Многомасштабное моделирование нано-и микромеханики

Multistage Modeling of Nano- and Micro-Mechanics: an Overview
Nasr M. Ghoniem(1), Hanchen Huang(2), Esteban Busso(3), and Nicolas Kioussis(4)
W Mechanical and Aerospace Engineering Department University of California, Los Angeles, CA 90095-1597, USA
(2) Department of Mechanical, Aerospace and Nuclear Engineering
Jonsson Engineering Center (JEC) 2049, 110 8th Street
Troy NY, 12180-3590, USA
(3) Department of Mechanical Engineering Imperial College, University of London, UK
(4) Department of Physics California State University Northridge (CSUN), Northridge, C A 91330-8268, USA
November 13, 2002
Многомасштабное моделирование нано-и микромеханики: Обзор
Наср М. Ghoniem (1), Ханьчэнь Хуан (2), Эстебан Busso (3), и Николя Kioussis (4)
(1) Механической и аэрокосмической техники Департамента
Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния 90095-1597, США
(2)-механический факультет, аэрокосмической и ядерной техники
Йонссон Инженерный центр (JEC) 2049, 110 8-я стрит
Troy NY, 12180-3590, США
(3) Инженерно-механический факультет
Имперский колледж, Лондонский университет, Великобритания
(4) физический факультет
Университет штата Калифорния Northridge (CSUN), Northridge, CA 91330-8268, США
13 ноября 2002
2
Содержание
1 Введение 5
2 Вычислительная механика Квантуума 7
2,1 Особые 2,2 Аппроксимация местной плотности (LDA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2,3 Наномеханика 2,4 Ограничения ТФП 2,5 Связи с межатомным 3 Крупномасштабные атомистические симуляции 13
3,1 Метод молекулярной 3,2 Межатомных 3,3 Применения атомистической 4 Мезо-механика и роль дефектов 17
4,1 Эшелби-Крёнера механика 4,2 Кинетика Монте Карло - 4,3 Динамика дислокаций - 4,4 Статистическая механика - 5 Вычислительная механика сплошных сред (континуума)27
6 Обсуждение выдающихся выводов и заключений 27
3
Аннотация

Последние достижения в области компьютерного моделирования и моделирования механики материалов на нано-и микро масштабах рассмотрены. Многомасштабного моделирования материалов (МММ) подход
показан в отношении к систематическому сокращению степеней свободы в природных масштабах длины. Связи между такими масштабами в настоящее время достигнуты либо путем параметризации или грубого зерна (coarse- graining) процедуры. Параметры, описывающие системы на нижних масштабах длин получены компьютерным моделированием, часто проверены экспериментально, и переходят к высшему масштабу. Кроме того, описания нижнего масштаба длины могут быть грубого -зерна через "зум-аут" процесс. Бесшовная связь между масштабами еще не была достигнута в результате  двух основных проблем: (1) вычислительная сложность бесшовно связанного симулирования с помощью грубого -зерна подхода, (2) присущие трудности в деле с эволюционной системой вытекающие из временной причинности, и которые не позволяют огрубления-зерна для случившиеся события. Начиная с Борна-Оппенгеймера адиабатического приближения, задача решения квантово-механических уравнений движения  рассматривается, с успешного применения в механике нано-систем. Атомные методы моделирования (например, молекулярная динамика (МД), Ланжевена Динамика (LD) и Кинетическая Монте-Карло (КМК)) и их применения в нано-масштабе затем обсуждаются. Роль, которую играют методы динамика дислокаций (DD) и статистической механики (SM) в понимании микроструктуры самоорганизации, гетерогенной пластической деформации, материала неустойчивости и разрушения явления также обсуждается. Наконец, мы рассматриваем состояние кристалла и градиента деформации теории пластичности, упругопластической механики и приложения в моделировании деформации единого и поликристаллов. В связи с этим широким спектром описания материала поведения, основные трудности и проблемы критически оценены.
4


