Analytical Derivation of Cosserat Moduli via Homog

D. Bigoni1
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale, Universit; di Trento, Via Mesiano 77, 38050 Povo, Trento, Italy e-mail: bigoni@ing.unitn.it
W. J. Drugan
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale, Universit; di Trento,
Via Mesiano 77, 38050 Povo, Trento, Italy and Department of Engineering Physics,
University of Wisconsin-Madison, 1500 Engineering Drive, Madison, WI 53706-1687 e-mail: drugan@engr.wisc.edu
Analytical Derivation of Cosserat Moduli via Homogenization of
Heterogeneous Elastic Materials
D. Bigoni1
1Corresponding author.
Contributed by the Applied Mechanics Division of ASME for publication in the
JOURNAL OF APPLIED MECHANICS. Manuscript received February 10, 2006; final manuscript
received April 20, 2006. Review conducted by Robert M. McMeeking.
Journal of Applied Mechanics JULY 2007, Vol. 74 / 741 Copyright © 2007 by ASME
Downloaded 03 Oct 2007 to 193.205.203.69. Redistribution subject to ASME license or copyright, see http://www.asme.org/terms/Terms_Use.cfm
Департамент  Инженерии Механики и Структур,
Университета ди Тренто, Через Мезиано 77,
38050 Povo, Тренто, Италия
электронная почта: bigoni@ing.unitn.it
W. Дж. Другэн
Департамент Инженерии Механики и Структур,
Университа ди Тренто, Через Мезиано 77,
38050 Povo, Тренто, Италия
 Отдел Технической Физики, Университет Висконсина-Мадисона,
1500 Инжиниринг-Драйв, Мадисон, Висконсин 53706-1687
электронная почта: drugan@engr.wisc.edu
Аналитическое Происхождение Коссера (Cosserat) Модули через Гомогенизацию Гетерогенных Упругих Материалов
Почему сделанные эксперименты обнаруживают Коссера эластичные, упругие эффекты для пористых, но не для жестких-частиц-перевфорсированных, укреплённых материалов? Гомогенизация гетерогенного Коши-упругого, эластичного материала ведет к микрополярным эффектам (Коссера), и если так, действительно ли это верно для каждого типа разнородности? Гомогенизация может определить микрополярные упругие, эластичные константы? Если так, гомогенные (эффективные) материалы Коссера определяют таким образом более точное представление отклика композиционных материалов, чем обычный эффективный материал Коши? Прямые ответы на эти вопросы приводятся  в этой статье и для дву - (2D) и для трехмерных (3D) деформаций, в которых мы получаем формулы закрытой формы для Коссера модули через гомогенизацию разведенной суспензии эластичных, упругих сферических включений в трехмерном 3D (и круглых цилиндрических включений в 2D) включенные в изотропическую упругую, эластичную матрицу. Это показано, что характерная длина для гомогенного материала  Коссера, что лучшая имитация гетерогенного материала Коши могут быть получены (приводящие к удивительно простым формулам), когда включения менее жестки, чем матрица, но когда они равны или более жестки, чем матрица, эффекты Коссера, как показано, будут исключены. Эти аналитические результаты объясняют опубликованные экспериментальные находки, исправляют, решают и расширяют предшествующее противоречащее теоретические (главным образом числовые и ограниченные двумерными деформациями) исследования, и обеспечивают и общую методологию, и определенные результаты для определения простых гомогенных эффективных материалов высшего порядка, что более точно представляют гетерогенного материала отклик при главных кондициях нагрузки. В частности, показано, что никакой стандарт гомогенизированный материал (Коши) не может точно представить отклик гетерогенного материала, подвергнутого униформы плюс линейно измененной примененной тяги, в то время как гомогенизированный материал Коссера может сделать так (когда включения менее жестки чем матрица). _DOI: 10.1115/1.2711225_
Ключевые слова: гомогенизация, Коссера-эластичность, растворенная суспензия упругих, эластичных сфер, нелокальные конституционные уравнения, микрополярные эффекты
1 Автор корреспонденции.
Внесенный Прикладным Подразделением, Разделением Механики АСМ для публикации в ЖУРНАЛЕ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ. Рукопись, полученная 10 февраля 2006; заключительная рукопись полученна 20 апреля 2006. Обзор проведен Робертом М. Макмикингом.
Журнал Прикладной Механики, Авторское право ИЮЛЯ 2007 Издания 74 / 741 © 2007 АСМ Загруженный 03 октября 2007 на 193.205.203.69. Перераспределение, подвергающееся лицензии АСМ или авторскому праву, см. http://www.asme.org/terms/Terms_Use.cfm

