A model for softening and cracking based перевод ю

ECCM 2110 IV European Conference on Computational Mechanics
Palais des Congr?s, Paris , France, May 16-21, 2010
 May 16-21, 2010
A continuous-discontinuous model for softening and cracking based
on non-local displacements
Elena Tamayo-Mas and Antonio Rodr?guez-Ferran
Laboratori de C?lcul Num?ric (LaC?N)
Departament de Matem?tica Aplicada III
Escola T?cnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona
Universitat Polit?cnica de Catalunya (UPC), Barcelona, Spain
{elena.tamayo,antonio.rodriguez-ferran}@upc.edu

Непрерывно-прерывистая модель для смягчения и взламывания на базе
 нелокальных смещений

Ключевые слова: непрерывно-прерывистая стратегия, нелокальные смещения, регуляризация, смягчение, взламывание, Расширенный-КЭМ

Резюме. Представлена непрерывно-прерывистая модель, чтобы моделировать в цифровой форме весь процесс отказа. Трещины начало и ее распространение смоделированы посредством градиента нелокальной модели, основанные на нелокальных смещениях. Симулировать должным образом заключительные этапы процесса, дискретной трещины подхода  (Р-КЭМ) используется, где и местные и нелокальные смещения смоделированы как прерывистые поля. В этой статье, этот новый комбинированный подход изучен подробно и одно - и двумерные примеры выполнены, чтобы утвердить это.
1 Введение
Чтобы моделировать в цифровой форме процесс отказа, или непрерывный или прерывистый подход могут использоваться [1]. В подходах континуума перелом - результат процесса локализации и нет любой реальной неоднородности, в то время как, если прерывистый подход используется, неоднородности смещения введены в модель.
Непрерывные стратегии используются, чтобы смоделировать первые стадии отказа. Если местная модель континуума используется, числовые моделирования представляют патологическую чувствительность сетки и физически нереалистичные результаты получены [2]. Чтобы решить эту зависимость сетки, регуляризации техника должна использоваться к заключенному,  инкопроративному  нерасположению, нелокализации в модели. Модель типа градиента используется здесь, в которой нерасположение введено в модель через нелокальные смещения [3].
Однако, если нелокальная непрерывная модель используется в заключительном этапе отказа, числовое взаимодействие между отделенными частями тела сохраняется, и нереалистичные результаты могут быть получены. Поэтому, трещины должны быть введены в модель. Здесь, расширенный метод конечных элементов (Р-КЭМ) [4, 5] используется, чтобы смоделировать растущие трещины. Посредством этого метода неоднородность расположена независимо  сеткой конечного элемента [6] и повторная сетка, ремешинг поскольку растет трещина, избегается [7].
В резюме, чтобы характеризовать в цифровой форме целый процесс отказа, непрерывно-прерывистый подход используется, где критерий определяет переход от нелокального континуума к континууму с дискретной  растущей связанной трещиной. Некоторые стратегии были уже предложены в литературе, см. например [8, 9, 10, 11].
В этой работе представлена следующая стратегия. Нелокального континуума модель повреждения используется для континуума. Когда параметр повреждения превышает пороговый набор априорный Dcrit, трещина, описанная  связки законом, связывающий тягу со скачком смещения, введен. Путь трещины определен континуумом: самое крутое направление спуска для профиля ущерба  -  используется. Однажды трещина введена, растущая трещина смоделирована посредством Р-КЭМ. В этой модели, переход от  континуума к прерывистой модели определен через энергетический баланс: значение повреждения установлена к Dcrit и муки материал разгружается.
Схема этой статьи  следующая. Непрерывно-прерывистый подход в стандартных СМИ рассмотрен в Раздел 2. Новая модель представлена в Разделе 3. Проблемные поля для тела, пересеченного трещиной, описанны в Разделе 3.1. Управляющие уравнения и вариационная формулировка с ее дискретизацией получены в Разделах 3.2 и 3.3 соответственно. Регуляризации способности этогй новой прерывистой стратегии иллюстрированы в Разделе 4. Во-первых, предложенный подход проверен на одноосном тесте напряжения и тогда это применено на двумерной пластине. Заключительные замечания  заканчивают эту статью.

