Computational Nanomechanics of Materials перевод

Computational Nanomechanics of Materials
Wing Kam Liu*
Department of Mechanical Engineering
Northwestern University
2145 Sheridan Road
Evanston, IL 60208, USA
Phone: +1 847 491 7094
Fax: +1 847 491 3915
email: w-liu@northwestern.edu
Sukky Jun
Department of Mechanical and Materials Engineering
Florida International University
10555 West Flagler Street, EC 3463
Miami, FL 33174, USA
Phone: +1 305 348 1217
Fax: +1 305 348 1932
email: juns@fiu.edu
Dong Qian
Department of Mechanical, Industrial and Nuclear Engineering
University of Cincinnati, PO Box 210072
Cincinnati, OH 45221, USA
Phone: +1 513 556 0422
Fax: +1 513 556 3390
email: Dong.Qian@uc.edu
*Corresponding Author
Accepted for publication in Handbook of Theoretical and Computational
Nanotechnology edited by M. Rieth and W. Schommers, American
Scientific Publishers, Stevenson Ranch, CA (March 2005)



Содержание 
1 Введение 3 
1.1. Атомное и электронное происхождение механического поведения. . . 4 
1.2. Иерархии пространственных и временных масштабов. . . .. . . . . . 6 
1.3. Механико-индуцированная мультифизика природы. . . . . . . .. . . . 10 
1,4 Обзор и вывод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
2 Электронное происхождение механики материалов 12 
2,1 Квантово-механические расчеты полной энергии. . . . . . .12 
2.1.1 Приближение Борна-Оппенгеймера. . . . . . . . . . . 12 
2.1.2 Метод сильной связи. (тугого бинтования). . . . . . . . . . . . . . . . . 14 
2.1.3 Теория функционала плотности. . . . . . . . . . . . . . . 18 
 2,2 Идеальные прочность и устойчивость. . . . . . . . . . . . . . . . . .24 
2,3 Пластичность и ядро дислокации. . . . . . . . . . . . . . . . . 26 
2,4 Другие 3 Симуляции молекулярной динамики механики материалов 32 
3,1 Основы молекулярной динамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 
3.1.1 Уравнения движения Лагранжа. . . . . . . . . . . . . 34 
3.1.2 Уравнений движения Гамильтона. . . . . . . . . . . . 36 
3.1.3 Межатомные потенциалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 
3,2 Разрушения и отказы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
3,3 Движения 3,4 Поликристаллы и границы зерен. . . . . . . . . . . . . . . 53 
3,5 Дефекты генерация наноиндентированием и 
наноловлей 4 Многомасштабное моделирование механики материалов 62 
4,1 Энергетическая связь между молекулярной (MD) и квантовой механикой. . . 63 
4,2 Ограничения симуляций молекулярной динамики. . . . . . . . 67 
4.2.1 Эффект граничных условий. . . . . . . . . . . . . 67 
4.2.2 Спаривание с внешней ванной. . . . . . . . . . . . . . . 71 
4.2.3 Оттоки на шаг по времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
4,3 Краткий обзор многомасштабных методов моделирования. . . . . . . 73 
4,4 Модель кластера виртуального атома (КВА VAC). . . . . . . . . . . . .. 78 
4.4.1 Мотивации и главная постановка. . . . . . . . . 78 
4.4.2 Основные идеи модели КВА. . . . . . . . . . . .. . . . 85 
4.4.3 Три-способа параллельной схемы для  соединения с 
 методом квантовой механики КМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 
4.4.4 Метод сильной связи для углеродных систем. . . . . .90 
4.4.5 Соединение с моделью КВА. . . . . . . . . . . . . . . 93 
4,5 Беcсеточный метод симуляции механико-индуцированной 5 Завершение и будущий проспект 97 
2 
1 Введение 
 
Вычислительная наномеханика материалов
Винг Кам Лю *
Инженерно-механический факультет
Северо-западный университет
2145 Шеридан-роуд
Evanston, IL 60208, США
Телефон: +1 847 491 7094
Факс: +1 847 491 3915
Электронная почта: w-liu@northwestern.edu
Sukky Jun
-Механический факультет технологии и материаловедение
Международный университет Флориды
10555 Уэст Флаглер-стрит, EC 3463
Miami, FL 33174, США
Телефон: +1 305 348 1217
Факс: +1 305 348 1932
Электронная почта: juns@fiu.edu
Донг Цянь
-Механический факультет, технологическому и атомному инженерных
Университет Цинциннати, PO Box 210072
Cincinnati, OH 45221, USA
Телефон: +1 513 556 0422
Факс: +1 513 556 3390
Электронная почта: Dong.Qian @ uc.edu
* Корреспондент Автор
Принято к публикации в Справочнике теоретической и вычислительной
Нанотехнологии под редакцией М. Риет и В. Schommers, американский
Научные издательства, Стивенсон-Ранч, CA (март 2005)

1 Введение
Механика материалов- подполе технических наук. В частности фокусируется на отклике материалов к приложенным внешним нагрузкам. Это поле, а также называется механикой твердого тела, связано с напряжениями, деформациями, и отказом твердых материалов и конструкций [1]. Наряду с механикой жидкостей, механика  твердого тела традиционно была создана на принципах механики сплошных сред. Смещение, деформация, и напряжение между физических величин введены кинематикой, и законы балансировки силы в рамках механики сплошной среды. Однако, фундаментальный постулат механики сплошной среды- что материалы непрерывно делимы, так  название заключает. То есть, механика сплошной среды начинается с определения плотности массы, не делая ссылку на его дискретную структуру на микроскопических масштабах длин намного ниже, чем приложения или явление интереса [1].
Как и во многих других областях науки и техники, все большие мощности современных компьютеров имеют замечательное влияние на механику  твердого тела. Более реалистичные и подробные описания отклика материалов, более эффективные вычислительные методологии, и точное численное решение начальных и переменных границ задач, уже давно определяют основные истоки в исследовании вычислительной механики  твердого тела [2]. Вторая половина последнего века поэтому свидетельствует рождение и рост многих вычислительных методов из области физики твердого тела и структурной механики, такие как метод конечных элементов [3] и  бессеточные методы частиц [4, 5], например. Они были разработаны так остроумно (чрезвычайно tremendously), что они популярные численные методы широко используемые как в академии так и в индустрии. Инженеры, прикладные математики и ученые используют эти методы для решения различных типов задач механики.
С появлением атомно-силовой микроскопии и его производных, механические поведения материалов на наноуровне начали раскачивать больших дел  скурпулезного внимания исследователей в механике твердого тела. Этот расписанное направление исследований механики называется наномеханика материалов [6, 7]. Эта появившаяся область может быть связана с расширением понятий и методов традиционной механики  твердого тела для описания механической реакции наноразмерных структур и систем [8]. Пример успешного  подхода на основе сплошной среды может быть найден в микромеханической модели дислокации трения скольжения между двумя созвездиями (неровностями), которая была предложена Уртадо и Ким [9, 10]. При размере контакта ранга ниже десятков нанометров, атомные и молекулярные взаимодействия управляют процессами скольжения. С другой стороны, дислокации и контактная геометрия созвездий играет припортовую роль  в процессах скольжения, когда ранг контакта размером более десятков микрометров. Их модель позволяет совершенно преодолеть разрыв между теми, двумя механизмами отличных масштабов длины, предполагая, что скольжения механизмы делают нано- до микро- переходы из конкурентным скольжением на простой- дислокации- вспомогательного (ПДВ SDA single –dislocation-assisted) скольжения, а затем в мультидислокации совместного (MДC MDC multiple dislocation cooperated) скольжения, в зависимости от размера контакта [10].Есть также многие другие модели сплошных сред разработанные для изучения механических свойств наноструктурированных материалов, таких как деформация многостенной углеродной нанотрубки [11, 12], упругих полей квантовых точек [13], и так далее.
Хотя континуума основанные подходы были успешными для конкретных проблем наномеханики, как показано выше, как правило, признается, что прототип романа анализов появляется на систематическом и глубоком понимании механики- связанных явлений в этом промежуточном режиме масштаба. Без этого прорыва, хотя и не достигли консенсуса еще о том, какой она должна быть, наши непосредственные применения наноструктурированных материалов должны быть по-прежнему ограничены. В этом смысле, область наномеханика конечно, в зачаточном состоянии, и, соответственно  вычислительная наномеханика материалов. В этой главе мы рассмотрим последние усилия исследователей в области информатики для моделирования и симулирования механического поведения материалов на наноуровне. Наша перспектива здесь сосредоточена на трех особенностях наномеханики, которые отличаются от обычных подходов макроскопической механики твердого тела. Они соответственно ломают  постулат континуума, подсоединяя через разные  масштабы во времени и длине, и механико-индуцированные мультидисциплинарные анализы. Эти характеристики представляют свои собственные уникальные углы подхода к наномеханике. В то же время, он также отметил, что они тесно связаны с другими. Ниже мы опишем обзор каждой из этих особенностей вычислительной наномеханики.
1.1 Атомное и электронное происхождение механического поведения.


Первая характеристика анализа наномеханики  вызвана  опровержением континуума постулата. Не сомневаюсь, что признания  атомов и, еще дальше, электронов, необходимые для надлежащего счета  для реальной физики в этом экстремально малом масштабе. Таким образом, гипотеза, что материал является бесконечно делимым не эффективен более. Атомное разрешение  должен быть сохранено для моделирования широкого круга явлений в  наноуровне. Таким образом, атомистическое симулирование, такие как молекулярная динамика и  молекулярная механика, должны быть нашими инструментами в вычислительной наномеханике  материалов. Кроме того, несколько десятков нанометров, во многих случаях, 

Рисунок 1: Последовательность успешных топографических кадров АСМ (AFM) показывает распространение трещины  на поверхности стеклообразного образца. (а) Доказательство нанометрового  повреждения полости до развития разрушения, (б) рост полостей,  (с) трещина развивается через слияние всех полостей [14, 15]. 
Reprinted from C. Marli`ere, S. Prades, F. Cґelariґe, D. Dalmas, D. Bonamy,
L. Ferrero, C. Guillot and E. Bouchaud, Crack fronts and damage in glass at
the nanometre scale, J. Phys.: Condens. Matter, Vol. 15, pp. S2377-S2386,
2003, with permission from Institute of Physics Publishing.

диапазона, что квантовый эффект может стать не незначительным. Много интересных моделирований  результируют на механические свойства материалов все чаще  сообщалось и рационализировалось анализом, основанном на квантовой физике,  т. е. электронном происхождении механического поведения материалов. Следовательно,  квантовое моделирование, либо изначальные (ab initio) или эмпирические, часто используется для  полного сравнения электронного уровня эффекта во многих моделированиях наномеханики. 
Ярким примером того, почему атомное разрешение должно быть основным в  анализе наношкалы механического поведения - поведение  податливого разрушения стекол, как впервые наблюдали экспериментально  Селари (C'elari'e) и др. [14, 15]. Даже хотя стекло, как известно, хрупкое на макроскопическом уровне, они показали,  что наноразмерные полости повреждения присутствовали впереди напряжения коррозии наконечника трещины  в стекле, используя способ (in situ) атомной силовой микроскопии измерения (рис.  1). Медленное разрушение в стекле показало прогресс через зарождение,  роста и слияния этих повреждения полостей в нанометровой шкале,  которое объясняет отклонение от линейной упругости наблюдаемой в окрестности  наконечника трещины в стекле. В самом деле, такое поведение уже было предсказано  сериями атомистических симуляций, такиими как молекулярная динамика [16], а  традиционные континуума механика разрушения и связанные численные симуляции никогда не ожидали, что это податливый механизм разрушения хрупких  материалов. С другой стороны, существенно  отличные результаты были получены  по Гуин и Видерхорн (Wiederhorn) [17], которые не смогли найти никаких доказательств для формирования полости  в стеклообразных материалах. Поэтому есть необходимость безотлагательно разъяснить  этот вопрос вычислительными, а также экспериментальными, исследованиями на  атомном разрешении. 
В дополнение к атомистическим исследованиям, квантово-механические симулирования использующие  изначальные («эмпирические» ab initio) расчеты могут вывести удивительные прогнозы для механических  свойств материалов, которые могут быть  никогда быть открыты в противном случае.  Недавнее исследование идеальной прочности на сдвиг в работе Огата и др.. [18] может быть  прекрасным примером. Благодаря всеобъемлющему сравнительному исследованию с использованием ab  initio расчетов на основе теории функционала плотности, они обнаружили, что алюминий Al  имеет идеально чистой прочности на сдвиг на 32% выше, чем Cu, который был полностью  неподходящий, о чем было сообщено ранее. Хорошо известно,   что медь Cu в три раза тяжелее и намного жёстче, чем Al при нормальных условиях.  Однако из их численных экспериментов при больших деформациях сдвига,  Cu было показано смягчается гораздо раньше, чем Al. Чтобы объяснить эти неожиданные  результаты, они исследовали электронную структуру обоих металлов, и наконец поняли, что Al имеет направленные связи, похожие на кремний и  карбид кремния, а Cu имеет изотропную сферу  в клее связи, перед началом  смягчения. Эта электронная структура на основе анализа идеального сдвига  силы предполагает, что Al ведет себя скорее как керамика определенным образом, чем  кто-нибудь,  считалось ранее [18]. 
Оба приведенных выше примера настоятельно показывают, что циркулирующие сплошности (континуума) основанные  численные методы уже не подходят для проектирования и анализа  материалов в шкале нанометровой длины. Таким образом, существует безусловно необходимость согласования для атомного и квантового симулирования методов, пригодных для анализа  наноразмерного механического поведения в твердых материалов, а также инновационные  эксперименты для проверки этих вычислительных методов [8]. 
1,2 Иерархии пространственных и временных шкал 
Еще одна особенность вычислительной наномеханики связана с пространственной  и временной шкалой всей системы сравниваемой. С тех пор как нанотехнологии  инициативы были объявлены в Соединенных Штатах, важность  многомасштабного моделирования и симуляции постоянно подчеркивается, как  новая парадигма вычислительных нанотехнологий. Однако, многомасштабное  моделирование, исторически, это не новая повестка дня на всех. Задолго до этого  появления нанотехнологий, она была широко признана во многих дисциплинах  науки, что существуют иерархии в описании природных  явлений и связей между ними, никогда не теряла внимания теоретиков.  Для той же степени, это также имело место в механике  материалов [19, 20]. Возьмем пластичность в качестве примера. В зависимости от традиционных взглядов присущих для  каждой шкалы длины от порядка нанометров до макроскопического уровня, анализ пластичности может  быть доступен многими различными способами; электронные структуры дислокаций ядра, зарождение и подвижность дислокаций в монокристаллах, коллективные движения нескольких дискретных дислокаций, непрерывные поля плотности дислокации, поли-кристаллические зерна, и эмпирические модели текучести.  Какая модель среди них должна затем быть использована для описания пластичных деформаций наноструктурных материалов? 
Моделирование и симулирование материалов на наноуровне потребует не  только атомного и молекулярного моделирования, но и моделирования в мезоскопическом  и континуума масштабов [8], из-за свойств среды нанометровых  шкал между атомными деталями и континуума эффективностью. Пока механические  свойства особенно зависят от явления на всех возможных шкал длины  упомянутых выше, в настоящее время принято считать, что не существует единой модели достаточных 
для полного описания пластической деформации материалов на наноуровне. 
Интер-шкалы спаривание, связи,  мостостроение (бриджинг), и информационные-пассажи, таким образом,  ключевые слова появившейся вычислительной наномеханики. Это понятие имеет  наводит на мысль многошкального моделирования, т. е. разрушение стен между  шкалами. Многошкальное материалов моделирования, следовательно, должно стать  центральным оттоком в вычислительной наномеханике, независимо от того, какие фактические типы  теорий и вычислительные реализации будут разработаны в  будущем. 
Как недавний успешный пример отметим, что многошкальная иерархическая  устанавливающая (конституционная) модель была разработана для установления взаимосвязи между  квантово-механической, микромеханической, и общей прочность/твердость свойства  в стальном проекте (рис. 2) [7, 21]. Другой пример многомасштабное  моделирование наноиндентирования  с использованием квазиконтинуума метода, изложенного  [22]. В их моделирование, вычислительный размер ячейки был продлен до 
2 ;2 ; 1 (мкм3), номинально содержащий порядка 2,5 ; 1011 атомов (рис. 3). 
Они также были в состоянии моделировать индентор радиусом 70 (нм). При условии, что полное атомное разрешение все еще сохраняется в течение всей области моделирования,  такие размеры могут никогда не будут реализованы из-за предела вычислительной нагрузки. На основании этой большой шкалы моделирования наноиндентирования, они пришли к выводу, что  индентора сила не является надежным показателем начала зарождения дислокаций  и пластической деформации для фактических размеров индентора в экспериментальном ранге. Это показывает, как многомасштабное моделирования может способствовать  развитию наношкалы механики  твердого тела путем преодоления ограничений размеров и  правильной связи  с реальными экспериментальными наблюдениями. 

Рисунок 2: Многомасштабная иерархическая конституционная модель, разработанная для установления  отношения между квантово-механической, микромеханической, и всеобщих прочности / твердости свойств в стальном проекте  [7,21]. Печатается по тексту « Компьютерные методы в прикладной механики и машиностроения», Vol. 193, В. 
К. Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, «Введение в вычислительную 
наномеханику и материалы», страницы № 1529-1578, Copyright 
(2004), с разрешения Elsevier. 


Рисунок 3: Квазиконтинуума метод расширяет вычислительный размер ячейки до 2 ; 2 ; 1 (мкм3), содержащий порядка 2,5 ; 1011 атомов, а также в целях разрешить рассмотрение индентора радиусом 70 (нм) [22].Переиздание рисунка  с разрешения Дж. Нап и М. Ортис, Physical Review Letters, Vol. 
90, стр. 226102-226105, 2003. Авторские права (2003), Американского физического Общества.