1 Введение
В сообществе механики твердого тела есть давнишние дебаты касающиеся возможности предсказания микрополярного эластичного (Коссера) поведения от Коши-эластичных материалов, содержащих неоднородности или микроструктуры. Фактически, хотя побуждение ведущее к эффектам Коссера, кажется, являются очень интуитивным, теоретические результаты в литературе являются часто противоречащими и не категоричное заключение  доступно (см. Приложение A для подробностей). Кроме того, результаты эксперимента поддерживают эффекты Коссера для пористых материалов (типа кости или пены [1–5 ]), но находят отсутствие этих эффектов для укрепленных, перевфорсированных материалов [6,7].
В данной работе мы обеспечиваем общую методологию для определения модулей для гомогенного Коссера- эластичного  материала, который лучше всего приближает гетерогенный Коши- эластичный материал. Мы применяем эту методологию к конкретным случаям трехмерных деформаций (3D) разведенной суспензии  (Коши, линейные, и изотропические) эластичные сферические включения, и двумерные деформации (2D) круглых цилиндрических включений, в (Коши, линейной, и изотропической) эластичной матрице. С переносом  к Коссера (линейному и изотропному) материалу, показано что:
1. Эффекты Коссера предсказаны для сферических или цилиндрических включений менее жестко, чем матрица, но исключены для включений имеющих жёсткость, равную или больше чем той из матрицы;
2. простой, закрытой формы формула дает  Коссера характеристику длины (и другой эффективной Кoссера модули) как функцию радиуса включения, фракции объема, и эластичный контраст составляющих фаз; и
3. характерная длина, которая получается для трехмерной деформации матрицы со сферическими включениями - значительно меньше чем, та получающаяся для двумерных деформаций из матрицы с круглыми цилиндрическими включениями.
Заключение (1) строго объясняет демонстрацию экспериментальных наблюдений микрополярных эффектов для пористого материала, но показывает  противоположную тенденцию, или в словах Готье [7] “антимикрополярное явление,” для включений, более жестких чем матрица.
Тесно связанная проблема вывод, что стандартной гомогенизации результаты для линейных упругих материалов обеспечивают полные или эффективные эластичные модули, которые связывают (униформы) средний стресс с (униформы) средней странностью. Это означает, что стандартные результаты гомогенизации дают гомогенный "эффективный" материал, который в состоянии представить хорошо полный ответ фактического гетерогенного эластичного материала, когда приложенная нагрузка однородна, униформна. Однако, когда приложенная нагрузка отклоняется от однородности, гомогенный "эффективный" материал менее точно представляет полный ответ фактического гетерогенного материала. Этот факт важен, пока конечно, в общих композиционных материалах, которые используются в приложениях, где приложённая нагрузка не однородна.
Мы показываем в этой статье для ситуаций в которых прикладная нагрузка на гетерогенном материале изменяется достаточно медленно, что  допускает последовательное расширение ряда Тейлора, что тогда как стандартной гомогенизации результаты обеспечивают гомогенный "эффективный" материал, который может точно представить актуальную гетерогенность только одним членом,  когда ведущего порядка (униформы) член в ряду Тейлора сохранен, то гомогенный "эффективный" материал Коссера может сделать такое, когда два члена в ряду Тейлора сохранены, когда материала разнородность менее жестка, чем матричный материал. Результат - простая гомогенная материальная модель, что более аккуратно представляет актуальный (послушный-включение-тип) гетерогенный материальный ответ при медленном изменении прикладной нагрузки.
 Рис. 1 Процедура гомогенизации материала, содержащего разведенное распределение круглых  пустот. Гетерогенный материал (слева) h;h призма, удаленная из бесконечного листа, который подвергнут однородному, одноосному дальнего -поля стрессу; гомогенности материал (справа) подвергнут значащим стрессам, вычисленным из гетерогенной призмы. Для плоскости странности проблемы, уровень набора ;11 показывает; отметьте, что переменные ;12, ;21, и ;22, показаны параллельными краям, граням,  меньше чем 1/10 максимума значения ;11 на расстоянии от центра включения  равном трем радиусам включения.
2 Обзор Результатов Гомогенизации для Униформы, однородной Приложенной Нагрузки
Здесь мы кратко суммируем известные результаты для эффективных модули гомогенности, изотропной линейной эластичной матрицы содержащей разведенную суспензию гомогенности, изотропичных линейных эластичных включений имеющихся в общих различных модули чем матрица; включения - либо цилиндры (плоской странности деформаций) или сферы (для трехмерной деформации). Как отмечено в Секции. 1, один подход для выведения такие модули  требует, чтобы они связывали средний (униформы) стресс и странность таким же образом, что эти количества связываются в актуальном гетерогенном материале. Альтернативный, эквивалентный подход для их происхождения требует, чтобы полная упругая, эластичная энергия в однородной "эффективной" среде равнялась той, в фактической гетерогенной среде под униформы, однородной приложенной нагрузке. Мы будем использовать этот энергетический подход в данной работе.
Когда соединение разведено, как рассмотрено здесь, мы можем использовать решение для бесконечного тела, содержащего единственное включение и подвергнутое однородной дальнего поля нагрузке. Из этого решения, мы выбираем конечный регион, содержащий включение, и вычислим значащие стрессы, действующие на него. Эффективные модули могут тогда быть вычислены уравнением, через первый порядок во фракции объема, эластичная энергия, содержащаяся в отобранном конечном регионе, вычислена из актуального материального решения гетерогенности с тем, вычисленным из эффективного тела гомогенности того же самого размера подвергнутого к значащим стрессам, вычисленным из решения бесконечного тела. Мы определяем эффективный сдвиг модулус как  и тесто модулус как  (для 3D трехмерного, тогда как  , с  обозначением в плоскости отношения Пуассона для плоскости странности 2D). Эскиз этой процедуры показан на Рис. 1, для плоской странности деформации бесконечной плоскости с круглым отверстием.
Эшелби (Eshelby) [8] и независимо Хашин (Hashin) [9] получили следующие эффективные эластичные модули для трехмерной проблемы из матрицы, содержащей сферические включения (здесь сохраняющиеся члены через первый порядок во фракции объема ; фазы включения)

  (1)
где индексы m и i обозначают матрицу и включение, соответственно.
В двумерном (плоской странности) эластичность, сферы заменены параллельными бесконечными круглыми цилиндрами и эффективный модулус формулы через O(f) - [10]


где теперь ;=3-4;, с ; обозначающим (в плоскости) отношение Пуассона.
3 Гомогенизации Под Приложенной Неоднородной
Нагрузкой
3.1 Представление ряда Тейлора  Медленного Изменения Приложенной Нагрузки. Давайте рассматривать бесконечное тело соединения материала с разведенным распределением включений, подвергнутых произвольному, но медленно переменных дальнего поля ("границы") кондиций. Дальнего поля поле смещения u(x) могут тогда быть расширены в ряде Тейлора около местоположения центра включения (выбранный как происхождение координат). Через второй порядок, самое общее представление для этого
иi = ;ijxj + ;ijkxjxk (3)
где ;ij и ;ijk- постоянные коэффициенты, последнее наличие очевидная симметрия ;ijk = ;ikj (пока xj и xk играет ту же самую роль), индексы располагаются между 1 и 3 (1 и 2 для плоской странности), и обычное соглашение суммирования для повторных индексов используется здесь и через  всю статью кроме где отмечено. Хотя коэффициенты ;ij неограниченны, квадратная часть смещения поля должна удовлетворить уравнениям Навье (Navier) равновесия без сил тела, приводящие к следующим трем (двум для плоскости странности) ограничениям
 ;kki = - (1 - 2;m) ;ikk(4)
Как известно, гомогенный эффективный Коши эластичный материал, Урав. (1) и (2 ), точно подражает ответу  гетерогенного материала Коши, когда оно подвергнуто линейному переменному смещению (однородной примененной нагрузке). Однако, в большинстве практических ситуаций композиционный материал подвергнут пространственно переменной приложенной нагрузке. Как хорошо  эффективный материал Коши гомогенности подражает единице актуального материала гетерогенности  в этом случае, и может гомогенность материала Коссера делать лучше? Давайте рассмотрим плоскость странности и трехмерные деформации отдельно.
3.2 Плоскость странности. Использование ограничения Урав. (4) и явно показывая вклады изгиба плоскости странности, квадратичные члены в отдаленном смещении поля Урав. (3) становятся



