol. 120, edited by J. B. Rundle,
D. L. Turcotte, and W. Klein, pp. 127–146, AGU, Washington
D. C., 2000d.
Rundle, P. B., J. B. Rundle, K. F. Tiampo, J. Sa. Martins, S.
McGinnis, and W. Klein, Nonlinear network dynamics on
earthquake fault systems, Phys. Rev. Lett., 87, 148501, doi:
10.1103/PhysRevLett.87.148501, 2001.
Rundle, J. B., K. F. Tiampo, W. Klein, and J. S. Sa. Martins,
Self-organization in leaky threshold systems: The influence
of near-mean field dynamics and its implications for earthquakes,
neurobiology, and forecasting, Proc. Natl. Acad. Sci.
U. S. A., 99, suppl., 2514–2521, 2002.
Saleur, H., C. G. Sammis, and D. Sornette, Renormalization
group theory of earthquakes, Nonlinear Proc. Geophys., 3,
102–109, 1996a.
Saleur, H., C. G. Sammis, and D. Sornette, Discrete scale
invariance, complex fractal dimensions, and log-periodic
fluctuations in seismicity, J. Geophys. Res., 101, 17,661–
17,677, 1996b.
Sammis, C. G., and R. L. Biegel, Fractals, fault-gauge, and
friction, Pure Appl. Geophys., 131, 255–271, 1989.
Sammis, C. G., and D. Sornette, Positive feedback, memory,
and the predictability of earthquakes, Proc. Natl. Acad. Sci.
U. S. A., 99, 2501–2508, 2002.
Sammis, C. G., and S. J. Steacy, Fractal fragmentation in
crustal shear zones, in Fractals in the Earth Sciences, edited
by C. Barton and P. R. La Pointe, pp. 179–204, Plenum,
New York, 1995.
Sammis, C. G., R. H. Osborne, J. L. Anderson, M. Banerdt,
and P. White, Self-similar cataclasis in the formation of
fault gauge, Pure Appl. Geophys., 124, 53–78, 1986.
Sammis, C. G., G. King, and R. L. Biegel, The kinematics of
gouge deformation, Pure Appl. Geophys., 125, 777–812,
1987.
Sammis, C. G., D. Sornette, and H. Saleur, Complexity and
earthquake forecasting, in Reduction and Predictability of
Natural Hazards, Santa Fe Inst. Ser. Sci. Complexity, vol.
XXV, edited by J. B. Rundle, D. L. Turcotte, and W. Klein,
pp. 143–156, Addison-Wesley-Longman, Reading, Mass.,
1996.
Scholz, C. H., Earthquakes and faulting: Self-organized critical
phenomena with a characteristic dimension, in Spontaneous
Formation of Space Time Structure and Criticality, edited by
T. Riste and D. Sherrington, pp. 41–56, Kluwer Acad.,
Norwell, Mass., 1991.
41, 4 / REVIEWS OF GEOPHYSICS Rundle et al.: STATISTICAL PHYSICS OF EARTHQUAKES ; 5-29
Scholz, C. H., The Mechanics of Earthquakes and Faulting, 2nd
ed., Cambridge Univ. Press, New York, 2002.
Schwartz, D., and K. Coppersmith, Fault behavior and characteristic
earthquakes: Examples from the Wasatch and San
Andreas fault zones, J. Geophys. Res., 89, 5681–5698, 1984.
Selinger, R. L. B., Z. G. Wang, W. M. Gelbart, and A. Ben-
Shaul, Statistical-thermodynamic approach to fracture,
Phys. Rev. A, 43, 4396–4400, 1991.
Shaw, B. E., Generalized Omori law for aftershocks and foreshocks
from a simple dynamics, Geophys. Res. Lett., 20,
907–910, 1993.
Shcherbakov, R., and D. L. Turcotte, Damage and self-similarity
in fracture, Theor. Appl. Frac. Mech., 39, 245–258,
2003a.
Shcherbakov, R., and D. L. Turcotte, A damage mechanics
model for aftershocks, Pure Appl. Geophys., in press, 2003b.
Smalley, R. F., D. L. Turcotte, and S. A. Solla, A renormalization-
group approach to the stick-slip behavior of faults, J.
Geophys. Res., 90, 1894–1900, 1985.
Smith, R. L., and S. L. Phoenix, Asymptotic distributions for
the failure of fibrous materials under series-parallel structure
and equal load-sharing, J. Appl. Mech., 48, 75–82, 1981.
Sornette, D., Discrete-scale invariance and complex dimensions,
Phys. Rep., 297, 239–270, 1998.
Sornette, D., and J. V. Andersen, Scaling with respect to
disorder in time-to-failure, Eur. Phys. J. B, 1, 353–357, 1998.
Sornette, D., and C. G. Sammis, Complex critical exponents
form renormalization group theory of earthquakes: Implications
for earthquakes predictions, J. Phys. I, 5, 607–619,
1995.
Stanley, H. E., Introduction to Phase Transitions and Critical
Phenomena, Clarendon, Oxford, U. K., 1971.
