Основанное на гомогенизации моделирование трещины

ECCM 2110 IV European Conference on Computational Mechanics
Palais des Congr;s, Paris , France, May 16-21, 2010

Homogenization-based multiscale crack modelling: from micro diffusive
damage to macro cracks
V.P. Nguyen1, O. Lloberas Valls2, M. Stroeven3, L.J. Sluys4
1 Delft University of Technology, The Netherlands, V.P.Nguyen@tudelft.nl
2 Delft University of Technology, The Netherlands, O.LloberasValls@tudelft.nl
3 Delft University of Technology, The Netherlands, M.Stroeven@tudelft.nl
4 Delft University of Technology, The Netherlands, L.J.Sluys@tudelft.nl

ККМ 2010

Основанное на гомогенизации моделирование трещины мультишкалы: от распространяющегося микро повреждения к макро-трещинам
В.П. Nguyen1, О. Ллоберас Валлс2, М. Stroeven3, Л.ДЖ. Sluys4
1 Дельфтский Технологический университет, Нидерланды, V.P.Nguyen@tudelft.nl
2 Дельфтских Технологических университета, Нидерланды, O.LloberasValls@tudelft.nl
3 Дельфтских Технологических университета, Нидерланды, M.Stroeven@tudelft.nl
4 Дельфтских Технологических университета, Нидерланды, L.J.Sluys@tudelft.nl
Резюме
В этом вкладе мы представляем мультишкалы числовую рабочую рамку для  моделирования трещины в квазихрупких твердых телах, которая основана на вычислительной гомогенизации. Существование представительного элемента объема  (ПЭО) пересмотрено. Мы показываем, что ПЭО действительно существует для смягчающих материалов со случайной микроструктурой, что выставка распространяющегося повреждения в растяжимом и смешанном способе загружена. Числовая рабочая рамка представлена, чтобы симулировать клейкий и связный отказ в квазихрупких твердых телах, в которых основная микроструктура берется в счет. Когда осуществлено в контексте конечного элемента, схема напоминает стандартную странность, нужду движимую  FE2 схемой. Один числовой пример обеспечен, который показывает объективность метода относительно макро дискретизации и микро образца размеров.
Ключевые слова  Представительный элемент объема, вычислительная гомогенизация, смягчение, квазихрупкие материалы, перелом, мультишкала.
1 Введение
Вычислительная гомогенизация [1] появилась в качестве ценного инструмента, чтобы смоделировать гетерогенные материалы в которых вся соответствующая, релевантная разнородность в прекрасной шкале может быть принята во внимание эффективно к структурам модели в грубой шкале 1. Согласно вычислительной техники гомогенизации, к каждому макроскопическому материальному пункту есть связанный микроскопический образец (со всей соответствующей, релевантной разнородностью), который обеспечивает макроскопическое конституционное поведение. При осуществлении в конечного элемента (КЭ) рабочей рамке, метод известен как FE2 [2] схема. Хотя метод в вычислительном отношении дорог, это, как доказывали, было ценным инструментом для того, чтобы проанализировать гетерогенные материалы со сложными микроструктурами с очень нелинейным поведением, смотрите [3], среди других.
Концепция первостепенной важности в методах гомогенизации - представительный элемент объема. Есть не уникальное определение ПЭО для произвольного гетерогенного материала. В этом вкладе мы рассматриваем микроскопический образец, чтобы быть ПЭО, когда (i) увеличение в его размере не приводит к существенным различиям в гомогенизированных свойствах (ii) микро образеца размер является достаточно большим так, что гомогенизированные свойства  независимы от микроструктур хаотичности и (iii) размер ПЭО должен быть достаточно маленьким так, чтобы сепарации  шкалы принцип держался. Неявное предположение, обычно сделанное в моделировании FE2, является существование ПЭО. Это правильное предположение в линейных и укрепляющихся, утяжеляющихся режимах [4]. Однако это было заключено в [4], что это  не продолжительный случай в смягчающем режиме.
Совсем недавно, в [5] авторы доказали существование ПЭО для смягчающих материалов, выводя законы разделения, тяги, которые независимы от микро образца размера (и для клейких и для связных трещин) из микроскопических неэластичных напряжений и странностей, вынужденностей. Однако метод был применен только к материалам с простой микроструктурой, подвергавшейся дискретному взламыванию, растрескиванию. В [6], существование ПЭО для квазихрупких материалов (при растяжимой загрузке) со случайным комплексом разнородных микроструктур, показывающее распространяющегося, диффузивного повреждения, было подтвержденное основанное на специальной схеме усреднения, зоны отказа усреднения схема, которая отфильтровывает линейный
1Мы отсылаем грубые/прекрасные шкалы как макро-/микро шкалы, соответственно.