1 Введение.
Численное моделирование поведения материалов становится надежным инструментом научного исследования, дополнением к традиционной теории и эксперимента. Многомасштабного моделирования Материалов (MMM) подход отражает понимание того, что методы континуума и атомистического анализа дополняют друг друга. Понимание поведения материалов показывает двойственный характер структуры
материи: быть непрерывным, если смотреть на больших масштабах длины и быть дискретным, если смотреть на атомном масштабе. На мезо-масштабе (т. е. между сплошной и атомистического), сплошной среды механики подходы начинают ломаться, и атомистические методы требуют достижения присущего времени и длины масштаба ограничений. Методы мезоскопического моделирования разработаны с целью преодоления разрыва между крайностями масштаба. В последнее время ряд факторов  привели научное сообщество серьезно рассмотреть МММ подход как разумную стратегию для понимания механического поведения материалов, и, следовательно, в качестве потенциального подхода к дизайну материала системы.
Задача аналитической теории заключается в ее способности уменьшить комплекс коллективного поведения основных ингредиентов материалов (например, атомов и электронов, если задача соединяет тесную связь между нуклонами) в проницательные отношения между причиной и следствием. Например, отношение между величиной внешней силы  и позиции всех атомов в изотропном упругом материале требует знания лишь двух упругих констант. Когда применяемая сила велика, простое описание не представляется возможным, и задача требует больше параметров для получения таких отношений. Описание материала деформации вне упругого режима, как правило, представлено в инженерных уравнениях состояния, которые показывают отношения между  напряжением, деформацией, температурой, напряжением скорости, и другими дополнительными факторами окружающей среды. Описание эмпирическое, и опирается на обширные экспериментальные данные. Его экстраполяции за пределы базы данных всегда неопределенны, требующие иногда больших факторов безопасности в инженерных  конструкциях. Включение этих отношений в рамках  механики сплошных сред составляет теорию пластичности, с присущим предположением, что материалы являются статистически однородными. Тем не менее, многие экспериментальные наблюдения не могут быть буквально объяснены в рамках механики сплошной среды: дислокации структур в усталости и ползучести, шероховатости поверхности и зарождения трещин в усталости, присущие неоднородности пластической
деформации, статистический характер хрупкого разрушения, локализации пластического течения в полосах сдвига, и эффект размера, геометрии и напряженного состояния на свойства на выходе.
В последнее время интерес в нанотехнологии вызывает научное сообщество  анализ, разработка и дизайн нано- до микро- метрового размера устройства для применения в новых поколениях компьютеров, электроники, фотоники и систем доставки лекарств. Многие примеры текущих интересов исследования показывают, необходимость физически основанного подхода к производству анализа и дизайна таких малых инженерных структур. Это сложная задача, так как традиционные методы непрерывного анализа весьма ограничены, а соответствующий метод моделирования должен быть выбран с осторожностью. Теория и моделирование играют все возрастающую роль в этой области, в связи с необходимостью для интерпретации экспериментальных данных и в то же время уменьшения времени разработки до полномасштабного производства продуктов. Несколько примеров, рассмотренных здесь иллюстрируют роль МММ в нано- и микромеханике исследований.
Надежная работа микроэлектронных интегральных схем (ИС) ограничена отказом соединением провода между субмикронными полупроводниковыми чипами. В некоторых случаях, зарождение и рост даже одной нано- пустоты может привести к отказу соединения на доске ИС. Статистическая механика не может адекватно решить эту ситуацию, потому что закон больших чисел не выполняется. Будущее электронных и оптоэлектронных устройств, как ожидается, будет еще меньше, с нанопроводами, соединяющими
5
наноразмеров памяти, и наноструктур хранения и поиска информации. Понимание механики таких инженерных устройств позволит нам поддерживать высокие уровни надежности и полезной жизни. Несомненно, что дефекты будут играть важную роль в этих нано-и микросистем,
из-за их решающего влияние на физические и механические свойства.
Даже в высокой неоплате, с высоким риском технологий, таких как дизайн больших структур в аэрокосмической и ядерной промышленности энергии, эффекты старения и тяжелых машиностроении в механизмах поломки  не может быть оставлен на консервативные подходы фактора-безопасности. Наращивание усилий  сосредоточено на использования подхода МММ в развитие сплавов и материальных систем в этих инженерных областях. Примером применения этой стратегии развития крупных компонентов окружающей плазмы ядра системы по термоядерной энергии показан на рис (??).
Развитие ультра-сильных, но пластичных материалов с использованием нанослоев из различных материалов требует детального понимания их механических свойств. Такие материалы, если правильно разработаны, могут быть кандидатами для многих требуемых приложений (например, микроэлектроники, оптоэлектроники, лазерных зеркал, структур самолетов, ракетных двигателей, транспортировке структуры, передовые энергии и т.д.). В настоящее время, наиболее широко используемые опции экспериментальной оценки механических свойств нано- до микромасштаба материалов были в основном ограничены точечными инденторами (Loubet, Geogre & Meille 1986, Wu , Lee и Wang 1993), и выпуклыми испытаниями  (Small, Daniels, Clemens @ Nix 1994). Исключая методы, основанных на прямых измерениях силы и перемещения, некоторые косвенные методы (например, рентгеновских измерений  напряжений (James & Cohen 1980, Segmueller и Murakami 1988)) также обычно используется. Такие испытания на малых объемах обеспечивают много упругой и пластической загрузки- перемещения информации, но таким образом, что не имеет прямого отношения к прочности пленки (Baker 1993). Для интерпретации этих специализированных механических испытаний, и экстраполяции к объемным свойствам для будущих структурных приложений, модели механического поведения в этом масштабе имеют важное значение.
Как материала размеры становятся меньше, его устойчивость к появлению деформации более определяется внутренними или внешними разрывами (например, поверхности, границ зерен, дислокаций
клеточных стенок и т.д.). Отношение Холла-Петча широко используется для объяснения многих особенностей размерного эффекта, хотя основа отношения, связана исключительно с дислокацией скоплений  на границах зерен. Последние экспериментальные наблюдения на нанокристаллических материалов, с длиной масштабы меньше, чем  10-20 нм показывают, что материал начинает становиться слабее, и, что отношение Холла-Петча нарушается (Erb, Palumbo, Zugic & Aust 1996, G.H. Campbell, Foiles,
Huang, Huges, King, Lassila, Nikkel, Dias de la Rubia, Shu &  Smyshlyaev 1998). Таким образом, взаимосвязь между поверхностными эффектами и внутренние пластичные механизмы скольжения могут привести  либо  к силе или к слабости.
Хотя экспериментальные наблюдения о том, что пластическая деформация довольно однородна должна быть в течение некоторого времени, значение этих фактов не рассматривалось до недавнего времени. Удивительно регулярные структуры локализованных зон повышенной деформации, в окружении огромного объёма материала, которое содержит мало или без деформации, часто можно увидеть в металлических сплавах (Amodeo и Ghoniem 1988 , Mughrabi 1983, Mughrabi 1987). Тем не менее, пространство между этими структурами (например, характерный размер ячейки дислокации, лестницы расстояние в стойких полосах скольжения (СПС Persistent Slip Bands PSB), или расстояние между грубыми полосами сдвига) появляется  для контроля прочности и податливости пластической деформации, и продиктовано только внешними термодинамическими силами. Основные причины для этого важного и присущего масштаба длины материала, и отношения с материала деформируемости были субъектами последних больших интеллектуальных и практических проблем. В отличие от большинства подходов к упругим свойствам композитных материалов, общий пластический отклик  даже
6
одной фазы материалов не может быть удобно "сделан однородным " в среднем значении. Таким образом, новые методы исследования необходимые для решения этих двух основных эффектов пластической деформации:
наличие собственного масштаба длины, и существование зависимости от размера материала. Во все эти примеры деформации в масштабе мезодлины, ни атомистического моделирования, ни континуальной теории  не являются адекватными.
Факторы обсуждённые выше можно рассматривать как собственные выводы, которые привели к большим акцентам на МММ подход в  нано- и микромеханике. Тем не менее, огромный рост сложности компьютерного оборудования и программного обеспечения сделал крупномасштабные вычисления гораздо более доступными, чем когда-либо прежде. Такая доступность стала сама по себе движущей силой для развития эффективных численных методов в рамках МММ. Однако, как будет реализовано в
обзоре представленном здесь, имеются значительные возможности для улучшения. Ожидается, что новые концепции, теории, методы моделирования и компьютерные программы будут разработаны для достижения по-настоящему бесшовного многомасштабного моделирования механического поведения материалов.
В этой обзорной статье мы кратко выведем состояние исследований в каждом компоненте, которые составляют парадигмы МММ для моделирования нано- и микросистем: квантовая механика (КМ), молекулярная динамика (МД), Монте-Карло (MC), Динамика дислокаций (DD), статистическая физика (SM) и наконец, механика сплошных сред (СМ).
2 Вычислительная Квантовая механика
2.1 Основные понятия
Существует никаких сомнений, что большинство из низкоэнергетической физики, химии, материаловедения, биологии можно объяснить квантовой механикой электронов и ионов, а также, что во многих случаях, свойства и поведение материалов вытекают из квантовомеханического описания событий на атомном масштабе. Хотя, есть много примеров в науке материалов значительного прогресса, было сделано без какой-либо нужды в квантовомеханическом моделировании, этот прогресс часто ограничен, как один  толчок вперед и расчет атомного мира. Например, понимание свойств дислокаций происходит от классической теории упругости, но даже в этих случаях, до недавнего времени, очень
мало было известно о ядре дислокации или влиянии химии на ядро, именно
поэтому эта часть дислокаций требует детального квантовомеханического моделирования. Способность квантовой механики для предсказания полной энергии и атомной структуры системы электронов и ядер, позволяет извлечь огромную пользу из квантовомеханических расчетов. Многие
 методы были разработаны для решения уравнения Шредингера, которые могут быть использованы для расчета широкого спектра физических свойств материалов, которые требуют только представления спецификации иона (по их атомному номеру). Эти методы, как правило, называют ab initio (изначальные) методы.
При рассмотрении движения электронов в конденсированных средах мы имеем дело с проблемой описания движения огромного числа электронов и ядер (~ 1023) повинуясь законам квантовой механики. Прогнозирование электронной и геометрической структуры твердых тел требует расчет квантовомеханической полной энергии системы и последующей минимизации той энергии по электронным и ядерным координатам. Из-за большой разницы в массе между электронами и ядрами и  фактом, что силы у частиц те же, электроны отвечают по существу мгновенно на движения ядер. Таким образом, ядра могут
7
рассматриваться адиабатически, что привело к разделению электронных и ядерных координат во многих тел волновой функции
; ({RI, rn}) = ;el ({rn}; {RI}) ;nuc ({RI}) (1)
- так называемые Борна-Оппенгеймера приближения ((Parr& Yang 1989, Dreizler & Gross 1990)).
Адиабатический принцип уменьшает задачи многих тел в решении динамики электронов в некоторых замороженных  конфигурациях {RI} ядер, это пример философии за систематический уровень ограничения свободы, которая себя в сердце многомасштабного моделирования.
Даже с этим упрощением, задача многих тел остается  огромной. Гамильтониан для N-электронной системы, движущейся в конденсированных средах при фиксированных ядер (в атомных единицах)
, (2)
где первое слагаемое оператор кинетической энергии, v;(r) одноэлектронный спинзависимый внешний потенциал (например, электронно-ядерного взаимодействия), и третий член представляет влияние электрон-электронного взаимодействия, представляет собой самую трудную задачу в расчете любой электронной структуры.
Теория функционала плотности (ТФП- DFT) (Kohn & Sham 1965, Hohenberg и Kohn 1964, Jones & Gunnardson 1989, Dreizler & Gross 1990, Parr & Yang 1989)-, было доказано,  очень мощный квантовомеханический метод исследования электронной структуры атомов, молекул и твердых тел. Здесь плотность электронов, ; (r), или спиновая плотность, ;; (R), является фундаментальной величиной, а полная волновая функция занята, например, в Хартри-Фока теории (Ashcroft & Мermin (1976)). ТФП делает успешные предсказания основного состояния свойств для умеренно коррелированных
электронных систем (Perdew (1998)). ТФП может обеспечить точные свойства основного состояния для реальных материалов - таких, как полные разности энергии и энергии, сплоченной энергии твердых тел и атомизация энергии молекул, поверхностной энергии, энергетических барьеров, атомной структуры и магнитных моментов - и обеспечивает схемы их расчета (Jones & Gunnarsson 1989 года, Perdew 1998 года, Fulde 1993).
Далее мы дадим краткое обсуждение важных концепций, ТФП. Хоенберг и Кон (Hoenberg & Kohn (1964)) доказали, что полная энергия, в том числе обмена и корреляции,  электронного газа (даже в присутствии внешнего постоянного потенциала) является уникальным функционалом электронной плотности. Минимальное значение функционала полной энергии является энергия основного состояния  системы, и плотность, что дает это минимальное значение, - точная одночастичная основного состояния плотность. Кон & Шам (1965), затем показали, как это возможно, формально, заменить многоэлектронную проблему точным эквивалентным множеством самосогласованного одноэлектронного уравнения
, (3)
где ;k; (r) Кона-Шема орбитали, и спинзависимых обменно-корреляционный потенциал определяется как
. (4)
Здесь, Exc [; ;, ; ;] является обменно-корреляционной энергией и плотность электронов, ;;(r), из спин ; (=;, ;) находится путем суммирования квадратов занятых орбиталей,
, (5)
8
где ; (х) является ступенчатой функцией и ;-химический  потенциал. Обменно-корреляционная энергия является "клеем природы". Полной электронной плотности
; (r) = ; ; (r) + ; ; (r). (6)
Помимо энергии отталкивания ядро-ядерных, полная энергия
, (7)
где
(8)
является Хартри самостоятельно отталкивание электронной плотности.
Кона-Шема уравнения являются отображением взаимодействия многоэлектронной системы на систему невзаимодействующих электронов, движущихся в эффективном нелокальном потенциале за счет всех других электронов. Кона-Шема уравнения должны быть решены самосогласованно так, как занятые электронных состояния генерируют плотность заряда, который производит электронный потенциал, который был использован для построения уравнений. Новые подходы итерационной диагонализации могут быть использованы для минимизации полной энергии функционала (Car& Parinello 1985, Payene, Теter, Аllаn, Arias & Joannopoulos 1992 , Gillan 1989).
Они гораздо более эффективны, чем традиционные методы диагонализации. Если функционал энергии обмена- корреляции был известен точно, затем беря функциональную производную по отношению к плотности будет производиться обменно-корреляционный потенциал, который включает эффекты обмена и корреляции точно.
Сложность реальной проблемы многих тел содержится в неизвестной корреляции потенциала обмена v;xc(r).  Тем не менее, после простых приближений, мы можем надеяться  обойти сложность проблемы. Действительно простейшим приближением, т. е. локальной плотности (ПЛП LDA) или локальной спиновой плотности (ПЛСП LSDA) приближение, как было доказано (Hoenberg & Kohn 1964, von Bart & Hedin 1972) очень успешно.
2.2 Приближения местной плотности (ПЛП LDA)
Это простейший способ описания обменно-корреляционной энергии электронной системы был рабочей лошадкой физики конденсированных сред в течение почти тридцати лет. В ПЛСП (LSDA) энергия обмена –корреляции электронной системы строится в предположении, что обменно-корреляционная энергия на один электрон в точке r в электронном газе, ;xc, равна энергии обменно-корреляционного на один электрон в электронном газе равномерной плотности спина ; ;, ; ;, а именно,
ELSDAXC [; ;, ; ;] = ;d3r; (r) ;UNIFxc (; ; (r) ; ; (r)). (9)
ПЛСП (LSDA) предполагает, что обменно-корреляционный функционал энергии является чисто местным. Несколько параметризаций существует для обменно-корреляционной энергии однородного электронного газа, все из которых приводят к результатам полной энергии, которые очень похожи (Hohenberg & Kohn 1964, Hedin&Lundqvist 1971, Vosco, Wilk & Nusair 1980, Perdew& Zunger 1981). Эти параметризации используют интерполяционные формулы с ссылкой на точные результаты для обменно-корреляционной энергии высокой плотности электронного газа и расчетов обменно-корреляционной энергии промежуточных и низкой плотности электронов газов.
9
ПЛП (LDA) или ПЛСП (LSDA), в принципе, не учитывает поправки к обменно-корреляционной энергии в точке г в связи с рядом неоднородностей в электронном газе. Учитывая неточный характер приближения,
примечательно, что расчеты с использованием ПЛП (LDA) были столь успешны. Последние исследования показали, что этот успех может быть частично связан с тем, что ПЛП (LDA) дает правильные правила сумм для обменно-корреляционного отверстия (Harris & Jones 1974, Gunnardson &
Lundqvist 1976, Langreth & Perdew 1977). Количество попыток для улучшения ПЛП (LDA) или ПЛСП (LSDA) использует градиент расширения зарядовой или спиновой плотности. В этом случае нелокальная информация о зарядовой или спиновой плотности может быть предоставлена из градиентных членов. Такого рода приближения в обычно ссылаются как на градиент приближения разложения (Perdew 1998). Наиболее популярные, Пердью-Вана обобщенного приближения градиента ПОГ (GGA generalized gradient approximations) (Perdew 1998 года, Perdew 1991 года, Perdew, Burke & Wang 1996)
EGGAXC [; ;, ; ;] = ;d3rf (; ;, ; ;,  ; ;,  ; ;) (10)
начинается с расширения градиента второго порядка плотности дырок обмена-корреляции, затем отрез ложного дальнего ранга (|r –r/ | ; ;) частей для восстановления правил сумм. ПОГ (GGA), как правило, более точна, чем ЛСП (LSD), особенно для быстро меняющейся плотности атомов и молекул. В последние годы, ПОГ (GGA), сделали ТФП (DFT) популярной в квантовой химии.
В обсуждении Кона-Шема уравнений ранее, ничего не было сказано о том, как ;k(r) сама будет определяться. Многие методы имеют общую особенность, что волновая функция предполагается существует в виде линейной комбинации некоторого множества базисных функций, которые могут быть записаны в общем как
, (11)
где ;n является вес, связанный с nth базисной функции ;n (r). Решение Кона- Шэма в свою очередь, становится поиск неизвестных коэффициентов, а не неизвестных функций.  Часть из различных, связанных с различными реализациями ТПФ кодов связано с выбором базисных функций и формы эффективного потенциала кристалла. При принятии решения об определенном наборе базисных функций, компромисс должен быть между высокой точностью результатов, которые требуют большой набор основы, и вычислительными затратами, которые способствуют небольшим наборам основы. Аналогичные рассуждения справедливы и в отношении функциональных форм ;n(r). Есть несколько мощных
методов расчета электронной структуры. Те, которые используют базис, построенный из типа- атомных функций, локализованных около каждого атомного сайта, такие как полный потенциал линейных присоединенных плоских волн (ПЛППВ FLAPW full potential linear augment plane wave) метод (Wimmer, Krakauer, Weinert& Freeman (1981)),  полного потенциала линейных сдобы-олово-орбитальных (ПЛСОО FLMTO full potential linear muffin-tin- orbital ) метод (Price & Cooper 1989, , Wills & Cooper 1992), полного потенциала Корринги-Кона-Ростокера (Korringa-Kohn-Rostoker KKR) метод (Papanikolaou, Zeller и Dederichs (2002)), и линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО LCAO linear combination of atomic orbitals) метод (Eschrig (1989)). Кроме того, те,  которые используют  свободные электроны как основу, так называемый плоских волн базис, таких как псевдопотенциала метод (Payne et al. 1992, Denteneer&van Haeringen 1985).
2.3 Приложения наномеханики
Электронной структуры расчеты, основанные на ТФП также могут быть применены для исследования непериодических
систем, таких как те,  содержащие точечные, плоские или линейные дефекты, или квантовые точки, если периодическая суперячейка используется. Суперячейка содержит дефекты окруженные областью объемного кристалла или вакуума для случая поверхности. Периодические граничные условия применяются к таким суперячейкам так,
10
что суперячейка воспроизводится в пространстве. Важно, включить достаточный объем твёрдого тела (или вакуума) в суперячейку для предотвращения дефектов в соседних клетках из взаимодействующих заметно друг с другом. Независимость дефектов в соседних клетках может быть проверена  увеличением объема суперячейки пока рассчитанная энергия дефекта не сойдется. Используя геометрии суперячейки можно изучать даже молекулы (Joannopoulos, Bash & Rappe (1991)), при условии, что суперячейка настолько велика, что взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы.
Осуществление ТФП в ПЛП (LDA) или ПОГ (GGA) для обменно-корреляционной энергии, разработка новых линеаризованных методов решения одночастичных уравнений Шредингера и использование мощных компьютеров, позволяют высокоэффективные процедуры до нескольких сотен атомов, и привело к вспышке теоретической работы в физике конденсированных сред и материалов физики. Представление успешного применения ТФП для широкого спектра материалов, начиная от металлов в полупроводниках до керамики включает электронные, структурные и магнитные свойства поверхностей (Ruberto, Yourdshahyan & Lundqvist 2002 , LaBella, Yang, Bullock, Thibado, Kratzer & Scheffler 1999), интерфейсов (Batirev, Аlavi, Finnis & Deutsch (1999)), границ зерен (Lu, Kioussis, Wu& Ciftan (1999)), сплавов (Janotti, Zhan , Wei, Su-Huai & Van dе Walle 2002, Kеnt & Zunger 2001), хемосорбции молекул на поверхности (D;rr, Raschke, Pehlke & H;fer (2001)), дислокаций (Lu, Kioussis, Bulatov& Kaxiras 2000, Lu & Kioussis 2001, Lu, Zhan, Kioussis & Kaxiras 2001), углеродных нанотрубок (Chan, Chen, Gong & Liu 2001, Yildirim, Gulseren и Ciraci 2001), и квантовых точек.
2,4 Ограничения ТФП
Теории функционала плотности с ПЛСП (LSDA) и ПОГ (GGA) обычно хорошо работают для свойств основного состояния умеренно-электронных систем. В некоторых системах, однако, корреляции между электронами сильнее, чем можно было ожидать от местной плотности спина. Это происходит в системах, где электроны частично сохраняют свою локализацию атомную- как природную, как и в случае для 4f-состояния в редкоземельных атомах, а иногда и для 3d-состояний атомов переходных металлов. Типичные примеры включают редкоземельные металлы, где ПЛП (LDA) предсказывает сильный пик 4f-орбитального происхождения в плотность состояний на уровне Ферми, что не согласуется с экспериментом, и некоторых изолирующих оксидов переходных металлов, которые ПЛП (LDA) прогнозирует быть металлическими. Другие системы с аномальными электронные и магнитные свойствами тяжёлых фермионов соединений, медно-оксиды на основе сверхпроводников, манганитов колоссальное магнетосопротивление и т.д. В последние несколько лет, существует растущее чувство, что реалистично ПЛП (LDA)-подобные подходы могут быть обобщены включая наиболее значимые эффекты корреляции для сильно коррелированных электронных систем Мотта-Хаббарда и разнообразия переноса заряда (Аnisimov, Zaanen& Andersen (1991)). Все эти подходы основаны на ПЛП (LDA) в качестве отправной точки и вводят дополнительные условия, предназначенные для процедур кулоновских корреляций между электронами. Среди них LDA + U метод (Lichtenstein & Anisimov (1995)), самодействия коррекции CK (SIC self-interaction) метод (?, Svane & Gunnarson 1990), ПЛП (LDA) + Динамические теории значения поля
ДТЗП (DMFT dynamical mean field theory) метод (Georges, Kotliar, Krauth и &Rosenberg (1996)), и оптимизированного эффективного потенциала (OEP) метод (Gross, Kreibich, Lein& Petersilka (1998)).
Кроме того, лишь ограниченная информация о спектроскопических свойствах доступна из таких расчетов основного состояния. Квазичастицы (QP) возбуждений, как они происходят в фотоэмиссии и туннельных экспериментах, не полностью описывается собственными Кона-Шема. В самом деле, группа структур дается ПЛП (LDA) часто в различных разногласиях с экспериментальными данными, показывая, систематические отклонения ширины дисперсий и запрещенных зон. В дополнение к неудаче группы
11
структур, двухчастичные возбуждения также не получены с удовлетворительной точностью. В частности, оптические спектры, которые соответствуют электронно-дырочным возбуждениям в электронной системе, не могут быть описаны прямо в лоб  использованием ТФП или других теорий основного состояния. Зависящие от времени расширения ТФП (Gross et al. (1998)) можно рассматривать возбуждения свойства, но до сих пор метод ограничивается конечными системами. Cвойства возбуждения изучались также с помощью программы настройки взаимодействия НВ (CI configuration interaction) метод (Dykstra (1988)), но так же, этот метод является очень ограниченым для малых систем, таких как малые молекулы или кластеры. Основное достижение в области было дано приближением GW (GWA) (Hedin& Lundqvist (1971)) для собственной энергии, которое выводит очень точную оценку собственной энергии на основе результатов предыдущих расчетов ТФП. Высокая точность зонных структур для реальных материалов была получена этим методом, в том числе объемных полупроводников, диэлектриков, металлов, полупроводников, атомов, дефектов и кластеров, таким образом GWA стандартный инструмент для предсказания электронного спектра квазичастиц умеренно электронных систем (Луи (1996)).
2,5 Связи с межатомными потенциалами
Прямое использование методов TФП для выполнения полной квантовой молекулярной динамики на реальных материалах ограничено сотней или несколькими атомов и несколько пикосекунд времени моделирования. Таким образом, следующим шагом грубого зерна проблемы заключается в удалении электронных степеней свободы воображаемых атомов, чтобы состояться вместе каким-то сортом клея или межатомным потенциалом, тем самым позволяет крупномасштабное атомистическое моделирование для миллионов атомов и наносекунд времени моделирования. Такое моделирование, используя либо погруженного атома (ЕАМ embedded-atom) тип (Daw & Baskes 1983, Daw& Baskes 1984) или Финниса-Синклера (FS) тип (Finnis & Sinclair (1984)) в металлах, или Стиллинджера- Вебера (SW) тип (Stillinger &Weber (1985)) в ковалентных материалах, оказалось чрезвычайно полезным в исследованиях общего явления в простых системах. Эмпирические потенциалы включают установку параметров к определенному экспериментальные или неэмпирических базу данных, которая включает в себя физические величины таких как решетки, объемный модуль упругости и, энергии образования вакансии, поверхностной энергии и т. д. Однако, в то же время, они не могут обеспечить требуемые физические точность для многих реальных комплексов материалов, представляющих интерес. Например, надежные межатомные потенциалы как правило, не доступны для многоэлементных  материалов для систем, содержащих замещения или интерстициальные легирующие примеси.  Существует, следовательно, растущая потребность в разработке более точных межатомных потенциалов, полученных от квантовой механики, которые могут быть применены к крупномасштабным атомистическим моделированиям. Это особенно актуально для направленно-связанных систем, таких как переходные металлы, и для химически или структурно-сложных систем, таких как интерметаллидов соединений и сплавов.
Сильной связи и самосогласованной плотности заряда функциональной сильной связи молекулярной динамики (ССМД TBMD tight-binding molecular dynamics) подход становится широко распространенным явлением в сообществе атомистического моделирования, потому что
позволяет оценить как ионные и электронные свойства (Gonis, Kioussis и Ciftan (1998). Успех TBMD стоит на хорошем балансе между точностью физическое представление атомных взаимодействий и  результатом вычислительных затрат.  TBMD реализует эмпирические
параметризации связи взаимодействия на основе расширения электронных волн функций на очень простом базисе.  В последнее время роман аналитических потенциалов связи-порядка (bond-order) были получены для  атомистического моделирования  грубым зерном (coarse -graining) электронной структуры в ортогональных двух центров сильной связи представлении (Pettifor 1989, Pettifor & Оleinik 1999, Pettifor & Oleinik 2000). Наконец, квантовой основы межатомные потенциалы для переходных металлов, которые содержат явные угловой силы (angular-force) взносы были разработаны на основе первых принципов, ТФП основы обобщенной
теории псевдопотенциала (Moriarty 1988 года, Moriarty & Widom 1997).
12
3 Крупномасштабные атомистические симуляции.
Ab initio методы, представленные в разделе (2) ограничены настоящего времени компьютерами   системами содержащими нескольких сотен атомов не более. Однако такое моделирование служить двум важным целям. Во-первых, они дают прямую информацию о реакции материалов на внешнюю среду (например, сила, температура и т.д.).  Во-вторых, они также создают базу данных свойств, которые могут быть использованы для построения эффективных (эмпирических) межатомных потенциалов.  Для определения свойств большого числа атомов, чем могут быть урегулированы путем вычислительной квантовой механики, описание взаимодействия между атомами должно быть аппроксимировано.  Молекулярной динамики (МД) метод разработан для исследования свойств больших ансамблей атомов (миллионов до миллиардов) с эффективными межатомными потенциалами. Основная идея состоит в ликвидации всех электронных степеней свободы, и предположении, что электроны приклеены к ядрам. Таким образом, взаимодействие между двумя атомами представлено потенциальной функцией, зависящей от атомной конфигурации (например, расстояния) и местной окружающей среды (например, электронов). На основе электронной структуры базы данных, или же с использованием экспериментальных измерений конкретных свойств, приближенные эффективные потенциалы могут быть получены. Используя классическую механику (например, второй закон Ньютона), динамичное развитие всех атомов может  полностью определяться путем численного интегрирования. В принципе, как только положение и скорость атомов станут известны, термодинамические свойства материала могут быть извлечены из свойств конечного ансамбля в рамках моделирования ячейки. Осуществление и практика МД симуляций гораздо сложнее, чем концептуальное описание упоминаемое здесь. Успешным моделирования зависит от трех основных факторов:
1. Вычислительные и численные методы, используемых в МД;
2. Строительство точных межатомных потенциалов, а также
3. Анализ массивных данных в результате компьютерного моделирования.
В следующем, мы кратко изложим основные идеи МД, а затем обсудим
основные аспекты последних двух тем.
3.1 Метод молекулярной динамики.
МД симуляции описывают одновременное движение и взаимодействие между атомами (или молекулами). Динамичное развитие системы определяется классической ньютоновской динамикой:
, (12)
которая является производной от классического гамильтониана системы:
 (13)
Aтом просто переместить в качестве жестких частиц, движущихся в эффективном потенциале других подобных частиц, V (RI). Атомные силы возникают в виде аналитических производных функций энергии взаимодействия, FI (RI) = -dV/dRI, и используются для построения уравнений движения Гамильтона, которые второго
13
порядка, обыкновенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения аппроксимируются конечно-разностными уравнениями, с дискретным шагом времени ;t, и решаются стандартными алгоритмами интеграции времени.
Такое решение было бы просто, если бы компьютеры были достаточно мощными, чтобы обрабатывать 1024 атомов - моли материалов, с достаточной точностью. К сожалению, 109 атомов представляют собой верхний предел вычислений. Кроме того, достижимое число шагов интегрирования составляет около 108. Первое ограничение требует соответствующих граничных условий для моделирования истинных твердых тел, а второе требует соответствующих схем интеграции, с тем чтобы имитировать более длительное время и не жертвовать точностью. Для моделирования исключением дислокаций, граничное условие проще. Как правило, периодическое граничное условие будет достаточным, чтобы имитировать большой объем твердого тела, и свободными границами поверхности служат либо физические поверхности или механизмы для высвобождения внутренних напряжений / деформации или обоих. В механике моделирования, дислокации генерируют дальнего ранга (longe-range) поле деформации (1/r). Как результат, специальные граничные условия должны быть рассмотрены для лечения этого дальнего поля. Диапазон схем, таких как жесткое граничное условие (Kuramoto, Ohsawa & Tsutsumi 2000), периодическое граничное условие (Kido, Maruyama, Niita & Chiba 2000), гибкой границы (функции Грина) условие (Woo & Puls  1976 Sinclair 1971, Hoagland, Hirth & Gehlen 1976, Rao, Hernandez, Simmons, Parthasarathy & Woodward 1998), и прямой увязки атомистического и континуума подходов (Оrtiz  & Phillips 1999), был разработан в течение года.
Жесткие граничное условие относительно сыро, согласно которому границы атомов фиксированы в молекулярной динамики. Для простых конфигураций дислокации, начальной деформации поля, скажем, длинные прямые бесконечные дислокации, возлагаются на все атомы в ячейке моделирования. Во время последующего моделирования, граничные атомы не могут расслабиться больше. Потому что о наличии более продвинутых граничные условия, этот подход не будет доработан. Периодическое граничное условие, при непосредственном применении приводит к основным артефактам. Потому что бесконечное повторение моделирования ячейки -  бесконечное число дислокаций, даже если только
одна дислокация включена в моделировании ячейки. Что еще хуже, нулевое смещение – соответствующие вектору Бюргерса - результирует, когда одна петля вокруг границы моделирования ячейки, содержащей одну
дислокацию. Изменения были внесены для включения диполей в ячейке моделирования и организации моделирования изображений ячейки согласно соответствующего порядка, так что взаимодействие моделируется дислокациями с их образами - введено периодическое граничное условие - легко вычитается. Однако, это не легко следует, когда конфигурации сложных дислокаций участвуют. Условие гибких границ вероятно на сегодняшний день наиболее строгий подход. В 1970-х годов, гибкие границы двумерны (Woo & Puls 1976   1976 Sinclair 1971, Hoagland et al. 1976), что позволяет моделирование одной прямой дислокации. Периодические граничные условия применяются вдоль линии дислокации. Перпендикулярно дислокации, моделирования ячейки состоит из трех регионов.
Сокровенная область является атомистической, в которой атомы следуют ньютоновской динамике. Рядом с ним находится гибкая область (или функции Грина области), в котором силы каждого атома вычисляются и используются для создания смещений всех атомов в ячейке моделирования. Так как периодическое граничное условие приложено вдоль линии дислокации, силовая линия рассчитывается в гибком регионе и используется для генерации смещений. Внешний регион содержит атомы, которые служат фоном для силы расчетов в гибком регионе. Облицовка волны возобновления интереса для динамики дислокаций, гибкое граничное условие распространяется в трех измерениях, и называется метод функций Грина (Raо и др.. 1998). Гибкие или Грина функции граничное условие имеет четкие преимущества в предоставлении для полного расслабления одного или нескольких дислокаций в моделировании клетки, не  страдающие от артефактов изображения дислокаций.  Однако, функция расчета Грина занимает много времени и тем самым ее применение ограничено.  Недавно, таблицы и интерполяции схема (Golubov, Liu, Huang & Woo 2001) была разработана, повышения вычислительной эффективности по на два порядка величины для поддержания точности линейной упругости. С этим улучшением,
14
методом функций Грина хорошо работает для статического моделирования дислокаций. Однако, все три граничных условия обсужденные выше  страдают от большого недостатка - они не применимы к моделированию динамики.  Во время моделирования динамики - например, во время движения дислокаций, волны может образоваться. Когда волны ударяют границы моделирования ячейки, они отражаются, что приводит к возможным помехам или даже к резонансу в моделировании ячейки. Ориентировочные подходы (Ohsawa & Kuramoto 1999, Cai, de Koning М., Bulatov & Yip 2000, Wei Huang 2001) были предложены на влажные волны на границе, но удовлетворительное решение до сих пор не доступно.
Так как моделирование ячейки мало в молекулярной динамике моделирования, температуры и напряжения управления требуют специальных процедур как хорошие. На основании расширения Лагранжа, Паринелло-Рахмана метод (Паринелло и Рахман 1981) обеспечивает схему для изменения формы / размера моделирования ячейки в ответ на предписанные условия стресса. Использование Ланжевена сил добавляет / вычитает тепло, Роза-  Гувер метод обеспечивает механизм контроля температуры моделирования ячейки. Читатели предупреждены о возможных артефактах в связи с использованием этих двух алгоритмов, в результате больших флуктуаций в форме/ размере ячейки и сильных случайных сил.
3,2 Межатомные потенциалы.
Строгое граничное условие и надежный контроль температуры и напряжения позволяют моделировать дефект динамики / механики, в правильном представлении окружающей среды. Но эти две ничего не скажут о том, как моделировать взаимодействие атомов друг с другом. Последний аспект, межатомный потенциал, является наиболее важным для получения физически значимых результатов моделирования,  и требует внимания в этом подразделе. В общем, есть компромисс между надежностью и вычислительной эффективности. Для высокой вычислительной эффективности, парные потенциалы, такие, как потенциал Леннарда-Джонса
(Lennard-Jones 1924) и потенциал Морзе (Morse 1924) используются. В связи с ростом спроса точности и доступных вычислительных мощностей, многих тел потенциал в виде метода вложенного атома (EAM) был предложен (Daw & Baskes 1985). В той же категории являются эффективными модель среднего размера (Norskov & Lang 1980) и клея модель (Ercolessi, Tosatti & Parinello 1986). Угловой зависимости  потенциалы, которые также многих тел, включают известные Стиллинджер-Уэббер (Stillingerр & Weber 1985) и Терсоффа (Tersoff  1986), или полуторный порядка (bonder order) (Pettifor 1989) потенциалы. Еще один шаг вперед, есть потенциалы полученные из квантовой механики, такие как обобщенные псевдопотенциалы (Мoriarty 1988 , Мoriarty 1994), различные жесткие обязательные потенциалы (Finnis & Sinclair 1984), и метод инверсии (Chang Chen 1990, Zhang, Се, Ge & Chen 1997). В общем, межатомные потенциалы эмпирические или полуэмпирические и тем самым имеют свободные параметры. Простые потенциалов, как потенциал Леннарда-Джонса, имеют очень мало параметров. Они могут быть легко установлены на совершенного кристалла свойствах, и явления в результате атомистического моделирования можно легко проанализировать в связи с простой формой потенциалов. С другой стороны, эти потенциалы страдают от не-передаваемости.  Так как эти потенциалы установлены на только нескольких свойствах совершенного кристалла, их применимости в изучении дефектов по умолчанию сомнительна. Более сложные потенциалы, как EAM - частично силы согласования подход (Ercolessi & Adams 1994), используют нескольких или многих свойств дефекта, чтобы определить EAM функции, либо в аналитической или табличной форме. Свойства материалов, либо совершенного кристалла, либо дефекта структур, - из  ab initio расчетов и из надежных экспериментов. Стоит отметить, эти межатомные потенциалы применяются для конкретных классов материалов. Строго говоря парные потенциалы должны быть применимы к редким газам. Однако, приложения к простой плотноупакованным металлическим системам могут также обеспечить качественное руководство. В последнем случае, материалы систем называются
15
Леннард-Джонса системы. Типа EAM потенциалы оказалась хорошим выбором для простых металлов. Приложения к металлам, как алюминий, медь, серебро и железо (за исключением его магнитные свойства) были очень успешными. Радиальной формы функции EAM выгодны в расчетах, но и делает невозможным модель ковалентной системы, в которой угловая зависимость доминирует. При изучении кремния, алмаза углерода и других ковалентных систем, угловой зависимости, частично Стиллинджера -Уэббера (Stillinger & Weber 1985), Терсоффа (Тersoff 1986), и связи порядка потенциалы (Pettifor 1989) являются одними из хороших кандидатов. В расширения / модификации из EAM также предложено включить угловую зависимость (Huang, Ghoniem, Вонг и Baskes 1995), в целях моделирования ковалентных систем. Подход является всеобъемлющим, но большое число подгоночных параметров могут  ограничить его широкое применение.  С захватывающей дух скоростью продвижения компьютерной техники, сильной связи и приближенный квантовой механики
подход может иметь более широкое применение. Оно может быть в недалеком будущем, когда Кар-Паринелло (Car & Parinello 1985) квантовой молекулярной динамики может быть осуществлена для больших твердых тел
систем.
3,3 Применения атомистической механики.
В терминах атомистического моделирования материалов механики, мы ограничимся обсуждением поведения точечных дефектов, дислокаций, свободных поверхностей и границ зёрен в соответствии с внутренними и / или внешними напряжениями/деформациями. Это невозможно охватить все интересные результаты, в связи с огромной информацией доступной
в литературе. Вместо этого, мы возьмем несколько примеров, чтобы обсудить моделирования механики. Мы начнем с простейших дефектов, точечных дефектов, что сказывается на материалах механики. В состоянии стресса, нормальный процесс диффузии возмущен. В частности, диффузия становится анизотропной, или более того бесстрессовая (stress-free) диффузия уже анизотропна. Напряжение применяется для системы твёрдого тела через деформацию, которая является производной от той же атомной системы в соответствии с алгоритмом Паринелло-Рахмана
(Parinello & Rahman 1981). Диффузионный процесс точечного дефекта исследуется сочетанием молекулярной статики и молекулярной динамики. Определение точечного дефекта, например интерстициального, осуществляется путем сопоставления всех атомов в идеальной решетке; расположение интерстициального является двукратно занятый узел решетки. Диффузия малых кластеров дефектов, скажем, от излучения
повреждения, также сильно зависит от напряжения. Переходом на следующий уровень геометрии осложнений, мы обсудим дислокации. Моделирования могут быть классифицированы в статике и динамике. В статике моделирований в первую очередь касается окончательной структуры ядра одного или нескольких дислокаций. Открытие третьего порядка симметрии винтовой дислокации в металлах БЦК является прекрасным примером дислокации статики (Rao & Woodward 2001, Xu & Моriarty 1996 , Wang, Strachan, Cagin & Goddard  2001). Сопровождающие динамику дислокаций на линейном упругом уровне, взаимодействия из кинк-кинк (Bulatov, Yip& Аrgon 1995), дислокация- дислокации (Xu & Моriarty 1998 , Zhou, Preston, Lomdahl & Beazley 1998, Rodney & Phillips 1999 , Rodney & Martin 2000), дисокация-точка- дефекта (Justo, de Koning М., Cai & Bulatov 2001), и дислокаций границ зерен (Оrtiz & Philips 1999) были исследованы без большой заботы об аспекте динамики. В нескольких динамическое моделированиях, акцент был сделан на высокой скорости дислокаций. Поколение трансзвуковых дислокаций рождением была продемонстрирована Гамбш и Гао (Gao &Gumbsch 1999), и перекрестные звуковые барьеры (поперечные и продольные) была продемонстрирована в исследовании дислокации замедление вниз и ускорение (Shi, Huang & Woo 2002); ускорение от нуля скорости была также реализована позже (Li & Shi 2002). Наличие быстрых дислокаций в дальнейшем включает изучение дислокационного диполя стабильности на атомном уровне (Wang, Woo & Huang 2001), чтобы служить прямым подтверждением анализов упругости
16
 (Huang, Ghoniem, de la Rubia TD, Rhee, Zbib & Hert 1999). В тот же период времени, динамическое поведение дислокаций, таких как эмиссия от наконечника трещины (crack tip) (Bulatov, Аbraham, Kubin , Devincre & Yip 1998), поколение сверхзвуковых дислокаций от деформации высокой скорости деформации, зарождение дислокаций от поверхности (Liu et al. .2002a, 2002b), и зарождение дислокаций в нанокриссталле ((Van Swygenhoven, Caro & Farkas 2001, Cleri, Wolf, Yip & Phillpot 1997),  также были проведены. Однако, узкого места проблема все еще остается. Границы атомистического моделирования в действительности не являются динамичными, в том смысле, что упругие волн на границе будут испытывать резкое изменение (отражение или дифракция). Распространение волны и соответствующие перетаскивания или интерференция у дислокаций были в центре внимания нескольких последних исследований (?,?). Попытки было сделаны, чтобы заглушить эту резкое изменение (Ohsawa & Kuramoto 1999, Cai et al. 2000, Wang,  Woo & Huang 2001), но удовлетворительное решение еще впереди. Определена дислокация в простой конфигурации в лоб. Можно полагаться одного чертежа схемы Бюргерса, или использовать незарегистрированную (disregistry) функцию или атомный уровень стресса / энергии (Chang, Cai, Bulatov & Yip 2001, Hamilton, Stumpf, Bromann, Giovanni, Kern & Brune 1999, Hamilton  1997). При сложной дислокации конфигурации участвуют, несколько методов возможно придется применять вместе для определения дислокации однозначно. Наконец, мы обсудим роль границ зерен в материалах механики. Для макроскопической механики, Холла-Петча влияние силы хорошо известно. В этой связи, границы зерен служат барьерами движения дислокаций. Используя их многомасштабный подход, Филлипс и др. (Оrtis & Phillips 1999) изучили прохождение дислокации через границы зерна. В то же время границы зерен мигрируют под напряжением, как правило в результате упругой анизотропии. Зерна эволюции в свою очередь влияют на распределение размеров зерен и текстуры, и таким образом на напряженное состояние. Тонкими ломтиками поликристаллических нанозерен, Вольф и сообщество (Schonfelder, Wolf, Phillpot & Furtkamp 1997, Schonfelder et al.. 1997) исследовали миграции границы зерна, его коэффициенты и механизмы. Наши последние исследования поликристаллических тонких пленок, имеющих явные свободные поверхности, показывают, что упругая анизотропия изменяется от объема на тонких пленках среды. Это будет оказывать воздействие на материалы механики, непосредственно через зерна структур, так и косвенно через зарождения дислокаций и распространения. В этом разделе атомистической механики, мы бегло охватывам три направления: метод молекулярной динамики, межатомных потенциалов, и молекулярной динамики симуляции. Перед закрытием раздела, мы рассмотрим, какого рода информация может быть передана на крупномасштабных экспериментах. Опять же, мы рассматриваем три типа дефектов- точечные дефекты, дислокации, и интерфейс. Дефекта энергетика и анизотропия диффузии будет вкладом в уравнения скорости, описывающих процессы ползучести. Энергетика дислокации, такая как энергия формирования кинк- пары (kink-pair)  и прочность дислокации соединения, - ввод в моделирование динамики дислокаций на уровне упругости. Что еще более важно, атомистическое моделирование может идентифицировать неизвестные механизмы для включения в крупномасштабных моделированиях (Динамики дислокаций или континуума подход) (Bulatov et al. 1998). Зарождения дислокаций и механизмы их распространения на интерфейсах (границах зёрен) имеют решающее значение для развития крупномасштабных моделей (динамики дислокаций для поликристаллов или континуума подход).
4 Мезомеханика и роль дефектов
Исследование механического поведения материалов на масштабах длины, которые слишком велики для прямого атомистического моделирования, и которые слишком малы для обеспечения надлежащего усреднения и применимости континуума теории представляет особые трудности. Два успешных подхода были выдвинуты  моделировать механического поведение в этом мезомасштабе длины. Первый подход, известный
17
как динамика дислокаций (DD), первоначально был мотивирован необходимостью понять происхождение гетерогенной пластичности и образование структур. Ранней вариант этого подхода (сотовых автоматов) была впервые разработан (Lepinoux & Kubin 1987), и что последовало предложение ДД (Ghoniem & Amodeo 1988a, Ghoniem & Amodeo 1988b, Amodeo и Ghoniem 1990a, Amodeo & Ghoniem 1990b). В этих ранних усилиях ансамбли дислокации были смоделированы как бесконечно долгие и
прямые в изотропной неограниченной упругой среде. Этот метод был дополнен рядом исследователей (Guluoglu, Srolovitz, Lesar & Lomdahl 1989 , Lubarda & Needleman 1993 года, Barts & Carlsson 1995, Barts & Carlsson n.d., Wang & Lesar 1995), с приложениями, демонстрирующими упрощенные особенности деформации микроструктуры.
Развитие 3-D динамика решетки дислокации ряда исследователей привело к большей уверенности в способности моделирования ДД для имитации более сложной деформации микроструктур (Kubin, Canova, Condat, Devincre, Pontikis & Brechet 1992, Kubin & Canova 1992, Kubin 1993, DeVincre & Condat 1992, DeVincre, Pontikis, Brechet,  Canova, Condat & Kubin 1992 , Devincre &  Kubin 1994 , Canova, Brechet & Kubin 1992 , Canova , Brechet, Kubin , DeVincre, Pontikis & Condat 2000). Более последние достижения способствовали быстрому развитию 3D-DD (Herth, Rhee & Zbib 1996 , Zbib, Rhee & Zbib 1998,  Rhee, Zbib, Herth, Huang & de la Rubia 1998, Schwarz & Теrsoff n.d., Schwarz 1997 , Schwarz & LeGoues 1997,  Ghoniem & Sun 1999 , Ghoniem 1999 года, Ghoniem, Tong & Sun 2000 года, Ghoniem, Huang & Wang n.d.).
Второй подход к механической модели в мезомасштабных был основан на статистической механики методах (Walgraef & Aifantis 1985, Н;nnеr, Bay & Zaiser 1998 года, Zaiser, Avlonitis & Aifantis 1998 , El-АZab 2000, Gregor & Kratochvil 1990 , Kratochvil, J. & Saxlova 1992, Saxlova , Kratochvil & Zatloukal 1997, Thomson, Levin, Shim & Savage 2002). В этих развитиях, эволюционные уравнения для статистических средних (и, возможно, для высших моментов) должны быть решены для полного описания проблемы деформации. Главной задачей в этой связи является то что, в отличие от ситуации встречающейся в развитии кинетической теории газов, топологии взаимодействующих дислокаций  с системой должны быть включены (El-Аzаb 2000). В дальнейшем мы сделаем обзор основных теоретических и вычислительных достижений в мезомеханике.
4,1 Эшелби- Крёнера механики дефектов.
Пока мы имели дело с моделированием атомистических степеней свободы, где различные уровни приближения были введены, чтобы дать последовательные, но строгие решения уравнений движения. Хотя МД симуляции могут иметь дело от миллионов до миллиардов атомов, в зависимости от сложности межатомного потенциала, получение надежных результатов для гораздо больших объемов материала, ограничено в основном скоростью вычислений и хранения информации и обработки соображений. Как ни странно, механическое поведение материалов, как известно, зависит от топологических дефектов, в диапазоне размером от атомных размеров (например, вакансий и междоузлий), до крупных дефектов в виде линий (Например, дислокации), и поверхностные дефекты (например, пустоты, пузыри, трещины). Механика проблемы может быть значительно упрощена, если все атомные степеней свободы были ограничены адиабатически (по аналогии  подхода Борна-Оппенгеймера), и только те, которые связаны с дефектами сохраняются. Это подход динамики дефектов был пионером Эшелби (?) и Крёнером (?) в середине шестидесятых годов. Большие успехи были достигнуты в области дефектной механики с тех пор, с более быстрыми темпами ускорения в течение последних двух десятилетий, благодаря множеству вычислительных достижений. Мы сделаем обзор здесь некоторых из наиболее популярных методов вычислительной мезомеханики, которые были разработаны в основном в течение последних двух десятилетий. К ним относятся: Монте-Карло (MC), дискретная
18
динамика дислокаций (DD), и (SM) методы статистической механики.
4,2 Кинетический Монте-Карло – КМК
Монте-Карло (МК) техника статистического метода решения детерминированной или вероятностной проблемы, отбором проб от случайного распределения использования понятий теории вероятностей. Простой метод генерации случайных чисел в соответствии с заданным распределением функции - инверсии метод. При таком подходе, если функция распределения нормирована, получив плотность вероятности функции (PDF), р (х), можно определить вероятность того, что случайная величина Х меньше произвольных х, интегрируя PDF от минимального значения x. Интеграл (PDF) является называется кумулятивная функция распределения (CDF), С (х). Когда CDF приравнивается к равномерно распределенным случайным числам ;, С (х) = ;, полученный раствор для X дает желаемое распределение функции. Если PDF, р (х), не может быть легко инвертирована аналитически, выборка может быть выполнена  отказом (rejection) техники фон Неймана. Другой способ достижения того же результата известен как значение выборки, и представляет собой сочетание двух предыдущих методов. Здесь, мы заменим исходную функцию распределения р (х), примерной формой, , для которой инверсии метод может быть применен.  Тогда мы получим пробные значения для x с техникой инверсии следующие р (х). Наконец, мы принимаем пробные значения с вероятностью пропорциональной весу w, учитывая Через . Отказ техники было показано - частный случай значения выборки, где р (х) является постоянным (James & Cohen 1980).
Когда конфигурационное пространство является дискретным, и все ставки, по которым они происходят могут быть определены, можно выбрать и выполнить одно изменение в системе из списка всех возможных изменений в каждом шаг МК. Это главная идея кинетического Монте-Карло (КМК) метода (Doran (1970), Beeler (1982), Heinisch (1995)). Основным преимуществом такого подхода является то, что он может принять во внимание одновременно различные микроскопические механизмы, и может охватывать очень разных временных масштабов.
Во-первых, мы табулировать ставки, по которым каждое событие будет происходить в любом месте системы, ri. Вероятность наступления события определяется как скорость, с которой событие имеет место по отношению к сумме всех возможных ставок события. Однажды событие выбрано, система изменена, и список событий, которые могут возникнуть на следующем шаге обновляется. Таким образом, одно событие обозначается m случайно выбрали из всех событий M, которые возможно могут произойти, а именно:
 (14)
где ri является скорость, с которой происходит событие i (r0=0) и ; является случайное число равномерно распределенных в диапазоне [ (0, 1)].
После определенного события выбраного, таблица всех возможных событий обновляется Батай ( Battaile) и Шроловиц (Srolovitz 1997). В схеме Метрополиса, фиксированные приращения времени выбраны так, что не более одного события происходит во время шага (Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Теllеr & Теllеr (1953)). Тем не менее, этот подход является неэффективным, поскольку во многих шагах по времени, никаких событий не произойдет. Альтернативный метод, введено Борц, Калос и Лебовица ( Bortz, Kalos& Lebowitz 1975) гарантирует, что одно событие происходит где-то в системе. Таким образом, приращение времени себе, dt, соответствующие с каждым шагом является переменной величиной, так как
19
это зависит от соответствующей вероятности события, как:
 (15)
Этот метод особенно полезен в тех случаях, когда события происходят на очень разных временных масштабах, и быстрые события возможны только в некоторых редких случаях. Например, при условии частицы облучения,  самоинтерстиционального атома (SIA) кластеры производят атомные столкновения в кристалла. Они могут быть представлены как жесткие, маленькие призматических дислокационные петли, которые могут мигрировать случайно и в поле сноса дислокаций (Osetsky, Bacon, Serra, Singh & Golubov (2000)). Результаты моделирования КМК показано на рис. (1) (Ghoniem, Тоng, Huang, Singh & Wen (2002)),
иллюстрируют этапы (SIA) движения и кластеризации в поле напряжений дислокации.