Другой вызов в многошкальном симулировании шкалы времени проблема. Даже если бесшовное пространственное спаривание достигается успешно, трудности вызванные  различными шкалами времени остаются еще нерешенными, так как вычисление выше головы   в этих переходных симуляциях определяется в основном наименьшим временем 
шкалы в системе, т.е. атомной вибрации  порядка фемтосекунд (10-15 
сек). Для более реалистичного моделирования в вычислительной нанотехнологии, многошкальные  теории и алгоритмы, таким образом,  разработаны как для длины и  времени шкал в балансе. Растущий объем усилий был недавно сделан  урегулировать шкалу времени проблему, в параллели с длиной шкалы  [23, 24]. 
1,3 Механико-индуцированная мультифизика (Multiphysics) природы 
Прочность и разрушение материалов среди центральных оттоков в  механике континуума твердого тела, так как высокое сопротивление против внешней нагрузки часто  одно наиболее, особых ингредиентов, которые проектируют захватить макроскопические конструкционные материалы. Подобно, как уже говорилось, понимание 
атомного происхождения сопротивления материалов неразменно для разработки дизайна  высокопрочных и высококачественных наноструктурированных материалов, таких  как нанокомпозитные и нанокристаллические материалы. С другой стороны, мы 
 здесь отметим еще один аспект наношкальной механики материалов, который наглядно демонстрирует разность между наномеханикой и 
макро-уровнем механики твердого тела. Это тесная взаимосвязь между механическими  и другими физическими (или химическими) свойствами единиц в наноразмерных системах, хотя загрузка-несущая функция не входит в число их основных задач. То есть, в отличие от макроскопической механики твердого тела, одно из основных  особенностей наношкалы механики является то, что у нас так много возможностей  намеренного изменения присущих физических свойств наносистем или  наноустройств, контролируя напряжения, странности и деформации. Среди примеров   магнито-упругое спаривание в ферромагнитных ультратонких пленках [25],  деформацией индуцированная запрещенная зона настройки фотонных кристаллов [26], влияние  странности на электронные свойства квантовых гетероструктур [27, 28],  эффект странности на поверхности диффузий [29], деформацией управляемые  сайты селективности адсорбции водорода на нанотрубках [30], настройка электронной  ширины запрещенной зоны углеродных нанотрубок механической странности [31], и так далее. Эти типы проблем можно назвать механикой индуцированные мультифизики (Multiphysics)  проблемы. Несмотря на разнообразные применения, как показано выше,  мультифизики симуляция привлекает меньше внимания вычислительного  механики сообщества, чем многошкальное моделирование и симуляция. Это  вероятно, потому что механики связанное мультифизика моделирования действительно междисциплинарная тема. Таким образом, мы отметим эту характеристику вычислительной  наномеханики как разбиение стены между дисциплинами, и  механика материалов может играть решающую роль в широких областях науки и  техники, все еще находится на наноуровне. 
1,4 Обзор и вывод 
В этой главе мы рассмотрим последние достижения в области вычислительной наномеханики  материалов, следующие свыше трех точек зрения; атомная и квантовая симуляция, многомасштабные моделирования и симуляции, и механики связанной  мультифизики симуляция. Квантовая симуляция и их применение  рассматриваются в разделе 2. Основы молекулярной динамики  симуляция кратко освещены в разделе 3, так как молекулярная динамика  наиболее популярное атомистическая симуляция для  наномеханики проблем. Более подробное  описание для квантовой и атомистического вычислительные методов  можно найти во многих монографиях и статьях. Раздел 3 охватывает также многие 
интересные результаты симуляции на пластическое поведение и механизм разрушения полученный симуляциями молекулярной динамикой. Далее, многомасштабные моделирования и симуляции рассматриваются в разделе 4. Представленные многомасштабные  алгоритмы вводятся с их теоретической основой, успешные примеры, и текущие ограничения. Кроме того,  бессеточный подход к  механико-индуцированным мультифизики проблемам также вводится кратко  в разделе  4. Наконец, заключение и будущие перспективы приведены в разделе 5. 
2 Электронное происхождение механики материалов
В этом разделе мы рассмотрим усилия исследования  для изучения электронного происхождения механических свойств материалов на наноуровне с использованием  квантово-механического моделирования и симуляций. Численные методы  занятых можно разделить в полуэмпирических квантовых вычислениях и ab initio  расчетов из первых принципов. Во-первых, мы представляем основную идею сильной связи (туго перебинтованной tight-binding) метода, который является одним из полуэмпирических методов квантовой механики  симуляций  и очень популярны в механических проблемах. Далее, мы рассмотрим  ab initio  методов расчета, главным образом на основе теории функционала плотности,  которая является одним из самых мощных рамок квантовой механики  симуляции в физике конденсированных сред. Наконец, введенные приложения  расчетов ab initio  к исследованию механического поведения  материалов, в том числе прочности, пластичности и разрушения. 
2,1 Квантово-механических расчеты полной энергии 
Для большего расширения, квантовые симуляции наноматериалов - полной энергии  расчеты, т. е., искать энергию основного состояния системы в целом при  сравнении. Огромная информация атомной системы может 
затем быть получена из расчетной полной энергии. Например, минимум -энергии конфигурация ядер приводит к равновесному состоянию, которая содержит  всю информацию о бондинг (границе, полоса, черта, уровень) структурах и параметрах решетки атомной системы. Производные от общей  энергии с отношением к координатам  ядер выдает силы на ядро, из которого колебательные частоты системы могут быть рассчитаны. С точки зрения материалов наномеханики, квантово-механические расчеты полной энергии -  также центральная припортость (импортанс), поскольку мы можем приобрести различные структурные и  механические свойства материалов, таких как дефект структуры,  зерна бочка (boundary),  примесей, и поверхностей. Кроме того, электронные, оптические и магнитные  свойства также могут быть определены из равновесной конфигурации  атомной структуры. В этом разделе, мы тем самым  раскроем теоретические основы  квантово-механических расчетов полной энергии и их применение  для расчета механических свойств наноматериалов. 
2.1.1 Борна-Оппенгеймера приближение
Согласно принципам квантовой механики, энергия основного состояния 
системы, имеющие ядра и электроны находятся  решением времени независимого  многочастичного уравнения Шредингера, как 
 (2,1) 
где ; (R, r) и Е соответственно собственные функции и собственные значения энергии рассматриваемой системы. r и R представляют множества всех электронных и ядерных координат, соответственно. Многочастичный гамильтониан H,  записывается в виде 
 (2,2) 
где Те и ТN кинетические энергии электронов и ядер, соответственно. 
Vee, VеN, и VNN  потенциальные энергии, в связи с электрон-электронными  электронно-ядерными и ядро-ядерными взаимодействиями, соответственно. 
Масса электрона гораздо меньше, чем у ядер. Даже легчайшее ядро имеет массу, которая почти в 2000 раз больше, чем у электрона. С другой стороны, силы на электроны одного и того же порядка, что на ядра. Электроны таким образом двигаются гораздо быстрее, чем ядра, которые, кажется, почти стационарные с глаз электрона. Кроме того,  электронов спред (масла кусок) над, как облако, а ядра имеют четко определенные позиции по отношению к каждой другой. Это понятие приводит к очень эффективному предположению, для практического  задач, что ядра являются фиксированными, т.е. Борна-Оппенгеймера приближение.  Этим адиабатическим приближением и разделением переменных, движения ядер и электронов могут рассматриваться отдельно, и наша задача сводится к многоэлектронному Шредингера уравнению. 
(2.3) 
где 
 (2,4) 
для данной ядерной позиции R. Этот электронный гамильтониан так же, как 
выше уравнения (2,2) после пропуска двух членов, которые функций 
R только. Следует отметить, что собственное значение в уравнение (2,4) не только полная энергия, но электронная энергия системы. Два взноса, соответствующих  термам (членам), которые упали в электронном гамильтониане не рассматриваются  здесь. Первый кинетическая энергия ядра. Ядро тяжело двигается  в связи с упомянутой выше причиной, и мы можем пренебречь их вкладом.  Второй отталкивающего (репульсивный repulsive) Куломба взаимодействия между ядрами. Этот вклад не является достаточно маленьким, чтобы просто пренебречь. Хотя это не аффект движения электронов, этот вклад должен быть добавлен в  электронную энергию, наконец, получить полную энергию целом атомной (или 
молекулярной) рассматриваемой системы. В этой части можно легко сделать, рассматривая Куломба взаимодействие между ядрами, которое зависит только от зарядов ядер и их расстояния по отношению друг к другу. 
В принципе, общая электронная энергия системы получается в результате решения уравнения (2,3). Однако, помимо аналитического решения, она полностью непрактична для численного решения поставленной многоэлектронной задачи, даже для системы из нескольких молекул, независимо от того, насколько больши и быстры современные вычислительные ресурсы. Исторически сложилось так, есть два пути, изученных сделать проблему обследуемой без введения каких-либо эмпирических параметров материала. Их теоретические основы соответственно функционала плотности теории (ДПФ) [32-34] и Хартри-Фока (HF) теории [35]. Даже хотя ab initio расчеты на основе этих теорий обеспечивают надежные результаты, они 
никогда не свободны от вопроса о чувствительности на выбор вычислительных 
параметров, такие как выбор базисных функций и представление 
корреляции электронов. По крайней мере, в точки зрения механики материалов, 
функционала плотности методы были более эффективны и, таким образом 
более популярны, чем Хартри-Фока расчёты по причинам, отмеченным, 
по [36]. Структурные, механические и электронные свойства материалов, полученных по ДПФ основе первых принципов расчетов в целом сопоставимы 
с экспериментальными значениями, до тех пор, как соответствующие расчетные параметры правильно выбраны. С другой стороны, хотя Хартри-Фока вычисления обеспечивают высокую точность результатов, они гораздо более требовательны  вычислительно, чем плотности функциональные методы. В дальнейшем мы  поэтому рассмотрим функционала плотности вычисления только, для целей  механического моделирования и проектирования материалов легко (остро) далее того в квантовой химии. До введения в DFT-основанных методов,  краткий обзор  из метода сильной связи (тугого бинта) сначала будет дано в качестве представителя вычислительных методов полуэмпирических симуляций квантовых. Всеобъемлющие, легкие для чтения, и практическое сравнение и оценка полуэмпирических методов, методы функционала плотности и Хартри-Фока   представленные Виммером [36], с исторической перспективы. Несколько книг обеспечит хорошее введение в HF, ДПФ и ab initio полной энергии расчет  в том числе [37] и [38]. 
2.1.2 Метод сильной связи (тугого бинтования)
Среди различных уровней квантово-механические методы симуляции, полуэмпирические и упрощенные подходы являются более предпочтительными особенно, когда вычисление загружает дела. Однако, как и в атомистических симуляциях, полуэмпирических методы должны быть приняты очень осторожно, и применение присущих  приближений и параметров должны хорошо контролироваться. В материалах  физики, метод сильной связи может рассматриваться в качестве представителя полуэмпирических методов. Этот метод имеет свои корни от метода линейной  комбинации атомных орбиталей (ЛКАО), который был первоначально предложен Блохом [39], а затем пересмотрен Слейтер и Костер [40] в контексте 
периодических потенциальных проблем. Цель этого метода состоит в построении приближенной волновой функции одного электрона  в нецентральном поле из-за  двух или более точечных источников (ядер)  параметризацией интегралов. Такая  волновая функция называется молекулярной орбиталью и далее используется в 
получении приближенных пробных функций для соответствующих многоэлектронных  систем с Хартри-Фока и связанными методами. 
Метод сильной связи успешно развивается в мощный инструмент для исследования неорганических материалов, включая, например, атомную и электронную структуру поверхности и взаимодействие между структурными и электронными свойствами полупроводников с их дефектами, поверхностями, и интерфейсами [36]. Используя этот метод, мы в принципе в состоянии вычислить некоторые свойства материалов, т. е. структуры, энергии, электронные состояния, распределения заряда, спина распределения, и связанные с ней величины, как ab initio методы делают. В то же время, метод сильной связи является вычислительно гораздо менее требовательным, чем методы ab initio. Таким образом, этот метод часто используется для увеличения системы материалов жертвуя высокой точностью. Введение параметров означает, что этот метод не всегда дает достаточно точные результаты. Грубо говоря, ее точность снижается на порядок магнитуды по сравнению с точными методами ab initio [36]. Популярные примеры включают молекулы углерода, сплавов переходных металлов, полупроводников, и органических полимеров, хотя различные методы и параметризации должны быть выбраны для каждого приложения. В следующем, мы представим главное введение в метод сильной связи, что может быть найдено в работе [41] и многих других ссылках.
 Метод сильной связи, как правило, ссылается к типа (как) линейной комбинации  атомной орбитали, как упоминалось выше. В общем, Шредингера уравнения  для системы определяется как 
 (2,5) 
где H является квантово-механическим оператором Гамильтона и  электронная волновая функция в соответствии с обозначениями Дирака. Заметим, что  дает вероятностные плотности нахождения соответствующей частицы в пространстве. Основная задача вычисления получить собственное значение Е и собственные функции , затем  решить это уравнение в виде типичных задач на собственные значения. Для сложной системы, получение решения уравнения Шредингера не тривиально. В методе сильной связи, предполагается, что решение волновой функции  может быть выражено в виде линейной комбинации волновых  функций основы, т.е., 
|  (2,6) 
где ci линейный коэффициент, который будет определен и  является соответствующей базисной функцией. Кроме того, можно показать, что решения уравнения (2,5) эквивалентно минимизации функционала энергии
 (2.7) 
Пока  в соответствии с определением  и Дирака обозначения, сводя к минимуму уравнение (2,7), приводит к следующим вариационному уравнению 
 (2.8) 
После подстановки приближения из уравнения (2,6) в уравнение (2,8) 
и применяя вариационный принцип, мы получим следующее собственной переменной проблему 
 (2,9) 
в котором  называется переноса интеграла  матрица с элементом 
 и S называется перекрытия интеграла  матрица с элементом 
. 
Для того, чтобы не-тривиальное решение уравнения (2,9), чтобы существовать, необходимо , чтобы 
 (2.10) 
Если базисные функции выбрали ортонормальные, то в результате формулировки ссылаются на типа ортогональной сильной связи схемы и S просто единичная матрица. Базисные функции, однако, не обязательно ортонормальны  в целом. Это приводит к так называемой неортогональных сильной связи  схеме и, соответственно, уравнения (2.10) становится обобщенной собственных переменных проблемой. Следует отметить, что  является эрмитовой матрицы и, следовательно, собственное значение Е всегда реально. Решение проблемы собственных переменных связанное с уравнением (2,9) является наиболее интенсивных вычислений частью, которая как правило  порядка O (n3), в которой n число базисных использованных. Это очевидно, что выбор хорошего набора базисных функций имеет важное значение для получения точного решения уравнения (2.10). В методе сильной связи, атомные орбитали изолированного атома (или ячейки) выбраны в качестве основы функции. В следующем, мы проиллюстрируем применение сильной связи метода в простом случае двухатомных молекул водорода. В соответствии с уравнением (2,6), приближение предлагается 
(2,11) 
где |  и  являются атомными орбиталями, соответствующими основному 
состоянию первого и второго атома водорода. Формы обоих атомных 
орбиталей те же. Для задачи простоты будем считать далее, что 
ортонормальное условие выполняется, т. е. .Окончательное уравнение 
соответствующего уравнению (2,9) становится 
 (2,12) 
Из-за симметрии матрицы гамильтониана, мы можем определить  и , которые могут оба быть параметризованы. Для того чтобы получить  нетривиальное решение уравнения (2,12), следующее секулярное уравнение требуется иметь 
 (2.13) 
Решение уравнения (2,13) ;;имеет два собственных значения, которые 
 и  (2,14) 
с соответствующими нормированными собственными векторами даны как 
|  и |  (2.15) 
От оператора Гамильтона, легко показать, что знак ;Е 
отрицательный из-за притяжения между электроном и ядром. 
Поэтому  является собственным состоянием, что соответствует самой низкой энергией. Пока формы атомных орбиталей те же,  является симметричным состоянием и  занята двумя электронами, поскольку это снизит общую энергию 2 | ; E | по сравнению с двумя изолированными атомами водорода. Это приводит к так называемой связи (бондинг) состояние, которое имеет место два атома водорода, как одна молекула. Другие собственные состояния соответствует высшей энергии и  антисимметричной комбинации атомных орбиталей. Чтобы занять это состояние, электрону необходимо дополнительную энергию и ее оккупация не приведет к связи (бондинг). Таким образом,  называется разрыхляющие (антибондинг) состояние.  Проблемы диатома молекулы водорода -простейший пример применения метода сильной связи.Тем не менее, он показывает основные этапы создания приближения, решения уравнения и интерпретации результатов. Хотя системы в большинстве случаев  являются более сложными, эти основные шаги еще применяются. 
2.1.3 Теория функционала плотности.
В 1960-х годов, Хоенберг и Кон [42] и Кон и Шам [43]  сформулировали точную теоретическую рамку, названная теория функционала плотности,  выразив полную энергию системы в виде функционала  полной электронной плотности1. Теория функционала плотности основа точных расчетов полной электронной энергии сравнением вошедших электронных систем в целом [32-34]. Это основная разница делающая теорию 
отличительной от теории Хартри-Фока. Согласно функционала плотности 
теории, энергия основного состояния системы многих электронов  уникальный функционал электронной плотности типа 
 (2.16) 
где Т и Vc известные функционалы, соответствующие кинетической энергии 
электронов и потенциальной энергии электрона с ядром (или электронно-ионной) и  ядро-ядерных (или ион-ионных) Куломба взаимодействия, соответственно. Для больших многоэлектронных атомов, только внешние (валентные) электроны, как правило, рассматриваются внести  вклад в электронную плотность интереса, в то время как ядро (полные орбиты, сферы) электронов и ядро рассматриваются вместе, как ион. В этом случае соответствующие электронно-ионной и энергии ион-ионного взаимодействия используются для получения терма Vc. 
Преимущество теории функционала плотности является то, что, в соответствии с уравнением (2,16), энергия основного состояния получена без привлечения индивидуальных  электронных волновых функций. Однако, надлежащая форма обмена -корреляции функционал Exc в поисках здесь, и он изменяется в отличном приближении этого метода. В простом подходе, называется локальной плотностью 

1Portion раздела 2.1.3 перепечатана из компьютерные методы в прикладной механики и Инженерии, Vol. 193, ВК Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение к вычислительной наномеханике и материалам, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), 
с разрешения Elsevier. 

теории функционала [43], обмен и корреляция энергия определяется как 
интеграл от некоторой функции от общей плотности электронов, 
 (2,17) 
где ;хс обменно-корреляционная энергия на один электрон в однородном 
электронном газе с постоянной плотностью. 
Для системы N-электронов, функция электронной плотности выражается 
через модуль одноэлектронных Кона-Шема орбиталей ;i, 
 (2.18) 
Начальный поиск для ;i получается из множества точных базисных функций, 
плоских волн, которые дают решение уравнения Шредингера для свободных 
электронов, в то время как участия коэффициенты оптимизированы таким образом, аналогично  методу Хартри-Фока, как описано ниже. Обновленые орбитали находятся из решения Кона-Шема уравнения, 
 (2.19) 
Здесь Ei - Кона-Шема орбитальная энергия и ;(1) - производная 
обменно-корреляционного функционала с отношением к электронной плотности как
(2.20) 
Усовершенствованный набор Кона-Шема орбиталей, ;(1), - следующий, используется для вычисления более точной функции плотности, в соответствии с уравнением (2,17). Эти итерации повторяются до обменно-корреляционной энергии и плотность сходится в пределах допустимого. 
Местная теория функционала плотности обеспечивает очень грубое приближение для молекулярной системы, поскольку она предполагает равномерную общую  электронную плотность через молекулярную систему.  Нелокальные функционала плотности подходы были также разработаны для учета изменений в общей плотности [44-46]. Это достигается путем введения зависимости основного состояния энергии также от градиента плотности электронов, помимо плотности самой.
Оригинальная функционала плотности процедура в целом предполагает O(N3) порядок вычисления, N-число электронов, по сравнению с
O(N4) для Хартри-Фока и сильной связи методами. Припортовые (импортант) улучшения  сделаны с использованием Кар-Паринелло молекулярной динамики
(CPMD) метода [47] и метода сопряженных градиентов [48]. Кар-
Паринелло метод снижает порядок для O(N2), и, как показано в [48], когда
сопряженных градиентов метод может быть еще более эффективен.
Для осуществления Куломба потенциала, все-электронного полного потенциала расчеты могут быть рассмотрены, и полная трехмерная структура
потенциала может быть принята во внимание. Однако во многих примерах
материалов механики, эффективные потенциалы, такие как формы сдобы-олова потенциал и формы псевдопотенциалов, стали широко использоваться. Псевдопотенциалы устранили Куломба оссобенности в ядерной позиции, и сгладили потенциал вблизи этих особенностей [48-51].Простейшее
приближение потенциала за счет атомных ядер- модель желе,
где дискретные атомные ядра заменены усредненным позитивным фоном.
Это полная гомогенизация положительных зарядов иногда
используется для описания электронных металлических поверхностей эффективно [36].
Как уже упоминалось выше, многих тел взаимодействие между электронами описаны  термами обмена-корреляции. Простейшая реализация
этих весьма сложных взаимодействий производится путем использования локальной плотности приближении (LDA). Хотя LDA очень популярно для большого разнообразия проблем, стало ясно, что описание многих интересных
систем в квантовой химии и физики конденсированных сред требует нелокальной поправки к LDA. Например, спин-поляризованную форму
обменно-корреляционного потенциала следует рассматривать для многих  магнитных материалов систем. В противном случае, обычные приближения локальной плотности переоценивает биндинг (связывающие бинтующие) энергии. Обсуждения можно найти в [52]. Несколько градиент-исправленых функционалов были введены для улучшения
приближения локальной плотности, беря быстро меняющуюся форму
потенциалов. Их называют обобщенный градиент приближения
(GGA), и было показано, что GGA дает очень точные
результаты [53-58]. Сплоченные свойства многих твердых тел, воспроизводятся более точно по GGA [60-63]. Особенно, GGA в состоянии дать правильно
ферромагнитное ОЦК состояние для металлического железа, которое является наиболее известным (дефицитом) недостатком LDA.
Одной из важных частей в реализованном ДПФ расчете выбор
базисных наборов2. Плоские волны являются самыми популярными базисным набором в реальности

2 Portion раздел 2.1.3 взяты из http://www.accelrys.com/technology/qm/erich/,

из-за простой аналитической форме, хорошего понимания математических свойств, и систематической сходимости. Однако,   плоской волны базиса набор показывает крайне медленно сходящееся поведение особенно для случаев все-электронного полного потенциала из-за быстро меняющейся плотности электронов вокруг внутренних электронов, где Куломба особенности существуют. Если эти особенности удалить с помощью псевдопотенциалов, то плоские волны эффективны в качестве основы функций. Таким образом, псевдопотенциалы и плоские волны часто парные вместе [36]. В рамках плоской волны базиса, подробные свойства вблизи ядра могут быть увеличены путем введения локализованных функций
определенных вокруг ядер. Часть регулярных плоских волн способствует
эффективному выражению внедрения области между атома сферами. В
вблизи ядра, волновая функция разлагается в линейную комбинацию
продуктов радиальных функций времен сферических гармоник. Это было названо присоединенных плоских волн (ППВ) методом. Подобное описание занято в методе ЛКАО. Эта идея увеличения также используется для Корринги-
Кон-Ростокера (KKR) метода [64,65] и линеаризованного-сдоба-олово-орбитального (ЛМТО) метода [66], где функции рассеяния используются для основе наборов (сет настроек, установок), а не плоские волны. Кроме того, полностью численный базиса набор часто используется для решения проблемы собственных значений без какого-либо линейного расширения решения в базисных функциях [57].
Наиболее точный, но вычислительно самых требовательных, выбора базиса, вероятно, реализуется в полного потенциала линеаризованной присоединенной плоской волны (FPLAPW) методе [67, 68]. Этот метод включает в себя все электроны самосогласованно с использованием полного потенциала для валентных электронов с не формы приближением потенциалов. Базисные функции линеаризованные присоединенные плоские волны. Этот метод можно рассматривать как точный инструмент для статических расчетов, а также для прогнозирования электронных, оптических и магнитных свойств конденсированных сред систем [36].Последние приложений метода FPLAPW включают, например, электронные и структурные
свойства сверхпроводников [69], адсорбция серы на Pt (111) [70],
и электронная структура и ферромагнетизм Mn-легированных полупроводников, адсорбции серы на Pt (111) [71]. Резюме выбора и
реализации для теории функционала плотности приведены на рис 4 [36].
Есть несколько программных пакетов ab initio симулирования квантовой. WIEN2k для расчета электронной структуры твердых тел с использованием функционала плотности теории, которая основана на полного потенциала (линеаризованных), дополненного плоских волн ((L) ППВ) + местные орбиталями (LO) метод, одним из наиболее

- Эрих Виммер, Численные методы атомистического моделирования материалов, с разрешения от Accelrys.

Рисунок 4: Основные варианты для реализации
ДПФ расчетов [36]. Печатается по тексту
Эрих
Виммер, Численные методы атомистического моделирования материалов,
с разрешения Accelrys.