отклик микро образца, который сделал стандартно гомогенизированные свойства микро  образца размер зависимым. В этой рукописи мы собираемся получить связные законы, которые объективны относительно микро образца размера, для смягчающих материалов со случайной гетерогенной микроструктурой, подвергнутой растяжению и загрузке смешанным способом. Это подтверждено, что ПЭО действительно существует для смягчающих материалов с микроструктурами, подвергающимися распространяющемуся, диффузивному повреждению. Мы также представляем вычислительную рабочую рамку, чтобы включить те объективные связные законы в повторяющуюся установку FE2, который является расширением подхода, данного в [5] для микро дискретного отказа взламывания, растрескивания к микро распространяющемуся, диффузивному повреждению разделением.
Структура доклада следующая. В Разделе 2 представлено существование ПЭО для смягчающих материалов. Раздел 3 описывает основанную на гомогенизации рабочую рамку мультишкалы для того, чтобы смоделировать клейкие и связные трещины, сопровождаемые одним примером доказательства понятия, данного в Разделе 4.
2 Существование ПЭО
2.1 Микроструктуры

 (a) Освобожденная, аннулированная микроструктура
 (b) Случайная микроструктура
Рисунок 1: Исследованные микроструктуры.
В этой статье рассматривают две микроструктуры. Первый тип - простая продырявленная микроструктура (радиус пустоты равняется 5 мм) которой три образца с измерениями 20;20 mm2, 40;20 mm2 и 40;40 mm2 как показано на Рис. (1a) будут изучены. Второй тип микроструктуры - трехфазовый материал с матрицей, совокупностями и граничная, межфазная зона трансиона (Г(М)ЗТ), окружающий каждую совокупность. Два образца измерений 15 ;15 mm2 и 20 ;20 mm2, как показано в Рис. (1b), соответствуя 45%-ой совокупной фракции, доле объема исследованы. Мы имеем не рассмотренный большими образцами и различной реализацией пока,  статистический анализ существования ПЭО для этого вида материала был дан в [6].
2.2 Конституционная модель
В микрошкале повреждение смоделировано простой изотропической моделью повреждения [7] упорядоченный неявным градиентом расширенного метода [8]. Для освобожденной, аннулированной микроструктуры материальные параметры включают модуль Юнга E 25000 МПА, отношение Пуассона ;=0.2, порог повреждения ;I =3;10-5, остаточный стресс ; ;= 0.999, смягчая наклон ;;= 5000 и внутренний параметр длины c = 3.5 mm2. Для гетерогенного материала материальные параметры данный в таблице 1.

Матричный Совокупный ИЦ E [Н/мм2] 25000 30000 20000
 Таблица 1: Материальные параметры различных фаз случайного гетерогенного материала.

2.3 Усреднения методы

Макро-Микро
Рисунок 2: Слева направо: макро-образец с трещиной, микро моделью, граничными условиями для растяжения и сдвига загрузки. Периодические граничные условия на  снизу и сверху краях обозначены, выделены пунктирными линиями. Материальная периодичность также рассмотрена.
Рассмотрение макротрещины с единицей направленной наружу, нормаль обозначена n и вектор тангенса единичный представлен s. Микрообразец ;m, который является прямоугольником измерения w;h , чем основная микроструктура явно смоделирована, связан с каждым пунктом  интеграции на макротрещине. Давайте рассматривать случай в котором n совпадает с xm1
см. Рис. (2) для микрошкалы ортогональной системы координат. Пока моды деформации макротрещины включают моду I открытия и моду II сдвига, граничные условия микромодели даны в Рис. (2). Внешняя граница микрообразца обозначена Гm, которая составлена из ГT, ГB, ГL и ГR.
2.3.1 Стандарта усреднения (СУ) техника
Макроскопическое гомогенизированное напряжение ;м и странность ;м даны, см. [9] для подробностей
, (1)
где f intR и f intR - сумма центральных, узловых внутренних сил вдоль правого и высшего краев, соответственно.
Макроскопическая вектор tМ  тяги, как предполагается, является проекцией макроскопического тензора напряжения на плоскость трещины [5]. Это
tМ;;м ·n =fintR/h (2)
где использовано, что было сделано из Eq. (1).