2 Непрерывно-прерывистый подход в стандартных СМИ.
Эта секция имеет дело с непрерывно-прерывистым подходом к отказу. В этой стратегии, непрерывности техника используется, чтобы симулировать первые стадии отказа до обнаружения критической ситуации. Когда критическая ситуация обнаружена, неоднородность введена и непрерывно-прерывистая стратегия использована. Определение критических ситуаций зависит от основной непрерывной модели. В повреждении  модели континуума, например, критическая ситуация достигнута, когда параметр повреждения  превышает  критический набор значений повреждения  априорно.
2.1 Проблемные области.
В Р-КЭМ поле смещения приближена суммой непрерывного, сплошного и прерывного, несплошного смещения поле. Непрерывная, сплошная часть соответствует полю смещения без любой трещины, в то время как прерывное  или обогащенное смещение выставляют дополнительное смещение, это моделирует прерывания, неоднородности.
Рассмотрите тело континуума  пересеченный неоднородностью Гd, см. рисунок 1.

Рисунок 1: Тело  пересеченное неоднородностью, прерыванием.
Тогда, поле смещения u может разлагаться как
 (1)
где  ui(x) (i = 1, 2) непрерывные поля , функция Хевисайда (Heaviside), сосредоточенная  в неоднородности Гd. В литературе различные функции обогащения использовались, такие как Хевисайда ([9, 10, 12]) или функция знака ([6, 7, 13, 14, 15]). В этой работе, функция знака
(2)
(также названая измененная или обобщенная функция Хевисайда, сосредоточенная на поверхности неоднородности Гd служит, из-за её симметрии [7].
2.2 Управление уравнениями
Уравнения равновесия и граничные условия для тела  без тела сил могут быть получены в итоге как
 (3a)
 (3b)
  (3c)
 (3d)
где ? - тензор напряжения Коши (Cauchy), n - единица нормали направленная наружу к телу, m-внутренней единицей нормальной  к ?+ на Гd,  u* - предписанное смещение,  нагрузка на границе, t - нагрузка на поверхности неоднородности и Гt и Гu - поверхности с граничными условиями Ноймана и Дирихле соответственно.
Чтобы решить эту проблему, конституционное уравнение необходимо охарактеризовать материал. Конституционные уравнения для резинки и модели повреждения соответственно
? (x; t) = C: ? (x; t) (4a)
? (x; t) = [1-D (x; t)] C: ? (x; t) (4b)
где ? - маленький тензор напряжения, C тензор упругих модулей и D параметр повреждения.
2.3 Вариационная формулировка и конечный элемент дискретизации
В этой секции управляющие уравнения (3) брошены в слабой форме. Пространство испытания  местных смещений определено функцией
, (5)
где
(6)
с H1 (?) пространство Соболева.
Уравнение равновесия (3a) умножено функцией веса
 (7)
с
 (8)
и интегрированный по области ?, чтобы получить слабое заявление  равновесия. После стандартных манипуляций, следующие выражения получены:
ЦВ
 (9b)
где  - симметризированный градиент и в неоднородности,
 (10)
где T связывает ставки тяги и  скачка смещения .
В анализе КЭ, используя Галеркина дискретизацию (Galerkin), Урав. (1) читает, для узлов, поддержка которых пересечена Гd,
 (11)
где N - матрица стандартных функций формы конечного элемента, u1 - основные узловые степени свободы и u2 - расширенные.
Дискретный формат проблемных полей приводит к двум дискретным слабым управляющим уравнениям
 (12a)
 (12b)
где
 (13a)
 (13b)
 (13c)
 (13d)
с матрицей B производных функции формы. Некоторые замечания о дискретных слабых управляющих уравнениях стоит упоминать:
 Урав. (12a) - стандартная нелинейная система уравнений равновесия, в то время как Урав. (12b) учитывает вклад трещины.
 В Урав. (13c), вклад трещины умножен фактором два из-за выбранного
определение функции Хевисайда, см. Eq. (2).
3 Новых непрерывно-прерывных подхода, основанные на нелокальных смещениях.
Цель этой секции состоит в том, чтобы представить новую непрерывно-прерывную стратегию, которая позволяет реалистическую характеризацию всего процесса отказа. Эта стратегия основана на нелокальной модели, основанной на нелокальном смещении [3].
3.1 Проблемные поля
В градиент-расширенной модели континуума, основанной на нелокальных смещениях, два различных смещения используются, чтобы сформулировать модель: стандартные смещения uа и градиент-обогащенные  смещения ug. Посредством Р-КЭМ оба поля представлены как
 (14a)
 (14b)
где  и  (i = 1; 2) непрерывные поля.
3.2 Управляющие уравнения
Уравнения равновесия и граничные условия для тела  получены в итоге в Урав. (3). Конституционное уравнение для модели континуума повреждения  дано Урав. (4b). Кроме того, в нелокальной повреждения модели, основанной на нелокальных смещениях,  диффузия второго порядка частичное дифференциальное уравнение, что  относит нелокальные смещения ug к местным смещениям uа, которые добавлены к уравнению равновесия
(15)
где l характерная длина нелокальной модели повреждения.
Закончить двойную систему уравнений, граничные условия на границе и на прерывности поверхности, которые должны быть определены. И для непрерывных и для прерывных полей смещения, комбинированные граничные условия предложены здесь
(16)
где n - единица направленная наружу, нормальная к телу, и m является внутренней единицей, нормальной к ?+ на Гd, см. рис.1.
3.3 Вариационная формулировка и конечный элемент дискретизации
Подобным образом к Разделу 2.3, пространство испытания нелокальные смещения уг определены функцией
 (17)
где Uu определен в Урав. (6).
Урав. (15) может быть брошен в вариационной форме умножением с векторной испытательной функцией ? (x; t) и интеграция по области ?. После стандартных манипуляций каждый получает
 (18a)
(18b)
где  - дельта Дирака (Dirac), сосредоточенная на поверхности неоднородности Гd.
Используя примечание КЭ, Урав. (14) читает, для узлов, поддержка которых пересечена Гd,
 (19a)
 (19b)
 и дискретный формат проблемных полей приводит к двум дискретным слабым управляющим уравнениям
 (20a)
 (20b)
где