где коэффициенты ,  (индекс 3 обозначают направление вне плоскости и другие ненулевые направления компоненты смещения) и изгиб кривых R13 и R23 (индекс 3 снова обозначают направление вне плоскости, в то время как другие индексы обозначают направления нормальных компонентов изгиба стресса) произволен. Смещения Урав. (5) априорно удовлетворяют уравнениям Навье и
таким образом представляют наиболее общего равновесия плоской странности квадратичное поле смещения.
Проблема бесконечного листа, содержащего круглое отверстие и подвергнутый дальнего поля изгибу был решен Мусхелишвили [11], и Сендески (Sendeckyj) [12] в общем случае круглого эластичного включения. Эластичные поля произведены дальнего поля нагрузки способом связанным с  и  в бесконечном листе, содержащем круглое эластичное включение определенное в Приложении B (где сгибающееся решение также включено для комплекта). Важный пункт относительно нашего поднимающегося аккуратного моделирования эффективного материального отклика состоит в том, что эти решения показывают, что поле смещения Урав. (5), действительное точно для гомогенного материала, встревоженного включением, в материальной внешней стороне включения, только членом O(f2).
3.3 Трехмерные Деформации. Самого общего квадратичного равновесия отдаленное поле смещения может быть написано как, используя Урав. (3) с Урав. (4) (суммирование не подразумевается для повторного индекса)
(6)
где индексы i, j, k является циклическими перестановками 1, 2, 3 (т.e., 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 ), иллюстрируя факт, что кинематика – сумма шести способов плоской странности (определенной, сгибая искривления Rij и дополнительные свободные коэффициенты  (где i обозначает направление сгибающегося стресса или ненулёвый компонент смещения и j направление вне плоскости) и три  скручивающихся угла завихрения/длины ;i (i=1,2,3). Поэтому,  поле смещения плоской странности Урав. (5) может быть получено из Урав. (6), беря 1/R12=1/R21=1/R32=1/ R31 =  =  = = =;1=;2=;3=0.
Проблема бесконечной эластичной матрицы, содержащей сферическую пустота и подвергнутый отдаленной изгиба нагрузке (особый случай Урав. (6) то, в которых все  и ;  нули, был решен Сен [13], и Дас [14] для общего случая сферического эластичного включения. Эти решения показывают, что сгибающееся поле смещения, действительное точно для гомогенного материала, встревожена включением в регион вне включения членом О(f5/3). Факт, что волнение остается в О(f5/3) для поля главного квадратичного смещения  Урав. (6) показано в Приложении C, где решение для сферического упругого включения в бесконечной упругой матрице,  субъект, подвергнуто к полю отдаленного смещения Урав. (6), получено. Приложение C также показывает, что решение Дас [14] неполное, и что это может быть выражено просто в членах простой функции.
3.4 Заключение. Квадратичная часть поля смещения Урав. (3), вместе с требованиями равновесия Урав. (4), который является действительным точно для гомогенного материала, встревожена цилиндрическим или сферическим включением в регионе вне включения членом O(f2) для двумерной эластичности и О(f 5/3) для трехмерной эластичности.
Другими словами, в асимптотическом расширении во фракции объема  включения f решения поля смещения вне включения, через порядок f  включение нейтрально под квадратичными отдаленными  кондициями смещения. Поэтому, эффективные модули определены под отдаленными квадратичными кондициями смещения идентичными (первому порядку f)  с модули материала матрицы.
4 Стандарт Гомогенизированный Материал в Ошибке для Квадратных Прикладных Смещений
Теперь мы имеем возможность сталкиваться с главной проблемой, а именно: под прикладным линейным отдаленным полем смещения (однородный примененный отдаленный стресс) волнение, вызванное включением в решении  поля смещения в окружающем  материале матрицы O(f), в то время как под прикладным квадратичным отдаленным полем смещения (примененным линейным отдаленным полем стресса) волнение в решении поля смещения в матрице становится О(f 5/3) для трехмерной 3D и O(f2) для 2-ой 2D эластичности.
Поэтому, эффективный материал определенный Урав. (1) и (2) более жесткий (более послушный) для  линейно изменяемой примененной нагрузкой, чем актуальный гетерогенный материал для более жестких включений (больше послушных, комплиантных) чем матрица. Таким образом, если гетерогенный материал (матрица с включением) представлен обычным способом в теории композитных материалов — гомогенным материалом с эффективным модули, данными Урав. (1) или (2)-это представление работает хорошо для однородной примененной нагрузки, но для линейно измененного прикладного стресса, это в ошибке членом O(f).
Чтобы лучше объяснить этот пункт, давайте рассматривать куб края h, составленный из гомогенного эффективного материала, имеющего свойства Урав. (1) или (2) и подвергающийся полю квадратичного смещения  Урав. (5) или (6). Полная эластичная энергия в таком кубе получена вычислением плотности энергии странности от Урав. (5) или (6) и затем объединением его по кубу.
Полная эластичная энергия в кубе, ;, для плоской странности
(7)
где

 (8)
в то время как для трехмерной деформации это

где

Для двумерных деформаций члены ;R и ;;, в то время как для трехмерных деформаций члены (;R -| ;RR|) ,  (2;; -| ;;;|) , и ;; все отрицательные для включений более жестких, чем матрица (т.е., когда энергия композитного экземпляра выше чем та, для того же самого экземпляра, состоящего из чисто матричного материала), все нули, когда у них есть та же самая жёсткость, и все положительные для включений, менее жестких чем матрица. Это будет в некотором смысле используемо в качестве нашего определения “включения, более жесткого чем матрица.”
Если эластичная энергия Урав. (9) или Урав. (7) сравнивается с той, оцененной для идентичной призмы, теперь включающей матричный материал и содержание сферического (цилиндрического в 2D) включения, идеально удаленного из бесконечного тела, что подвергнуто дальнего поля квадратичным смещениям Урав. (6) или Урав. (5), то есть несоответствие  линейных членов в f, так что гомогенизация приводит к материалу более жесткому (более послушному, комплиантному, совершенному, укомплектованному), чем гетерогенное решение, для включения более жесткого (более послушного), чем матрица.
5 Сравнение С Материалом Коссера
Ключевой пункт в вышеупомянутом обсуждении то, что результаты для гетерогенного материала сравниваются с гомогенным линейным упругим материалом, обеспечивая эффективные свойства. В то время как гомогенный материал с соответственно выбранными эффективными модули может успешно подражать композиционному материалу, когда поле однородного стресса применено, мы показали, что он не может сделать так, когда поле самого простого неоднородного (т.е., однородного, униформного плюс линейно изменяющегося) стресса  прилагается. Что происходит теперь, если это сравнение сделано между  композиционным материалом и гомогенным Коссера или микрополярным материалом? Отметьте, что этот вопрос имеет фундаментальное — в противоположность эмпирическому- побуждение: предположение, приводящее к стандартной эластичности Коши (Cauchy) — что поверхностные проистекающие моменты/области исчезают как четырёхгранник, тетраедрон Коши (Cauchy) становится исчезающее малым — заметное  приближение для материалов с чрезвычайно малой шкалы микроструктурой, но  в основном иное подобие  не достижимо. Отсутствие этого предположения, Коссера типа конституционная рабочая рамка возникает.
 Рис. 2 Процедура гомогенизации материала, содержащего разведенное распределение круглых пустот и подвергающийся дальнего поля изгибу распределения стресса. Гетерогенный материал (слева) - h;h призма, удаленная из бесконечного листа, который подвергнут одноосному, линейно переменному дальнего поля стрессу; гомогенный Коссера эластичный материал (справа) подвергается тому же самому значению момента, (произведенному  и ) вычисленному от гетерогенной призмы. Для плоской странности проблемы, (где ; не появляется), наборы уровня ;11 показаны; отметьте, что переменные ;12, ;21, и ;22,  показаны параллельно краям,  меньше чем 1/100 максимума переменной ;11 на расстоянии от центра включения  равным трем радиусам включения, (противоположность этому с порядком эффекта в Рис. 1).
5.1 Самая Простая Учредительная Модель Коссера. Мы начинаем для простоты с принужденным вращением микрополярными материалами (самая простая  конституционная модель Коссера), для которых конституционные уравнения – [15]
,  (11)
где ;ij - симметрическая часть тензора  силы-стресса; ;ij бесконечно малый тензор странности, вынужденного изменения; mij - отклоняющее устройство, девиатор тензора пары-стресса; и ;ij - тензор скрученности- сгибания. Кинематические количества определены в членах поля смещения иi как
 ,  (12)
где eihk – Риччи (Ricci) тензор (перестановки); ;i – макровращения осевой вектор; и  подшрифт обозначает частичное дифференцирование с отношением последующих индексов. Материальные параметры ; и ; появляющиеся в Урав. (11) - обычные (Пуассона (Poisson) и сдвига) эластичные модули (подвергнутые к обычным ограничениям), тогда как материала параметры l и ; определяют поведение Коссера (Cosserat); в частности, бывший- характерная длина материала, и последний безразмерный и подвергающийся ограничению-1<;<1 для положительной определенности энергии странности.
Давайте рассматривать теперь два идеальных материальных элемента: куб края h Коши- эластичного материала, содержащего включение, идеально удаленный из бесконечного тела, которое подвергнуто дальнего- поля нагрузке, и тот же самый куб вместо этого составленный из гомогенного, принужденного вращения материала Коссера, Урав. (11). Мы хотим определить переменные эффективных модулей Коссера  ,  и ; так, чтобы гомогенный материал Коссера лучшие имитировал гетерогенный материал Коши под общей медленно переменной примененной нагрузкой (Рис. 2, иллюстрируя для простоты распределение сгибающего стресса).
5.2 Соответствие С Полем Однородного  Стресса. Для униформного приложенного стресса (и ноль примененной пары стресса) эффективный модулус переменных Урав. (1) и (2), идентичный полученным для Коши эластичного материала, найден для материала Коссера. Причина для этого проста, что для униформного примененного стресса по материалу Коссера гомогенная деформация с нулевым тензором деформации- кривизны произведена, так что эффекты Коссера исчезли (т.е., модули l и ; не входят в решение).
5.3 Соответствие С Полем Линейно Переменного Отдаленного Стресса.
Для линейно переменного отдаленного приложенного стресса на  материале Коссера эффекты Коссера присутствуют и, как будет показано, для включений менее жестких чем матрица они разрешают минимизацию, и для определенного устранения деформаций, несоответствия в  энергии странности между актуальным композитным материалом и гомогенным эффективным материалом Коссера.
Граничные условия для тел Коссера и Коши- эластичного не эквивалентны. Например, в чисто кинематическом подходе, для материала Коссера мы можем предписать смещения Урав. (6) или Урав. (5)  вдоль стороны призмы, но две тангенциальные компоненты вращения должны также быть определены, последнее не необходимо в теле Коши. Следуя кинематическому подходу, мы предполагаем смещения Урав. (6) или Урав. (5), и вращения, выведенные из этих смещений, чтобы быть предписанным вдоль всех сторон призмы для материала Коссера. (Для материала Коши, только смещения Урав. (6) или Урав. (5) предписаны на границе, но получающееся решение имеет вращения там идентичные тем предписанным для материала Коссера, таким образом решения  материала Коссера и Коши соответствуют точно самой проблеме.) Решение этой проблемы граничной переменой для чистого изгиба материала Коссера дали Кутье (Koiter) ([15], его Сек. 6.2 и 6.3).
Обобщение решения  Кутье (Koiter), для поля смещения  Урав. [6] (или Урав.[5]), с ;m, замененным , ненулевые кинематические количества становятся