2.3.2 Зоны отказа усреднения (ЗОУ) техника

Рисунок 3: Область Повреждения ;d, по которому выполнены усреднения: ;d  = ;m  \ ;e  (упругий) \ ;du  (разгрузка поврежденного).
Мы определяем гомогенизированные напряжения и странности как усреднения объема их микроскопических коллег над ;d, а не по всей микро области над ;m.
(3)
где ;d - активная поврежденная область то есть, область, содержащая точки Гаусса (Gauss), которые повреждены и загружены, см. Рис. (3) для графической иллюстрации. Микро напряжения и странности обозначены ;m и ;m, соответственно; | ;d |область ;d. Вышеупомянутые интегралы вычислены, используя стандартную квадратуру Гаусса.
Макроскопическое трещины открытия смещение [[u]]М определено следующим образом
,  (4)
где udam - смещение группы, полосы локализации, ;dam - udam, вычисленный на микро пике. В вышеупомянутом l усредненная ширина группы, полосы локализации, которая определена как l = | ;d |/h, см. Рис. (7).
2.4 Числовые примеры
В этой секции существование ПЭО (RVE) для смягчающих материалов, показывающих распространяющееся, диффузивное повреждение, ущерб, под растяжения и смешанного способа загрузкой, продемонстрировано на основе числовых симуляций.
2.4.1 Растяжимая погрузка
 напряжение [МПА] странность, нужда (a)  смещение  тяга [МПА] смещение [мм]  (b) наложенное на тягу смещение [МПА]напряжение (с) странность напряжения (ФЗА) тяга [МПА]вводный [мм] (d) открытие тяги
Рисунок 4: Три образца в напряжении: напылённый против гомогенизации интерфейса.
Отклики трех дырявых  образцов (см. Рис. (1a)) подвергнутые растяжимой загрузке даны в Рис. (4). Результат на верху рисунка, который был получен с усреднением стандарта, показывает кривые напряжения- странности (напыленная, муки гомогенизация), Рис. (4a) и диаграммы тяги- смещения (соединения, интерфейс гомогенизацию), Рис. (4b). Отклики не объективны относительно микро образца размеров. Напротив, результат на среднем рисунке, полученном с усреднением зоны отказа, показывает, раскрывает это и для напыления, муки гомогенизации, Рис. (4c) и для трещины гомогенизации, Рис. (4d), гомогенизированные отклики независимы от микро образца размеров. Другими словами, ПЭО делает существование для смягчающих материалов, подвергающихся распространяющемуся, диффузному повреждению, ущербу, подвергнутому растяжимой нагрузке. Нижний рисунок дает повреждение, ущерб в образцах.
2.4.2 Погрузка смешанного способа

Рисунок 5: Три образца при смешанном способе нагрузки: усреднение стандарта против  усреднения зоны повреждения, для моды I поведение (вершина) и для поведения моды II (основание).
Затем, смешанная мода нагрузки (смещение (;x, ;y) было наложено на правый край микрообразца) имеет также выполненный для трех образцов, из которых результат дан в Рис. (5) в чем, первый ряд показывает результат моды I, тогда как второй ряд дает поведение моды II. Замечено еще раз что тяги- разделения кривые независимы от размера образца. Эквивалентно, ПЭО действительно существует для смягчающих материалов показа распространяющегося, диффузии повреждения, ущерба, подвергнутого нагрузке смешанного способа.
2.4.3 Случайная микроструктура в растяжении и сдвиге

Рисунок 6: Мука против трещины гомогенизации для случайной микроструктуры под растяжением (вверху) и сдвига загрузки (внизу).
Анализ теперь применен к этим двум образцам со случайной микроструктурой, см. Рис. (1b), для растяжения и сдвига условий, состояний нагрузки. Результаты, данные в Рис. (6), подтверждают независимость гомогенизированного ответа относительно образца размера, если усреднение зоны отказа используется, чтобы извлечь только активные неэластичные отклики появления в образцах 2.
2Ссылка к [6] для статистического исследования существования ПЭО для этого материала  под условием, состоянием нагрузки растяжения. Для сдвига  дальнейшее исследование для большего количества образцов в комбинации со статистическим анализом было бы необходимо, чтобы доказать применимость предложенного усреднения техники.