Рисунок 1: Результаты моделирования КМК для SIA агломерации кластера и взаимодействия вблизи дислокации сегментов
4,3 Динамика дислокаций – DD
Так как он впервые был введен в середине восьмидесятых (Lepinoux и Kubin 1987, Ghoniem & Amodeo 1988a), динамика дислокаций (DD) теперь важный инструмент компьютерного моделирования для описания пластической деформации при микро-и мезомасштабах (т.е. размер спектр доля микрона до десятков микрон). Метод основан на иерархии аппроксимаций, которые позволяют решения соответствующих проблем с сегодняшними вычислительными ресурсами.
В своих ранних версиях, коллективное поведение ансамблей определяется прямыми численными моделированиями взаимодействия между бесконечно длинными, прямыми дислокациями (Guluoglu et al. 1989,?)). В последнее время несколько исследовательских групп расширяют методологии ДД для больше физических, но значительно более сложных 3-D моделирований. Метод может следовать обратно к понятиям поля внутренних напряжений и конфигурационных сил. Когда функции Грина известны,
20
упругое поле дислокации петли могут быть построено поверхностью интеграции. Перемещения поля в кристалл, содержащий петли может быть выражена как (Volterra 1907, Мura n.d.)
 (16)
где Cjlmn является тензором констант упругости, Gij (x, x/) являются функциями Грина в точке х в связи с точечной силой, действующей на x/, S является поверхностью укупорки петли, nn является единичная нормаль к S и bn вектора Бюргерса. Тензор упругих искажений, щ, / может быть получен из уравнения 16  дифференциацией. Симметричная часть пользовательского интерфейса, J (тензор упругих деформаций) затем используется в отношениях напряжений/деформаций, чтобы найти тензор напряжений на поле точки х, вызванных петли дислокацией.
Рассмотрим виртуальное движение петли. Механической энергии во время виртуального движения состоит из двух частей: (1) изменения в упругой энергии, запасенной в среде на петли движение под действием собственного стресса (т.е. изменения в петле собственной энергии), (2) работа сделанная на движущейся петле в результате действия внешних и внутренних напряжений, за исключением вклада напряжения петли самой. Эти два компонента составляют Пич-Келера работу (Персик и Келер 1950). Основная идея DD является вывод приближенных уравнений движения из принципа виртуальных потерь мощности второго закона термодинамики Гонием и др (Ghoniem и др.)., путем нахождения виртуальных сил Пича-Колера, что приведет к одновременному перемещению всех петель в кристалле. Сильное упрощение, что  проблема многих тел сводится к одной проблеме цикла. В этом упрощении, вместо движения всех петель одновременно, они вносятся последовательно, с движением каждого  против коллективного поля всех других циклов. Подход напоминает упрощения одного электрона задачи многих электронов в квантовой механике.
В конечной системе, распад упругого поля не достаточно быстрый, чтобы позволить сокращение поверхностного интеграла уравнения? к более простому линейному интегралу с применением теоремы Стокса. Кроме того, замкнутая форма решения для тензора упругих функции Грина и ее производные пространственные доступны только для упруго-изотропных материалов. Таким образом, строгий 3-D DD в конечной анизотропной системе (например, тонких пленок, квантовых точек и т.д.) очень требователен, и не был реализован в до сих пор. Если объем материала предполагается упругоизотропной и бесконечной, большое сокращение уровня необходимых вычислений следует. Во-первых, поверхностные интегралы можно заменить на линии интегралов вдоль дислокации. Во-вторых, функции Грина и их производные имеют аналитические решения. Таким образом, отправной точкой во всех моделированиях DD до сих пор является описание упругого поля дислокации петель произвольной формы  криволинейными интегралами формы, предложенной Девитом (1960) как?:
 (17)
Где ; и ; являются модулем сдвига и коэффициентом Пуассона, соответственно, b вектора Бюргерса декартовы компоненты bi. Радиус-вектор R соединяет точечный источник на петле в поле точки, с декартовыми компонентами Ri, последовательных частных производных R,ijk ...., и величины R. Криволинейные интегралы берутся по замкнутому контуру С определенному дислокацией петли, дифференциальной дуги dl длины dlk компонентов. Линейный интеграл дискретизации, и поля напряжений дислокации ансамблей получаются суммированием процесса над отрезками. В последнее время (Ghoniem & Sun 1999) - (Ghoniem et al n.d.) показали, что если дислокации петель дискретизованы в кривые параметрических сегментов, можно получить поля численным интегрированием по скалярным параметрам, который представляет
21
сегмент. Если один из этих сегментов описывается параметром ;, который изменяется, например, из 0 до 1 в конце узлов сегмента. Сегмент полностью определяется как аффинное отображение на скалярном интервале  [0, 1], если мы введем касательный вектор T, единичный касательный вектор t, единичный радиуса вектора е, следующим образом: ,  , . Пусть декартов ортонормированный базис обозначим через 1 ; {1x, 1y, 1z}, I = 1  1, как тензор второго порядка единицы, и  обозначает тензорный продукт. Теперь определим три вектора (g1 = e, g2 = t, g3 =b / | b|) как ковариантный базис для криволинейного сегмента, и им обратные контравариантные как: gi gj =;ij, где ;ij  является смешанным Кронекера и V = (g1 ; g2) g3 объем натянутый на вектор основу, как это показано на рис. (2). Дифференциальное поле напряжений определяется по формуле:

Рисунок 2: Параметрическое представление дислокационных сегментов
(18)
Однажды параметрическая кривая для дислокационного сегмента отображается на скалярные интервале {;  [0, 1]}, поле напряжений везде получается как быстро численная сумма квадратур ?. Пич-Колер сила затем полученная на любой другой точке сегмента  как Гонием и др.( Ghoniem et al. 2000):
FPK = ; · b ; T (19)
Самостоятельная сила (self-force) получается из знания местной кривизны в точке интереса. Вариационная форма правления уравнения движения одной дислокационной петли задается Ghoniem и др.. (2000):
 (20)
Здесь, Ftl компоненты результирующей силы, состоящие из Пич-Келер силы (Peach & Koeler 1950) FPK (порожденных суммы внешних и внутренних напряжений), собственной силы Fs, и осмотической силы (в случае восхождения также рассмотрен Ghoniem et al. (2000)). Сопротивление матрицы (обратная мобильность) является B;k, V; являются компонентами вектора скорости, и линия
22
интеграла осуществляется по длине дуги дислокации ds.Для упрощения задачи, давайте определим следующие безразмерные параметры:
, ,
Здесь, a является постоянная решетки, ; модуль сдвига, T время. Поэтому EQN. 20 может быть переписано в безразмерном матричном виде:
  (21)
Здесь, f * = [f* 1, f* 2, f* 3], и r* = [r*1, r* 2, r* 3], которые все зависят от безразмерного времени t*. После ссылки?, замкнутый контур дислокации могут быть разделены на сегменты Ns. В каждом сегменте j, мы можем выбрать набор обобщенных координат qm на двух концах, что позволяет параметризации в следующей форме:
r* = CQ (22)
Здесь С = [C1 (;), С2 (;), ..., Cm (;)], Ci (;), (i = 1, 2, ... m) формы функции в зависимости от параметр (0 ; ; ; 1), и Q = [q1, q2, ..., qm], qi представляют собой набор обобщенных координат. Теперь заменить EQN.22 в EQN.21, получим:
 (23)
Пусть,
,
После аналогичной процедуры для МКЭ, мы собираем EOM для всех смежных сегментов в глобальной матрицы и векторы, как:
 
