The Emerging Role of Multiscale Modeling in Nano-

The Emerging Role of Multiscale Modeling in Nano- and Micro-mechanics of Materials
Nasr M. Ghoniem(1) and Kyeongjae Cho(2) W Mechanical and Aerospace Engineering Department University of California, Los Angeles, C A 90095-1597
(2) Division of Mechanics and Computation, Department of Mechanical Engineering Stanford University, Stanford, C A 94305-4040
Наср М. Гонием (Ghoniem) (1) и Кьёнгджа (Kyeongjae) Чо (2)
(1) Механические и аэрокосмической техники Департамент
Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния 90095-1597
(2) Отдел механики и вычисления, Инженерно-механический факультет
Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния 94305-4040

Истоки и актуальность многомасштабного моделирования в нано- и микромеханике материалов.
В результате возросшего  интереса в поиске фундаментальных описаний прочности и разрушения свойств материалов, а также захватывающей перспективы разработки материалов от их атомного уровня, международный симпозиум по многомасштабному моделированию был проведен в Лос-Анджелесе в августе 23 - 25 апреля 2000 года.  23 оратора обсуждали на этом симпозиуме охваченные области научного интереса:  традиционные механика, физика, химия и материаловедение. Темы обсуждения  были сосредоточены на моделировании подходами механики сплошных сред материалов с учетом их атомной структуры. Основная проблематика симпозиума - реализация ограничений современной механики сплошных сред на основе подходов к моделированию (например, методом конечных элементов (МКЭ- FEM)) для описания поведения материалов в масштабах меньших, чем десятки микрон. Ораторы представляли международное научное сообщество  различных стран, и использовали разнообразные моделирования и моделирования для суб-континуум систем. Обсуждения охватывали изначальное (ab initio) квантовое моделирование (например, теории функционала плотности и сильной связи (tight-binding) методы), атомистическое моделирование с использованием эмпирических многих тел межатомных потенциалов, методы Монте-Карло, мезоскопической статистической и дислокации динамики, и передовые подходы уравнения поля континуума. В этой статье мы приводим взгляд на разнообразие методов, представленных на симпозиуме, и видение будущего развития многомасштабного моделирования для нано-и микромеханики материалов.
Содержание
I Введение. 2
II Обзор вычислительных нано-и микро-механик 5
А Квантовая механика - В Классическая Молекулярная Динамика- MD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
С Кинетика Монте Карло - D - Динамика дислокаций E Статистическая Механика - III Краткий очерк Современных проблем 20
Атомистические В Mезоскопические С Континуума И. В. Современные вызовы 23
В Масштаб С D Самосогласования мультимасштабных моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 26
В Будущие направления 26




1
I. ВВЕДЕНИЕ.

Сплошной среды методы моделирования поведения материалов преобладали на сцене исследований более века. Успешные проекты инженерных были основаны на уравнениях сохранения континуума, дополненные набором феноменологических отношений (или состояния уравнения, СУ- constitutive equations CE ) между причиной и следствием (например, силы и движения, напряжения и деформации, и т.д.) Поскольку консерватизм воплощается в большинстве конструкций техники, такой подход был успешным в разработке крупномасштабных конструкций и деталей, где точное знание отклика материалов не является существенным. Основные физические принципы, лежащие в СУ  основаны на статистической механике атомного масштаба процессов. Они захватили в СУ, как макроскопических термодинамических средние. В этом подходе, все атомные динамики масштаба и дефект эволюции неявно усредненные по времени и пространству, так что СУ представляет механическое поведение материалов в течение длительного времени и больших масштабов длины. Здесь, времени и длины масштабы этих типичных дефектов определяют механические свойства: точечных дефектов, дислокаций, интерфейсов и границ зерен. Таким образом,
континуума анализы будут действительны только для достаточно больших систем, которые включают соответствующее число дефектов. Континуума подход начнет ошибаться, когда размер системы достигнет среднего расстояния между между дефектами. При малых масштабах длин представление нано-и микротехнических материальных систем, непрерывной моделей не достаточно гибко отделить атомного масштаба процессы. Хотя нано-масштаб  - длины масштаб отдельных атомов и дефектов (т.е. 1 - 10 нм), и  микро-масштаб представляет длины масштаба типичной микроструктуры (т. е. 0,1 - 1 мкм), мезо-масштаб - характерный масштаб длины, в котором дефект-интерфейс взаимодействия и индивидуальная динамика дефектов становятся значимыми (т.е. 1 - 100 мкм).
 В последнее время слияние ряда факторов начало расстраивать континуума парадигмы проектирования и анализа. Во- первых и явно,  множество экспериментальных наблюдений на механическое поведение материалов, которые не могут быть легко объяснены в рамках  механики сплошной среды: дислокации моделей в усталости и ползучести, шероховатости поверхности и страгивание трещины  усталости, присущие неоднородности пластической деформации, статистическая природа хрупкого разрушения, локализации пластического течения в полосах сдвига, и эффекты размера, геометрии и стресса состояния на полученные свойства. Во-вторых, в то время как СУ представляют экспериментальные данные в некотором пространстве определенном температурой, напряженным состоянием, скоростью деформации и материальными условиями, ученые и инженеры не могут  будучи комфортны в расширении диапазона экспериментально полученных ВЭ без чрезмерного консерватизма. Если нет физического понимания, можно просто никогда не быть уверенным в поведении материалов при непредвиденных условиях за пределами измеряемого диапазона. В-третьих, инженерный мир сократился до малых масштабов длины! Это задача для проектирования систем в диапазоне нанометров, которые ожидаются в новых поколениях компьютеров, электроники, фотоники и систем доставки лекарств. Актуальные проблемы в области компьютерных технологий зависят от понимания отказа механизмов нано-проводов, соединяющих чипы в длине субмикронного масштаба. В то же время, технология микро-электро-механические системы (МЭМС- MEMS) начала достигать стадии, когда физическое понимание механического поведения будет определять надежность разработанных продуктов. Существует немало усилий для разработки ультра-сильных и ультра – податливых (ultraductile) материалов с использованием механических свойств нано-слоев. В высокой неоплате (payoff), с высокого риска технологиях (например, ядерной и космической), эффекты старения и некоторые оборудования в ошибки механизмов не могут быть оставлены на консервативные подходы фактора безопасности для проектирования, но требует тщательных (thorough) механистических анализов материалов деградации в ожидаемых оборудованиях. Все эти примеры указывают на необходимость физически обоснованного  подхода к выполнению анализов таких малых инженерных структур. Это сложная задача, потому что и статистической, и сплошных сред механики надежны в каждом конкретном случае. Например, одна нано-пустота может привести к отказу  соединения на доске соединения (С -interconnect IC). Статистическая механика не может адекватно решить эту ситуацию, потому что закон больших чисел не выполняется. В-четвертых, сложность компьютерного оборудования и программного обеспечения увеличивается с поразительной быстротой, и крупномасштабные вычисления становятся гораздо более доступными, чем всего несколько лет назад. Сегодня, кластер десятков компьютеров, связанных между собой в сетевое оборудование, может стоить всего за $ 30000 и образуют суперкомпьютеры, которые используются для расходов в миллионы. Такая доступность отрадна ученым и инженерам для создания эффективных численных методов для моделирования
2
сложных физических явлений в материалах, без особой нужды в упрощенных аналитических решений излишне нереалистичного представления материала. Численное моделирование поведения материалов началось в дополнение к традиционной теории и экспериментальных подходов исследования. Наконец и интересно, каналы связи между инженерами и учеными необщие основы становятся все более общими! В последних технических совещаниях и конференциях найдены инженеры-механики и машиноведы обсуждающие  вопрос с материаловедами - физиками сплошных сред и химиками. Безбарьерное отношение способствует смыслу творчества и беспрецедентного фундаментального внимания к области механики материалов.
Альтернатива континуума анализам - атомистическое моделирование и симуляция, в которых отдельные атомы явно следуют во время их динамичного развития. Хотя это явное моделирование атомных структур можно проследить все детали атомного масштаба процессов, она имеет свой набор ограничений.
Это времени и длины масштаба ограничения как малых, так и больших направлений. Когда атомистическими методами моделирования описать атомов явно, времени масштабы порядка 10-15 секунды (или 1 фс) и длины масштабы порядка  10-10 м (или 1 А°). В результате этих очень малых времени и длины масштаба, типичные атомистическое моделирования ограничены для очень малых систем за очень короткое время. Даже если вычислительная мощность  быстро растет, грубая сила с использованием методов атомистического моделирования  не может описать системы гораздо больше, чем 1 мкм (миллиарды атомов) или более чем на 1 мс (миллиарды фс шагов по времени).
Многомасштабного моделирования (МММ) парадигмы  основаны на реализации того, что континуума и атомистических анализов методы дополняют друг друга. На мезо-масштабе (т.е. тот, что между сплошной среды и атомистической), континуума анализы начали ошибаться, и атомистические методы начинают достигать, ему присущему  времени и длины масштаба, ограничений (вычислительных способностей). Методы мезоскопические моделирования настоящее время разрабатываются, чтобы преодолеть этот критический разрыв между крайностями масштабов. В нижней части масштаба длины в атомистических методах моделирования лежит квантовая механика. Здесь, компоненты атомов (например, электронов и нуклонов) могут быть явно описаны, хотя и с различной степенью приближений. Однако, методы моделирования квантовых требуют 105 - 106 раз больше вычислительных ресурсов, чем классические атомистические моделирования. Таким образом, и до сих пор, такие методы ограничены атомными системами из нескольких сотен атомов. Важно отметить, что в нано-масштабе, свойства материалов тесно связаны так, что электронные и химические свойства - сильные функции механических деформаций. Это проявляется в связи между шириной запрещенной зоны и деформации изгиба из SiC нано-трубки, например, [1]. Такая реализация может открыть дверь для многих и отдела нано устройств приложений, где хемо-механика и физико-механика должны быть интегрированы с начала.
Традиционный разрыв между атомистическими методами моделирования и механикой сплошных сред представил значительные проблемы для научного сообщества. Когда длины масштаб не может быть доступен либо континуума методами, потому что он слишком мал для усреднения, или атомистического методов, поскольку он слишком большой для моделирования компьютерами по настоящее время, эти два подхода стали недостаточны. Два возможных решения появились для этой задачи. Вместо моделирования динамики атомных систем, можно просто изучать динамику ансамблей дефектов в материале. В этой инновационной стратегии, задача становится вычислительно последовательной без потери строгости. Примерами такого подхода является динамические моделирование взаимодействия трещин в хрупких материалах, или дислокации в кристаллических материалах. Следует отметить, что развития дислокации (или дефекта) динамика следует из континуальной теории упругости, с дополнительными ограничениями  атомного масштаба длин. В последнее время всплеск интереса к пониманию физической природы пластической деформации развивался. Этот интерес обусловлен обширных экспериментальных доказательствами, которые показывают, что распределение пластической деформации в материалах принципиально гетерогенны ([2] - [4]). Из-за сложности дислокаций договоренности в материалах при пластической деформации, подход, основанный на прямом численном моделировании для движения и взаимодействия между дислокациями в настоящее время активно исследован. Идея компьютерного моделирования для взаимодействия между дислокациями ансамблей недавно реализована. В течение последнего десятилетия, подход клеточных автоматов был впервые предложен Лепину (Lepinoux) и Кубиным [5], а динамика дислокаций Гонием (Ghoniem) и Амодео (Amodeo) [6] - [12]. Эти ранние усилия были связаны с упрощением проблемы, рассматривая только ансамбли бесконечно длинных, прямых дислокаций. Метод был в дальнейшем дополнен рядом исследователей ([13] - [17]), показаны возможности моделирования резонные, хотя  упрощенные смещения микроструктуры. Чтобы понять более реалистично особенности микроструктуры в кристаллических твердых тел, Кубин, Канова, Де Ванкр (DeVincre )и его коллеги ([18] - [25])  стали пионерами в разработке 3-D динамики решетки дислокации. Более подробные последние достижения в этой области способствовали его быстрому развитию (например, [26] - [28], [29] - [31]).
Второе решение для  мезомасштабной проблемы была основана на подходах статистической механики 32] - [38]. В этих событиях, эволюционные уравнения для статистических средних (и, возможно, высших моментов) должны быть решены для полного описания проблемы деформации. Главной задачей в этой связи является,  в отличие от ситуации встречающейся в развитии кинетической теории газов и его последующего расширения для нейтронов, плазмы, фотонов и т. д.,  геометрия взаимодействующих подразделений в вопросах системы. Это не мыслимо проводить такой подход без должного учета геометрии дислокаций и трещин, и  удержания их движения на конкретных системах скольжения, или вдоль конкретных направлений [37].
В этой обзорной статье мы опишем состояние исследований в каждом компоненте, которые составляют парадигмы МММ для моделирования нано-и микро-систем: Квантовая механика (КМ), молекулярная Динамики (МД), Монте-Карло (МК-MC), Динамика дислокаций (ДД -DD) и статистическая механика (СМ-SM). Времени и длины масштаба иерархии, наряду с краткой классификации вычислительных методов для нано-и микро-систем, показаны на фиг. (1). Текущий обзор не претендует на исчерпывающий, но предназначен, чтобы дать читателю информационный уровень понимания различных компонент исследования в МММ, с отдельными примерами, иллюстрирующих то, что изучается в настоящее время. Поскольку некоторые из этих тем были рассмотрены в рамках симпозиума, мы будем опираться на структуры этой новой области, и представим документы, содержащиеся в этом специальном выпуске. Мы, наконец, попытаемся проектировать возможное видение будущего развития этой новой области.

Континуума механика
Статистическая механика
Дислокационная (дефекта) динамика
Монте Карло
Классическая МД
Ab initio Квантуум
Пространство -время





Фиг. 1. Схематическое изображение различных масштабов Материалы моделирования (МММ) Иерархия
4
II. Обзор вычислительной нано- и микро- механики
А. Квантовая механика -КМ (QM)
В последние годы, несколько точных квантовой молекулярной динамики схем появилось. В этих методах, силы между атомами вычислены явно на каждом шаге по времени в приближении Борна- Оппенгеймера [39]. Динамическое движения для ионной позиции по-прежнему управляется Ньютоновской или Гамильтоновой механикой, и описывается молекулярной динамикой. Наиболее широко известная и точная схема это Кар- Паринелло (КП-СР) метод молекулярной динамики [40], где электронные состояний и атомные силы описываются с помощью ab initio метода функционала плотности (Обычно в приближении локальной плотности (ПЛП- LDA)). Хотя такие ab initio МД (MD)  моделирования могут сейчас проводиться для систем, состоящих из нескольких сотен атомов, по-прежнему широкий спектр размеров системы, для которых такие расчеты начинают растягивать пределы вычислительных ресурсов  сегодняшнего дня и становятся неразрешимыми. В промежуточных режимах, между крупномасштабной классической МД (MD) и квантовой КП (СР) динамики методы, полу-эмпирические подходы квантового моделирования покрывают важный диапазон размеров системы, в которой классические потенциалы не достаточно точны и ab initio вычисления не возможны. Сильной связи молекулярной динамики ССМД (tight-binding TBMD) [41] подход является таким образом важным связующим звеном между точной ab initio квантовой  MД и классические методы MД.
В самом главном подходе полного квантово-механических описания материалов, атомы представлены в виде набора квантовых механических частиц, ядер и электронов, управляемых уравнением Шредингера:
 (1)
С полным квантумом многих тел оператор Гамильтона:
(2)
где RI и ri ядер и электронных координат, соответственно. Используя Борна-Оппенгеймера приближение, электронным степеням свободы предполагается следовать адиабатически соответствующии ядерным позициям, и ядер координаты стали классическими переменными. С этим приближением, полной квантовой задачи многих тел сводится к квантовой многоэлектронной проблеме:
 (3)
где,
 (4)
Ab initio (или первых принципов) методы были разработаны для решения сложных квантовых многих тел Шредингера уравнений с помощью численных алгоритмов [43,44]. Современные ab initio моделирования методы  основаны на строгой математической основt обеспечивают две важные работы Хоенберга и Кона (1963) [43], и Кона и Шема (1964) [44]. Хоэнберг и Кон разработали теорему о том, что энергия основного состояния (E el) из системы многих электронов -функционал полной электронной плотности, ; (r), а не полная волновая функция электрона, ; (ri), таким образом: E el: (; (r)) ; E el (; (r)). Оператор Гамильтона H и уравнения Шредингера имеют вид:
 (5)
 (6)
где RI и ri атомные позиции и электронные координаты, соответственно. Плотность теории функционала плотности (ТФП- DFT) происходит от того, что основное состояние полной электронной энергии –
5
функционал от общей электронной плотности r(;). Впоследствии, Кон и Шем показали, что ДПФ можно переформулировать как проблему одного электрона с самосогласованным эффективным потенциалом включая все обменно-корреляционные квантовые эффекты электронных взаимодействий:
, (7)
, (8)
,  i=1,,Ntot. (9)
Это одного электрона Шредингера уравнение известно как уравнение Кона - Шема, и локальная плотность приближении (ПЛП) была введена в приближении неизвестного эффективного обменно-корреляционного потенциала VXC [r (;)]. Этот TФП-ПЛП метод был очень успешным для прогнозирования свойств материалов без использования каких-либо экспериментальных вводов, кроме идентификации (т. е. атомными номерами) состоящих атомов [40,42]. Для практического применения, однако, TФП-ПЛП метод был реализован с псевдопотенциалом приближения и плоской волны (ПВ- PW) основой расширения функций одной волны электрона. Эти систематические приближения сокращают электронной структуры проблему как самосогласованной матричной задачи диагонализации. За последние три десятилетия, моделирования метод был быстро улучшен от итерационной диагонализации (ИД -ID), до Кар-Паринелло молекулярной динамики (КПМД-CPMD) [40], до сопряженных градиентов (СГ-conjugate CG) минимизационных методов. КПMД значительно улучшила вычислительную эффективность за счет снижения N3-масштабирования метода ID до N2-масштабирования. Метод CГ еще больше повысил эффективность в дополнительные 2-3 раза. Один из популярных программ моделирования ТФП - Вена аb initio моделирования пакет (ВАМП -VASP), который доступен через лицензионное соглашение [45]. Для отклика функции анализы (например, тензор диэлектрической проницаемости, фононного спектра, тензоров напряжения / деформации), код ABINIT является хорошо развитым ТФП кодом [46]. Еще одна полезная моделирования ТФП программа была разработана в языке С + + [47]. В дополнение к этим программам моделирования, есть и коммерческий пакет от молекулярного моделирования  инк. (ММИ- МSI) [48]. С этим и другими широко используется ТФП пакеты моделирования, ab initio моделирования  метод был создан в качестве основного расчетного исследования материалов инструмент [49].
Энергия
Расстояние