точных схем расчетов зонной структуры [72]. Местной (спина) плотности
приближение или улучшенный вариант обобщенного градиентного
могут быть использованы.
VASP (Viennа ab initio Simulation Package) код, который был разработан в Венском университете, является пакет для выполнения подлежащего ab initio
квантово-механической молекулярной динамики (МД) с использованием псевдопотенциалов и  плоской волны базиса набора [73,74]. Подход, реализованый в VASP, основан на конечной температуре приближения локальной плотности (со свободной энергии как вариационное количество) и точной оценки мгновенной электронной основного состояния на каждом MD-шаге с помощью матричных схем диагонализации. Эти методы улучшают оригинальный метод Кар-Паринелло, который основан на одновременной интеграции электронных и ионных уравнений движения. Взаимодействия между ионами и электронами описывается с помощью ультрамягкого псевдопотенциала (УСПП) или проектор дополненной волны (PAW) методом [75]. Силы и стресс могут быть также легко вычисляться с VASP и используются для отдыха атомов в их мгновенном основном состоянии.
CPMD код плоской волны / псевдопотенциала осуществления плотности функционала теории, в частности, предназначен для ab initio  молекулярной динамики, которая была разработана на основе оригинальных кодов Кар-Паринелло. Он работает с норма-сохранением или ультрамягкими псевдопотенциалами, и с LDA и градиент
коррекция схемами [76].
SIESTA (испанская инициатива для электронного моделирования с тысячами атомов) компьютерная программа, написанная в Fortran90 для выполнения электронных структурных расчетов и ab initio молекулярной динамики молекул и твердых тел [77]. Он использует стандартный Кона-Шема самосогласованный метод функционала плотности в локальной плотности (LDA-ЛСД) или обобщенного градиента (GGA) приближения с нормой сохраняющих псевдопотенциалов в его полностью нелокальной (Клейнмана-Bylander) форме. Базиса набор является линейной комбинацией численных атомных орбиталей (ЛКАО), а не плоские волны. Локализованные линейные комбинации заполненных орбиталей (валентных или Wannier типа функции) можно шкалить время вычисления и объем памяти линейно
с числом атомов [77].
ABINIT также пакет квантового моделирования с помощью которых полная энергия, плотность заряда и электронная структура систем сделанная из электронов и ядер (молекул и периодических твердых веществ) может быть рассчитана с теорией функционала плотности, используя LDA или GGA псевдопотенциалы и плоской волны базис [78]. Гаусса [79] и GAMESS (Генеральная атомная и молекулярная электронной структуры система) [80] также среди ab initio пакетов вычислений (первых принципов вычислений) широко используются в вычислительной физике и химии.
2,2 Идеальная прочность и устойчивость
При увеличении нагрузки, гипотетический бездефектный кристалл вдруг
становится неустойчивым и его местные структуры решетки разбиты на его пределе упругости. Напряжение при этой упругой неустойчивости называют идеальной прочностью [81]. Когда размер материалов рассматриваемой системы становится все меньше, этот идеал прочности становится более важным. Она играет роль верхней границы упругой деформации. Даже на практике, это предельное значение может рассматриваться в конкретных механики проблемах, таких как низкотемпературная деформация Si, Ge, бриллиант, и переходных металлов карбонитридов [82]. Кроме того, последние экспериментальные достижения в области изготовления материалов, таких как производство бездефектных тонких пленок из различных наноструктурированных материалов, привлекают больше интереса в исследованиях идеальной прочности, которая может управлять как начало из фректуре (frecture) и зарождения дислокаций, о чем свидетельствует наноиндентирования эксперименты [83]. Идеально прочность на растяжение может произойти вблизи наконечника трещины и  идеальный сдвига прочность на сдвиг может быть достигнута в ходе наноиндентирования экспериментов. Ab initio расчеты и молекулярные симуляции могут давать полезные результаты для идеальной прочности, что экспериментальная оценка трудна. Таким образом, вычисления идеальной прочности постоянно проводились для различных материалов с продвижением выполнения вычислений  [84-86]. В следующем, несколько последних примеров перечисляются для иллюстрации применения этих расчетов для вычисления прочности материалов.
Раунди и др.. [82]  рассчитали идеальную прочность вольфрама для скольжения системы {111} {110}, {111} {112}, и {111} {123}.Квазистатическая энергия деформированного кристалла и Хелмана (Hellman)-Фейнмана напряжения рассчитывались с использованием приближения локальной плотности в схеме с полной энергии псевдопотенциалом включения полу-релятивистских поправок. Они обнаружили, что прочность в слабых направлениях на всех трех плоскостях почти равны  примерно 18 (ГПа), которые составляют 11% от модуля сдвига. Кроме того, они также обнаружили, что сдвиговая неустойчивость происходит примерно на той же применяемой деформации сдвига в 17% от модуля сдвига. Они объяснили, что
этот необычная изотропия связана с атомной конфигурацией точки седла высоких энергий, достигнутой в ходе сдвига на поверхности потенциальной энергии. Анализ может также предложить возможное объяснение  почему карандаш сглаживания дислокаций на плоскостях, содержащий ‹111› направление в ОЦК металлов преобладает [82]. Использование аналогичного осуществления ab initio расчете, они также представили сравнительное изучение идеальной прочности алмаза, кремния и германия в другой работе [87].
Другие ab initio расчеты идеальной прочности ОЦК металлов также показали, что симметрия играет доминирующую роль в определении идеальной прочности [88,89]. Атомные конфигурации на равновесии всегда соответствуют структурам с высокой симметрией. Таким образом, локальные минимумы и седловые точки на гиперповерхности фазового пространства ключевые ингредиенты. Идеальная прочность этих материалов определяется крутым склоном встречается вдоль пути от начального состояния в первой точке седла. Соответственно, упругая неустойчивость ОЦК металлов тесно связана со структурой седла точки в фазовом пространстве [88, 89].
Ab initio (изначальный) расчет идеальной силы для ферромагнитных материалов проводили  Клэттербак и др. [90]. В связи с нелокальными магнитными взаимодействиями, приближение локальной плотности не хороший выбор в их осуществлении. Они использовали проектора расширенной волны (PAW) метод в рамках теории функционала плотности и обобщенного градиента приближения для вычисления идеальной прочности, как при растяжении так и при сдвиге,  Fе через изучение эффекта нарушений, которые ломают тетрагональную симметрию материала. Их реализация была основана на VASP [74]. Для того чтобы сравнить магнитные материалы, их измененная локальной плотности обменно-корреляционная часть заменой Пердью и Зангера (Zunger) параметризации [91]  Сеперли (Ceperly) и Олдер функционала [92]  на  Воско-Уилк-Нусер (Nusair VWN) спина интерполяцию [93] локальной энергии коррекции. Показано было что идеальная прочность в ‹111› направлении 12,6 (ГПа) и связана с упругой устойчивостью при 15% нарушении вдоль перехода пути от ОЦК к ГЦК. Другое численное испытание на растяжение в ферромагнетике Fe было также симулировано ab initio расчетами электронной структуры [83], в которой теоретическая растяжения прочность и модули Юнга ферромагнитнетика Fe для загрузки в работе [001] и [111] были определены с использованием все-электронного полного потенциала линеаризованной присоединенной плоской волны метода в обобщенном  градиента приближении.
Идеальная прочность ГЦК кристаллов, таких как Cu [94] и Al [95], также
была рассчитана с использованием  ab initio расчетов. Для расчетов полной энергии и Хеллмана-Фейнмиана (Feynmean) стресса, Клэттербак и др.. [95] использовали плоской волны метод псевдопотенциала в коде ABINIT [96] наряду с Гоэдекер (Goedecker)-Тетер-Хаттер Аl псевдопотенциалами [97]. С другой стороны, Чёрны (Cern'y) и др.. [94] была рассчитана электронная структура Cu, используя код VASP с ультрамягким псевдопотенциалом. Для терма обменно-корреляционного, они использовали обобщенного градиента приближение параметризации Пердью и Ван [97]. Код VASP был также использован для последних ab initio расчетов идеального растяжения и сдвига прочности монокристаллов ; - и ; - кремния нитрида (Si3N4)  Огата и др. [98]. Они использовали Вандербильта ультрамягкий псевдопотенциал [99] для описания взаимодействия между ядра  иона областью и валентными электронами. Для электрон-электронного обмена-корреляционной функции, были использованы как Пердью функциональная форма [60] обобщенного градиента приближения и Серели (Ceperley)-Альдера форма [92] для приближения локальной плотности. Совсем недавно, Огата и др.. [100], использовали код VASP для анализа напряженно-деформированного ответа от 22 простых металлов и керамики, и, таким образом,  определить какую максимальную сдвиговую деформацию однородный кристалл может выдержать, свойство для которой они предложили название сдвиговая способность (shearability). Как указано выше, ab initio (из начальный) расчет  идеальной прочности материалов становятся все более популярными в вычислительной наномеханике. Краткие обследование ab initio расчеты идеальной силы для различных материалов может можно найти в [83].
2,3 Пластичность и ядро дислокации
В целом механизмы, регулирующие механическое поведение твердых тел чрезвычайно сложны из-за многих типов дефектов, которые всегда присутствуют в реальных материалах и могут существенно изменить ряд физических характеристик. Среди различных дефектов, дислокация является одним из наиболее важных единиц для понимания механических свойств кристаллических твердых тел. Зарождение и движение дислокаций средой (передает) пластическую деформацию  кристалла. Дальнодействующие упругие поля дислокаций хорошо описываются теорией упругости континуума. Однако, как шкала длины идет вниз, континума теория становится уже не действует особенно вблизи дислокации ядра так, что дискретная атомная природа для  зоны сингулярности должна быть принята во внимание.
Там росли интересы при тестировании вычислительно структуры ядра дислокации на атомном уровне, чтобы понять взаимосвязь между
электронной структурой, свойствами дефектов и общего механического
поведения материалов. Для того чтобы правильно симулировать ядро дислокации, некоторые искажения, такие как разрыв связи, образовании связей и переключений должны быть обработаны квантово-механическим описанием электронных степеней свободы. Изменения электронной структуры в связи с введением дефектов может иметь значительное влияние на структуру и
энергию дислокаций и может привести к качественным изменениям в обычно предполагаемой картине движения дислокаций. Таким образом, несколько примеров ab initio квантово-механического анализа дислокации ядер кратко представлены в следующем.
Изменения электронной структуры, связанные с наличием дислокаций
изучалась для дислокаций в полупроводниках. В связи с характером
ковалентной связи, ядро дислокации порождает разорванные связи, которые могут аффект электронной запрещенной зоны (band gap) и тем самым привести к ядру реконструкции [101]. В ранних исследованиях, дислокации в полупроводниках, как полагают, генерируют большое количество электрически активных центров, из-за подкоординированных (undercoordinatied) атомов в ядре дислокации [102]. Однако это было несовместимо с экспериментальными результатами. Ядро реконструкции этой связи было предложено в качестве механизма, посредством которого большинство ядра атомов перекрывают их четырехкратную координацию, передвижение оборванных связей, связанных с подкоординированными атомами [102]. Реконструкции механизм были теоретически обоснованы, чтобы быть энергетически благоприятными. ДПФ основа ab initio полной энергии псевдопотенциала расчеты из двух реконструкций 90; частичной дислокации ядра в кремнии ранее выполнены Биггер и др.. [103], где атомная структура ядра дислокации и возможное наличие локализованных электронных состояний исследованы. Они заняты Пердью-Зангер (Zunger) [91] параметризацией обменно-корреляционной энергии. Орбитали были расширены в плоских волнах
и Клейнмана- Байландера (Bylander) форма [104] псевдопотенциала была использована через технику реального пространства проекции. Они показали, что асимметричной дислокации ядра структура является более благоприятной энергетически, чем симметричная квази-четырехкратные-скоординированная конфигурация. Они пришли к выводу, что относительная стабильность может быть непосредственно отнесена к электронной структуре дислокаций, и стабильная структура ядра, таким образом, связана только с мелкими электронными состояниями [103]. С другой стороны, использование ab initio расчетов краевой дислокации в кремнии, Лю и др.. [105] представили результаты относительно глубоких состояний в щели, несмотря на отсутствие оборванных связей или надкоординации (overcoordination). Они обнаружили, что это сравнительно глубокие сдвиг края валентной зоны в объеме Si запрещенной зоны связан с ядром совершенной краевой дислокации. Совсем недавно, структурные и электронные свойства реконструкции дефектов в ядре 30 ; частичной дислокации в Si и GaAs исследовались с использованием ab initio  общей энергии расчета в приближении локальной плотности и Хелман (Hellman)-Фейнмана силы релаксации [102106]. Они показали, что концентрация подкоординированных (undercoordinated) атомов, несмотря на энергетически выгодный реконструкции механизм, намного больше в GaAs, чем  в Si. Аналогично, структура и энергия дислокаций в алмазе изучались также с использованием ab initio расчетов [107, 108].
В дополнение к вышеупомянутым полупроводникам алмаза и цинковой обманки решетки структуры, структуры ядра дислокации в вюрцита (widebandgap) ширины запрещённой зоны материалов, таких как GaN и AlN, которые являются наиболее перспективными материалами для оптоэлектронных устройств, изучались также через ab initio квантово-механические расчеты [109-111]. Примеры ядра дислокации в GaN показаны на рисунке 5. Эльснер и др.. [109] изучили структуру и электронные свойства резьбы винтовых и краевых дислокаций в GaN, используя ab initio метод локальной плотности приближения кластера. Они обнаружили, что
Рисунок 5: Полностью расслабленная геометрия (а) полное-ядро, (б) открытое ядро, (с) Ga-вакансия, и (d) N-вакансия краевых дислокаций в GaN [111]. Переизданный рис. с разрешения С. Ли, М. А. Белкхир, К.И. Чжу, И.Х.
Ли, Ю. Хван и Т. Фрауенхейм, физической  Обзор, Vol. 61, стр.
16033-16039, 2000. Авторские права (2000), Американского физического общества.


Рисунок 6: Пример вычисленного результата ab initio методом для орбиталей конфигурации центрального атома никеля в ядре краевой дислокации в NiAl [101]. Переиздание рисунка с разрешения О. Ю.. Концевой, Ю.. Н.
Горностырева, О.Н. Мрясов, А.Д. Фриман, М. И. Кацнельсон, А. В.
Трефилов, Физический Обзор, Vol. 64, стр. 134103-134114, 2001. Авторские права (2001), Американского физического общества.

нижайшая энергия структур были электрически неактивные, имеющие заполненные или незаполненные уровни, лежащих вблизи краев зон. Райт и Фуртмюллер [110] исследовал соответствующий заряд- нейтральных краевых- дислокаций структур в AlN. Расчет проводился с использованием VASP вместе с жесткими псевдопотенциалами для алюминиевых и стандартными псевдопотенциалами для азота. Они показали, что энергии образования сильно зависят от уровня Ферми приводяшим к различиям  возможных структур ядра дислокации.
В полупроводниках ковалентных связей, разорванные связи имеют место в ядре области дислокации и это может изменить электронные структуры как
 упомянуто выше. Это, в свою очередь, приводит к реконструкции ядра и, наконец, влияет на взаимодействие между дислокацией и точечными дефектами. В отличие от полупроводников, это сломанной-связи описание не  приемлемо для ядра дислокации в металлах за счет странствующей природы проводимости электронов [112]. Концевой и др.. [101] исследовал электронную структуру различных типов дислокаций в интерметаллических NiAl и ОЦК перехода металлов с использованием ab initio реального пространства сильной связи (туго-забинтованой) линейного-сдоба-олово-орбитального
рекурсии метода (см. рисунок 6). Исмаил-Beigi и Ариас [113] сообщают

Рисунок 7: Сравнение трещины в Si используя сильную связь атомов (Вверху) и экологически зависимого межатомного потенциала (ЭЗМП EDIP) атомов (внизу) для трещины, соответственно [114]. F.F. Авраам, Н. Бернштейн, J.Q. Бротон, Д. Хесс, рисунок 7 в "Динамическое разрушение кремния: Параллельное симуляция квантовых электронов, классических атомов и сплошных твердых тел" МRS бюллетень, Vol. 27, вып 5 (2000) с 27-32.Воспроизводится с разрешения бюллетеня MRS.

об ab initio функционала плотности изучении ‹111› ядра винтовой дислокации в ОЦК переходных металлов Mo и Ta.

2.4 Другие примеры
Разрушения поведение является одним из ключевых вопросов механики деформируемого твердого тела. К сожалению, ab initio расчеты энергетики и распространения трещин не так популярны, как дислокации ядра исследований, в основном за счет ограничения вычислительных
ресурсов для увеличения масштабов моделей. Среди исключений линейного масштабирования сильной связи симуляция распространения трещин в Si путем вложения туго забинтованной (tight-binding) зоны в классической молекулярной динамики зоны [114] в рамках контекста различных пространственных масштабов моделирования, которые будут введены позже в этой главе. Как показано на рисунке 7, сравнение сильной связи и молекулярной динамики показывает ясно  различие между этими двумя методами. В дополнение к примерам, приведенным выше, атомная  структура границы зерна  хорошая тема, для которой ab initio расчеты были успешно использованы.

3 Молекулярной динамики симуляции механики материалов
Среди различных методологий для атомного уровня симуляций, молекулярная динамика (МД)  одна из самых популярных инструментов для исследования механических поведения материалов. Предлагая хорошо определенное описание модели, проблемы разрешимы, молекулярная динамика по-прежнему перспективна, особенно для проблем, вроде размер модели  слишком большой использовать квантовую симуляцию, но атомная резолюция должна быть сохранена. Например, Кадау (Kadau) и др..[115] недавно использовали симуляции несколько миллионов атомов молекулярной динамики для исследования ударно индуцированного фазовое превращения твердого тела железа. Как показано на рисунке 8, они симулировали, что выше критической  шок прочности, многие малые плотной упаковки зерна зарождаются в ударно-сжатых  ОЦК-(тела центрированный кубик bcc) выращивания кристалла на пикосекундной шкале времени, чтобы сформировать большие, энергетически выгодные зерна [115]. Квантовые симуляции, такие как метод тугого бинта (сильной связи) и ab initio (изначальные) расчеты, не способны этого большого размера проблем, и в то же время, континуум симуляции не может обеспечить атомные детали, которые взяты точностью метода погруженного атома (ЕАМ) потенциала в этом анализе. Этот пример хорошо демонстрирует чрезвычайно важную роль молекулярной динамики в области вычислительной наномеханики материалов. В этом разделе обзор вклада молекулярной динамики на развитие вычислительной наномеханики через представленные численные примеры. Последние краткий обзор атомистического моделирования механического поведения может также быть найден в работе [116].
3,1 Основы молекулярной динамики
Молекулярная динамика (МД) была впервые использована в термодинамике и физической химии для расчета коллективных или средних термохимических свойств различных физических систем, в том числе газов, жидкостей и твердых тел3. Это было недавно применено для симулирования мгновенного атомного поведения материала системы. Существуют два основных предположения, сделанных в стандартных молекулярной динамики симуляциях [117-120]:
1) молекулы или атомы описываются как системы взаимодействующих материала точек, движение которых описывается динамически с вектором мгновенного положения и скорости. Атомное взаимодействие имеет сильную зависимость от

3Раздел 3,1 взят из компьютерных методов в прикладной механики и машиностроения, Vol. 193, ВK Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парка, Введение в вычислительные наномеханику и материалы, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения от Elsevier.

Рисунок 8: Шокированные образцы (ударные фронты распространяются слева направо) после 8,76 пс для четырех различных шок прочности  в ОЦК [001] направлении. Атома цвета соответственно серый для нешоковые (unshocked ) ОЦК, синий для одноосно сжатого ОЦК, красный для преобразованного плотной упаковки зерна, и желтый для зерен границ [115]. Печатается с разрешения К. Кадау, TC Германн, ПС
Ломдал и БЛ Холиан, Микроскопическое зрение структурных фазовых переходов индуцированных ударных волн, Science, Vol. 296, стр. 1681-1684, 2002. Авторские права [2002] AAAS.


пространственной ориентации и расстояния между отдельными атомами. Эту модель часто называют мягкой моделью сферы, где мягкость аналогична
для электронных облаков атомов.
2) Отсутствие массовых изменений в системе. Эквивалентно, число атомов в системе остается прежней. Симулируемая система, как правило, рассматривается как изолированная система области с сохраняющейся энергией. Однако, неконсервативные техники [121-126] также доступны, какая модель диссипации кинетической энергию в окружающую среду.
3.1.1 Лагранжа Уравнения движения
Уравнения движения системы взаимодействующих материальных точек (частиц или атомов), имеющие S степеней свободы в общей сложности, в целом можно записать в терме лагранжиана L, например, [127, 128],
(3.21)
Здесь q являются обобщенными координатами, наблюдаемые однозначно определяющие пространственное положение атомов, и наложения точки обозначает производные по времени. Как будет видно ниже, уравнение (3.21) можно также записать в термах обобщенных координат и обобщенных моментах, и удобно использовать для формулировок статистической механики.
Симуляция молекулярной динамики обычно работает со ссылкой на Картесиан системы координат (ДК+ цилиндрическая + сферическая), где уравнение (3.21) упрощаются, чтобы урожай
 (3.22)
где ri = (xi, yi, zi) радиус-вектор атома i и N общее
число атомов. Пространственный объем, занимаемый этими атомами N, как правило, называют MD областью.
В связи с однородностью времени и пространства, а также изотропией пространства в инерциальных системах, уравнения Лагранжа движения не должны зависеть от выбора начального момента времени наблюдения, происхождения системы координат, и направления его оси. Эти основные принципы эквивалентны требованиям, что функция Лагранжа не зависит явно от времени, направлений позиции и векторов скорости, и это может зависеть только от по абсолютной величины векторов скорости. Для того, чтобы обеспечить одинаковые уравнения движения во всех инерциальных системах координат, лагранжиан должен также соблюдать принцип относительности Галилея. Одна функция, удовлетворяющая всем этим требованиям читает [128]
(3.23)
для системы свободы, не взаимодействующих частиц; mi масса частицы i.
Взаимодействие между частицами может быть описано путем добавления к (3,23) конкретной функции координат атомов U, в зависимости от свойств
этого взаимодействия. Такая функция определена с отрицательным знаком, так что Лагранжева система приобретает вид
 (3.24)
Это дает главную структуру лагранжиана для консервативной системы
взаимодействующих материальных точек в Картесиан координатах. Важно отметить, две особенности этого лагранжиана: аддитивность кинетической энергии терма и отсутствие явной зависимости от времени. Тот факт, что потенциал энергии терма зависит только от пространственной конфигурации частиц, заключает, что любое изменение в этой конфигурации приводит к немедленному эффекту на движение всех частиц в симулируемой области. Неизбежность этого предположения связано с принципом относительности. Действительно, если такой эффект распространяется с конечной скоростью, формирователь будет зависеть от  выбора инерциальной системы. В этом случае законы движения (в частности, MD решения) будут разнородны в различных системах, что противоречило бы принципу относительности.
Подставляя лагранжиан к уравнению (3.22), уравнения движения
может, наконец, записать в ньютоновской форме,
 (3,25)
Силы Fi, как правило, относят к инерциальной силе, т. е. сила, действующая
на атом i из-за специфики среды, она была открыта для уравнения (3,25)
далее решается для данного набора начальных условий для получения траектории движения атомов в симулируемой системе.
Важный вопрос, возникающий в МД симуляции учет для механизма проводимости тепла вдаль от локализованной области интереса.
MD область, как правило, слишком мала, чтобы должным образом описать этот процесс в рамках консервативной системы. Современные компьютерные мощности позволяют моделировать области с максимум несколько миллиардов атомов (при очень простая модель межатомных потенциалов  используется), что соответствует размеру образца материала лишь около 0,1 ; 0,1 ; 0,1 мкм3. МД чаще всего выполняется с использованием периодических граничных условий, это означает, что полная энергия в системе остается постоянной. Искусственные затухания сил могут также применяться для группы атомов вдоль границы MD области. Это известно, как техника термостата, см. [121], например. Однако, этот подход не может захватить истинный механизм диссипации в реальных системах. Кроме того, потенциальный член энергии показан в уравнении (3,24), не имея явной зависимости от времени, предполагает использование консервативных моделей. Согласно некоторым последним исследованиям [124, 126], не консервативные модели также могут быть построены с использованием этой основной формы лагранжиана и реализации так называемой "волны-передачи" граничных условий для описания диссипации энергии от молекулярной динамики доменов в окружающую среду.
Основная идея такого подхода заключается в расчете реакции внешнего
региона возбуждения происходящих из MD области на каждом временном шаге
симуляции. Отток тепла затем отменен из-за отрицательной
работы соответствующими силами ответа применительно к граничным атомам
в локализованной области интереса.
Классическая лагранжева формулировка, обсуждаемая в этом пункте, как правило, использована для тех молекулярной динамики симуляций, направленные на анализ детальных движений атомов, а не на получение усредненных (статистических) характеристик [117]. В последнем случае гамильтонова формулировка может быть альтернативно использоваться, как будет обсуждаться в следующем.

3.1.2 Гамильтона уравнения движения.
Лагранжева формулировка для MD уравнений движения выше
предполагает описание механического состояния симулируемой системы
помощью обобщенных координат и скоростей. Это описание, однако,
не единственно возможно. Альтернативное описание в терминах обобщенных
координат и импульсов, используется в рамках гамильтоновой формулировки
[127128]. Формирователь обеспечивает ряд преимуществ, в частности,
при изучении главной или усредненной особенностей симулируемой системы, такие как специфика распределения энергии и теплового потока, а также в вычислительных физических наблюдаемых (термодинамические величины), таких как температура, объем и давления. В последнем случае, методы методов статистической механики  работают, и они обычно используют гамильтонову формулировку в описании состояния и эволюции многочастичных систем.
Чтобы следовать другим путем к описанию динамической системы, давайте использовать главенствующую координату q и канонический момент (импульсы) , как наши независимые переменные. Следующее использует полный дифференциал  Лагранжиана  с суммированием конвенции над ; = 1, 2, ..., s,
 (3.26)
Таким образом, мы получаем
 (3,27)
Здесь, количество, , в общем, функция (q;, р;, t), и
называется гамильтонианом, то есть,
 (3.28)
и
 (3.29)
Используя уравнения Лагранжа, мы можем записать как
(3,30)
Тогда из уравнения (3.28), имеем
 (3,31)
С другой стороны, мы можем также написать,
 (3,32)
Если сравнить уравнение (3,31) и уравнение (3,32), то получим окончательно
Гамильтона уравнения движения в виде
, , (3.33)
Если лагранжиан не явная функция времени, он может легко показать,
что гамильтониан является постоянным и, таким образом, система консервативна [127, 128]. Для консервативной системы N взаимодействующих атомов в Картесиан системе координат, Гамильтониана описание приобретает следующий вид,
 (3.34)
, (3.35)
где импульсы, связанные с позицией векторов .
Если функция Гамильтона и начальное состояние атомов в системе
известно, можно вычислить мгновенные положения и импульсы
атомов на все последующие времена, решая уравнения (3.35). Это может быть
особое значение в изучении динамической эволюции атомной структуры
и облигаций (бондов), а также термодинамические состояния системы. Заметим, однако,  что уравнения Ньютона, уравнения (3,25), следующие из лагранжиана
формулировок, уравнение (3.21), может быть более подходящим в изучении
конкретных деталей атомистических процессов, особенно в твердых телах. Ньютона формулировки, как правило, более удобны с точки зрения введения внешних сил и ограничений (например, периодическими граничными условиями), а также пост-обработки и визуализации результатов.
3.1.3 Межатомные потенциалы.
В соответствии с уравнением (3,25), главная структура управляющих уравнений для симуляций молекулярной динамики задается прямо-вперед (straightforward простым) второго порядка  обыкновенными  дифференциальными уравнениями. Однако, потенциальная функция для уравнения (3,25) может быть очень сложной частью, когда точно представляет межатомное взаимодействие в системе, быть симулирована. Природа этого взаимодействия из-за сложных квантовых эффектов имеет место в субатомном уровне, который отвечает за химические свойства, такие как валентность и энергии связи; квантовые эффекты также несут ответственность за пространственное расположение межатомных связей, их образование и разрушение. В целях  получения надежных результатов в молекулярной динамики симуляциях, желательно для классического межатомного потенциала точно объяснить эти квантовые механические процессы, пусть  в усредненном смысле.
Оттоки, связанные с формой потенциальной функции для различных классов атомных систем, были широко обсуждены в литературе. Главная структура этой функции представлена следующим
 (3.36)
где rn-вектор n-й частицы, и функция Vm называется m-тела потенциал. Первый член уравнения (3,36) представляет энергию за счет внешнего силового поля, такие, как гравитационное и электростатическое,  в котором система погружена; второй член показывает парное  взаимодействия частиц, третий член дает трех тел компоненты и т.д. На практике, член внешнего поля, как правило, игнорируется, а все многих тел эффекты выключены в целях сокращения вычислительных затрат симуляции.
На субатомном уровне, электростатическое поле в связи с положительно заряженными атомными ядрами нейтрализуется отрицательно заряженным электроным облаком, окружающим ядра. В рамках квантово-механического описания электронного движения, вероятностный подход используется для оценки вероятности плотностей, при которых электроны могут занимать частности пространственного расположения. "Электронное облако" термин обычно используется по отношению к пространственным распределениям этих плотностей. Отрицательно заряженные электронные облака, однако, опыт кросс-атома притяжения, которое растет как расстояние между ядрами уменьшается. При достижении некоторого определенного расстояния, которое называется длина связи, это притяжение уравновешено отталкивающей силой в связи с положительно заряженным ядром. Дальнейшее уменьшение между ядрами расстояния приводит к быстрому росту результирующей силы отталкивания.
Там существует множество математических моделей для описания выше
физических явлений. В 1924 году Джонс предложил следующую потенциальную функцию для описания парных межатомных взаимодействий,
 (3.37)
Эта модель, в настоящее время известный как Леннард-Джонса (LJ) потенциал,
используется при моделировании большого разнообразия атомистических систем и процессов. Здесь, rij является расстояние между атомами-вектор, ; это столкновения диаметр, расстояние, на котором V (r) = 0, и ; показывает связь / энергия дислокации, т. е. минимум функции уравнения (3.37) происходящий у атомной пары
Рисунок 9: Парные потенциалы и межатомные силы: () Леннарда-Джонса
и (б) Морса потенциалы [7]. Переиздание рисунка из компьютерных методов в
Прикладной механике и машиностроении, Vol. 193, В. К. Лю, Э. Г. Карпов,
С. Чжан и ХС Парк, Введение в вычислительную наномеханику
и материалы, страницы Номер 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения
от Elsevier.