3 Мультишкалы рабочие рамки

Гетерогенная группа, полоса отказа, неудачи. Эквивалентная группа, полоса отказа, неудачи. Эквивалентная трещина
Рисунок 7: От группы, полосы локализации к эквивалентной трещине через энергичное соображение эквивалентности.
Используя Хилла-Мандела энергетичное условие, состояние эквивалентности, мы получили отношения гомогенизации к связи микроскопического отклика на макроскопический связный закон то есть, макротягу tM и макротрещины открытие [[u]]М. Идея состоит в том, чтобы гомогенизировать гетерогенную группу, полосу локализации, см. Рис. (7), получить эквивалент гомогенной группы, полосы отказа и наконец от этой эквивалентной группы, полосы к макротрещине. Получающееся отношение
(5)
Вышеупомянутое уравнение обеспечивает отношение перехода шкалы от микрошкалы откликов на макрошкалу связного закона (тяги tM и разделение [[u]]M). Отметьте, что для случая, в котором микрообразец подвергается дискретному взламыванию (l = 0), вышеупомянутое сокращается до урав. (17) данного в [5]. В вышеупомянутом uR - вектор смещения правого края из микрообразца и C0 проекция на трещины плоскость тензора согласия четвертого порядка D-103, см. [5, 9] для подробностей.
Отношение гомогенизации Eq. (5) для связной трещины может быть изменено, чтобы получить отношение гомогенизации для случая клейкой трещины, имеющей неизменную ширину tadh. Получающееся отношение, см. [9] для подробностей
. (6)
который обеспечивает отношение гомогенизации между микрошкалы информацией и макрошкалы связным законом (tМ, [[u]]M). Отметьте, что это уравнение напоминает Урав. (35) в [5].
2;2 макро-связная матрица тангенса ТМ, появляющаяся в формате ставки макросвязного закона  дана
ТМ =1/hМТК*М (7)
где K* - микросоответствие матрицы чопорности степеням свободы узлов вдоль правого края и М является булевой матрицей. См. [9] для подробностей.
Уравнение (5) решено совместно с  микрошкалы эквилибриума уравнением, используя повторяющегося контроля смещения процедуру, данную в Коробке (1), где ;ult - окончательный груз микромодели и ;I, обозначающим максимальный макро принципиальный стресс. Трещины инициирование/распространение и трещины направление роста были определены, используя существующие техники использованные в моделировании трещины моношкалы. Отметьте, что предложенная схема следует за стандартом странности ведущей схемы FE2. Алгоритм для клейкой трещины, не представленной здесь, подобен тому в Коробке (1), см. [9] для подробностей плюс пример на моделировании мультишкалы клейких трещин.

3 Гомогенизированная упругая матрица модулей, D0 вычислена, см. [3], в шаге предварительной обработки.

Коробка 1 Повторяющаяся гомогенизация контроля, управления смещения для связных трещин.
1. Делайте макро-модель до ;I;;;ult, ;;1.0
2. Вставьте трещины сегмент с надлежащим  направлением
(a) Инициализируйте 2 микро модели, связанные с 2 точками Гаусса на трещины сегменте
(b) Загрузите те 2 микро модели верх до ;I через контроль нагрузки
(c) Вычисление начального повреждения открыванием ;dam
3. Данный [[u]]М, u0lin и l0*.
(a) Вычислите
(b) Примените то смещение ;R на правый край ПЭО.
(c) Решите проблему ПЭО
(d) Вычислите макро-тяги использование Урав. (2)
(e) Вычислите линейное смещение ulin = wC0tM C0 =;-1D0-1;
(f) Вычисление новой ширины группы, полосы локализации l = |;d|/h
(g) Проверьте конвергенцию
i. вычисление полного микросмещения
ii. проверьте || uR - ;R  || <; || ;R ||. Если нет, вернитесь к шагу 3b с ;R  = uR . Иначе, продолжайте к шагу 4.
4. Вычислите макро материала тангенс используя Урав. (7) и продолжайте как обычно.
* Суперподлинник, индекс 0 обозначает количества предыдущего сходимого макроскопического шага загрузки.
** Левый край фиксирован, тогда как периодические граничные условия наложены на высшие и нижние края, см. Рис 2.
4 Примеры
Рисунок (8) изображает простую трещины роста симуляции проблему,  бар, брусок в одноосном напряжении, который дискретизирован 3 четырехсторонними элементами с четырьмя узлами. Обратитесь к разделу 2.2 для материальных параметров микро моделей (кроме ;;= 1000). Когда максимальное основное напряжение в баре превышает 0.4475 МПа, который составляет 95 % микро модели окончательную загрузку ;ult, вертикальная трещина, из-за симметрии, вставлена в средний элемент. Трещина смоделирована используя Разделения Метод Единства (РМЕ). Плоское условие, состояние напряжения предположено для микро моделей. Макро мука - упругий материал с гомогенизированными свойствами как отражено в D0. Цель примера состоит в том, чтобы проверить объективность макроскопических откликов относительно микроструктур.