Рис. 2. Слева: Всех валентных электронов плотность заряда участка. Величина заряда контура 0,0015 (эв / °) показывает обязательный заряд между ОНТ- SWNT (10,0) и NO2 молекулой. Три единицы показаны на этом рисунке. Справа: Энергия кривой NO2, взаимодействующая с (10,0) ОНТ в зависимости от расстояния от NO2 до нанотрубки. Сплошная кривая линия установлена с универсальной обязательной кривой.
Так ТФП моделирования позволяет нам модели нескольких сотен атомов без каких-либо экспериментальных вводов, она обеспечивает мощный инструмент для исследования наноматериалов с предсказательной силой. Наномате-
6
риалы являются строительными блоками нанотехнологии, и это имеет важное значение для разработки детального понимания их различных свойств материала. Однако экспериментальные характеристика является весьма сложной задачей из-за до очень малого размера наноструктур. Квантовые моделирования обеспечивают естественное решение этой проблемы дополняющие экспериментальные исследования наноматериалов. Здесь мы проиллюстрируем использование ab initio  моделирования для исследования применений углеродных нанотрубок газовых сенсоров. Недавние эксперименты
показали, что углеродные нанотрубки могут изменить свои электронные свойства из-за присутствия очень небольшого количества молекул газа (например, NO2, NH3 или O2). Основной механизм обнаружения молекулы газа был предложен для адсорбции молекул на поверхности нанотрубки и сопровождающие перенос заряда между молекулами и нанотрубкой.
Для проверки этого предположения, Пэн и Чо провели ТФП моделирования системы молекулы газа – углеродной нанотрубки. Фиг. (2) показывает результаты ТФП симуляций для NO2-(10,0) системы нанотрубки. Три NO2 молекул приведены в правом нижнем углу левой панели, а молекулы нанотрубки обязательной (binding) кривой энергии показан на правой панели. Энергии кривая показывает, что существует притяжения взаимодействия между NO2 молекулы и нанотрубкой с 0,34 эВ     обязательной (binding) энергии. Анализы изменений электронной структуры показывают, что чистая передача электронов (около 0,1 эВ) от нанотрубки до NO2 молекулы приводит к р-типа  допингу в полупроводниковой (10,0) нанотрубке. Этот пример показывает, что квантовое моделирование может моделью детализировать электронные структуры, обязательные конфигурации, и энергетику  наноразмерных материалов, ведущих к подробному механистическому пониманию их свойств.
В. Классическая молекулярная динамика – МД
Классическая молекулярная динамика (МД) описывает атомных масштабов динамику системы,  где атомы и молекулы движутся одновременно взаимодействуя со многими другими атомами и молекулами в их окрестности. Динамичное развитие системы определяется уравнениями движения Ньютона:
 , (10)
которые являются производными от классического гамильтониана системы:
 (11)
Каждый атом движется и действует просто как жесткая частица движущаяся в многих тел потенциале других подобных частиц, V (RI), который также может быть получен из более точных квантовых моделирований. Атомные и молекулярные взаимодействия описывающие динамику системы задаются классическими многих тел функциями силового поля. Атомного взаимодействия энергии функцию V (RI) можно записать в терминах пары и многих тел взаимодействий, в зависимости от относительного расстояния между различными атомами [50,51]. Атомные силы возникают в виде аналитических производных функций энергии взаимодействия, FI (RI) =-dV/dRI, и используются для построения уравнений движения Гамильтона, которые 2-го порядка, обычные дифференциальные уравнения. Эти уравнения аппроксимированы   конечно-разностными уравнениями, с дискретным ;t шагом по времени, и решают стандартные алгоритмы интеграции времени. Моделирования могут быть выполнены при различных физических условиях через эволюцию дискретного времени, начиная с заданного начального состояния.
До начала 1970-х годов, МД симуляции использовали простые межатомные потенциалы, таких как Леннарда - Джонса, качественно моделировать разнообразные свойства материальных систем. Для модели более реалистичных материалов, таких как металлы и полупроводники со сложным взаимодействием многих тел, три подхода появились: (1) потенциалы разработаные для последующего Борна-Опенгеймера (Openheimer) расширения (Например, Пирсона [52] и Стиллинджер-Вебера (СВ -SW) [53] потенциалов); (2) потенциалы, которые пытаются  моделировать  местную среду  с использованием распределения электронной плотности (например, погруженного атома
метод (ПАМ- EAM) [50,51]); (3) потенциалы, которые вводят местную электронную среду непосредственно в парных потенциалах (например, потенциала Терсоффа [54]).
7
Борна-Опенгеймера (Openheimer) расширения выражает межатомный потенциал как бесконечную сумму более пар, триплет, и т. д. взаимодействия между атомами в твердом теле, как:
 (12)
Для ковалентно- связанных материалов, Пирсон берет двух тел компонент для Леннард- Джонса потенциала, а триплет взаимодействия представлены Аксилрода (Axilrod)-Теллера потенциалом типа трех тел [52]. Потенциал СВ является еще одним примером типа потенциала, который используется для эффективного решения с направленным характером связи в ковалентных материалах. Потенциал ПAM изначально разработан для металлов Доу и Баскес (Baskes) [50]. При таком подходе, энергия атома в кристалле разделена на две части: (1) двух тел ядро-ядро энергия взаимодействия ;ij (Rij); (3) дополнительная энергия, необходимая для внедрения атома в электронную систему в решетке , где  является средней локальной плотностью электронов. Вся конфигурационная энергия кристалла записывается в виде суммы из этих двух типов вкладов:
(13)
Вложения энергии, как правило, подходят к форме:
 (14)
Где Аi является постоянной для атома типа, E0i  является его энергия сублимации, и  получается функциональным заполнением для электронной конфигурации окружающих атом i. На основании вариантов этих  ПAM и СВ потенциалов, широкий спектр многочастичных потенциалов был предложен и использован в классической молекулярной динамике. Эти потенциалы должны работать в  ряде физических параметров, в которых они были построены. Численное интегрирование уравнения движения производится либо явными или неявными методами. Простая схема Эйлера не подходит для МД, потому что не хватает численной устойчивости. В явном Верле (Verlet's) чехарды метод, уравнение движения частиц состоит из двух уравнений первого порядка:
,   (15)
Когда эти уравнения дискретизованы и вновь вместе, один получает положение частицы после малое время прироста ;t:
 (16)
Алгоритм Верле очень популярен в МД, потому что  стабилен, эффективно использует память, и позволяет достаточно большой временной шаг. Другой популярный неявный метод интеграции для MD моделирования является схема предиктор-корректор, и, в частности, алгоритм Гира ( Gear) [55]. Эти методы сформулированы либо как многих переменных, где высшего порядка пространственные производные вытекают, или многошаговые, где позиции и скорости от нескольких предыдущих шагов по времени используются для прогноза.
В стандартном моделировании MД, число атомов, моделирование объема и общая энергия постоянны, таким образом, времени средняя  измеряется в микроканоническом (NVE) ансамбле. Это не обязательно желательно, и чаще всего, либо изотермические (NVT) или изобарические (NVT) микроканонические
ансамбли более предпочтительны. В зависимости от моделируемой проблемы, алгоритмы разработаны для поддержания постоянной температуры либо или постоянного давления. В случае моделирования постоянной температуры, используется термостат. Грубейшей (crudest) термостат Берендсена (Berendsen) алгоритм, в котором скорости просто повторно масштабируется как: , где:
8
 (17)
и Т * изотермические температуры мишени,  является расчетной скоростью, v повторно нормированные скорости и ; @ ; являются параметрами. Ряд более сложных термостатов также разработаны, например, термостат Андерсона, где термализация установлена случайными столкновениями с ванной, изокинетический термостат, где уравнения движения изменяют установленные
постоянные средней кинетической энергии, и  вариант: Нос -Хувера термостат, который использует времени среднюю кинетическую энергию, а не его мгновенное значение для создания изокинетических условий [56] - [58]. В некоторых специализированных моделированиях MД, дополнительные поля силы природы дальнего ранга может присутствовать, так как ситуация в исследованиях ионных кристаллов, пьезоэлектрических или магнитострикционных материалов. Расширений методы моделирования плазмы были попытки, в которых частицы
МД моделирования вкладываются в поле решателей на пространственной сетке. Такие алгоритмы иногда называемых частица-частица-частица-сетка, или (ЧЧЧС -PPPM) алгоритмы. Эти алгоритмы основаны на разложении задачи на две части. Во-первых, короткого диапазона силы вычисляются с использованием частиц, затем, длинного диапазона силы  вычисляются с использованием дискретизованных уравнений континуума, в котором частицы размыты в более определенной пространственной области.



Рис. 3. Снимки части (011) сечения поперек с углом относительно существа () 45 ;, и (б)135 ;, когда относительная скорость 0.93Ct при 45 ;.Дислокации позиции обозначены местами  легких атомов, и дислокации на вершине положительны, а одна в нижней отрицательно (любезность Х. Хуанг)
Для иллюстрации результатов моделирования  MД, мы будем обсуждать здесь проблему дислокационного диполя стабильности во время динамического взаимодействия двух дислокаций противоположного знака [59], дислокации
создаются  добавлением двух дополнительных (211) плоскостей вдоль направления [111] в нижней половине моделирования ячейки для отрицательных дислокаций в диполе. Положительная дислокация создается нажатием поршня со скоростью 75 м / с. Плоскости скольжения  из двух дислокаций разделены от 14 | B |, б - вектор Бюргерса. Во время моделирования, температура держится ниже 35
K, для ликвидации последствий тепловых флуктуаций. Этот контроль температуры достигается 
9
применением силы Ланжевена для атомов в динамической области [60]. Два снимка, соответствующих 45 ; конфигурации, при которой относительная скорость 0.93Ct , где Ct скорость звука, и окончательного 135 ; конфигурации, приведены на рис (3-а) и (3-б), соответственно. MД исследования сообщеные Ваном, Хуаном и Вумом [59] показывают, что в условиях высокой скорости деформации,
два приближающихся дислокаций, которые обычно образуют стабильные диполь, может стать нестабильными, в  результате дополнительной кинетической энергии участвующей в дипольном взаимодействии. Другой пример , который иллюстрирует взаимодействие между высокоскоростными дислокациями и пустотами показан на рис.(??). В эту работу, процесс взаимодействия между высокой сппед (spped) дислокацией и микро-пустотами моделируемыми с кальсикальным (calssical) методом  MD. Прохождения дислокации через небольшую пустоту  не приводит к растворению микрополости, из-за короткого временного масштаба в МД симуляции. Однако, последовательные
отрывки из дислокации и резки микропоры в конечном итоге приводит к разрушению микрополости.

Атомные координаты вдоль
Рис. 4. Атомные позиции ядра дислокации на успешных случаях времени, как  они проходят через малые микрополости в Fe (любезность Х. Хуанг)

С. Кинетические Монте-Карло – КМК
Монте Карло (МК) метод относится к любой стохастической технике, которая исследует проблемы выборки из случайных распределений, и использует понятия теории вероятностей. Эти методы в настоящее время обычно применяются практически во всех областях, от биологии до ядерной физики к социальным исследованиям. Метод MК просто статистический метод для решения детерминированной или вероятностной проблемы. Компьютерное моделирование представляет физический эксперимент проходящий численно.

Генерации случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [ (0, 1)] является одним из основополагающих аспектов Монте-Карло. Часто, в средне- квадратичный или линейный / мультипликативный конгруэнтный метод используется в компьютерных алгоритмах для генерации последовательности случайных чисел [61]. MК симуляции как правило, требуют случайных чисел полученных в соответствии с конкретным статистическим распределением. Алгоритмы общего назначения доступны для генерации случайных чисел следующих произвольных заданных функций распределения. Один из методов генерации случайных чисел в соответствии с заданным распределением функции - инверсии метод, который действует только для отношений-
10
сравнительно простых распределений. Идея такова, что если функция распределения нормирована для получения функции плотности вероятности (ФПВ- PDF) р (х), можно получить вероятность того, что случайная величина
x/ меньше, чем любые х, интегрируя ФПВ аналитически от минимального значения x. Интеграл (ФПВ) называется кумулятивная функция распределения (КФР- CDF) С (х). Когда КФР приравнивается к равномерно распределенным случайным числам ;, С (х) = ;, полученное решение для X дает желаемую функцию распределения, таким образом:
X = С-1 (;) (18)
Так как каждое случайное число ; результирует в одно значение для х,  метод очень эффективен. Если ФПВ р (х) не могут быть легко инвертирован аналитически, выборка может быть выполнена методом отказа фон Неймана. В этом методе, суда (trial) значение, xtrial выбирается случайным образом, и это принято с вероятностью, пропорциональной р (х). Во-первых, пара случайных чисел ;1 и ;2 создаются. Суда значение х, рассчитывается следующим образом:
xtrial = Xmin + (Xmax - Xmin) ;1 (19)
Если f(xtrial) ; ;2M, где М является максимальным значением, что функция может достигать в интервале [Xmin, Xmax], то xtrial принимается, в противном случае процедура повторяется до принятия значения суда. Отказ техники является неэффективным, когда функция распределения имеет одну или более
большие вершины. Другие популярные методы известны как значение выборки, и представляет собой сочетание двух предыдущих методов. В этой технике, мы заменим исходную функцию распределения р (х), по приближенной форме, , для которых обращения метод может быть применен. Тогда мы получим
пробные значения для X с инверсией техники следующих р/ (х), и принимать суда значения с вероятностью, пропорциональной весу W:
 (20)
Можно показать, что отказ техники просто частный случай существенной выборки,
где р/ (х) является постоянной [62].
В некоторых приложениях метода MК, число новых конфигураций, доступных для системы на любом шаге MК конечно и  исчислимо. Конфигурационное пространство дискретно,  нежели непрерывно. Другими словами, на каждом шаге MК, мы можем определить все явления и обороты в которых они происходят, т.е. все изменения, которые система может предположительно  испытать. Поэтому, мы не должны выполнять случайные изменения в системе на каждом шаге MК, а затем принять или отклонить изменения на основании указанного критерия. На основании относительных показателей, связанных с каждым изменением, мы можно выбрать и выполнить одно изменение в системе из списка всех возможных изменениях в каждом
MК шаге. Это общее представление о кинетического метода Монте-Карло (КМК). КМК методы были использованы при изучении радиационных повреждений с 1970 года ([63], [64], [65]). Они могут учитывать одновременно много различных микроскопических механизмов, охватывающих очень разные временные масштабы, которым трудно справиться с другими атомистическими методами моделирования.
Для выполнения моделирования КМК, первый шаг заключается в виде таблицы скорости, с которой каждое событие или явления будут происходить в любом месте системы, ri. Вероятность выбора события определяется как скорость, с которой происходит событие по отношению к сумме скоростей всех возможных событий. После событий выбрано, система изменилась надлежащим образом, и список событий, которые могут возникнуть на следующем шаге КМК обновляется. Таким образом, на каждом шаге КМК, одно событие обозначим через m из всех случайно выбранных событий M, которые возможно могут возникнуть на этом шаге, а именно:
 (21)
где ri является скоростью, с которой происходит событие i (r0 = 0) и ; является случайным числом равномерно распределенным в диапазоне [ (0, 1)]. После события выбранного и осуществившегося, общее число возможных событий, М, и последовательность, в которой события помечены, обновляются [66]. В обычных
11
КМК моделированиях, фиксированные приращения времени выбраны так, что  более одного события происходит в течение каждого шага по времени [67]. Однако такой подход является неэффективным если во многих шагах по времени, ни одного события не произойдет. Альтернативный метод, введенный Борц, и др..[68] гарантирует, что одно событие происходит где-то в системе, и приращение времени само по себе может быть определено на каждом шаге. В этом подходе, если одно событие происходит на каждом шаге моделирования и различные события происходят  с разной скоростью, приращение времени, dt, соответствующие с каждому шагу является динамическим и стохастическим:
 (22)
Где ; является случайным числом равномерно распределенным в диапазоне [ (0, 1)]. Этот метод особенно полезен в тех случаях, когда события происходят на очень разных временных масштабах, и быстрые события только возможны в некоторых редких случаях. Фиг. (5) иллюстрирует заключительные этапы столбчатой тонкой пленки растущие во время физического осаждения паров (ФОС- PVD) с использованием техники КМК [69], [70].