в равновесии. Первый член этого потенциала представляет атомное отталкивание, доминирующее на малых расстояниях разделения в то время как второй член показывает привлекательность (связи) между двумя атомами. Так как в квадратные скобки количество является безразмерным, выбор единиц для V зависит от определения ;. Как правило, ;  порядка 10-19 ~ 10-18 (J), поэтому удобнее использовать меньшие энергии единицы, такие как электрон-вольт (эВ), а не джоули. 1 (ЭВ) = 1,602 ; 10-19 (J), которая представляет работу сделанную, если элементарных заряд ускоряется электростатическим полем единицы напряжения. Энергия ; представляет собой объем работы, который необходимо сделать для того, чтобы передвинуть один из двух связанных атомов из положения равновесия ; до бесконечности. Значение ; также известно как длина связи равновесия, и это связано с диаметром столкновения. В типичной атомистической системе, ; столкновения диаметр
составляет несколько ангстрем (;), 1 (;) = 10-10 (m).Соответствующая сила
между двумя атомами может быть выражена как функция межатомного
расстояния,
(3.38)
Этот потенциал и соответствующая силовая функция приведены в терминах
межатомного расстояния на рисунке 9 (a), используя безразмерные величины.
Другая популярная модель парного взаимодействия известна как Морса
потенциал на рис 9 (б),
,  ( 3.39)
где ; и ;  равновесная длина связи и энергия дислокации соответственно; ;· является обратным коэффициентом шкалы длины. Как и в Леннард-Джонса модели, первый член этого потенциала отталкивающий, а второй  притягивающий, который интерпретируется как представляющий связи. Морса потенциал был адаптирован для моделирования взаимодействия атомов в различных типах материалов и интерфейсов; примеры можно найти в [129, 130]. Леннард- Джонса и Морса наиболее часто используются в молекулярной динамики симуляциях, основанные на попарном (pairwise пары мудрое) приближении, в области химии, физики и техники.
Более высокого порядка члены потенциальной функции, уравнения (3,36),  обычно используются при моделировании твердых тел и сложных молекулярных структур за счет для образования химических связей, их топологии и пространственной композиции, а также химической валентности атомов.Однако, практическое осуществление взаимодействия многих тел может быть чрезвычайно закручено. Как результат, всегда многих тел члены порядка выше, чем три, как правило, игнорируются. По существу, трех тел потенциал V3 предназначен для обеспечения вклада в потенциальную энергию в связи с изменением угла между радиус-векторами rij =ri -rj, в дополнение к изменению абсолютных значений rij = | ri -rj |. Это учитывает изменения в молекулярных формах и связи геометрии в атомистической структуре, например, [131, 132].
Однако, общие потенциалы трех тел, таких как V3 в уравнении (3,36),
были подвергнуты критике за их неспособность описать энергетику всех возможных связей геометрии [133-135], а общий вид для четырех- и
пяти тел потенциалов появляется неразрешимым, и будет содержать слишком много свободных параметров. В результате, ряд дополнительных парных потенциалов были предложены, чтобы эффективно учитывать специфику местной атомистической среды путем включения некоторых частностей зависимости многих тел внутри функция V2, известной как связь порядка функции, а не введения многих тел потенциальных функций Vm> 2. Эти члены включают неявно угловую зависимость межатомных сил путем введения связи порядка функции, в то время как общая попарная формулировка сохраняется. Кроме того, эти потенциалы, как правило, рассматриваются как ближнего ранга  единицы, т. е. учет взаимодействия между текущим атомом и несколькими соседями только. Некоторые из наиболее распространенных моделей этого типа следующие: Tersoff потенциала [135-137] для класса ковалентных систем, таких как углерод, кремний и германий,
Бреннера [138-140] и реактивной эмпирического порядка связи (REBO) [141] потенциалов для углерода и углеводородных молекул, и Финнис-Синклер потенциал для ОЦК-металлов [142, 143].
Несмотря на разнообразие существующих местных потенциалов окружающей среды, все их функция общей всеобщей структуры, определяется следующим выражением
 (3.40)
где VR. и VА попарно отталкивания и притяжения взаимодействия, соответственно, и В связи порядка функция предназначена для представления многих тел эффектов путем учета пространственного расположения облигаций в текущего атома близости.
Кремния потенциал модели Терсов (Tersoff) [135] дает пример местной среды подход как
 (3.41)
 (3,42)
 (3.43)
(3.44)
Здесь, отреза функция выбрана в качестве
(3.45),
где среднего интервала функция известна как "кожа" потенциала.
Заметим, что если местный порядок связи игнорируется, так что B = 2A = сonst,
и ;1 = 2 ;2, потенциал сводится к модели Морзе, уравнения (3,39), на
r<R-D.  Другими словами, все отклонения от потенциала простой пары приписываются в зависимости от функции B в локальной атомной окружающей среде. Значение этой функции определяется количеством конкурирующих связей, прочность ; связей и углы ; между ними (;ijk показывает
угол между связями ij и ik.). Функция ; взвешенная мера
количества связей, конкурирующих с связью i-j, и параметр n
показывает, насколько ближайшие соседи предпочтительны перед более удаленными в конкурсе для формирования связей. Для более подробной информации, обратитесь к [135].
Потенциалы предложенный Бреннер и сотрудниками [138141], как правило, рассматривают как более точные, хотя и более закрученные, расширения Терсова (Tersoff) модели [135-137]. Бреннер потенциалы включают более подробные члены VА, VВ и Bij  подсчитывать  для различных типов химических связей, которые возникают в алмазе и графите фазах углерода, а также углеводородных молекул.
Другая специальная форма потенциала многих тел обеспечивается погруженного атома методом (EAM) для металлических систем [144-146]. Один привлекательный аспект EAM - его физическая картина металлической связи, где каждый атом погружён в принимающей электронный газ создающийся всеми соседними атомами. Атом-хост взаимодействие  более сложно, чем простые попарные модели. Это взаимодействие описывается в совокупном образе, в терминах эмпирической функции энергии вложения. Вложения функция включает в себя некоторые важные многих атомов эффекты путем предоставления количества энергии (работы), необходимой для вставки одного атома в электронный газ данной плотности. Вся потенциальная энергия U включает вложения энергии G всех атомов в системе, и электростатические попарные энергии взаимодействия V как
 (3.46)
Здесь, ;aj усредненная плотность электронов для принимающего (хост) атома j, рассматривается как функция от расстояния между этим атомом и погруженного атома i.Таким образом, хост плотность электронов (принимающего) используется в виде линейной суперпозиции вкладов  отдельных атомов, которые в свою очередь считаются сферически симметричными. Погруженного атома метод был успешно применен для изучения дефектов и разрушений, границ зерен, между -диффузией в сплавах, жидких металлах, и других металлических системах и процессах [144].
3,2 Разрушения и отказ
В отличие от  квантовых моделирования и симуляции механики материалов, одно из самых успешных полей в механике, что молекулярной динамики
симуляции внесли, - наноразмерная механика разрушения, включая трещин распространение и дислокацию выбросов. Ранний пример крупномасштабной молекулярной  динамики симуляции полной 3D разрушения поведения твердых тел сообщался Чжоу и др.. [147148], где они выступали с массовым параллелизмом 3D молекулярной динамики симуляции с до 35 миллионов атомов в исследованных пластичных разрушениях (податливый отказ ductile failure). Они наблюдали, как указано на рисунке 10, что дислокационные петли испускаются от фронта трещины, в первый раз в 3D компьютерного симуляции [147]. Они смогли получить важную механистическую информацию  на атомном уровне, которая была недоступна экспериментами. Другой крупной шкалы молекулярную динамику дислокаций выбросов от распространяющейся вершины трещины можно найти в [149], где более одного миллиарда атомов  были симулированы в три мерном ГЦК твердого тела куба и межатомный потенциал был Леннард-Джона модели потенциал. Хрупкий-к-вязкому переход и работа-утяжеление (work-hardening) процесс были подробно исследованы в субмикронной шкале, как показано на рисунке 11. Эти примеры ультра крупной шкалы молекулярной динамики симуляций ясно показывают уникальную роль молекулярной динамики в преодолении квантовой и континуума симуляций в изучении сбоев в твердых телах.
Совсем недавно, Авраам и др. [151] использовали крупномасштабные молекулярной динамики симуляции, чтобы показать, что упругое поведение твердых тел наблюдается в больших странностях (нарушениях, деформациях) (гиперупругости) могут играть определяющую роль в динамике разрушения, и что линейная теория упругости не в состоянии объяснить все разрушения явления. Из их симуляции  результаты, они пришли ввести новые концепции характеристической шкалы длины для потока энергии вблизи вершины трещины. Успешно, они показали, что местные гиперупругие скорости волны регулируют скорость трещины, когда гиперупругая зона (рис. 12) подоходит
к этой энергии шкале длины [151]. Классическая теория динамики разрушения
не задерживает действительное как только гиперупругой зоны размер становится сравнимым с энергии характеристической длиной [151]. Это характеристическая длина для местной энергии потока вблизи наконечника трещины никогда не обсуждалась ранее. Вместе с тем, из их молекулярной динамики симуляций, они становятся в настоящее время центральным понятием в понимании эффекта гиперупругости.
Молекулярно-динамическое симуляция разрушения также внесло вклад в понимание предела скорости распространения трещины в [152-154].Как показано в рисунке 13, механизмы распространения межзвуковой (intersonic) трещины вдоль слабого интерфейса при сдвиге, доминируемой загрузки, были изучены молекулярной динамики симуляцией [152], которая также мотивированные обширные исследования континуумом распространения трещины на скорости более звукового барьера. В дополнение к тем, введенным выше, имели место многочисленные примеры МД симуляций для механизма разрушения на наноуровне.
3,3 Дислокации движение.
Динамические свойства дислокаций играют важную роль в механическом
поведении материалов, в частности, в теории пластичности, и пластичное
поведение материала непосредственно определяется скоростью дислокации и
плотности [155, 156]. Прямой молекулярной динамики симуляции для изучения

Рисунок 10: Дислокация петель выпущенная фронта трещиной. 35 миллионов атомов взаимодействующих описываются потенциальными EAM Си. (Вверху) Первый назад дислокации выброс; (внизу) петели дислокации в регионе после удаления свободных поверхностей, смотря вдоль фронта трещины [148]. Переиздание рисунка от инженерной механики разрушения, Vol. 61, С. Я. Чжоу, П. С. Ломдаль, А. Ф.Вотер и Б. Л. Холиан, Трехмерный разлом с помощью крупношкальной молекулярной динамики, страницы  173-187, Авторские права (1998), с разрешения от Elsevier.


Рисунок 11: Последовательность дислокации выбросов от трещины. Только атомы с потенциальной энергии менее 97% от объемного значения отображаются, в результате в выбранной визуализации атомов соседних поверхности и дислокаций [150]. Переиздание рисунок от Ж. Механика. Физ. Твердых тел, Vol. 49, Ф. Ф. Абрахам,
Атомная динамика разрушения, страницы 2095-2111, авторские права (2001),
с разрешения Elsevier.

Рисунок 12: Гиперупругие зоны (а)  межзвуковая мода I  движения трещины и (Б) сверхзвуковая мода II  движения трещины [151], с разрешения правообладателя от Nature Publishing Group.


Рисунок 13: Молекулярной динамики симуляция межзвуковых трещин [152]. Переиздание рисунка от Ж. Механика. Физ. Твердых тел, Vol. 49, Х. Гао, Й. Хуан и ФФ Авраама, Континуума и атомистические исследования  межзвуковой  трещины, Страницы  2113-2132, Аавторские права (2001), с разрешения от Elsevier.


Рисунок 14: Пример  процесса пересечения дислокации в меди [158].
Перепечатано из СД Чжоу, Д. Престон, ПС Ломдал и Д. Бизли,
Крупношкальные симуляции молекулярной динамики   пересечения дислокации в меди, Science, Vol. 279, стр. 1525-1527, 1998, с любезного разрешения AAAP. Этот рис. также находится в общественном достоянии, свободно использовать.

дислокаций еще некоторые трудности, возникающие в основном из ограниченной шкалы времени моделирования (наносекунды, по большей части) и сложности создания соответствующей микроструктуры дислокации для систем с ограниченным числом частиц [157]. Тем не менее, было много исследований, чтобы продемонстрировать возможности прямых симуляций MD движения дислокаций потому что, во многих случаях, они по-прежнему только методология возможная для понимания основных механизмов атомного уровня управляющих комплексом пластического поведения деформации в материалах [156, 157].
Среди многочисленных примеров прямой симуляции MD дислокации движений и взаимодействий, перпендикулярно взаимодействию расширенной дислокации в меди было симулировано как показано на рисунке 14, содержащем до 3,5 млн. атомов золота [158]. Это сложный процесс взаимодействия дислокаций можно визуализировать и таким образом проанализирован в пути, который не был доступен экспериментом. Дислокация движений в ОЦК металлов была симулирована
прямой молекулярной динамикой Ип и сотрудниками [156, 157]. Аналогично, для примера, исследованы были дислокации взаимодействия и само-диффузия в алюминии [159], поперечного скольжения винтовых дислокаций в меди [160], мобильность исследования
Рисунок 15: Распределение напряжения сдвига и атомной конфигурации вокруг ядра дислокации, скорость которых составляет более звукового барьера [164]. Переизданный от Применения. Физ. Письма, Vol. 80, К. Ли и С.-К. Ши, Дислокация прыжка над звуковым барьером в вольфраме, стр. 3069-3071, авторские права (2002), с разрешение от Американского института физики.

краевой дислокации в алюминии [161] и динамические свойства винта
дислокации в золоте [162].
Еще одна интересная симуляция о пределе скорости дислокации.
Молекулярно-динамическое моделирование показало, что дислокации могут превзойти звуковой барьер на скорости сдвига волны [163, 164].Дислокация быстрее, чем звук, как считалось, невозможна, потому что энергия, затраченная
в излучение имеет особенность здесь. Гамбш и Гао [163] показали, что
дислокация может двигаться быстрее, что скорость звука, если они создаются как сверхзвуковые дислокации в сильной концентрации напряжений и могут быть субъектом высоких напряжений сдвига. Их исследование последовало великому делу континуума и атомистического исследований сверхзвуковых дислокаций позже. Они моделируются упруго изотропного материала вольфрама Финнис-Синклер потенциалом [142], и получил дислокации скорость в 1,4 раза быстрее скорости звука. Аналогичные результаты были получены и в более поздней симуляции, которая показывает ясный фронт ударной волны, приведенный на рисунке 15.
Хотя это и не полностью динамическое моделирование, подталкивающая упругая  лента (ПУЛ  nudged –elastic band NEB) метод [165] был очень полезным, особенно для атомного – уровня энергетики движения дислокаций и взаимодействия. Этот метод удобная схема для определения механизмов реакций, энергии активации, и
Рисунок 16: Подталкивающей упругой ленты метод для аннигиляци (уничтожения ) симуляции подтолкнутого диполя [166]. Печатается по Т. Вегге и K.В.Якобсен, Атомистическая симуляция процессов дислокации в меди, J. Phys. Конденс. Материя, Том. 14, стр. 2929-2956, с разрешения Института физики публикования.
 
Рисунок 17: Атомные конфигурации по пути перехода
из петли выбросов от наконечника трещины, что соответствует
минимальной энергии пути рассчитанной по подталкивающей эластичной ленты методу [168]. 
Печатается по Тинг Чжу, Чжу Ли и Сидни Ип,
http://alum.mit.edu/www/zhut/prl04/crack.pdf
, 2004, с разрешения Tинг Чжу.

поиска переходных состояний (т. е. точки седла в энергии пейзаже), для
сложных процессов с участием многих степеней свободы [166]. Рисунок 16
иллюстрирует пример моделирования ПУЛ, который предлагает пути реакции
от аннигиляции поворотного диполя. Как одна винтовая дислокация, ступеньки
диполя остаются (кон- телом) суженные, и поэтому может мигрировать вдоль дислокации с легкостью. В связи с полем напряжений от других дислокаций, здесь существует сила движущая пробежки в направлении, которое минимизирует дипольную длину. При некоторой критической высоты диполя, один из дислокаций инициирует поперечное скольжения, как показано на (с) Рисунке 16. Метод ПУЛ, наряду с димера методом [167], был недавно использован для атомистического расчета перевала (седловой точки) конфигурации и энергии активации зарождения трехмерной петли дислокации из напряженной вершины трещины в одном кристалле
меди [168], как дано на рисунке 17. Эти исследования энергии активации позволяют оценить скорость термически активированной дислокации зарождения [168].
3,4 Поликристаллы и зерен связывание.
В дополнение к монокристаллу, молекулярной динамики симуляции  популярно используются для исследования гораздо более сложного пластического поведения поликристаллов с наноразмерами зерна. Последняя крупношкальная молекулярной динамики симуляция с использованием системы размеров до 100 миллионов атомов свидетельствует, что пластическая деформация нанокристаллической меди нанометровой шкалы зерен вполне  отлична от более крупных шкал размеров зерна [169]. В симуляции, распад прочности нанокристаллиновой меди наблюдались более
порога размера зерна от 10 до 15 нм. Это обратное Холла-Петча
соотношение можно объяснить результатами симуляции, что деформации
механизм изменился в этом режиме. То есть, пластическая деформация
больше не доминирует движением дислокации, но вместо этого несут атомистическое раздвижение (скольжения слайдинг) в зерен связывании, которые для очень мелких зерен составляют существенную часть материала [169]. Как видно на рисунке 18, симуляция также наблюдает, что дислокации -груда вверх  возле зерен связывания. Один из интересных выводов зерен связывание-относительное  явление- это углубления структуры [170]. Из растяжение экспериментов полностью плотной нанокристаллической структуры с размером зерна менее 100 нанометров, хорошо известно, что их тяжесть увеличивается значительно. В то же время, замечательное падение в  удлинение-к разрушению кривой наблюдается также, что указывает на хрупкое поведения. Однако, ямочка структур, наблюдается при разрушении поверхности, строго подразумевает, что существует некоторый тип вязкого разрушения механизм закрученный. Последние крупношкальные атомистические симуляции предлагающие, что эти углубления структуры, результат из местного плоского  сдвига,  формируются вокруг кластерного зерна так, что в связи с их частичной разориентацией, не могут участвовать в  связывании зерна расположения, что в целом с большим углом связывания зерен необходимо для хорошей пластичности [170].
Там было много других MD исследований поликристаллов и границ зерен. Среди примеров, как следует. Де Конинг и др.. [171] исследовал сопротивление на скольжение решетки дислокаций между соседними кристалла
зернами в связи с наличием границ зерен. Латапи (Latapie) и Фаркаш [172]
осуществляют классические атомистические исследования распространения трещин в полностью трехмерном нанокристалле ОЦК-Fe для изучения влияния температуры и среднего размера зерна на механизмы разрушения и свойства.
Хаснауи (Hasnaoui) и др.. [173] использовал крупномасштабные молекулярной динамики симуляции для исследования пластической деформации нанокристаллического образца модели Ni со средним размером зерна от 5 нм содержащий 125 зерна при 800 К до 4,0 % пластической деформации. Они отметили, возникающие сдвига плоскости с участием нескольких зерен связок, что указывает на совместную пластичную активность деформации между зернами. Три механизма оказались соответствующими: зерносвязанной миграции, непрерывности плоского сдвига через внутризеренное скольжения и вращение и слияние зерен. Ямаков (Yamakov) и др.. [174] разработали свой собственный массивно параллельно молекулярной динамики код для симуляции поликристаллической пластичности выяснить сложную взаимосвязь между дислокацией и ЗС (GB grain boundary) процессами во время комнатной температуры пластической деформации модели нанокристаллических-Al микроструктур. Их симуляция показала, что при относительно высоком напряжении  и больших пластических деформациях, обширные деформации двойникования происходят, в дополнение к деформации от обычного механизма дислокации скольжения (слип).
3,5 Дефекты Генерация Наноиндентированием и
наноловлей (Nanoscatching)
С появлением атомно-силовой микроскопии, прямые атомистической механики симуляции наноиндентирования-индуцированные дефекты механизма стали популярными инструментами, которые предоставляют нам лучшее понимание механизма атомного уровня пластической деформации. Чтобы назвать несколько примеров, от их молекулярной динамики и молекулярной механики симуляций наноиндентирования, Келчнер и др.. [175] сообщили, что начальные частичные петли дислокации были зарождены отключением индентировния оси ниже Au (111) поверхности, как указано на рисунке 19.Ли и др.  [176] и Ван Влиет и др.. [177] провели молекулярной динамики
Си (111) и Al (111) наноиндентирования (nanoindentations) для всестороннего изучения дислокаций зарождения и кинетики. Рисунок 20- от их результатов, показывает панорамный вид на скольжение петли индуцированных нанонадавливанием (nanoindentaion) на Al (111) поверхности. Использование обоих минимизаций энергии и постоянной температуры

Рисунок 18: Дислокации (серебро) вблизи границы зерна (зеленый). Дислокация
раслаивает на две части (). Дислокаций скопления (свая- вверх) показаны в регионе обозначается (В) и (С) [169]. Печатается с разрешения Дж. Schiшtz
и KW Якобсен, максимум в силу нанокристаллической меди,
Science, Vol. 301, стр. 1357-1359, 2003. Авторское право [2003] AAAS.

Рисунок 19: Атомистической симуляции снимок зарождения дислокации в
первой пластичной текучести (урожая) точки на Au (111) [175]. Две петли дислокации зарождение отключают оси отпечатка (надавливания) поднитью надавливающей поверхности. Переиздание рисунка с разрешения CL Келчнер, SJ Plimpton и Дж. Гамильтон, Физические B Обзор, Vol. 58, стр. 11085-11088, 1998.Авторские права (1998), Американского физического общества.

молекулярной динамики, Родригес де ла Фуэнте и др.. [178] было показано,
образование и движение бугров на Au (001) поверхности под наноиндентированием. Аналогичные исследования на дефект эволюции, когда отступы ГЦК (001) поверхности были также представлены Ганнепалли (Gannepalli) и Маллапрагада (Mallapragada) [179]. Так хорошо как ГЦК монокристаллов, механизмы генерации дефектов в надавливающих поверхностях кристалла других структур решетки были изучены, таких как Fe монокристалла Смит и др.. [180] и Si (001) поверхности Ганнепалли (Gannepalli) и Малапрагада (Mallapragada) [181]. Эффект зерна связывания на дефектообразовании, когда надавливают би- и поли-кристаллы кроме того были рассмотрены через атомистическое моделирование по Файхтингер и др.. [182] и др. Лиллеоден (Lilleodden). [183].
(Nanoscratching4) Наноцарапание4 является экспериментальной техникой, которая была использована для трибологических исследований в субмикронной шкале, такой как поверхность трения, абразивного износа, и тонкой адгезии пленки [184]. В последние годы эта методология была применена к поверхности структурирующей точно  пашущих поверхностей с наконечником атомного силового микроскопа (АСМ), которая позволяет изготовление наношкалы структур и устройств. Например, в плоских ворот (IPG) транзистор и моноэлектронного транзистор (SET) были изготовлены описанием
 
4Portion раздела 3,5 перепечатаны с С. Джун и др.. Крупномасштабные молекулярной динамики симуляции Al (111) наноцарапания, Нанотехнология, Vol.15, стр. 1169-1174, 2004, с разрешения Института физики Publishing.