(индексы, не суммированные; i, j, k цикличный),

(индекс, не суммированный и все отличающиеся),
 (13)
(индексы не суммированные).
Полная энергия напряжения (породы) в кубе таким образом
(14)
где
(15)
и
 (16)
которым, для деформаций плоской странности в x1, x2 плоскости становятся
(17)
5.4 Результат 1. Неполярный (т.е., стандартный эффективный Коши) случай получен из энергии странности Урав. (14), установкой внутренней длины, равной нолю, l=0; поэтому, с тех пор  входит в Урав. (14) только как l2, и начиная с его коэффициента не может быть отрицательным для допустимые ценности модуля, энергия странности для эффективного Материала Коссера никогда не меньше чем энергия странности для эффективного материала Коши. Это означает, что введение эффектов Коссера может только увеличить энергию странности эффективного материала и поэтому может только быть полезным, когда коэффициенты ;R и ;; положительны в плоскости странности (в Урав. (7)) или когда ;R -| ;RR |>0, 2 ;; -| ;;; |>0, и ;; >0, в трехмерном 3D в Урав. (9), то есть, для включений, менее жестких чем матрица. В случае включения более жестких чем матрица, эффекты Коссера делают гомогенизированный материал, еще более жестким чем уже чрезмерно жесткий эффективный материал Коши, следующий из гомогенизации для униформного стресса. Для этих ситуаций простой Коссера эффективный материал не может обеспечить усовершенствование стандартного Коши эффективного материала.
5.5 Результат 2 для 2-ых 2D Деформаций. Давайте начнем с двумерной (плоской странности) формулировки, где есть только один остающийся неопределенным параметр, внутренняя характерная длина l, в упругой энергии, Урав. (14) (параметр ; только входит в упругую энергию в трехмерном случае). Мы ищем l переменную, которая разрешает минимизацию эластичной разности энергий через O(f), для произвольного равновесия квадратичного отдаленного смещения граничных условий, между гетерогенным Коши  материалом (чья энергия не имеет никакого O(f) члена) и гомогенным эффективным материалом Коссера:
(18)
которая является (должная разделенной  h5)
(19)
Мы хотим использовать l, чтобы увеличить упругую энергию эффективного материала Коссера таким способом, что это становится ближе к корректной переменной ;Cauchy(;,;), но не превышая эту переменную для любой переменной свободных параметров, определяющих способы деформации:
1/R13, 1/R23, , и . Поэтому, использование Урав. (7), Урав. (19) может быть написано как, сохранение только члены  через O(f)
(20)
и проблема состоит в том, чтобы найти l2/h2 таким образом, что Урав. (20) удовлетворяет для всех 1/R13, 1/R23, , и , став близко к равенству как возможно. Отметьте что, так как член  умножения l2, всегда отрицателен, неравенство (20) может быть удовлетворено только для менее жестких включений чем матрица, то есть, когда ;R и ;; оба положительны.
Теперь, проблема (20) может быть преобразована в форму xAx;0, с вектором , так, что это стало эквивалентно требованию положительной полуопределенности 4;4 матрица A (которая составлена из двух идентичных 2;2 блоков, в то время как все другие записи нули). У этой матрицы есть два отчетливых собственных значения с двойным многообразием; требование, что меньшее собственное значение будет нуль приводит 
(21)
действительное только и для ;R и для ;; положительный.
Очевидно, значение отрицательных переменных l2  просто, что включение более жестко, чем матрица и никакая (реальная) переменная  существует для характерной длины, которая разрешит эластичные энергии к соответствию, матчу. В таких случаях, l=0 дает самое маленькое различие между энергиями. Используя f = ;a2/h2, Урав. (21) становится
(22)
действительным только и для ;R и для ;; положительных. Отметьте в Урав. (22) что l=0, когда a=0, но что l/a независим от f (под нашим предположением  маленького f). Отметьте что в пределе несжимаемой матрицы, ;m=1/2, Урав. (22) сокращается до
  (23)
показывающее, что соответствующий прикладной способ деформации –  чистый изгиб. В этом случае, другими словами, характерная длина Урав. (23) обеспечивает точное совпадение между энергиями актуального гетерогенного тела и гомогенизированного под произвольным униформным плюс чистый изгиб примененной нагрузкой.
В крайнем случае, когда включение - пустота, Урав. (22) становится
(24)
где радикал в Урав.(24) всегда положителен.
Характерная длина, разделенная на радиус включения, l/a, подготовлен на Рис. 3 против контраста во включении/матрице сдвига модули, ;i/;m. Нулевой контраст соответствует пустоте, Урав. (24). Различные  кривые на рисунке относятся к различным переменным отношения Пуассона. Переменные кривых в ;i/;m=0 зависят только от ;m; кривые начерчены для ;m и ;i , которые имеют значения 0.49 и 0. Отметьте также, что для ;m = ;i, l =0 результат для ;i = ;m, как это должно.
Для достаточно послушного включения, положительной характеристике длина для эффективного материала Коссера всегда находится, который уменьшается к нулю в достаточно высокой жёсткости включения.
Рис. 3. Характерная длина разделённая радиусом круглого цилиндрического включения для гомогенного материала Коссера выведена из гомогенизации матрицы, содержащей разведенное распределение параллельных, бесконечных круглых цилиндрических включений (плоская странность, Урав. (22))
5.6 Результат 2 для Трехмерных 3D Деформаций. Теперь давайте рассматривать трехмерные деформации. Вводя символ
_(25)
трехмерная версия неотрицательности разности энергий Урав.(18) становится
(26)
Уравнение (26) зависит от произвольных способов деформации. Они спарены в группы четырех (каждая группа, вступающая в точно самый путь), плюс T; например, 1/R13, 1/R31, ,  спарены. Таким образом достаточно рассмотреть эти четыре параметра вместе с T, и брать все другие, равные нулю. Делая это, Урав. (26) становится, сохраняя только члены  ведущего -порядка в f
 (27)
Уравнение (27) вовлекает квадратную форму, так, что оно могло быть представлено в матричной форме как
(28)
где вектор . Матрица A 4;4 блок и Кондиция (26), рассматриваемая как кондиция положительной полуопределенности A (пока коэффициент T2 должен быть ;0), выдает неотрицательность четырех собственных значений, плюс неотрицательность  коэффициента T2. Две из этих кондиций могут быть показаны  содержащимися в пределах других двух, от которой две переменные длины Коссера l могут быть получены, чтобы гарантировать положительную полуопределенность  A. Минимум среди этих двух длин, плюс те получившие рассмотрение T, приводят к длине Коссера для Кондиции (26), чтобы быть  удовлетворяющим
(29)
где
(30)
в котором все члены  всегда неотрицательны для менее жестких включений, чем матрица. Уравнение (29) применяет для данного переменные ;i, ;m,;i, ;m, и ;.