Затем, из уравнения 23 получаем,
 (24)
EQN. 24 представляет собой набор обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение ансамбля петель, как эволюционную динамическую систему.  Как правило, два численных время интеграции методов для решения этой системы уравнений: скрытые и явные классы процедур. Позже мы будем обсуждать точность и стабильность вопросы, связанные с каждым схемы.
В настоящее время признано, что многие фундаментальные исследования пластичности требует уровней временного и пространственного разрешения с сопутствующим вопросом на руку. Например, атомное пространственное разрешение и пикосекунд временное разрешение оба необходимы для исследования внутренних свойств одиночных дислокаций, или для одного взаимодействия дислокации с атомных размеров дефектами. Однако, развитие материальных уравнений поликристаллических материалов не обязательно требует таких высоких
23
уровней разрешения, в основном потому что статистическое усреднение берет осторожно мельчайшие детали. Существует огромный спектр проблем в- между, охватывающий деформационное поведения нано-, микро- и простых кристаллических материалов, вплоть до деформации поликристаллического материала. Ряд подходов численного моделирования разрабатываются в последние годы, с акцентом на решение
конкретных механизмов взаимодействия дислокации, или на коллективное поведение ансамблей. Эти подходы различаются в основном в представлении геометрии дислокации петли, способом, с помощью
которого упругого поля и собственная энергия рассчитываются, и некоторые дополнительные детали, связанные с тем, как границы и интерфейс условиях обрабатываются.
В методе решетки ( Kubin et al. 1992, Мoulin, Condat & Kubin 1997), прямой дислокации сегментов (в чистом виде винта или края в ранних версиях, или смешанный характер в более последние версии,) разрешается переключаться (jump) на конкретных узлах решетки и ориентациях. Прямой дислокации сегменты смешанного характера в методе сил ( Herth et al. 1996, Zbib et al. 1998) двигают в жесткой моде тела по нормали к их средней точке. Нет информации упругого поля необходимой, так как явные уравнения сил взаимодействия, разработанные Иоффе (Yoffe 1960) непосредственно используются. Метод дифференциальных напряжений: (Schwarz & Теrsoff n.d., Schwarz 1997, Schwarz & LeGoues 1997) основан на расчетах поля напряжений дифференциальной прямой линии элемента на дислокации. Используя численное интегрирование, Пича-Келера силы на все остальные сегменты определяются. Процедура Брауна (Brown 1967) затем используется для удаления особенности связанной с расчетом собственных сил. В параметрическом методе (Ghoniem & Sun 1999, Ghoniem et al. n.d.,?), дислокационные петли делятся на смежные сегменты представленные параметрическими кривыми пространства. Уравнения движения для узловых атрибутов (например, положение, касательные и нормальные вектора) выводятся из вариационного принципа энергии, и однажды определенные, петли  дислокации всего можно геометрически представить в виде непрерывной (по второй производной) композитной пространственной кривой. Метод фазового поля микроэластичности (Хачатурян 2000 года, Ван Цзинь, Cuitino и Хачатуряна 2000 года, Ван Цзинь, Cuitino и Хачатуряна 2001)  различного характера. Он основан на Хачатуряна-Шаталова (KS) взаимной теории пространства деформации в произвольно упруго однородной системе неустановленного (misfitting) когерентного включения встроенного в родительскую фазу. Таким образом, рассмотрение отдельных сегментов всех линий дислокаций не требуется. Вместо этого, временная и пространственная эволюция нескольких функций плотности профилей (полей) получена в результате решения континуальных уравнений в пространстве Фурье.
 Вектор формы в уравнении. 18  могут быть интегрированы для петли сложной формы ансамблей, применением в быстрый метод суммы?. В типичных компьютерного моделирования DD, форма петли ансамблей развивалась с помощью уравнений движения для обобщенных координат представляющих позицию, касательные, и нормальные векторы узлов на каждой петле. Рис. (3) показывает результаты таких расчетов для моделирования пластической деформации в одном кристалле меди под действием медленной рампы стресса. Начальная плотность дислокаций ; = 2 ; 1013 м-2 была разделена на 68 полных циклов. Каждый цикл содержит случайное число прямых скольжения и  сегментов суперповорота (superjog). Когда порожденная или расширения петля пересекает моделирование объемом  длины стороны 3 мкм, сегменты, которые лежат за пределами границами моделирования, периодически отображается внутри моделирования объема, сохраняя трансляционной инвариантности деформации, без потери линии дислокации. Первоначально прямая отрезанная дислокация микроструктуры развивается под приложенным напряжением ;xx = 120 МПа на рис. 1-а, и 165 МПа
на рис. 1-B (Ghoniem et al. n.d.).
24