Рисунок 20: Объединенные снимки гетерогенно зарожденные призматической
дислокационной петли скольжения через алюминиевую тонкую пленку в молекулярной динамики моделировании ее поверхности (111) наноиндентирования [116]. Переизданный от Acta Materialia, Vol. 51, Дж. Ли, А. Н. В. Нган и Питер Гамбш (Gumbsch), Атомистическое моделирование механического поведения, страницы Количество 5711-5742, Copyright
(2003), с разрешения Elsevier.

поверхностных слоев GaAs / AlGaAs гетероструктур с помощью АFМ наконечника [185], и селективного позиционирования  InAs квантовых точек на  (100) GaAs подложке  была продемонстрирована по рифленой линии порожденных прямым структурированием АСМ [186]. Такие методы в настоящее время под всесторонним развитием, и так считает перспективным для производства и изготовления наноустройств, т.е., механической нанолитографии. Это методы прямой литографии могут привести к существенным изменениям в структурных или других физических свойствах от поцарапанных тонких пленок или подложки. Однако, несмотря на быстрое развитие изготовления техники, еще далек от завершения является нашей основой понимания структурных изменений, происходящих под поверхностью
во время царапания (расчесывания). Это, скорее всего, из-за экспериментальных трудностей  на месте (in situ) наблюдения дефектов и их движения внутри материалов в этой чрезвычайно малой размерности. Таким образом, крупношкальные компьютерные симуляции на атомном разрешении могут, с относительной легкостью, предоставить нам подробности интерьера явления, приноса около,  царапанием.
В отличие от компьютерной симуляции наноиндентирования, только несколько молекулярные исследования динамики были выполнены для механической нанолитографии. Среди примеров царапин моделирования на Ag (100) [187], Cu (111) [188], и Si (100) [189] поверхности. Однако эти симуляции
до сих пор сосредоточены на поверхности явлений, таких как трение и свая-вверх (груда), не на дефект механизма в рамках царапанной поверхности. Единственное исключение это последнее симулирование Ag (100) наноцарапание в котором укладки обломков и частичные дислокации поднити углерода наконечник AFM исследован, а также трения исследования под различными царапин условиями [190]. Они использовали численные модели около полутора миллионов атомов между которыми взаимодействия описываются потенциалом Акленд EAM. Совсем недавно, Джун и др.. [191] проводили крупношкальные молекулярной динамики симуляции  наноцарапания с более чем 6 миллионов атомов EAM. Во время
высокоскоростной вспашки Al (111) поверхности острием АСМ сглаженной конической формы, особое внимание их анализ было уделено на корреляции
между дефектом эволюции и царапания условиях. Они показали, что
форма  острия АСМ влияет грани формированием на поверхности поцарапанного паза, и что царапин направление и глубина также важны для
дефекта эволюции и поверхностных профилей [191].
Наноцарапания-индуцированные дефекты механизма сообщает [191] приведены в следующем. На рисунке 21, показаны взгляды на момент 53,875
(Нм) царапин расстояние, с четырех различных углов перспективы. Модель
содержащиеся 6 060 600 Al атомов. Царапин направления [101] и
глубина проникновения было 4 (нм). Цвета на рисунке включают координации атомов числа, т. е. число ближайших соседних атомов. Атомы
которого номер 12 (идеальной ГЦК решетки) устраняются в этих визуализациях
и, таким образом только связывания атомов и дефекта- связанные атомы
показаны. Несколько типов дефектов, существовавшем в период симуляции отмечены числами на рисунке 21 (а). Во-первых, номер 1 указывает на одну вакансию, а номера 2 и 3 обозначают вакансии кластеров и вакансию цепи соответственно. Их легко распознать по атомным номером координации.Эти
вакансии дефектов типа обильно порожденные движениями и взаимодействиями дислокаций и, как следствие, распространение во всем регионе поднити поцарапанный паз.
Номер 4 и 5 назначит Шокли частичной дислокации петли связывающие укладка-отказанный регион, и число 6 для резьбы дислокации. Большинство дислокаций наблюдается в этой симуляции этих частичных дислокаций, потому что их собственные энергии ниже, чем те  совершенные дислокации. Петли дислокации  номера 4 испускается из области вокруг-наконечника
и скользит по толщине к нижней поверхности. Дислокации
петля номер 5 в основном того же типа, как  один отмеченый
номер 4. Однако его движение ограничивается по верхней поверхности. Он испускается основном направлением движения (наконечника) зонда и скользит вися  сверху поверхности. Эти два типа петель дислокации хорошо  сравнены на рисунке 22.
Рис 21 (б) - вид сверху царапанной поверхности. А также
скопления сделанные накопленных атомов, много следов порожденных дислокацией движений можно увидеть на поверхности. Крупным планом вид поверхности скопления и дефектов тропы приведены на рис 21 (с) и рис 21 (D), вид  спереди и сзади соответственно. Хорошо наблюдаемые сложные сети
поверхностных шагов впереди острия АСМ, которые следы активного движения и взаимодействия дислокаций под поверхностью.

Рисунок 21: Наноцарапания симуляция с 6060600 атомов Al: (а) внутренние
дефекты (б) вид сверху (с) вид спереди (D) вид сзади царапанной поверхности [191]. Печатается по тексту С. Джун и др. Крупношкальные молекулярной динамики симуляции  (111) наноцарапания, Нанотехнология, Vol. 15, стр. 1169-1174, 2004, с разрешения Института физики Publishing.

Рисунок 22: Два скольжения типа Шокли частичные петли дислокации под наноцарапанием [191]. Печатается по тексту С. Джун и др.. Крупношкальные молекулярной динамики симуляции Al (111) наноцарапания, Нанотехнология, Vol.15, стр. 1169-1174, 2004, с разрешения Института физики Publishing.

4 Многомасштабное моделирование материалов механики
Применение наноматериалов таких, как нано-электронно-механические устройства включает в себя много времени и длины шкал, а также много физических механизмов, что по своей природе связаны. Моделирование и симуляции наноматериалов представляют собой одну из наиболее серьезных вызовов в обществе механики. Одной шкалы методы, такие как атомистический подход ограничен по своей сферой и не может обеспечить полный спектр ответов, которые - в наличии. Чтобы преодолеть разрыв между атомистическим и сплошной среды описаниями механики и материалов, большое разнообразие иерархического континуума и многих шкал методы мультифизики были предложены или находятся в разработке.Последние отзывы можно найти в [7, 12, 20]. Хотя эта тема по-прежнему на своем начальном этапе, текущее состояние разработки методологии представлено в следующем.
В континуума подходе, усилия были направлены на использование как
феноменологического так и механизма основанном методах. С хорошим набором заполняющих параметров, феноменологическая теория, такие как линейной упругости [192,193] можно описать механику определенной наноразмерной системы достаточно хорошо. В общем, механизма основанная теория, такая как кристалла упругости [194-196]  служащая для  полной связи  нелинейности и нелокальности межатомных потенциалов для описания континуума. Ключевое предположение, что сделано в
этой теории,- местная однородная деформация, или, что эквивалентно Борна
правило [197-199]. Для не-примитивных решеток, дополнительные переменные [200-202] должны быть введены в разработку, чтобы исправить несоответствия введеные по Борна правилу. Континуума модель осуществляется через
использование конечных элементов (КЭ) метода и может обрабатывать гораздо больший масштаб, чем атомистический подход. Однако, он не может описать местную физику, такую как дефекты. Плюсы (pros) и минусы (cons) как континуума и атомистической модели имеют мотивированное развитие многомасштабных методов симуляции. Они могут быть разделены на иерархические и конкурентные модели, которые обсуждаются
далее в следующих подразделах.
Хотя "многошкальные" могут быть использованы в несколько различном смысле в других дисциплинах, мы бы здесь определим его как симуляция моста шкалы, по которой основная физика полностью различна от каждой
другой. Три представленные рабочие рамки физики соответствуют квантовому,
атомному и континуума шкалам соответственно. Основные трудности в интеграции и связи этих шкал вызваны очевидной разностью в собственном
способе выявления природного объекта; электрон, атом, или сплошного тела
массы. Таким образом, глубокое понимание физического закона на каждом масштабе необходимы для достижения прогресса в многомасштабных моделированиях и симуляциях.
В дальнейшем мы имеем первое дело с основной идеей энергетичной ссылки между молекулярной динамикой и квантовой механикой с задачей  представить распускание цветка, как спаривание может возможно (мочь) работать и какие препятствия должны быть преодолены. Во-вторых, фактическим ограничениям молекулярной динамики симуляции особое внимание будет уделяться, чтобы получить лучшее понимание, что подход должен быть принят для спаривания молекулярной динамики и континуума моделирований. Далее, несколько стратегий спаривания, что до сих пор были предложены, будут рассмотрены с некоторых численных результатов. Среди них,  метод виртуального атома кластера будет представлен как пример наиболее современного метода спаривания. Наконец, отметим пример симуляции мультифизики (multiphyics) так как он очень импортный (важен) в вычислительной наномеханике, а также многомасштабные симуляции. Новый подход к масс бессеточными механикой-индуцированной мультифизике (Multiphysics) будет кратко представлен.
4,1 Энергетическая ссылка между МД и квантовой механикой.
В молекулярной динамике, взаимодействующие частицы рассматриваются либо как материальные точки оказывающие потенциальные силы в их окрестностях, или в виде твердых сфер без внутренних структур (structure5). Другими словами, внутреннее состояние атомов и молекул не меняется в процессе симуляции, и нет никакого обмена энергией между системой MD и отдельными субатомными объектами, электронами и ядрами. Однако, каждый из атомов в MD системы представляет собой скомплектованную физическую область, которая может эволюционировать во времени и переключить свое внутреннее состояние, обмениваясь энергией с окружающей средой. Самое главное, характер усредненных межатомных
сил, которые заняты в МД симуляциях на самом деле определяется
характеристиками субатомных процессов и состояний.
Зависимость потенциальной функции от разделения между
атомами и молекулами и их взаимной ориентации можно, в принципе, получить
из квантово-механических (КМ) расчетов. Дальнейшее использование этой
функции в рамках классического моделирования MD обеспечивает "энергетичную связь" между атомистическим и субатомистическим масштабами. Эти аргументы служат в любом многомасштабном подходе, разработанном на точное отношение MD и КМ симуляций. Действительно, в отсутствие информации о траектории частиц в квантово-механической модели, энергии аргументы исключительно подходят для установления обмена информацией между
5Section 4,1 взяты из Ккомпьютерных методов в прикладной механики и машиностроения, Vol. 193, ВK Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение в вычислительные наномеханики и материалы, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения от Elsevier.

Рисунок 23: Координация в молекуле водорода [7].Печатается по
компьютерным методам в прикладной механике и машиностроение, Vol. 193, В. К. Лю, Е. Карпов, С. Чжан и HS Парка, Введение в вычислительные
наномеханики и материалы, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения Elsevier.

MD и QM подсистемами.
Чтобы проиллюстрировать общее представление о MD / QM спаривании, рассмотрим простой пример с двумя атомами водорода взаимодействующими. Те, включают одну водорода молекулу H2, которая состоит из двух протонов ядер (+) и двух электронов (-). Позиции электронов по отношению к друг другу и ядер определяется длиной r12 и r ;i, ; =a,b, i = 1, 2, и разделения расстояние между двумя атомами дается r, как показано на рисунке 23.
Очевидно, что полная энергия Е этой системы состоит из энергии
два несвязанных атомов водорода, Еa и Еb, а также атомной энергии
член U,
Е=Еа+Eb+U (4,47)
Так как классические модели MD не берут на себя поглощение энергии симулируемым атомом, значения Е, Еa и Еb должны быть связаны с атомными состояниями с минимально возможной энергией, т. е. так называемые основные состояния. При условии, что эти энергии, как известны из квантово-механических расчетов, а полной энергии спаренная система доступна для различных значений r, получаем зависимость E (r), и, следовательно, энергия парных межатомных взаимодействий как функция от r:
U(r);V2(r)=Е(r)-Еa-Eb (4.48)
При необходимости эту функцию можно интерполировать с гладкой кривой, и
затем использовать в классической молекулярной динамике уравнений движения, это есть главная идея  представления ссылки между квантово-механической и  MD симуляциями.

Энергии Еa и Еb могут быть найдены путем решения стационарных Шредингера волнового уравнения для каждого невзаимодействующего атома водорода, т. е. когда они формально положены на бесконечное расстояние разделения, r ; ;. Это уравнение дает функциональные задачи на собственные значения
 (4.49)
 (4,50)
Здесь ;, m и e постоянная Планка, масса и заряд электрона, соответственно; ; является оператор Лапласа, а ra = ra1, rb = rb1. ;
одноэлектронный оператор Гамильтона. Этот оператор напоминает гамильтониана функцию классической динамики, которая представляет полную энергию системы в терминах координат и импульсов частиц. Аналогично,
первый член в уравнении (4.49) оператор кинетической энергии, а второй
член дает Куломба потенциал электростатического электрон-протонного
взаимодействия. Очевидно, Ea = Eb и ;а = ;b для двух одинаковых атомов в
основных состояниях. Мы все-таки сохраним выше обозначения для
общности, потому, что подобные рассуждения справедливы и для пары различных атомов.
Решение волновой функции, такие как ;;, обеспечивает полное описание
в квантово-механической системы в соответствующем состоянии энергии.
В то же время, сама волновая функция не дает немедленного физического понимания. Она служит в качестве математического инструмента только и не может быть определена экспериментально. Она используется в дальнейших расчетах с целью получения наблюдаемых величин. Например, продукт ;;*;;, где звездочка означает комплексное сопряжение, обеспечивает вещественную функцию плотности вероятности электрона. Его интегрирование по пространственной области, в непосредственной близости от ядра несвязанного атома приводит в вероятность нахождения электрона в этой пространственной области. Одноэлектронная волновая функция ;; часто называется водорода атомной орбиталью.
В принципе, полная энергия Е связаной двухатомной H2 системы основного состояния может быть получена на данном разделении  расстояния r между ядрами решением молекулярно двух электронов уравнения Шредингера,
;;=E;; (4.51)
 (4.52)
где оператор Лапласа ; включает в себя все электронные степени свободы, и ;
и ; являются молекулярного гамильтониана и функции двух электронов волны,
описания основного состояния спаренной системы.

Хотя полный гамильтониан ; для любой сложной молекулы легко
определяется, решение результирующего уравнения Шредингера, как правило трудно даже для простых случаев, таких как молекулы водорода обсуждается.
Различные численные методы были разработаны для получения приближенных
функций много-атомов/много- электронов (many-atom/many-electron) волны. Некоторые из этих методов, таких как метод сильной связи и теории функционала плотности,  кратко включены в обзор в предыдущем разделе. Во всех случаях, когда приближенный N- электрон  волновой функции  доступен, полная энергия системы может быть вычислена как интеграл по электронным переменным, вместо  прямого решения выше уравнения Шредингера. Для молекулы Н2, это дает
(4.53)
Формула получается перемножая волновое уравнение с комплексом
сопряженного решения  и интегрируя его по всем электронным степеням
свободы. Конфигурация интегралов, таких, как в уравнении (4,53),
обычно записывается в квантовой механике сжато
(4.54)
что означает интегрирование по всем электронным координатам. В соответствии с уравнением (4.48) и уравнение (4.54), MD / QM связь затем дает
 (4.55)
где многоатомные волны многоэлектронные функции ;(r) зависят от межатомных расстояний r параметрически. Наконец, систему спаренных MD / QM уравнений можно представить в виде
(4.56)
которые представляют собой конкурентное спаривание между субатомным и атомистическим симуляциями наноструктурированных систем.
4,2 Ограничения молекулярной динамики
Молекулярно-динамическая симуляция стала мощным инструментом для выяснения сложных явлений механики, как показано в предыдущем разделе. Тем не менее, длины и времени масштабы, которые могут быть зондируемы использованием MD -прежнему достаточно ограничены (limited6). Для исследования таких проблем, как наноразмерных покрытий, ионно-лучевого осаждения, наноиндентирования и наклеивание (stiction) в устройства MEMS, модели должны быть на масштабе в несколько микрон, состоящие из миллиардов атомов, что слишком велико для текущего моделирования MD. Основная задача МД-моделирования - прогнозирование времени-независимой траектории в системе взаимодействующих частиц. Для этой цели, времени интеграции алгоритмы были разработаны для решения уравнения движения  на основе усеченного Тейлора разложения относительно времени. Подробное описание этих алгоритмов симуляций могут быть найдены в работе [119]. Эффективность и точность - два наиболее важных критерия руководящие развитием методов симуляции. Оба зависят от сложности межатомных потенциалов и времени интеграции алгоритмов используемого в симуляции. С вычислительной мощностью, доступной сегодня, типичные области моделирования MD содержат несколько миллионов атомов. Следовательно, МД симуляции имеют свои собственные ограничения, которые будут обсуждаться ниже.
4.2.1 Эффект  условий связывания.
Из-за ограничений в производительности компьютера, МД симуляции обмеривает  лишь малого представительного объема элементы полной системы анализа, в то время как истинный эффект окружающей среды, как правило, игнорируется с использование жестких или периодических связывания условий. Таким образом, физическое поведение и свойства представленных элементов объема нельзя однозначно отнести к соответствующей макрошкале системы интересов. В малой системе МД, большая часть атомов находится на поверхности области. Как результат, эти эффекты поверхности доминируют свойствами симулируемого материала. Использование периодических связывания условий (ПС(Г)У PBC) может преодолеть эффекты поверхности  в определенной степени. Однако, он вводит искусственные периодичности в симулируемой системе. Это, таким образом спорно ли,  мала  симуляции коробка с наложенными ПСУ, представляет макроскопическую систему, ее намерены симулировать.

6Section 4,2 взяты из Ккомпьютерных методов в прикладной механике и машиностроении, Vol. 193, ВK Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение в вычислительные наномеханики и материалы, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения от Elsevier.

В общем, эффект ПСУ в зависимости от ранга межатомных потенциалов и изучаемых явлений. Симуляция считается в силе только тогда, когда размер симулируемой области больше, чем отрез радиус межатомного потенциала и эффективный ранг явления под исследованием. Рассмотрим, например, индукцию сжатие напряжений в тонких углеродных пленках, выращенных с помощью ионно-лучевого осаждения [203, 204]. Доминирующие механизмы ответственные за напряжения формирование - дефекта производство и рекомбинация в пределах перемещения и тепловых пиков индуцированной энергичными нейтралами углерода. Такой физический процесс происходит в рамках области порядка одного нанометра центрировано вокруг воздействия углерода нейтралов, при условии, что энергия удара углерода нейтралов меньше 200 (эВ). Заметим, что поскольку углерод-углеродные взаимодействия короткодействующие, действительные симуляции MD для этого случая может быть основаны на подложке с размером порядка 1 нанометра. Использование фиксированных или периодических связывания условий не может способно захватить дальнодействующие физические процессы. Например, при симуляции ионно-лучевого осаждения, сопротивление ненуля Капицы является порожденной, что приводит к аномальному потеплению на связывании молекулярной модели. Волны, которые создаются в молекулярной области механики может не пройти в окружающую среду. Вместо этого, волны отражаются обратно в атомистическом домене, как показано на рисунке 24 (а). В действительности, тепловая энергия в виде локализованных колебаний решетки будет рассеивается  фононами. Невыполнение этих моделей правильно приводит к нефизическому поведению симулируемой системы. Отраженная волна взаимодействует с другими физическими процессами, вызванными выраженными ошибками симуляции, таких как подпрыгивание храняшихся ионов в связи с увеличением кинетической энергии атомов решетки, Рис 24 (б). Одна из часто использованных техник, чтобы избежать ложных отражений волны, - применение фиктивных сил демпфирования до нескольких слоев атомов рядом с границей. Однако, этот метод до сих пор специальный и особенно неэффективен для когерентных волн.
Другим примером является симуляция процессов наноиндентации. В наноиндентации эксперименте, размер типичного индентора порядка десятков нанометров. Чтобы свести к минимуму границы эффект, подложка для МД симуляций должна быть по крайней мере на порядок больше, чем индентор. Модель для этой системы  легко попадет за пределы достижимого ранга современного компьютера мощности. Для сокращения вычислительных требований, виртуальный потенциал часто вводится имитировать индентор. Эффективная область этого потенциала гораздо меньше, чем реальный индентор. Жесткие связывания условия, как правило, применяются на нижней части подложки с периодическими граничными условиями в итдентации плоскости. Эти связывания условия искусственно жесткого материала, который
под давлением
Рисунок 24: Ионно-лучевое осаждение: волны за счет ион-решеточных столкновений отраженные от границы, б) столкновения тепла до решетки вызыванные нереально подпрыгиванием  хранящимися ионами [7].Перепечатано из компьютера Методы в прикладной механики и машиностроения, Vol. 193, В. К. Лю, Е. Г. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение в вычислительные наномеханики и материалы, страницы  1529-1578, авторские права (2004), с разрешения Elsevier.

зарождения дислокаций. Далее, эволюция любой испускаемой
дислокации может быть также аффектом этих связывания условий. Действие
соответствующей силы против надавливания  глубины кривой становится сомнительным, особенно, когда малая область симулируется.
Исследований надежности результатов симуляции требуют оценки ПСУ эффекта. Однако, исследованиям  ПСУ эффекта часто препятствует трудность в выделении периодичности эффекта от других эффектов. Стандарт подход - проверить результаты симуляции неоднократно с ростом симуляции области размеров. МД симуляции динамического разрушения были довольно успешными в последние годы. Однако, одно потенциальное ограничение использования MD только лежит в факте, что огромное количество атомов должны быть использовано в трещине симуляциях как уже упоминалось в предыдущих разделах. Причина этого - из-за факта, что это очень важно при симуляции MD разрушения, позволить волнам, которые были излучаемы из области вершины трещины, распространяться беспрепятственно далеко от трещины. Если этого не допустить случиться, тогда волны отражаются от
MD границ и продолжают неправильно участвовать в наконечника трещины
динамике. Два снимка моделирование разрушения MD, изображенные на рисунке 25, иллюстрируют этот процесс. Волна создается за счет открытия разрушения поверхности головой наружу навстречу MD границе, отражается от нее, и распространяется обратно в направлении трещины. Однажды волна хит трещину,  будет вмешиваться с трещиной динамики. В этой симуляции, волновой фронт плоский и параллельны трещины лицу.
Для того чтобы избежать этих ложных помех, МД симуляции разрушения должны быть очень большими, как правило, на порядок многих миллионов атомов, обеспечить область, достаточно большую, чтобы предотвратить интерференции волн на вершине трещине. Хотя увеличение вычислительной мощности сделал млн. атомов расчеты MD довольно обычным делом, это, кажется, вычислительно и физически нет необходимости иметь полную атомистическую резолюцию далеко от вершины  трещины.
Из-за больших  области требований на MD регионе, по-видимому
что такого рода проблемы можно было бы хорошо подобрать для анализа нескольких шкал техник. Еще один вопрос, который поддерживает это, факт, что волны испускаемые из вершины трещины, как правило, упруги в природе, и не вызывают атомных несоврешенностей (т.е. дислокаций) вдали от вершины трещины.Таким образом, мы обсудили применение преодоления шкалы метода, многих шкал метод, который вводится в работе [205] подробно. Трещины распространение может быть корректно моделироваться с помощью полной атомистической резолюции, в то время распространение упругих волн от (острия) наконечника трещины могут быть точно смоделированы и получены с помощью континуума разработки. Использование конечных элементов далеко от вершины трещины приведет к сокращению вычислительных счет с полной
Рисунок 25: Профиль потенциальной энергии для МД-симуляции разрушения: разрушение динамика эффект на упругих волнах, излучаемых трещин (слева) и отражаемых обратно от границы MD области (справа) [7].
Переизданный от компьютерных методов в прикладной механики и машиностроения, Vol. 193, ВK Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение в вычислительные наномеханики и материалы, страницы Количество 1529-1578, Copyright
(2004), с разрешения Elsevier.