Рис. 5. Результаты моделирования КМК для роста тонких пленок на подложке показаны столбчатого роста (Любезность Х. Хуанг)

Другой пример, который иллюстрирует мощность вычислений  КМК в предсказаниях экспериментальных наблюдений показан на фиг. (6). В этом примере движения само- внутритканевый атом (СВА  self-interstitial аtom SIA)  кластеров моделируется в кристаллах, содержащих дислокации. Внутреннего поля дислокаций имеет огромное влияние на движение таких кластеров. В результате поля напряжений дислокаций, эти кластеры выполняют два типа движений: (1) случайные вдоль высоко- упакованой ориентации; (2) дрейф движение упругим взаимодействием с дислокациями. Упругих взаимодействий результаты в группе вращений, ведущих к украшению дислокационных сегментов, закрепления мобильного кластеров и образование плота смещения петли. Рис. (6) показывает различные этапы компьютерного моделирования [71], а на рис. (7) показывает ТЕМ экспериментальные наблюдения дислокаций украшения в облученном Mo [72].
12

Рис. 6. Результаты моделирования КМК для ФОС агломерации кластера и взаимодействия вблизи дислокации сегментов.

Рис. 7. Экспериментальные наблюдения ТЕМ кластеров ФОС украшения дислокаций в облученных Mo

D. Динамика дислокаций – ДД

Потому что внутренняя геометрия несовершенных кристаллов является очень сложной, физически основанное описание пластической деформации может быть очень сложным. Топологическая сложность проявляется в существовании дислокационных структур для противоположного случая совершенного атомного распорядка. Дислокация петель разграничит регионы, где большие атомные смещения встречаются. Как результат, дальнего- ранга упругие поля созданы в ответ на такие большие, локализованные атомные смещения. Если внешняя
13
нагрузка сохраняется, материал деформируется пластически, генерируя больше дислокаций. Таким образом, макроскопически наблюдаемая пластическая деформация является следствием генерации дислокаций и движения.
Ближайшее рассмотрение атомных позиций, связанных с дислокациями показывает, что большие перемещения ограничиваются лишь в небольшой области вокруг линии дислокации (т.е. ядро дислокации). Большинство перемещений поля может  удобно описаны как упругие деформации. Даже
хотя бы один использует концепцию распределений дислокации для учета больших перемещений близко к линии дислокации, физически основанной теории пластичности может парадоксально быть основан на теории упругости! Так как он впервые был введен в середине восьмидесятых годов [73], [74] Динамика дислокаций (ДД) стала привлекательным инструментом для исследования фундаментальных и коллективных процессов, которые составляют пластическую деформацию кристаллических материалов. В своих ранних версиях, коллективное поведение дислокационных ансамблей было определено путем прямого численного моделирования взаимодействия между бесконечно длинными, прямыми дислокациями. Численная точность и ограничения 2-D
описание дислокации эволюции ансамбля был рассмотрен достаточно подробно (например, [75] -[83]). Хотя численные вопросы стабильности, точности, сходимости и поля приближений были в основном решены в 2-мерном случае,  было реализовано, что фундаментальная физическая природа дислокационных петель, будучи 3-D пространства кривых, делает прогресс со строгим 2-D моделированием, но трудно без дополнительных специальных (ad-hoc) правил близкого расстояния (close-range) взаимодействия. Такая реализация запрашивает несколько исследовательских групп для рассмотрения расширения методологии ДД больше физической, но значительно более сложных условиях 3-D DD компьютерного моделирования пластической деформации.



Рис. 8. Параметрическое представление дислокационных сегментов
Отправной точкой при моделировании ДД является описание упругого поля дислокации петли произвольной формы. Тензора напряжений ; замкнутой петли дислокации в изотропном кристалле задается по де Вит (1960), как [84]:
 (23)
Если ; @ ; являются модулем сдвига и коэффициент Пуассона, соответственно, b -вектор Бюргерса,  декартовы компоненты bi. Радиус-вектор R соединяет точечный источник на петле в поле точки, с декартовой компонентой Ri, последовательных частных производных R, ijk ...., и величиной R. Линии
интегралов берутся по замкнутому контуру С определения петли дислокации, дифференциальных дуг длин dl  компонентов dlk. Линейный интеграл дискретизирован, и поля напряжений дислокации ансамбли получается суммированием процесс над отрезками. В последнее время Гонием, Хуан и
Ван [85] - [88] показали, что если петли дислокации дискретизованны в кривой параметрических сегментов, можно получить поля численного интегрирования по скалярному параметру, который представляет сегмент. Если один из этих сегментов описывается параметром ;, который изменяется, например, от 0
14
до 1 в конце узлов сегмента. Сегмент полностью определяется как аффинное отображение на скалярном интервале  [0, 1], если мы введем касательный вектор, единичный касательный вектор t, единичный радиус вектора е, следующим образом: , , . Пусть декартов ортонормированный базис обозначим через 1 ; {1x, 1y, 1z}, I = 1  1, как тензор второго порядка единицы, и  обозначает тензорный продукт. Теперь определим три вектора (g1 = e, g2 = t, g3 = b / | b |) как ковариантный базис для криволинейного сегмента, и им обратные контравариантные как: gi gj = ;ij, где ;ij является смешанным дельта
Кронекера и V = (g1 ;g2);g3 объема, натянутого на вектора основу, как это показано на рис. 8. Дифференциальное поле напряжений определяется по формуле:
 (24)
После параметрической кривой для дислокационного сегмента отображается на скалярные интервале {;  [0, 1]}, поля напряжений везде получаются как быстрая численная сумма квадратур [85]. Пич-Колер сила полученные на любой другой точке сегмента [86]:
 (25)
Самостоятельной силы получается от знания местной кривизны в точке интереса.
Вариационная форма правления уравнения движения одной дислокационной петли имеет вид [86]:
 (26)
Здесь, Ftk компоненты результирующей силы, состоящая из силы Пич-Келера [87] FPK  (порожденное суммой внешних и внутренних напряжений), самостоятельной силы Fs, и осмотической (the Osmotic) силой (в случае восхождения также считается [86]).Сопротивление матрицы (обратная мобильность) является B;k, V; являются компонентами вектора скорости, и интегральные линии осуществляется по длине дуги дислокации ds. Для упрощения задачи, давайте определим следующие безразмерные параметры:
R * =R, F * =FмкА, Т * =мкТлВ
Здесь, a является постоянная решетки, ; модуль сдвига, t время. Поэтому EQN. 26 может быть переписано в безразмерном матричном виде:
 (27)
Здесь, f * = [f * 1, f * 2, f * 3], и r * = [r*1, r *2, r*3], что все зависит от безразмерного времени t *. Следуя работе [86], замкнутый контур дислокации может быть разделен на сегменты Ns. В каждом сегменте j, мы можем выбрать набор обобщенных координат кв.м на двух концах, что позволяет параметризацию вида:
r * = CQ (28)
Здесь С = [C1 (;), С2 (;), ..., Cm (;)], Ci (;), (i = 1, 2, ...m) формы функции в зависимости от параметр (0 ; ; ; 1), и Q = [q1, q2, ..., qm], qi представляют собой набор обобщенных координат. Теперь заменить EQN.28 в EQN.27, получим:
 (29)
Пусть, ,
15
Следуя аналогичной процедуры для МКЭ, мы собираем уравнения движения (УД -EOM) для всех смежных сегментов в глобальной матрице и векторов, как:
,
Затем, из уравнения 29 получаем,
 (30)
EQN. 30 представляет собой набор обыкновенных  дифференциальных уравнений, описывающих движение ансамбля петель, как эволюционную динамическую систему. Как правило, два численных времени
интеграции методов возможны для решения этой системы уравнений: скрытые и явные классы процедур. Позже мы будем обсуждать точность и стабильность вопросов, связанных с каждой схемой.
В настоящее время признано, что многие фундаментальные исследования пластичности требует уровни временного и пространственного разрешения с сопутствующим вопросом на руку. Например, атомное пространственное разрешение и пико-секундное временное разрешение оба необходимы для исследования внутренних (intrinsic) свойств одиночных дислокаций, или для одного взаимодействия дислокации с атомным размером дефектов. Однако, развитие материальных уравнений поликристаллических материалов не обязательно требует такого высокого уровня разрешения, в основном  потому что статистическое усреднение берется из мельчайших деталей. Это огромный круг проблем в - между, охватывающий поведение деформации нано-, микро-, и одного кристалла материалов, всеми способами вплоть до деформации поликристаллического материала. Число численного моделирования подходов бывших в стадии разработки в последние годы, с акцентом на решение конкретных механизмов взаимодействия дислокации, или на коллективное поведение дислокаций ансамблей. Эти подходы различаются в основном представлением геометрии петли дислокации, способом, которым упругое поле и самостоятельная энергия рассчитывается, и некоторые дополнительные подробности связанные с тем как границы и условия интерфейса обрабатываются (handled).  Тем не менее, методы могут быть дифференцированны, и могут быть разделены в одну из следующих категорий:
1. Решетка Метод: [89] - [98]:
Здесь, прямых дислокаций сегменты (либо чистый винт или край в ранних версиях, или смешанный характер в более поздних версиях) позволяют скачок на специфические сайты и ориентации решетки.
2. Метод группы: [99] - [100]:
Прямых дислокаций сегменты смешанного характера вносятся в жесткой моды тела вдоль нормали к их средним точкам. Не нуждается в информации упругого поля, так как явные уравнения сил взаимодействия, разработанные Иоффе [101] непосредственно используются.
3. Метод дифференциального напряжения: [102] - [104]:
Поля напряжений дифференциальной прямой линии элемент на дислокацию вычисляется и интегрируются численно, чтобы дать необходимую силу Пич-Келер. Процедура Браун [105] затем используется для удаления особенности связанной с расчетом собственных сил.
4. Параметрический метод: [85] - [88], [107]:
Дислокация петли делятся на смежные сегменты представленые параметрическим пространством кривых. Уравнения движения для узловых атрибутов (например, положение, касательные и нормальные вектора) выведены из вариационного принципа энергии, и однажды определено, сплошной дислокации петлю можно геометрически представить как непрерывную (по второй производной) композитную пространственную кривую. Параметрической динамики дислокаций (ПДД- PDD) методология основана на двух основных принципах, которые часто используются в современных численных методах сплошных сред механики (т. е. метод конечных элементов МКЭ -FEM) [86], [88].Первый- часть энергии основана на вариационном принципе, что позволило бы получить уравнения движения (УД) из сокращенного набора степеней свободы (СС-DOF) представляющих систему. Второй принцип -
16
кинематическое предположение о том, как перемещение или деформация поля предполагается варьировать в заданной области континуума. Чтобы провести аналогию, минимизация Гиббса свободной энергии одного цикла на его виртуальное движение во внешних и внутренних полях приводит к МНВ, предполагая сплайн-функции между некоторыми фиксированными узлами на петли дислокации соответствуют кинематическому предположению механики сплошных сред.
5. Микроэластичность фазового поля метод: [108] - [110]:
На основании Хачатурян-Шаталов (ХШ -KS) взаимной теории пространства деформации в произвольной упруго однородной системы ненаполненого (misfitting) когерентного включения встроенного в родительский фазе, рассмотрения отдельных сегментов всех линий дислокаций не требуется. Вместо этого, временная и  пространственная эволюция нескольких функции плотности профилей (поля) рассматриваются.
Вектор формы в уравнении. 24 может быть интегрирован для петли сложной формы ансамблей, путем применения  быстрого метода суммы [85]. В типичном компьютерном моделировании ДД, формы петли ансамблей
развивались с помощью уравнений движения для обобщенных координат представляющих позицию, касательные, и нормальные векторы узлов на каждом цикле. Рис. (9) показывает результаты таких расчетов для моделирования пластической деформации в одном кристалле меди  под действием медленной рампы стресса. Начальная плотность дислокаций ; = 2 ; 1013 м-2 была разделена на 68 полных циклов. Каждый петля содержит случайное число прямых скольжения и сверх-поворотного (superjog )сегментов. Когда подготовленая или
расширяющаяся петля пересекает моделирование объема 3 мкм длины стороны, сегменты, которые лежат вне моделирования границы периодически отображаются внутри моделирования объема, чтобы сохранить трансляционные инвариантности деформации, без потери линий дислокации. Первоначально прямая географическая дислокация микроструктуры развивается под приложенным напряжением ;xx = 120 МПа на рис. 9-а, и 165
МПа на рис. 9-б [88].
17
0 1000 2000 3000 4000 5000 Z ()
0 1000 2000 3000 4000 х ()
1000 2000 3000 4000 у ()Х Ц Z = ; 120Mpa
0 1000 2000 3000 4000 5000Z ()
0 1000 2000 3000 4000 х ()
1000 2000 3000 4000у () Х Ц Z ; = 165 МПа
(А) (б)