Рисунок 3: Результаты компьютерного моделирования для дислокации деформации микроструктуры при одноосном приложенном напряжении
4,4 Статистическая механика – SM
Ряд подходов для физического описания неоднородной пластической деформации и следующие понятия статистической механики, возникли в течение последних двух десятилетий. Фундаментальная трудность здесь в том, что дислокации, в отличие от частиц, линейных объектов значительной топологической сложности. Теперь, когда понятия статистической механики и теории ставок процессов используются, некоторые уровни феноменологического описания неизбежны. Мы представляем здесь, как  один пример, реакции-транспорта подход к стойким полосам скольжения (СПС) образованию. При таком подходе, система должна состоять из почти неподвижных дислокаций леса, и подвижные дислокации, движущиеся по их плоскостям скольжения. Связанных кинетических уравнений для соответствующих дислокации плотности, полученные в духе дислокации динамических моделей, произведенные, например по Гониему и др.. (Amodeo и Ghoniem 1990a) для ползучести, или Walgraef и Aifantis (Walgraef & Aifantis 1985) и (?, Saxlo `В.А. и др.. 1997) для дислокации формирования микроструктуры в усталости. Статическая плотность дислокаций, образованная иммобилизованными дислокациями леса, подзерна стен или границ, определяется как ;s и мобильных плотность дислокации для дислокаций скольжения между препятствиями определяется как рт. Для простоты мы будем рассматривать первые системы ориентированные для простого скольжения. Таким образом, мобильные плотность дислокаций, рт разделена на две под-семьи плотности представляющих дислокации, скользящих в направлении вектора Бюргерса (; + m) или в обратном направлении (;-m) (c  ; m = ; + m + ;-m). Эти дислокации плотности связаны со скоростью деформации через Орована соотношение:
; (25)
где b длина вектора Бюргерса, ;m общая мобильная плотность дислокаций и vg скорость скольжения (glide) в первичной плоскости скольжения (slip). Кроме того, дислокации плотности связаны с внутренним
25
напряжением  соотношением:
 (26)
с ;-модуль сдвига и ; является постоянной. В последнее уравнение первого взноса идет от препятствий, таких как осадки или уже существующие стены, разделенные эффективным ; расстоянием  и, вторая часть представляет собой вклад от статического населения дислокации, которая также выступают против дислокации движения. Внутреннее напряжение, ;i, уменьшает эффективное напряжение, ;e, действующее на дислокации и где последнее определяется следующим образом:
;e = ;a - ;i (27)
с ;a представляющих приложенного напряжения. Наконец, скорость скольжения связана с эффективным стресс через соответствующие феноменологические соотношения выражения факта, что отдельные движения дислокации начинаются, когда эффективные напряжения действующие на дислокацию превышают предел текучести. Это, например, можно записать в виде:
 (28)
или
 (29)
где ;0 является пределом текучести и m> 1.  Существенные признаки дислокации динамики, с одной стороны, их подвижность, доминируют пластическим течением, но которые также включают термодиффузии и подъёмы, и, с другой стороны, взаимное процессов взаимодействия.
Существенные признаки дислокации динамики; их мобильность, доминирущая пластическим течением которая включает термодиффузии и подъемы, и взаимные процессы взаимодействия. Взяв во внимание эти механизмы, в результате динамической системы можно записать в виде (Walgraef & Aifantis 1985):