Рис. 4 Три функции gi появляющиеся в Урав. (30), среди которых минимум отобран для данных переменных ;.
В Урав. (30), минимум среди трех функций (назовём их gi) взят. У этих функций есть типичная зависимость от ; показанная на Рис. 4, нарисованном для ;i / ;m=0 (так, что включение пустота) и ;m=0.49 (случай, который будет также рассмотрен позже). На этом рисунке, один из gi соответствует способу скрученности, в то время как другие два способа вовлекают и изгиб и описанные способы .
С тех пор ; конституционный параметр, который может быть выбран так, что эффективный материал Коссера лучше имитировал актуальный гетерогенного материала ответ, это оптимально, чтобы выбрать его так, чтобы эффективный материал Коссера соответствовал актуальной, действительной гетерогенной, разнородной единице для двух способов деформации, которая соответствует пересечению двух более низких кривых на Рис. 4, то есть, к самому большому из минимумов (т.е., супренуму) этих трех gi (соответствующих  ;max на рисунке). Поэтому
  (31)
Случай несжимаемой матрицы (;m;;) стоит отмечать. В этом случае, Урав. (30) становится
 (32)
показывающее, что изгиб и скрученность - единственные способы, вступающие в формулу. В этом случае, другими словами, характерная длина l и параметр ;  найдены из Урав. (31), в котором Урав. (32) используется для  функции g, обеспечьте точное совпадение между энергиями действительного разнородного тела и гомогенизированная Коссера единица под произвольной униформы плюс изгиб и скрученность примененной нагрузкой.
Предел  ;i; 0 из Урав. (31) приводит к случаю сферической пустоты
(33)
В случае матрицы несжимаемости, ;m ;1/2, Урав.(33) становится
, (34)
в таком случае и изгиб и способы кручения одновременно подобранны.
Мы подчеркиваем относительно всех вышеупомянутых случаев, что когда дальнего поля применяемая нагрузка такова, что наш "оптимальный" выбор параметра Коссера не обеспечивает точное совпадение между эффективными энергиями материала Коссера и того действительного разнородного материала, наш оптимальный эффективный материал Коссера будет еще  усовершенствованием по стандартному эффективному материалу Коши для всей униформы равновесия плюс линейного дальнего поля примененных нагрузок (Для послушного типа включения композитов).
Характерная длина разделена на радиус включения умноженный теперь фракцией объема на мощность-1/6, то есть, f-1/6l/a, начерчен на Рис. 5 против контраста во включении/матрице сдвига модули, ;i/;m, так, чтобы нулевой контраст соответствовал пустоте, Урав. (33). Различные кривые на рисунке относятся к различным переменным отношений Пуассона, то же самое изучалось для плоскости странности (;m и ;i, каждый имеющий оценки 0.49 и 0). Оценки кривых в ;i/;m=0 зависят только от ;m.
Рисунки  показывают, что качественное поведение - то же самое для двумерных и трехмерных случаев: для достаточно послушного включения, положительная характерная длина для эффективного материала Коссера всегда находится, который уменьшается к нулю в достаточно высокой жёсткости включения. Однако, есть также важные различия между 2-ыми 2D и 3D трехмерными случаями:
1. Для всех оценок отношений Пуассона матрицы и включения, ;; исчезает, когда ;i = ;m и затем становится отрицательным для ;i > ;m. Поэтому, из-за эффекта способа скрученности и в отличие от 2-ого 2D случая, это всегда невозможно производить положительную характерную длину l для ;i>;m, независимо от оценок отношений Пуассона, так, что l =0 всегда получается для ;i;;m (и не только для особого случая ;m = ;i);
2. Кривая для l для случая ;i=0 и ;m=0.49 для 3D трехмерного показывает скачок в ноль (не найденный для 2D 2-ой деформациями) в ;i = ;m. Это поведение,   происходит, когда ;m>;i, связано с скрученностью и с фактом, что ; одновременно склоняется к пределу-1. Это означает что количество l2(1 +;), связанное с характерной длиной в скрученности, не прерывисто и правильно подходит к нулю, когда ;i / ;m склоняется к 1; и
3. Результат 3. Характерная длина существенно меньше в трехмерном, чем в двумерном. Это происходит частично из-за факта что l; af 1/6 в трех измерениях, тогда как l;a в двух измерениях. Рисунки показывают, что самая большая  длина характеристики (строжайшего эффекта Коссера) происходит для несжимаемой матрицы, содержащей пустоты (;m =0.5, ;i =0), в таком случае
l; 0.702af 1/6, (35)
для 3D трехмерного и 2D 2-ого, соответственно. Например, если f =0.1, Урав. (35) показывают l/a в 3D трехмерном, чтобы быть 54 % из этого в 2D 2-ом.