Рисунок 8: Связаной трещины моделирование РМЕ со связным законом, прибывающим из микроскопических вычислений КЭ.
Рисунок (9) представляет макроскопические нагрузки-смещение  (;) кривые, которые ясно независимы от микроструктур используемые, чтобы получить гомогенизированные макроскопические связанные законы, показанные на правом рисунке. Это было наблюдаемо, что предложенная повторяющаяся схема сходилась приблизительно в трех повторениях для погрешности ;;= 10-4. Отметьте, что с тех пор макро трещина была вставлена немного перед окончательной нагрузкой микромодели, гомогенизированных связных законов не первоначально твердых, как обычные связаные модели. Наблюдаемой нагрузки капли в макроскопической диаграмме нагрузки-смещения являются то, вследствие факта, что микроскопические измерения имеют ту же самую величину с макроскопической единицей.

Рисунок 9: Связная проблема трещины: объективные макроскопические диаграммы нагрузки-смещения получены с различными микроструктурами
(слева) и гомогенизированные  тяги-открытия законы (справо).
5 Заключения
В этом вкладе макроскопические связные законы (и мода I и мода II), которые независимы от микро образца размера, были получены для квазихрупких материалов со случайной гетерогенной микроструктурой под различной нагрузки условиями. Это было достигнуто, извлекая только активные неэластичные отклики, происходящие в микрообразце, чтобы определить эквивалентные гомогенизированные макроскопические единицы. Статья подтвердила существование ПЭО для квазихрупких материалов со случайной микроструктурой, которая показывает повреждение намазанным средним способом под растяжением и сдвига нагрузками.
Используя энергичное условие эквивалентности Хилла, отношения гомогенизации и для макроскопического пластыря, и для связанных трещин были получены для материалов, показывающих распространяющееся повреждение. Схема гомогенизации была осуществлена в стандартной структуре FE2 и успешно проверенна одним доказательством понятия числового примера. С тех пор метод объективен относительно микрообразца размера, и существование ПЭО подтверждено, работа данная в этой статье когда объединена с процедурой определения количества размера ПЭО (будущая работа) принесет метод в практическом применении.
Благодарность
Финансовая поддержка Дельфтского Центра Вычислительной Науки и Разработки (ДКС) с благодарностью признана.
Ссылки
 [1] P.M. Suquet. Local and global aspects in the mathematical theory of plasticity. In A. Sawczuk and G. Bianchi,
editors, Plasticity today: modelling, methods and applications, pages 279–310, London, 1985. Elsevier.
[2] F. Feyel. A multilevel finite elementmethod (fe2) to describe the response of highly non-linear structures using
generalized continua. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192:3233–3244, 2003.
[3] V. Kouznetsova, W. A. M. Brekelmans, and F. P. T. Baaijens. An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials. Computational Mechanics, 27(1):37–48, 2001.
[4] I.M. Gitman, H. Askes, and L.J. Sluys. Representative volume: Existence and size determination. Engineering Fracture Mechanics, 74(16):2518–2534, 2007.
[5] C. V. Verhoosel, J. J. C. Remmers, M. A. Guti;rrez, and R. de Borst. Computational homogenisation for adhesive and cohesive failure in quasi-brittle solids. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
2010.
[6] V.P. Nguyen, O. Lloberas Valls, M. Stroeven, and L.J. Sluys. On the existence of representative volumes for softening quasi-brittle materials. ComputerMethods in AppliedMechanics and Engineering, 2010. submitted.
[7] J. Lemaitre. A course on damage mechanics. Springer-Verlag, 1996.
[8] R. H. J. Peerlings, R. de Borst, W. A. M. Brekelmans, and J. H. P. de Vree. Gradient enhanced damage for quasi-brittle materials. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39:3391–3403, 1996.
[9] V.P. Nguyen, O. Lloberas Valls, M. Stroeven, and L.J. Sluys. Homogenization-based multiscale crack modelling: from micro diffusive damage to macro cracks. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010. submitted.