Рис. 9. Результаты компьютерного моделирования для дислокации микроструктуры деформации при одноосном примененном напряжении.
Е. Статистическая механика -СМ SM
Ряд подходов для физического описания неоднородной пластической деформации и следующие понятия статистической механики, возникли в течение последних двух десятилетий. Фундаментальная трудность здесь в том, что дислокации, в отличие от частиц, линейных объекты значительной топологической сложности. Поэтому, когда понятия статистической механики и теории скорости процессов используются, некоторые уровни феноменологического описания неизбежны. Мы представляем здесь, как
один пример, реакции-транспортный подход к образованию стойкой полосы скольжения (СПС PSB). В этом подходе, система должна состоять из почти неподвижных дислокаций леса, и подвижных дислокаций, движущихся на их плоскостях скольжения. Связанные кинетические (оборотные rate) уравнения для соответствующих плотностей дислокации получены в духе дислокации динамических моделей (derived    derived), например, по Гониему и др.. [111] для ползучести, или Вальграев (Walgraef) и Айфатис (Aifantis) [32] и Кратович (Kratochvil) [112] для дислокации формирования микроструктуры в усталости.
Статическая плотность дислокаций, образованных иммобилизацией дислокаций леса, подзерна стен или границ, определяется как ;s и мобильная плотность дислокаций для дислокаций скольжения между препятствиями определяется как рm. Для простоты мы будем рассматривать первые системы ориентированые на одно скольжение. Таким образом, мобильная плотность дислокаций, рm разделена на два подпункта- семьи плотности представляющих дислокации, скользящих в направлении вектора Бюргерса (;+m) или в обратном направлении (;-m) (c рm = ; +m + ;-m). Эти дислокации плотности связаны со скоростью деформации через Орована соотношение:
; (31)
где b длина вектора Бюргерса, рm общей мобильной плотности дислокации и vg скольжения скорость в первичной плоскости скольжения. Кроме того, дислокации плотности связаны с внутренним напряжением по соотношению:
18
 (32)
с ;-модуль сдвига и ; являются постоянными. В последнее уравнение первый взнос идет от препятствий, таких как осадки или уже существующие стены, разделенные эффективным ; расстоянием и, вторая часть представляет собой вклад от статического населения дислокации, которая также выступает против дислокации движения. Внутреннее напряжение, ;i, уменьшает эффективное напряжение, ;e, действующее на дислокации и где последнее определяется следующим образом:
;e = ;a - ;i (33)
с ;a представляющим приложенное напряжение. Наконец, скорость скольжения связана с эффективным напряжением через соответствующие  феноменологические соотношения выражения того, что индивидуальные движения дислокаций начинаются, когда эффективные напряжения, действующие на дислокацию превышают предел текучести. Это, например, можно записать в виде:
 (34)
или
 (35)
где ;0 является пределом текучести и m> 1. Существенными признаками дислокации динамики -, на с одной стороны, их подвижность, доминирующая пластическим течением, но которая включает в себя термодиффузию и восхождение, и, с другой стороны, взаимные процессы взаимодействия.
Существенными признаками дислокации динамики -; их подвижность, доминирующая пластическим течением,  которая включает  термодиффузию и восхождение, и взаимные процессы взаимодействия.   Принимая в счет эти механизмы,  результат динамической системы можно записать в виде [32]:


(36)
где ; является характеристической длины разделения между дислокациями для спонтанной аннигиляции [114], d является характерной длиной спонтанного дипольного распада, ; - частота дислокации освобождения от леса  и пропорционально , где  является характеристическим диполем
де-стабилизационная длина которого обратно пропорциональна эффективному напряжению, и ; = ;0vg;e. Различных характеристические длины представлены здесь, или по крайней мере  порядок величины, может в принципе может быть оценен из микроскопических анализов [113114]. Из-за взаимного взаимодействия, термической активации восхождения, подвижность дислокаций леса представлен диффузионным током , который представляет эффективную диффузию в лесу. Ток мобильных дислокаций принят как  и представляет собой поток вызванных скользящих дислокаций, в данном случае, это поток, причиненный их компонентом края. Стабильность и численные анализы предыдущего набора уравнений предоставили информацию об условиях формирования СПС усталости образцов. Показано, что СПС формирования вызваны кластеризации дислокаций или дислокациями диполей, которые становятся неподвижными и организовать себя в регулярно расположенные стены высокой плотности дислокаций [32].
Другой статистического динамического описания был предложен Краточвиль (Kratochvil) и др. для первых этапов становления СПС. Она основана на эволюции дипольных петель, вызванного их взаимодействием со скользящими дислокациями [115-117]. Предлагается статистическая модель реакции- транспорта типа, и фокусируется на обратную связь между эволюцией скорости скольжения и плотностью диполей.
19
В результате радикальных дипольных петель винтовыми дислокациями, которая инициирует образование дислокационных стенок. При таком подходе, диполь поколения и взаимодействия играет второстепенную роль, и вводится  специально (an ad hoc) и качественно.
В этих разбирательствах, Томпсон (Thomson) и др.. [38] также представили новую модель пластичности для одного кристалла металла. Ими предлагается статистический подход опираясь на фундаментальные замечания, что деформация характеризуется частично упорядоченными внутренними дислокациями стены структур, разрывные деформации всплесков во времени, и локализации деформаций в зонной структуре поверхности скольжения. Протекание деформации модели соответствующее элементарной линии скольжения вызывает события, с протекания параметры поставляются из экспериментов и динамики дислокации исследования стеновых конструкций, было разработано. Они предложили модель для локализации линий скольжения в полосы, которая предусматривает каналы для скольжения образованные из плотных плоских стен. Их континуум модель основана на двух различных материалов свойствах в полосах скольжения, и в матрице между полосами.
III. Письменный вывод текущих вопросов
В этом симпозиуме, 23 материала были представлены по темам, охватывающих входящий спектр моделей в рамках различных масштабов  моделирования материалов. Статьи следующие этому обзорному докладу являются представителями состояния искусства теоретических и экспериментальных методологий для задач механики материалов в нано-и микро-масштабе. Они классифицируются в атомистических, мезоскопических и сплошных сред моделях. В следующем, мы даем краткое введение тем, охватываемые этими статьями.
А. Атомистические Модели
Пять статей сосредоточены на атомистическом моделировании дефектных структур в твердых телах. Микроскопические дефекты играют решающую роль в определении материалов откликом на внешние напряжения за пределами упругой реакции, и имеют собственные (intrinsic) атомные структуры. Таким образом, атомистическое моделирование имеет решающее значение для выяснения
подробных механизмов, действующих в течение материалов ответов.
Вэй и др.. [118] представили МД симуляции изучения механики углеродных нанотрубок при одноосном сжатии, и эта работа иллюстрирует возможности атомистического моделирования в исследовании наномеханики. В этой работе, Терсоффа-Бреннер связи- порядка потенциал используется для точного описания химического разрыва связи и формирование процессов в углеродных нанотрубках. Авторы сосредоточили свою работу моделирования по пластиковому отклику углеродных нанотрубок при большой деформации  за пределами напряжения текучести. Чтобы найти реалистичные механизмы, методы ускорения температуры были использованы для преодоления энергетического барьера и выхода из локального минимума энергии конфигураций. Показано, что при Т = 0 нанотрубки до 12% деформации сжатия не имеют пластичного отклика подтверждающего предыдущие выводы других симуляций MD. Авторы систематически увеличили температуру
T = 300, 800, 1200 и 1600 K для исследования температурных эффектов и обнаружили, что существует два различных механизмов пластичности: алмазоподобных тетраэдрического формирования граней, и дислокации
образования пар (также известный как дефект Cтоуна-Уэльса). Эта работа подтвердила важность проблемы масштаба времени в атомистическом моделировании для  высокой температуры моделирования с высокой скоростью деформации  будет иметь аналогичные последствия, как низкая температура моделирования с низкой скоростью деформации.
Ли и Ип (Yip) [119] рассмотрели атомистические моделирования для определения прочности материала основанные на ключевом докладе (key-note)  прочитанном  С. Ип на симпозиуме. В данной работе, механические критерии устойчивости упругих материалов рассматриваются и применяются для изучения кристаллов SiC при гидростатическом напряжении и Cu тонкая пленка под индентором. Для кубических SiC в 3C или ;-фазы, кривые дисперсии фононов рассматриваются под гидростатическим напряжением и чистого сдвига выяснения отношений между критерием устойчивости и фононного размягчения. Авторы изучили напряжение текучести SiC идеального кристалла, нанокристалла, и аморфных твердых тел и обнаружили, что наномасштабый размер зерна и атомного масштаба дефекты определяют предел растяжения прочности твердых тел. Их результаты приведены в масштабном поведении около Холла-Петча отношения при больших размерах зерна от нанозерен  до аморфных твердых тел. Использование жесткого наноиндентора на Cu (111) поверхности, авторы обнаружили, что пластическая реакция тонких
20
плёнок идет через прерывистую пластичность, в которой взрыв дислокации испускается под индентором. Наконец, авторы представили взгляд на роль многомасштабного моделирования для прочности материалов.
Атомистического моделирования метод применяется для исследования механизмов зарождения дислокаций из W тонкой пленки в процессе напыления  Лю и др.. [120]. В данной работе (owrk) авторы использовали Финниса-Синклера форму потенциал W (1 ° 10) тонких пленок под условием роста добавления W атомов с 0,01 эВ кинетической энергией. Одноосное растягивающее напряжение от 13 ГПа применен вдоль [111], чтобы имитировать эффекты несоответствия подложка-пленка. Детальные исследования проводились с очень высокой
температурой (2500 К) для ускорения кинетических процессов в MD масштаба времени. Из моделирования,  обнаружено, что зарождение дислокаций инициирует на поверхности шаги и, как следствие резкий шаг поверхности был передвинут, чтобы уменьшить деформацию поверхности  через движение дислокации.
Лин и Чрзан (Chrzan) [121] исследовали также дислокации используя атомистическое моделирование. Авторы сконцентрировались на исследовании  ядра структуры и энергетика 90; частичной дислокации в кристалле кремния. Терсоффа потенциал используется для определения оптимизированной атомной конфигурации и энергии дислокации под гидростатическим напряжением. Детальные анализы проводятся для двух различных структур ядра дислокации: одинарный период (ОП- SP) реконструкции и двойной период (ДП) реконструкции. Авторы использовали периодические граничное условие для бесконечной решетки дислокаций и периодические эффекты взаимодействия компенсируются посредством сплошной среды упругими анализами. Точность
этих анализов проверяется с использованием цилиндрических граничных условий с увеличением радиуса до 70 ° а и было получено хорошее согласие подтверждающие обоснованность использования периодического граничного условия. В нулевом внешнем напряжении ДП ядро реконструкции оказывается более стабильным на 7 мэВ /А°, но это также установлено, что напряжения сдвига уменьшает относительную стабильность ДП по сравнению с ОП  реконструкциями. Когда гидростатическое давление применяется для кристалла кремния разность энергий еще больше снижается,  ведя к напряжениям индуцированного фазового перехода дислокационной структуры ядро от ДП к ОП реконструкций. Это переход структуры ядра может бледнее (paly) важную роль в дислокационной кинетики.
Курамото и др.. [122] должны исследовать взаимодействия точечных дефектов (атомов и вакансий) и микроструктур (дислокации, интерстициальных кластеров, и укладки ошибок тетраэдров) используя EAM-типа потенциалы для ОЦК Fe и Ni ГЦК кристаллов. Авторы провели детальное изучение энергетики взаимодействия между точечными дефектами и микроструктурами ведущей к захвату зоны анализов при 500 ; C. Установлено, что сами интерстициальные атомы (краудионы и бамббелс- толпа ионов,  бьющие колокола crowdions bumbbells) имеют большую зону захвата, чем вакансий для краевой дислокации в Fe и Ni. Захват зоны само интерстициальных (межузельных) атомов по межузельными кластерами меньше, чем краевых дислокаций для Fe. Захват зон укладки ошибок тетраэдров  больше, чем для межузельных вакансий в кристалле Ni. Общая энергетика поясняет происхождение льготных удаления междоузлий
в ходе эволюции повреждения структуры в необлученных измерениях (meterials).  Микроструктуры захватывают межузельные дефекты и оставляют избыточные вакансии. Эти вакансии зарождаются в ходе последующей эволюции, ведущей к недействительным ожиданиям (foramtion) и отеку неизлучающих материалов.
В. мезоскопические модели
Три статьи требуется для этих разбирательств обращенны аспектам мезоскопической пластической деформации, с теоретической [38], вычислительной [123] и экспериментальной [124] точек зрения. Томпсон и др. [38] представили многомасштабную теоретическую основу для металла пластичности простых кристаллов. Их подход основан на экспериментальных наблюдениях, что деформация характеризуется частично упорядоченными внутренними дислокациями стены структур, разрывные очереди деформации разрываются во времени, и локализации деформация в зонной структуры поверхности скольжения. Основной подход следует статистических протекания деформации модели, что (whic) соответствует элементарных событий взрыву линии скольжения. Феноменологические параметры протекания в их модели  поставляется из экспериментов и исследований динамики дислокаций структуры стены. Модели для локализации линий скольжения в зоны предлагается, что
предусматривает каналы для скольжения образована из плотных плоских стен. Это собранная (suplemented) моделью континуума, которая построена из выходов модели протекания. Модель континуума имеет две основные внутренние переменные, и представляет желаемый режим закалки с деформацией.
 Модель континуума основана на двух различных свойствах материала в полосах скольжения, и в матрице
21
между полосами. Но (Althou) их  анализы  не включают дислокации структурирования механизмов, они адресуют транспорт дислокаций через эти структуры.
Работа Мартинес и Гонием [123] основное внимание уделяет прямой связи динамика дислокаций (ДД) с метода конечных элементов (МКЭ) для моделирования пластической деформации микро-масштаба структур. Они пытаются адресовать эффект поверхности кристаллов на движение  дислокаций. Трехмерная ДД моделирования BCC простых кристаллов с одного цикла сдвига в (101) - [111] системе скольжения осуществляется для изучения взаимосвязи между петлей распределения силы и приближения петли к границам кристаллов. Тяговые граничных условий на одной модели кристалла
выполняются через суперпозицию дополнительных полей напряжений вычисляемые по МКЭ, и поля упругих напряжений дислокаций вычисляемые по ДД. Деформация и расширение петель дислокаций рассчитываются с использованием вариационной энергии метода Галеркина, и геометрия равновесия определяется. Деформации Франка-Рида (ФР FR) источник в одной модели кристалла также определяется в их компьютерных симуляциях. Их результаты показывают, что силы поверхности кристалла играют значительную роль в распределениях дислокации сил и деформации на глубину от поверхности, которая пропорциональна радиусу петли. Большие распределения силы вне-на-плоскости на замкнутых петлях на ориентации косого скольжения плоская/свободная поверхность показаны. Эти силы действуют в таким образом как для отражения петли движения от пересечения плоскости скольжения со свободной поверхностью, в то время вызывая деформации через механизм поперечного скольжения. Расширение или сокращение сдвига петель найдено зависимым от критического приложенного напряжения, радиус кривизны, и близость и ориентация петли по отношению к поверхности кристалла.
Экспериментальная работа, которая направлена на проверку динамики дислокации моделей была представленна Хсуинг (Hsuing) и Лассила [124]. В этой работе, исходной микроструктуры дислокации в специально (asannealed) высокой чистоты Mo простых кристаллов и деформация подструктур кристаллов сжатых при комнатной температуре на разных скоростях деформации были рассмотрены. Основной целью данной работы является  определение физических механизмов размножения дислокаций и движения в ранних стадиях пластической деформации. Начальная плотность дислокаций была измерена  в диапазоне 106 ~ 107 см-2. Многочисленные возрастающие  суперсгибы ( grown-in superjogs) наблюдались вдоль линии винтовой дислокации. После испытания на сжатие, плотность дислокаций (в основном винтовых дислокаций) увеличилась до 107 ~ 108 см-2. Форма дислокационных диполей в результате неконсервативного движения согнутых винтом дислокаций оказалась в зависимости от скорости деформации. При низких скоростях деформации (например, ; ~ 10-3 с-1)
малых концентраций дислокационных диполей были обнаружены в кристаллах. Однако, больше каспов (cusps) вдоль винтовой дислокации линий и многочисленные диполи дислокации наблюдались в кристаллах сжатых со
скоростью деформации 1 с-1.
C. Модели сплошных сред.
Две работы в этом разбирательстве имели дело с приложениями механики сплошных сред к многомасштабным материальным проблемам, в частности, представляют процессы разрушения [125], и поверхности законы во время скольжения [126]. Недавно разработанной виртуальной внутренней связи (ВВС- VIB) модель вобрала в себя сплоченного типа закона в учредительных уравнениях (lequations), например, что разрушение и отказ встроены в учредительный закон, и не отдельные критерии отказа не требуются. Жанг (Zhang) и др.. разработали численный алгоритм модели ВВС при статических нагрузках. Модель применяется для изучения три примера: (1) трещины зарождение и распространение с сайта концентрации напряжений; (2) скручивание и последующее распространение трещины моды II, и (3) коробления-управляемое отслоение тонкой пленки от ее подложки. Их результаты показывают (shwon), что модель ВВС обеспечивает эффективный метод для изучения трещины зарождения и распространения в конструкционных материалов.
В другой работе по механике сплошных сред, вложение микромеханических моделей в макромеханической формулировке выполняли вариационным методом многих масштабов [126]. Масштаб разделения вводится в поле смещений в грубом и точном (finne) масштабе компонентов. Точного масштаба перемещение управляется желаемой микромеханической моделью, и устраняется, выражением его в условиях грубого масштаба перемещения и остальных полей в задаче. В результате макромеханическая формулировка ставится исключительно в условиях  грубого масштаба смещения, но зависит от точного масштаба, тем самым она имеет  многомасштабный характер. Процедура выводит
22
в вложения микромеханической модели в макромеханической формулировке. Гарикапати (Garikapati) применил этот главный подход к частным случаям тяги-смещения законов на внутренних поверхностях. Численные примеры были представлены, которые демонстрируют метод нескольких эталонных проблем.
IV. ТЕКУЩИЕ ПРОБЛЕМЫ
Область Многомасштабное моделирование материалов пожалуй не нова или даже роман! С первых дней современной физики, ученые пытались разработать простые математические отношения, что может уменьшить огромное число степеней свободы СС в данной системе его голого минимума. В самом деле, такой подход вполне согласуется с нашим желанием уменьшить число наблюдаемых к тому, что можно реально воспринимать. Магия статистической механики, например, заключается в том, что коллективное поведение атомов бесконечных степеней свободы может быть описано простыми законами масштабирования. Эта тенденция связана с тем, что усреднение работает очень хорошо, когда вещи далеки от катастрофы! Таким образом, большая часть достоверной информации в (cosntitutive)  уравнениях состояния представляет некоторое усредненное поведение многих, многих атомов. Однако, когда рассматривается материал систем на нано-и микро-масштабе, многие из этих понятий начинают представлять реальную проблему. Как мы обсуждали раньше, закон больших чисел, который является центральным в статистической механике, не подводит в ситуациях, когда у нас нет адекватной выборки в фазовом пространстве. Во  времени значения, этап переходов, зарождения, пластичности и разрушения - всех критических явлений, которые представляют материал катастроф, и следовательно методы усреднения не дадут правильную информацию.
Тем не менее, появление крупномасштабных вычислителений пропеллирует искусство и науку о моделировании материальных явлений в томном новом направлении. Вместо того чтобы пытаться уменьшить сложность поведения материала систем процессом уменьшения ее степеней свободы СС, один пытается представить большое количество СС, и решать их численно! Результат- реальный численный эксперимент,  исход которого не известен априори. Ли, что смысл может быть подтвержден только перед выводами компьютерного моделирования с ограниченным диапазоном экспериментальных наблюдений. Более десяти лет назад, такой процесс был просмотрен с большим скептицизмом. В частности, этот скептицизм связан
с реализацией того, что компьютерное моделирование также основано на некоторых специальных предположениях, и , что численные по-прежнему представляют собой брутто приближения. Тем не менее, последнее десятилетие показывает огромные авансы на количество вычислительных и физических фронтов, которые уменьшают большинство того скептицизма. Авансы (Adavancs) были сделаны в методах атомистического моделирования, с лучших и более строгих способов приближения квантово-механического поведения атомов и молекул. Эти авансы были подкреплены способностью разрабатывать эмпирические, но физически основанные межатомные потенциалы для проведения более точного моделирований классической MD. Моделированный размер системы также увеличился почти экспоненциально, в течение последнего десятилетия, благодаря увеличению вычислительной мощности и снижению его стоимости. Связь между классическими MD и расчетами ab intio в настоящее время предпринимаются в чистой и строгой моде.
На мезо-масштабе, в, между атомистическим и макроскопическим, несколько попыток сделали возможным найти новых дороги в моделировании этого запрещенного режима! Более десяти лет назад, было только 2-D компьютерное моделирование коллективных явлений дислокации. Уверенность в реалистичности этих моделирования был не очень высок, так как несколько специальных правил должны были быть введены для учета процессов ближнего ранга дислокации. Тем не менее, тот факт, что некоторые явления дислокации структурообразования были демонстированы (demosnstrated) с прямыми компьютерными  симуляциями породило надежду, что можно что-то полезное сделать в этой области. В последнее время исследования (reserach) мезоскопических моделей пластичности (plsticity) пнули в высокие машины, как результат целенаправленных усилий многих групп по всему миру развить физическое описание пластической деформации. Эти усилия используют новых вычислительных методы 3-D динамики дислокаций, а также новых физические статистические модели для коллективного поведения дислокаций.
Хотя это и чувствовал теперь, что рано или поздно, когерентного описание механики материалов появится, и что такое описание будет физически основано без каких-либо специальных предположений, дорога до сих пор не совсем чиста. Количество проблемы и препятствий сохраняется, как мы кратко обсудим
их в следующем. Основные проблемы в развитии бесшовных различных масштабов моделирования методологии длины масштаба, масштаба времени, численная точность и самосогласование 
23
многомасштабных моделей,  описаны ниже.
А. Масштаб длины
Число атомных степеней свободы в типичной системе материала чрезвычайно велико, и если одна- модель кубического микрона материала, уравнения движения нескольких миллиардов атомов должны быть решены численно. В масштабе длины  субконтинуума, материальная система интересов, как правило, достаточно малы, что нынешние возможности вычислительной могут моделировать реалистично. Кроме того, существует несколько методов многомасштабных объединения атомистической и сплошной среды модели в рамках одного симулирования. Эти атомистические и многомасштабные методы были успешно примененены для исследования разнообразных структур дефектов в  статическом или квазистатическом описаниях.
Хотя некоторые аспекты проблемы масштаба были преодолены в том смысле, что можно моделировать интересную материальную систему с полной подробностью атомного масштаба, на мезо-масштабе остается очень сложной задачей структурной сложности. По мере увеличения числа атомов в системе, возможный локальный минимум энергии конфигураций также растут очень быстро. Анализ N атомного кластера показывает, что число местных минимальной конфигураций энергии растет быстрее, чем EN. Не зная всех значений относительной энергии этих локальных конфигураций, очень трудно подготовить исходные атомные конфигурации, которые имеют  непосредственное отношение к реальной физической системе. Это проблема настройки кратности тесно связано с другими проблемами масштаба времени и точности атомистического моделирования. Если один может запускать симуляции достаточно долго для системы, следуя через все соответствующие конфигурации, сложность атомных структур может быть преодолена систематическими выборками с различными начальными конфигурациями. С другой стороны, неточности межатомного потенциала могут внести ошибки в относительные энергии различных конфигураций, а также в энергии барьеров, разделяющих различные конфигурации. Обе эти проблемы серьезно влияют на надежность атомистического моделирования.
Хотя существенный недавний прогресс в последнее был сделан в мезоскопической области моделирования, число нерешенных проблем остается. Как размер системы становится в нано-и микро-масштабе, применения 3-D DD становится очень привлекательными. Количество петель дислокации, необходимых для представления полномасштабной пластичности субмикронных кристаллов относительно управляемой, и решение требует интеграции нескольких тысяч уравнений движения. Однако, дальнего ранга природа напряженное поля дислокаций, топологическая сложность линий дислокации, лечение периодических граничных условий, что обеспечить согласованность статистических результатов, точное решение взаимодействия дислокаций с поверхностями и включение упругой анизотропии и инерционных эффектов в динамику дислокаций остается как жесткие, но выполнимые задачи в ближайшем будущем. Более сложной проблемой поликристаллического пластичности потребует дополнительных прорывов, из-за концептуальных трудностей подключения ДД к модели пластичности кристалла в самосогласованные моды. Главный вопрос здесь в том, как сохранить характерный масштаб длины из дискретных дислокаций в континуума описании. Разнообразие теорий градиента деформации было предложено в течение последнего десятилетия. Так как большинство их сформулированы в феноменологическом образе, характеристическая длина - масштаб в вызове (invoked) в теории, без строгой процедуры   происхождения дислокации. Кроме того, есть указания что один масштаб не всегда реалистичен, и что спектр масштабов может быть более необходим. Эти вопросы требуют интенсивных исследований четко определить связь между мезоскопическими моделированиями и механикой сплошных сред.
В. масштаб времени
Тяжелым ограничением (limitaions) на общее время моделирования в атомистическом моделировании является результатом собственной временной шкалы атомной динамики, которая, как правило,  порядка фемто секунд. В численного моделирования с использованием метода конечных шагов по времени, размер шага должны быть достаточно маленькими, чтобы сохранить численное моделирование стабильным. Суб-континуум эволюции микроструктуры не равновесия процесс, и есть сложный дефект структурных изменений в кинетических процессах. Таким образом, это необходимо следовать динамичному развитию системы над реалистичным экспериментальном масштабе времени, чтобы
24
точно описать механизмы эволюции микроструктуры. Экспериментальный масштаб времени очень длинный (микро секунд или больше), по сравнению с атомным масштабами времени, так что более миллиарда шагов по времени
 необходимы для этих экспериментов.
Разнообразные методы моделирования в настоящее время разработаны для преодоления этой проблемы масштаба времени. Эти усилия основаны на наблюдении, что в то время как атомный масштаб времени определяется тепловым движением атомов вокруг местной минимальной конфигурации энергии, кинетическая эволюция микроструктуры продиктована гораздо медленными переходами между соседними локальными минимумами конфигураций.  Кинетическая Монте-Карло (КМК) является популярным методом для преодоления атомной шкалы времени проблемы развивающейся системы непосредственно из одной конфигурации в другую конфигурацию без теплового движения атомов. Однако, КМК требуется полный список возможных событий для моделирования времени эволюции системы, и этот список известен как каталог событий. Точность КМК критически регулируется точностью и полнотой каталога событий. Если критические события отсутствует в каталоге,  результат КМК эволюции не может дать полезную информацию о моделируемой системе. То же рассуждение относится и к точности скорости перехода в каталог событий.
Другой подход к преодолению ограничений по времени в масштабе атомистического моделирования состоит в изменении MД схемы таким образом, что длительность теплового движения сокращается, или что конфигурация поиска ускоряется. Несколько перспективных методов (например, гидродинамики) в настоящее время разработаны, но общее применение этих новых методов сложных атомных процессов уже представлено, чтобы быть прочным. Еще одним перспективным направлением является разработка систематического схемы поиска возможных событий с помощью ускоренных методов MД или прямой поиск методов  конфигурационного пространства. Устройства закрывания двери (УЗД nugged elastic band NEB) является такой метод, который может быть использован для определения переходных состояний разделяющих начальные и конечные конфигурации. Этот систематический поиск событий позволит систематическое развитие каталогов событий для моделирования КМК.
При рассмотрении эволюции дислокации микроструктуры, подобные имитации сразу очевидны. Когда две дислокации взаимодействуют с близкого расстояния, например, в случае перехода или диполя формирования, динамика очень быстра, со временем шагов порядка пикосекунд. С другой стороны, эволюция дислокации клеточных стенок и стойких полос скольжения происходит на гораздо большем масштабе времени, на порядок килосекунд, характеристика процессов усталости и ползучести. Эти переходы от прямого моделирования ДД (которые на самом деле для очень малых масштабов времени) к большему времени масштабу- характеристика экспериментальных наблюдений остается проблемой.
C. Точность
Точность межатомных потенциалов в классической атомистического моделирования (MD, MC, КМК) является критической проблемой, поскольку межатомные потенциалы являются надежными только в пределах параметров установки. Таким образом, вопрос о влиянии точности эмпирических межатомных потенциалов на прогнозы атомного моделирования больших систем неприятный, и ставит под сомнение верность от окончательных выводов. Точности проблема может быть преодолена  квантовым моделированием, но жесткое увеличение вычислительных затрат, связанных с квантовыми моделированиями ограничивает ее применимость к очень маленькой нано-шкалы системе. Пока точности проблема межатомных потенциалов является неотъемлемой в классическом атомистическом моделировании, необходимо понять диапазон действия каждого межатомного потенциала. На основе ясного понимания ограничений и точности межатомных потенциалов, можно будет извлечь достоверные выводы из атомистического моделирования.
Мезоскопические моделирования также сталкивались с серьезными вопросами точности в течение прошлого десятилетия. На низком уровне желаемой точности, дислокации может быть дискретизованы в относительно длинные отрезки со средним Пич-Келер силами, действующих на них, и с грубыми оценками собственных сил переподготовки их. Некоторые методы, как обсуждалось ранее, появились, чтобы породить более высокого уровня точности и строгости к этим ранним процедурам. В этой связи, эталонные тесты проблемы были использованы для оценки точности моделирования, с добавлением строгости к подлежащей теории. Однако, когда один рассматривает полностью анизотропные материалы, или в действительно динамических приложениях, таких как высокоскоростные деформации, вычислительная цена увеличивается на несколько порядков величины для достижения такого же уровня точности.  Ожидается, таким образом, что различные уровни приближения будут
25
 применимы для решения конкретных задач, и что в некоторых случаях, строгая процедура будет переворачивать, а в других,  не может дать точной информации. Здесь задача состоит  определить, где и как применять различные уровни приближения с мезоскопическим моделированием.