 (30)

где ; является характеристической длиной разделения между дислокациями для спонтанной аннигиляции (?) d является характерной длиной спонтанного дипольного распада, ; является частота дислокации освобождая из леса и пропорционально , где  является характерная дипольная длина де-стабилизации, которая обратно пропорциональна эффективному напряжению, и ; = ;0vg;e.  Различные характеристические
26
длины введенные здесь, или по крайней мере их порядок, в принципе может быть оценена из микроскопического анализа (Неймана 1971 года?). Из-за общего взаимодействия, термической активации и подъема, подвижность дислокаций леса представлена диффузионным током , который представляет эффективную диффузию в лесу. Ток подвижных дислокаций берется как  и представляет поток вызванный скользящими дислокациями, в данном случае, это поток, причиненный их края компонентом. Стабильность и численный анализ предыдущего набора уравнений предоставили информацию об условиях для формирования СПС в усталости образцов. Показано, что СПС формирование срабатывает кластеризацией дислокаций или дислокационных диполей, которые стали наконец неподвижными и выстраиваются в регулярно пространственные стены высокой плотностью дислокаций (?).
Другое статистическое динамическое описание было предложено Краточвиль для первого этапа СПС становления. Она основана на эволюции дипольных петель, вызванного их взаимодействием с скользящими дислокациями (Kratochvil et al.. 1992, Saxlova et al.. 1997, Kubin & Kratochvil 2000). Предлагаемая статистическая модель - типа реакция-транспорта, и делает акцент на обратную связь между эволюцией скорости скольжения и дипольной плотностью. Результат - радикальные дипольные петли винтовыми дислокациями, который инициирует формирование дислокационных стенок. При таком подходе, диполь генерации и взаимодействия играют второстепенную роль, и вводятся в специальном и качественном способе.
5 Вычислительная механика сплошных сред.
8-9 страниц, 30-50 Список литературы
Этот раздел будет написан Эстебаном Бассо ( Esteban Busso). На нем будут рассмотрены основные методы механики сплошных сред используемые сегодня в исследовании деформации и разрушении материала на нано- и микромасштабах, они могут включать краткое обсуждение основных методов решения уравнений континуума.  Он также адресован состоянию искусства в кристалле теории пластичности, старин градиента пластичности и т.д. Приложения к задачам на нано или микромасштабах 9 проволоки кручение, изгиб, простой деформации кристалла и т.д.). Как переход к поликристаллической пластичности обрабатывается, и как успешные методы в прогнозировании экспериментальных данных. Что нужно сделать, чтобы улучшить подходы, и как она может быть связана с нижним масштабом длины.
6 Обсуждение нерешенных вопросов и выводы
2-4 страниц, 4-6 литературы
Этот раздел будет написан вчетвером обобщить попытки моста длины и времени масштабов, таких, как квази-континуума метод параметризации, огрубления, и т.д. Каковы проблемы и как их можно преодолеть.
27
Благодарности
Исследования при поддержке Министерства энергетики США, Управление по термоядерной энергии, через Грант
DE-FG03-00ER54594, и Национальный научный фонд (NSF) через грант DMR-0113555
с UCLA. Кроме того, при поддержке: ...........
Список литературы
References
Amodeo, R. & Ghoniem, N. M. (1988), Res Mech. 23, 137.
Amodeo, R. J. & Ghoniem, N. M. (1990a), Phys. Rev. 41, 6958.
Amodeo, R. J. & Ghoniem, N. M. (1990b), Phy. Rev. 41, 6968.
Anisimov, V. I., Zaanen, J. & Andersen, O. (1991), Phys. Rev. B 44, 943.
Ashcroft, N. W. & Mermin, N. D. (1976), Solid state physics, Holt Saunders, Philadelphia, p. 113.
Baker, S. (1993), Mater. res. soc. symp. proc., Vol. 308, Materials Research Society, Philadelphia, PA, p. 209.
Barts, D. B. & Carlsson, A. E. (1995), Phys. Rev. E 52 (3 pt. B), 3195.
Barts, D. B. & Carlsson, A. E. (n.d.), Phil. Mag. A .
Batirev, I. G., Alavi, A., Finnis, M. W. & Deutsch, T. (1999), Phys. Rev. Lett 82, 1510.
Battaile, C. C. & Srolovitz, D. J. (1997), J. App. Phy. 82, ( 12), 6293-6300.
Beeler, J. R. (1982), Radiation Effects Computer Experiments, Amsterdam, Netherlands: North-Holland.
Bortz, A. B., Kalos, M. H. & Lebowitz, J. L. (1975), J. Comp. Phys. 17, ( 1), 10-18.
Brown, L. M. (1967), Phil. Mag. A 15, 363.
Bulatov, V. V., Abraham, F. F., Kubin, L., Devincre, B. & Yip, S. (1998), Nature 391, 669.
Bulatov, V. V., Yip, S. & Argon, A. S. (1995), Philos. Mag. A 72, 453.
Cai, W., de Koning M., Bulatov, V. V. & Yip, S. (2000), Phys. Rev. Lett. 85, 3213.
Canova, G., Brechet, Y. & Kubin, L. P. (1992), in S. I. A. et al., ed., 'Modeling of Plastic Defor­mation and its Engineering Applications', RIS;National Laboratory, Roskilde, Denmark.
Canova, G., Brechet, Y., Kubin, L. P., DeVincre, B., Pontikis, V. & Condat, M. (2000), in J. Rabiet, ed., 'Microstructures and Physical Properties'.
Car, R. & Parrinello, M. (1985), Phys. Rev. Lett. 55, 2471.
Chan, S.-P., Chen, G., Gong, X. & Liu, Z. (2001), Phys. Rev. Lett. 87, 205502.
28
Chang Chen, N. X. (1990), Phys. Rev. Lett. 64, 3203.
Chang, J. P., Cai, W., Bulatov, V. V. & Yip, S. (2001), Mat. Sci. Eng. A-Struct. 309, 129.
Cleri, F., Wolf, D., Yip, S. & Phillpot, S. R. (1997), Acta Mater. 45, 4993.
Daw, M. & Baskes, M. (1983), Phys. Rev. Lett. 50, 1285.
Daw, M. & Baskes, M. (1984), Phys. Rev. B 29, 6443.
Daw, M. S. & Baskes, M. I. (1985), Phys. Rev. Lett. 50, 1285.
D;urr, M., Raschke, M. B., Pehlke, E. & H;ofer, U. (2001), Phys. Rev. Lett. 86, 123.
Denteneer, P. & van Haeringen, W. (1985), J. Phys. C18, 4127.
DeVincre, B. & Condat, M. (1992), Acta Met. Mater. 40, 2629.
Devincre, B. & Kubin, L. P. (1994), Mod. Sim. Mater. Sci. Eng. 2, (3A), 559.
DeVincre, B., Pontikis, V., Brechet, Y., Canova, G., Condat, M. & Kubin, L. P. (1992), in M. Mareschal & B. L. Lolian, eds, 'Microscopic Simulations of Complex Hydrodynamic Phe­nomena', Plenum Press, New York, p. 413.
Doran, D. G. (1970), Rad. Eff. 2, (4), 249-267.
Dreizler, R. & Gross, E. (1990), Density Functional Theory, Springer, Berlin.
Dykstra, C. E. (1988), Ab initio Calculation of the Structure and Properties of Molecules, Elsevier, Amsterdam.
El-Azab, A. (2000), Phys. Rev. B 61, 11956.
Erb, U., Palumbo, G., Zugic, R. & Aust, K. (1996), Structure-property relationships of nano-crystalline materials, in ‘Treatise on Materials Science and Engineering', The Minerals, Metals and Materials Research Society, Pittsburgh, PA., p. 93.
Ercolessi, F. & Adams, J. (1994), Euro. Phys. Lett. 26, 583.
Ercolessi, F., Tosatti, E. & Parrinello, M. (1986), Phys. Rev. Lett. 57, 719.
Eschrig, H. (1989), Optimized LCAO Method, Springer-Verlag, Berlin.
Finnis, M. & Sinclair, J. (1984), Phil. Mag. A 50, 45.
Fulde, P. (1993), Electron correlations in molecules and solids, Springer Verlag, Berlin.
G. H. Campbell, G., Foiles, S., Huang, H., Hughes, D., King, W., Lassila, D., Nikkel, D., Diaz de la Rubia, T., Shu, J. Y. & Smyshlyaev, V. P. (1998), Mat. Sci. Eng. A251, 1.
Georges, A., Kotliar, G., Krauth, W. & Rozenberg, M. (1996), Rev. Mod. Phys. 68, 13. Ghoniem, N. M. (1999), Transactions of ASME. J Eng Mat & Tech 121, (2), 136. Ghoniem, N. M. & Amodeo, R. J. (1988a), Solid State Phenomena 3 & 4, 377.
29