атомистической резолюции, в то же время как точному захвату необходима физика.
4.2.2 Соединение с внешней ванной
В МД симуляциях, часто необходимых для поддержания определенной температуры в ансамбле. Например, в процессе ионного осаждения, часть кинетической энергии воздействия ионов передается на тепловую энергию в виде концентрированных колебаний решетки. В действительности, тепловая энергия будет затухать вдали  фононами. Однако, использование ПСУ запрещает передачу тепловой энергии в окружающую среду. Это может привести к  ложному росту температуры системы и последующего испарения
поверхностных атомов. Кроме того, изучение температурной зависимости
макроскопических свойств также требует контроля температуры системы.
Главный метод контроля температуры в молекулярной системе
- спарить молекулярную систему к внешней ванной, тем самым позволяя теплу
обмен между системой и внешней ванной [121]. Такая связь
может быть достигнута путем добавления стохастического и трения членов в уравнениях движения, что дает уравнение Ланжевена для выбранного атома i,
 (4.57)
где ;i  постоянная затухания, что определяет прочность связи
с ванной, и R  гауссовская случайная переменная.
Через уравнения Ланжевена, система не только на глобальном уровне связана с внешней ванной, но также подвергается случайному шуму. В случае, когда глобальная связь- только интерес, связь может быть установлена
 (4.58)
где T0 нормальная температура, а Т-кинетическая температура
системы. Отметим, что в уравнении (54), трения константы для всех выбранных
атомов равны, т.е., ;i=;°. Эффективно, эта связь пропорционально
масштабов скорости на коэффициент ;° в шаге по времени, с ; =1+;;t (T0/T -1).
Уравнение (4.58) показывает, что обмен тепловой энергией между внешней
ванной и системой основана исключительно на их температурной разности.
При Т0<Т, тепловая энергия рассеивается далеко во внешнюю ванну;
при Т0>T, система поглощает энергию из внешней ванной.
Другой вопрос заключается в выборе величины затухания.
С одной стороны, постоянная затухания должна быть достаточно большой, такой, что энергия может быть передвинута эффективно из атомов, не вызывая существенного изменения температуры. С другой стороны, она должна быть достаточно мала, что траектории отдельных частиц не возмущались слишком сильно  спариванием.
При изучении нанотрибологии [206], он представляет большой интерес в оценке рассеянной энергии трением от симуляции ансамбля и внешней ванной. Выше анализ показывает, что рассеянная энергия за один шаг может быть записана как
¶ (4.59)
где fdampi  это сила торможения для атома i. Индекс i пробегает все
атомы, которые связаны с внешней ванной для каждого шага по времени. Средняя сила трения может быть вычислена по накопленной энергии диссипации и скольжения расстояния. Эквивалентно, можно рассчитать силы трения путем дискретного суммирования атомных сил.
Тепловая связь виртуально имитирует теплообмена между областью
под исследованием и его окружающей средой. Представление основной физический процесс простым применением искусственной силы трения к
выбранным атомам Ланжевена не может быть достаточно. К сожалению, не передовая замена этой связи техники в настоящее время доступна.Эта слабость мотивирует использование многомасштабных симуляций, в которых сыпучему материалу, что окружает MD область, разрешено влиять на энергетику MD области.
4.2.3 Оттоки на шаг по времени
В МД симуляции, шаг по времени один из важнейших параметров, который определяет вычислительные затраты. Два критерия должны соблюдаться при выборе значения шага по времени. Во-первых, временной шаг должен быть достаточно малым так что траектория каждого атома  реалистична.Обратите внимание, что усечение ошибка в симуляции- по степенному закону пропорционально времени шагу. Большой
временной шаг приведет к расходящумся физическому поведению. Во-вторых, шаг по времени должна быть достаточно большой, так что симуляция эффективна. Постоянный времени шаг обычно осуществляется в МД симуляции для простоты алгоритма. В случае симуляции больших временных шкал явления, используя постоянный шаг времени потребуется огромная сила. В динамическом процессе, где максимальная скорость атома меняется, различный времени шаг может быть использован для улучшения эффективности симуляции. В частности, он может быть выбран обратно пропорционально максимальной скорости частиц в ансамбле. Одним из примеров назначить времени шаг для следующего шага интегрирования -  подсчет максимальных атомных скоростей на двух успешных шагах [7].
4,3 Краткий обзор многих шкал  методов симуляций.
Как упоминалось ранее, континуум методы исследования преобладали моделирования материалов в течение последних нескольких десятилетий.Этот подход прогнозирования материала деформирования и разрушения заключенным усреднением атомной шкалы динамики и дефекта эволюции во времени и пространстве, однако, справедливо только для больших систем, которые включают значительное число дефектов (defects7). В результате многочисленных экспериментальные наблюдения поведения материала, особенно на наноуровне, не могут быть легко объяснены в рабочих рамках механики сплошной среды: дислокации образца в усталости и ползучести, шероховатости поверхности и зарождения трещин в усталости, присущие неоднородности пластической деформации, статистического характера хрупкого разрушения, локализации пластического течения
7Section 4,3 изменение на основе Компьютерных методов в прикладной механики и машиностроения, Том. 193, ВK Лю, Е. Карпов, С. Чжан и ХС Парк, Введение к вычислительной наномеханике и материалам, страницы Количество 1529-1578, авторские права (2004), с разрешения Elsevier.


в полосах сдвига, и эффекты размера, геометрия, и напряженное состояние на выход свойств. Таким образом, существует значительные усилие найти фундаментальное описание для прочности и неудачи свойств наноразмерных материалов, принимая во внимание их атомные структуры, как описано в двух предыдущих разделах. Использование МД симуляции предоставило полезную информацию атомного уровня взаимодействия на наноуровне. Однако, МД симуляция имеет свои собственные ограничения, как уже говорилось раньше. Типичные атомистические симуляции по-прежнему ограничены до очень малых систем, состоящих из нескольких миллионов атомов или меньше, и времени шкал порядка пикосекунд. Таким образом, даже для наноразмерных структур и материалов, атомистическое моделирование часто вычислительно непомерно высоко.
Ограничения атомистических  симуляций и механики сплошных сред, а также практические потребности, связанные с гетерогенной природой инженерных материалов, побудили исследовать многих шкал симуляции, тот моста атомистических симуляций и моделирования континуума [21, 197, 207-219]. В целях, чтобы сделать вычисления послушными, многомасштабные модели как правило используют оболочки-тонкое   разложение.  Атомистический метод симуляции, такие как МД, используется в малых субрегионах области, в которых он имеет решающее значение для захвата отдельной атомистической динамики точно. Континуума симуляция используется во всех других регионах области, в которой деформация считается однородной и гладкой. Так как континуум области обычно выбирается быть намного больше, чем атомистическая область, общая интересующая нас область может быть значительно больше. Чисто атомистическое решение
как правило, не доступно в этой области, хотя многомасштабное решение
предположительно предоставит подробную атомистическую информацию только тогда, когда и где это необходимо. Ключевой отток - затем связь между грубой и точной шкалами. В зависимости от способа обмена информацией между грубой и тонкой областями, многих шкал методы можно разделить на три группы: иерархические, конкурентные, и многих шкал связывания условий.
Иерархические подходы вставлены собственные атомистической свойства
твердого тела в сплошной среды разработку по правилу Коши-Борн, так
что малые шкалы зависят от больших шкал в некоторых предсказуемым образом. Иерархическая техника основана на предположении однородной решетки деформации; поэтому они более эффективны для упругих однофазных задач.  Трудности обычно возникают при моделировании дефектов в атомных решетках, дислокациях, а также отказа явлении. Среди последних примеров
квантово-механически сообщены континуума модель водородного охрупчивания [220] и иерархическая  конституционная модель  для материалов дизайна стали [21]. В иерархической модели, механика в точной шкале построена в грубой шкале с использованием техники  как гомогенизация.Строго говоря, кристалл теории упругости также иерархическая теория. Общая критика, что определенная ключевая точной шкалы информация теряется в этом процессе. Последние разработки в решении взаимодействия между масштабами можно найти в вариационного метода многих шкал в  Хьюз и др.. [221] и Грикапати (Garikipati) и Хьюз [222].
В конкурентных методах, поведение в каждой шкале длины зависит сильно от других.  Подходящая модель решена в каждой шкале одновременно (механики сплошных сред для макро упругих сред, молекулярной
динамики для больших групп атомов и квантовой механики для разрыва связей), в то время как гладкая связь вводится между различными шкалами.
Между-шкал зависимость сложна, и это не предназначено.  Конкурентные
подходы  более актуальны для изучения сложных проблем, включая неоднородную деформацию решетки, перелом в многофазных макроскопических материалах и нано струях. Однако, два спорных вопроса делать обычно возникает: как отделить шкалы, и  каков адекватный механизм
спаривания атомистического и континуума симуляции. В конкурентных
моделях, симуляции на различных шкалах выполняются одновременно. Хотя сама тема все еще изучается, конкурентная модель, кажется есть, один из наиболее перспективных подходов, которые может предоставить ответы по различных шкалам длины и времени. В конкурентной модели, симуляции на
различных шкалах выполняются одновременно.Ключевой вопрос заключается в том, как интегрировать различные симуляции. Авраам и др.. [207] и  Бротон и др. [208] использовали так называемые "рукопожатия"  область в симуляции разрушения. В этой области, FE, MD и сильной связи методы пересекаются и взаимодействуют как показано на рисунке 26.
Другой класс конкурентного метода квази-континуума (КК) метод [197,210,223-229], в которой КЭ (FE) связан с MD. Спаривание между
двумя реализуется через сетку адаптивности, что позволяет переход
от КЭ к полному атомистическому описанию. Использования кристалл эластичности также обеспечивает  консистенцию. Совсем недавно введен функционала плотности теории (ФПТ) локальный метод квазиконтинуума: первые принципы мультишкалы материала модель, которая вкладывается ФПТ единиц ячеек на подсеточном уровне конечного элемента вычисления [230]. Это ФПТ-КК (DFT-QC) метод был использован для прогнозирования начала зарождения дислокации в обоих монокристаллах и тех, с включениями. Сравнивая его с эмпирического потенциала EAM, они обнаружили, что
ФПТ-КК и эмпирический метод дает четко различные результаты по
расположению зарождающийся пластической деформации под наноиндентированием, как показано на рисунке 27. Несмотря на много успешных примеров, которые он продемонстрировал, КК метод имеет в настоящее время ограниченное применение в пределах статических проблем, каких значений прорыв должен быть сделан для метода, чтобы быть применененным для динамической и конечной температуры симуляций.


Рисунок 26: геометрические разложения Si плиты в пятерку различных
динамично развивающихся регионов разрушения симуляции: континуум конечно-элементного области (FE); атомистической области молекулярной динамики (МД); квантовой сильной связи области (ТБ); FE-MD "рукопожатия" региона; и MD –TB "Рукопожатия" области [208]. Переиздание рисунка с разрешения Дж. В.Бротон, Ф. Ф. Абрахам, Н. Бернштейн, Е. Каксирас, Физический обзора Том. 60, стр. 2391-2403, 1999. Авторские права (1999), Американского физического Общества.

Рисунок 27: Деформированные сетка, фон Мизеса напряжений, и дислокаций результаты в начальной неустойчивости для ГЦК (111) индентаций. ФТП-КК результат (а) на 50 (нм) индентация, в то время как результаты EAM (б) с индентацией 35 (нм). Круг указывает начинающуюся дислокацию, с деформированной решеткой для наиболее неустойчивой дислокации на вставке. Обратите внимание на разности в  дислокации –зарождение сайтов и напряжений шкал (а) и (б) [230].Переиздание рисунка
с разрешения М. Фаго, Р. Хайес, Е. А. Картер и М. Ортис,
Физический Обзор, Vol. 70, стр. 100 102 (R) -100 105 (R), 2004. Авторские права
(2004), Американского физического общества.

Преодоление шкал методы, основанные на проекции концепции  недавно предложил Лю и его сотрудники [126.215.216.231.232], в которой КЭ приближение сосуществует с атомистическим описанием. С добавлением мультишкалы связывание условие получается на основе уравнения Ланжевена, метод также применяется к динамическим задачам [126217]. Сяо и Беличко [233] разработали преодоление области подход, в котором совместимость FE и МД насильственное на основе ограничений.
Многомасштабные связывания условия для молекулярно-динамических симуляций является появившимся подходом, чтобы не вовлекать явной модели континуума, так что вопросы разделения шкал и спаривание симуляций не возникают [126]. В этом случае  поведение шелухи зерна учитывается в подсчёт перкрасного/ шелухи зерна интерфейс на атомистической уровне через технику решетки сопротивления. Эти методы, хотя, могут оказаться более эффективными чем конкурентные методы только для определенного класса задач с линейными шелухи зерна в твердых телах. Альтернативно, многомасштабные граничные условия используются в конкурентных методах спаривания для представления атомистического поведение в континуум области. Это приводит к гладкому FE / MD спариванию, без участия искусственного рукопожатия области на атомистический/континуума интерфейс и плотной сетки КЭ сократили длину химической связи.
Среди многих видов многомасштабных моделей, мы представим в следующем разделе недавно предложенныю виртуального атомного кластера (VAC) модель представить конкретный пример шкалы спаривания.
4,4 Виртуального атом кластера (VAC) модель
4.4.1 Мотивация и главная формулировка.
Хотя идея строительства континуума модели, основанная на атомистической модели кажется простым (ограничена вперед straightforward), развитие континуума теории не удовлетворяет  необходимость для выявления полного спектра физики участвующей в соответствующих применениях нанотехнологий 8. Это отражается в двух основных ограничениях  континуума подхода: прежде всего, путем создания механики в точном масштабе в грубой шкале, основанной на кристалл упругости, ключ информация о электронах
теряется. Это серьезное препятствие на пути прогноза на спаривание между
механическими и других физическими свойствами. Во-вторых, было показано,
что широко используется континуума предположения (Борна гипотеза) должна быть

8Portion раздела 4.4.1 взяты из Ккомпьютерных методов в прикладной механике и Инженерии, Vol. 193, Д. Цянь, ГДж Вагнер и ВK Лю, Многих шкал проекции метод для анализа углеродных нанотрубок, страницы Количество 1603-1632, авторские права (2004), с разрешения Elsevier.

измененена [201, 202, 226] подсчитать не примитивные решетки и нелокальные взаимодействия, которые общие в наноматериалах. Это приносит дополнительные трудности, когда дело доходит до интерпретации результатов, которые получены на основе континуума моделей. Одним из примеров является оценка модуля упругости на наноструктурах, содержащих один слой атомов, которые по-прежнему спорная концепция.
Эти трудности, как результат сравнения между моделью и актуальным атомистическими поведениями, в последнее время мотивированы большинством новых моделей, представленных в этот раздел, чтобы использовать в качестве надежного представления для наноразмерных систем. Эта модель называется виртуального атомного кластера (VAC) модель по причинам, которые будут описаны в остальной части раздела. Модель предлагается в качестве эффективного представления взаимодействия на атомной шкале и могут быть ссылаться на грубой шкалы метод симуляции, такой как бессеточный или метод конечных элементов.
Связь обеспечивает масштабируемость численная реализация и
точность в описании механики наноструктуры. Ключевая особенность
модели ВАК, что атомистическое описание прямо встроенное в симуляции КЭ без использования какого-либо стресса или странности концепции. Это позволяет для прямого прохождения информации между КМ и FE методами, который позволяет полностью спаренный мультифизики (Multiphysics) подход с квантово-механическим представительством в различных шкалах.
Для иллюстрации реализации модели ВАК, общая формулировка
метода описывается первым письмом двухшкального разложения, в которое общую шкалу нерасположения переменной u; для ;-го атома в
наноразмерные системы можно разложить на две различные компоненты, т. е.
 (4.60)
где  является шелухи шкалы компонента и устанавливается путем построения FEM или масс бессеточными функциями формы над множеством узловых точек, т. е.
 (4.61)
где NI (X ;)  форма функции, определенной на вычислительном узле и I оценивается в ;-го атома с материалом координат X;, dI смещение вектор в узле I. В данном параграфе, греческие буквы (например, ;, ;·, ;·) будут
использованы в качестве индексов для атомов, и капитал индексы (например, I, J, K) будут использованы для вычислительных узлов.
Мы используем рисунок 28, чтобы проиллюстрировать смысл . Показаное на рисунке 28  - иллюстрация многих шкал разложение для одностенных углеродных нанотрубок. Атомов углерода приведены как пустые круги, которые являются

Рисунок 28: (слева) Многомасштабный раздел для деформированных одностенных углеродных нанотрубок. Пустые круги связаны с линиями молекулярных структур. Заполненные круги вычислительных узлов. (Справа) Увеличенный участок локальной области. Печатается по компьютерным методам в прикладной механике и Инженерии, Vol. 193, Д. Цянь, ГДж Вагнер и ВK Лю, Многомасштабные проекционные методы для анализа углеродных нанотрубок, страницы 1603-1632, Copyright (2004), с разрешения Elsevier.

Рисунок 29: Многошкальная схема дискретизации для анализа углеродных нанотрубок. Печатается по компьютерным методам в прикладной механики и
инженерии, Vol. 193, Д. Цянь, ГДж Вагнер и ВK Лю, Многошкальный
проекционный метод для анализа углеродных нанотрубок, страницы 1603 -
1632 г. Авторские права (2004), с разрешения Elsevier.

связанных с линиями, которые представляют облигации.Твердые круги
вычислительных узлов на основе МКЭ/бессеточной дискретизации. Затененная поверхность- соответствующее грубой шкалы приближение. Разность между FEM / бессеточным приближением и молекулярной структурой может быть
хорошо видна на увеличенном участке. Для каждого атома ;, разность между интерполированной позицией по затененной поверхности, используя уравнения (4.61) и ее акттуальное положение определяется как мелкого масштаба переменная . Заметим, что  и d I все 3 ; 1 вектор-столбцов.
Это наблюдается на рисунке 28, что  становится незначительным в регионе далеко от местного выпучивания области, таким образом, мы считаем, что КЭМ / бессеточное приближение  достаточно для описания деформации в этих регионах. Поэтому добавление молекулярной структуры необходимо только в местном выпучивания регионе. Это предположение приводит к окончательной многошкальной дискретизации схеме, как показано на рисунке 29. Как можно видеть, есть две различные расчетные области: первая- спаренная область (определяемая как ;2), в которой молекулярные структуры сосуществуют с МКЭ /бессеточной дискретизацей. Раздел на основе уравнения (4.60) имеет место и спаренная вычислительная схема ожидается. Вторая грубой шкалы область (Определяется как ;1), где только FEM /бессеточная дискретизация существует. Точной шкалы компонент предполагается равным нулю.
Обозначим na как общее число атомов в исходной системе, nt, как число атомов в спаренной области ;2, и nc как число атомов в
грубого шкалы области ;1, где na =nt +nc. Уравнение (4.60) и уравнение
(4.61) приведёт для ;=1 к na. Определение u= {u1, ..., u;, ..., una} T,
 и , мы имеем соответствующее к уравнению (4.60),
 (4.62)
Определяя  как вектор узловых смещений и
NP, как общее количество вычислительных узлов, уравнение (4.61) может быть также обобщаться как

 (4.63)
где I 3 ; 3 единичная матрица, N представляет соответствующие (3 ;na)
по формуле (3;np) функции формы матрицы.
На основании уравнения (4.62) и уравнения (4.63), многомасштабные разложения наконец читаются
(4.64).
Грубой и тонкой шкалы компонент может быть получен путем применения проекции операторов Р и Q на общую шкалу, то есть,
 (4.65)
где P и Q являются квадратные матрицы размерности 3 ;na. Подробнее
о том, как получить P и Q будут обсуждаться позже.
С двухшкальной разложения схемой данной уравнением (4.64),
изменение тест функции дается как
 (4.66)
Для наноразмерных систем, полная энергия в настоящее время
W = Wint-Wext + Wkin (4.67)
где Wint, Wext и Wkin  внутренняя энергия, внешняя работа и
кинетическая энергия, соответственно. Принцип виртуальных работ требует, чтобы
;W(u)=0 (4.68)
Учитывая многомасштабные разложения в уравнении (4.64), уравнения в вариациях может быть также выражено как
(4.69)
Заметим, что - строки вектора в уравнении (4.69), в которых fint , fext  и fkin - векторы-столбцы, которые представляют внутренние, внешние и инерционные силы на атомистической шкале.
Подставляя тест функции приведенные в уравнении (4.66) в уравнение (4.69), имеем
 (4.70)
С ;W(u) является скалярной, ;W = [;W]T и уравнение (4.70) можно переписать как
 (4.71)
На основе основных принципов вариационного исчисления, уравнение (4.71) эквивалентно  решению следующих
(4.72)
и (4.73)
Примечание: Хотя выражение уравнения (4.73) такое же, как
обычно используются в атомистической симуляции, он служит различным целям, т.е. восстановить мелкого масштаба компонент ~ U в обогащенном регионе, которые может не решаться из уравнения (4.72).
Поскольку уравнение (4.72) обеспечивает дискретизованное уравнение, решается на каждом вычислительном узле, мы называем это "шелухи шкалы уравнение" в смысле, что плотность вычислительных узлов, как правило, крупнее, чем атома. Например, в узле I, соответствующее дискретизованное уравнение имеет вид не доступно
(4.74)
Как упоминалось ранее, мелкого масштаба переменная ~ U предполагается равной нулю в грубой области масштаба ;1. Таким образом, уравнение (4.74) может быть дополнительнозаписано в виде
 (4.75)
Видно, что два суммирования участвуют в этом грубой шкалы
уравнении и они определены в различных областях. Первое суммирование
в уравнении (4.75) требует дополнительной обработки, как непосредственное осуществление будет только увеличивать вычислительные затраты по сравнению с полномасштабной атомистическим  симулированием. Это просто связано с фактом, что точное число атомов nc в ;1 является очень большим. Чтобы снизить вычислительные затраты, представленная виртуального атомного кластера (VAC) модель создана для замены этого суммирования с уменьшенной квадратурой. Подробно о том, как построить модель VAC будет дано в следующем. Вторая сумма в уравнении (4.75)  реализована как точные сумма  атомов, которые находятся в области ;2. Пока  ;2 является локальной областью, число атомов nt гораздо меньше, чем nc и можно рассматривать непосредственно.

Рисунок 30: Шаги для построения предлагаемой модели VAC для листа графена. Молекулярная модель преобразуется в структуру той же геометрии с
распределенной плотности энергии представлена VAC. Перепечатано из компьютера Методы в прикладной механики и машиностроения, Vol. 193, Д. Цянь, Г. Дж. Вагнер и ВK Лю, Метод многих шкал проекции для анализа
углеродных нанотрубок, страницы 1603-1632, авторские права (2004), с разрешения от Elsevier.
4.4.2 Основные идеи ВАКа модели
Виртуальный кластер атомов (VAC) модель разработана непосредственно рассмотрением зависимость энергии на смещение, или, что эквивалентно деформации отображения вместо странности. Так как такая зависимость сравнивается, нет необходимости для таких понятий, как стресс и странность.
Модель ВАК - минимальный набор атомов, что формы кластера для представления плотности энергии. Это может быть извлечено из структуры решетки основываясь на своей трансляционной симметрии свойств. Рисунок 30 иллюстрирует шаги для получения конкретных ВАК для листа графена, который может быть представлен с помощью линейной комбинации Бравэ решеток [234]. Следующий шаг заключается в преобразовании
оригинальной молекулярной структуры в структуру той же геометрии с
непрерывного распределения плотности энергии. Плотность энергии соответствующая  любой точке в пределах геометрии представлена ;;ВАК. Слово "виртуальный" исходит из того, что ВАК не должны соответствовать физическим атомам, как в методе квазиконтинуума [227].
Поскольку VAC представляет непрерывно распределенной плотности энергии, потенциальная энергия наноразмерной системы можно оценить с помощью непрерывного интеграла, а не точным суммированием по атомам (первое уравнение на рис 30). Это позволяет использование численных квадратур (например, Гаусса) в реализации первого уравнения в уравнение (4.74) и уравнение (4.75), что приводит к значительному сокращению в вычислительных затратах по сравнению с молекулярной динамикой. На основе разработки ВАК, уравнение (4.75) можно переписать в виде
 (4.76)
В численной реализации, первый член в уравнении (4.76) будет оцениваться
заданием квадратурных точек и введением модели ВАК на
эти квадратурные точки.
4.4.3 Три-способа конкурентной схемы соединения с КМ
методом.
Как видно из уравнений (4.72) и (4.73), реализация требует
связи между тремя различными шкалами: грубая шкала представлена
FE, мелком масштабе представлены атомами и квантовая шкала
представлены QM уравнениями. Главная методология решения
обеспечит  процедур включение, как реализовать конкурентное спаривание между этими тремя различными шкалами. Прежде всего, спаривание FE с квантово-механическими методами осуществляется через энергетичные ссылки, как уравнение (4.56). Обратите внимание, что функция плотности энергии В Ѕ в модели переменного тока (рис. 30) может быть рассчитана методом КМ. В регионе, где FE приближение представляет грубой шкалы деформацию, предполагается, что трансляционные свойства симметрии решетки по-прежнему имеют место локально, пока деформация умеренна. Таким образом, метод КМ может быть непосредственно применен к модели VAC, воспользовавшись преимуществом симметрии дать  и его производных на основе теоремы Гельмана-Фейнмана [235]. Эти величины будут подаваться обратно в FE через уравнение (4.74) и уравнение (4.75), КЭ в свою очередь, обеспечивает обновление конфигурации ВАК через формы функций. Это взаимодействие осуществляет связь между КЭ и КМ.
Во-вторых, взаимодействие между КМ и MD может быть реализована непосредственно по связи MD  с самой квантово-механической моделью, используемой в FE. Это обеспечивает согласованность между КЭ и MD.Хотя различные QM методы будут использоваться здесь, в результате КМ / MD разработки следует идея аналогично  тем  в ab initio молекулярной динамики [47], в 

Рисунок 31: Иллюстрация конкурентных схем, что спаривает между КЭ,
MD и КМ методами.