Рис. 5 Характерная длина разделенная  сферическим радиусом включения и умноженная f-1/6 (вверху) и параметром ; (внизу) для  однородного материала Коссера выведенного из гомогенизации матрицы, содержащей разведенное распределение сферических включений (Урав. (31)).
6 Неограниченной Странности Материалы Коссера не Изменяющие Результаты 1, 2, и 3
В этом пункте мы имеем возможность обращаться к следующему вопросу: может Результат 1, утверждающий, что эффекты Коссера только возникают для включений менее жестких, чем матрица, быть измененным, делая обращение за помощью к более общей теории микрополярного поведения, чем теория принужденного вращения Урав. (11)? Кроме того, делают Результат 2, обеспечивающий формулу закрытой формы для характерной длины l, и последовательный Результат 3, изменения, если общая теория микрополярного поведения принята? Ответы на эти вопросы повернуты  быть отрицательными, но они требуют отклонения.
Характеризуется общий изотропический, линейный микрополярный материал следующими конституционными уравнениями [16,2]
;ij = ;;kk;ij + 2; ;ij+ ;eijk(;k-;k)
;ij = ;;;;kk;ij + 4;l2(;j.i+;;i,j)  (36)
где ;ij и ;ij - асимметричной  силы-стресса и пары-стресса тензоры,  соответственно, и ;k и ;i макро – и микроосевые векторы вращения, соответственно. Константы ; и ; играют роль обычных модули Ламе эластичности Коши, и ;, ;, ;, и l новые материальные константы.
Важный момент должен отметить что Урав. (11) получены из Урав. (36), беря ;k = ;k; тогда ;ij и ;ij уменьшают до ;ij  (симметрическую часть тензора стресса) и mij (отклоняющее устройство, девиатор тензора пары-стресса), соответственно, и члены, содержащие ; и ; в Урав. (36) становятся тождественно нулевыми.
Теперь мы отмечаем это в неограниченной странности  теории, кинематические граничные кондиции должны вовлечь предписание смещений, макровращения, и  микровращения. Если мы делаем чувствительный выбор, что микровращения идентичны макровращениям на границе и они - те, которые возникают из смещений Урав. (6), затем (уникальное) решение для полной неограниченной странности теории производящей ту же самую энергию Урав. (14). Те же самые результаты для l, Урав. (22) и (31), получены. Теперь, однако, параметры ; и ; остаются неопределенными. Таким образом мы не находим преимущества для использования более комплексной неограниченной странности модели Коссера в гомогенизации проблеме, и действительно мы находим модель принужденного вращения используемую Кутье (Koiter) [15], чтобы иметь большие преимущества простоты и физической прозрачности.
7 Эксперименты и Приложения
Мы уже сообщили, что наши результаты объясняют и подтверждают Готье [7] экспериментально базируемое заявление, что  ”антимикрополярное явление” найдено для включений более жестких чем матрица. Для включений менее жестких чем матрица наша теория обеспечивает параметры Коссера l и ; (только l для плоской странности) для эффективного материала, который точно соответствуют двум квадратичным способам деформации (одному в плоской странности), так что эти параметры были бы найдены в идеальном эксперименте выполненном на экземпляре, когда граничные кондиции, соответствующие тем способам, наложены.  За исключением несжимаемого матричного материала квадратичные способы соответствуют комбинации изгиба, скрученности, и другим способам, которые обычно экспериментально не исследуются.
7.1 Изгиба и Скрученности Эксперименты, и Применение Вовлеченной Нагрузки Чистого Изгиба и Скрученности. Общие эксперименты вовлечённого изгиба (обычно изгиб пластины, деформированной в плоской странности) и скрученность (обычно бара, бруска с круглым  поперечным сечением). Выполнение таких экспериментов не будет в общем (снова, за исключением изгиба плоской странности для соединения с несжимаемым материалом матрицы) приводит к нашим параметрам Коссера. Это - то, потому что мы выбрали их, чтобы дать самое большое возможное усовершенствование по эффективному материалу Коши для всех возможных наложенных линейных плюс квадратичных полей смещения, такими, что эффективный материал Коссера никогда не более жесток, чем фактическая разнородная единица. Если, однако, приложенная нагрузка интереса известна, что состоит из униформы плюс чистого изгиба нагрузок в 2D 2-ом, или униформы плюс чистый изгиб и чистая скрученности нагрузок в 3D трехмерном, то эффективные параметры Коссера могут быть выбраны, чтобы произвести точный энергетический матч, сопоставление между эффективным материалом Коссера и фактическим гетерогенным.
В частности для деформаций плоской странности плиты, куска содержащей разведенное распределение цилиндрических включений (с осью параллельно к глубине)
(37)
с ;R, данным Урав. (8)1, обеспечивает точное совпадение для плоской странности эксперимента изгиба.
Для деформаций плоской странности плиты, куска,  содержащей разведенное распределение из сферических включений (отметьте что, из-за плоской странности ограничения, параметр ; не входит)
(38)
где ;R дан Урав. (10)1, дает точное совпадение для плоской странности изгиба эксперимента.
Для скрученности цилиндрического экземпляра (круговой проспект пересекают) содержа разведенное распределение сферических включений
(39)
где ;; данное Урав. (10)3, дает точное совпадение. Очевидно, l и ; может быть выбран, чтобы удовлетворить Урав. (38) и (39) одновременно.
7.2 Сравнение С Существующими Результатами Эксперимента. Это интересно теперь сравнить наши результаты с выполненными экспериментами на материальном, содержащем послушные включения, например пустоты. В частности наши результаты указывают, что самая эффективная экспериментальная установка показать эффекты Коссера была бы материалом содержащим цилиндрические пустоты, деформированные в плоской странности, с отношением матрицы Пуассона, склоняющимся к предельному значению 0.5; например, резиновый блок с цилиндрическими отверстиями. К сожалению, ничто как эта экспериментальная установка не доступна в литературе и также нет принадлежности разводить суспензии сферических пустот.
Единственные результаты, которые мы смогли найти те Лейкса [2], имеющие отношение к двум пенам с почти сферическими пустотами. Особенно, один материал - синтактическая пена, состоящая из полых микропузырей стеклянного стакана  включенных в матрицу эпоксидной смолы, для который значение диаметра пустот составляет 0.125 мм, и фракция объема 0.468. Второй материал - высокоплотная твердая полиуретановая пена закрытой клетки, для которой значение диаметра пустот составляет 0.1 мм и фракция объема 0.690. В главной  рабочей рамки Коссера Урав. (36) Лейкс [2] находит l =0.032 мм для первого материала и l=0.327 мм для второго. Лейкс также определяет количество , которое он оценивает, чтобы быть 0.065 мм и 0.62 мм, соответственно.
Есть несколько трудностей в попытке сравнить наши результаты с этими материалами:
1. Пустоты фракция объема настолько высока, что разведенное приближение почти наверняка не применимо непосредственно;
2. Механические свойства матричного материала не доступны; 2 и
3. Пустоты в первом материале покрыты стеклянной раковиной неизвестной жёсткости.
Так как эти факторы делают точное сравнение невозможным, мы просто используйте наши образцовые результаты с ;m=1/2, Урав. (34), чтобы сделать сравнение порядка величины. Таким образом Урав.(34) дает l =0.039 мм и  мм для первого материала и l =0.033 мм и  мм для второго. Эти результаты находятся только в качественном соглашении с экспериментальными находками; однако, они совместимы с фактом, что наша модель, основанная на разведенном приближении, недооценивает характерную длину l для данных высоких оценок фракций объема поры. Факт, что характерная длина лучше предсказана для первого материала, чем для второго является, вероятно, последствием присутствие стеклянной раковины покрытия пустоты, обеспечивая жёсткость, которая сильно уменьшает l.
8 Резюме Общей Методологии
Здесь мы обсуждаем общую методологию, предложенную в этой статье и используемую в конкретных случаях матрицы, содержащей  разведенную суспензию сферических или круглых  цилиндрических включений. Мы подчеркиваем, что наша общая методология не ограничена соединениями, состоящими из матрицы, содержащей разведенную концентрацию из другой фазы. Определить эффективные модули для  гомогенного Коссера-упругого материала, который лучше всего приближает  гетерогенный Коши-упругий материал под общей нагрузкой  применяемой, одно первое определяет эффективные Коши-упругие модули в стандартной манере (т.е., используя самый аккуратный подход доступный из стандартной теории композиционных материалов. Мы подчеркиваем то, что мы расцениваем униформу загружающую как примитивный случай, таким образом, то, что это начальное определение не будет затронуто последующим вычислением). Каждый раз тогда нужно вычислить эластичную энергию в гетерогенном материале интереса, когда оно подвергнуто общему равновесию линейно изменяющееся применяемой тяги (или квадратично  измененяемым смещениям) на границе. Каждый раз тогда сравнивает эту энергию с энергией вычисленной для гомогенного  материала Коссера (чьи модули Коши были уже определены через стандартную гомогенизацию подход) подвергнутому тому же самому квадратично изменяемым смещениям и вращениям как в Коши решении, и каждый выбирает параметры Коссера так, чтобы они две энергии находились в самом близком соглашении. В определенном случае проанализировано в этой статье, длина Коссера является отличной от нуля, когда гетерогенный материал менее жесток, чем его преобладающая фаза, и ноль иначе.
9 Заключения
Было показано, что разведенная дисперсия изотропических эластичных сферических включений в трехмерное соединение (и бесконечно долгие, параллельные круглые цилиндрические включения в 2D 2-ом случае) производят эффекты Коссера, когда включения менее жестки чем матрица. Эффекты вызывают характерную длину в трех измерениях
l; af 1/6
и каждое второе измерение
l; a
где a радиуса включения и f фракция объема материала включения. Максимальная характерная длина происходит, когда включения - впадины, и матричный материал несжимаем; эта длина существенно больше в 2D 2-ом против 3В трехмерного для впадины, имеющие тот же самый радиус. Эффекты Коссера идут по другой руке исключенной для противоположной ситуации включений имеющих жёсткость равную или больше чем та из матрицы.
Важное практическое значение наших находок то, что ответ  композиционного материала, содержащего менее жесткие включения чем матрица и подвергнутый неуниформному стрессу может быть больше аккуратно представлен гомогенным материалом Коссера с соответственно выбранными модулями чем стандартным (Коши) эффективным материалом.
Благодарность
Мы благодарим профессора  Р. С. Лейкса (Университета Висконсин - Медисон) для полезных обсуждений. Д.Б благодарит финансовую поддержку со стороны МЕРСТ-Кофин 2005 (Prot. номер 2005085973–002). В.Дж.Д благодарит доктора В. Г. Вольфер за его интерес к этой работе и для поддержки со стороны Ливерморской национальной лаборатории под Контрактом W-7405-ENG-48 с американским Министерством энергетики. В.Дж.Д. также признает поддержку со стороны итальянского Министерства Исследования Грант “Rientro dei servelli” Грант МИУР № 26/1/2001.
2Только ;m необходимо, чтобы определить l. Однако, знание ;m позволило бы нам определить  и  из Урав. (1), которое по сравнению с результатами эксперимента Лейкс разрешили бы оценку качества оценки.