(21)
Некоторые замечания о дискретизации:
_ Матрицы М и D являются массой и диффузивностью матриц уже полученных в [3]. Они – оба постоянны.
_ Матрицы M и D могут быть поняты как обогащенная масса и диффузивность матриц соответственно, так как выражение - то же самое как М и D за исключением функции Хевисайда.
_ Отметьте, что свойство  = +1, которое получено из определения функции Хевисайда Урав. (2), используется.
4 Числовые результаты
Регуляризация способности этой новой стратегии иллюстрированы в этой секции посредством двух числовых примеров. В разделе 4.1 одноосный тест напряжения выполнен, используя одно - и двумерные геометрии, и в разделе 4.2 двумерная квадратная пластина под способом I загружающих условий  проанализирована.
4.1 Одноосный тест напряженности
Этот первый пример имеет дело с решением бара, бруска в напряжении с неоднородностью в подвергнутом центре к наложенному смещению в свободной стороне и зажатым в другом, см. рисунок 2. Так в первом шаге процесса отказа модель повреждения континуума используется, центральная десятая часть бара, бруска, ослаблена, чтобы вызвать локализацию. Безразмерные геометрические и материальные параметры для этого теста получены в итоге в Таблице 1. Все числовые тесты были выполнены с одно - и двумерными конечными элементами.