которых электронные волновые функции и движения системы решаются
одновременно. Остальные вопросы- когда и как начать конкурентную схему. В общем, MD не требуется до мелкой шкалы деформации
той, где потеря устойчивости начинается. Поэтому вопрос - как определить такой регион. Здесь представлено  использование максимальной длины связи и угол которые могут быть непосредственно взяты из модели VAC. Причина в том, что выпуклости молекулярного потенциала непосредственно связано с длиной связи и угол. Однажды пороговое значение достигается в определенной области, деформированная атомистическая структура будет воспроизводиться в этой области с использованием формы функций и конкурентная схема спаривания инициализируется.Трех-путей схема спаривания показана на рисунке 31.
Прежде чем какой-либо конкретный QM метод вводится, мы сначала пишем Шредингера уравнения, которое является
Н | ;› = Е | ;› (4.77)
как описано в предыдущих разделах. Цель метода КМ
решить уравнение (4.77) как типичную задачу на собственные значения для получения энергии собственные значения Ек, в котором k от 1 до nq и nq - общее число атомных орбиталей. Соответственно |;›k  собственное. Если обе величины известны, полная внутренняя энергия предоставляется в качестве
 (4.78)
где HOMO стенды для высших занятых молекулярных орбиталей. Соответственно, суммирование ведется только из основного состояния (k = 1) к высоким, что могут быть заняты электронами. Любое k> HOMO должно привести в состояние анти-связи и не будет здесь рассматриваться. Второй член Eion представляет энергию из-за присутствия ионов и может быть как правило, выражаеться в эмпирической формуле. Чтобы совместить это с VAC моделью, отметим, что
(4.79)
где V0 оригинальный объем, что модель VAC занимает в оригинал
конфигурации. Индекс vac показывает, что метод КМ применяется только на модели VAC вместо всей системы, которая приносит дополнительные вычислительные эффективности. Подробная информация о реализации будет обеспечена позже. Можно дальше писать
 (4.80)
на основе теоремы Хелман(Hellman)-Фейман [235]. Обратите внимание, что дифференцизации оператор в уравнении (4.78) может быть выполнен аналитически. Чтобы объединить уравнение (4.78) с MD, мы можем написать
(4.81)
Наконец, схема трехсторонней связи описанной выше может быть выражена как следующие уравнения. КМ / КЭ связи:
1
 


КМ/ МД спаривание:




Рисунок 32: Матрица, что представляет собой взаимодействие между атомными орбиталями в методе сильной связи.
4.4.4 Метод сильной связи для углеродных систем
Сильной связи (СС TB) метод был применен к большим разнообразиям ковалентной связи (covalentbonded) материалов, таких как C, Si, Ga, Ge и металлов. Здесь СС модель, которая была разработана для углерода системы  Сю и др. [236] будет обозрена. Для систем из атомов углерода, полная энергия системы состоит из двух частей: энергии за счет электронов и энергии
из-за малой дальности ион-ионного отталкивания, то есть,
E = ETB + ERep (4.82)
В модели Сю, молекулярной орбитали основ, которые используются, включая 2s, 2px, 2py, и 2pz основные состояния атома углерода. Учитывая i атом углерода взаимодействует с j, возможные взаимодействия среди атомной орбиталей- ѕs;, sp;, pp; и pp; связи. Соответственно, эти взаимодействия представлены элементами в , которые показаны на рисунке 32.
Взаимодействия на некотором атоме соответствуют диагональным членам в матрице, в которой ;s и ;р значения определяются из первых принципов
расчета. В модели Сю, ;s=-2,99 (эВ) и  ;р=-3,71 (эВ). Взаимодействия между различными атомами представлены отключенными-диагональными элементами,  которые также обычно называют интегралами перескока.В связи с обоими ориентациями атомных орбиталей, и относительными позициями между атомами, интегралы перескока параметризуются ка функции от этих геометрических факторов, которые даны в соответствии с двух-центров формулировки, предложенную по Слейтеру и Костеру [40]. Детальные формы даны следующим образом
Ess(rij)=Vss;ѕ(rij) (4.83)
Esx(rij)=lVsp;ѕ(rij) (4.84)
Esy(rij)=mVsp;ѕ(rij) (4.85)
Esz(rij)=nVsp;ѕ(rij)  (4.86)
Exx(rij)=[l2Vpp;+(1-l2)Vpp;]s(rij) (4.87)
Eyy(rij)=[m2Vpp;+(1-m2)Vpp;]s(rij) (4.88)
Ezz(rij)=[n2Vpp;+(1-n2)Vpp;]s(rij) (4.89)
Exy(rij)=lm(Vpp;-Vpp;)s(rij) (4.90)
Exz(rij)=lm(Vpp;-Vpp;)s(rij) (4.91)
В уравнениях (4.83) - (4.91), l, m и n - направляющие косинусы вектора, что указывает от атома i к j с его длиной определяемой как rij. Функция s(rij)
была предложена Гудвином и др. [237] и имеет следующий вид
(4.92)
с n=2,0, nc=6,5, rc=2.18 (;), r0=1,536329 (;), в соответствии с Сюй
моделью. Наконец, остальные параметры в уравнениях (4.83) - (4.91) даны как
Vss;=-5,0(эВ), Vss;=4,7(эВ), Vss;=5,5(эВ), Vss;=-1,55(эВ) (4.93)
Ион-ионная энергия отталкивания ERep в уравнении (4.82) моделируется 4-го
порядка полиномным функционалом, т.е.,
 (4.94)
где
 (4.95)
и ;0=8,18555 (эВ), m=3,30304, mc=8,6655, dc=2,1052 (;),
d0=1.64(;), и d1=2,57(;).  Функции s и ; обрезаются на r1 = 2,45 (;) и d1 = 2,57 (;), соответственно. Полиномиальные функции также добавил к хвостам s и ; для обеспечения двух функций  плавно обращаться в нуль в конечных отрезах длины. Коэффициенты для полиномов функций приведены в ТБ модели Сю [236].
Как только полная энергия в связи с СС и ион-ионным отталкиванием определяется из данной конфигурации, внутренняя сила оценивается путем взятия производной от полной энергии по пространственной координате атома, т.е.
 (4.96)
Вклад от ион-ионного отталкивания может быть получен непосредственно дифференцированием уравнения (4.92) с использованием цепочки правила. Расчет вклада от СС модели состоит из двух шагов. Прежде всего, секулярное уравнение (уравнение (2.10)) должно быть решено, чтобы дать n множества собственных значений энергии и собственные статусы, в которых n -общее число атомных орбиталей использованных. Как только k-е собственное значение и собственный статус даны, электронная энергия, соответствующая
на СС расчету задается как
Ek=‹;k|H|;k› (4.97)
Полная энергия из СС расчета- суммирование по  k для всех оккупированного электронного состояния, т.е.
 (4.98)
Второй этап заключается в оценке производных ETB, что требует
дифференциации Еk. Согласно теореме Гельмана-Фейнмана [235],

Рисунок 33: Единица ячейки и ВАК модель для двумерного графита.

 (4.99)
Комбинируя уравнения (4.98), (4.99) и (4.96) устанавливает процедуру
оценки сил между атомами.
4.4.5 Спаривание с VAC моделью.
Вычислительные затраты, связанные с силой оценки для конкретной системы зависят от числа базиса n использованного в разработке CC. Потому что решение к задаче собственного значения закручивается, эта стоимость пропорциональна к n3. Для системы, содержащей N атомов углерода, n = 4N. Это очень дорого даже для системы из нескольких тысяч атомов. Кроме того,
вычислительные затраты могут быть значительно сокращены спариванием
СС разработки с моделью ВАК. Как уже говорилось ранее, мы должны начать
с предположением, приведеным в общем описании метода, т. е.
трансляционная симметрия будет владеть  при умеренной деформации. С этим предположением, СС формулировка может быть применена к элементарной ячейке кристалла структуры. Пример двумерного листа графена показан в рисунке 33, где алмаза бокс определенный штрих-пунктирными линиями дающими элементарную ячейку для графита системы, содержащей два неэквивалентных атома углерода. Различные цвета используются для определения атомов, принадлежащих к двум различным
группам отдельно с различным множеством индексов i и j. Атомы, которые используются

Рисунок 34: Схема реализации СС схемы на модели ВАК.