Приложение A: Утверждение Искусства на Эффектах Коссера как Выведенное Из Эластичных, Неоднородных Сред
Литература по эффектам Коссера возникающим из гетерогенной среды изобилует противоречивыми взглядами. Берглунд [17], утверждая что предыдущие результаты [18–20] были несодержательными, обеспечивает два теоретических аргумента опровергнуть микрополярные эффекты, обслуживаясь как  дискретной структурной моделью кубической решетки, так и рабочими рамками для гомогенизации гетерогенного континуума. Они появляются  быть далекими от заключения, так как прежний, формер призывает сокращение структурных измерений к нулю (которые несодержательны  с фактом что эффекты Коссера должны быть связаны с некоторой ненулевой характерной микроструктурной длиной) и последние действительно предсказывают некоторые микрополярные эффекты, которые тогда обсуждены, чтобы быть незначительными. Напротив, поведение Коссера было найдено Ваном и Стронгом [21] для шестиугольной решетки. Кроме того, бесспорный теоретический аргументами в пользу поведения Коссера обеспечили Ахенбах и Герман [22] и Берэн и МакКой [23], но бывший холдинг только при определенных обстоятельствах вовлекающих динамичные эффекты и последние очевидно наконец опровергает эффекты для соединения с гомогенной и изотропической статистики включений. Недавно, Форест [24], Остоя-Старзевский и др. [25], и Буйдж (Bouyge) и др. [26] обеспечили численные исследования конечного элемента поддержки эффектов Коссера в гетерогенных материалах. Форест рассматривает анизотропное соединение с необычной микроструктурой, и непосредственно не предоставляет оценки Коссера характерной длины. Последние две статьи рассматривают плоские проблемы  матрицы, содержащей дисперсию круглых включений; они находят  длину Коссера отличную от нуля  для включений и более жестких и более послушных чем матрица, факт, которому противоречат рание эксперименты [6,7], и теперь аналитическими результатами выведены в данной работе.
Когда Урав. (21) подготовлено, используя полулогарифмическую шкалу, такую как это использовано в Ссылке [26] для их оценок параметра ;i = ;m=0.3 и f =0.18, мы получаем граф, показанный в Рис. 6. Численные значения в высоком контрасте подобны тем найденным в Ссылке. [26] (их Рис. 8), но наши результаты: (1) правильно приближаются к нулю, когда эластичное несоответствие исчезает (пока  отличная от нуля характерная длина найдена в Ссылке [25] даже для нулевого несоответствия); и (2) показано, что эффекты Коссера исключены для несоответствия, больше чем 1 (в каком случае l был бы воображаемым).

Рис.6 Характерная Длина  разделенная на размер клетки для объема фракции рассеиваемой фазы f=0.18, для выведенного материала Коссера из гомогенизации матрицы, содержащей разведенное распределение параллельных, бесконечных круглых цилиндрических включений (плоской странности, Урав. (21))
Приложение B: Решение Плоской Странности Эластичного Круглого Включения в Бесконечной Эластичной Матрице Подвергнутое к Отдаленным Смещениям Поля Урав. (5)
Мы используем Колосова-Мусхелишвили [11] сложные потенциалы представление общего решения для плоских проблем  в гомогенной изотропической линейной эластостатике, который в полярных координатах
  (B1)
;rr + ;;; = 4 Re[;`(z)]
(B2)
где z=x1+ix2=rei;, ;(z) и ;(z) являются аналитическими функциями, Re[] обозначает реальную часть, и ; =3–4; для плоской странности.
Во-первых, мы полагаем примененная нагрузка дальнего поля  чистого изгиба, соответствующая к
 ;22 = mx1, ;11 = ;12 = 0 для r;; (B3)
или, с точки зрения сложных потенциалов
, для | z|;; (B4)
 Решение для матрицы, содержащей включение радиуса a
   (B5)
  (B6)
в материале вне включения, и
   (B7)
(B8)
в материале внутри включения.
Во-вторых, мы рассматриваем квадратное дальнего  поля примененное поле смещения, соответствующая
, u2 = u3 = 0 для r;;(B9)
или, с точки зрения сложных потенциалов
,  для |z |;; (B10)
Решение
(B11)
  (B12)
в материале вне включения, и
(B13)
(B14)
в материале внутри включения.
Приложение C: Трехмерное Решение Сферического Эластичного Включения в Бесконечной Эластичной Матрице, Подвергнутой к Отдаленным Смещениям Поля Урав. (6)
C.1 Скрученность Предписанная в Бесконечности
Во-первых, мы рассматриваем приложенную дальнего-поля скрученность, состоящую из другого (в основном) угла завихрения/длины применяемой около каждого из трех Декартовских топора, оси. Это соответствует смещения равновесия полю
u1 =(;2 -;3)x2x3, u2 = (;3 - ;1)x3x1,
u3 = (;1 - ;2)x1x2  для r;; (C1)
или, в сферических координатах
ur = 0, u; = - (;1 - ;2)r2 sin; cos; sin;
 для r;; (C2)
Решение этой прикладной дальнего поля, удовлетворяющее равновесию всюду, и смещение и тяги непрерывность через включения матрицы границу r=a
ur =0

 

в материале вне включения, и
ur=0

(C4)
в материале во включении.
C.2 Изгиб и Другие Квадратичные Способы Смещения Равновесия, Предписанные в Бесконечности
Во-вторых, мы рассматриваем приложенное дальнего поля равновесия смещения поле