Ghoniem, N. M. & Amodeo, R. J. (1988b), Int J. Eng. Sci. 26, 653.
Ghoniem, N. M., Huang, J. & Wang, Z. (n.d.), Phil. Mag. Lett .
Ghoniem, N. M. & Sun, L. Z. (1999), Phy Rev B 60, ( 1), 128-140.
Ghoniem, N. M., Tong, S.-H. & Sun, L. Z. (2000), Phys. Rev. 61, (2), 913-927.
Ghoniem, N. M., Tong, S., Huang, J., Singh, B. & Wen, M. (2002), J. Nucl. Mater. In Press.
Gillan, M. J. (1989), J. Phys.: Condens. Matter 1, 689.
Golubov, S. I., Liu, X. L., Huang, H. C. & Woo, C. H. (2001), Com. Phys. Commun. 137, 312.
Gonis, A., Kioussis, N. & Ciftan, M., eds (1998), Electron Correlations and Materials Properties, Kluwer/Plenum, New York.
Gregor, V. & Kratochvil, J. (1990), Res Mech. 29(3), 197.
Gross, E., Kreibich, T., Lein, M. & Petersilka, M. (1998), Electron correlations and materials properties, Kluwer/Plenum, New York, p. 393.
Guluoglu, A. N., Srolovitz, D. J., LeSar, R. & Lomdahl, R. S. (1989), Scripta Met. 23, 1347. Gumbsch, P. & Gao, H. (1999), Science 283(5404), 965. Gunnarsson, O. & Lundqvist, B. I. (1976), Phys. Rev. B 13, 4174. H;ahner, P., Bay, K. & Zaiser, M. (1998), Phys. Rev. Lett. 81, (12), 2470. Hamilton, J. C. (1997), Phys. Rev. B B 55, R7402.
Hamilton, J. C., Stumpf, R., Bromann, K., Giovannini, M., Kern, K. & Brune, H. (1999), Phys. Rev. Lett. 82, 4488.
Harris, J. & Jones, R. O. (1974), J. Phys. F 4, 1170.
Hedin, L. & Lundqvist, B. (1971), J. Phys. C 4, 2064.
Heinisch, H. L. (1995), Nuc. Inst. Meth. Phys. Res. B 102, 47-50.
Hirth, J. P., Rhee, M. & Zbib, H. (1996), J Comp-Aided Mat. Design 3, 164.
Hoagland, R. G., Hirth, J. P. & Gehlen, P. C. (1976), Phil. Mag. A 34, 413.
Hohenberg, P. & Kohn, W. (1964), Phys. Rev. vol. 136, 864B.
Huang, H. C., Ghoniem, N., de la Rubia T. D., Rhee, M., Zbib, H. & Hirth, J. P. (1999), J. Eng. Mater. 121, 143.
Huang, H. C., Ghoniem, N. M., Wong, J. K. & Baskes, M. I. (1995), Model. Simul. Mater. Sci & Eng. 3, 615.
James, M. & Cohen, J. (1980), Treatise on materials science and technology, Vol. 19A, Academic Press, New York, N.Y., p. 1.
30
Janotti, A., Zhang, S. B., Wei, Su-Huai & Van de Walle, C. G. (2002), Phys. Rev. Lett. 89, 086403. Joannopoulos, J. D., Bash, P. & Rappe, A. (1991), Chemical Design Automation News 6, no. 8. Jones, R. & Gunnarsson, O. (1989), Rev. Mod. Phys. 61, 689.
Justo, J. F., de Koning M., Cai, W. & Bulatov, V. V. (2001), Mat. Sci. Eng. A 309, 129. Kent, P. & Zunger, A. (2001), Phys. Rev. Lett. 86, 2613.
Khachaturyan, A. G. (2000), in E. Turchi & a. G. A. Shull, R.D., eds, 'Proceedings of a symposium of TMS', TMS.
Kido, T., Maruyama, T., Niita, K. & Chiba, S. (2000), Nucl. Phys. A 663, 877c.
Kohn, W. & Sham, L. (1965), Phys. Rev. 140, A1133.
Kratochvil, J. & Saxlo`va, N. (1992), Acta Met. et Mat. 26, 113.
Kubin, L. P. (1993), Phys. Stat. Sol. A 135, 433.
Kubin, L. P. & Canova, G. (1992), Scripta Met. et Mater. 27, 957.
Kubin, L. P., Canova, G., Condat, M., Devincre, B., Pontikis, V. & Brechet, Y. (1992), Diffusion and Defect Data - Solid State Data, Part B (Solid State Phenomena) 23-24, 455.
Kubin, L. P. & Kratochvil, J. (2000), Phil. Mag. A 80, 201.
Kuramoto, E., Ohsawa, K. & Tsutsumi, T. (2000), J. Comp. Aided Mater. 7, 89.
LaBella, V. P., Yang, H., Bullock, D. W., Thibado, P. M., Kratzer, P. & Scheffler, M. (1999), Phys. Rev. Lett 83, 2989.
Langreth, D. C. & Perdew, J. P. (1977), Phys. Rev. B 15, 2884.
Lennard-Jones, J. (1924), 106, 463.
Lepinoux, J. & Kubin, L. P. (1987), Scripta Met. 21, (6), 833.
Li, Q. K. & Shi, S. Q. (2002), Appl. Phys. Lett. 80, 3069.
Lichtenstein, A. I., Z. J. & Anisimov, V. I. (1995), Phys. Rev. B 52, R5467.
Loubet, J., Georges, J. & Meille, G. (1986), Micro indentation techniques in materials science and engineering, in P. Blau & B. Lawn, eds, 'ASTM-STP 889', American Society for Testing and Materials, Philadelphia, PA, p. 72.
Louie, S. G. (1996), in J. R. Chelikowsky & S. G. Louie, eds, 'Quantum Theory of Real Materials', Vol. 23, Kulwer, Boston, p. 83.
Lu, G. & Kioussis, N. (2001), Phys. Rev. B 64, 024101.
Lu, G., Kioussis, N., Bulatov, V. & Kaxiras, E. (2000), Phys. Rev. B 62, 3099.
Lu, G., Kioussis, N., Wu, R. & Ciftan, M. (1999), Phys. Rev. B 59, 891.
31

Lu, G., Zhang, Q., Kioussis, N. & Kaxiras, E. (2001), Phys. Rev. Lett. 87, 095501. Lubarda, V. A., B. J. A. & Needleman, A. (1993), Acta Met. et Mat. 41, 625.
Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H. & Teller, E. (1953), J. Chem. Phy. 21, 1087.
Moriarty, J. A. (1988), Phys. Rev. B 38, 3199.
Moriarty, J. A. (1994), Phys. Rev. B 49, 12431.
Moriarty, J. A. & Widom, M. (1997), Phys. Rev. B 56, 7905.
Morse, P. (1924), Phys. Rev. 34, 57.
Moulin, A., Condat, M. & Kubin, L. P. (1997), Acta Mater. 45, (6), 2339-2348.
Mughrabi, H. (1983), Acta Met. 31, 1367.
Mughrabi, H. (1987), Mat. Sci. & Eng. 85, 15.
Mura, T. (n.d.).
Neumann, P. (1971), Acta Met. 19, 1233.
Norskov, J. K. & Lang, N. D. (1980), Phys. Rev. B. 21, 2131.
Ohsawa, K. & Kuramoto, E. (1999), J. Appl. Phys. 86, 179.
Ortiz, M. & Phillips, R. (1999), Adv. Appl. Mech. 36, 1.
Osetsky, Y. N., Bacon, D., Serra, A., Singh, B. & Golubov, S. (2000), J. Nucl. Mater. 276, 65.
Papanikolaou, N., Zeller, R. & Dederichs, P. (2002), J. Phys.: Condens. Matter 14, 2799.
Parr, R. G. & Yang, W. (1989), Density Functional Theory of Atoms and Molecules, Oxford Uni­versity Press, New York.
Parrinello, M. & Rahman, A. (1981), J. Appl. Phys. 52, 7182.
Payne, M. C., Teter, M. P., Allan, D. C., Arias, T. A. & Joannopoulos, J. D. (1992), Rev. Mod. Phys. 64, 1045.
Peach, M. O. & Koehler, J. S. (1950), Phys. Rev. 80, 436.
Perdew, J. P. (1991), Electronic structure of solids '91, Akademie Verlag, Berlin, p. 11.
Perdew, J. P. (1998), Electron correlations and materials properties, Kluwer/Plenum, New York, p. 287.
Perdew, J. P., Burke, K. & Wang, Y. (1996), Phys. Rev. B 54, 16533. Perdew, J. P. & Zunger, A. (1981), Phys. Rev. B 23, 5048. Pettifor, D. G. (1989), Phys. Rev. Lett. 63, 2480.
32
Pettifor, D. G. & Oleinik, I. (1999), Phys. Rev. B 59, 8487. Pettifor, D. G. & Oleinik, I. (2000), Phys. Rev. Lett. 84, 4124. Price, D. & Cooper, B. (1989), Phys. Rev. B 39, 4945. Price, D., Wills, J. & Cooper, B. (1992), Phys. Rev. B 46, 11 368.
Rao, S., Hernandez, C., Simmons, J. P., Parthasarathy, T. A. & Woodward, С (1998), Phil. Mag. A 77, 231.
Rao, S. I. & Woodward, С (2001), Phil. Mag. A A 81, 1317.
Rhee, M., Zbib, H. M., Hirth, J. P., Huang, H. & de la Rubia, T. (1998), Mod. Sim. Mater. Sci. Eng. 6, (4), 467.
Rodney, D. & Martin, G. (2000), Phys. Rev. B 61, 8714.
Rodney, D. & Phillips, R. (1999), Phys. Rev. Lett. 82, 1704.
Ruberto, C., Yourdshahyan, Y. & Lundqvist, B. I. (2002), Phys. Rev. Lett 88, 226101.
Saxlo`va, N., Kratochvil, J. & Zatloukal, J. (1997), Mat. Sci. Eng. A 234, 205.
Schonfelder, B., Wolf, D., Phillpot, S. R. & Furtkamp, M. (1997), Interface Sci. 5, 245.
Schwarz, K. V. & Tersoff, J. (n.d.), App. Phys. Lett. 69, (9), 1220, year= 1996 title= Interaction of Threading and Misfit Dislocations in a Strained Epitaxial Layer.
Schwarz, K. W. (1997), Phy. Rev. Lett. 78 (25), 4785.
Schwarz, K. W. & LeGoues, F. K. (1997), Phys. Rev. Lett. 78 (10), 1877.
Segmueller, A. & Murakami, M. (1988), Treatise on materials science and engineering, Vol. 27, Academic Press, New York, N.Y., p. 143.
Shi, S. Q., Huang, H. C. & Woo, C. H. (2002), Comp. Mater. Sci. 23, 95.
Sinclair, J. E. (1971), J. Appl. Phys. 42, 5231.
Small, M., Daniels, B., Clemens, B. & Nix, W. (1994), J. Mater. Res. 9, 25.
Stillinger, F. H. & Weber, T. A. (1985), Phys. Rev. B 31, 5262.
Svane, A. & Gunnarsson, O. (1990), Phys. Rev. Lett. 65, 1148.
Tersoff, J. (1986), Phys. Rev. Lett. 56, 632.
Thomson, R., Levine, L. E., Shim, Y. & Savage, M. F., a. K. D. E. (2002), Comp. Mod. in Engr. & Sci. (CMES) .
Van Swygenhoven, H., Caro, A. & Farkas, D. (2001), Mat. Sci. Eng. A 309, 440.
Volterra (1907).
von Barth, U. & Hedin, L. (1972), J. Phys. C 5, 1629.
33
Vosko, S. H., Wilk, L. & Nusair, M. (1980), Can. J. Phys. 58, 1200.
Walgraef, D. & Aifantis, С (1985), Int. J. Engr. Scie. 23, (12), 1351-1358.
Wang, G. F., Strachan, A., Cagin, T. & Goddard, W. A. (2001), Mat. Sci. Eng. A 309, 133.
Wang, H. Y. & LeSar, R. (1995), Phil. Mag. A 71, 149.
Wang, J., Woo, C. H. & Huang, H. (2001), Appl. Phys. Lett. 79(22), 101.
Wang, Y., Jin, Y., Cuitino, A. M. & Khachaturyan, A. G. (2001), Acta Mat. 49, 1847.
Wang, Y. U., Jin, Y. M., Cuitino, A. M. & Khachaturyan, A. G. (2000), in 'Dislocations 2000', the National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, p. 107.
Wei, N. E. & Huang, Z. Y. (2001), Phys. Rev. Lett. 87, 135 501.
Wimmer, E., Krakauer, H., Weinert, M. & Freeman, A. (1981), Phys. Rev. B 24, 864.
Woo, C. H. & Puls, M. P. (1976), J. Phys. C 9, L27.
Wu, T., Lee, C.-K. & Wang, R. (1993), Micro-impact technique and its application, in 'Mater. Res. Soc. Symp. Proc.', Vol. 308, p. 133.
Xu, W. & Moriarty, J. A. (1996), Phys. Rev. B 54, 6941.
Xu, W. & Moriarty, J. A. (1998), Comp. Mater. Sci. 9, 348.
Yildirim, T., G;ulseren, O. & Ciraci, T. (2001), Phys. Rev. B 64, 075404.
Yoffe, E. (1960), Phil. Mag. A 5, 161.
Zaiser, M., Avlonitis, M. & Aifantis, E. C. (1998), Acta Mat. 46( 12), 4143.
Zbib, R. M., Rhee, M. & Hirth, J. P. (1998), In. J. Mech. Sci. 40 (2-3), 113.
Zhang, W. Q., Xie, Q., Ge, X. J. & Chen, N. X. (1997), J. Appl. Phys. 82, 578.
Zhou, S. J., Preston, D. L., Lomdahl, P. S. & Beazley, D. M. (1998), Science 279, 1525.
34




12


















Успешным

1.
2.
3.









, (12)


Я





13






Для













Потому что