Рисунок 2: Одноосный тест напряжения: проблемы заявление.
Таблица 1: Одноосный тест напряжения с нелокальной моделью повреждения и смягчающим поведением связанной трещина: геометрические и материальные параметры.
Значение
Символ
Величина
Длина бара, бруска
L
100
Ширина бара, бруска
A
1
Длина более слабой части
LW
L/7
Модуль Юнга
E
20000
То же самое более слабой части
EW
18000
Порог повреждения
?i
10-4
Заключительная странность
?f
1.25*10-2
Критическое повреждение

Dcrit
 0.9
Трещины жёсткость

T
-20
Нелокальная модель повреждения континуума (линейный смягчающий закон) используется в первых стадиях процесса отказа. Когда параметр повреждения превышает пороговый набор, априорно названный Dcrit, неоднородность вводится и непрерывно-прерывистая техника используется, см. рисунок 3.

Рисунок 3: Закон  Развития для (a) бар, бруска; (b) трещина.
Регуляризация свойства модели проанализированы посредством различных тестов. Как первый тест, a неподвижная характерная длина  выбрана. Анализ выполнен с шестью различными сетками. Кривые смещения силы и профили повреждения показаны на рисунке 4. Как хотелось, ответы на этот тест не зависят от размеров конечного элемента.

Рисунок 4: непрерывно-прерывистая стратегия. Неизменная характерная длина с различными петлями. (a) Силы-смещения кривая; (b) повреждения профили.
Как второй тест, рассматривают неизменную сетку 105 элементов, и четыре различных характерных длин используемых, . Результаты изображены в рисунке 5. Податливость в  силы -смещения отклике и ширина заключительного повреждения представляют увеличение с внутренней шкалой расстояний.

Рисунок 5: Непрерывно-прерывистая стратегия. Неизменная сетка с различными характерными длинами. (a) силы-смещения кривая; (b) повреждения профили.
Наконец, как третий тест, выбрана неизменная петля 105 элементов и неизменная характерная длина `. Проанализированы два различных теста, по которым отличается размер ослабленной области, региона. Результат показан на Рисунке 6. Как замечено, нет никакой патологической зависимости от размера дефекта, несовершенства.

Рисунок 6: Непрерывно-прерывная стратегия. Неизменная сетка и характерная длина с различным дефектом, несовершенством размеров. (a) кривая смещения силы; (b) повреждения профили.
В резюме эта новая модель показывает желаемые регуляризации способности.
4.2 Квадратная пластина под способом I загружающих условий, состояний.
Второй пример состоит из квадратной пластины под способом I загружающих условий, состояний, см. рисунок 7. Так же как в предыдущем примере, чтобы симулировать первые шаги отказа обработки с повреждением континуума модели, некоторую ослабленную область, регион рассматривают. Безразмерные геометрические и материальные параметры для этого теста получены в итоге в Таблице 2.

Рисунок 7: Квадратная пластина под способом I загружающих условий, состояния: проблемы заявление, утверждение.
Как первый тест, проанализированы регуляризации способности непрерывной стратегии. Три отличающиеся сетки рассмотрены. Кривые силы- смещения и профили повреждения, ущерба показаны в рисунке 8 и 9 соответственно. Как замечено, кривая силы-смещения и ширина группы, полосы повреждения, ущерба не зависят от петли конечного элемента или дефекта, несовершенства размера,  необходимого вызвать локализацию.
Как второй тест, проанализирована непрерывно-прерывная стратегия. Неизменная сетка 20*21 элементов рассмотрена. Кривая силы -смещения и профиль повреждения могут быть замечены в рисунке 10. Как наблюдается на рисунке 10 (a) кривая силы- смещения представляет острый незагрузкой, сопровождаемый загрузкой силы. Эти незагрузки, которые происходят, встречаются, когда трещина размножается через петлю конечного элемента, не полностью понятый все же, но мы думаем, что они могут быть связаны с эффектом смешивающихся элементов, как обсуждено затем.