, для r;;  (C5)
от которого общее представление Урав. (6) может быть получено использованием суперпозиции и добавляя скрученность. Изгиб, который мы рассматриваем, изгиб плоской странности, в то время как Сен [13] и Дас [14] рассмотрел чистый изгиб (одноосный стресс). Их случай перекрывается пересмотром коэффициентов 1/R23 и 1/R32 следующим образом
и  (C6)
где A и C - произвольные постоянные, и Em эластичный модулус  матричного материала. Случай C=0  проанализирован в Ссылке. [13,14], и это достаточно, чтобы решить общий случай Урав. (C6) через суперпозицию. Мы отмечаем также что способы, определенные коэффициентами  может быть переопределены способом подобным Урав. (C6), и снова суперпозицией,  таким образом достаточно решить для случая
 (C7)
В полярных координатах, дальнего поля представление Урав. (C5) с Урав. (C6) (беря C=0 и все другие коэффициенты нулевыми) имеют ту же самую структуру как Урав. (C5) с Урав. (C7) (со всеми другими коэффициентами нулевыми). Это
ur = Br2cos; sin; (c1 + c2cos2;)
u; = Br2cos; cos; (c3 + c2cos2;)
u; = Br2sin; (c4 + c5cos2;)   (C8)
где
B =A4/Em, c1 = c4 = c3 + 4 = 1 - ;m, c2 = c5 = 1 + ;m (C9)
для изгиба, в то время как
, c1 = c3 = - c4 = 1 - ;m,
c2 = - c5 = 2 - 3;m  (C10)
для способа, определенного коэффициентами .
Решение этой прикладного поля дальнего поля смещения, что удовлетворяет равновесию всюду, и смещения и тяги непрерывности через матрицы включения границу r=a,


(C11)
в материале вне включения, и


  (C12)
в материале внутри включения. (Сен [14] решение нарушает непрерывность смещения через r=a, так как это пропускает c0 члены в Урав. (C12).) Все коэффициенты, появляющиеся в вышеупомянутом Урав. (C11) и (C12), являются безразмерными и определены как

,  ,
 , , ,



 , 






где Em, Ei, и ;m, ;i являются упругими модулями и Пуассона отношения матрицы и материалов включения, соответственно.
Ссылки
[1] Lakes, R. S., 1983, “Size Effects and Micromechanics of a Porous Solid,” J.
Mater. Sci., 18, pp. 2572–2581.
[2] Lakes, R. S., 1986, “Experimental Microelasticity of Two Porous Solids,” Int.
J. Solids Struct., 22, pp. 55–63.
[3] Lakes, R. S., 1995, “Experimental Methods for Study of Cosserat Elastic Solids
and Other Generalized Continua,” Continuum Models for Materials with
Micro-Structure, H. B. Muhlhaus, ed., Wiley, New York, pp. 1–22.
[4] Yang, J. F. C., and Lakes, R. S., 1981, “Transient Study of Couple Stress in
Compact Bone: Torsion,” J. Biomech. Eng., 103, pp. 275–279.
[5] Yang, J. F. C., and Lakes, R. S., 1982, “Experimental Study of Micropolar and
Couple Stress Elasticity in Bone in Bending,” J. Biomech., 15, pp. 91–98.
[6] Gauthier, R. D., and Jahsman, W. E., 1975, “A Quest for Micropolar Elastic
Constants,” ASME J. Appl. Mech., 42, pp. 369–374.
[7] Gauthier, R. D., 1982, “Experimental Investigation on Micropolar Media,”
Mechanics of Micropolar Media, O. Brulin and R. K. T. Hsieh, eds., CISM
Lecture Notes, World Scientific, Singapore, pp. 395–463.
[8] Eshelby, J. D., 1957, “The Determination of the Elastic Field of an Ellipsoidal
Inclusion and Related Problems,” Proc. R. Soc. London, Ser. A, 241, pp.
376–396.
[9] Hashin, Z., 1959, “The Moduli of an Elastic Solid Containing Spherical Particles
of Another Elastic Material,” Non-Homogeneity in Elasticity and Plasticity,
W. Olszak, ed., Pergamon, New York, pp. 463–478.
[10] Hashin, Z., and Rosen, W. B., 1964, “The Elastic Moduli of Fiber-Reinforced
Materials,” J. Appl. Mech., 31, pp. 223–232.
[11] Muskhelishvili, N. I., 1953, Some Basic Problems of the Mathematical Theory
of Elasticity, Noordhoff, Groningen, Holland.
[12] Sendeckyj, G. P., 1970, “Elastic Inclusion Problems in Plane Elastostatics,”
Int. J. Solids Struct., 6, pp. 1535–1543.
[13] Sen, B., 1933, “On the Concentration of Stresses Due to a Small Spherical
Cavity in a Uniform Beam Bent by Terminal Couples,” Bull. Calcutta Math.
Soc., 25, pp. 107–114.
[14] Das, S. C., 1953, “On the Stresses Due to a Small Spherical Inclusion in a
Uniform Beam Under Constant Bending Moment,” Bull. Calcutta Math. Soc.,
45, pp. 55–63.
[15] Koiter, W. T., 1964, “Couple-Stresses in the Theory of Elasticity, Parts I and
II,” Proc. K. Ned. Akad. Wet., Ser. B: Phys. Sci., 67, pp. 17–44.
[16] Nowacki, W., 1986, Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon, Oxford.
[17] Berglund, K., 1982, “Structural Models of Micropolar Media,” Mechanics of
Micropolar Media (CISM Lecture Notes), O. Brulin and R. K. T. Hsieh, eds.,
World Scientific, Singapore, pp. 35–86.
[18] Dean, D. L., and Urgate, C. P., 1968, “Field Solutions for Two-Dimensional
Frameworks” Int. J. Mech. Sci., 10, pp. 315–339.
[19] Ba;ant, Z. P., and Christensen, M., 1972, “Analogy Between Micropolar Continuum
and Grid Frameworks Under Initial Stress,” Int. J. Solids Struct., 8, pp.
327–346.
[20] Banks, C. B., and Sokolowski, U., 1968, “On Certain Two-Dimensional Applications
of Couple-Stress Theory,” Int. J. Solids Struct., 4, pp. 15–29.
[21] Wang, X. L., and Stronge, W. J., 1999, “Micropolar Theory for Two-
Dimensional Stresses in Elastic Honeycomb,” Proc. R. Soc. London, Ser. A,
445, pp. 2091–2116.
[22] Achenbach, J. D., and Herrmann, G., 1968, “Dispersion of Free Harmonic
Waves in Fibre-Reinforced Composites,” AIAA J., 6, pp. 1832–1836.
[23] Beran, M. J., and McCoy, J. J., 1970, “Mean Field Variations in a Statistical
Sample of Heterogeneous Linearly Elastic Solids,” Int. J. Solids Struct., 6, pp.
1035–1054.
[24] Forest, S., 1998, “Mechanics of Generalized Continua: Construction by Homogenization,”
J. Phys. IV, 8, pp. 39–48.
[25] Ostoja-Starzewski, M., Boccara, S., and Jasiuk, I., 1999, “Couple-Stress
Moduli and Characteristic Length of Composite Materials,” Mech. Res. Commun.,
26, pp. 387–397.
[26] Bouyge, F., Jasiuk, I., and Ostoja-Starzewski, M., 2001, “A Micromechanically
Based Couple-Stress Model of an Elastic Two-Phase Composite,” Int. J. Solids
Struct., 38, pp. 1721–1735.