в модели ВАК определены в круге отмечены пунктирными линиями. Потому что из трансляционной симметрии, СС гамильтониан - 8 ; 8 матрица, которая
соответствуют элементарной ячейки, т.е.
 (4.100)
Каждые члены в уравнении (4.100) определяются исходя из ТБ модели Сюй в
рисунке 32. Таким образом, в каждой квадратурной точке, когда конфигурация
модели ВАК проводится, задача на собственные значения соответствующая
СС гамильтониану определенному в уравнении (4.100) будет решена. Межатомные силы будут оценены на основе уравнения (4.99) и уравнения (4.96), которые будет использоваться для решения как мелких и крупных шкал уравнений. Как краткое резюме, блок-схема осуществления СС на модель ВАК приведена на рис 34. Обратите внимание, что  бессеточная дискретизация- приближения схема, похожа на конечного элемента, но не требует усилий на решетки. Подробная информация о  бессеточном методе и спаривании СС с моделью ВАК может быть найден
в [4, 5], [238], соответственно.
4.5. Без сеточный метод механико-индуцированной мультифизики (Multiphysics) симуляций.
Электроны, свет, звук и все волны. Каждый из них описан
соответствующим волновым уравнением: уравнение Шредингера, Максвелла
уравнений и упругой волны уравнением. Это понятие признает удивительно
интересные аналогии между ними [239]. Периодические расстановки
атомов, диэлектрических материалов, и эластичных материалов, таким образом урожай электронных, фотонных и акустических зонных структур, соответственно. Ширины запрещенной зоны, порожденные
также естественно или искусственно надлежащей периодичностью, в свою очередь, позволит нам контролировать волны распространения электронов, света, и звука,  результатом в разработке новых материалов, таких как полупроводники, фотонных кристаллов и фононных кристаллов. Плоскость-волна, основанные методы имеют наиболее популярные численные схемы. С другой стороны, в реальном пространстве методы начали привлекать интерес в связи с их преимуществами по сравнению с плоских волн методами, такие как осуществление параллельных вычислений. Конечной разности метод и метод конечных элементов - реальные методы пространства, что были использованы в начальной стадии применения реального пространства методов.
Совсем недавно, бессеточный метод был разработан для единой
разработки периодических бессеточных функций формы для того, чтобы представлять периодичность правильно под бессеточной рабочей рамкой задачи на собственные значения производной от вышеупомянутых волновых уравнений и их Галеркина формулировки [240-242]. Электронная структура расчетов алмаза и цинковой обманки полупроводников были проведены для демострации превосходства периодической бессеточной функции формы  Джун с соавторами [240241]. Тогда, исследование страннсоти эффектов на запрещенной зоны изменения в соединении полупроводников также было проведено [240, 241]. Они вычисляют искажения полупроводникового соединения, Si1-xGex. Модификация первого Бриллюэна зоны из-за странности был рассмотрен в вычислении. Искажения эффект
был хорошо показан через раскол вырождения энергии в гамма симметрии
точек.
Периодические функции формы были также применены к расчету ширины запрещенной зоны фотонных кристаллов, где можно достичь высшей сходимости бессеточных расчетов в реальном пространстве по сравнению с обычным методом плоской волны [242]. Кроме того, собственных переменных проблемы выведенные из уравнений Максвелла были решены для двух-размерных фотонных кристаллов различных включений. Численные результаты, полученные обоими MLS методом и методом плоской волны
сравненены, чтобы показать быстрее сходящееся поведение метода над  методом плоской волны, четко показано в работе [242]. Джун и Чо [26] проводится бессеточный анализ странности эффекта на модификацию ширины запрещённой зоны  двумерных на основе кремния треугольных фотонных кристаллов, которые имеют абсолютную запрещенную зону. Три различных режима примененной странности были сопоставлены друг с другом. Во-первых, как чистый и простой деформации сдвига причиной малого
изменения абсолютной запрещенной зоны, хотя зонные структуры были слегка
измененены вдоль симметрии линии. В самом деле, ширины абсолютной
ленты запрещенной зоны существенно изменились во всех трех случаях деформации, под этим малым количеством примененных искажений. С другой стороны, только замечательные модификации ширины запрещенной зоны в исследовании были обнаружены в случае одноосного растяжения, где абсолютное ширина запрещенной зоны смещается вниз без значительного изменения его ширины. Было также показано, что это главным образом потому,
что деформацией индуцированные изменения объемной доли. Объем фракции был вычислен на основе деформированной формы полученой из линейных задач  упругости. Уменьшение объема доли, в случае одноосного напряжения, было более значительным, чем в обоих случаях сдвига. Следовательно, запрещенной зоны сдвига было очевидно в растяжения режиме. Вполне вероятно, потому что эффекты искажения решетки компенсируются интерфейса искажениями в сдвиговых модах, который не случай одноосного растяжения. Это сильно следует, что при расчете зонной структуры искаженных фотонных кристаллов, мы должны тщательно сравнить не только искажения решетки, но и форму изменения интерфейсов [242].
Периодическое распределение упругого материала в другой эластичный материал может дать новый материал кристаллической структуры, которая управляет распространения звуковой волны, как называли фононный кристалл. Бессеточный метод также применен к задачам на собственные значения упругого волнового уравнения для двумерных фононных кристаллов квадратной решетки состоит из круговых упругих стержней в упругой
среде. Подробная информация о проблеме заявления можно найти в [240]. Все эти  бессеточные вычисления проводились по вышеупомянутой единой
формулировке периодического бессеточного метода для искажением –индуцированной мультифизики ( Multiphysics) симуляции природных и искусственных кристаллов.
5 Завершение и будущее проспект
В этой главе мы представили краткий обзор моделирования и симуляции
для исследования механических свойств материалов на
наноуровне. Мы подчеркнули молекулярную динамику для атомного уровня
техники симуляции и методы ab initio для моделирования электронного-уровня инструментов, соответственно. Эти методы привлекают растущее
внимание в традиционных областях континуума- основе механики твердого тела. Представленные численные примеры были также введены для демонстрации как эти методики могут быть использованы в расследовании микроскопических механических свойств материалов. Как было видно из этих примеров, атомистическая и квантовая симуляция настолько перспективна, что управляемая симуляция с полностью атомной детализацией будут все более и более популярны с помощью все возрастающей вычислительной мощности.
В дополнение к управляемой компьютерной симуляция, теории многомасштабных симуляций должны быть разработаны для эффективной реализации вычислительной наномеханики  материалов. Присущие многомасштабные характеристики механических свойств материалов уже давно нуждаются в систематическом создании методологий симуляции как  рассмотренные в этой главе через несколько численных примерах. Таким образом, он, несомненно, один из наиболее важных вопросов в развивающихся наноразмерных моделирования и симуляций. Кроме того, происходит параллельно с многомасштабными симуляциями, мультифизики (Multiphysics ) симуляции, особенно индуцированные механическими свойствами, будет играть решающую роль в производстве и изготовлении наноразмерных материалов и устройств.
Некоторые из основных тем в вычислительной наномеханики не рассматриваются в этой главе, не потому что они менее важны, а потому, что они достойны отдельных всеобъемлющих обзоров. Например, механика
нанотрубок и нанокомпозитов уже были рассмотрены во многих статьях
из-за своего яркого обещания, например, как в [12]. Механика
биомолекул и клеток еще одна большая проблема привлечения чрезвычайного увеличения интересов от сообщества вычислительной наномеханики.Последние
обзорная статья будет полезна для тех, кто заинтересован в наношкалы
механике биологических молекул и клеток [243].
Благодарности
Мы хотели бы с благодарностью отметить поддержку Национального Научного Фонда (Foundation) (NSF), NSF-IGERT программы, Летний Институт NSF  включает Нано (Nano) механику и материалов, Офис исследований армии (ARO) и Офис военно-морских исследований (Оffice Naval Reseach) за их поддержку этой работы. SJ благодарит поддержку Корейский исследовательский грант Фонда (КРФ-003-D00007). QD благодарит поддержку  Национального научного фонда (CCF 04-04001),  Огайо Центра перспективных пропульсии и энергетии, и Факультета программы научных исследований через университет исследовательского совета (URC) в
Университете Цинциннати. Мы также благодарны Э. Г. Карпову, Г.
Парку, С. Хао, ГДж Вагнеру, С. Чжан, С. Ли, Т. Belytschko, И.-Х.Ли, С.
Пердурти (Pendurti), ГС Дуликравич (GS Dulikravich), В. Прасад, Р. Мерфи за помощь в развивающемся контексте данной главы.
Список литературы
[1] J. R. Rice, “Mechanics of Solids”, section of the article on “Mechanics”,
in Encyclopaedia Britannica (1993 printing of the 15th edition), 23, 734
(1993).
[2] M. M. Carroll, Appl. Mech. Rev, 38, 1301 (1985).
[3] T. J. R. Hughes, Finite Element Method - Linear Static and Dynamic
Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (1987).
[4] S. Li and W. K. Liu, Appl. Mech. Rev. 55 1 (2002).
[5] S. Li and W. K. Liu, Meshfree Particle Methods, Springer, New York,
(2004).
[6] K. Chong, J. Phys. Chem. Solids, 65, 1501 (2004).
[7] W. K. Liu, E. G. Karpov, S. Zhang and H. S. Park, Computer Methods
in Applied Mechanics and Engineering, 193, 1529 (2004).
[8] D. Kouris and H. Gao, J. Appl. Mech., 69, 405 (2002).
[9] J. A. Hurtado and K.-S. Kim, Proc. R. Soc. London. A, 455, 3363 (1999).
[10] J. A. Hurtado and K.-S. Kim, Proc. R. Soc. London. A, 455, 3385
(1999).
[11] A. Pantano, D. M. Parks and M. C. Boyce, Phys. Rev. Lett., 91, 145504
(2003).
[12] D. Qian, G. J. Wagner, W. K. Liu, M.-F. Yu and R. S. Ruo®, Appl.
Mech. Rev. 55, 495 (2002).
[13] E. Pan, J. Appl. Phys., 91, 6379 (2002).
[14] F. Cґelariґe, S. Prades, D. Bonamy, L. Ferrero, E. Bouchaud, C. Guillot
and C. Marli`ere, Phys. Rev. Lett., 90, 75504 (2003).
[15] C. Marli`ere, S. Prades, F. Cґelariґe, D. Dalmas, D. Bonamy, L. Ferrero,
C. Guillot and E. Bouchaud, J. Phys.: Condens.Matter, 15, S2377 (2003).
[16] C. L. Rountree, R. K. Kalia, E. Lidorikis, A. Nakano, L. Van Brutzel
and P. Vashishta, Annual Review of Materials Research, 32, 377 (2002).
[17] J.-P. Guin and S. M. Wiederhorn, Phys. Rev. Lett., 92, 215502 (2004).
99
[18] S. Ogata, J. Li and S. Yip, Science, 298, 807 (2002).
[19] R. Phillips, Crystals, Defects and Microstructures, Cambridge University
Press, Cambridge (2001).
[20] N. M. Ghoniem, E. P. Busso, N. Kioussis and H. Huang, Phil. Mag. A,
83, 3475 (2003).
[21] S. Hao, W. K. Liu, B. Moran, F. Vernerey and G. B. Olson, Comput.
Meth. Appl. Mech. Eng. 193, 1865 (2004).
[22] J. Knap and M. Ortiz, Phys. Rev. Lett., 90, 226102 (2003).
[23] A. F. Voter, F. Montalenti and T. C. Germann, Annu. Rev. Mater.
Res., 32, 321 (2002).
[24] I.-H. Lee, S. Y. Kim and S. Jun, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,
193, 1633 (2004)
[25] D. Sander, Rep. Prog. Phys., 62, 809 (1999).
[26] S. Jun and Y.-S. Cho, Opt. Express, 11, 2769 (2003).
[27] R. Santoprete, B. Koiller, R. B. Capaz, P. Kratzer, Q. K. K. Liu and
M. ScheІer, Phys. Rev. B, 68, 235311 (2003).
[28] J. Grenzer, U. Zeimer, S. A. Grigorian, S. Feranchuk, U. Pietsch, J.
Fricke, H. Kissel, A. Knauer and M. Weyers, Phys. Rev. B, 69, 125316
(2004).
[29] A. van de Walle, M. Asta and P. W. Voorhees, Phys. Rev. B, 67,
41308(R) (2003).
[30] X. Wu, J. Yang, J. G. Hou and Q. Zhu, Phys. Rev. B, 69, 153411
(2004).
[31] E. D. Minot, Y. Yaish, V. Sazonova, J.-Y. Park, M. Brink and P. L.
McEuen, Phys. Rev. Lett., 90, 156401 (2003).
[32] R. G. Parr and W. Yang, Density-Functional Theory of Atoms and
Molecules (International Series of Monographs on Chemistry, No. 16),
Oxford University Press, Oxford, New York (1994).
[33] J. M. Seminario and P. Politzer (eds.), Modern Density Functional
Theory: A Tool For Chemistry, Elsevier Science, Amsterdam, New York
(1995).
100
[34] W. Koch and M. C. Holthausen, A Chemist’s Guide to Density Func-
tional Theory, Wiley-VCH, Weinheim, New York (2001).
[35] W. J. Hehre, L. Radom, P. V. Schleyer, J. Pople, Ab Initio Molecular
Orbital Theory, Wiley, New York (1986).
[36] E.Wimmer, http://www.accelrys.com/technology/qm/erich/index.html.
[37] R. M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Meth-
ods, Cambridge University Press, Cambridge (2004)
[38] K. Ohno, K. Esfarjani and Y. Kawazoe, Computational Materials Sci-
ence: From Ab Initio to Monte Carlo Methods (Springer Series in Solid
State Sciences, 129), Springer, Berlin, New York (1994).
[39] F. Bloch, Zeitschrift fur Physik 52, 555 (1928).
[40] J. C. Slater and G. F. Koster, Phys. Rev. 94, 1498 (1954).
[41] W. A. Harrison, Electronic structure of the properties of solids, W. H.
Freeman and Co., San Francisco (1979).
[42] P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev., 136, B864 (1964).
[43] W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev., 140, A1133 (1965).
[44] J. P. Perdew, E. R. McMullen and A. Zunger, Phys. Rev. A 23, 2785
(1981).
[45] J. C. Slater, T. M. Wilson and J. H. Wood, Phys. Rev. 179, 28 (1969).
[46] V. L. Moruzzi and C. B. Sommers, Calculated electronic properties of
ordered alloys, World Scien-tific Pub Co, Singapore (1995).
[47] R. Car and M. Parrinello, Phys. Rev. Lett. 55, 2471 (1985).
[48] M. C. Payne, M. P. Teter, D. C. Allan, T. A. Arias and J. D. Joannopoulos,
Rev. Mod. Phys. 64, 1045 (1992).
[49] J. C. Phillips, Phys. Rev. 112, 685 (1958).
[50] M. L. Cohen and V. Heine, Solid State Physics 24, 37 (1970).
[51] G. B. Bachelet, D. R. Hamann and M. SchlЁuter, Phys. Rev. B 26, 4199
(1982).
101
[52] U. von Barth and L. J. Hedin, Phys. C 5, 1629 (1972).
[53] D. C. Langreth and M. J. Mehl, Phys. Rev. B 28, 1809 (1983).
[54] A. D. Becke, J. Chem. Phys. 84, 4524 (1986).
[55] J. P. Perdew and Y. Wang, Phys. Rev. B 33, 8800 (1986).
[56] J. P. Perdew, Phys. Rev. B 33, 8822 (1986).
[57] A. D. Becke, Phys. Rev. A 38, 3098 (1988).
[58] J. P. Perdew, K. Burke and M. Ernzerhof, Phys. Rev. Lett. 77, 3865
(1996).
[59] J. P. Perdew, K. Burke and M. Ernzerhof, Phys. Rev. Lett. 78, 1396(E)
(1997).
[60] J. P. Perdew, J. A. Chevary, S. H. Vosko, K. A. Jackson, M. R. Pederson,
D. J. Singh and C. Fiolhais, Phys. Rev. B 46, 6671 (1992).
[61] X. J. Kong, C. T. Chan, K. M. Ho and Y. Y. Ye, Phys. Rev B 42, 9357
(1990).
[62] G. Ortiz, Phys. Rev. B 45, 11328 (1992).
[63] A. Garcia, Ch. Elsasser, J. Zhu, S. G. Louie and M. L. Cohen, Phys.
Rev. B 46, 9829 (1992).
[64] J. Korringa, Physica 13, 392 (1947)
[65] W. Kohn and N. Rostoker, Phys. Rev. 94, 1111 (1954)
[66] K. Andersen, Phys. Rev. B 12, 3060 (1975)
[67] T. Takeda and J. KЁubler, J. Phys. F: Met. Phys. 9, 661 (1979).
[68] H. J. F. Jansen and A. J. Freeman, Phys. Rev. B 30, 561 (1984).
[69] G. Satta, G. Profeta, F. Bernardini, A. Continenza and S. Massidda,
Phys. Rev. B 64, 104507 (2001).
[70] Z. Yang, R. Wu and J. A. Rodriguez, Phys. Rev. B 65, 155409 (2002).
[71] A. Stroppa, S. Picozzi, A. Continenza and A. J. Freeman, Phys. Rev.
B 68, 155203 (2003).
102
[72] http://www.wien2k.at
[73] http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp
[74] VASP group, Vienna Ab-initio Simulation Package,
http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp.
[75] A. R. Tackett, N. A. W. Holzwarth and G. E. Matthews, Computer
Physics Communications 135, 329 (2001).
[76] http://www.cpmd.org
[77] http://www.uam.es/departamentos/ciencias/fismateriac/siesta
[78] http://www.abinit.org
[79] http://www.gaussian.com
[80] http://www.msg.ameslab.gov/GAMESS/GAMESS.html
[81] A. Kelly and N. H. Macmillan, Strong Solids, Claredon, Oxford (1986).
[82] D. Roundry, C. R. Krenn, M. L. Cohen and J. W. Morris, Phil. Mag.
A 81, 1725 (2001).
[83] M. Friґak, M. ЎSob and V. Vitek, Phil. Mag. 83, 3529 (2003).
[84] A. T. Paxton, P. Gumbsch and M. Methfessel, Phil. Mag. Lett. 63, 267
(1991).
[85] M. ЎSob, L. G. Wang and V. Vitek, Comp. Mat. Sci. 8, 100 (1997).
[86] D. Roundry, C. R. Krenn, M. L. Cohen and J. W. Morris Jr., Phys.
Rev. Lett. 82, 2713 (1999).
[87] D. Roundry and M. L. Cohen, Phys. Rev. B 64, 212103 (2001).
[88] M. ЎSob, L. G. Wang and V. Vitek, Mat. Sci. Eng. A 234-236, 1075
(1997).
[89] W. Luo, D. Roundry, M. L. Cohen and J. W. Morris Jr., Phy. Rev. B,
66, 94110 (2002).
[90] D. M. Clatterbuck, D. C. Chrzan and J. W. Morris Jr., Acta Mater.
51, 2271 (2003).
[91] J. P. Perdew and A. Zunger, Phys. Rev. B 23, 5048 (1981).
103
[92] D. M. Ceperly and B. J. Alder, Phys. Rev. Lett. 45, 566 (1980).
[93] S. H. Vosko, L. Wilk and M. Nusair, Can. J. Phys. 58, 120 (1980).
[94] M. ЎCernґy, M. ЎSob, J. Pokluda and P. ЎSandera, J. Phys.: Condens.
Matter 16, 1045 (2004).
[95] D. M. Clatterbuck, C. R. Krenn, M. L. Cohen and J. W. Morris, Jr.,
Phys. Rev. Lett. 91, 135501 (2003).
[96] X. Gonze, J.-M. Beukena, R. Caracasa, F. Detrauxa, M. Fuchsa, G.
-M. Rignanesea, L. Sindica, M. Verstraetea, G. Zerahb, F. Jolletb, M.
Torrentb, A. Royb, M. Mikamic, Ph. Ghosezd, J.-Y. Ratyd and D. C.
Allane, Comput. Mater. Sci. 25, 478 (2002).
[97] J. P. Perdew and Y. Wang, Phys. Rev. B 45, 13244 (1992).
[98] S. Ogata, N. Hirosaki, C. Kocer and Y. Shibutani, Acta Mater. 52, 233
(2004).
[99] P. Vanderbilt, Phys. Rev. B 41, 7892 (1990).
[100] S. Ogata, J. Li, N. Hirosaki, Y. Shibutani and S. Yip, Phys. Rev. B
70, 104104 (2004).
[101] O. Yu. Kontsevoi, Yu. N. Gornostyrev, O. N. Mryasov, A. J. Freeman,
M. I. Katsnelson and A. V. Trefilov, Phys. Rev. B 64, 134103 (2001).
[102] J. F. Justo and L. V. C. Assali, Appl. Phys. Lett. 79, 3630 (2001).
[103] J. R. K. Bigger, D. A. McInnes, A. P. Sutton, M. C. Payne, I. Stich,
R. D. King-Smith, D. M. Bird, and L. J. Clarke, Phys. Rev. Lett. 69,
2224 (1992).
[104] L. Kleinman and D. M. Bylander, Phys. Rev. Lett. 48, 1425 (1982).
[105] F. Liu, M. Mostoller, V. Milman, M. F. Chisholm and T. Kaplan,
Phys. Rev. B 51, 17192 (1995).
[106] R. W. Nunes, L. V. C. Assali and J. F. Justo, Comput. Mater. Sci.
30, 67 (2004).
[107] X. Blase, K. Lin, A. Canning, S.G. Loui and D.C. Chrzan, Phys. Rev.
Lett. 84, 5780 (2000).
104
[108] A. T. Blumenau, M. I. Heggie, C. J. Fall, R. Jones and T. Frauenheim,
Phys. Rev. B 65, 205205 (2002).
[109] J. Elsner, R. Jones, P. K. Sitch, V. D. Porezag, M. Elstner, Th. Frauenheim,
M. I. Heggie, S. Oberg and P. R. Briddon, Phys. Rev. Lett. 79, 3672
(1997).
[110] A. F. Wright and J. FurthmЁuller, Appl. Phys. Lett. 72, 3467 (1998).
[111] S. M. Lee, M. A. Belkhir, X. Y. Zhu, Y. H. Lee, Y. G. Hwang and T.
Frauenheim, Phys. Rev. B 61, 16033 (2000).
[112] J. Friedel, Dislocations, Pergamon Press, New York (1964).
[113] S. Ismail-Beigi and T. A. Arias, Phy. Rev. Lett. 84, 1499 (1999).
[114] F. F. Abraham, N. Bernstein, J. Q. Broughton and D. Hess, MRS
Bulletin 25, 27 (2000).
[115] K. Kadau, T. C. Germann, P. S. Lomdahl and B. L. Holian, Science
296, 1681 (2002).
[116] J. Li, A. H. W. Ngan and Peter Gumbsch, Acta Materialia 51, 5711
(2003).
[117] J. M. Haile, Molecular Dynamics Simulation : Elementary Methods,
Wiley-Interscience, New York (1997).
[118] M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford
University Press, New York (1989).
[119] D. C. Rapaport, The Art of Molecular Dynamics Simulation, Cambridge
University Press, New York (1997).
[120] D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation : From
Algorithms to Applications, Academic Press, San Diego (2002).
[121] H. J. C. Berendsen, J. P. M. Postma, W. F. van Gunsteren, A. DiNola
and J. R. Haak, Journal of Chemical Physics 81, 3684 (1984).
[122] C. Schafer, H. M. Urbassek, L. V. Zhigilei and B. J. Garrison, Comp.
Materials Science 24, 421 (2002).
[123] W. E and Z. Huang, Phys. Rev. Lett. 87, 135501 (2001).
105
[124] W. Cai, M. de Koning, V. V. Bulatov and S. Yip, Phys. Rev. Lett.
85, 3213 (2000).
[125] E. G. Karpov, G. J. Wagner and W. K. Liu, Comp. Materials Science,
submitted (2003).
[126] G. J. Wagner, E. G. Karpov and W. K. Liu, Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, 193, 1579 (2004).
[127] H. Goldstein, C. P. Poole, C. P. Jr. Poole and J. L. Safko, Classical
Mechanics, Addison Wesley, San Francisco (2002).
[128] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press, Oxford,
New York (1978).
[129] Y. Wang, D. Tomanek and G. F. Bertsch, Phys. Rev. B 44, 6562
(1991).
[130] R. Maha®y, R. Bhatia and B. J. Garrison, J. Phys. Chem. B 101, 771
(1997).
[131] F. H. Stillinger and T. A. Weber, Phys. Rev. B 31, 5262 (1985).
[132] T. Takai, T. Halicioglu and W.A. Tiller, Scripta Metall. 19, 709
(1985).
[133] R. Biswas and D. R. Hamann, Phys. Rev. Lett. 55, 2001 (1985).
[134] R. Biswas and D. R. Hamann, Phys. Rev. B. 36, 6434 (1985).
[135] J. Terso®, Phys. Rev. B 37, 6991 (1988).
[136] J. Terso®, Phys. Rev. Lett. 56, 632 (1986).
[137] J. Terso®, Phys. Rev. Lett. 61, 2879 (1988).
[138] D. W. Brenner, Phys. Rev. B 42, 9458 (1990).
[139] I. Rosenblum, J. Adler and S. Brandon, International Journal of Modern
Physics C 10, 189 (1999).
[140] J. H. Los and A. Fasolino, Computer Physics Communications 147,
178 (2002).
[141] D. W. Brenner, O. A. Shenderova, J. A. Harrison, S. J. Stuart, B. Ni
and S. B. Sinnott, J. Physics: Condensed Matter 14, 783 (2002).
106
[142] M. W. Finnis and J. E. Sinclair, Philos. Mag. A 50, 45 (1984).
[143] T. Konishi, K. Ohsawa, H. Abe and E. Kuramoto, Computational
Materials Science 14, 108 (1999).
[144] M. S. Daw, S. M. Foiles and M. I. Baskes, Materials Science Reports
9, 251 (1993).
[145] M. S. Daw, Physical Review B 39, 7441 (1989).
[146] R. A. Johnson, Physical Review B 37, 3924 (1988).
[147] S. J. Zhou, D. M. Beazley, P. S. Lomdahl and and B. L. Holian, Phys.
Rev. Lett. 78, 479 (1997).
[148] S. J. Zhou, P. S. Lomdahl, A. F. Voter and and B. L. Holian, Engineering
Fracture Mechanics 61, 173 (1998).
[149] F. F. Abraham, R. Walkup, H. Gao, M. Duchaineau, T. Diaz De La
Rubia and M. Seager, PNAS 99, 5783 (2002).
[150] F. F. Abraham, J. Mech. Phys. Solids 49, 2095 (2001).
[151] M. J. Buehler, F. F. Abraham and H. Gao, Nature 426, 141 (2003).
[152] H. Gao, Y. Huang and F. F. Abraham, J. Mech. Phys. Solids 49, 2113
(2001).
[153] F. F. Abraham and H. Gao, Phys. Rev. Lett. 84, 3113 (2000).
[154] F. F. Abraham, Adv. Phys. 52, 727 (2003).
[155] J. P. Hirth and J. Lothe, Theory of Dislocations, Wiley, New York,
NY, (1982).
[156] J. Chang, V. V. Bulatov and S. Yip, J. of Computer-Aided Materials
Design 6, 165 (1999).
[157] J. Chang, W. Cai, V. V. Bulatov and S. Yip, Materials Science and
Engineering A 309-310, 160 (2001).
[158] S. J. Zhou, D. L. Preston, P. S. Lomdahl and D. M. Beazley, Science
279, 1525 (1998).
[159] J. von Boehm and R. M. Nieminen, Phys. Rev. B 53, 8956 (1996).
107
[160] T. Rasmusen, K. W. Jacobsen, T. Le®ers and O. B. Pedersen, Phys.
Rev. B 56, 2977 (1997).
[161] Q. F. Fang and R. Wang, Phys. Rev. B 62, 9317 (2000).
[162] D. Mordehai, Y. Ashkenazy, I. Kelson and G. Makov, Phys. Rev. B
67, 24112 (2003).
[163] P. Gumbsch and H. Gao, Science 283, 965 (1999).
[164] Q. Li and S.-Q. Shi, Appl. Phys. Lett. 80, 3069 (2002).
[165] H. Jґonsson, G. Mills and K. W. Jacobsen, in Classical and Quantum
Dynamics in Condensed Phase Simulations, B. J. Berne, G. Ciccotti and
D. F. Coker (eds.), World Scientific, Singapore (1998).
[166] T. Vegge and K. W. Jacobsen, J. Phys.: Condens. Matter 14, 2929
(2002).
[167] G. Henkelman and H. Jґonsson, J. Chem. Phys. 111, 7010 (1999).
[168] T. Zhu, J. Li and S. Yip, Phys. Rev. Lett. 93, 25503 (2004).
[169] J. Schiшtz and K. W. Jacobsen, Science 301, 1357 (2003).
[170] A. Hasnaoui, H. Van Swygenhoven and P. M. Derlet, Science 300,
1550 (2003).
[171] M. De Koning, R. Miller, V. V. Bulatov and F. F. Abraham, Phil.
Mag. A 82, 2511 (2002).
[172] A. Latapie and D. Farkas, Phy. Rev. B 69, 134110 (2004).
[173] A. Hasnaoui, H. Van Swygenhoven and P. M. Derlet, Phy. Rev. B 66,
184112 (2003).
[174] V. Yamakov, D. Wolf, S. R. Phillpot and H. Gleiter, Acta Materialia
50, 5005 (2002).
[175] C. L. Kelchner, S. J. Plimpton and J. C. Hamilton, Phys. Rev. B 58,
11085 (1998).
[176] J. Li, K. J. Van Vliet, T. Zhu, S. Yip and S. Suresh, Nature 418, 307
(2002).
108
[177] K. J. Van Vliet, J. Li, T. Zhu, S. Yip and S. Suresh, Phys. Rev. B 67,
104105 (2003).
[178] O. Rodriguez de la Fuente, J. A. Zimmerman, M. A. Gonzalez, J. de
la Figuera, J. C. Hamilton, W. W. Pai and J. M. Rojo, Phys. Rev. Lett.
88, 36101 (2002).
[179] A. Gannepalli and S. K. Mallapragada, Phys. Rev. B 66, 104103
(2002).
[180] R. Smith, D. Christopher, S. D. Kenny, A., Richter and B. Wolf, Phys.
Rev. B 67, 245405 (2003).
[181] A. Gannepalli and S. K. Mallapragada, Nanotechnology 12, 250
(2001).
[182] D. Feichtinger, R. M. Derlet and H. V. Swygenhoven, Phys. Rev. B
67, 24113 (2003).
[183] E. T. Lilleodden, J. A. Zimmerman, S. M. Foiles and W. D. Nix, J.
Mech. Phys. Solids 51, 901 (2003).
[184] R. W. Carpick and M. Salmeron, Chem. Rev. 97, 1163 (1997).
[185] H. W. Schumacher, U. F. Keyser, U. Zeitler, R. J. Haug and K. Eberl,
Appl. Phys. Lett. 75, 1107 (1999).
[186] C. K. Hyon , S. C. Choi, S. H. Song, S. W. Hwang, M. H. Son, D.
Ahn, Y. J. Park and E. K. Kim, Appl. Phys. Lett. 77, 2607 (2000).
[187] D. Mulliah, D. Christopher, S. D. Kenny and R. Smith, Nuclear Instruments
and Methods in Physics Research B 202, 294 (2003).
[188] T.-H. Fang, C.-I. Weng and J.-G. Chang, Surface Science 501, 138
(2002).
[189] I. Zarudi, W. C. D. Cheong, J. Zou and L. C. Zhang, Nanotechnology
15, 104 (2004).
[190] D. Mulliah, S. D. Kenny, R. Smith and C. F. Sanz-Navarro, Nanotechnology
15, 243 (2004).
[191] S. Jun, Y. Lee, S. Y. Kim and S. Im, Nanotechnology 15, 1169 (2004).
[192] S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-
Hill, New York (1987).
109
[193] A. P. Boresi and K. P. Chong, Elasticity in Engineering Mechanics,
Wiley-Interscience, New York (1999).
[194] T. Belytschko, W. K. Liu and B. Moran, Nonlinear Finite Elements
for Continua and Structures, John Wiley & Sons, Chichester (2000).
[195] J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, Mathematical Foundations of
Elasticity, Prentice-Hall, Englewood Cli®s, NJ, (1983).
[196] L. E.Malvern, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium,
Prentice-Hall. Englewood Cli®s, NJ, (1969).
[197] E. B. Tadmor, M. Ortiz and R. Phillips, Phil. Mag. A 73, 1529 (1996).
[198] F. Milstein, in Mechanics of Solids, M. J. Sewell (ed), Pergamon Press,
Oxford, (1982).
[199] J. L. Ericksen, in Phase Transformations and Material Instabilities in
Solids, M. Gurtin (ed), Academic Press, New York, (1984).
[200] C. S. G. Cousins, J. of Physics C 11, 4867 (1978).
[201] M. Arroyo and T. Belytschko T, J. Mech. Phys. Solids, 50, 1941
(2002).
[202] P. Zhang, Y. Huang, P. H. Geubelle, P. Klein and K. C. Hwang, Int.
J. Solids Struct. 39, 3893 (2002).
[203] H. P. Kaukonen and R. M. Nieminen, Phys. Rev. Lett. 68, 620 (1992).
[204] S. Zhang, H. T. Johnson, G. J. Wagner, W. K. Liu and K. J. Hsia,
Acta Materialia 51, 5211 (2003).
[205] H. S. Park and W. K. Liu, in Handbook of Theoretical and Computational
Nanotechnology, M. Rieth and W. Schommers (eds.), American
Scientific Publishers, in press (2005).
[206] S. Zhang, G. J. Wagner, Y.-H. Yu, W. K. Liu, S. N. Medyanik and Y.
W. Chung, Surface and Coating Technology 177, 518 (2004).
[207] F. F. Abraham, J. Q. Broughton, N. Bernstein and E. Kaxiras, (1998),
Europhysics Lett. 44, 783 (1998).
[208] J. Q. Broughton, F. F. Abraham, N. Bernstein and E. Kaxiras, Phys.
Rev. B 60, 2391 (1999).
110
[209] H. S. Park and Wing Kam Liu, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 193,
1733 (2004).
[210] E. B. Tadmor, R. Phillips and M. Ortiz, Langmuir 12, 4529 (1996).
[211] V. B. Shenoy, R. Miller, E. B. Tadmor, R. Phillips and M. Ortiz, Phys.
Rev. Lett. 80, 742 (1998).
[212] R. Miller, E. B. Tadmor, R. Phillips and M. Ortiz, Model. Simul.
Mater. Sci. Eng. 6, 607 (1998).
[213] M. Ortiz, A. M. Cuitino, J. Knap and M. Koslowski, MRS Bulletin
26, 216 (2001).
[214] H. Kadowaki and W. K. Liu, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 193,
3267 (2004).
[215] D. Qian, G. J. Wagner and W. K. Liu, Comput. Meth. Appl. Mech.
Eng. 193, 1603 (2004).
[216] G. J. Wagner and W. K. Liu, J. Comput. Phys. 190, 249 (2003).
[217] H. Park, E. G. Karpov and W. K. Liu, Comput. Meth. Appl. Mech.
Eng. 193, 1713 (2004).
[218] R. E. Rudd and J. Q. Broughton, Phys. Rev. B 58, R5893 (1998).
[219] R. E. Rudd and J. Q. Broughton, Phys. Stat. Solidi B 217, 251 (2000).
[220] S. Serebrinsky, E. A. Carter and M. Ortiz, J. Mech. Phys. Solids, 52,
2403 (2004).
[221] T. J. R. Hughes, G. R. Feijoo, L. Mazzei and J. B. Quincy, Comput.
Meth. Appl. Mech. Eng. 166, 3 (1998).
[222] K. Garikipati and T. J. R. Hughes, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.
188, 39 (2000).
[223] V. B. Shenoy, R. Miller, E. B. Tadmor, D. Rodney, R. Phillips and M.
Ortiz, J. Mech. Phys. Solids 47, 611 (1999).
[224] E. B. Tadmor, R. Miller, R. Phillips and M. Ortiz, J. Mater. Research
14, 2233 (1999).
[225] D. Rodney and R. Phillips, Phys. Rev. Lett. 82, 1704 (1999).
111
[226] G. S. Smith, E. B. Tadmor and E. Kaxiras, Phys. Rev. Lett. 84, 1260
(2000).
[227] J. Knap and M. Ortiz, J. Mech. Phys. Solids 49, 1899 (2001).
[228] L. E. Shilkrot, R. E. Miller and W. A. Curtin, J. Mech. Phys. Solids.
52, 755 (2004).
[229] R. E. Miller, L. E. Shilkrot and W. A. Curtin, Acta Mater. 52, 271
(2004).
[230] M. Fago, R. L. Hayes, E. A. Carter and M. Ortiz, Phys. Rev. B 70,
100102(R) (2004).
[231] E. G. Karpov, H. Yu, H. Park, W. K. Liu, J. Wang and D. Qian, Phys.
Rev. B., to appear (2004)
[232] H. S. Park, E. G. Karpov, P. A. Klein and W. K. Liu, Phil. Mag., to
appear (2004)
[233] S. P. Xiao and T. Belytschko, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 193
1645 (2004).
[234] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons,
New York, London, Sydney (1966).
[235] R. P. Feynman, Phys. Rev. 56 340 (1939).
[236] C. H. Xu, C. Z.Wang, C. T. Chan and K. M. Ho, J. of Phys. - Conden.
Matter 4 6047 (1992).
[237] L. Goodwin, A. J. Skinner and D. G. Pettifor, Europhys. Lett. 9, 701
(1989).
[238] D. Qian and W. K. Liu, in preparation (2004).
[239] M. S. Kushwaha, Int. J. Mod. Phys. B., 10, 977 (1996).
[240] S. Jun, Y.-S. Cho, and S. Y. Kim, in Computational Mechanics: Pro-
ceedings of WCCM VI in conjunction with APCOM’04, Z. H. Yao, M.
W. Yuan, W. X. Zhong (eds.) Tsinghua Univ. Press and Springer, Beijing
(2004).
[241] S. Jun, Meshfree implementations for the real-space electronicstructure
calculations of crystalline solids, Int. J. Num. Meth. Eng., 59,
(2004), 1909-1923.
112
[242] S. Jun, Y.-S. Cho, and S. Im, Moving least-square method for the
band-structure calculation of 2D photonic crystals, Opt. Express, 11,
(2003), 541-551.
[243] G. Bao and S. Suresh, Nature Materials, 2, 715 (2003).
113