Таблица 2: Двумерный тест под способом I загрузки условий, состояний c нелокальной моделью повреждения, ущерба и смягчающее поведение связанной трещины: геометрические и материальные параметры.
Значение

 Символ

 Величина
Длина образца
L
10
Длина более слабой части
LW
1
Ширина более слабой части
hW
1 конечный элемент
Модуль Юнга
E
20000
То же самое более слабой части
EW
18000 (10%-ое сокращение в E)
Коэффициент Пуассона
?
0
Порог повреждения
?i
10-4
Заключительная странность
?f
1.25*10-2
Характерная длина
l

Критическое повреждение
Dcrit
0,95

Трещины жёсткость
T
-20


Рисунок 8: Непрерывная стратегия. Неизменная характерная длина с различными сетками и размерами дефекта: кривые силы- смещения.

Рисунок 9: Непрерывная стратегия. Неизменная характерная длина с  различными сетками и размерами дефекта:

Рисунок 10: Непрерывно-прерывная стратегия. (a) кривая силы- смещения; (b) поврежденный профиль с деформированной сеткой (смещения усилили 100 раз).
4.3 Смешивание элементов
В Р-МКЭ пространство функции приближения стандартных методов конечных элементов (МКЭ) расширено на порядок, чтобы иметь дело с особенностями. Хотя это обогащение могло затронуть всю область, для вычислительных целей это сделано только в подобласти, где это необходимо. Из-за этого местного обогащения, три различных вида элементов существуют: (a) стандартные элементы без обогащенных узлов, (b) элементы, чей узлы все обогащены, и (c) элементы с некоторыми из их узлов обогащенных, которое обычно называют смешивание элементов, см. рисунок 11. Влияние смешивающихся элементов на точность решения, раствора  сообщено в литературе, см. например [16, 17, 18].

Рисунок 11: Трещины линия (пунктирная линия)  в структурированной сетке со стандартными (белыми) элементами, элементами, чьи узлы все обогащены (темно-серые) и смешивающиеся (светло-серые) элементы.

В этой секции жёсткость этих типов элементов проанализирована через три различных теста, которые имеют дело с решением двумерной пластины в напряжении. Пластина  дискретизирована с одним конечным элементом и числовые тесты управляются смещением, смотри рисунок 12.

Рисунок 12: (a) элемент со стандартными узлами; (b) элемент со всеми обогащенными узлами; (c) элемент с некоторые из узлов обогащены.

Безразмерные геометрические и материальные параметры, используемые в этом примере, получены в итоге в Таблице 3. Некоторые замечания об определении этих параметров стоят упоминать:
, если линейный закон о повреждении принят, смотри рисунок 3 (a).
Трещины жёсткость T была определена, полагая, что кривые силы-смещения  в тесте 12 (a) и 12 (b) равны. Это означает, что все наложенное смещение используется для деформации муки, объема в первом случае, в то время как во втором, это используется для  открытия трещины.

Таблица 3: Эффект смешивающихся элементов в глобальном ответе: геометрические и материальные параметры.
Значение
Символ
Величина
Длина образца

L
 1
Модуль Юнга

E
20000
Коэффициент Пуассона 
?
0
Порог повреждения
?i
10-4
Заключительная странность
?f
1.25*10-2
Характерная длина
l
0 (местная модель)
Критическое повреждение
Dcrit
0.9
Трещины жёсткость
T

Полученные кривые смещения силы показаны на рисунке 13. Из-за определения жесткости трещины  T кривые смещения силы, относящиеся к непрерывным и полностью непрерывно-прерывным элементам, перекрыты. Однако, у кривой, связанной со смешивающимся элементом, есть различный наклон в третьем отделении, ветви, где трещина введена. Можно заметить, что смешивающийся элемент предлагает более жесткий ответ по сравнению с другими двумя элементами. В зависимости от геометрических и материальных параметров, поведение смешивающегося элемента может быть настолько жестким, что глобальный отклик, ответ находится не в смягчении, а в укреплении.