Stein, R. S., The role of stress transfer in earthquake occurence,
Nature, 402, 605–609, 1999.
Sykes, L. R., and S. C. Jaume., Seismic activity on neighbouring
faults as a long-term precursor to large earthquakes in the
San Francisco Bay area, Nature, 348, 595–599, 1990.
Tiampo, K. F., J. B. Rundle, S. McGinnis, S. J. Gross, and W.
Klein, Observation of systematic variations in non-local
seismicity patterns from southern California, in Geocomplexity
and the Physics of Earthquakes, Geophys. Monogr.
Ser., vol. 120, edited by J. B. Rundle, D. L. Turcotte, and W.
Klein, pp. 211–218, AGU, Washington D. C., 2000.
Tiampo, K. F., J. B. Rundle, S. McGinnis, S. J. Gross, and W.
Klein, Mean field threshold systems and earthquakes: An
application to earthquake fault systems, Europhys. Lett.,
60(3), 481–487, 2002a.
Tiampo, K. F., J. B. Rundle, S. McGinnis, and W. Klein,
Pattern dynamics and forecast methods in seismically active
regions, Pure Appl. Geophys., 159, 2429–2467, 2002b.
Tiampo, K. F., J. B. Rundle, S. McGinnis, and S. J. Gross,
Eigenpatterns in southern California seismically, J. Geophys.
Res., 107(B12), 2354, doi:10.1029/2001JB000562,
2002c.
Turcotte, D. L., A fractal approach to probabilistic seismic
hazard assessment, Tectonophysics, 167, 171–177, 1989.
Turcotte, D. L., Earthquake prediction, Annu. Rev. Earth.
Planet. Sci., 19, 263–281, 1991.
Turcotte, D. L., Fractals and Chaos in Geology and Geophysics,
2nd ed., Cambridge Univ. Press, New York, 1997.
Turcotte, D. L., Self-organized criticality, Rep. Prog. Phys., 62,
1377–1429, 1999.
Turcotte, D. L., W. I. Newman, and R. Shcherbakov, Microand
macro-scopic models of rock fracture, Geophys. J. Int.,
152, 718–728, 2003.
Varnes, D. J., Predicting earthquakes by analyzing accelerating
precursory seismic activity, Pure Appl. Geophys., 130, 661–
686, 1989.
Varnes, D. J., and C. G. Bufe, The cyclic and fractal seismic
series preceding on mb 4.8 earthquake on 1980 February
14 near the Virgin Islands, Geophys. J. Int., 124, 149–158,
1996.
Vere-Jones, D., R. Robinson, and W. Yang, Remarks on the
accelerated moment release model: Problems of model
formulation, simulation, and estimation, Geophys. J. Int.,
144, 517–531, 2001.
Wu, H. F., S. L. Phoenix, and P. Schwartz, Temperature
dependence of lifetime statistics for single Kevlar 49 filaments
in creep-rupture, J. Mater. Sci., 23, 1851–1860, 1988.
Zapperi, S., P. Ray, H. E. Stanley, and A. Vespignani, Firstorder
transition in the breakdown of disordered media,
Phys. Rev. Lett., 78, 1408–1411, 1997.
Zapperi, S., P. Ray, H. E. Stanley, and A. Vespignani, Avalanches
in breakdown and fracture processes, Phys. Rev. E,
59, 5049–5057, 1999.
Zoback, M. L., First- and second-order patterns of stress in the
lithosphere: The World Stress Map project, J. Geophys.
Res., 97, 11,703–11,728, 1992.
Zo.ller, G., and S. Hainzl, Detecting premonitory seismicity
patterns based on critical point dynamics, Nat. Hazards
Earth Syst. Sci., 1, 93–98, 2001.
Zo.ller, G., and S. Hainzl, A systematic spatiotemporal test of
the critical point hypothesis for large earthquakes, Geophys.
Res. Lett., 29(1), 1558, doi:10.1029/2002GL014856, 2002.
Zo.ller, G., S. Hainzl, and J. Kurths, Observation of growing
correlation length: An indicator for critical point behavior
prior to large earthquakes, J. Geophys. Res., 106, 2167–2175,
2001.
W. Klein, Department of Physics, Boston University, Boston,
MA 02215, USA. (klein@physics.bu.edu)
J. B. Rundle and R. Shcherbakov, Center for Computational
Science & Engineering, Department of Physics, University of
California, Davis, Davis, CA 95616, USA.
(rundle@physics.ucdavis.edu; roshch@physics.ucdavis.edu)
C. Sammis, Department of Geology and Geophysics, University
of Southern California, Los Angeles, CA 90089, USA.
(sammis@usc.edu)
D. L. Turcotte, Department of Geology, University of California,
Davis, One Shields Avenue, Davis, CA 95616, USA.
(turcotte@geology.ucdavis.edu)
5-30 ; Rundle et al.: STATISTICAL PHYSICS OF EARTHQUAKES 41, 4 / REVIEWS OF GEOPHYSICS