Д. Самосогласованность мультишкальных моделей.
В настоящее время, как представляется, будет большая потребность в разработке главных математических и численных методы для действительно бесшовного многомасштабного подхода к компьютерному моделированию нано – и  микро- систем. Пока поле находится в зачаточном состоянии, вычислительная техника разработана в пределах указанного диапазона пространственных и временных масштабах. Так кажется чтобы  понять то, что переход от одного диапазона пространства-времени в другой осуществляется процессом рукопожатий, что является информация, полученная на меньших масштабах суммируется в конечный набор параметров, и проходит на высшей шкале. Эта процедура является приемлемой, так долго как, такие параметры четко определены, и представляют собой строгое сокращение огромного числа степеней свободы в низшем масштабе длины в несколько обобщенных степеней свободы представленых этими параметрами. Однако, теоретические
фонды и вычислительные осуществления более строгого процесса остаются нерешенными. Если так может быть сформулирована концепция степени свободы от того, что связывает с пространством-временем (например, геометрия), с тем , что представляет статистическую конфигурацию (например, проводимость,
мобильность и т.д.), то плавные переходы между различными масштабами длины могут быть разработаны.
V. Будущие направления
Многомасштабное моделирование материалов (М3) на самой ранней стадии развития, и  многие научные и математические проблемы отложены для будущего. Это богатые области физических, численных, вычислительных и математических задачи. Оно также будет играть ключевую роль в методологии моделирования и проектирования для новой развивающейся области нанотехнологий. Практическое применение многомасштабного моделирования будет в анализах и проектировании нано-и микро-масштаба устройств, и мы ожидаем, что следующее десятилетие будет иметь решающее значение для этого развития. Есть много интересных технических наук проблем, а также практические нано-и микро-устройств приложения ждут нас для исследования с M3. Ключевые проблемы, подлежащие изучению в будущем являются: (1) ограничения в масштабе времени в точечной и мезоскопических симуляциях, (2) ограничения (limitaions ) в  масштабе длины в точечной и мезоскопических симуляции, (3) эффекты моделирования точности на результаты моделирования, и (4) развитие самосогласованных бесшовных методов различных масштабов.



Благодарности.
Исследования при поддержке Министерства энергетики США, Управление по термоядерной энергии, через Грант DE-FG03-00ER54594, и Национальный научный фонд (ННФ -NSF) через грант DMR-0113555 с Лос-Анджелесе, и Министерство энергетики США, через грант Министерства энергетики PG03-99ER45788, и Национальный научный фонд  посредством гранта NSF ЕЭС-0085569, с Стэнфордского университета. Вклад г-н Мин Вэнь к обсуждению КМК ценится.