Рисунок 13: Эффект смешивающихся элементов в глобальном ответе: кривые смещения силы.
5 Заключительные замечания.
_ Предложенная непрерывно-прерывная модель основана только на  смещениях: местное смещение и обогащенная градиентом область, поле используются. В заключительном этапе процесса отказа, два поля смещения могут допустить неоднородности. Эти два поля могут быть интерполированы, используя те же самые форму и обогащения функций. Рассмотрение обеих полей прерывные, относительно грубые сетки могут использоваться.
_ Когда трещина введена, прерывная установка сосуществует с непрерывным. Действительно, здесь континуум используется для прослеживания пути трещины.
_ С одной стороны, одномерная проблема проанализирована, чтобы утвердить предложенную стратегию. Ожидаемые регуляризации способности непрерывно-прерывной модели получены.
_ С другой стороны, двумерная проблема под способом I загрузки условий, состояний изучены. Средства этого примера, можно заметить, что непрерывная модель, основанная на нелокальных смещениях действительно упорядочивает смягчение. Однако, кривая смещения силы, полученная с непрерывно-прерывным подходом показывает некоторые острые незагрузки, которые требуют лучшего понимания. Так как мы думаем, что это физически нереалистичное поведение связано со смешивающимися элементами, они изучены подробно.
Ссылки
[1] J. Oliver, A.E. Huespe, M.D.G Pulido, and E. Chaves. From continuum mechanics to fracture mechanics:
the strong discontinuity approach. Engineering Fracture Mechanics, 69(2):113–136, 2002.
[2] M. Jir?sek. Nonlocal damage mechanics. Revue Europ?enne de G?nie Civil, 11(7-8):993–1021, 2007.
[3] A. Rodr?guez-Ferran, I. Morata, and A. Huerta. A new damage model based on non-local displacements.
International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 29(5):473–493, 2005.
[4] T. Belytschko and T. Black. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 45(5):601–620, 1999.
[5] N. Moes, J. Dolbow, and T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46(1):131–150, 1999.
[6] N. Moes and T. Belytschko. Extended finite element method for cohesive crack growth. Engineering Fracture
Mechanics, 69(7):813–833, 2002.
[7] G. Zi and T. Belytschko. New crack-tip elements for XFEM and applications to cohesive cracks. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 57(15):2221–2240, 2003.
[8] C. Comi, S. Mariani, and U. Perego. An extended FE strategy for transition from continuum damage to mode
I cohesive crack propagation. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,
31(2):213–238, 2007.
[9] A. Simone, G.N. Wells, and L.J. Sluys. From continuous to discontinuous failure in a gradient-enhanced
continuum damage model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192(41-42):4581–
4607, 2003.
[10] G.N.Wells, L.J. Sluys, and R. De Borst. Simulating the propagation of displacement discontinuities in a regularized
strain-softening medium. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53(5):1235–
1256, 2002.
[11] E. Benvenuti. A regularized XFEM framework for embedded cohesive interfaces. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, 197(49-50):4367–4378, 2008.
[12] G.N. Wells and L.J. Sluys. A new method for modelling cohesive cracks using finite elements. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, 50(12):2667–2682, 2001.
[13] C. Comi and S. Mariani. Extended finite element simulation of quasi-brittle fracture in functionally graded
materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196(41-44):4013–4026, 2007.
12
[14] E. Bechet, H. Minnebo, N. Moes, and B. Burgardt. Improved implementation and robustness study of the
X-FEM for stress analysis around cracks. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
64(8):1033–1056, 2005.
[15] S. Mariani and U. Perego. Extended finite element method for quasi-brittle fracture. International Journal
for Numerical Methods in Engineering, 58(1):103–126, 2003.
[16] T.P. Fries. A corrected XFEM approximation without problems in blending elements. International Journal
for Numerical Methods in Engineering, 75(5):503–532, 2008.
[17] J. Chessa, H. Wang, and T. Belytschko. On the construction of blending elements for local partition of unity
enriched finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 57(7):1015–1038,
2003.
[18] R. Gracie, H. Wang, and T. Belytschko. Blending in the extended finite element method by discontinuous
galerkin and assumed strain methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
74(11):1645–1669, 2008.
With the support of Universitat Polit?cnica de Catalunya (UPC).
13