[1] Пэн, С.; Чо, К. (в печати, 2002): Наноэлектромеханика полупроводниковых углеродных нанотрубок. J. Appl. Механика.
26

[2] Амодео Р. Дж. (Amodeo, RJ); Гонием Н.М. (Ghoniem, N. М.) (1988): Обзор экспериментальных наблюдений и теоретические модели дислокационных ячеек и субзерен. Res Механика, том. 23, pp.137-160.
[3] Муграби, H. (1987): 2-параметра описания гетерогенной дислокации распределений в кристаллы деформированного металла. Материаловедение и техника (Engeering), том. 85, стр. 15-31.
[4] Муграби, Х. (1983): Дислокационная стенка и клеточные структуры и дальнодействующие внутренние напряжения в кристаллах деформированного металла. Acta Mettalurgica, том. 31, (п. 9), стр. 1367-1379.
[5] Лепину Дж(Lepinoux, J.) ; Кубин, Л.П. (1987): Динамическая организация дислокации структур: моделирование. Scripta Митр., Vol. 21, стр. 833-838.
[6] Гонием Х.М., Aмодео, Р. (1988): Компьютерное моделирование дислокации структурообразования. Твердого тела явления, том. 3 и 4, стр. 377-388.
[7] Амодео (Amodeo), Р. Дж; Гонием, Х. М. (1988): Динамическое компьютерное моделирование эволюции одномерной дислокации скоплений. Международный журнал технических наук, том. 26, стр.653-662.
[8] Гонием Х.М., Aмодео, Р.Дж (1990): Численное моделирование дислокации моделей во время пластической деформации. В структурах, дефектах и материальных неустойчивостях, ред. Д. Волгриф и Х. М.Гонием. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, стр. 303.
[9] Aмодео, Р.Дж; Гонием, Х. М. (1990): Динамика дислокаций: Часть IA Предложенный Методология для деформации микромеханики.  Физическое обозрение, том. 41, стр. 6958-6967.
[10] Aмодео, Р.Дж; Гонием, Х. М. (1990): Динамика дислокаций: Часть II-Приложения к формированию стойких полос скольжения, плоских массивов, и дислокационных ячеек. Физики Обзор B, том.41, стр. 6968-6976.
[11] Aмодео, Р Дж; Гонием, Х. М. (1991): Быстрые алгоритмы для дислокации динамики в микро- механические расчетах. В моделировании деформации кристаллических твердых тел, под ред. Т. Лоу, Т. Роллет (Rollett),
П. Фолансби, Г. Даен (Daehn), TMS Press, стр. 125.
[12] Гонием, Х. М. (1992): Нелинейная динамика сдвиговых трещин взаимодействие с дислокациями. В нелинейных явлениях в материаловедении II, под ред. Л. Кубин и Г. Мартин, Kluwer Academic
Издатели.
[13] Гулуоглу (Guluoglu),; Шролович (Srolovitz), ДДж (DJ); Лезар (Lesar), П (Р).; Ломдал РС (Lomdahl, RS) (1989): Дислокации распределения в двух измерениях. Scripta Metallurgica, том. 23, (№ 8), pp.1347-1352.
[14] Грома, И.; Поли, Г. С. (1993): Компьютерное моделирование пластического поведения монокристаллов. Философский журнал(Philosophical Magazine) (физика конденсированных сред, дефектов и механических свойств), том. 67, (№ 6), pp.1459-1470.
[15] Лубарда (Lubarda) В.А., Блюм, Ю. А.; Нидлман (Needleman), А. (1993): Анализы равновесия дислокации распределения. Acta Metallurgica др. Materialia, том. 41, (№ 2), стр. 625-642.
[16] Элазаб (Elazab), А.; Гонием, Х. М. (1993): Функция Грина для упругом поле краевой дислокации в конечной анизотропной среде. Международный журнал механики разрушения, том, 61, стр. 17-37.
[17] Ван, Х (HY); Лезар П (Lesar, Р.) (1995): O (N) Алгоритм Динамики дислокаций. Philosophical Magazine (Физика конденсированных сред, дефектов и механических свойств), том. 71, (№ 1), pp.149-64.
[18] Кубин, LP; Канова, Г.; Конда, М.; Деванкр, Б.; Понтикис Б(Pontikis, В.);Бречет Ю Brechet, Ю. (1992): Дислокация микроструктур и пластическое течение: 3D моделирование.  Диффузии и дефекты данных – твердые данные о состоянии, часть В (Твердого тела явления ), том. 23-24, стр. 455-72.
[19] Деванкр  Б., Конда, М. (1992) Aкт Мет. Матер., Vol. 40, стр. 2629.
[20] Деванкр, Б.; Понтикис, Б.; Бречет, Ю.; Канова, Г.; Конда, М., Кубин, Л.П. (1992):
Трехмерное моделирование пластическое течение в кристаллах. в Микроскопические Моделирование комплекс Гидродинамические явления, под ред. М. Маршал (Mareschal) и Б.Л. Лолиан (BL Lolian), Пленум Пресс, Нью-Йорк, стр. 413 -423.
[21] Канова, Г.; Бречет, Ю.; Кубин, Л.П. (1992): 3D моделирование дислокации пластической неустойчивости работой размягчения в сплавах. В моделировании пластической деформации и ее инженерные приложения, Ред. С. Андерсон и др.. РИС ; национальной лаборатории, Роскильде, Дания.
[22] Кубин, LP; Канова, Г. (1992): Моделирование дислокация шаблонами. Scripta Metallurgica и др. Materialia, том. 27, (№ 8), стр. 957-62.
[23] Кубин, LP (1993): Дислокация структур в течение многих скольжений ГЦК-кристаллов. Моделирование подхода. Physica Статус солидов, том. 135, (№ 2), стр. 433-443
[24] Канова Г.; Brechet Ю.; Кубин, LP; DeVincre, Б.; Понтикис (Pontikis), В.; Конда, М. (1994): 3D Моделирование движения дислокаций на решетке: Приложение к поверхности текучести монокристаллов. Микроструктуры и физические свойства, под ред J Rabiet, CH-Transtech. 27
[25] Devincre, Б.; Кубин, LP (1994): Моделирование леса взаимодействия и деформационного упрочнения в ГЦК-кристаллов. Моделированию в области материаловедения и инженерии, об. 2, (№ 3А), pp 559-570.
[26] Херт, Дж П (JP); Мана, М.; Збиб Х. (Zbib, H.) (1996): Моделирование деформации 3D моделированием мульти Полюса, изогнутые дислокаций. Журнал компьютерного дизайна Материал, том. 3, стр. 164.
[27] Збиб РМ (Zbib, RM), Мана, М.; Херт, ДжП (JP) (1998): О пластической деформации и динамика 3D дислокаций. Международный журнал Механический наук, том. 40, (№ 2-3), стр. 113-127
[28] Ри, М.; Збиб, ТМ; Херт, ДжП; Хуан, Х.; де-ла-Рубия, Т. (1998): Модели
Длиного-/короткого-ранга взаимодействия и поперечного скольжения в 3D моделирование Дислокация BCC монокристаллов. Моделированию в области материаловедения и инженерии, об. 6, (№ 4), стр. 467-492.
[29] Шварц, К. В.; Терсоффа, Дж. (1996): Взаимодействие чтения (Threading) и дислокации несоответствия в Напряженном Эпитаксиальном слое. Applied Physics Letters, Vol. 69, (№ 9), pp.1220-1222.
[30] Шварц, К.В. (1997): Взаимодействие дислокаций на скрещенных скольжениях в напряженном эпитаксиальном слое. Физические Письма обзор, том. 78, (№ 25), стр. 4785-4788.
[31] Шварц, К.В.; Ле Гус (LeGoues), Ф. К. (1997): Дислокация структур в напряженных слоях из источников на параллельных плоскостях скольжения. Физические Письма обзор, том. 79, (№ 10), pp.1877-1880.
[32] Валграев Д (Walgraef, D.); Айфантис К (Aifantis, C.) (1985): О формировании и стабильности дислокации структур. I. Одномерные соображения. Международный журнал технических наук, том. 23, (№ 12), стр. 1351-1358.
[33] Н ° Анер, П.; Bay, К.; Цайзер (Zaiser,) М. (1998): Фрактальная дислокация образца при пластической деформации. Физические Письма обзор, том. 81, (№ 12), стр. 2470-2473.
[34] Н ° Анер, П. (1996): Appl. Phys. , Том. 62, 473.
[35] Цайзер, М.; Х ° Анер, П. (1997): Колебательные моды пластической деформации: теоретические концепции. Природа статус солидов B, том. 199, (№ 2), стр. 267-330.
[36] Цайзер, М.; Авлонитис (Avlonitis,) М.; Айфантис (Aifantis,) ЕС (1998): Стохастические и детерминированные аспекты деформации локализации при циклической пластической деформации. Acta Materialia, том. 46, (№ 12), С. 4143-4151
[37] Эль-Азаб, А. (2000): Phys. Преподобный B, том. 61, стр. 11956.
[38] Робб Томсон, Л. Левин, Ю. Шим, М. Ф. Саваж (Savage,) и Д. Крамер: Многомасшабная теоретическая схема для деформирования металла. Эти процессы.
[39] Займан, JM (1972): Принципы теории твердого тела.
[40] Кар, Р.; Паринелло, М. (1985), "Единый подход для расчетов молекулярной динамики и функционала плотности Теория ", Phys. Преподобный Lett., Vol. 55, стр. 2471-2474.
[41] Шривастава, D.; Менон, М.; Чо, К. (2001): Вычислительные нанотехнологий с карбоновыми нанотрубками и фуллеренами. Вычислительные науки и техники, том. 3, стр. 42-55.
[42] Пейн, М. и др.. (1992): Итерационные методы минимизации неэмпирической полной энергии расчеты: молекулярной динамики и сопряженных градиентов. Преподобный Mod. Phys. том. 68, стр. 1045-1097.
[43] Хоенберга, П.; Кон, В. (1964): Phys. Преподобный об.136, стр. 864B.
[44] Кон, В.; Шам, Л.Дж (L.J.) (1965): Phys. Преподобный об. 140, стр. 1133A.
[45] А. Б. intio пакета моделирования (VASP) на http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp/ веб-сайта.
[46] ABINIT код на http://www.mapr.ucl.ac.be/ABINIT/ веб-сайта.
[47] ДПФ + + компьютерный код на http://elrio.mit.edu/dft++/.
[48] Молекулярное программное обеспечения для моделирования на http://www.accelrys.com/about/msi.html.
[49] Кавамото, А.; Джеймсон, Дж.; Чо, К.; Даттон, РВ (2000): Задачи для атомного масштаба Моделирования в альтернативные (Alterantive) ворота Стека техника. IEEE Trans. Электро. Dev., Vol. 47, стр. 1787-1794.
[50] Дау М.; и Баскес, М. (1983)Физ. обзор.том. 50, стр. 1285.
[51] Дау М.; и Баскес, М. (1984) Физ. обзор В том.29, стр. 6443.
[52] Пирсон, Э.; Такай (Takai,) Т. Халисоглу (Halicioglu,) Т. и Тиллер, В. (1984) Дж. Cryst. Рост, том 70, стр. 33.
[53] Стиллинджер, Ф. и Вебера, Т. (1985) Физ.обзор В., том. 31, стр. 5262.
[54] Терсоффа, J., (1986) Физ. обзор письма., Vol. 56, стр. 632.
[55] Гир К.В. (Gear, C. W.) (1971): Численное начальные переменные задачи в обыкновенных дифференциальных уравнениях, Москва, изд- Зал, Englewood Cliffs, N.J.
[56] Рапапорт, ДК (1995): Искусство молекулярной динамики, пресс Кембриджского университета.
[57] Френкель, Д., Смит, Б. (1996): Понимание молекулярного моделирования, М..
[58] Хайле, ДжM (1992): Молекулярная динамика, М. ИЛ.
[59] Ван Цзянь, Ву, CH; Хуан, Ханьчэнь (2001): Дестабилизация дислокационного диполя на высокой скорости. J. Appl. Phys. Lett., 79 (22), 101.
28
[60] А. Нюберг; Шлик, Т. (1991): J. Chem. Phys., Vol. 95, стр. 4989.
[61] Джеймс, Ф. (1990): Обзор генераторов псевдослучайных чисел. Связь Компьютерная физика, том. 60, (п. 3), стр. 329-344.
[62] Джеймс, Ф. (1980): Монте-Карло Теория и практика. Отчеты о прогрессе в физике. 43, (п.9), стр. 1145-1189.
[63] Доран, Д. Г. (1970): Компьютерное моделирование смещения шипа отжига.  Радиационные эффекты,том. 2, (п. 4), стр. 249-267.
[64] Билер, Дж Р (1982): Радиационные эффекты компьютерные эксперименты . Амстердам, Нидерланды: Северо-Голландия.
[65] Хайниш ХЛ (Heinisch, HL) (1995): Имитация производства свободных дефектов в облученных металлах. Ядерные инструменты и методы исследования физики, раздел B (Луч взаимодействия с материалами и атомами),
том. 102, стр. 47-50.
[66] Батайл КК (Battaile, CC;) Шролович ДДж (Srolovitz, DJ) (1997): Кинетический Монте-Карло метод для атомного масштаба моделирование химического осаждения паров: Приложение к алмазу. Журнал прикладной физики.82, (п. 12), pp.6293-6300.
[67] Метрополис, Н.; Розенблют, AВ; Розенблют, МН; Теллер, AH; Теллер, Э. (1953): Журнал химической физики. 21, стр. 1087.
[68] Борц, А. Б.; Калос МХ (Kalos, MH;) Лебовица, ДжЛ (JL) (1975) Новый алгоритм для Монте Карло изинга спиновых систем. Журнал вычислительной физики. 17, (п. 1), pp.10-18.
[69] Хуан, Ханьчэнь; Гилмер, GH; Диас де ла Рубиа, Т.(1998): Атомистический симулятор осаждения тонких пленок в трех измерениях. Журнал прикладной физики. 84, стр. 3636-3649.
[70] Гилмер, GH; Хуан, Ханьчэнь; Диас де ла Рубиа, Т. Торре, ДжД, Бауманн, Ф. (2000): Решетка Монте-Карло модели тонких пленок, предлагается обзор. Thin Solid Films, Vol. 365, С. 189-200.
[71] Вэнь , В.; Гонием Х.М. (в стадии подготовки): Кинетическое Монте-Карло компьютерное моделирование само- внедренного атома (СВА- SIA) кластера движения в напряженных кристаллах.
[72] Сингха, Б.; Форман, АДжЕ(AJE) и Тринкаус Х.(Trinkaus, H.) (1997) Дж. Nucl.Матер., Том 249, стр. 103.
[73] Лепину , Дж.; Кубин, ЛП (1987): Динамическая организация дислокационных структур: моделирование. Scripta Metallurgica, том. 21, (№ 6), pp.833-838.
[74] Гонием Х.М., Aмодео, П. (1988): Компьютерное моделирование дислокации структурообразования.Твердого тела явления, том. 3 и 4, стр. 377-388.
[75] Гулуоглу,; Шролович, ДДж Лезар П.; Ломдал РС (1989): Дислокация распределений в двух измерениях. Scripta Metallurgica, том. 23, стр. 1347.
[76] Амодео, РДж; Гонием Х. М. (1990): Динамика дислокаций. I. Предлагаемая методология для микромеханики деформации. Физический обзор (конденсированных сред), том. 41, стр. 6958-6967.
[77] Aмодео, РДж; Гонием, Х. М. (1990): Динамика дислокаций. II. Приложения к формированию стойких полос скольжения, плоских массивов, и дислокационных ячеек. Физический  обзор (конденсированная материя), том. 41, стр. 6968-6976.
[78] Aмодео, РДж; Гонием, Х. М. (1991): Быстрые алгоритмы для дислокации динамики в микромеханических расчетах. В моделировании деформации кристаллических твердых тел, под ред. Т. Лоу, Т.Rollett, П. Фолансби, Г. Daehn, TMS Press, стр. 125.
[79] И. Грома, Поли, Г. С. (1993): Компьютерное моделирование пластического поведение монокристаллов. Philosophical Magazine, Vol. 67, (№ 6), стр. 1459-1470.
[80] Lubarda В.А., Блюм, Ю. А.;Нидлман, А. (1993): Анализы равновесия дислокации распределения. Acta Metallurgica др. Materialia, том. 41, (№ 2), pp.625-642.
[81] Ван, Х; Лезар, П. (1995): O (N) Алгоритм динамики дислокаций. Philosophical Magazine (Физика конденсированных сред, дефектов и механических свойств), том. 71, (№ 1), С. 149-164.
[82] Бартс, DB; Карлссон, А. Е. (1995): Приказ- N метод для расчета группы в системы многие дислокаций. Физические E обзора (статистической физики, плазмы, жидкости, и связанной с междисциплинарным темам),
том. 52, (№ 3, пт. B), стр. 3195-3204.
[83] Рааб, D. (1998): На рассмотрение восхождения в дискретной динамики дислокаций. Философский Журнал, том. 77, (№ 3), стр. 751.
[84] Девит, Р. (1960): Sol. Государство Phys., Vol. 10, стр. 269.
[85] Гонием Х.М., Сан, Л. З. (1999): Быстрый метод сумма для упругой области 3-D дислокация ансамблей. Физика Обзор B, том. 60, (№ 1), стр. 128-140.
29
[86] Гонием Х.М., Тонга, С.Х.; Сан, Л. З. (2000): Параметрическая динамика дислокаций: Термодинамики подход к исследованию мезоскопической пластической деформации. Physical Review B (конденсированных сред), том. 61, (№ 2), pp.913-927.
[87] Персик, М. О. Келер, Ж. С. (1950): Phys. Преподобный, том. 80, стр. 436.
[88] Гонием Х.М., Хуан, Дж.; Ван, З. (2001): Аффинные Ковариантные-контравариантные вектор формы для упругого поля параметрической дислокации в изотропных кристаллах. Philosophical Magazine письмо, в
пресс.
[89] Кубин, LP; Канова, Г.; Конда, М.; Де Ванкр, Б.; Понтикис, Б.; Бречет, Ю. (1992):
Дислокация микроструктур и пластическое течение: 3D моделирование. Диффузии и дефекта данные – твердого тела данные, часть В (Твердые явления государства), том. 23-24, pp.455-472.
[90] Кубин, LP; Канова, Г. (1992): Моделирование дислокация структур. Scripta Metallurgica и др.Materialia, том. 27, (№ 8), стр. 957-962.
[91] Devincre Б., Конда, М. (1992): Acta Metall. Матер., Vol. 40, стр. 2629.
[92] Канова, Г.; Бречет, Ю.; Кубин, ЛП (1992): 3D дислокации моделирования пластической неустойчивости  работой смягчения сплавов. В Моделирование пластической деформации и ее инженерные приложения, Ред. С. Андерсон и др.. РИС  национальной лаборатории, Роскильде, Дания.
[93] Кубин, ЛП (1993): Дислокация структурная в течение многих скольжения ГЦК-кристаллов. Моделирование подхода. Physica Статус солидов, том. 135, (№ 2), стр. 433-43
[94] Канова, ГР, Брехт, Ю.; Кубин, ЛП; Деванкр, Б.; Понтикис, В.; Конда, М. (1994):
3D моделирование движения дислокаций на решетке: Приложение к поверхности текучести простых кристаллов. Диффузии и дефекты данных Часть B (Твёрдого тела явления), том. 35-36, стр. 101-106.
[95] Деванкр, Б.; Кубин, ЛП (1994): Моделирование лесных взаимодействий и деформационного упрочнения в ГКЦ кристаллах. Моделирование в области материаловедения и инженерии, об. 2, (№ 3А), pp 559-570.
[96] ДеВанкр, Б. (1996): Мезо-масштаб моделирования динамики дислокаций, в компьютерном моделировании в области материаловедения, ред. Н. 0. Krichner и др.., Kluwer Academic Press, Дордрехт, стр. 309.
[97] Деванкр, Б.; Кубин, Л. (1997): Моделирование динамики дислокаций: Упругие поведения против ядра свойств. Философские труды Королевского общества Лондона, серия (математических, Физических и инженерных наук), Великобритания, том. 355 (1731), стр. 2003.
[98] Мулен А.В., Конда, М., Кубин, ЛП (1997): Моделирование Франка-Рида в кремнии. Acta Materialia, том. 45, (№ 6), стр. 2339-2348.
[99] Херт, ДжП; Мана, М.; Збиб, Х. (1996): Моделирование деформации 3D моделированием мультипольных изогнутых дислокаций. Журнал компьютерного материала. Дизайн, том. 3, pp.164.
[100] Збиб, ТМ; Мана, М.; Херт, ДжП (1998): О пластической деформации и динамике 3D дислокаций. Международный журнал Механический наук, том. 40, (№ 2-3), pp.113-127.
[101] Иоффе, E.H. (1960): Philosophical Magazine, Vol. 5, стр. 161.
[102] Шварц, К. В.; Терсоффа, J. (1996): Взаимодействие чтения (Threading) и дислокации несоответствия в напряженном эпитаксиальном слое. Applied Physics Letters, Vol. 69, (№ 9), pp.1220-1222.
[103] Шварц, К.В. (1997): Взаимодействие дислокаций на скрещенных скольжения в напряженных эпитаксиальных слоях. Физические Письма обзор, том. 78, (№ 25), стр. 4785-4788.
[104] Шварц, К.В.; Ле Гус, Ф. К. (1997): Дислокация структуры в напряженных слоях из источников на параллельных плоскостях скольжения. Физические Письма обзор, том. 79, (№ 10), стр. 1877-1880.
[105] Браун, Л. М. (1967): Philosophical Magazine, Vol. 15, стр. 363.
[106] Гонием, Н. М. (1999): Изогнутые параметрические сегменты для поля напряжений 3-D дислокации петель. Труды ASME. Журнал конструкционных материалов и техники, том. 121, (№ 2), стр. 136-142
[107] Кукта П. (Kukta, Р.); Фройнд, Л. (1998): Трехмерное численное моделирование взаимодействующих дислокаций в напряженном эпитаксиальном поверхностном слое. В многомасштабное моделировании материала, MRS трудов, под
редакцией В.В. Булатова, Томаса Диаса де ла Рубиа, Р. Филлипса, Э. Каксираса, Н. Гониема (Бостон, штат Массачусетс, США.
[108] Хачатурян, А. Г. (2000): В науке сплавов для 21-го века: Юм-Розери
Симпозиум праздник, Труды симпозиума TMS, под редакцией Е. А. Турчи, Р. Д. Шулли А. Гонис. TMS, 2000, стр. 293.
[109] Ванг, Ю.; Джин, Ю. М.; Куитино, М., Хачатурян, А. Г. (2000): Представлены на
международной конференции дислокации 2000 года, Национальный институт стандартов в технологии, Гайзерсбург, Июнь 3 19-22, 2000.
30
[110] Ванг, Ю.; Джин, Ю. М.; Куитино, М., Хачатурян, А. Г. (2001): Фаза наноразмерного поля микроэластичности теория дислокаций: модель и 3D-моделирование. Acta Materialia, том. 49, С. 1847-1857.
[111] Гонием Н.М., Мэтьюз, Дж. Р., Aмодео Р.Дж. (1990): Дислокационная модель для ползучести в конструкционных материалах. Дело Механики, том. 29, (№ 3), стр. 197-219.
[112] Григорий В. и Краточвиль Дж. (1998): Самоорганизации подход к циклической микропластичности; модели о стойкой полосы скольжения. Международный журнал пластичности, вып. 14, стр. 159.
[113] Неймана, П. (1971): Aкты металлургии, том. 19, стр. 1233.
[114] Эссман, У.; Муграби, H. Философский журнал,том. 40, стр. 731.
[115] Краточвиль Дж.; Сакслоа, Н. (1992): Aкт металлургии и материалы, том. 26, стр. 113.
[116] Скслоа, Н.; Краточвиль, Дж.; Затлоукал, J. (1997): Модель образования и распада структуры вены дислокации. Материалы науки и техники, том.234-236, стр. 205-208.
[117] Кубин Л.П.; Краточвиль, Дж. (2000): Упругая модель для развертки дипольных петель. Философский журнал, том. 80, стр. 201-218.
[118] Вэй, C.; Шривастав, Д. и Чо, К.: Молекулярно-динамическое исследование зависимости температуры пластикового коллапса углеродных нанотрубок при осевом сжатии. Эти процессы.
[119] Ли, Дж. и Ип, С.: Атомистические меры сопротивления материалов. Эти процессы.
[120] Лю, В.К.; Ши, С.К; Ву, C.H, и Хуан, Х.: Зарождение дислокаций и распространения во время осаждения тонких пленок при растяжении. Эти процессы.
[121] Лин, К; и Чрзан, Д.С.: Ядра структуры и энергии 90 ; частичной дислокации в кремнии, Эти процессы.
[122] Курамото, E.; Oсава, К., и Цуцуми, Т.: Компьютерное моделирование фундаментальных поведений точечных дефектов, кластеров и взаимодействие с дислокаций в Fe и Ni. Эти процессы.
[123] Р. Мартинес; Гонием, Н. М. Влияние поверхности кристалла на дислокации деформации: Комбинированная динамика дислокаций-конечных элементов подход. Эти процессы.
[124] Сюн, Л. М.; Лассила, Д.Х. Исходная структура дислокаций и динамическое размножение дислокаций в Мо монокристаллах. Эти процессы.
[125] Чжан, П.; Клейн, П., Хуан, Ю.; Гао, Х.; и Ву, П.Д.: Численное моделирование разрушения клея по модели виртуальной внутренней границы. Эти процессы.
[126] Гарикипати, К.: Вариационный метод многих шкал вставлять микромеханические законы поверхности в макромеханическую сплошных сред формулировку. Эти процессы.
31
[1] Peng, S.; Cho, K. (in press, 2002): Nano Electro Mechanics of Semiconducting Carbon Nanotube. J. Appl. Mech.
[2] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1988): A Review of Experimental Observations and Theoretical
Models of Dislocation Cells and Subgrains. Res Mechanica, vol. 23, pp.137-160.
[3] Mughrabi, H. (1987):  A 2-parameter Description of Heterogeneous Dislocation Distributions in
Deformed Metal Crystals. Material Science and Engeering, vol. 85, pp. 15-31.
[4] Mughrabi, H. (1983):  Dislocation Wall and Cell Structures and Long-range Internal-stresses in Deformed Metal Crystals. Acta Mettalurgica, vol. 31, (n. 9), pp. 1367-1379.
[5] Lepinoux, J.; Kubin, L. P. (1987): The dynamic organization of dislocation structures: a simulation. Scripta Met., vol. 21, pp. 833-838.
[6] Ghoniem, N. M.; Amodeo, R. (1988): Computer Simulation of Dislocation Pattern Formation. Solid State Phenomena, vol. 3&4, pp. 377-388.
[7] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1988): Dynamical Computer Simulation of the Evolution of a One-Dimensional Dislocation Pileup. International Journal of Engineering Science, vol. 26, pp.653-662.
[8] Ghoniem, N. M.; Amodeo, R. J. (1990): Numerical simulation of dislocation patterns duringplastic deformation. In Patterns, Defects and Material Instabilities, Eds. D. Walgreaf and N. M. Ghoniem, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 303.
[9] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1990): Dislocation Dynamics: Part I-A Proposed Methodology for Deformation Micromechanics.   Phys. Rev. B, vol. 41, pp. 6958-6967.
[10] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1990):  Dislocation Dynamics:  Part II-Applications to the Formation of Persistent Slip Bands, Planar Arrays, and Dislocation Cells.   Physics Review B, vol. 41, pp. 6968-6976.
[11] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1991): Rapid Algorithms for Dislocation of Dynamics in Micromechanical Calculations. In Modeling of Deformation of Crystalline Solids, Eds. T. Lowe, T. Rollett, P. Follansbee, and G. Daehn, TMS Press, pp. 125.
[12] Ghoniem, N. M. (1992): Non-Linear Dynamics of Shear Crack Interaction with Dislocations. In Non-Linear Phenomena in Material Science II, Eds. L. Kubin and G. Martin, Kluwer Academic Publishers.
[13] Guluoglu, A. N.; Srolovitz, D. J.; LeSar, R.; Lomdahl, R. S. (1989): Dislocation Distributions in Two Dimensions. Scripta Metallurgica, vol. 23, (no. 8), pp.1347-1352.
[14] Groma, I.; Pawley, G. S. (1993): Computer Simulation of Plastic Behaviour of Single Crystals. Philosophical Magazine A (Physics of Condensed Matter, Defects and Mechanical Properties), vol. 67, (no. 6), pp.1459-1470.
[15] Lubarda, V. A.; Blume, J. A.; Needleman, A. (1993): An Analysis of Equilibrium Dislocation Distributions. Acta Metallurgica et Materialia, vol. 41, (no. 2), pp. 625-642.
[16] Elazab, A.; Ghoniem, N. M. (1993): Green's Function for the Elastic Field of an Edge Dislocation in a Finite Anisotropic Medium. International Journnal of Fracture Mechanics, vol, 61, pp. 17-37.
[17] Wang, H. Y.; LeSar, R. (1995): O(N) Algorithm for Dislocation Dynamics. Philosophical Magazine A (Physics of Condensed Matter, Defects and Mechanical Properties), vol. 71, (no. 1), pp.149-64.
[18] Kubin, L. P.; Canova, G.; Condat, M.; Devincre, B.; Pontikis, V.; Brechet, Y. (1992): Dislocation Microstructures and Plastic Flow: a 3D Simulation. Diffusion and Defect Data – Solid State Data, Part B (Solid State Phenomena), vol. 23-24, pp. 455-72.
[19] DeVincre, B.; Condat,M. (1992) Acta Met. Mater., vol. 40, pp. 2629.
[20] DeVincre,B.; Pontikis, V.; Brechet,Y.; Canova, G.; Condat, M.; Kubin, L. P. (1992): Three-dimensional Simulations of Plastic Flow in Crystals. in Microscopic Simulations of Complex Hydrodynamic Phenomena, Ed. M. Mareschal and B. L. Lolian, Plenum Press, New York, pp. 413- 423.
[21] Canova, G.; Brechet, Y.; Kubin, L. P. (1992): 3D Dislocation Simulation of Plastic Instabilities by Work-softening in Alloys. In  Modeling of Plastic Deformation and its Engineering Applications, Eds. S. I. Anderson et al., RIS; National Laboratory, Roskilde, Denmark.
[22] Kubin, L. P.; Canova, G. (1992): The Modelling of Dislocation Patterns. Scripta Metallurgica et Materialia, vol. 27, (no. 8), pp. 957-62.
[23] Kubin, L. P. (1993): Dislocation Patterning during Multiple Slip of FCC Crystals. A simulation Approach. Physica Status Solidi A, vol. 135, (no. 2), pp. 433-443
[24] Canova G.; Brechet Y.; Kubin, L. P.; DeVincre, B.; Pontikis, V.; Condat, M. (1994): 3D Simulation of Dislocation Motion on a Lattice: Application to the Yield Surface of Single Crystals. Microstructures and Physical Properties, Ed J Rabiet, CH-Transtech.
27
[25] Devincre, B.; Kubin, L. P. (1994): Simulations of Forest Interactions and Strain Hardening in FCC Crystals. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, vol. 2, (no. 3A), pp. 559-570.
[26] Hirth, J. P.; Rhee, M.; Zbib, H. (1996): Modeling of Deformation by a 3D Simulation of Multi Pole, Curved Dislocations. Journal of Computer-Aided Material Design, vol. 3, pp. 164. [27] Zbib, R. M.; Rhee, M.; Hirth, J. P. (1998): On Plastic Deformation and the Dynamics of 3D Dislocations. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 40, (no. 2-3), pp. 113-127 [28] Rhee, M.;  Zbib, H. M.;  Hirth, J. P.;  Huang, H.;  de la Rubia, T. (1998):   Models for Long-/short-range Interactions and Cross Slip in 3D Dislocation Simulation of BCC Single Crystals. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, vol. 6, (no. 4), pp. 467-492.
[29] Schwarz, K. V.; Tersoff, J. (1996): Interaction of Threading and Misfit Dislocations in a Strained Epitaxial Layer. Applied Physics Letters, vol. 69, (no. 9), pp. 1220-1222.
[30] Schwarz, K. W. (1997): Interaction of Dislocations on Crossed Glide Planes in a Strained Epitaxial Layer. Physical Review Letters, vol. 78, (no. 25), pp. 4785-4788.
[31] Schwarz, K. W.; LeGoues, F. K. (1997): Dislocation Patterns in Strained Layers from Sources on Parallel Glide Planes. Physical Review Letters, vol. 79, (no. 10), pp.1877-1880.
[32] Walgraef, D.; Aifantis, C. (1985):  On the Formation and Stability of Dislocation Patterns. I. One-dimensional Considerations. International Journal of Engineering Science, vol. 23, (no.12), pp. 1351-1358.
[33] Hhner, P.; Bay, K.; Zaiser, M. (1998): Fractal Dislocation Patterning During Plastic Deformation. Physical Review Letters, vol. 81, (no. 12), pp. 2470-2473.
[34] H;ahner, P. (1996): Appl. Phys. A, vol. 62, 473. [35] Zaiser, M.; H;ahner, P. (1997): Oscillatory Modes of Plastic Deformation: Theoretical Concepts. Physica Status Solidi B, vol. 199, (no. 2), pp. 267-330.
[36] Zaiser, M.; Avlonitis, M.; Aifantis, E. C. (1998): Stochastic and Deterministic Aspects of Strain Localization During Cyclic Plastic Deformation. Acta Materialia, vol. 46, (no. 12), pp. 4143-4151
[37] El-Azab, A. (2000): Phys. Rev. B, vol. 61, pp. 11956.
[38] Robb Thomson, L. E. Levine, Y. Shim, M. F. Savage, and D. E. Kramer: A Multi-Scale Theoretical Scheme for Metal Deformation. These Proceedings.
[39] Ziman, J.M. (1972): Principles of the Theory of Solids.
[40] Car, R.; Parrinello, M. (1985),"Unified Approach for Molecular Dynamics and Density Functional Theory," Phys. Rev. Lett., vol. 55, pp. 2471-2474.
[41] Srivastava,  D.;  Menon,  M.;   Cho,  K. (2001):   Computational Nanotechnology with Carbon Nanotubes and Fullerenes. Computing in Science & Engineering, vol. 3, pp. 42-55.
[42] Payne, M. et al. (1992): Iterative minimization techniques for ab initio total-energy calculations:molecular dynamics and conjugate gradients. Rev. Mod. Phys. vol. 68, pp. 1045-1097.
[43] Hohenberg, P.; Kohn, W. (1964): Phys. Rev. vol. 136, pp. 864B.
[44] Kohn, W.; Sham, L.J. (1965): Phys. Rev. vol. 140, pp. 1133A.
[45] Ab intio Simulation Package (VASP)at the web site http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp/.
[46] ABINIT code at the web site http://www.mapr.ucl.ac.be/ABINIT/.
[47] DFT++ Computer Code at http://elrio.mit.edu/dft++/.
[48] Molecular Simulation software at http://www.accelrys.com/about/msi.html.
[49] Kawamoto, A.; Jameson, J.; Cho, K.; Dutton, R.W. (2000):  Challenges for Atomic Scale Modeling in Alterantive Gate Stack Engineering. IEEE Trans. Electro. Dev., vol. 47, pp. 1787-1794.
[50] Daw, M.; and Baskes, M. (1983) Phys. Rev. Lett. vol. 50, pp. 1285.
[51] Daw, M.; and Baskes, M. (1984) Phys. Rev. B vol. 29, pp. 6443.
[52] Pearson, E.; Takai, T.; Halicioglu, T.; and Tiller, W. (1984) J. Cryst. Growth, vol 70, pp. 33.
[53] Stillinger, F.; and Weber, T. (1985) Phys. Rev. B., vol. 31, pp. 5262.
[54] Tersoff, J., (1986) Phys. Rev. Lett., vol. 56, pp. 632.
[55] Gear,C. W. (1971): Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.
[56] Rapaport, D. C. (1995): The Art of Molecular Dynamics Simulation, Cambridge University Press.
[57] Frenkel, D.; Smit, B. (1996):  Understanding Molecular Simulation, Academic Press.
[58] Haile, J. M. (1992): Molecular Dynamics Simulation, Wiley Interscience.
[59] Wang, Jian; Woo, C. H.; Huang, Hanchen (2001):  Destabilization of Dislocation Dipole at High Velocity. J. Appl. Phys. Lett., 79(22), 101.
28
[60] Nyberg A.; Schlick, T. (1991): J. Chem. Phys., vol. 95, pp. 4989.
[61] James, F. (1990): A Review of Pseudorandom Number Generators. Computer Physics Communi­cations, vol. 60, (n. 3), pp. 329-344.
[62] James, F. (1980): Monte Carlo Theory and Practice. Reports on Progress in Physics, vol. 43, (n. 9), pp. 1145-1189.
[63] Doran, D. G. (1970): Computer Simulation of Displacement Spike Annealing. Radiation Effects, vol. 2, (n. 4), pp. 249-267.
[64] Beeler, J. R. (1982): Radiation Effects Computer Experiments. Amsterdam, Netherlands: North-Holland.
[65] Heinisch, H. L. (1995): Simulating the Production of Free Defects in Irradiated Metals. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research, Section B (Beam Interactions with Materials and Atoms), vol. 102, pp. 47-50.
[66] Battaile, C. C.; Srolovitz, D. J. (1997): A kinetic Monte Carlo Method for the Atomic-scale Simulation of Chemical Vapor Deposition: Application to Diamond. Journal of Applied Physics,vol. 82, (n. 12), pp.6293-6300.
[67] Metropolis, N.; Rosenbluth, A. W.; Rosenbluth, M. N.; Teller, A. H.; Teller, E. (1953): Journal of Chemical Physics, vol. 21, pp. 1087.
[68] Bortz, A. B.; Kalos, M. H.; Lebowitz, J. L. (1975) A New Algorithm for Monte Carlo Simulation of Ising Spin Systems. Journal of Computational Physics, vol. 17, (n. 1), pp.10-18.
[69] Huang, Hanchen; Gilmer, G. H.; Diaz de la Rubia,T. (1998): An Atomistic Simulator for Thin Film Deposition in Three Dimensions. Journal of Applied Physics, vol. 84, pp. 3636-3649.
[70] Gilmer, G. H.; Huang, Hanchen; Diaz de la Rubia,T.; Torre, J. D.; Baumann, F. (2000): Lattice Monte Carlo Models of Thin Film Deposition, an invited review. Thin Solid Films, vol. 365, pp. 189-200.
[71] Wen, W.; Ghoniem, N. M. (in preparation): Kinetic Monte Carlo computer simulations of Self-Interstitial Atom (SIA) cluster motion in stressed crystals.
[72] Singh, B.; Foreman, A.J.E.; and Trinkaus, H. (1997) J. Nucl. Mater., vol 249, pp. 103.
[73] Lepinoux,J.; Kubin, L. P. (1987): The Dynamic Organization of Dislocation Structures: a Simulation. Scripta Metallurgica, vol. 21, (no. 6), pp.833-838.
[74] Ghoniem, N. M.; Amodeo, R. (1988): Computer simulation of dislocation pattern formation. Solid State Phenomena, vol. 3& 4, pp. 377-388.
[75] Guluoglu, A. N.; Srolovitz, D. J.; LeSar R.; Lomdahl, R. S. (1989): Dislocation distributions in two dimensions. Scripta Metallurgica, vol. 23, pp. 1347.
[76] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1990): Dislocation dynamics. I. A Proposed Methodology for Deformation Micromechanics. Physical Review B (Condensed Matter), vol. 41, pp. 6958-6967.
[77] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1990): Dislocation dynamics. II. Applications to the Formation of Persistent Slip Bands, Planar Arrays, and Dislocation Cells. Physical Review B (Condensed Matter), vol. 41, pp. 6968-6976.
[78] Amodeo, R. J.; Ghoniem, N. M. (1991): Rapid Algorithms for Dislocation of Dynamics in Micromechanical Calculations. in Modeling of Deformation of Crystalline Solids, Eds. T. Lowe, T. Rollett,P. Follansbee, and G. Daehn, TMS Press, pp. 125.
[79] Groma I.; Pawley, G. S. (1993): Computer Simulation of Plastic Behaviour of Single Crystals. Philosophical Magazine A, vol. 67, (no. 6), pp. 1459-1470.
[80] Lubarda, V. A.; Blume, J. A.; Needleman, A. (1993): An Analysis of Equilibrium Dislocation Distributions. Acta Metallurgica et Materialia, vol. 41, (no. 2), pp.625-642.
[81] Wang, H. Y.; LeSar, R. (1995): O(N) Algorithm for Dislocation Dynamics. Philosophical Magazine A (Physics of Condensed Matter, Defects and Mechanical Properties), vol. 71, (no. 1), pp. 149-164.
[82] Barts, D. B.; Carlsson, A. E. (1995): Order-N Method for Force Calculation in Many-dislocation Systems. Physical Review E (Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics), vol. 52, (no. 3, pt. B), pp. 3195-3204.
[83] Raabe, D. (1998): On the consideration of climb in discrete dislocation dynamics. Philosophical Magazine A, vol. 77, (no. 3), pp. 751.
[84] deWit, R. (1960): Sol. State Phys., vol. 10, pp. 269.
[85] Ghoniem, N. M.; Sun, L. Z. (1999): Fast Sum Method for the Elastic Field of 3-D Dislocation Ensembles. Physics Review B, vol. 60, (no. 1), pp. 128-140.
29
[86] Ghoniem,  N.  M.;   Tong,   S.-H.;   Sun,  L.  Z. (2000):   Parametric Dislocation Dynamics:   A Thermodynamics-based Approach to Investigations of Mesoscopic Plastic Deformation. Physical Review B (Condensed Matter), vol. 61, (no. 2), pp.913-927.
[87] Peach, M. O.; Koehler, J. S. (1950): Phys. Rev., vol. 80, pp. 436.
[88] Ghoniem, N. M.; Huang, J.; Wang, Z. (2001): Affine Covariant-contravariant Vector Forms for the Elastic Field of Parametric Dislocations in Isotropic Crystals. Philosophical Magazine Letter, in press.
[89] Kubin, L. P.; Canova, G.; Condat, M.; Devincre, B.; Pontikis, V.; Brechet, Y. (1992): Dislocation Microstructures and Plastic Flow: a 3D Simulation. Diffusion and Defect Data – Solid State Data, Part B (Solid State Phenomena), vol. 23-24, pp.455-472.
[90] Kubin, L. P.; Canova, G. (1992): The Modelling of Dislocation Patterns. Scripta Metallurgica et Materialia, vol. 27, (no. 8), pp. 957-962.
[91] Devincre, B.; Condat, M. (1992): Acta Metall. Mater., vol. 40, pp. 2629.
[92] Canova, G.; Brechet, Y.; Kubin, L. P. (1992): 3D dislocation simulation of plastic instabilities by work-softening in alloys. In   Modeling of Plastic Deformation and its Engineering Applications, Eds. S. I. Anderson et al., RIS; National Laboratory, Roskilde, Denmark.
[93] Kubin, L.P. (1993): Dislocation Patterning During Multiple Slip of FCC Crystals. A Simulation Approach. Physica Status Solidi A, vol. 135, (no. 2), pp. 433-43
[94] Canova, G. R.; Brecht, Y.; Kubin, L. P.; Devincre, B.; Pontikis, V.; Condat, M. (1994): 3D Simulation of Dislocation Motion on a Lattice: Application to the Yield Surface of Single Crystals.Diffusion and Defect Data Part B (Solid State Phenomena), vol. 35-36, pp. 101-106.
[95] Devincre, B.; Kubin, L. P. (1994): Simulations of Forest Interactions and Strain Hardening in FCC crystals. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, vol. 2, (no. 3A), pp. 559-570.
[96] Devincre, B. (1996): Meso-scale Simulation of the Dislocation Dynamics, In Computer Simulation in Materials Science, Eds. H. 0. Krichner et al., Kluwer Academic Press, Dordrecht, pp. 309.
[97] Devincre, B.; Kubin, L. (1997): The Modelling of Dislocation Dynamics: Elastic Behaviour versus Core Properties. Philosophical Transactions of the Royal Society London, Series A (Mathematical, Physical and Engineering Sciences), UK, vol. 355(1731), pp. 2003. [98] Moulin, A.; Condat, M.; Kubin, L. P. (1997):  Simulation of Frank-Read Sources in Silicon. Acta Materialia, vol. 45, (no. 6), pp. 2339-2348.
[99] Hirth, J. P.;  Rhee,  M.;   Zbib,  H. (1996):   Modeling of Deformation by a 3D Simulation of Multipole Curved Dislocations. Journal of Computer-Aided Material. Design, vol. 3, pp.164.
[100] Zbib, H. M.; Rhee, M.; Hirth, J. P. (1998): On Plastic Deformation and the Dynamics of 3D Dislocations. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 40, (no. 2-3), pp.113-127.
[101] Yoffe, E.H. (1960): Philosophical Magazine, vol. 5, pp. 161.
[102] Schwarz, K. V.; Tersoff, J. (1996): Interaction of Threading and Misfit Dislocations in a StrainedEpitaxial Layer. Applied Physics Letters, vol. 69, (no. 9), pp. 1220-1222.
[103] Schwarz, K. W. (1997): Interaction of Dislocations on Crossed Glide Planes in a Strained Epitaxial Layer. Physical Review Letters, vol. 78, (no. 25), pp. 4785-4788.
[104] Schwarz, K. W.; LeGoues, F. K. (1997): Dislocation Patterns in Strained layers from Sources on Parallel Glide Planes. Physical Review Letters, vol. 79, (no. 10), pp. 1877-1880. [105] Brown, L. M. (1967): Philosophical Magazine, vol. 15, pp. 363.
[106] Ghoniem, N. M. (1999):   Curved Parametric Segments for the Stress Field of 3-D Dislocation Loops. Transactions of the ASME. Journal of Engineering Materials and Technology, vol. 121, (no. 2), pp. 136-142
[107] Kukta, R. V.; Freund, L. B. (1998):  Three-dimensional Numerical Simulation of Interacting Dislocations in a Strained Epitaxial Surface Layer. in Multiscale modelling of material, MRS Pro­ceedings, edited by V.V. Bulatov, Tomas Diaz de la Rubia, R. Phillips, E. Kaxiras, and N. Ghoniem (Boston, Massachusetts, USA.
[108] Khachaturyan, A. G. (2000): in The Science of Alloys for the 21st Century: A Hume-Rothery Symposium Celebration, Proceedings of a symposium of TMS, edited by E.A. Turchi, R.D. Shull and A. Gonis. TMS, 2000, pp. 293.
[109] Wang, Y. U.;  Jin, Y. M.;  Cuitino, A. M.;  Khachaturyan,  A. G. (2000):   presented at the international conference Dislocations 2000, the National Institute of Standards ans Technology, Gaithersburg, Jun3 19-22, 2000.
30
[110] Wang, Y.U.; Jin, Y.M.; Cuitino, A. M.; Khachaturyan, A. G. (2001): Nanoscale Phase Field Microelasticity Theory of Dislocations: Model and 3D Simulations. Acta Materialia, vol. 49, pp. 1847-1857.
[111] Ghoniem, N. M.; Matthews, J. R.; Amodeo, R. J. (1990): A Dislocation Model for Creep in Engineering Materials. Res Mechanica, vol. 29, (no. 3), pp. 197-219.
[112] Gregor V. and Kratochvil J. (1998): Self-organization approach to cyclic microplasticity; a model of a persistent slip band. International Journal of Plasticity, vol. 14, pp. 159.
[113] Neumann, P. (1971): Acta Metallurgica, vol. 19, pp. 1233.
[114] Essman, U.; Mughrabi, H. Philosophical Magazine, vol. 40, pp. 731.
[115] Kratochvil J.; Saxlo`a, N. (1992): Acta Metallurgica et Materialia, vol. 26, pp. 113.
[116] Saxlo`a, N.; Kratochvil, J.; Zatloukal, J. (1997): The Model of Formation and Disintegration of Vein Dislocation Structure.Materials Science & Engineering A, vol. 234-236, pp. 205-208.
[117] Kubin L. P.; Kratochvil, J. (2000): Elastic model for the sweeping of dipolar loops. Philosophical Magazine A, vol. 80, pp. 201-218.
[118] Wei, C.; Srivastav, D.; and Cho, K.: Molecular Dynamics Study of Temperature Dependent Plastic Collapse of Carbon Nanotubes under Axial Compression. These Proceedings.
[119] Li,J. and Yip, S.: Atomistic Measures of Materials Strength. These Proceedings.
[120] Liu, W. C.; Shi, S. Q.; Woo, C. H.; and Huang, H.: Dislocation Nucleation and Propagation During Thin Film Deposition Under Tension. These Proceedings.
[121] Lin, K; and Chrzan, D. C. : The Core Structure and Energy of the 90; Partial Dislocation in Si, These Proceedings.
[122] Kuramoto, E.; Ohsawa, K.; and Tsutsumi, T. : Computer Simulation of Fundamental Behav­iors of Point Defects, Clusters and Interaction with Dislocations in Fe and Ni. These Proceedings.
[123] Martinez R.; Ghoniem, N. M.: The Influence of Crystal Surfaces on Dislocation Deformation: A Combined Dislocation Dynamics- Finite Element Approach. These Proceedings.
[124] Hsiung, L. M.; Lassila, D. H. : Initial Dislocation Structure and Dynamic Dislocation Multiplication in Mo single Crystals. These Proceedings.
[125] Zhang, P.; Klein, P.; Huang, Y.; Gao, H.; and Wu, P. D. : Numerical Simulation of Cohesive Fracture by the Virtual-Internal-Bond Model. These Proceedings.
[126] Garikipati, K.: A Variational Multiscale Method to Embed Micromechanical Surface Laws in the Macromechanical Continuum Formulation. These Proceedings.
31